曲线回归
标准曲线的回归分析
标准曲线的回归分析
主讲：赵亚丽
第2章 误差及分析数据的统计处理
2.5 回归分析法
确定性关系 变量与变量之间的关系： 相关关系
变量之间既有关联但又不存在确定性数值对 应的相互关系，称为相关关系。 回归分析——研究相关关系的最基本、应用 最广泛的方法。
2020/10/16
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分析化学学习指导
第2章 误差及分析数据的统计处理
6、 四位学生用重量法同时对分析纯BaCl22H2O试 剂中Ba的质量分数各测三次，所得结果及标准偏差 如下 [Mr(BaCl22H2O)=244.3, Ar(Ba)=137.3]，其中 结果最好的是 A、Ba% =55.42 s=1.5 B、Ba% =56.15 s=2.1 √ C、Ba% =56.14 s=0.21 D、Ba% =55.10 s=0.20
0.05
0.00
012345678
相关系数
concentration
R= ∑(xi-xA)(yi-yA)/ (∑(xi-xA)2 ∑(yi-yA)2)0.5
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分析化学学习指导
第2章 误差及分析数据的统计处理
第三章小结
一、误差的分类和表示(准确度：x、T、Ea、
Er；精密度：x 、 、S、 RSD );
相关关系的类型
回归分析(曲线拟合)算法探究
4.致 谢
本课题是在冉老师的细心指导下完成的，冉老师老 师严谨求实的治学态度，务实的科研作风，诲人不倦的 学者风范，丰富的专业知识使我受益终生。谨向冉老师 表示深深的敬意和由衷的感谢。
最后感谢分析教研室的各位老师，谢谢四年来的悉 心教导!
a bex 1 a bex y
Y a bx
y ab x
y a bx
这里我们介绍三次样条函数插值算法研究现有若干测 试点（X0，Y0）、（X1，Y1）、……（Xn，Yn）， 在区间[X0，Yn]内的每一段都是三次多项式，设其为 S（X）,此为样条函数。三次样条函数一般能保证所 绘曲线处处光滑。插值数据有时会使所绘制曲线发生 曲折或不连续，因此三次样条函数插值法在分析化学 的数据处理中被广泛应用。由于三次差值的方法算法 复杂，我们在这里不做介绍，只做最后的结果评定.
S型曲线 平方根曲线拟合
多项式拟合 根据因变量自变量取值
直线拟合 曲线拟合
退出
功能
给出自变量值 给出因变量值 给出X坐标名称 给出Y坐标名称 提供拟合类型 提供三次样条函数插值 提供最小二乘法 提供对数拟合 提供双曲线拟合 提供指数拟合 提供S型曲线 提供平方根曲线拟合 提供多项式拟合 绘制拟合曲线 做直线拟合 做曲线拟合
3.2 VisualBasic编程语言的程序设计 表二 主要控件的属性值表
对象 Text1. Text2 Text3 Text4 Frame1 Option1 Option2 Option3 Option4 Option5 Option6 Option7 Option8 Picture1 Command1 Command2 Command3
曲线回归
曲线 幂函数 y=αxβ 指数函数 y=αeβx 双曲函数 y= x
αx +β
变换 y’=ln y x’=ln x y’=ln y y’=1/y x’=1/x
变换后的线性式 y’=lnα+βx’ y’=lnα+βx y’=α+βx’
对数函数 y=α+βln x’=ln x x 指数函数 y=αeβ/x y’=ln y x’=1/x S型函数 y= y’=1/y x=e-x
E(Yt)=β0+β1t E(Yt)=β0+β1ln(t) E(Yt)=β0+β1/t E(Yt)=β0+β1t+β2t2 E(Yt)=β0+β1+β2t2+β3t3 E(Yt)=β0β1t E(Yt)=β0tβ E(Yt)=exp(β0+β1/t) E(Yt)=exp(β0+β1t) E(Yt)=β0eβt E(Yt)=(1/u+β0β1t)-1
（2）Include constant in equation 表示在回归方程中包含 常数项 （3）plot models 作图选项，包括原始数据的散点图和拟合 模型的曲线图 （4）model 曲线模型，具体如下表 （5）Display ANOVE table 输出模型检验的方差分析表
Linear 线性模型 Logarithmic对数曲线 Inverse逆曲线 Quadratic二次曲线 Cubic三次曲线 Compound混合曲线 Power幂函数曲线 S Growth生长曲线 Exponential指数曲线 Logistic逻辑曲线
逻辑回归拟合曲线
逻辑回归拟合曲线
逻辑回归是一种常用的分类算法，在众多的应用场景中得到了广泛的应用。在逻辑回归中，我们需要拟合一条决策边界来将数据进行分类。而这条决策边界，正是逻辑回归的拟合曲线。
