2009年浙大考研量子力学试卷
浙江大学物理系 量子力学习题3
3 H1 = λ ∑ xi2 = λ r 4 , i =1
2
H 1 = λ ∑ xi4 .
i =1
3
其中前者满足旋转不变性（或 O(3) 不变性） ，后者则有立方不变性。检查每一种情况下一 级微扰都没有完全解除第二激发态的六重能级简并。 （量子力学中的对称性是一个十分重要 的问题，希望本题能给你留下一个初步印象。 ） 4． 重力场的基态变分法。写下一个质量为 m 的粒子在重力场 V ( z ) = mgz 中的不含时薛定 谔方程。通过标度变换（即找到一个依赖于 , m, g 的自然长度单位 a ，定义 x = z / a ；相 对应有能量单位 E0 ， ε = E / E0 ） ，证明方程可被写为下列无量纲的形式
V ( x1 , x2 , x3 ) =
的能谱 E =
1 1 2 2 mω 2 ( x12 + x2 + x3 ) = mω 2 r 2 , 2 2
ω ( n1 + n2 + n3 + 3 / 2 ) ，发现第 n 个能级简并度为 n(n + 1) / 2 。第一激发态三
重简并， 第二激发态六重简并。 求解第二激发态的下列一级简并微扰问题 （形式上为 6 × 6 的 矩阵对角化，但因为块对角化，你最多只用解 3 × 3 的矩阵） ：两种对称性不同的微扰分别为
浙江大学物理系 量子力学 II
Issued: 2005/9/26 习题三 Due: 2005/10/13
1. 再顾角动量耦合。考虑由三个自旋 1/2 的非全同粒子组成的体系。哈密顿量为
H = A( s1 i s2 + s2 i s3 + s3 i s1 ).
其中 A 为实常数。总自旋为 s = s1 + s2 + s3 。 (a) 证明能量本征值可以用总自旋量子数 s 和 sz 来标记。 (b) 写下能量本征值和对应的简并度。 (c) 写下一组完全正交的能量本征态。你可以用三个自旋的 z 分量本征态 m1m2 m3 的线性 组合来表示这些本征态。 （注意：这组线性组合并不唯一。 ） (d) 讨论这些结果与我们已经遇到过的
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
中科院量子力学1990-2008(部分有答案)
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳， 而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个 六、 原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 。试求高能下 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。 三、 试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
(V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密
。 度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示）
试题名称：1990 量子力学（实验型）
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4
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率 密度与几率流密度的表达式。 二、 当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ， （ A 0, r0 0 为
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
原子物理期末试卷(2009.6)
浙江大学2008–2009学年二学期《原子物理学》课程期末考试试卷（附有本人吐槽）请考生仔细阅读以下注意事项：1. 诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
2. 开课学院：__理学院_3. 考试形式：闭卷，允许带___笔__入场4. 考试日期： 2009 年 6 月 21 日,考试时间： 120 分钟考生姓名：学号：所属院系： _一．填充题1．原子的直径大约为数量级；质子的直径大约为数量级；电子的直径小于数量级。
2．原子的外层电子之间的跃迁所放出的光子能量约为数量级；俄歇电子能量约为数量级；内变换电子的能量约为数量级。
2T，3．炼钢炉火焰的辐射可近似看成黑体辐射。
设原炉温为T0，若将炉温增至0则其总辐射本领是原来值的倍。
4．按照泡利不相容原理，在原子的3s, 3p以及3d三个支壳层中总共可以填充颗电子。
5．处于状态2D5/2的La原子束在横向非均匀磁场中分裂成____________ 束，La原子的轨道角动量为，自旋角动量为，总角动量为，总磁矩为。
二．简答题1．火车紧急刹车，车轮和铁轨之间火星飞溅。
试用玻尔理论解释这一现象。
答：热了么。
2. 铁锤可砸碎石头，请从结合能的角度对此现象进行解释。
3. 原子光谱的精细结构是怎么引起的？原子光谱的超精细结构又是怎么引起的？答：擦，每年都问同样的。
4．试描述穆斯堡尔效应的实验过程和物理机理。
答：无反冲γ共振吸收。
量级：1310-5．由核物理可知：原子核内是不存在电子的。
为什么？由原子核β衰变而飞出的β粒子(电子)又是怎么形成的?答：以德布罗意波估算之。
三．计算题1．铍原子基态的电子组态是2s2s，若其中有一颗电子被激发到3p态，按L-S 耦合法则可形成哪些原子态？写出有关的原子态符号。
从这些原子态向低能态跃迁时可产生几条光谱线？画出相应的能级跃迁图。
2． 正电子素是由一颗正电子和一颗电子所组成的束缚系统。
