苏科版九年级上数学期末复习试卷四(一元二次方程)
用一元二次方程解决问题九年级数学上学期期末考试真题汇编(苏科版)
专题03 用一元二次方程解决问题一．选择题（共4小题）1．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（）A．7个B．49个C．121个D．512个【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入64（1+x）中即可求出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，依题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去），∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（）A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288【分析】根据从5月份到7月份销售量的月增长率相同，根据5月份销售200个，7月份销售288个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月增长率为x，根据题意得，200（1+x）2＝288，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022春•泰兴市期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（）A．a﹣b＝4B．a﹣b＝8C．a+b＝4D．a+b＝8【分析】将利润用函数关系表达出来，由于涨价、降价时的销售量变化幅度一致，所以利润可用一元二次函数表示，再利用一元二次函数的对称性解决即可．【解答】解：由题意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），解得a﹣b＝8，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题干信息整理出一元二次函数式是解题的关键．4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+12【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在R t△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为（100﹣4x）x＝400．【分析】设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程．【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，故答案为：（100﹣4x）x＝400．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为500（1+x）2＝720．【分析】利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．故答案是：500（1+x）2＝720．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2022春•姜堰区期末）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为10% ．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量是本题的关键．8．（2022春•海门市期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为x（x﹣12）＝864．【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽．三．解答题（共4小题）9．（2022春•亭湖区校级期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．时间/天x销量/kg120﹣x储藏和损耗费用/元3x2﹣64x+400（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：10（1﹣x）2＝8.1，解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），∴x＝0.1＝10%，∴该种水果每次降价的百分率为10%；（2）根据题意得，（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝377，解得，x＝9或x＝11（不合题意舍去），答：x的值为9．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系正确地列出方程是解题的关键．10．（2022春•兴化市期末）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用每天的销售总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出此时每天销售获利；（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据每天销售该衬衫获利1200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件衬衫应降价10元；（3）不能，设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，根据每天销售该衬衫获利1300元，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．【解答】解：（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出20+4×2＝28（件），此时每天销售获利（40﹣4）×28＝1008（元）．故答案为：28；1008．（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意；当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去．答：每件衬衫应降价10元．（3）不能，理由如下：设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，整理得：y2﹣30y+250＝0，∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．11．（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．（1）花园内的小路面积为（﹣10x2+45x）平方米（用含x的代数式表示）．（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的5倍，可得出亭子边长是5x米，利用花园内的小路面积＝小路的长度×小路的宽度，即可用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）利用草坪的面积＝长方形花园的面积﹣小路的面积﹣亭子的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1米，亭子边长是小路宽度的5倍，∴亭子边长是5x米，∴花园内的小路面积为（25﹣5x）x+（20﹣5x）x＝（﹣10x2+45x）平方米．故答案为：（﹣10x2+45x）．（2）依题意得：25×20﹣（﹣10x2+45x）﹣（5x）2＝440，整理得：x2+3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：这时道路宽度x的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．12．（2022春•海陵区校级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），依题意得：570﹣20x≥270，解得：x≤15．答：每盒售价最高为15元；（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．答：a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．一．选择题（共4小题）1．（2021秋•沭阳县校级月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（）A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500【分析】如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”，可列出方程．【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．故选：C ．【点评】本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程．2．（2021秋•工业园区校级月考）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设共有x 位同学聚会，则x 满足的关系式为（ ）A ．12x （x +1）＝45B ．12x （x ﹣1）＝45C ．x （x +1）＝45D ．x （x ﹣1）＝45【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1）解决问题即可． 【解答】解：由题意列方程得，12x （x ﹣1）＝45．故选：B ．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要由x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题． 3．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x 2+2x ﹣35＝0即x （x +2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x +x +2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x ＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x 2﹣5x ﹣6＝0 ）A ．B ．C．D．【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．4．（2022秋•铜山区校级月考）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在R t△ABC中，∠C＝90°，AC=a2，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长【分析】在R t△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC=a 2，∴AB＝AD+BD=a2+BD，在R t△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（a 2）2+b 2＝（a 2+BD ）2， ∴a 24+b 2=a 24+aBD +BD 2， ∴BD 2+aBD ＝b 2，∵BD 2+aBD ＝b 2与方程x 2+ax ＝b 2相同，且BD 的长度是正数，∴BD 的长该方程x 2+ax ＝b 2的一个正根，故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD 2+aBD ＝b 2是解题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•溧阳市期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m 2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m 的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地．那么老李原来的菜地周长为 54 m ．【分析】根据“如果它的长减少3m ，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多3m ，利用矩形的面积公式列出方程即可．【解答】解：∵长减少3m ，菜地就变成正方形，∴设长方形的宽为xm ，则长为（x +3）m ，根据题意得：x （x +3）＝180，解得：x 1＝12，x 2＝﹣15（不符合题意，舍去），则x +3＝15，这个长方形菜地的长为15m ，宽为12m ，所以老李原来的菜地周长为：2×（15+12）＝54m ．故答案为：54．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．6．（2022•广陵区校级一模）如图，某小区有一块长为36m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m ．【分析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．【解答】解：设人行通道的宽度为x ，将矩形绿地平移，如图所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．7．（2021秋•锡山区校级月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为4√6−6．【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【解答】解：x2+12x+m＝0，x2+12x＝﹣m，∵阴影部分的面积为60，∴x2+12x＝60，设4a＝12，则a＝3，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，则该方程的正数解为√96−6＝4√6−6，故答案为：4√6−6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022春•惠山区期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x 2+ax ＝b 2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x 2+x ﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出AD ，BC 的中点E ，F ，再沿过点A 的直线折叠使AD 落在线段AF 上，点D 的对应点为点H ，折痕为AG ，点G 在边CD 上，连接GH ，GF ，线段BF 、DG 、CG 和GF 中，长度恰好是方程x 2+x ﹣1＝0的一个正根的线段为 DG ．【分析】首先根据方程x 2+x ﹣1＝0解出正根为√5−12，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF ＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ，从而可以用m 表示等式．【解答】解：设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG ＝GH ＝m ，FC ＝0.5，根据勾股定理得AF =√52．∵S 正方形＝S △ABF +S △ADG +S △CGF +S △AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1﹣m ）+12×√52×m ， ∴m =√5−12．∵x 2+x ﹣1＝0的解为：x =−1±√52， ∴取正值为x =√5−12．∴这条线段是线段DG ．故答案为：DG ． 【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．答：每天的销售利润为1050元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋•建湖县校级月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为24﹣3x 米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．【解答】解：（1）设宽AB为x，则长AD ＝BC ＝22﹣3x +2＝（24﹣3x ）米；（2）由题意可得：（22﹣3x +2）x ＝45，解得：x 1＝3；x 2＝5，∴当AB ＝3时，BC ＝15＞14，不符合题意舍去，当AB ＝5时，BC ＝9，满足题意．答：花圃的长为9米，宽为5米．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，用未知数表示出线段的长是解题的关键．11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm /s 的速度向C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出△PQB 的面积为12×PB ×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【解答】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠＝90°．∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB ．∴S △PQB =12•PB •QE ．设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝（6﹣t ）cm ，QB ＝2t （cm ），QE ＝t （cm ）．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t +8＝0．t 1＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．12．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．（1）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A ，B 同时出发，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm /s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm /s 的速度移动，P 、Q 同时出发，问几秒后，△PBQ 的面积为1cm 2？【分析】（1）设经过x 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜t ≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（4＜6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（t ＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分 由题意知：AP ＝x ，BQ ＝2x ，则BP ＝6﹣x ，∴12（6﹣x ）•2x =12×12×6×8， ∴x 2﹣6x +12＝0，∵b 2﹣4ac ＜0，此方程无解，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时此时0＜t ≤4由题意知：12（6﹣t ）（8﹣2t ）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2（不合题意，应舍去），t 2＝5−√2，②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时4＜t ≤6，由题意知：12（6﹣t ）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +25＝0，解得：t 1＝t 2＝5，③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时t ＞6，由题意知：12（t ﹣6）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2，t 2＝5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ 的面积为1．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。
苏科版九年级数学上册初三期末综合复习卷四
C D E F A B O x y 4 4 A ． O x y 4 4 B ． O x y 4 4 C ． O x y 4 4 D ．初中数学试卷 灿若寒星整理制作宜兴外国语学校初三期末综合复习卷（四） 班级 姓名一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+2=0两实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ． 3B ． ﹣3C ． 1D ． ﹣1 2．若=，则的值为（） A． B． C． D ．3．若二次函数y=（a+1）x 2+3x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值必为（ ）A ． 1或﹣1B ． 1C ． ﹣1D ． 04．已知圆锥的底面的半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为（ ）A ． 15πcm 2B ． 16πcm 2C ． 19πcm 2D ． 24πcm 25．下列语句中正确的是（ ）A ． 长度相等的两条弧是等弧B ． 平分弦的直径垂直于弦C ． 相等的圆心角所对的弧相等D ． 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴6．某洗衣机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了990元．设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）A ．1500（1+x ）2=990B ．990（1+x ）2=1500C ．1500（1﹣x ）2=990D ．990（1﹣x ）2=15007.现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =23a a b -+，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x 的值是( )A ．4-或1-B ．4或1-C ．4或2-D ．-4或28．如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF=x ， AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）二、填空题9．在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 个．10．若A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ．11．已知一组数据1，2，x ，5的平均数是4，则x 是 ．这组数据的方差是 ．12．关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13．圆弧的半径为3，弧所对的圆心角为60°，则该弧的长度为 ．14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB 为 ．15.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是 ｍ．（结果不取近似数）16．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．17.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．18.如图是一块学生用直角三角板，其中∠A ′=30°，三角板的边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将直径为4cm 的⊙O 移向三角板，三角板的内△ABC 的斜边AB 恰好等于⊙O 的直径，它的外△A ′B ′C ′的直角边A ′C ′恰好与⊙O 相切（如图2），则边B ′C ′的长为 cm ．三、解答题19．解方程：（1）x 2=2x （2）2x 2﹣4x ﹣1=0 （3）y y y 22)1(3-=-A第20题20．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．21.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．右图是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．22. 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）．（说明：图1，图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本．）请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图2中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．24．如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，求它的解析式；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．。
苏科版九年级数学上册初三期末复习《一元二次方程》(.12.22).docx