逻辑回归的拟合曲线可以被理解为一个S形曲线，也被称为sigmoid函数。这个函数的形状很像一个“S”字形，它的取值范围在0到1之间，可以将一个实数值映射到0或1，从而实现分类的目的。
在逻辑回归中，我们需要通过最优化算法（如梯度下降法）来不断优化模型的参数，使得模型的拟合曲线最能够反映数据的特征，从而实现更准确的分类。
总之，逻辑回归的拟合曲线是逻辑回归算法的核心，它可以将数据进行分类，并能够通过不断的优化算法，不断提高分类的准确率。
- 1 -
最小二乘法回归曲线
在现实中经常遇到这样的问题，一个函数并不是以某个数学表达式的形式给出，而是以一些自变量与因变量的对应表给出，老师讲课的时候举的个例子是犯罪人的身高和留下的脚印长，可以测出一些人的数据然后得到一张表，它反应的是一个函数，回归的意思就是将它还原成数学表达式，这个式子也称为经验表达式，之所以叫经验就是说它不完全是实际中的那样准确，是有一定偏差的，只是偏差很小罢了。
最小二乘法
设经验方程是y=F(x)，方程中含有一些待定系数an，给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作差，可以描述误差：yi-F(xi)，为了考虑整体的误差，可以取平方和，之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消，所以记误差为：
e=∑(yi-F(xi))^2
它是一个多元函数，有an共n个未知量，现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0，于是得到n个方程：
de/da1=0
de/da2=0
...
de/dan=0
n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。
线性回归
如果经验方程是线性的，形如y=ax+b，就是线性回归。按上面的分析，误差函数为：
e=∑(yi-axi-b)^2
各偏导为：
de/da=2∑(yi-axi-b)xi=0
de/db=-2∑(yi-axi-b)=0
于是得到关于a,b的线性方程组：
(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑yixi
(∑xi)a+nb=∑yi
设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi，则方程化为：Aa+Bb=C
回归曲线相关系数
回归曲线相关系数
回归曲线相关系数是用来衡量回归模型的拟合程度的指标，也称为拟合优度。它的取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合程度越好，越接近-1表示拟合程度越差。
回归曲线相关系数可以使用公式计算：
ρ = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))
其中，Cov(X, Y)是X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别为X和
Y的标准差。
回归曲线相关系数还可以通过计算决定系数R²来得到，这是
拟合程度的平方，表示因变量的变异中能被自变量解释的比例。数值越大表示拟合程度越好。
决定系数R²的计算公式为：
R² = 1 - (SSR / SST)
其中，SSR为残差平方和，表示回归模型无法解释的变异；SST为总平方和，表示观测值与其均值的差异。
回归曲线相关系数和决定系数R²都是常用的评估回归模型拟
合程度的指标，可以帮助我们判断模型的可靠性和预测能力。
曲线回归
10
g
g
8
g
g
6
g
4
g
g
2
g
g
123456789
我们采用生长曲线的一般形式
k N 1 eabt
进行配合
变换，两边取对数，得：
1 eabt
Байду номын сангаас
k N
a bt
ln
k N
1
并令：
Y
ln
k N
1
从数据表中取三个等距的点代入上式（一般，总取 始点、中点、末点）：（1，1.3）、（5，6.8）、 （9，9.5）
第十章
曲线回归
本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 曲线回归方程的拟合度
第一节 曲线回归的意义
直线回归的局限 1、两变量之间的关系不完全是直线关系 2、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 3、两变量间更普遍的关系是曲线关系 4、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 5、直线回归是曲线回归中的一部分