正电子除了带电 量为+e 外，其余性质和电子完全一样。
试求：（1）正电子素的第一玻尔 轨道半径；（2）正电子素的电离能；（3）正电子素与氢原子的里德堡常 数之比值。
浙江大学1998-2008量子力学考研试题
浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10分）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。
求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
（利用玻尔-索末菲量子化条件求，设外磁场强度为）第二题：（20分）若一质量为的粒子在一维势场中运动，求粒子的可能能级。
若某一时刻加上了形如，（）的势场，求其基态能级至二级修正（为一已知常数）。
若势能变成，求粒子（质量为）的可能的能级。
第三题：（20分）氢原子处于基态，其波函数形如，为玻尔半径，为归一化系数。
利用归一化条件，求出的形式。
设几率密度为，试求出的形式，并求出最可几半径。
求出势能及动能在基态时的平均值。
用何种定理可把及联系起来？第四题：（15分）一转子，其哈密顿量，转子的轨道角动量量子数是，试在角动量表象中求出角动量分量，，的形式；求出的本征值。
第五题：（20分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化，为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于态的几率。
（设为微扰哈密顿，；（当））。
第六题：（15分）用玻恩近似法，求粒子处于势场，（）中散射的微分散射截面。
（设粒子的约化质量为）。
从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。
浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10分）（1）试求出的自由电子及能量为、质量为克的质点的德布罗意波长。
(,)（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度，即为其运动速度。
第二题：（10分）（1）证明定态中几率流密度与时间无关。
（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第个能级时的几率流密度。
第三题：（15分）（粒子处于一维势阱（取的恒定常量）中运动，（1）画出势能的示意图，设粒子质量为，（2）求解运动粒子的能级。
（）(写出所满足的方程)第四题：（10分）一维谐振子，其势能为，（为常量）。
若该谐振子又受一恒力作用，试求其本证能量及能量本证函数。
该振子的质量为。
第五题：（20分）（1）写出线性、厄米算符的定义。
浙大物理考研资料-量子力学与统计物理习题解答
则前述方程可分离为两个独立的方程
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量
总能量
（2）N =1时，耦合谐振子有两种状态，即谐振子1处于第一激发态，谐振子2处于基态
谐振子2处于第一激发态，谐振子1处于基态
两种状态具有同样的能量，是简并的。微扰矩阵元
由归一化条件可得
注意到
；
则
得
注意到
；；；
则
得。最终有
4.已知：两个角动量和相加，得总角动量，相应的本征值和量子数分别为，，；；。试利用上述结果证明：两电子体系的总自旋角动量的量子数取1（所谓自旋“平行”）和0（所谓自旋“反平行”）两个值。
证明：
即的最大值为，最小值为，相邻两值差1，而，，所以只能取1和0两个值。
1．试用证明判断下列算符中哪些是厄米算符：
，，，
a.
多一负号，不是厄米算符。
b.
是厄米算符。
c.
是厄米算符。
d.
多一负号，不是厄米算符。
2．一维线性谐振子处于能量算符的本征态
求振子在此态的能量本征值。
解：
第四章
1．试证为和的共同本征函数，并求出相应的本征值。
证明：
满足的本征方程，是的本征函数，本征值是。
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为
粒子的能量为
证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
上式可变形为
令，则方程化为
该方程的通解为
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
将通解代入有
由此可得
浙江大学硕士研究生考试量子力学和普通物理复习提纲
硕士研究生考试量子力学复习提纲I. 波函数与Schrödinger方程 - 束缚态波粒二相性，态迭加原理，波函数的统计解释定态，一维方势阱，一维谐振子II.力学量与算符算符的运算与平均值厄米算符的本征值和本征函数力学量的测量值对易关系:共同本征函数;测不准关系平均值随时间的变化; 守恒定律III.中心势场中的粒子中心势场中的运动氢原子IV.表象理论(矩阵表述)态、表象、算符的矩阵表示及幺正变换，Dirac符号量子力学的矩阵表述, 海森堡方程线性谐振子的代数解法（占有数表象）角动量J2、JZ 的本征。