初中数学试卷 马鸣风萧萧初三数学期末复习《一元二次方程》(2016.12.22)姓名_________一、知识回顾：1. 只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 次的 方程叫一元二次方程. 一般形式为 _______________________________________________.2.一元二次方程的解法： .3.一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++根的判别式为 ，它的根的情况是：① ______________________________________________________；② ；③ .4 . 设一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两根x 1、x 2，则x 1+x 2= ；x 1.x 2= .5. 一元二次方程的应用：审、设、列、解、验、答二、知识应用1. 关于x 的一元二次方程()01122=-+++m x x m 有一根为0，则m= .2. 已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 ，此时方程的两个根为 .3．如果关于x 的方程0122=+-x mx 有两个不相等的实数根，则m 的范围为 .4．已知方程x 2-5x+2=0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1+x 2= ；x 1.x 2= ，x 1－x 2= ， x 1+x 2－x 1•x 2的值为 .5．已知52-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则c= ，另一个根是 .6．方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．7．若()()06522222=-+-+y x y x ,则()22y x += . 8.已知__________212,01422=++=++a a a a a 则,若,03222=--y xy x 则=+yy x 2 . 9.某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%，从4月份开始涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为 .10. 用适当的方法解方程①()41x 92=- ②()x x x 2213-=- ③ 02y 6y 32=+- ④039)13(2=+--x x11.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1≤x ≤10），求出y 关于x 的函数关系式；（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．练习：1．若()511||=-+m x m 是一元二次方程，则m 的值为 .2．若x 2=4x ，则x= ；若x 2－6x －2=0，则31x 2－2x+1= . 3．已知2是关于x 的一元二次方程x 2+4x-p=0的一个根，则该方程的另一个根是 .4．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到6.345元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．5．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+130x-1400=0B ．x 2+65x-350=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=06．解方程：⑴2412x x =+ ⑵)12(-x 2=2x⑶22)1(9)12(+=-x x ⑷14)3)(23(+=++x x x7．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx –(k －2)=0. (1) 求证：不论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 当k =3时，用配方法解此一元二次方程.8．已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.9．已知：□ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．⑴当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；⑵若AB 的长为2，那么□ABCD 的周长是多少？。
苏科版九年级上册数学一元二次方程单元过关试卷含答案
苏科版九年级数学上册一元二次方程单元过关试卷含答案班级姓名得分一、选择题1.下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.一元二次方程3x2-x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，，B. 3，1，C. 3，，2D. 3，1，23.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A. B. 1 C. 1或 D. 34.若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为（）A. 16B. 12C. 9D. 65.方程x2=4的解是（）A. B.C. ，D. ，6.用配方法解一元二次方程2x2-4x+1=0，变形正确的是（）A. B. C. D.7.一元二次方程x2-4x+3=0的解是（）A. B. ，C. D. ，8.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为()A. B.C. D.二、填空题9.已知m是一元二次方程x2-x-4=0的一个根，则代数式2+m-m2的值是______．10.方程x2－1＝0的解是________．11.如果a是方程x2-2x-1=0的根，那么代数式3a2-6a的值是______．12.一元二次方程x2﹣9=0的解是____．13.把方程y2-4y=6（y+1）整理后配方成（y+a）2=k的形式是______．14.一元二次方程x2+x=3中，a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，则方程的根是______ ．15.一元二次方程3x2=4-2x的解是______．三、解答题16.已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m-1）的值．17.要做一个容积为750 cm3，高为6 cm，底面长比宽多5 cm的无盖长方体铁盒．(1)若设长方体底面宽xcm，则长方体底面长为____________cm，根据题意，可列方程为____________；(2)将(1)中的方程化为一般形式是____________；(3)x可能大于9.1吗？x可能小于8.9吗？请说说你的理由．18.先化简，再求值：（x+1﹣）÷（﹣4），其中x为一元二次方程x2﹣3x＝0的解．19.解方程（1）（2x+3）2-81=0；（2）y2-7y+6=0．20.已知m是方程x2-2x-3=0的一个根，求2m2-4m的值．21.有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2-12x+k=0的两根，求k的值．22.关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0，求a的值及另一根．答案和解析1. D2.A3.C4.D5.D6.C7.D8.B9.-210.x1=1，x2=-1 11.3 12.x1=3，x2=-3 13.（y-5）2=31 14.；1；-3；x1=-1+，x2=-1-15.x1=，x2=16.解：由题意可知：m2+m-1=0，17.解：（1）（x＋5）；6x（x＋5）＝750；（2）x2+5x-125＝0；（3）x不可能大于9.1，也不可能小于8.9，18.解：原式====，由x2-3x=0，得x1=0，x2=3，当x=0时，原分式无意义，当x=3时，原式=．19.解：（1）（2x+3）2=81，2x+3=±9，所以x1=3，x2=-6；（2）（y-1）（y-6）=0，y-1=0或y-6=0，所以y1=1，y2=6．21.解：若边长3为等腰三角形的腰长，则3是方程x2-12x+k=0的一个根，把x=3代入得：9-36+k=0，解得：k=27，解方程x2-12x+27=0得：x=3或x=9，由于长为3，3，9的线段不能构成等腰三角形，故应舍去，若边长3为等腰三角形的底边，则方程x2-12x+k=0有两个相等的实根，则△=144-4k=0，解得：k=36，这时方程x2-12x+36=0有两个相等的解为6，且符合题意，故k=36．22.解：当x=0时，a2+a=0，解得：a1=-1，a2=0．又∵原方程为一元二次方程，∴a=-1，∴原方程为-x2-5x=0，∴方程的另一根为--0=-5．故a的值为-1，方程的另一根为x=-5．。
苏科版九年级上期末专题：第一章一元二次方程(含答案解析)
苏科版九年级数学上册期末专题： 第一章 一元二次方程一、单选题（共10题；共30分）1.一元二次方程x 2+x ﹣6=0的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实根D. 无法确定 2.下列方程中，没有实数根的是（ ）A. x 2﹣4x+4=0B. x 2﹣2x+5=0C. x 2﹣2x=0D. x 2﹣2x ﹣3=03.一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 84.已知方程x 2+bx+a=0有一个根是-a （a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A. abB. a bC. a+bD. a-b 5.用配方法解方程x 2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）A. (x +4)2=9B. (x −4)2=9C. (x −8)2=16D. (x +8)2=57 6.如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm 2 ， 则它移动的距离AA′等于（ ）A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm7.关于 x 的方程 x 2+(k −24)x +k +1=0 的两个根互为相反数，则 k 值是（ ）A. −1B. ±2C. 2D. −28.如果一元二次方程x 2+12x+27=0的两个根是x 1 ， x 2 ， 那么x 1+x 2的值为（ ）A. －6B. －12C. 12D. 279.若关于x 的一元二次方程mx 2﹣x= 14 有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m≥﹣1B.m≥﹣1且m≠0C.m ＞﹣1且m≠0D.m≠010.若关于x 的方程x 2+(2k+1)x-2+k 2=0有实数根，则k 的取值范围是 ( )A. k<94B. k≤-94C. k>94D. k≥-94 二、填空题（共10题；共30分）11.方程（x ﹣3）2=x ﹣3的根是________．12.若关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b 的值是________． 13.一元二次方程 x 2−3x +1=0 根的判别式的值为________.14.方程（x ﹣3）（x ﹣9）=0的根是________．15.方程4x 2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k=________16.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是________。
苏科版初三数学上册《一元二次方程》单元测试卷及答案解析
苏科版初三数学上册《一元二次方程》单元测试卷及答案解析一、选择题1、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．﹣3（x+1）2=2（x+1）C．x2﹣x（x﹣3）=0 D．2、已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( )A．3 B．-3C．2 D．-23、摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10月投放深圳3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程4、方程的解为A．B．，C．，D．，5、把方程x-2x-5=0配方成（x+m）2=n的形式，正确的结果是（）A．(x+1)2=6 B．(x-1)2=6C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=96、关于的方程的一个根为，则另一个根为（）A．B．C．D．7、已知m，n是方程x2+2x﹣1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．C．3 D．±8、已知一元二次方程的两根为a，b，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．9、如果x＝2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－210、如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11、方程x2﹣5x=0的解是_______．12、以3和4为根的一元二次方程是________________________．13、据统计，某市农村居民人均纯收入由2012年的14000元增长到2014年的16940元，则这个市从2012年到2014年的年平均增长的百分率是________．14、设a、b是方程x2+x-2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为_______．15、如果x1、x2是一元二次方程x2-6x-5=0的两个实根，那么x12+x22＝_______．16、当m=______关于x的方程是一元二次方程．17、方程x²-x=0的根是______．18、写出一个一元二次方程，它的根分别为3和-2并且二次项系数为1，_________________19、已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x＋x ＝4，则m的值为___________.20、若方程x2－px + q = 0的两个实数根是2，－3，则二次三项式x2－px + q可以分解为_________三、计算题21、解下列方程：(1) x2+4x-45=0 (2) (x-5)2-2x+10=022、解方程：（1）（2）四、解答题23、已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0，（1）求证：该方程有两个不相等的实数根．（2）若此方程有一个根是1，求出方程的另一个根．24、某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了，从六月起强化管理，该厂产量逐月上升，七月份产量达到648吨．该厂五月份的产量为______吨；直接填结果求六、七两月产量的平均增长率．25、诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；用x的代数式表示每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．26、如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AC=10cm，动点A从点A出发以1cm/s的速度沿AB边运动，同时动点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC边运动．设运动时间为t秒．（1）若△PBQ的面积等于8cm2，求t的值；（2）若PQ的长等于cm，求t的值．参考答案1、B2、B3、A4、B5、B6、B7、C8、A9、B10、B11、x1=0，x2=512、x2－7x＋12＝0．13、10%14、201615、4616、217、0，118、x2-x-6=019、-1或-3 20、（x－2）（x + 3）21、(1)x1=5，x2="-9" (2)x1=5，x2=722、（1）x1＝4＋，x2＝4－；（2）x1＝1，x2＝．23、（1）见解析；（2）x=3．24、（1）450 ；（2）20%.25、(1)、；；(2)、20元或10元；(3)、不能，理由见解析．26、（1）当P、Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2；（2）当t为1或时，PQ的长等于cm．【解析】1、分析：根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．详解：A．当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；B．是一元二次方程，故此选项正确；C．不是一元二次方程，故此选项错误；D．不是一元二次方程，故此选项错误．故选B．点睛：本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2、分析：由韦达定理即可求解.详解：由题意可得：.点睛：考查了韦达定理.3、分析：设增长率为x，10月投放3000（1+x）台，12月投放3000（1+x）2台，由此即可列出方程求解．详解：设增长率为x，由题意得3000（1+x）2=6000．故选：A．点睛：此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式a（1+x）2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．4、分析：先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．详解：x（x-2）=3x，x（x-2）-3x=0，x（x-2-3）=0，x=0，x-2-3=0，x1=0，x2=5，故选：B．点睛：本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5、分析：在把5移项后，左边应该加上一次项系数-2的一半的平方，即可得到结果详解：方程变形得:,配方得:,即,故选B.点睛：此题考查了解一元二次方程-配方法,利用此方法解方程时,首先将方程常数项移到右边,二次项系数化为1,然后两边加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并为一个非负数,开方即可求出解.6、分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.故选B.点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.7、∵m，n是方程x2+2x﹣1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴==3．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．同时也考查了二次根式的化简求值．8、解：由根与系数关系得：．故选．9、把x＝2代入x2－3x＋k＝0，得22－3×2＋k＝0，∴k=2.故选B.10、解：p=a2+2b2+2a+4b+5=（a+1）2+2（b+1）2+2≥2，故选B．点睛：本题考查配方法的应用、非负数的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法和非负数的性质解答．11、解：x2﹣5x=0，x(x-5)=0，∴x1=0，x2=5．故答案为：x1=0，x2=5．12、设以3和4为根的一元二次方程为x2 +mx+n=0，根据根与系数的关系得：3+4=-m，3×4=n，解得：m=-7，n=12．所以方程为x2－7x＋12＝0．13、试题分析：设年平均增长率为x，根据题意可得：14000，则，，解得：(舍去)，即年平均增长率为10%．14、解：∵a是方程x2+x﹣2017=0的根，∴a2+a﹣2017=0，∴a2=﹣a+2017，∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2017﹣1=2016．15、根据韦达定理，得则x12+x22＝16、由题意得：，∴m=2，故答案为：2.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键.17、x²-x=0，x(x-1)=0，∴x1=0，x2=1，故答案为：0，1.18、试题解析：设方程为x2+mx+n=0，∵方程的两个根分别为3，-2，∴3-2=-m， 3×（-2）=n，解得m=-1，n=-6，∴该方程为x2-x-6=019、试题解析：由韦达定理可得：即解得：或经检验，都符合题意.故答案为：或点睛：一元二次方程根与系数的关系：20、根据一元二次方程根与系数的关系可得:p=2+(-3)=-1,q=2×(-3)=-6,所以二次三项为,利用十字相乘法因式分解可得:,故答案为.21、试题分析：（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：解：（1）x2+4x﹣45=0，（x﹣5）（x+9）=0，x﹣5=0，x+9="0，" x1=5，x2=﹣9；（2）（x﹣5）2﹣2x+10=0，整理得：x2﹣12x+35=0，（x﹣5）（x﹣7）=0，x﹣5=0，x﹣7="0，" x1=5，x2=7．22、试题分析：(1)、本题首先将原方程进行配方，然后利用直接开平方的方法求出答案；(2)、本题首先将方程利用十字相乘法进行因式分解，从而求出方程的解．试题解析：(1)、，，则解得：；(2)、移项可得：，因式分解可得：(x-1)(2x-1)=0，解得：．23、分析：（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）把x=1代入方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出另一根即可．详解：（1）方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0．∵a=1，b=﹣（k+2），c=2k﹣1，∴△=（k+2）2﹣4（2k﹣1）=（k﹣2）2+4＞0，则该方程有两个不相等的实数根；（2）把x=1代入方程得：1﹣k﹣2+2k﹣1=0，解得：k=2，设另一根为a，则有a+1=k+2=4，解得：a=3，即方程另一根为x=3．点睛：本题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．24、分析：（1）利用四月份的生产量×（1-10%）可得五月份的产量；（2）设六、七两个月的产量平均增长率为x，根据题意可得：五月份的生产量×（1+增长率）=六月份的产量，再用六月份的生产量×（1+增长率）=七月份的产量，即五月份的产量×（1+增长率）2=七月份的产量．详解：（1）500（1-10%）=450（吨），故答案为：450；（2）设六、七两个月的产量平均增长率为x，依题意得：450（1+x）2=648，（1+x）2=1.44，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2=-220%（不合题意舍去），答：六、七两月产量的平均增长率为20%．点睛：此题主要考查了增长率问题，若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．25、分析：(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．详解：(1)、20+2x；40－x；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000，，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．26、分析：（1）由题意，利用勾股定理求得AB=6，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6﹣t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BQ•PB，列出方程，解答出即可；（2）可设P、Q两点运动t秒时，则PB=6﹣t，BQ=2t，根据勾股定理，可得PQ2=BP2+BQ2，代入整理即可求出．详解：（1）AB==6，设P、Q经过t秒时，△PBQ的面积为8cm2，则PB=6﹣t，BQ=2t．∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴，（6﹣t）2t=8，解得：t1=2，t2=4．答：当P、Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2；（2）设P、Q两点运动t秒时，PQ的长等于cm，则29=（6﹣t）2+（2t）2，解得：t1=1，t2=．答：当t为1或时，PQ的长等于cm．点睛：本题考查了一元二次方程的实际运用，勾股定理的实际运用，利用三角形的面积和勾股定理建立方程是解决问题的关键．。
苏科版九年级上册 一元二次方程测试题