在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一 周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具 体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可
另外，在一般的通式中，我们往往以 x、y 作为自 变量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为 了更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同 的字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来 代替
excel多组数据回归一条曲线
文章题目：深度解读Excel多组数据回归一条曲线
在实际的数据分析和统计工作中，我们常常需要对多组数据进行回归
分析，以找到它们之间的关联规律。而在Excel软件中，我们可以通
过多种方法来实现对多组数据回归一条曲线的操作，以便更直观地观
察数据的趋势和规律。本文将深入探讨Excel中多组数据回归一条曲
线的方法和技巧，帮助读者更好地理解并应用这一分析工具。
一、概述
在Excel中进行多组数据回归分析的过程，通常可以分为数据准备、
回归计算、结果解读三个步骤。我们需要将需要分析的数据导入Excel 表格，并按照一定的格式进行排列。利用Excel内置的回归分析工具，进行计算和图形展示。根据回归结果进行解读和分析，探索数据间的
关联规律。
二、数据准备
在进行多组数据回归分析前，我们需要先将需要分析的数据准备好，
并按照XY轴的对应关系排列在Excel表格中。以一组样本数据为例，假设我们有X和Y两组数据，分别对应自变量和因变量。在Excel中，我们可以将X数据放在A列，Y数据放在B列，并在C列设置公式进行数据处理，如在C2单元格输入“=B2/A2”以计算斜率。在准备好所有数据后，我们即可进行回归分析的计算。
三、回归计算
在Excel中进行多组数据回归分析的计算，可以通过内置的数据分析工具来实现。在数据工具菜单下找到回归选项，并按照提示选择好自变量和因变量的数据范围。在完成设置后，Excel会自动进行回归分析的计算，并给出相应的回归方程、斜率、截距等结果。我们也可以通过绘制散点图和拟合曲线来直观展示数据间的关系。在回归结果的基础上，我们还可以进行其他统计指标的计算和分析，以更全面地了解数据的特征。
二元回归曲线拟合
二元回归曲线拟合
二元回归曲线拟合是一种常见的统计分析方法，用于研究两个变量之间的关系。它是回归分析的一种特殊形式，适用于当因变量和自变量都是二元变量时。
在进行二元回归曲线拟合时，首先需要确定一个适合的回归模型。常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、指数回归等。选择适当的回归模型取决于变量之间的关系以及数据的分布特征。
一旦确定了回归模型，接下来就是利用已有数据对模型进行拟合。拟合的目标是使模型与观测数据之间的误差最小化，即找到最佳拟合曲线。常用的拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
进行二元回归曲线拟合后，可以通过模型来预测因变量的取值。这对于研究变量之间的相互作用、预测未来趋势等具有重要意义。此外，还可以利用拟合结果来评估模型的拟合优度，例如决定系数（R-squared）、残差分析等。
二元回归曲线拟合在实际应用中有着广泛的应用。例如，在金融领域，可以利用二元回归曲线拟合来研究股票市场和利率之间的关系。在医学领域，可以利用该方法来研究药物疗效和剂量之间的关系。在环境科学领域，可以利用二元回归曲线拟合来分析污染物的浓度和环境因素之间的关系。
总之，二元回归曲线拟合是一种有效的统计分析方法，用于研究两个二元变量之间的关系。通过选择适当的回归模型和进行拟合，我们可以得到准确的拟合曲线，并利用拟合结果进行预测和评估。这一方法在各个领域都有着广泛的应用，为我们提供了更深入的数据分析和决策支持。
曲线回归估计的spss分析
上机操作8 曲线回归估计的SPSS分析
习题：落叶松林单位面积的蓄积量（V）和胸高断面积（D）的测定数据如下表，
V(m3) 46 56 67 65 89 86 103 108 121 118
D(m2) 4.7 5.4 6.3 7.2 7.8 8.8 9.9 11.7 11.4 11.8
（1）定义变量：打开SPSS数据编辑器，点击“变量视图”，在名称列下输入“V”、“D”，改“类型”栏均为“数字”，“小数”栏分别保留0位和1位。
（2）输入数据：在“数据视图”模式
下，在各名称列输入相应的数据，如图所
示：
二、分析过程
分析→回归→曲线估计，将“V”添加
到“因变量”中，将“D”添加到“变量”
中，勾选模型中的“二次模型”、“复合”、
“对数”、“立方模型”、“指数”、“幂”、“”、
“Logistic”,→确定。
三、输出结果分析
曲线拟合
MODEL: MOD_1.
