2009年浙大考研量子力学试卷
浙江大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学第一题
浙江大学1998 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10 分）（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件r 求，设外磁场强度为B ）第二题：（20 分）（1）若一质量为? 的粒子在一维势场V ( x) = ? 级。（2）若某一时刻加上了形如e sin 为一已知常数）。? 0, 0 ≤x ≤ a 中运动，求粒子的可能能? ∞, x > a , x < 0 ωx a ，e （1 ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω?1 2 2 ? ?ωx , x > 0 ，求粒子（质量为? ）的可能的能级。（3）若势能V ( x ) 变成V ( x ) = ? 2 ? ∞, x<0 ? 第三题：（20 分）氢原子处于基态，其波函数形如ψ= ce ? r a ，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。（1）利用归一化条件，求出c 的形式。（2）设几率密度为P ( r ) ，试求出P ( r ) 的形式，并求出最可几半径r 。（3）求出势能及动能在基态时的平均值。? ? （4）用何种定理可把< V > 及< T > 联系起来？第四题：（15 分）?2 ?2 ?2 ? = Lx + Ly + Lz ，转子的轨道角动量量子数是 1 ，一转子，其哈密顿量H 2I x 2I y 2I z ? ? ? （1）试在角动量表象中求出角动量分量Lx ，Ly ，Lz 的形式；? （2）求出H 的本征值。第五题：（20 分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化E = ? r ? 0, ? ?ε0 e ? ?t t≤0 η, t >0 ，η为大于零? 的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。设H ′为微扰哈密顿，（( ) ? H′100,210 = 28 aε0 e ?ηt ? ? 5 ?e ；t > 0）H′（当3 2 ( ) 100,21±1 = 0）。第六题：（15 分）（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场V ( x ) = ?V0 e （设粒子的约化质量为? ）。（2）从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。? r a ，a > 0 ）中散射的微分散射截面。（浙江大学1999 年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10 分）（1）试求出100ev 的自由电子及能量为0.1ev 、质量为1 克的质点的德布罗意波长。( 1ev = 1.6 ×10 ?19 J , h = 6.6 ×10?34 J ? s ) （2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度vg ，即为其运动速度v 。第二题：（10 分）（1）证明定态中几率流密度与时间无关。（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n 个能级时的几率流密度。第三题：（15 分）x<0 ? ∞, ? （粒子处于一维势阱V ( x) = ??U 0 , 0 ≤x ≤a （取的恒定常量）中运动，? 0, x>a ? （1）画出势能V ( x ) 的示意图，设粒子质量为? ，（2）求解运动粒子的能级E 。?U 0 < E < 0 ）(写出E 所满足的方程) （第四题：（10 分）一维谐振子，其势能为V ( x ) = 1 2 kx ，k 为常量）（。若该谐振子又受一恒力F 作用，试求2 其本证能量及能量本证函数。该振子的质量为? 。第五题：（20 分）（1）写出线性、厄米算符的定义。（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？? a. F1 = ? h ? ? ? ? , b. F2 = apx + bx , ( a, b 为恒定实常数) ?x ? iA ? ? c. F3 = e ，A 为线性厄米算符，i 为虚宗量。（3）证明厄米算符对应有实得本证值。? ? ? ? ?? ? ? ? ? （4）若算符B 、C 为厄米算符，[ B, C ]+ = BC ? CB = 0 ,若在b, c 分别为B 、C 的本证值，? 证明：①bc = 0 ,②若C = 1 ，则c 必取 c = ±1 。2 第六题：（20 分）? E1(0) ? ? 设哈密顿算符在能量表象中形如H = ? 0 ? a ? 或 b 为实数，试0 E b (0) 2 a ? ? (0) (0) (0) 其中E1 、E2 、E3 远大于a b ?，? E3(0) ? ? ? （1）写出未微挠哈密顿量H 0 与微挠哈密顿量H ′的合理形式。? （2）证明H 为厄米算符（E1 、E2 、E3 全为厄米算符本证值）。(0) (0) (0) （3）若E1 （4）若E1 ( 0) ( 0) ( ( < E20) < E30 ) ，用微扰论起初其本征能量（至二级）。( < E20) = E3( 0) ，试求其本征能量（至一级）。第七题：（15 分）用玻恩近似计算粒子（质量为? ）被形如V ( r ) = Bδ( r ) 的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点。
浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题
浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学
一、（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；
（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；
二、（1）若一质量为μ的粒子在势场()0,0,,0x a
V x x a x <<⎧=⎨∞≥≤⎩
中运动，求粒子的可能能级；
（2）若某一时刻加上了形如sin
,(1)x
e e a
ω<<的势场，求其基态能级至二级修正；
（3）若势能()V x 变为()22
1,0
2,0
x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩求粒子的可能能级。
三、氢原子处于基态，其波函数形如,r
a
ce a ψ-=为玻尔半径， （1）利用归一化条件，求出c ；
（2）设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径； （3）求出基态势能及动能在基态中的平均值 ；
（4
）用何种定理可把ˆV
及ˆT 联系起来？ 四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222y x z x y z
L L L H
I I I =++，转子的轨道角动量量子数是1， （1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,x y z
L L L 的形式； （2）求出ˆH
的本征值。 五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0
,0
t t E e t τ
ε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，τ为大于零
的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。（设ˆH '为微扰哈密顿，(
)()
805100,210
100,211
ˆˆ
;03
t a e H
e H τε-±''
=⋅=）。
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题
二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）
三．北京大学2000年研究生入学考试试题
考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势
V x x V '+=)()(αδ 0
00
{V V ='
00
>V
中运动，
a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；
b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）
a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；
b. 若
0ˆˆ)(≠⋅αβr s
r f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，
r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。）
三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为
)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210
s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2
2
11βαβα，其中，2
i
α是第i 个粒子自旋向上的几率，2
i
β是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量
)(ˆ21210x
y y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）
b. t=0时，体系处于态
浙江大学1998-2008量子力学研究生入学试题
浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目 量子力学
第一题：（10分）
（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。
（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件
求，设外磁场强度为B
）
第二题：（20分）
（1） 若一质量为μ的粒子在一维势场0,0(),,0
x a
V x x a x ≤≤⎧=⎨
∞><⎩中运动，求粒子的可能能
级。
（2） 若某一时刻加上了形如sin
x
e a
ω，（1e ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω
为一已知常数）。
（3） 若势能()V x 变成22
1,0
()2,
0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩，求粒子（质量为μ）的可能的能级。
第三题：（20分）
氢原子处于基态，其波函数形如r
a
ce
ψ-=，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。
（1） 利用归一化条件，求出c 的形式。