九上一元二次方程测试题班级姓名得分一、选择题1.下面关于x的方程中：①ax2+x+2=0；②3(x−9)2−(x+1)2=1；③x+3=1x；④x2−a=0(a为任意实数)；⑤√x+1=x−1.一元二次方程的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k≥1B. k>1C. k<1D. k≤13.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产钢铁1850吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x,则可得方程()A. 560(1+x)2=1850B. 560+560(1+x)2=1850C. 560(1+x)+560(1+x)2=1850D. 560+560(1+x)+560(1+x)2=18504.若一元二次方程(2m+6)x2+m2-9=0的常数项是0,则m等于()A. −3B. 3C. ±3D. 95.已知实数a,b分别满足a2−6a+4=0,b2−6b+4=0,则ba +ab的值是( )A. 7 或2B. 7C. 9D. −96.关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0的根的情况是( )A. 无法确定B. 有两个不等实根C. 有两相等实根D. 有实根7.下列方程是一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. 3x2−2x=3(x2−2)C. x3−2x−4=0D. (x−1)2+1=08.若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k−2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.9.为喜迎G20,某校团委举办了以“G20”为主题的学生绘画展览,为美化画面,要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图),若设彩纸的宽度为xcm,根据题意可列方程为( )A. (30+2x)(20+2x)=1200B. (30+x)(20+x)=1200C. (30−2x)(20−2x)=600D. (30+x)(20+x)=60010.已知x,y满足{2x−3y=1 ①3x−2y=5 ②,如果①×a+②×b可整体得到x+11y的值,那么a,b的值可以是( )A. a=2,b=−1B. a=−4,b=3C. a=1,b=−7D. a=−7,b=511.关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−5m+4=0,常数项为0,则m值等于( )A. 1B. 4C. 1或4D. 0二、填空题12.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是______．13.关于x的一元二次方程(k−1)x2+6x+k2−k=0的一个根是0,则k的值是______．14.三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2−13x+40=0的根,则该三角形的周长为______．15.−1是方程x2+bx−5=0的一个根,则b=______,另一个根是______．16.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是______．17.原价100元的某商品,连续两次降价后售价为81元,若每次降低的百分率相同,则降低的百分率为______．18.已知方程x2−2x−5=0的两个根是m和n,则2m+4n−n2的值为______ ．19.若把代数式x2−8x+17化为(x−ℎ)2+k的形式,其中h,k为常数,则ℎ+k=______．20.如果关于x的一元二次方程kx2+1=x2−x有一根为2,则k的值是______ ．三、计算题（21.解方程．(1)(3x+2)2=25(2)3x2−1=4x(3)(2x+1)2=3(2x+1)(4)x2−7x+10=0．四、解答题22.为进一步发展基础教育,自2016年以来,某县加大了教育经费的投入,2016年该县投入教育经费6000万元.2018年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2019年该县投入教育经费多少万元．23.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围．24.已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根(2)如果方程的两实根为x1、x2,且x12+x22−x1x2=7,求m的值25.当涂县某旅行社为吸引外地市民组团来大青山风景区旅游,推出了如图对话中的收费标准,上海某单位组织员工去大青山风景区旅游,共支付旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去大青山风景区旅游？26.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2,则道路宽x为______m.27.已知关于x的一元二次方程x2+(2x+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求x12+x22的值．。
苏教版九年级数学上册1.2 一元二次方程的解法 练习题(含答案)
1.2一元二次方程的解法注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共21题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣32．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝03．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（）A．B．C．D．5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是．8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为．9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 010．（2020春•广陵区校级期中）当x＝时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是．14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2（2）x2+4x+2＝0（配方法）16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根．18．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．19．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣1 0 1 2 3 …ax2+bx+3 …0 3 4 …（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣3【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得x＝0或x＝3，故选：B．2．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．故选：D．3．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．【解析】根据题意得：△＝（﹣2）2﹣4×20，即该方程有两个相等的实数根，故选：B．4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（）A．B．C．D．【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．【解析】x2﹣x﹣5＝0，x2﹣3x＝15，x2﹣3x15，（x）2．故选：C．5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解析】∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根【分析】利用题意得x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，则可求出c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，然后计算判别式的值判断方程根的情况．【解析】x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，1+8﹣c＝0，解得c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，因为△＝（﹣8）2﹣4×9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1．【分析】利用因式分解法解方程．【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2＝1．故答案为x1＝﹣2，x2＝1．8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为（x﹣3）2＝11．【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解析】方程x2﹣6x﹣2＝0，移项得：x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．故答案为：（x﹣3）2＝11．9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是2．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0【分析】把表中的两组值代入x2+ax+b得到关于a、b的方程组，解方程组求出b、c，然后计算4a+b的值．【解析】根据题意得，解得，所以方程为x2﹣2x﹣3＝0，所以4a+b＝4×1﹣2＝2．故答案为2．10．（2020春•广陵区校级期中）当x＝1时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．【解析】依题意得：x2﹣x＝x﹣1，∴x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x＝1．故答案为：1．11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m．【分析】利用判别式的意义得到△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，解得m．故答案为m．12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k≥2．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的范围．注意二次根式是非负数．【解析】∵关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（）2﹣4×1×（﹣1）＞0且k﹣2≥0，解得：k≥2．故答案为：k≥2．13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是x或x．【分析】分2＜2x﹣1和2x﹣1≤2两种情况，分别列出方程，解之可得．【解析】①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，x+1＝2x，解得x＝1（舍）；②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，x（2x﹣1）＝x+1，解得x或x，故答案为：x或x．14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是x＝﹣7或x＝4．【分析】将方程变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，将﹣x﹣2看做原方程中的x可得答案．【解析】∵方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，∴方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解得x＝﹣7或x＝4，故答案为：x＝﹣7或x＝4．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2（2）x2+4x+2＝0（配方法）【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程．【解析】（1）y+2＝±（3y﹣1）y+2＝3y﹣1，y+2＝﹣（3y﹣1）y1，y2；（2）x2+4x+4＝2（x+2）2＝2x+2x1＝﹣2，x2＝﹣2．16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解析】（1）∵x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x＝0.5或x＝1；（2）∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，∴x﹣2，∴x＝2．17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b＝2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，解得：b＝2或b＝﹣10．（2）当b＝2时，此时x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝218．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．【解析】（1）由题意，得△＝（2k+1）2﹣8k＝（2k﹣1）2∵（2k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．∵方程有一个根是正数，∴﹣k＞0．∴k＜019．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，解得：k＝12；当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：k的值为12或3．20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；（2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．【解答】（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）＝a2﹣3a+7﹣a﹣2＝a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≥1，∴B﹣A＞0，∴B＞A；（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）＝a2+2a﹣18﹣a﹣2＝a2+a﹣20＝（a+5）（a﹣4）∵a＞2，∴a+5＞0，当2＜a＜4时，a﹣4＜0，∴C﹣A＜0，即A＞C，当a＞4时，a﹣4＞0，∴C﹣A＞0，即A＜C当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣1 0 1 2 3 …ax2+bx+3 …0 3 4 …（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．【分析】（1）通过解方程组求得a、b的值．（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；（3）举出反例．【解析】（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；当x＝1时，a+b+3＝4．可得方程组．解得：．当x＝2时，ax2+bx+3＝3；当x＝3时，ax2+bx+3＝0．故答案是：3；0；（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；（3）甲的说法不正确．举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．乙的说法正确．证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵（x﹣1）2≥0．∴﹣（x﹣1）2+4≤4．∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．。
第1章 一元二次方程(章末复习)九年级数学上册(苏科版)
课堂检测
知识精讲
例3、(1)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a
的值为（ A ）
A．-1
B．1
C．1或-1
D．0.5
(2)若9a-3b+c=0，a≠0，则方程ax²+bx+c=0必有一个根是_______．
-3
知识点4：直接开平方法解一元二次方程
1.1定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程，叫做一元二次方程
1.2三要素：
（1）是整式方程
（2）一元：只含有一个未知数
（3）二次：未知数的最高次数是2
知识点1：一元二次方程的定义
知识梳理
1.3判断一个方程是否是一元二次方程应注意：
（1）“是整式方程”
（2）“只含有一个未知数”
知识梳理
4.1定义：直接通过求平方根来解一元二次方程的方法，叫做直接
开平方法．
适用类型
注意：
方程一般有两解，不要
漏解~
方程的解
x2=k（k≥0）
x=± (当k=0时,x1=x2=0)
(x+h)2=k(h、k为常数,k≥0)
x=-h±
(ax+h)2=k(a、h、k为常数,a≠0,k≥0)
−±
有两个相等的实数根
Δ=b2-4ac<0
没有实数根
知识精讲
课堂检测
例7、若关于x的一元二次方程(k-5)x2-2x+2=0有实数根，则整数k
的最大值为_______．
4
知识梳理
知识点8：因式分解法解一元二次方程
8.1定义：
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的
苏科版九年级上册数学试卷：一元二次方程 单元测试(含答案)
2019-2020学年第一学期九年级数学第一章《一元二次方程》单元测试考试总分：130 分考试时间：120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（）A. B. C. D.2.已知方程有一个根是，则代数式的值是（）A. B.C. D.以上答案都不是3.若关于的一元二次方程的常数项为，则的值等于（）A. B. C.或 D.4.下列方程是一元二次方程的是（）A.B.C.D.5.对于一元二次方程，下列说法：①若，方程有两个不等的实数根；②若方程有两个不等的实数根，则方程也一定有两个不等的实数根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确地只有（）A.①②B.②③C.③④D.①④6.下列说法正确的是（）A.方程是关于的一元二次方程B.方程的常数项是C.当一次项系数为时，一元二次方程总有非零解D.若一元二次方程的常数项为，则必是它的一个根7.解方程的最适当方法应是（）A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法8.若为方程的解，则的值为（）A. B. C. D.9.用配方法解方程，则方程可变形为（）A. B.C. D.10.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（）A. B.或 C.或 D.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.已知一元二次方程，则________．12.把方程整理后配方成的形式是________．13.方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．14.①方程的根是________；②方程的根是________．15.用公式法解方程，其中________，________，________．16.已知，是方程的两个实数根，则的值为________．17.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为________．18.关于的一元二次方程的根的情况是________．19.设，是方程的两根，则________，________．20.一元二次方程的两个实数根为、，则代数式________．（用含的代数式表示）三、解答题（共8 小题，共70 分）21.解方程22.已知关于的方程若方程有两个有理数根，求整数的值若满足不等式，试讨论方程根的情况．23．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；（3）如果实数a，b满足b＝++50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．24.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是元时，销售量是件，而销售单价每涨元，就会少售出件玩具．若商场要获得元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？25.在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．求6、7两月平均每月降价的百分率；如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．26.如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为80平方米？27.如图所示，中，，，．点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？28．某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．（1）求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？参考答案1.B2.B3.A4.B5.D6.D7.A8.D9.D 10.D11.12.13.且14.或或15.16.17.或18.无实数根19.20.21.解：将方程左边因式分解，得；∴或；∴，．，，∴或，∴，；将方程整理，得：；将方程左边因式分解，得：；∴或；∴．整理得出：，，或，，；∵，，；∴．∴；∴，；，∵，，；∴．∴；∴，．22.解：若方程有两个有理数根，则，解得或，若一元二次方程有有理根，则是一个有理数的平方，解得或或，若满足不等式，即，①若，方程只有一个根，②当时，方程为一元二次方程，令，解得，又知，∴当时，，∴方程有两个根，故当时，方程有一个根，当，，时，方程有两个根．23.（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴，解得：a≥0且a≠6．（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝﹣++1＝为负整数，∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，∴a＝7，8，9，12．（3）∵b＝++50，∴a＝5，b＝50，∴方程﹣x2+10x+5＝0，∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，∴原式＝x12•x1+10x22+5x2﹣b，＝（10x1+5）•x1+10x22+5x2﹣50，＝10（x12+x22）+5（x1+x2）﹣50，＝10（x1+x2）2﹣20x1x2+5（x1+x2）﹣50，＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，＝1100．24.该玩具销售单价应定为元或元，售出玩具为件或件．25.设、两月平均每月降价的百分率为，根据题意得，即，解得或（舍去）．∵（元）．∴不会跌破元．26.若矩形猪舍的面积为平方米，长和宽分别为米和米；27.解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分由题意知：，，则，∴，∴，∵，此方程无解，∴线段不能将分成面积相等的两部分；设秒后，的面积为①当点在线段上，点在线段上时此时由题意知：，整理得：，解得：（不合题意，应舍去），，②当点在线段上，点在线段的延长线上时此时，由题意知：，整理得：，解得：，③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时此时，由题意知：，整理得：，解得：，，（不合题意，应舍去），综上所述，经过秒、秒或秒后，的面积为．28.（1）当40≤x≤58时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，60），（58，24）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴当40≤x≤58时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+140；当理可得，当58＜x≤71时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+82．综上所述：y与x之间的函数关系式为y＝．（2）设当天的销售价为x元时，可出现收支平衡．当40≤x≤58时，依题意，得：（x﹣40）（﹣2x+140）＝100×3+150，解得：x1＝x2＝55；当57＜x≤71时，依题意，得：（x﹣40）（﹣x+82）＝100×3+150，此方程无解．答：当天的销售价为55元时，可出现收支平衡．。
2025年初中数学(江苏地区)九年级上册期末复习专题：专题(一) 一元二次方程
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13. (2023·东营)如图,李叔叔想用长为70m的栅栏借助房屋的外墙(外墙足
够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,
另用其他材料).