Dependent variable.. V Method.. LOGARITH（对数曲线模型）
Listwise Deletion of Missing Data
Multiple R （负相关系数） .97210
R Square（决定系数） .94498
Adjusted R Square .93811
Standard Error 6.59944
Analysis of Variance（方差分析）:
DF（自由度） Sum of Squares Mean Square（均方）
Regression（回归） 1 5984.4787 5984.4787
非线性回归分析（常见曲线及方程）
非线性回归分析（常见曲线及方程）
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非线性回归分析
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理
两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析
常见非线性规划曲线
1.双曲线1b
a
y x =+
2.二次曲线
3.三次曲线
4.幂函数曲线
5.指数函数曲线(Gompertz)
6.倒指数曲线y=a
/
e b x其中a>0，
7.S型曲线(Logistic)
1
e x y
a b-=
+
8.对数曲线y=a+b log x,x>0
9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0
1．回归：
（1）确定回归系数的命令
[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）
2．预测和预测误差估计：
7.曲线估计与回归分析
∑(yi-Yi)2称为残差平方和。统计学上把观 测点与它在回归直线上相应位置的差异 称残 差，把每个残差的平方后加起来 称为残差平 方和，它表示随机误差的效应。 由此可知，总偏平方和=残差平方和+回归 平方和。
7.2 回归分析的基本概念
通过大量的观测数据，可以发现变量之间 存在的统计规律，并用一定的数学模型表示 出来，这种用一定模型来表述变量相关关系 的方法就称为回归分析。它是探讨变量间数 量关系的一种常用统计方法，通过建立变量 间的数学模型对变量进行预测和控制。
在实际问题中，用户往往不能确定究竟该选 择何种函数模型更接近样本数据，这时可以采 用曲线估计的方法，其步骤如下： 1.根据实际问题本身特点，同时选择几种模 型； 2 2.SPSS自动完成模型的参数估计，并显示R 、 F检验值、相伴概率值等统计量； 2 3.选择具有R 统计量值最大的模型作为此问 题的回归模型，并作一些预测。
在实际中，根据变量的个数、变量的类型 以及变量之间的相关关系，回归分析通常分 为一元线性回归分析、多元线性回归分析、 非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲 线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回 归分析等类型。
7.3 线性回归分析
线性回归分析包括一元线性回归、多元线性 回归和多元逐步回归。 线性回归对数据的要求： 自变量和因变量必须是具有Scale测度水平的 数值型变量，分类变量必须为二元的哑变量。 （哑变量，即虚拟变量（又称虚设变量、名义 变量），是量化了的质变量，通常取值为0或1。 比如性别、年龄、宗教、民族、婚姻状况、教 育程度等。 ）
回归模型和roc曲线
回归模型和roc曲线
回归模型和ROC曲线是两种不同的机器学习模型，它们用于解决不同的问题。
回归模型主要用于预测数值型数据，例如预测房价、股票价格等。它通过找到输入变量和目标变量之间的最佳拟合线或曲线来预测目标变量的值。
ROC曲线主要用于评估分类模型的性能，例如二分类问题。它通过绘制真正类率（TPR）和假正类率（FPR）在不同阈值下的曲线，来评估分类器的性能。
回归分析曲线拟合
Options选项
逐步回归方法准则 使用F显著水平值 Entry：当候选变量中最大F值概 率小于等于引入值时，引入相应 变量。 Removal:剔除相应变量
实例分析
例：某单位对8名女工进行体检，体检项目包括体重和肺 活量，数据如下：
体重
42 42 46 46 46 50 50 50
肺活量 2.55 2.2 2.75 2.4 2.8 2.81 3.41 3.1
多元线性回归一般采用逐步回归方法-Stepwise。
(一) 一元线性回归模型
(linear regression model)
1、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
2、一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x +
注Y：是线x 性的部线分性反函映了数由于x的b变0 化和而b引1起称的为y的模变化；误差误项差项反映了是除随x和机y之