（2） 设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径r 。 （3） 求出势能及动能在基态时的平均值。
（4） 用何种定理可把ˆV
<>及ˆT <>联系起来？
第四题：（15分）
一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222y x z x y z
L L L H I I I =
++，转子的轨道角动量量子数是1， （1） 试在角动量表象中求出角动量分量ˆx L ，ˆy L ，ˆz
L 的形式； （2） 求出ˆH
的本征值。
第五题：（20分）
若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化00,
0,0
t t E e t τ
ε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，τ为大于零
的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。（设ˆH
研究生入学考试871物理化学
浙江师范大学2009年硕士研究生入学考试试题
科目代码：８７１科目名称：物理化学
提示：
1、本科目适用专业：物理化学，有机化学，分析化学
2、请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；
3、请填写准考证号后6位：____________。
一、单选题(每题2分，共60分)
1．对于热力学能（内能）是体系状态的单值函数概念，错误理解是：
(A)体系处于一定的状态，具有一定的热力学能
(B)对应于某一状态，热力学能只能有一个数值不能有两个以上的数值
(C)状态发生变化，热力学能也一定跟着变化
(D)对应于一个内能值，可以有多个状态
2．一定量的单原子理想气体，从 A 态变化到 B 态，变化过程不知道，但若A 态与B态两点的压强、体积和温度都已确定，那就可以求出：
(A)气体膨胀所做的功 (B) 气体热力学能（内能）的变化
(C)气体分子的质量 (D) 热容的大小
3．反应 C(石墨) + ½O2(g)→ CO(g)，∆H(298K)<0，若将此反应放于一个恒容绝热容器中进行，则体系：
(A) ∆T < 0，∆U < 0，∆H < 0 (B) ∆T > 0，∆U = 0，∆H > 0
(C) ∆T > 0，∆U > 0，∆H > 0 (D) ∆T > 0，∆U = 0，∆H = 0
4．可逆热机的效率最高，因此由可逆热机带动的火车：
(A) 跑的最快 (B) 跑的最慢 (C) 夏天跑的快 (D) 冬天跑的快
5．理想气体在绝热条件下，在恒外压下被压缩到终态，则体系与环境的熵变：
(A) ∆S(体) > 0，∆S(环) > 0 (B) ∆S(体) < 0，∆S(环) < 0
2009年浙江大学自主招生物理试题及详解
2009年浙江大学自主招生考试
物理试题
一、填空题
1假定A、B是有不同量纲的两个物理量，经过哪种运算后仍能得到有意义的物理量：1加法2除法3减法4乘法
2匀速运动的火车上，有一元硬币从桌上掉落，其相对火车的加速度？相对地球的加速度？
3 电梯里有一个单摆，求当电梯向上加速、向下加速、匀速运动时单摆的周期各是多少？设电梯静止时单摆的摆动周期为T，电梯向上加速、向下加速时，加速度的大小为a
4假设所有的电子带正电荷，而所有的质子带负电荷，问人们的生活会发生哪些变化？
5飞船从地球飞到月亮与从月亮飞到地球，耗费的燃料相同吗？哪个多？
6空间中有一个带电量为4Q的正电荷和一个带电量为-Q的负电荷，正负电荷相距为r，问正电荷发出的电场线与进入负电荷的电场线哪个多？
7说明电阻与电阻率的主要区别。
8有一个内部中空的均匀带电的球体，问其中空部分的电势为多少？
9根据理想气体方程PV=nRT可否得出结论当温度趋近于0K时，V趋近于0？
10求地球场中月球势能与动能的绝对值之比。
二、简答题
1有长为L的绳，绳上栓一质量为m的小球，小球绕绳的一端在竖直平面内作圆周运动。假设能量守恒，求小球位于最高点与最低点时绳的拉力之差。
2两质量相同的汽车，甲以13m/s的速度向东行驶，乙向北。在十字路口发生完全非弹性碰撞，碰后两车一同向与东西方向成60度角飞去，求碰前乙的速度。
3一边长为a的正方体的八个顶点上各有一电量为q的点电荷，求这些点电荷在正方体上面中心O形成的合场强大小和方向。
a q
4测量棱镜顶角时，用平行光照射棱镜，求角F与角A的关系(A为顶角，F 为两出射光线的交点，入射角为ψ)
量子力学试卷(手动组卷)10
题目部分，(卷面共有4题,21.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择(3小题,共9.0分)
(3分)[1]若光子与电子的波长相等,则它们:( )
A 、动量及总能量均相等
B 、 动量及总能量均不相等
C 、动量相等,总能量不相等
D 、动量不相等,总能量相等
(3分)[2]已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV,若氢原子从能量为-0.85eV 的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为:( )
A 、2.56eV
B 、3.41eV
C 、 4.25eV
D 、 9.95eV
(3分)[3]关于光电效应有下列说法:
(1)任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应;
(2)若入射光的频率均大于一给定金属红限,则该金属分别受到不同频率,强度相等的光照射时,释出的光电子的最大初动能也不同;
(3)若入射光的频率均大于一给定金属红限,则该金属分别受到不同频率,强度相等的光照射时,单位时间释出的光电子数一定相等;
(4)若入射光的频率均大于一给定金属的红限,则当入射光频率不变而强度增大一倍时,该金属的饱和光电流也增大一倍.