V. 定态微扰论定态非简并微扰论定态简并微扰论氢原子的一级Stark效应VI. 含时微扰论与量子跃迁 (含时微扰论跃迁几率光的发射和吸收选择定则VII. 弹性散射一维势垒贯穿问题分波法, 波恩近似VIII. 电磁场中的粒子电子自旋两角动量相加轨道角动量—自旋耦合，IX.多粒子系统全同性原理无相互作用的多粒子体系波函数泡利不相容原理硕士研究生考试普通物理复习提纲一、掌握物理学研究问题的基本概念及方法：国际单位制与量纲、参考系与坐标系、理想模型法、理想实验、对称性与守恒定律等二、质点运动学质点，运动学方程，位置矢量和位移矢量瞬时速度和瞬时加速度，速度和加速度在直角坐标系中的表示形式自然坐标系，切向和法向加速度掌握已知运动方程求和，已知加速度求方法三、质点动力学动量、动量守恒定律、冲量定理及平均冲力的计算牛顿定律及其应用、非惯性系与惯性力功、恒力的功和变力的功的计算，质点和质点组的动能定理保守力和非保守力，重力、弹簧弹力、万有引力的功及其相关的势能势能与保守力的关系，机械能守恒定律及应用四、角动量守恒和刚体力学质点或质点组对某参考点和轴的角动量定理及其守恒定律质心及转动惯量的计算、平行轴定理刚体的平动、刚体的定轴转动的运动学方程、角速度、角加速度刚体定轴转动时的动能表示式、转动定理刚体定轴转动与质点平动的组合求解刚体与质点碰撞中的能量及角动量守恒刚体的进动角速度及旋转方向应具有一定的综合应用动量、能量和角动量三大定理及其守恒定律解题的能力五、振动和波动1.振动简谐振动的运动学方程、振幅、周期、频率和相位，简谐振动的能量同方向、同频率和同方向不同频率简谐振动的合成互相垂直简谐振动的合成2.波动波的基本概念、平面简谐波的运动学方程（即运动表达式）波传播过程中的相位变化关系波的功率（能流）和波的强度（波的能流密度）、波的能量波的叠加：波的干涉和驻波多普勒效应的计算方法其中已知振动曲线或波动曲线求振动方程或波动方程，是这部分的基本要求。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
汇总高校量子力学考研试题
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
2009年硕士研究生统一入学考试
2019年硕士研究生统一入学考试
《量子力学》
第一部分考试说明
一、考试性质
量子力学是理学院物理系硕士生入学考试的专业基础课之一。
考试对象为参加2019年理学院物理系全国硕士研究生入学考试的准考考生。
二、考试形式与试卷结构
（一）答卷方式：闭卷，笔试
（二）答题时间：180分钟
（三）考试题型及比例
简答题20%
证明题20%
计算应用题 60%
（四）参考书目
《量子力学教程》周世勋等，高等教育出版社，2004年；《量子力学基础教程》陈鄂生，山东大学出版社，2003
年
第二部分考查要点
（一）基本概念和术语
1．基本概念；2．基本假设；3.基本结论；4.基本关系（二）计算应用
1．波函数；2．薛定谔方程；3．力学量与算符；4．算符的本征值及本征波函数；5. 角动量的性质；6．量子力学的矩阵表述；
7. 幺正变换；8．测不准关系；9．狄拉克符号；11．量子力学中近似方法（定态微扰理论）；12．自旋，泡利矩阵；13．全同性原理，玻色子与费米子的性质。
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《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。
[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。
2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。
力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。
不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。
因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。
3一维粒子的本征态是不简并的。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。
比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。
复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定（2）中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚 势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示） 。
试题名称：1990 量子力学（实验型） 第1页 共1页
试题名称：1992 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
量子力学基础简答题(经典)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
量子力学试卷(2套)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2002级量子力学期末考试试题和答案A 卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x pi -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==BA，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2L ˆ和zL ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ˆ和zL ˆ的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H000000200030001ˆ这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae-⋅=ψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。
浙江大学统计物理与量子力学期末试卷(含答案)