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640m2的羊圈?
设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x+2=
(72-2x)m.
(1) 根据题意,得x(72-2x)=640.整理,得x2-36x+
第13题
320=0,解得x1=16,x2=20.当x=16时,72-2x=72-2
×16=40;当x=20时,72-2x=72-2×20=32.∴ 当羊圈的长为40m,宽为16m或
长为32m,宽为20m时,能围成一个面积为640m2的羊圈
(m+1)2.整理,得m2-m+3=0.∵ b2-4ac=(-1)2-4×1×3=-11<0,∴ 方程没有实
数根.∴ 不存在一个图形,这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的
平方.
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(2) 羊圈的面积能达到650m2吗?若能,请你给出设计方案;若不能,请说明
理由.
(2) 不能
理由:根据题意,得x(72-2x)=650.整理,
第1章 一元二次方程 单元测试题 (含详案)苏科版九年级数学上册
九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元测试一、单选题（满分32分）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2=1B．x2―2y+1=0C．x2+1x=2D．ax2+bx+c=0 2．一元二次方程2x2―12x―9=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，―12，14B．2，―12，―14C．2，12，14D．2，12，―143．关于x的一元二次方程(a―3)x2+x―a2+9=0的一个根为0，则a的值是（）A．3或―3B．3C．―3D．94．用配方法解一元二次方程x2―6x―10=0，此方程可变形为（ ）A．(x+3)2=19B．(x―3)2=19C．(x+2)2=1D．(x―3)2=15．若4a+2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根为（）A．―2B．0C．2D．―2或26．一元二次方程(x―2)2=x―2的根是（）A．x=2B．x1=1,x2=3C．x=3D．x1=2，x2=3 7．若关于x的一元二次方程x2―4x+2k=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k>2B．k≥2C．k<2D．k≤28．某商品原价为100元，连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（）A．81(1+x)2=100B．100(1―x)2=81C．100(1―2x)=81D．81(1+2x)=100二、填空题（满分32分）9．若(m+1)x m2+1―2x―5=0是关于x的一元二次方程，则m=．10．已知代数式x2―2比2x+1小4，则x=．11．已知关于x的一元二次方程(a―3)x2―2x―3=0有一根为1，则a的值为．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，且x1+x2=5,x1⋅x2=6，则该一元二次方程是．13．若(a2+b2)2―2(a2+b2)―8=0，则代数式a2+b2的值为14．若x1，x2是方程2x2+6x―8=0的两个根，则1x1+1x2的值为．15．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是．16．在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，剩余的空地上种植草坪．根据规划，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是．三、解答题（满分56分）17．用适当的方法解方程：(1)y2―2y―3=0(2)(2t+3)2=3(2t+3)18．已知关于x的一元二次方程mx2―(m+3)x+3=0有两个相等的实数根．求m的值．19．已知关于x的一元二次方程x2―(2k+1)x+2k2=0的两根x1，x2满足x21+x22=5，求k的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1―x2|=25，求m的值．21．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1m宽的门．(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80m2(2)鸡舍面积能否达到86m222．商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？(3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________．参考答案1．解：A．符合一元二次方程的定义，故A符合题意；B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；C．等式左边含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意；D．ax2+bx+c=0中应该a≠0才是一元二次方程，故D不符合题意．故选：A．2．解：∵一元二次方程2x2―12x―9=5可化为：2x2―12x―14=0，∴二次项系数为2、一次项系数为―12、常数项为―14．故选：B．3．解：将x=0代入方程(a―3)x2+x―a2+9=0得：―a2+9=0，解得：a=±3，∵a―3≠0，∴a=―3，故选：C．4．解：∵x2―6x―10=0，∴x2―6x=10，∴x2―6x+9=19，∴(x―3)2=19，故选：B．5．解：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当x=2时，4a+2b+c=0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根为x=2．故选：C．6．解：(x―2)2=x―2，整理得：(x―2)2―(x―2)=0，∴(x―2)(x―2―1)=0，∴x1=2，x2=3，故选：D．7．解：Δ=(―4)2―4×1×2k=16―8k，∵一元二次方程x2―4x+2k=0有实数根，∴Δ≥0，∴16―8k≥0，∴k≤2．故选：D．8．解：由题意得：100(1―x)2=81．故选：B．9．解：由题意知：m2+1=2且m+1≠0，解得m=1，故答案为：1．10．解：根据题意得：x2―2=2x+1―4，解得：x1=x2=1，故答案为：1．11．解：由题意得：(a―3)×12―2×1―3=0，解得：a=8；故答案为：8．12．解：∵该方程的两个根x1，x2满足x1+x2=5,x1⋅x2=6，∴―b1=5，c1=6，则b=―5，c=6，∴此时该方程为x2―5x+6=0．故答案为：x2―5x+6=0．13．解：设a2+b2=x，则原方程换元为x2―2x―8=0，∴(x―4)(x+2)=0，解得x1=4，x2=―2（不合题意，舍去），∴a2+b2的值为4．故答案为：4．14．解：∵x1，x2是方程2x2+6x―8=0的两个根，∴x1+x2=―62=―3，x1⋅x2=―4则1x1+1x2=x1+x2x1x2=―3―4=34故答案为：3415．解：参加聚会的人数为x人，每个人都要握手(x―1)次，根据题意得：1x(x―1)=28，2x(x―1)=28．故答案为:1216．解：设道路的宽为x m，则草坪的长为（32―2x）m，宽为（20―x）m，根据题意得：(32―2x)(20―x)=570．故答案为：(32―2x)(20―x)=570．17．（1）解：配方得：(y―1)2=4，开平方得，y―1=±2，则y―1=2或y―1=―2，解得y1=3，y2=―1；（2）解：(2t+3)2=3(2t+3)，∴(2t+3)2―3(2t+3)=0，∴(2t+3)(2t+3―3)=0，∴2t(2t+3)=0，∴2t+3=0或2t=0，，t2=0．∴t1=―3218．解：∵方程mx2―(m+3)x+3=0有两个相等的实数根，∴Δ=(m+3)2―12m=m2―6m+9=0解得m1=m2=3，∴m的值为3．19．解：根据题意，得x1+x2=2k+1，x1x2=2k2．∵x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2∴(2k+1)2―2×2k2=4k+1=5，解得k=1．20．（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，x2+(m+3)x+m+1=0中a=1，b=m+3，c=m+1，∴Δ=b2―4ac=(m+3)2―4×1×(m+1)=m2+2m+5，∴Δ=(m+1)2+4>0，∴无论m取何值，原方程的判别式恒大于零，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：x2+(m+3)x+m+1=0中a=1，b=m+3，c=m+1，且x1，x2是原方程的两根，|x1―x2|=25，∴x1+x2=―ba =―(m+3)，x1•x2=ca=m+1，∴(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22=(m+3)2，则x12+x22=(m+3)2―2(m+1)，∵|x1―x2|=25，即(x1―x2)2=(25)2，∴x12+x22―2x1x2=20，∴(m+3)2―2(m+1)―2(m+1)=20，整理得，m2+2m―15=0，解方程得，m1=3，m2=―5，∴m的值3或―5．21．（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边AB长为am，则矩形鸡舍的另一边BC长为（26―2a）m．依题意，得a（26―2a）=80，解得a1=5，a2=8．当a=5时，26―2a=16＞12（舍去），当a=8时，26―2a=10＜12．答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；（2）解：当S=86m2，则a（26―2a）=86，整理得：a2―13a+43=0，则Δ=169―172=―3＜0，故所围成鸡舍面积不能为86平方米．题的关键．22．（1）解：根据题意得，现在售出的件数是30+2×5=40，利润是(245―200)×40=45×40=1800元．（2）解：设每件商品降价x元，则现在售价是(250―x)元，利润是(250―x―200)元，售出件数是(30+2x)件，利润达到2100元，∴(250―x―200)(30+2x)=2100，解方程得，x1=20，x2=15，∵为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20，即商品降价20元．（3）解：售价是250―20=230元，利润是230―200=30元，×100%=15%．∴利润率是30200。
九年级上数学(苏科版)期末考试《一元二次方程》试题分类—解答题含答案
九年级上数学苏科版《一元二次方程》试题分类—解答题一．解答题1．解方程：（1）x 2+6x ＝9；（2）3x （x ﹣3）＝3﹣x ．2．关于x 的一元二次方程x 2+mx +m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值．3．计算（或解方程）（1）(3√12−2√13+√48)÷2√3+(√13)2（2）5x +2x +x =3x +1（3）2x 2﹣4x ＝1（配方法）4．阅读理解：已知m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣8n +16）＝0．∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2＝0．∴（m ﹣n ）2＝0，（n ﹣4）2＝0∴n ＝4，m ＝4．方法应用：（1）已知a 2+b 2﹣10a +4b +29＝0，求a 、b 的值；（2）已知x +4y ＝4．①用含y 的式子表示x ： ；①若xy ﹣z 2﹣6z ＝10，求y x +z 的值．5．解方程（1）x −3x −2=12−x（2）x 2﹣4x ﹣5＝06．为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A 、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买A 种口罩生产设备共花费360万元，购买B 种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．（1）求A 、B 两种口罩生产设备的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？7．疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．【销售利润＝销售总额﹣进货成本】．（1）若该商品的单价为43元时，则当天销售商品件，当天销售利润是元；（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．8．小淇准备利用38m长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园．围成的花园的形状是如图所示的矩形CDEF，矩形AEHG和矩形BFHG．若整个花园ABCD（AB＞BC）的面积是30m2，求HG的长．9．受全国生猪产能下降的影响，猪肉价格持续上涨，某超市猪肉8月份平均价格为25元/斤，10月份平均价格为36元/斤，求该超市猪肉价格平均每月增长的百分率．10．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？11．解方程：（1）2x2+3x﹣1＝0（2）xx+2−1=1x−212．关于x的方程mx2+（m+2）x+x4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．13．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．14．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？15．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．①求证：方程必有两个不相等的实数根；①若此方程的一个根是3，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．17．如图，用长6m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2（铝合金条的宽度不计）？18．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．【答案】（1）x1＝﹣3+3√2，x2＝﹣3﹣3√2；（2）x1＝3，x2=−1 3．【解答】解：（1）x2+6x＝9，x2+6x+9＝9+9，（x+3）2＝18，开方得：x+3=±√18，x1＝﹣3+3√2，x2＝﹣3﹣3√2；（2）3x（x﹣3）＝3﹣x，3x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（3x+1）＝0，x﹣3＝0，3x+1＝0，x1＝3，x2=−13．2．【答案】（1）0．（2）证明见解析部分．（3）﹣3或1．【解答】（1）解：由题意，4﹣2m+m﹣2＝0，解得m＝2，∴方程为x2+2x＝0，解得x＝﹣2或0，∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（3）由根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，由若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，则有（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或1．3．【答案】（1）5；（2）原方程无解；（3）x1＝1+√62，x2＝1−√62．【解答】解：（1）原式=32√123−√13÷3+12√483+13＝3−13+2+13＝5；（2）方程两边都乘以x（x+1）得：5x+2＝3x，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，所以x＝﹣1是增根，即原方程无解；（3）2x2﹣4x＝1，x2﹣2x=12，x2﹣2x+1=12+1，（x﹣1）2=32，x﹣1=±√32，x1＝1+√62，x2＝1−√62．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a2+b2﹣10a+4b+29＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2+4b+4）＝0，∴（a﹣5）2+（b+2）2＝0，∴（a﹣5）2＝0，（b+2）2＝0，∴a＝5，b＝﹣2；（2）①∵x+4y＝4，∴x＝4﹣4y；故答案为：x＝4﹣4y；①∵xy﹣z2﹣6z＝10，∴y（4﹣4y）﹣z2﹣6z＝10，∴4y﹣4y2﹣z2﹣6z＝10，∴4y2﹣4y+z2+6z+10＝0，∴（2y﹣1）2+（z+3）2＝0，∴x =12，z ＝﹣3，∴x ＝2，∴y x +z =(12)2−3=2．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x −3x −2=12−x ，方程两边都乘以x ﹣2得：x ﹣3＝﹣1，解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，x ﹣2＝0，所以x ＝2是增根，即原方程无解；（2）x 2﹣4x ﹣5＝0，（x +1）（x ﹣5）＝0，x +1＝0，x ﹣5＝0，x 1＝﹣1，x 2＝5．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A 种口罩生产设备的单价为x 万元，则B 种口罩生产设备的单价为（140﹣x ）万元，依题意有360x =480140−x ，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原方程的解，且符合题意，则140﹣x ＝140﹣60＝80．答：A 种口罩生产设备的单价为60万元，则B 种口罩生产设备的单价为80万元；（2）设每盒口罩可涨价m 元，依题意有（50﹣40+m ）（500﹣20m ）＝6000，解得m 1＝5，m 2＝10（舍去）．故每盒口罩可涨价5元．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件），当天销售利润是250×（43﹣30）＝3250（元）． 故答案为：250，3250；（2）设该商品的销售单价为x 元（x ＞40），则当天的销售量为[280﹣（x ﹣40）×10]件，依题意，得：（x ﹣30）[280﹣（x ﹣40）×10]＝3450，整理，得：x 2﹣98x +2385＝0，整理，得：x 1＝53，x 2＝45．答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品的当天销售利润是3450元．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：设HG 的长为xm ，则BC =32xm ，AB =38−4x 3m ， 由题意得32x •38−4x 3=30解得：x 1＝2，x 2＝7.5由于AB ＞BC ，所以x 2＝7.5不合题意，舍去．答：HG 的长为2m ．9．【答案】见试题解答内容【解答】解：设8、9两个月猪肉价格的月平均增长率为x ．根据题意，得25（1+x ）2＝36，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．答：该超市猪肉价格平均每月增长的百分率是20%．10．【答案】见试题解答内容【解答】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得 100（1+x ）2＝196解得x 1＝0.4＝40%，x 2＝﹣2.4（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．（2）设售价应降低y 元，则每天可售出（200+50y ）千克根据题意，得（20﹣12﹣y ）（200+50y ）＝1750整理得，y 2﹣4y +3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3∵要减少库存∴y 1＝1不合题意，舍去，∴y ＝3答：售价应降低3元．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2x 2+3x ﹣1＝0，b 2﹣4ac ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17，x =−3±√172×2，x1=−3+√174，x2=−3−√174；（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，解得：x=2 3，检验：当x=23时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x=23是原方程的解，所以原方程的解为：x=2 3．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x+x4=0有两个不相等的实数根，∴{x≠0△=(x+2)2−4x⋅x4＞0，解得：m＞﹣1且m≠0．（2）假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，则x1+x2=−x+2x，x1x2=14．∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4(x+2)x=0，∴m＝﹣2．∵m＞﹣1且m≠0，∴m＝﹣2不符合题意，舍去．∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）＝264．整理，得x2﹣25x+84＝0．解方程，得x1＝4，x2＝21（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；50﹣x．（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，整理，得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，∵商城要尽快减少库存，∴x＝25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．