其中正确的是:( )
A 、 (1),(2),(3)
B 、 (2),(3),(4)
C 、 (2),(3)
D 、 (2),(4)
二、证明题(1小题,共12.0分)
(12分)[1]在宏观世界里，量子现象常常可以忽略，对下列诸情况，在数值上加以证明：(1)长1l m =，质量1m kg =单摆的零点振荡的振幅；(2)质量5m g =，以速度10/cm s 向一刚性障碍物(高5cm ，宽1cm)运动的子弹的透射率；(3)质量0.1m kg =，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1 1.5m m ⨯的窗子所衍射。
浙江大学2014年量子力学考研真题
浙江大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 量子力学 编号： 725
第一题：简答题（30分）
（1） 一维问题的能级的最大简并度最大是多少？
（2） 什么是量子力学中的守恒量，它们有什么性质。
（3） 什么是受激辐射？什么是光电效应？
（4） 试写出非简并微扰论的能级修正公式（到二阶）。
（5） 由正则对易关系ˆˆ[,]x
p i = 导出角动量的三个分量 x L y z z y ∂∂=-∂∂ y L z x x z ∂∂=-∂∂ z L x y y x
∂∂=-∂∂ 的对易关系。
第二题（20分）：
原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层电子的总位势可以表示为
22
2()e e V r r r
λ=--，1λ 试求其基态能量。
设电子以给定的能量22
2k E m
= 自左入射，遇到一个方势阱 000,()0x x a V x V x a <>⎧=⎨-≤≤⎩
（a ） 求反射系数和透射系数；
（b ） 给出发生共振隧穿的条件；
（c ） 考虑到电子有自旋（自旋向下或向上），你能否借用上面的结果，设计一个量子调控
装置，使反射回来的只有自旋向上的电子而没有自旋向下的电子？
第四题：（25分） 试求屏蔽库伦场()r a Q V r e r
-=的微分散射截面。 （提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）
2
2
404s i n ()()()m r K r V r d r K σθ∞=⎰ ，其中2sin 2K k θ=。
许多物理问题可以化成两能级系统，如0ˆˆˆA a b H H H b
B a +⎛⎫'=+=
浙大物理考研资料-量子力学与统计物理习题解答
令
即
得
因
所以、和不是最大点。因
所以和是概率极大值点。但，因此是概率最大值点，与相应的玻尔半径不同。
2p态径向分布几率
令
即
得
但
显然和不是概率最大点，而
故是概率极大值点，也是最大值点，与相应的玻尔半径相等。
5．求出氢原子p态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电子沿确定轨道运动的概念是否一致？
2.一维线性谐振子处于状态
（1）求归一化因子A；
（2）求谐振子坐标小的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。
解：（1）
由归一化的定义
得
（2）
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故
（3）
将、代入，可得
是总能量的一半，由能量守恒定律
可知动能平均值
和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
。
证明1：
两边乘并积分
由厄米算符的性质，积分
故有
由零级近似波函数为的正交归一性
得
证明2：
因
故
由归一化条件知，故
问题得证。
第七章
1．电荷为e的一维线性谐振子，在时处于基态，时受电场的作用，试求谐振子处于第一激发态的几率。
解：将电场看作微扰，微扰算符
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）
1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：
()()()02
3cos 22
2
ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-
<<=>
（a ）、求归一化常数A,
（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件
()2
2222
2
2
2
2
331cos
cos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262
ikx ikx ikx ikx L
L
x x x dx Ae Ae dx L L
x x A e e dx
L L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞
∞
-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭=
⎰⎰⎰⎰⎰
于是：A =(b)
()2
2440
6sin 0.196926L
L A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰
2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令
)]
()()()([2 ]
)()()()([2 )(2 )( )
()()(****
**r r r r m
i e r e r e r e r m i m
i J e r t f r t r Et i Et i Et i
Et i Et
i
ψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）
（， 可见t J 与
无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？
量子力学考试试题
郑州轻工业学院2008—2009学年度
第二学期《量子力学》课程期末试卷A卷
一、简答题（每小题8分，共32分）
1.态叠加原理
2．波函数的统计解释及波函数的标准条件
3. 全同性原理和泡利不相容原理
4. 量子力学五个基本假设是什么？
二、计算题（共68分）
1. 假设一平面转子角速度为ω，转动惯量为I ，试用波尔-索莫非条件求其能量可能值 （8分）
2. 证明对易关系
（8分）
3. 设氢原子处于归一化状态 211021111(,,)()(,)()(,)
2
2
r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=
-
ˆˆˆ[,]x L y i z
=
求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
（15分）
4. 二元矩阵A ，B 满足20,1,A AA A A B A A +++=+==， （1）证明2B B =
（2）在B 表象中求出A 的矩阵 （共15分）
5.