浙江大学2009–2010学年 春夏 学期《统计物理与量子力学》课程期末考试试卷课程号：11194040 _，开课学院：_信息与电子工程学系_ 考试试卷：A 卷√、B 卷（请在选定项上打√）考试形式：闭√、开卷（请在选定项上打√），允许带_计算器_入场 考试日期： 2011 年 6 月 30 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
考生姓名： 学号： 所属院系： _（20分）一、是非题（每小题2分）1． 光子与电子的相互作用满足能量守恒、动量守恒和质量守恒。
2． 粒子在时刻t 、空间某点r的几率流密度**()2ih J3． 角动量算符的本征函数是正交和完全的。
4． 若两力学量算符是互易的，则它们有共同的本征值和本征函数。
5． 对一个近独立的孤立系统，若热力学概率不变，则熵也不变。
6． 对有限高势垒，若粒子的能量大于势垒的高度，则粒子一定无反射。
7． 自由电子气的比热与理想气体一样与温度无关。
8． 一个系统处于某宏观态的热力学概率等于该宏观态对应的微观态数目除以总的微观态数目。
9． 相空间即描述粒子运动的状态空间。
10. 一个系统处于任意微观态的概率相同。
（10分）二、填空题（每空1分）1．波函数必须满足标准条件 、 和 ，才有物理意义。
2．共价键是由 的两个电子在相邻两个相同原子之间作共有化运动而形成3．从统计学角度看，熵是粒子体系 程度的反映。
4．经典粒子的统计特点是 ，玻色子的统计特点是 ，费米子的统计特点是 。
5．从统计角度看，孤立系统处于平衡态实际上是处于热力学概率 的宏观态。
6．三电子体系的自旋角动量量子数是 。
（15分）三、一维线性谐振子处于第一激发态：221212()xx xe（1） 求几率最大的位置； （2） 求势能的平均值； （3） 证明其能量和动量不会同时有确定的值。
积分 548322απα=-∞⎰dx e x x（8分）四、证明算符H ˆ与算符2ˆL 、ZL ˆ互易（10分）五、带电荷q 的一维谐振子在外电场E 作用下运动，qEx x x U -=)2/()(22μω，试用微扰法求一维谐振子的基态能量（要求到二级近似）。
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, ( x 0) V ( x) V0 , (0 x a) 0, (a x)
(1) 求其能级与波函数。 (2) 确定至少存在一个束缚态的条件。
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2009 浙大考研试卷-量子力学
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第三题（18 分） (1) 如果把谐振子势 V ( x)
认为又会发生什么变化？ 第四题（20 分） （本题只要求选做 A,B 之一即可） (A) 一个粒子受到如下势场的散射
V (r )
r
exp(r ) ，其中 , 为常数，使用 Born 近似求微分散射截面。
(B) 用 Born 近似求粒子被球壳 势场散射的微分散射截面。 （其中 为常数） V (r ) (r a) ，
1 m 2 x 2 , ( x a) 1 与原来能级比较， 你 m 2 x 2 变成 V ( x) 2 2 , ( x a )
认为会发生什么变化？
1 m 2 x 2 , ( x a) 1 2 2 (2) 如果把谐振子势 V ( x) m x 变成 V ( x) 2 与原来能级比较， 你 2 V , ( x a ) 0
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2009 浙大考研试卷-量子力学
பைடு நூலகம்
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浙
考试科目
江
大
编号
学
2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
量子力学 725
注意 :答案必须写在答题纸上,写在试题纸或草稿上均无效。 第一题 简答题（45 分） (1) 证明厄米算符的本征值为实数。 (2) 一维问题的能级简并度最大是多少？ (3) 你知道哪些纯量子效应？ (4) 原子的受激辐射和自发辐射区别在哪里？ (5) 什么是选择定则?线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？
第五题（22 分） 一个量子点中的单电子能级有两个本征值 1 和 2（并且是非简并的） ，它们对应的单电子空 间波函数分别为 1 (r ) 和 2 ( r ) 。 已知电子的自旋为 1/2， 试求该量子点中以有两个电子时， 基态和第一激发态的波函数和能级简并度。 （假定电子间无相互作用）
ˆ, p ˆ ] i 导出角动量的三个分量 (6) 由正则对易关系 [ x
ˆ y z ,L ˆ z x ,L ˆ x y , 之间的对易关系的对易关系 L x y z z y x z y x
ˆ (7) 对于 H
ˆ2 p ˆ ,， L （ 为常数） ，下列力学量中哪些是守恒量？ y 2m
ˆ, p ˆ ,L ˆ ,L ˆ ,L ˆ2 , 。 ˆx, p ˆy, p ˆz, p ˆ 2, L H x y z
(8) 证明 exp[in ] cos i sin n ，其中 x , y , z 表示 Pauli 矩阵。
第二题（23 分） 有一个质量为 m 的粒子处在如下势阱中（这里V0 0 ）
第六题（22 分） 自旋 1/2 的海森堡模型是研究量子磁性系统的重要模型。考虑三个自旋的简单情形，
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ S ˆ S ˆ ) ， J 0 为参数。是求其本征值和简并度。 ˆ J (S H 1 2 2 3 3 1