15．【答案】见试题解答内容【解答】①证明：∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2+4＞0恒成立，∴△＞0，∴方程必有两个不相等的实数根；①解：∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的一个根是3，∴把x＝3代入原方程得：9﹣3（m+2）+（2m﹣1）＝0，∴解得m＝2，∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，∴原方程的两个根分别为3，1，又∵3和1是直角三角形的边，∴当1为直角三角形的斜边长时，构不成直角三角形，∴当3为直角三角形的斜边长时，即a2+1＝9，∴a＝2√2，所以三角形的周长为：1+3+2√2=4+2√2，∴当1和3都为直角三角形的直角边时，有c2＝1+9＝10，∴c=√10，所以三角形的周长为：1+3+√10=4+√10，∴综上可知，以1和3为边长的直角三角形的周长为：4+√10或4+2√2．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣2＝0，得1+m﹣2＝0，解得m＝1，解方程x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2；（2）∵△＝m2+8＞0，∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：设宽为xm ，则高为6−3x 2m ，由题意得：x ×6−3x 2=1.5， 解得：x 1＝x 2＝1，高是6−32=1.5（米）．答：宽为1米，高为1.5米．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：设销售单价定为x 元，根据题意得：（x ﹣40）[500﹣（x ﹣50）÷0.1]＝8000．解得：x 1＝60，x 2＝80当售价为60时，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40＝16000＞10000，所以舍去． 当售价为80时，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40＝8000＜10000．答：销售单价定为80元．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．则AP ＝x ，QB ＝2x ．∴PB ＝6﹣x ．∴12×（6﹣x ）2x ＝8， 解得x 1＝2，x 2＝4，答：2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）设出发秒x 时△DPQ 的面积等于28cm 2．∵S 矩形ABCD ﹣S △APD ﹣S △BPQ ﹣S △CDQ ＝S △DPQ∴12×6−12×12x −12×2x （6﹣x ）−12×6×（12﹣2x ）＝28，化简整理得 x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，答：2秒或4秒后△PDQ 的面积等于28cm 2；（3）设x 秒后PQ ⊥DQ 时，则∠DQP 为直角，∴△BPQ ∽△CQD ，∴xx xx =xx xx ，设AP ＝x ，QB ＝2x ．∴6−x12−2x =2x 6，∴2x 2﹣15x +18＝0，解得：x =32或6，经检验x =32是原分式方程的根，x ＝6不是原分式方程的根，当x ＝6时，P 点到达B 点、Q 点到达C 点，此时PQ ⊥DQ ．答：32秒或6秒后PQ ⊥DQ ． 20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元， 则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20+4＝24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x 元时，该商品每天的销售利润为1600元，由题意得：（50﹣x ）（20+2x ）＝1600整理得：x 2﹣40x +300＝0∴（x ﹣10）（x ﹣30）＝0∴x 1＝10，x 2＝30∵每件盈利不少于25元∴x 2＝30应舍去．答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元．。
2019年苏科版九年级上册期末专题：第一章一元二次方程(有答案)【精校本】
苏科版九年级数学上册期末专题：第一章一元二次方程一、单选题（共10题；共30分）1.一元二次方程2+﹣6=0的根的情况是（）A. 有两个相等的实根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实根D. 无法确定2.下列方程中，没有实数根的是（）A. 2﹣4+4=0B. 2﹣2+5=0C. 2﹣2=0D. 2﹣2﹣3=03.一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是（）A. 5B. 6C. 7D. 84.已知方程2+b+a=0有一个根是-a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A. abB.C. a+bD. a-b5.用配方法解方程2+8+7=0，则配方正确的是（）A. B. C. D.6.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm7.关于的方程的个根互为相数，则值是（）A. B. C. D.8.如果一元二次方程2+12+27=0的两个根是1，2，那么1+2的值为（）A. －6B. －12C. 12D. 279.若关于的一元二次方程m2﹣= 有实数根，则实数m的取值范围是（）A.m≥﹣1B.m≥﹣1且m≠0C.m＞﹣1且m≠0D.m≠010.若关于的方程2+(2+1)-2+2=0有实数根，则的取值范围是( )A. <B. ≤-C. >D. ≥-二、填空题（共10题；共30分）11.方程（﹣3）2=﹣3的根是________．12.若关于的一元二次方程a2﹣b+2=0（a≠0）的一个解是=1，则3﹣a+b的值是________．13.一元二次方程根判别式的值为________.14.方程（﹣3）（﹣9）=0的根是________．15.方程42﹣+6=0的一个根是2，那么=________16.已知1=3是关于的一元二次方程2-4+c=0的一个根，则方程的另一个根2是________。
一元二次方程根与系数的关系九年级数学上学期期末考试真题汇编(苏科版)
专题2一元二次方程根与系数的关系一．选择题（共4小题）1．（2022春•太仓市期末）关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，利用根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，根据有理数的性质得到x1、x2的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣x﹣2﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣2﹣p2）＝4p2+9＞0，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，根据根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．2．（2022春•兴化市期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A．2B．﹣1C．−12D．﹣2【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2，则原式=x1+x2x1x2=4−2=−2，故选：D．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．3．（2022春•靖江市校级期末）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（）A．x1+x2＞0B．x1•x2＜0C．x1≠x2D．方程的根有可能为0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A 项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．【解答】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；B、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；D、由x1•x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．（2020秋•盐城期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（）A．0B．2020C．4040D．4042【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b ＝﹣1，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1是解题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2022春•泰兴市期末）关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1﹣x1•x2+x2＝2．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣4，则原式＝﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．6．（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为2036．【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，∴2m2+4n2﹣4n+2022＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022＝4m+2+8n+4﹣4n+2022＝4（m+n）+2028＝4×2+2028＝2036，故答案为：2036．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．7．（2022春•通州区期末）已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子(m3−10m+n)(n−2n)的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n−2n=n2−2n=3n n=3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．8．（2022春•启东市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为﹣2．【分析】由韦达定理知x1+x2＝3，将其代入到x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6求得x2＝﹣1，代回方程中即可求得m的值．【解答】解：由题意知x1+x2＝3，∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，∴3﹣3x2＝6，解得：x2＝﹣1，代入到方程中，得：1+3+2m＝0，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了方程的解的概念．三．解答题（共4小题）9．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，可解得k＜1312且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2＝0，∴−2k−3k−1=0，∴k=3 2，又∵k＜1312且k≠1∴k不存在．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q ＝0的两根时，x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ．10．（2021春•高港区期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x 1，x 2，若12x 1＝3−12x 2，求方程的两个根． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0来证明即可；（2）解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵Δ＝（4m ）2﹣4×1×（4m 2﹣9）＝16m 2﹣16m 2+36＝36＞0， ∴已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x =4m±62×1=2m ±3，∵12x 1=3−12x 2，∴x 1+x 2＝6，∵x 1+x 2＝4m ，∴4m ＝6，∴m =32，∴x =2×32±3，∴x 1＝6，x 2＝0．ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法．11．（太仓市期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程的两根分别为x 1，x 2，且满足|x 1+x 2|＝2x 1x 2，求k 的值．【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出Δ＝b 2﹣4ac 的值大于0，建立关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝2（k ﹣1），x 1x 2＝k 2﹣1，再将它们代入|x 1+x 2|＝2x 1x 2，即可求出k 的值．【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣1）＝4k 2﹣8k +4﹣4k 2+4＝﹣8k +8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1；（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，∵|x1+x2|＝2x1x2，∴|2（k﹣1）|＝2k2﹣2，∵k＜1，∴2﹣2k＝2k2﹣2，化简得k2+k﹣2＝0，∴k＝1（舍）或k＝﹣2，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=−ba；（5）x1•x2=ca．12．（2020春•海陵区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）证明判别式大于0即可．（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题．【解答】（1）解：由题意，4﹣2m+m﹣2＝0，解得m＝2，∴方程为x2+2x＝0，解得x＝﹣2或0，∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（3）由根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，由若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，则有（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或1．【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．一．选择题（共4小题）1．（2022秋•工业园区校级月考）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019B．2020C．2021D．2022【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2022，则m2+2m+n＝2022+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的实数根，∴m2+m﹣2022＝0，∴m2+m＝2022，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2022+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝2022﹣1＝2021．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．也考查了一元二次方程的解．2．（2021•徐州模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，推出x1和x2互为负倒数，再逐个判断即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，即x1和x2互为负倒数，∴x1≠x2，即选项A符合题意，选项B（当k为负数时，x1+x2＜0）、选项C（x1•x2＝﹣1＜0）、选项D（x1和x2不一定都是负数）都不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解此题的关键．3．（2020秋•锡山区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（）个．①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．A．1B．2C．3D．4【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，④用求根公式求出两个根，当1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1=−1p，x2＝﹣q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax 2+bx +c ＝0的根为：x 1=−b+√b 2−4ac 2a ，x 2=−b−√b 2−4ac 2a ， 若x 1＝2x 2，则−b+√b 2−4ac 2a =−b−√b 2−4ac 2a ×2， 即−b+√b 2−4ac 2a −−b−√b 2−4ac 2a ×2=0， ∴b+3√b 2−4ac 2a =0，∴b +3√b 2−4ac =0，∴3√b 2−4ac =−b ，∴9（b 2﹣4ac ）＝b 2，∴2b 2＝9ac ．若2x 1＝x 2时，则−b+√b 2−4ac 2a ×2=−b−√b 2−4ac 2a ， 则−b+√b 2−4ac 2a ×2−−b−√b 2−4ac 2a =0， ∴−b+3√b 2−4ac 2a =0，∴−b +3√b 2−4ac =0，∴b =3√b 2−4ac ，∴b 2＝9（b 2﹣4ac ），∴2b 2＝9ac ．故④正确，∴正确的有：②③④共3个．故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．4．（2021•武进区校级自主招生）设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＜−211B ．27＜a ＜25C ．a ＞25D ．−211＜a ＜0 【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0，x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得−27＜a＜25，∵x1+x2=−a+2a，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9+a+2a+1＜0，解得−211＜a＜0，最后a的取值范围为：−211＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜−211（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞−2 11，∴−211＜a＜0，故选：D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1x2=ca．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•宿城区校级月考）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则x12−x2的值为2022．【分析】由一元二次方程解的定义得到：x12=2021﹣x1；由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣1；将x12=2021﹣x1，x1+x2＝﹣1代入整理后的代数式求值．【解答】解：∵x1是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的根，∴x12+x1﹣2021＝0，∴x12=2021﹣x1，∴x12−x2＝2021﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）+2021，∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，∴原式＝﹣（﹣1）+2021＝2022．故答案为：2022．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程ax2+bx+＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．6．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝245．【分析】根据菱形的性质得出AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，求出∠AOB＝90°，根据勾股定理得出AO2+BO2＝25，根据根与系数的关系得出2AO+2BO＝2（m+1），2AO•2BO＝8m，变形后代入求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°，∴AO 2+BO 2＝AB 2＝52＝25，∵对角线AC ，BD 的长度分别是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +8m ＝0的两实数根， ∴2AO +2BO ＝2（m +1），2AO •2BO ＝8m ， ∴AO +BO ＝m +1，AO •BO ＝2m ，∴AO 2+BO 2＝（AO +BO ）2﹣2AO ×BO ＝25， ∴（m +1）2﹣4m ＝25， 解得：m 1＝6，m 2＝﹣4，∴当m ＝﹣4时，AO •BO ＝﹣8＜0，不符合题意，舍去， 即m ＝6，则AO •BO ＝12，AC •BD ＝2AO •2BO ＝4AO •BO ＝48， ∵DH 是AB 边上的高，∴S 菱形ABCD ＝AB •DH =12AC •BD ， ∴5DH =12×48， ∴DH =245． 