在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出
（1）设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值；
（3）在怎样条件下，上面二结果一致。 （共22分）
郑州轻工业学院2008—2009学年度 第二学期《量子力学》课程期末试卷B 卷
一、简答题（每小题8分，共32分）
1. 德布罗意关系
⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c c
H
2．波函数的统计解释及波函数的标准条件
3. 全同性原理和泡利不相容原理
4. 试描述史特恩-盖拉赫实验
二、计算题（共68分）
1.证明：如果算符ˆA和ˆB均是厄米算符，则（ˆˆ
大学物理浙江大学答案
大学物理浙江大学答案
【篇一：1992-2016年浙江大学820普通物理考研真题
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年浙江大学《普通物理》全套资料包含：
一、浙江大学《普通物理》历年考研真题及答案 2016年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析）2014年浙江大学《普通物理》考研真题 2012年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析）2011年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2010年浙
江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2009年浙江大学《普
通物理》考研真题（含答案解析） 2008年浙江大学《普通物理》考
研真题（含答案解析） 2007年浙江大学《普通物理》考研真题（含
答案解析） 2006年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析）2005年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2004年浙
江大学《普通物理》考研真题（含答案解析）
2003年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析）
2002年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析）
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
五、假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳，而不是点电荷，试用 一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 六、一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个原子核与中 子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 。试求高能下的中子 散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
ˆ B ，而且构成体系状 B na n na
ˆ, B ˆ 0。 态的完备函数组。试证明 A
ˆ 三、在一维谐振子的哈密顿量 H ˆ2 1 p 2 x 2 中引进 2 2
试题名称：1992 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
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电磁学和量子力学考研真题详解
1．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（U ）[中南大学2009研]
A．1
B．3×1010
C．3.3×10-11
D．8.7×10-21
【答案】A查看答案
【解析】由德布罗意波长公式
，波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A．
2．考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处．如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d，则干涉图样（）．[中南大学2009研]
图1-1
A．向上移动距离d
B．向下移动距离d
C．向上移动距离d／2
D．向下移动距离d／2
【答案】B查看答案
【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b 在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移．再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d．
3．上题中，如果电子枪开始以较大的能量向屏发射电子，则（）．[中南大学2009研]
A．干涉图样中相邻最大值之间的距离减小
B．干涉图样向上移动
C．干涉图样变蓝
D．干涉图样消失
【答案】A查看答案
【解析】A项，由德布罗意波长公式
以及
可知，当能量E增加后，动量p增加，导致电子的德布罗意波长
减小，而干涉条纹间距
