3.1 等差数列(一)
高一数学等差数列1(201909)
二．应用
例1．已{a知n}
数列令bn
a
n
1
2满.
a1
4,a n
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 (n a n 1
2),
足
（1）求证：数列 {bn} 为等差数列； （2）求数列 {an} 的通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{b n }是不是等差数列，
am an ap aq. 性质4：设 n N* ，则a1 an a2 an1 a3 an2 . 性质5：设 c, b 为常数，若数列{an}为等差数列，则数
列 {an b}及 {c an b}为等差数列. 性质6：设 p, q 为常数，若数列{an} 、{bn}均为等差数列，
等差数列
一、等差数列的性质 已知数列{an} 为等差数列，那么有 性质1：若 m,p,n(m,p,n N*)
am,ap,an
成等差数列，则
证明：根据成等等差差数数列列的. 定义， m,p,n成等差数列,
p m n p, (p m)d (n p)d.
ap am an ap.
即 a m , a p , a n 成等差数列.证毕.
如 a1, a6 , a11 成等差数列，a3, a6 , a9 成等差数列.
性质2：设 k,m N* ，则 ak , akm , a k2m , 成等差数列. 性质3：设m,n,p,q N*，若 m n p q, 则
只要看 bn bn1(n 2)是不是一个与n 无关的
常数就行了.
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等差数列(第一课时)教学设计
等差数列(第一课时)教学设计一、设计理念随着科学技术的不断发展，数学已经不仅仅是学习后继课程和解决科技问题的工具，而且是培养理性思维的重要载体，成为科技人员科技水平的重要组成部分。
但数学要跟上时代发展的步伐，满足社会发展的需要，就应该从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。
课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者和服务者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。
以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。
二、教材分析本节课主要研究等差数列的概念、通项公式及其应用，是本章的重点内容之一。
而所处章节《数列》又是高中数学的重要内容，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。
一方面,数列与前面学习的函数等知识有密切的联系;另一方面,学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
学习数列要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
三、教学目标知识目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。
能力目标：1.培养学生观察能力2.进一步提高学生推理、归纳能力德育渗透目标：1．体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2．渗透函数、方程、化归的数学思想；3．培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。
四、教学重点1、等差数列概念的理解与掌握；2、等差数列通项公式的推导与应用。
五、教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用六、教学方法启发式教学启发学生逐步发现和认识等差数列“等差”特点及探索出等差数列的通项公式。
必修5——等差数列(第一课时),自己做的
18，15.5，13，10.5， 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 5.5.
③
二、（一）等差数列的定义 、（一 等差数列的定义 • 1、定义：一般地，如果一个数列{an},从第2项 从第2 定义：一般地，如果一个数列 从第 起每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 起每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差。 表示。 等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是 5，5，-2.5，72。 (1)从第2 从第 注: (1)从第2项起
（要求：写出解题过程） 要求：写出解题过程）
数字 量
编号
a1 a
1
d
2 4
n n
15
ann
解方程： 解方程： 方程思 想
(1) －8 (2) 5 (3) －45 (4) 5.2
20
105 45 9.2
26
31
11
3
0.4
思考：解题过程中体现了什么样的思想？ 思考：解题过程中体现了什么样的思想？
思 考？
a1 = 48 a 2 = 53 = 48 + 5 × 1
a 3 = 58 = 53 + 5 = 48 + 5 × 2
a4 = 63 = 58 + 5 = 48 + 5 × 3
a n = 48 + 5 × ( n − 1)
二、（二）等差数列的通项公式 、（二
• １、导入： 导入： • （２）问题２：类比上面的方法，根据等差数列的定义， 问题２ 类比上面的方法，根据等差数列的定义， 如果任意给一个等差数列的首项a1和公差 和公差d,那么它的通 如果任意给一个等差数列的首项 和公差 那么它的通 项公式是什么？ 项公式是什么？