故答案为：245．【点评】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m 的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．7．（2021•南通模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2018+1β2018的值为40362019．【分析】利用根与系数的关系得到α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2018+β2018＝﹣2，α2018β2018＝﹣2018×2019．把原式变形，再代入，即可求出答案．【解答】解：∵x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0，m ＝1，2，3，…，2018， ∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2； α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3； …α2018+β2018＝﹣2，α2018β2018＝﹣2018×2019．∴原式=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+⋯+α2018+β2018α2018β2018=21×2+22×3+23×4+⋯+22018×2019＝2×（1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019）＝2×（1−12019）=40362019， 故答案为：40362019．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．8．（2020秋•常州期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号） ①方程x 2﹣x ﹣2＝0是倍根方程；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程：则4m 2+5mn +n 2＝0； ③若p ，q 满足pq ＝2，则关于x 的方程px 2+3x +q ＝0是倍根方程； ④若方程以ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，则必有2b 2＝9ac ． 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m 、n 之间的关系，而m 、n 之间的关系正好适合，③当p ，q 满足pq ＝2，则px 2+3x +q ＝（px +1）（x +q ）＝0，求出两个根，再根据pq ＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，④用求根公式求出两个根，当x 1＝2x 2，或2x 1＝x 2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解答】解：①解方程x 2﹣x ﹣2＝0得，x 1＝2，x 2＝﹣1，得，x 1≠2x 2， ∴方程x 2﹣x ﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程，x 1＝2， 因此x 2＝1或x 2＝4， 当x 2＝1时，m +n ＝0， 当x 2＝4时，4m +n ＝0，∴4m 2+5mn +n 2＝（m +n ）（4m +n ）＝0， 故②正确；③∵pq ＝2，则：px 2+3x +q ＝（px +1）（x +q ）＝0， ∴x 1=−1p ，x 2＝﹣q ， ∴x 2＝﹣q =−2p =2x 1， 因此是倍根方程，故③正确；④方程ax 2+bx +c ＝0的根为：x 1=−b+√b 2−4ac 2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a，若x 1＝2x 2，则，−b+√b 2−4ac2a=−b−√b 2−4ac2a×2，即，−b+√b 2−4ac2a −−b−√b 2−4ac2a×2＝0，∴b+3√b 2−4ac2a=0，∴b +3√b 2−4ac =0， ∴3√b 2−4ac =−b ∴9（b 2﹣4ac ）＝b 2， ∴2b 2＝9ac ． 若2x 1＝x 2时，则，−b+√b 2−4ac2a×2=−b−√b 2−4ac 2a， 即，则，−b+√b 2−4ac2a×2−−b−√b 2−4ac2a=0， ∴−b+3√b 2−4ac2a=0，∴﹣b +3√b 2−4ac =0， ∴b ＝3√b 2−4ac ， ∴b 2＝9（b 2﹣4ac ）， ∴2b 2＝9ac ． 故④正确， 故答案为：②③④【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三．解答题（共4小题）9．（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k +1）x +k 2+k +3＝0（k 为常数）．（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k 的值；（2）是否存在满足条件的常数k ，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k ；（2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k．【解答】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，∴此方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k﹣8＝0，k＝2，（2）不存在，理由如下：∵该方程的两解是菱形的两对角线长，∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，设菱形的两对角线长a，b．∵菱形的两对角线互相垂直平分，∴由勾股定理得，(b2)2+(a2)2=4，b2 4+a24=4，b2+a2＝16，∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，（a+b）2﹣2ab＝16，[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，解得k=−3±3√52，∵Δ＝4k﹣8，∴4k﹣8≥0．∴k≥2，∵k=−3±3√52＜2，∴不存在满足条件的常数k．【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点．10．（2022秋•惠山区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴Δ＝25﹣4m≥0，解得，m≤25 4；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．11．（2022秋•沭阳县校级月考）阅读材料并解决下列问题：材料1若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝−15．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2=−ba=−2，x1x2=c a=−15．（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，∴x1+x2=−ba=−2，x1x2=c a=−15．故答案为：﹣2，−1 5；（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，∴m+n＝1，mn=−1 3，∴m2n+mn2＝mn（m+n）=−13×1=−13；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，∴p+2q＝7，2pq＝2，∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．12．（江都区月考）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝5，x1x2＝3．（2）应用：求一些代数式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．【分析】（1）利用题目中所给关系直接求解即可；（2）①利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；②把a3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b﹣5，再利用根的定义及根与系数的关系可求得答案．【解答】解：（1）∵方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3，故答案为：5；3；（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x1x2＝2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；②∵互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，∴a、b为方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a+b＝1，a2﹣a＝5，∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6．【点评】本题主要考查根与系数的关系，理解一元二次方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系是解题的关键．。
解一元二次方程九年级数学上学期期末考试真题汇编(苏科版)
专题01 解一元二次方程一．选择题（共4小题）1．（2022春•惠山区校级期末）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，配方后可变形为（ ） A．（x﹣4）2＝17B．（x﹣4）2＝18C．（x﹣8）2＝1D．（x﹣4）2＝1【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程x2﹣8x﹣1＝0，整理得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（2022春•如皋市期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A．9B．10C．11D．12【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2022春•吴江区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5的根的情况为（ ）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【分析】先利用新定义得到x2﹣2x+2＝5，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x※2＝5，∴x2﹣2x+2＝5，即x2﹣2x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2022春•宿豫区期末）下列关于x 的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2﹣4x +4＝0B ．x 2﹣mx +4＝0C ．x 2﹣4x ﹣m ＝0D ．x 2﹣4x ﹣m 2＝0【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．【解答】解：A 、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，该方程有两个相等的实数根，不符合题意； B 、Δ＝（﹣m ）2﹣4×1×4＝m 2﹣16，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；C 、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）＝16+4m ，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；D 、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）2＝16+4m 2＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D ．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2022春•宝应县期末）一个直角三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +12＝0的两根，则该直角三角形的面积是 6或3√72．【分析】先解出方程x 2﹣7x +12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵x 2﹣7x +12＝0， ∴x ＝3或x ＝4．①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是12×3×4＝6；②当长是4的边是斜边时，第三边是√42−32=√7，该直角三角形的面积是12×3×√7=3√72．故答案为：6或3√72．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．6．（2022春•亭湖区校级期末）一元二次方程x 2﹣4x +3＝0配方为（x ﹣2）2＝k ，则k 的值是 1 ．【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k 的值． 【解答】解：∵x 2﹣4x +3＝0， ∴x 2﹣4x ＝﹣3， ∴x 2﹣4x +4＝﹣3+4， ∴（x ﹣2）2＝1，∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0配方为（x ﹣2）2＝k ， ∴k ＝1， 故答案为：1．【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．7．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 a ＜3且a ≠2 ．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根， ∴{ᵄ−2≠0△=22−4(ᵄ−2)×1＞0， 解得：a ＜3且a ≠2． 故答案为：a ＜3且a ≠2．【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．8．（2021秋•溧阳市期末）若一元二次方程x 2﹣4x +k +2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k ＜2 ．【分析】根据根的判别式得出Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（k +2）＞0，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +k +2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（k +2）＝8﹣4k ＞0， 解得：k ＜2， 故答案为：k ＜2．【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式得出关于k 的不等式是解此题的关键． 三．解答题（共4小题）9．（2022春•姜堰区期末）解下列方程： （1）x 2﹣6x ﹣4＝0； （2）ᵆ+1ᵆ−1−4ᵆ2−1=1．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）方程两边都乘（x +1）（x ﹣1）得出（x +1）2﹣4＝（x +1）（x ﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）x 2﹣6x ﹣4＝0， x 2﹣6x ＝4，配方，得x 2﹣6x +9＝4+9， （x ﹣3）2＝13， 开方得：x ﹣3=±√13，解得：x 1＝3+√13，x 2＝3−√13； （2）ᵆ+1ᵆ−1−4ᵆ2−1=1， ᵆ+1ᵆ−1−4(ᵆ+1)(ᵆ−1)=1，方程两边都乘（x +1）（x ﹣1），得（x +1）2﹣4＝（x +1）（x ﹣1）， 解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，（x +1）（x ﹣1）＝0， 所以x ＝1是增根， 即原方程无解．【点评】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．10．（2022春•玄武区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）． （1）求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根： （2）若x ＝2是方程的根，则m 的值为5±√52．【分析】（1）根据根的判别式求出Δ＝（m ﹣4）2+8，再根据根的判别式得出答案即可； （2）把x ＝2代入方程，得出关于m 的一元二次方程，再求出方程的解即可． 【解答】（1）证明：2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0，Δ＝（﹣3m ）2﹣4×2×（m 2+m ﹣3）＝9m 2﹣8m 2﹣8m +24＝m 2﹣8m +24＝（m ﹣4）2+8， 因为不论m 为何值，（m ﹣4）2≥0， 即Δ＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x ＝2代入方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0得：2×22﹣3m ×2+m 2+m ﹣3＝0， 整理得：m 2﹣5m +5＝0， 解得：m =5±√52， 故答案为：5±√52．【点评】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的解等知识点，能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键．11．（2022春•张家港市期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m 2﹣2mm +2n 2﹣8n +16＝0，求m 、n 的值． 解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0， ∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣8n +16）＝0， ∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2＝0， ∴（m ﹣n ）2＝0，（n ﹣4）2＝0， ∴n ＝4，m ＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a 2+4ab +5b 2+6b +9＝0，求a ＝ 6 ，b ＝ ﹣3 ；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝0，求c 的值；（3）若A ＝3a 2+3a ﹣4，B ＝2a 2+4a ﹣6，试比较A 与B 的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）将a 2+4ab +5b 2+6b +9＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a ，b 的值；（2）将a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a ，b 的值，根据三角形的三边关系求出c ；（3）让多项式3a 2+3a ﹣4与2a 2+4a ﹣6作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小． 【解答】解：（1）a 2+4ab +5b 2+6b +9＝a 2+4ab +4b 2+b 2+6b +9＝（a +2b ）2+（b +3）2＝0， ∴a +2b ＝0，b +3＝0， 解得a ＝6，b ＝﹣3． 故答案为：6，﹣3；（2）a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝a 2﹣4a +4+2b 2﹣4b +2＝（a ﹣2）2+2（b ﹣1）2＝0， ∴a ﹣2＝0，b ﹣1＝0，解得a＝2，b＝1，∵a、b、c是△ABC的三边长，∴1＜c＜3，∵c是正整数，∴c＝2；（3）A＞B，理由如下：∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6＝a2﹣a+2＝（a−12）2+74，∵（a−12）2≥0，∴（a−12）2+74＞0，∴A＞B．【点评】本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题． 12．（2021春•无锡期末）阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．请用“配方法”解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+5．（2）已知ab=34，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值． 【分析】（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）利用完全平方公式将a2﹣2ab+4b2进行因式分解，转化为含有ab=34，a+2b＝3的式子即可求解；（3）设另一个因式为4x+n，将（x+2）（4x+n）展开，得出一次项的系数，继而求出m 的值．