，因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小．B项，电子能量增加并不会对光程产生影响，故不影响干涉图像位置．C项，电子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝．D项，题中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失．4．题2中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（）．[中南大学2009研]
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
Ze Z 3 Zr a Ze 3 r 2 , a为 e (r ) 2 ，球外电势为 ，类氢原子基态波函数 1s R 2 2R a3 r
玻尔半径。 四、 ˆ, J ˆ 的表达式。 ˆS ˆ S (1) 用 j , l , s 写出 L ˆ 的可能值。 ˆS (2) 对于 l 2, s 1 2 ，计算 L
1 1 1 1 ˆ , a† ˆ , 。 xi p x i p 2 2 † a, a 1； (1) 证明 a
ˆ； a † 写出哈密顿量 H ˆ 的本征矢，本征值为 E 。证明 a n 为 H ˆ 的本征矢，本征值为 ( E ) 。 (3) 设 n 为 H n n
(1) 该体系的能量期待值是多少？ (2) 在 t 时刻体系处在 l 1, m 1 的态的几率是多少？（1997 年(实验型Ⅰ)第六题）
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
2 2
n
ˆ n E n , H ˆ m E m ， En 与 Em 是能量本征值， 其中 为系统质量， 满足 H n m
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
2009年中国科技大学量子力学考研试题及答案
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第五题（22 分） 一个量子点中的单电子能级有两个本征值 1 和 2（并且是非简并的） ，它们对应的单电子空 间波函数分别为 1 (r ) 和 2 ( r ) 。 已知电子的自旋为 1/2， 试求该量子点中以有两个电子时， 基态和第一激发态的波函数和能级简并度。 （假定电子间无相互作用）
第六题（22 分） 自旋 1/2 的海森堡模型是研究量子磁性系统的重要模型。考虑三个自旋的简单情形，
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ S ˆ S ˆ ) ， J 0 为参数。是求其本征值和简并度。 ˆ J (S H 1 2 2 3 3 1
1 m 2 x 2 , ( x a) 1 与原来能级比较， 你 m 2 x 2 变成 V ( x) 2 2 , ( x a )
认为会发生什么变化？
1 m 2 x 2 , ( x a) 1 2 2 (2) 如果把谐振子势 V ( x) m x 变成 V ( x) 2 与原来能级比较， 你 2 V , ( x a ) 0
认为又会发生什么变化？ 第四题（20 分） （本题只要求选做 A,B 之一即可） (A) 一个粒子受到如下势场的散射
V (r )
r
exp(r ) ，其中 , 为常数，使用 Born 近似求微分散射截面。
(B) 用 Born 近似求粒子被球壳 势场散射的微分散射截面。 （其中 为常数） V (r ) (r a) ，
ˆ, p ˆ ,L ˆ ,L ˆ ,L ˆ2 , 。 ˆx, p ˆy, p ˆz, p ˆ 2, L H x y z
(8) 证明 exp[in ] cos i sin n ，其中 x , y , z 表示 Pauli 矩阵。
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第二题（23 分） 有一个质量为 m 的粒子处在如下势阱中（这里V0 0 ）
ˆ, p ˆ ] i 导出角动量的三个分量 (6) 由正则对易关系 [ x
ˆ y z ,L ˆ z x ,L ˆ x y , 之间的对易关系的对易关系 L x y z z y x z y x
ˆ (7) 对于 H
ˆ2 p ˆ ,， L （ 为常数） ，下列力学量中哪些是守恒量？ y 2m
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2009 浙大考研试卷-量子力学
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浙
考试科目
江
大
编号
学
2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
量子力学 725
注意 :答案必须写在答题纸上,写在试题纸或草稿上均无效。 第一题 简答题（45 分） (1) 证明厄米算符的本征值为实数。 (2) 一维问题的能级简并度最大是多少？ (3) 你知道哪些纯量子效应？ (4) 原子的受激辐射和自发辐射区别在哪里？ (5) 什么是选择定则?线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？
, ( x 0) V ( x) V0 , (0 x a) 0, (a x)
(1) 求其能级与波函数。 (2) 确定至少存在一个束缚态的条件。
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2009 浙大考研试卷-量子力学
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第三题（18 分） (1) 如果把谐振子势 V ( x)