• 选择一个用于指定分析个案的选择规则的变量。 选择规则包括： 等于、不等于、大于、小于、大于或等于、小于或等于。 Value中输入相应变量的设定规则的临界值。
Statisti
模型拟合：复相关
cs
系数、判定系数、 调整R2、估计值的标
选项 回归系数框 估计值：显示回 归系数的估计值 β、回归系数的 标准差、标准化 回归系数、回归 系数的β的t估 计值和双尾显著 性水平。 置信区间 协方差矩阵
统计分析与方法-第七章回归分析3-非线性回归和多项式回归
Cubic
Power Compound S Logistic
三次曲线
幂函数 复合函数 S形函数 逻辑函数
Growth
Exponent
增长曲线
指数函数
y b0 b1t b2t 2 y b0 b1t b2t 2 b3t 3 y b0t b1 y b0b1t y exp(b0 b1 / t ) 1 y 1 u b0b1t y exp( b0 b1t ) y b0 exp(b1t )
Method.. COMPOUND-复合函数
Analysis of Variance: DF Sum of Squares Regression 1 Residuals 16 F = 1955.31315 15.004878 .122782 Signif F = .0000
Mean Square 15.004878 .007674
回归分析—
非线性回归和 多项式回归
非线性回归——
可化为线性回归的曲线回归
实际问题中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中 一些回归模型通过对自变量或因变量的函数 变化可以转化为线性关系，利用线性回归求 解未知参数，并作回归诊断。
如有下列模型：
y 0 1e
2 11 i 3 111 i
origin回归曲线方程公式求相关系数
origin回归曲线方程公式求相关系数
回归曲线方程的相关系数可以通过计算样本数据的协方差和方差来求得。相关系数的公式如下：
r = cov(x, y) / (σx * σy)
其中，r为相关系数，cov为协方差，x和y为两个变量的样本数据，σx和σy为x和y的标准差。
具体步骤如下：
1. 计算x和y的平均值，分别记作x和ȳ。
2. 计算x和y的偏差值，即每个数据点减去对应的平均值：dx = x - x，dy = y - ȳ。
3. 计算x和y的偏差平方和：Σ(dx^2)和Σ(dy^2)。
4. 计算x和y的偏差乘积和：Σ(dx * dy)。
5. 计算x和y的标准差：σx = sqrt(Σ(dx^2) / n)和σy =
sqrt(Σ(dy^2) / n)，其中n为样本容量。
6. 计算协方差：cov(x, y) = Σ(dx * dy) / n。
7. 计算相关系数：r = cov(x, y) / (σx * σy)。
值得注意的是，相关系数的取值范围为[-1, 1]，越接近1表示正相关性越强，越接近-1表示负相关性越强，接近0表示相关性较弱。
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计算器将出现如下画面：
Lin Log Exp 12 3
>
<
Pwr Inv Quad 12 3
1 （Lin） 线性回归： yˆ a bx
2 （Log）对数回归： yˆ a b ln x 3 （Exp）指数回归： yˆ aebx > 1 （Pwr）幂函数回归： yˆ axb
> 2 （inv） 双曲线回归： yˆ a b 1 x > 3 （Quad）抛物线回归：yˆ b0 b1x b2x2
在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一 周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具 体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可
另外，在一般的通式中，我们往往以 x、y 作为自 变量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为 了更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同 的字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来 代替
曲线配合的一般步骤： 1、确定回归关系的类型：线性
非线性（曲线形状） 2、确定回归关系的参数、相关指数、估计标准误 3、对所得回归方程作显著性检验
曲线方程可分为两种： 可直线化的曲线方程 不可直线化的曲线方程（多项式）
因此，首先应确定两变量的曲线关系是哪一种
第二节 曲线类型及其方程
本章仅讨论可以直线化的曲线方程
第十章
曲线回归
本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 曲线回归方程的拟合度
第一节 曲线回归的意义