【解答】解：（1）a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣4＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）＝（a ﹣1）（a﹣5）；（2）∵ab=34，a+2b＝3，∴a2﹣2ab+4b2＝a2+4ab+4b2﹣6ab＝（a+2b）2﹣6ab＝32﹣6×34=92；（3）4x2+12x+m＝4（x2+3x+ᵅ4）＝4[（x+32）2−9−ᵅ4]，∵有一个因式为x+2，∴9−ᵅ4=（12）2=14，∴9﹣m＝1，∴m＝8．【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，配方法的应用等知识，掌握公式的应用是解题的关键．一．选择题（共4小题）1．（2021春•秦淮区期末）一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】根据方程有两个相等的实数根得出b2﹣4ac＝0，再求出a即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＝0，解得：a＝1，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2．（宿迁期末）若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤16B．k≤1 16C．k≤16，且k≠0D．k≤116，且k≠0【分析】分类讨论：当k＝0，方程变形为﹣x+4＝0，此一元一次方程有解；当k≠0，Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，方程有两个实数解，得到k≤116且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围．【解答】解：当k＝0时，﹣x+4＝0，此时x＝4，有实数根； 当k≠0时，∵方程kx2﹣x+4＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，解得：k≤116，此时k≤116且k≠0；综上，k≤116．故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac间的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（常熟市期末）已知关于x的方程x2+kx+1＝0和x2﹣x﹣k＝0有一个根相同，则k的值为（ ）A．﹣1B．0C．﹣1或2D．2【分析】把两个方程相减，求出x的值，代入求出k的值．【解答】解：方程x2+kx+1＝0减去x2﹣x﹣k＝0，得（k+1）x＝﹣k﹣1，当k+1≠0时，解得：x＝﹣1．把x＝﹣1代入方程x2﹣x﹣k＝0，解得k＝2．当k+1＝0时，k＝﹣1代入方程得x2﹣x+1＝0在这个方程中Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无解．故选：D．【点评】灵活求出方程的一个根，代入求出k的值．4．（如皋市校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若b＝2√ᵄᵅ，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（ ）A．只有①②③ B．只有①②④ C．①②③④ D．只有③④【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．【解答】解：①若b＝2√ᵄᵅ，方程两边平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c ＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac＝0中根的判别式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac2+bc+c＝0成立，当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，可得x 0=−ᵄ±√ᵄ2−4ᵄᵅ2ᵄ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2， 综上所述其中正确的①②④． 故选：B ．【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x 0，整体代入求b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2． 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 二．填空题（共4小题）5．（2020秋•新吴区期末）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为 m ＜4 ．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m ＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m ＞0， 解得：m ＜4． 故答案为：m ＜4．【点评】此题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．（鼓楼区期末）如果关于x 的一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是x 1＝m +1与x 2＝2m ﹣4，那么ᵄᵄ的值为 4 ．【分析】先求出方程的根，得出关于m 的不等式，求出m 的值，代入后即可求出答案． 【解答】解：解方程ax 2＝b得：x 2=ᵄᵄ，∵关于x 的一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是x 1＝m +1与x 2＝2m ﹣4， ∴（m +1）2=ᵄᵄ，（2m ﹣4）2=ᵄᵄ， ∴b ＝a （m +1）2，b ＝a （﹣2m +4）2，∵关于x 的一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是x 1＝m +1与x 2＝2m ﹣4， ∴m +1＝﹣2m +4（m +1和﹣2m +4互为相反数）， 解得：m ＝1，方程的两根为±2，即4=ᵄᵄ，b＝4a，∴ᵄᵄ=4ᵄᵄ=4，故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程转是解此题的关键．7．（镇江期末）已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足√ᵄ−3+ᵄ2−4ᵄ+4=0，则c 的取值范围是 1＜c＜5．【分析】由两非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，利用三角形的三边关系即可得出c的范围．【解答】解：∵√ᵄ−3+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，则c的范围为3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（滨湖区期末）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 x3＝0，x4＝﹣3．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1， 解得x＝0或x＝﹣3．故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 10．（玄武区期末）已知：关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0． （1）若这个方程有实数根，求k的取值范围．（2）若此方程有一个根是1，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣8k+24≥0，解之即可得出k的取值范围；（2）将x＝1代入原方程，解之即可求出k值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k﹣2）＝﹣8k+24≥0，解得：k≤3．（2）将x＝1代入原方程得1﹣2（k﹣2）+k2﹣2k﹣2＝k2﹣4k+3＝（k﹣1）（k﹣3）＝0，解得：k1＝1，k2＝3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程有实数根，找出Δ＝﹣8k+24≥0；（2）将x＝1代入原方程求出k值． 11．（鼓楼区校级期末）学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现： 因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x ﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+ 6．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝ 1，b＝ ﹣2．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．【分析】利用配方法、偶次方的非负性计算即可．【解答】解：（1）①a2+6a+15＝a2+6a+9+6＝（a+3）2+6，故答案为：6；②（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，（a﹣1）2+（b+2）2＝0，a﹣1＝0，b＝2＝0，解得，a＝1，b＝﹣2，故答案为：1；﹣2；（2）m2+4m+n2﹣6n+13＝0，m2+4m+4+n2﹣6n+9＝0，（m+2）2+（n﹣3）2＝0，m+2＝0，n﹣3＝0，解得，m＝﹣2，n＝3，（3）3x3+2x2﹣4x﹣3﹣（3x3+x2+2x﹣12）＝3x3+2x2﹣4x﹣3﹣3x3﹣x2+2x+12＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2≥0，则3x3+2x2﹣4x﹣3≥3x3+x2+2x﹣12．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．12．（鼓楼区校级期末）先阅读后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．利用以上解法，解下列问题：（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x和y的值； （2）同理可得a和b的值，再由三角形的三边关系可得c的值．【解答】解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1；（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，∴a＝6，b＝4，∵△ABC为等腰三角形，∴c＝4或6．【点评】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式．。
九年级上数学苏科版 《一元二次方程》试题分类—解答题含答案
九年级上数学（苏科版）《一元二次方程》试题分类—解答题一．解答题1．某商店以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件．第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，该商店为增加销售量决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多销售出10件，但最低单价应不低于50元，第二个月结束后，该商店对剩余的T恤一次性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元，（1）填表（用含x的代数式完成表格中的①①①处）时间第一个月第二个月清仓单价（元）80①40销售量（件）200①①（2）如果该商店希望通过销售这800件T恤获利9000元，那么第二个月单价降低多少元？2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．3．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣10123…ax2+bx+3…034…（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．4．某旅游纪念品店购进一批旅游纪念品，进价为6元．第一周以每个10元的价格售出200个、第二周决定降价销售，根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这两周一共获利1400元．（1）设第二周每个纪念品降价x元销售，则第二周售出个纪念品（用含x代数式表示）；（2）求第二周每个纪念品的售价是多少元？5．用一条长48cm的绳子围矩形（1）怎样围成一个面积为128cm2的矩形？（2）能围成一个面积为145cm2的矩形吗？为什么？6．某商店购进一批家电，单价40元，第一周以每个52元的价格售出180个．商店为了适当增加销量，第二个周决定降价销售．根据市场调研，售价每降1元，一周可比原来多售出10个，已知商店两周共获利4160元，问第二个周每个小家电的售价降了多少元？7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．8．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．9．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0（2）（2x﹣3）2＝3（2x﹣3）10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．11．解下列方程：（1）x2﹣16＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．12．解方程：（x﹣2）2＝﹣3（x﹣2）﹣213．水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示，需要化简）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？14．已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0（1）若原方程有实数根，求k的取值范围？（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程．15．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0．（1）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根；（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．16．诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．17．某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：请结合以上信息，解答下列问题：（1）求甲、乙两种商品的进货单价；（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润＝零售单价﹣进货单价）18．随着“五一”小长假的来临，某旅行社为了吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：若某单位组织员工去古城旅游，预计将付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去古城旅游？19．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．20．运城百货大楼经过重新装修后，面向公众开放．经过一段时间的营业后，某品牌儿童服装销售者发现：某款式童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，该老板决定降价促销，经调查发现如果每件降价1元，那么每天可多售出2件．若想要每天盈利1200元并尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？21．我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，a2有最小值0．【应用】：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝；（2）代数式m2+3的最小值是；【探究】：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9＝n2+4n+4+5＝（n+2）2+5∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．【拓展】：（1）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．（2）若y＝﹣4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共21小题） 1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得答案为：80﹣x ；200+10x ；800﹣200﹣（200+10x ）． （2）由题意得：80×200+（80﹣x ）（200+10x ）+40[800﹣200﹣（200+10x ）]﹣50×800＝9000 整理得：10x 2﹣200x +1000＝0 ∴x 2﹣20x +100＝0 ∴x 1＝x 2＝10当x ＝10时，80﹣x ＝70＞50，符合题意． 答：第二个月单价降低10元． 2．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：x 2﹣（m +2）x +m ＝0， b 2﹣4ac ＝[﹣（m +2）]2﹣4m ＝m 2+4， ∵不论m 为何值，m 2+4＞0，∴不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 2﹣（m +2）x +m ＝0的一个根是2， ∴代入得：4﹣2（m +2）+m ＝0， 解得：m ＝0， 即方程为x 2﹣2x ＝0， 解得：x 1＝0，x 2＝2，即m ＝0，方程的另一个根为0． 3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当x ＝﹣1时，a ﹣b +3＝0； 当x ＝1时，a +b +3＝4． 可得方程组{a −a =−3a +a =1．解得：{a =−1a =2．当x ＝2时，ax 2+bx +3＝3； 当x ＝3时，ax 2+bx +3＝0． 故答案是：3；0；（2）言之有理即可，比如当x ＜1时，（ax 2+bx +3）随x 的增大而增大；当x ＝﹣2和x ＝4时，代数式（ax 2+bx +3）的值是相等的；故答案是：当x ＝﹣2和x ＝4时，代数式（ax 2+bx +3）的值是相等的（答案不唯一）；（3）甲的说法不正确．举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．乙的说法正确．证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵（x﹣1）2≥0．∴﹣（x﹣1）2+4≤4．∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第二周每个纪念品降价x元销售，则第二周售出（200+50x）个旅游纪念品，故答案是：（200+50x）；（2）根据题意得：（10﹣6）×200+（10﹣6﹣x）（200+50x）＝1400，整理得：x2﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10﹣x＝8．答：第二周每个纪念品的销售价格为8元．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设矩形的一边长为xcm，则该边的邻边长为（24﹣x）cm．（1）根据题意得：x（24﹣x）＝128，解得：x1＝16，x2＝8，∴24﹣x＝8或16．答：围成长为16cm、宽为8cm的矩形，该矩形的面积为128cm2．（2）根据题意得：x（24﹣x）＝145，整理得：x2﹣24x+145＝0．∵△＝（﹣24）2﹣4×1×145＝﹣4＜0，∴此方程无实根，∴不能围成一个面积为145cm2的矩形．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：设第二周每个小家电的售价降了x元，则由题意得（180+10x）（52﹣x﹣40）+180（52﹣40）＝4160化简得x2+6x﹣16＝0解得x1＝2，x2＝﹣8（不符题意，舍去）答：第二周每个小家电降价2元7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1；（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，∵|x1+x2|＝2x1x2，∴|2（k﹣1）|＝2k2﹣2，∵k＜1，∴2﹣2k＝2k2﹣2，化简得k2﹣k﹣2＝0，∴k＝1（舍）或k＝﹣2，∴k＝﹣2．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意知，△＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（n﹣1）]＞0，解得n＞0；（2）∵n＞0且n为取值范围内的最小整数，∴n＝1，则方程为x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．9．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝2，则△＝16﹣4×1×2＝8＞0，∴x=4±2√22=2±√2，∴x1＝2+√2，x2＝2−√2；（2）∵（2x﹣3）2＝3（2x﹣3），∴（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）＝0，∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣3）＝0，即（2x﹣3）（2x﹣6）＝0，则2x﹣3＝0或2x﹣6＝0，解得x1=32，x2＝3．10．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣16＝0，∴x2＝16，则x1＝4，x2＝﹣4；（2）∵x2﹣5x﹣6＝0，∴（x+1）（x﹣6）＝0，则x+1＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝6．