直线回归的局限 1、两变量之间的关系不完全是直线关系 2、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 3、两变量间更普遍的关系是曲线关系 4、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 5、直线回归是曲线回归中的一部分
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
增长倍数N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5
Y
ln
k
N N
1.88
1.71
1.02
0.54
-0.82
-1.81
-1.89
-2.59
-3.52
得一级数据：
t 45 t2 285 Y 5.48 Y 2 34.4096 tY 70.07
n9 t 5 Y 0.6089
或将时间 t 和 Y 值输入计算器，或数据库
则
45 5.48
70.07
b
9 285 452
0.7112
9
a 0.6089 5 0.7112 2.9469
将
k、a、b
代入方程，即得： Nˆ
9.78 1 e2.94690.7112t
或：
Nˆ
9.78 1 19.0468e0.7112t
——函数型曲线方程
（一）幂函数 y axb 直线化：两边取对数： ln y ln a b ln x
令： Y ln y
A ln a
X ln x
则有：Y AbX
对 Y AbX 求 A 和 b， 并得 a ln1 A
即可得：a、b，建立方程
（双对数转换，即对 x、y 均求对数后输入）
（二）指数函数 y aebx 或 y aeb x 直线化：两边取对数：ln y ln a bx 令：Y ln y A ln a 则有 Y A bx 对 Y A bx 求 A 并得 a ln1 A 即可得 a、b，建立方程 （单对数变换，即对 y 求对数后与 x 一起输入）
这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可
使用这一公式求得 k 值
将上式中的 N0 1.3, N1 6.8, N2 9.5代入
k2 9.78
即为 k 的解
式，得 k2
将
k=9.78
代入
Y
ln
k
N N
，可得和
t
相对应的各
个Y值
将这些 Y 值写在数据表下方对应处，用最小二乘配
置法配置直线
（三）双曲线函数 y a b
x
令：X 1
x
则 y a bX 对x求X 即可得 y a bx 中的 a、b （倒数变换，即取 x 的倒数，与 y 一起输入）
此外还有一些曲线方程：y axebx
y
1
x 2
e 2
2
下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：
曲线回归的计算器计算方法：
（四）S型曲线 y k
1 aebx
y
1
k eabx
陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细
胞的生长等都是这一模式
因此，S型曲线又称为生长型曲线、logistic曲线，
其变换形式有以下几种：
k y 1 axb
y
a
1 bex
另外还有 Gompertz 曲线： y keaebx
y aebexpkx
这些曲线方程中的 x 往往是时间单位，因此一般可 用 t 表示，而 y 往往是群体的增长量，或群体增 长倍数，所以也可以用 N 表示
我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化，其 他变换类型的方程直线化可以仿此进行
测得某类微生物在一定气温下随时间变化的平均增长量，数 据如下：
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增长倍数 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 从下面的散点图我们可以看出，可配合S型曲线：
ln
k
1.3 1.3
a
b
ln
k
6.8 6.8
a
5b
ln
k
9.5 9.5
a
9b
解这一三元一次方程组，消去 a、b，得：
N0N2 k N1 2 N12 k N0 k N2
则
k1 0
k2 N1
2N0 N2 N0 N1 N1N2 N0 N2 N12
N1 2N0N2 N1 N0 N2 N0 N2 N12
10
g
g
8
g
ຫໍສະໝຸດ Baidu
g
6
g
4
g
g
2
g
g
123456789
我们采用生长曲线的一般形式
k N 1 eabt
进行配合
变换，两边取对数，得：
1 eabt
k N
a bt
ln
k N
1
并令：
Y
ln
k N
1
从数据表中取三个等距的点代入上式（一般，总取 始点、中点、末点）：（1，1.3）、（5，6.8）、 （9，9.5）
其变换形式：
y kebx
y k 1 ebx
Bertalanffy 曲线：y a 1 bekx 3
在这些曲线方程中，无一例外的都有 3 个需要计算 的统计量：k、a、b
K 是当 x 趋向于 +∞时 y 所能达到的最大值，往往 是未知的，因此也是需要进行计算的
这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方