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（x﹣2）2＝﹣3（x﹣2）﹣2，（x﹣2）2+3（x﹣2）+2＝0，（x﹣2+1）（x﹣2+2）＝0，x﹣2+1＝0，x﹣2+2＝0，x1＝1，x2＝0．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+a0.1×20＝100+200x（斤）；故答案为：（100+200x），（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x=12或x＝1，当x=12时，销售量是100+200×12=200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．4﹣1＝3，答：老板需将每斤的售价定为3元． 14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由已知得：△＝4﹣4k ＝≥0， 解得：k ≤1．∴若原方程有实数根，k 的取值范围为k ≤1． （2）当k ＝0时，原方程为x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）＝0， 解得：x 1＝0，x 2＝2． 15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将x ＝2代入方程x 2+mx +m ﹣3＝0得4+2m +m ﹣3＝0，解得m =−13， 方程为x 2−13x −103=0，即3x 2﹣x ﹣10＝0， 解得x 1=53，x 2＝﹣2． （2）∵△＝m 2﹣4（m ﹣3） ＝m 2﹣4m +12 ＝（m ﹣2）2+8＞0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40﹣x 元， 故答案为：（20+2x ），（40﹣x ）；（2）根据题意，得：（20+2x ）（40﹣x ）＝1200 解得：x 1＝20，x 2＝10（舍去）答：每件童装降价20元，平均每天赢利1200元； （3）不能，∵（20+2x ）（40﹣x ）＝2000 此方程实数根， 故不可能做到平均每天盈利2000元． 17．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲商品进货单价x 元，乙商品进货单价y 元． 依题意，得{a +a =33a +2a =7解得：{a =1a =2．答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元． （2）依题意，得（2﹣m ﹣1）•（500+1000m ）+（3﹣2）×1300＝1800（1﹣m）•（500+1000m）＝500即2m2﹣m＝0∴m1＝0.5，m2＝0∵m＞0∴m＝0不合舍去，即m＝0.5答：当m＝0.5时，商店获取的总利润为1800元．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵25×1000＜27000，∴人数应该大于25，设共有x名员工去古城旅游．[1000﹣（x﹣25）×20]×x＝27000解得x＝30或x＝45，当x＝45时，付费单价为1000﹣（x﹣25）×20＝600＜700，故舍去，当x＝30时，1000﹣（x﹣25）×20＝900＞700．答：共有30名员工去古城旅游．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．故答案为：﹣2，1．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，即（x﹣20）（x﹣10）＝0，解得：x＝20或x＝10，根据题意要尽快减少库存，故x＝10舍去，∴每件童装应降价20元．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝1，故答案为：1；（2）代数式m2+3的最小值是在m＝0时，最小值为3，故答案为：3．（3）∵m2+n2﹣8m+2n+17＝0，∴（m﹣4）2+（n+1）2＝0，则m＝4、n＝﹣1，∴m+n＝3；（4）y＝﹣4t2+12t+6＝﹣4（t2﹣3t）+6＝﹣4（t2﹣3t+94−94）+6＝﹣4（t−32）2+15，∵（t−32）2≥0，∴﹣4（t−32）2≤0，则﹣4（t−32）2+15≤15，即y≤15．11。
苏科版九年级数学上册试题 第1章 一元二次方程 章节测试卷(含解析)
第1章《 一元二次方程》章节测试卷一．选择题（每小题2分，共12分）1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）A. 2x+1=0B. y 2+x=1C. x 2+1=0D. 2.用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）A. B. C. D. 3.已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A. 4B. ﹣4C. 1D. ﹣14.已知一次函数y=ax+c 图象如图,那么一元二次方程ax 2+bx+c=0根的情况是（ ）A. 方程有两个不相等的实数根B. 方程有两个相等的实数根C. 方程没有实数根D. 无法判断5.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 2或46.如图，把一块长为40cm ，宽为30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm 2，设剪去小正方形的边长为xcm ，则可列方程为（ ）A ．（30-2x ）（40-x ）=600B ．（30-x ）（40-x ）=6002210x x++=2x 2x 10--=2x 10+=（）2x 10-=（）2x 12+=（）2x 12-=（）2x 2x a 0+-=2680x x -+=C ．（30-x ）（40-2x ）=600D ．（30-2x ）（40-2x ）=600二．填空题（每小题2分，共20分）7. 一元二次方程x （x ﹣3）=3﹣x 的根是__ __．8.关于x 的方程（m 2﹣1）x 3+（m ﹣1）x 2+2x+6=0，当m=________时为一元二次方程．9.已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根是x 1、x 2,那么x 1+x 2=________．10.若关于的一元二次方程的一个根是－2，则另一个根是______．11.将一元二次方程x 2+4x+1=0化成（x+a ）2=b 的形式，其中a ，b 是常数，则a+b=________12. 某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设降价的百分率为x ，则方程为 ．13.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．14.若m 是关于X 的方程的根，且m 0，则m+n=________．15. 已知关于x 的方程(a －1)x 2－2x+1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是______．16.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边BC 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是_____．三．解答题（共68分）17.（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x ﹣3）2=9； （2）2m 2+3m ﹣1=0； （3）5x ﹣2=（2﹣5x ）（3x+4）x 2(3)0x k x k +++=2x nx m 0++=≠18.（10分）已知关于x的一元二次方程x2-3x+m-3=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求 m的值．19.（8分）已知：m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2008的值．20.（8分）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．21. （10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？22.（10分）如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；当移动几秒时，的面积为．设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？ABC V B 90∠= AB 12cm =BC 24cm =P A AB B 2cm /s B Q B BC C 4cm /s C P Q ()t s 1（）BPQ V 232cm 2（）APQC ()2S cm APQC 2108cm23.（10分）阅读理解：材料1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-，x 1x 2=．材料2．已知实数m ，n 满足m 2-m-1=0，n 2-n-1=0，且m ≠n ，求的值．解：由题知m ，n 是方程x 2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1，mn=-1，∴．解决问题：(1)一元二次方程x 2-4x-3=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ．(2)已知实数m ，n 满足2m 2-2m-1=0，2n 2-2n-1=0，且m ≠n ，求m 2n+mn 2的值．(3)已知实数p ，q 满足p 2=3p+2，2q 2=3q+1，且p ≠2q ，求p 2+4q 2 的值．b ac an m m n+()22221231m n mn n m m n m n mn mn +-+++====--答案一．选择题1.C【解析】根据一元二次方程的意义:含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，因此C 正确.故选C2.D【解析】根据配方的正确结果作出判断：．故选D ．3.D【解析】解：根据一元二次方程根的判别式得，△，解得a=﹣1．故选D ．4.A【解析】由图象知：a<0，c>0，∵△=b 2−4ac>0，∴一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故选A.5.A【解析】解：x 2－6x+8=0（x －4）（x －2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A ．()2222x 2x 10x 2x 1x 2x 111x 12--=⇒-=⇒-+=+⇒-=()224a 0=-⋅-=6.D【解析】解：设剪去小正方形的边长是xcm ，则纸盒底面的长为（40-2x ）cm ，宽为（30-2x ）cm ，根据题意得：（40-2x ）（30-2x ）=32．故选：D ．二．填空题7. x 1=3，x 2=﹣1．【解析】x （x ﹣3）=3﹣x ，x （x ﹣3）-（3﹣x ）=0，（x ﹣3）（x+1）=0，∴x 1=3，x 2=﹣1，故答案为x 1=3，x 2=﹣1．8.m=－1【解析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程，本题根据定义可得：－1=0且m －1≠0，解得：m=－1.9.4．【解析】根据一元二次方程中两根之和等于,所以．故答案是4．10.1【解析】将x=－2代入可得：4－2(k+3)+k=0，解得：k=－2，则原方程为：+x －2=0，则(x+2)(x －1)=0，解得：x=－2或x=1，即另一个根为1.11.5【解析】故答案为5.2m -b a124x x +=2x 2410,x x ++=241,x x +=-2443,x x ++=2(2) 3.x +=2, 3.a b ∴== 5.a b +=12.300（1-x）2=160．【解析】解：设每次降价的百分率为x，依题意得300（1-x）2=160．故填空答案：300（1-x）2=160．13.12【解析】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．14.-1【解析】把m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，∴m（m+n+1）=0，又∵m≠0，∴m+n+1=0，∴m+n=-1．故答案-1.15. a≠1．【解析】要使方程是一元二次方程，则：a-1≠0，∴a≠1．【解析】∵AP=CQ=t，∴CP=6-t，∴∵0≤t≤2，∴当t=2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是.为三．解答题17.（1）（x ﹣3）2=9，∴x ﹣3=±3，∴x 1=0，x 2=6；（2）a=2，b=3，c=﹣1，∴b 2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=9+8=17＞0，∴，∴m 1，m 2（3）（2﹣5x ）+（2﹣5x ）（3x+4）=0∴（2﹣5x ）（1+3x+4）=0解得：x 1= x 2=﹣ 18.（1）∵方程 x 2-3x+m-3=0 有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4（m-3）＞0，解得：m ＜，∴m 的取值范围为m<；（2）设此方程的两个根分别为：α，β，∴α+β=3，αβ=m-3，∵此方程的两根互为倒数，∴αβ=m-3=1，∴m=4．19.把代入方程.可得：即所以2553214214x m =210x x --=210.m m --=21m m -=，225520085()2008520082013m m m m -+=-+=+=．20.解：设金色纸边的宽为x 分米，根据题意，得(2x ＋6）(2x ＋8)＝80.解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）．答：金色纸边的宽为1分米21. 解：（1）设每件应降价x 元，由题意可列方程为（40-x ）（30+2x ）=1200 ， 解得x 1=0 ，x 2=25 ，当x=0时，能卖出30 件；当x=25 时，能卖出80件，根据题意，x=25 时能卖出80 件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意，因为要减少库存，所以应降价25 元，答：每件衬衫应降价25 元；22.（1）P 、Q 同时出发后经过的时间为ts ，的面积为，则有：（12-2t ）×4t=32，解得：t=2或t=4.答:当移动秒或秒时，的面积为．，解得：．答：当移动秒时，四边形的面积为．23.（1）x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣；故答案为﹣ ，﹣；（2）∵m 、n 满足2m 2﹣2m ﹣1=0，2n 2﹣2n ﹣1=0，∴m 、n 可看作方程2x 2﹣2x ﹣1=0的两实数解，∴m+n=1，mn=﹣，BPQ V 232cm 1224BPQ V 232cm ()()22122444241441082ABC BPQ S S S AB BC t t t t =-=⋅--=-+=V V 3t =3APQC 2108cm 3212321212∴m 2n+mn 2=mn （m+n ）=﹣×1=﹣；（3）设t=2q ，代入2q 2=3q+1化简为t 2=3t+2，则p 与t （即2q ）为方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实数解，∴p+2q=3，p •2q=﹣2，∴p 2+4q 2=（p+2q ）2﹣2p •2q=32﹣2×（﹣2）=13．1212。
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初三数学期末复习四（一元二次方程）
一、基础练习
1.方程22(2)(3)20m
m x m x --+--=是一元二次方程，则____m =. 2.已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 .
3．若2x 2－3xy －20y 2=0，且 y ≠0， 则x y
= _________. 4．关于x 的方程0)12(2
=++-a x a x 的根的情况（ ）
（A ）有一个实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个不等的实数根
5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A ．x(x ＋1)＝1035
B ．x(x －1)＝1035×2
C ．x(x －1)＝1035
D ．2x(x ＋1)＝1035
6．已知αβ，为方程2420x x ++=的两实根，则=-+βαα32 ． 7．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为_________.
8.如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为_________。
9．解方程：
①22)25(96x x x -=+- ②2
410x x +-=（配方法） ③22(1)5(1)20x x ---+=
二、例题精讲
例1：（1）若关于x 的方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
（2）m 取何值时，关于x 的方程mx 2+2(m －1)x+ m －3=0有两个实数根?
例2：已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．
例3：学校广场有一段25米长的旧围栏（如图中用线段AB 来表示）。
现打算利用该围栏的一部分（或）或为一边，围造一块面积为100平方米的长方形草坪（即图中的CDEF ，CD<CF ）。
已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建造新围栏的价格是每米4.5元。
设利用旧围栏CF 的长度为x 米，修建草坪围栏所需的总费用为y 元。
⑴求出y 与x 之间的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； ⑵若计划修建费为150元，则应利用旧围栏多少米？
⑶若计划修建费只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？请说明理由。
例4：某工厂从今年一月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元，如果投资111万元治理污染，治污系统可在一月份启用，这样该厂不但不受处罚，还可以降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长。
经测算，投资治污后，1月份的生产收入为25万元，1至3月份的生产累计收入可达91万元，3月份以后，每月生产收入稳定在3月份水平。
（1）求出投资污后2月、3月平均每月生产收入增长的百分率，（参考：3.62=1.912、 11.56=3.402）
(2)如果把利润看做是生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门罚款额,试问治理污染多少个月后,所投资金开始见成效(治理污染所获利润不小于不治理污染情况下所获利润)
D A B C
E F
初三数学期末复习四作业
1．下面关于x 的方程中①a x 2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=1x
；④（a 2+a+1）x 2-a=0；
．一元二次方程的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ）
（A ）012=+x （B ）02=+x x （C ）012=-+x x （D ）02=-x x
3．已知反比例函数y ab
x =,当x ＞0时,y 随x 的增大而增大,则关于x 的方程2
20ax x b -+=的根 的情况是（ ）A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一个正根一个负根 D.没有实数根
4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人
6．已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是_________，m=_________。
7．设方程2730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则12x x += ，21x x ⋅ 。
8．如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式，则m=_________。
9．如果b 是方程02
=++b ax x 的根，b ≠0，则=+b a 。
10．一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p=_________，q=_________。
11.解方程：①x 2－22x+2=0 ②3x 2+8x-3=0 ③（4）x 2
④3x 2－4x －2=0（配方法） ⑤（x －2）（x －5）=－2 ⑥22)52(4)32(9-=+x x
⑦x-2=x （x-2） ⑧ 3028)32(5)32(2=----x x ⑨022=-+x x
12．已知a 、b 、c 是三角形的三边，判别方程b 2x 2+(b 2+c 2－a 2)x+c 2=0根的情况。
13．已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x
（1）求证：无论k 取何值时方程总有实数根。
（2）若等腰△ABC 的一边长为1，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求这个三角形的周长。
14.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？
15.如图，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=20cm ．P 、Q 两点同时从A 点出发，分别以1 cm ／秒和2cm ／秒的速度沿A —B 一C —D 一A 运动，当Q 点回到A 点时，P 、Q 两点即停止运动，设点P 、Q 运动时间为t 秒．
(1)当P 、Q 分别在AB 边和BC 边上运动时，设以P 、B 、Q 为顶点的三角形面积为s ，请写出s 关于t 的函数解析式及自变量t 的取值范围．
(2)在整个运动过程中，t 取何值时，PQ 与BD 垂直。