三奥第14讲 等差数列(一)
第十四讲等差数列（一）知识要点等差数列的有关定义：若干个数列排成一列成为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项叫首项，最后一项称为末项，数列中的个数称为项数。
从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列叫“等差数列”，这时后项与前项（或前项与后项的差）称为公差。
举例：2，4，6，8，···98，100这是一个首项为2，末项为100，公差为2，项数为50的等差数列。
有关公式：（1）第几项＝首项＋（项数n－1）×公差末项=首项+（项数—1）×公差首项＝末项－（项数－1）×公差（2）项数=（末项—首项）÷公差+1（3）公差=(末项—首项)÷（项数-1）（4）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2导入：有一个老和尚有两个徒弟，大徒弟一次种了40棵树，第一天种2棵，然后每天种多种4棵，小和尚第一天种了3课，第二天种了6棵，第三天种了9棵……，大和尚对小和尚说你怎么都不会赶上我的，小和尚就跑过去问师傅，师傅掐指一算就知道能否赶上，同学们你们觉得能不能赶上？师：让我们带着这个疑问进入接下来的课堂中吧。
例题精讲例1、有一个等差数列：3、7、11、15……，这个等差数列的第30项是多少？第75项呢？如果让我们把每项加起来算的话计算快不快？是否能有其他的方法呢？哦，有同学发现一头一尾加起来的和刚好都相等，都等于122，师：很好，这位同学很善于观察和思考，那我们一起来探讨一下关于这样一组数求和的简便计算方法1、引入等差数列的定义2、可以先试着计算前面几项的和当做试验。
3、总结规律例1、有一个等差数列：3、7、11、15……，这个等差数列的第30项是多少？第75项呢？第几项＝首项＋（项数n－1）×公差第30项=3+（30-1）x (7-3)=119第75项=3+（75-1）x（7-3）=299练求等差数列1、4、7、10 …… ，这个等差数列的第30项是多少？刚才是告诉了首项求第几项，同学们完成的都很好，现在反过来大家试一试，例2、已知一个等差数列共有32项，公差是6，末项是191，求这个等差数列的首项。
2.1 等差数列的概念(1) 一等奖创新教学设计
2.1 等差数列的概念（1）一等奖创新教学设计4.2.1 等差数列的概念（1）（详案）通过研究最新版《普通高中课程方案及课程标准》，我按照“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”的要求，遵从“既要重结论，又要重过程”的现代教育理念，着眼于概念和结论的生成过程来上等差数列的概念（第一课时）这一节课。
教学模式对于这一节课的教学模式，我严格按照滨州市数学教研员王文清老师倡导的“自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式进行，大体按照以下7个环节展开：1.设计问题，创设情境；2.学生探索，尝试解决；3.信息交流，揭示规律；4.运用规律，解决问题；5.变练演编，深化提高；6.信息交流，教学相长；7.反思小结，观点提炼。
教材分析：等差数列是在学生已经学习了数列的有关概念，并且可以观察归纳得出通项公式之后的基础上对数列的知识进一步深入学习。
等差数列作为数列部分的主要内容，它起着承前启后的作用，是学生探究特殊数列的开始，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，同时也培养了学生数学能力。
同学们在学习后续内容时，会感受到无论在知识上，还是在方法上这节的学习都具有积极的意义。
学情分析：高二的学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，并且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。
以及对函数和方程思想有所体会，也能够应用数学公式解决简单问题。
但是他们的思维仍然需要依赖一定的具体实例来理解并抽象出数学概念，同时思维的严密性有待加强。
教学目标：1. 通过实例，让学生理解等差数列的定义，了解等差中项的定义及性质；2.使学生掌握等差数列的通项公式，体会等差数列通项公式与一次函数的关系；3. 让学生学会用等差数列的通项公式解决简单的数学问题.核心素养目标：数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模。
教学重点：等差数列的定义、等差数列的通项公式及其运用.教学难点：等差数列定义的生成及通项公式的推导.教学过程：复习引入：引导语：同学们，我们上一节课学习了数列的定义、性质及其相关概念（如：通项公式、递推公式、前n项和等），并且知道了数列是一类特殊的函数。
经典数字推理
经典数字推理一、数字推理解答的关键点二、古典型数字推理主要类型及特点（一）等差数列题型：例 1、22， 25， 28， 31， 34，（）例 2、253， 264， 275， 286，（）例 3、28， 46， 68， 94，124，（）例 4、105， 117， 135， 159， 189，（）例 5、18， 25， 50， 97， 170，（）例 6、18， 23， 40， 75， 134，（）例 7、20， 23， 32， 59，（）例 8、25， 26， 34， 61， 125，（）总结：练习：1. 102， 96， 108， 84， 132，（）A.36B.64C.70D.722．67 75 59 91 27 （）A.155B.147C.136D.1283． ( ) 40 23 14 9 6A、81B、73C、58D、524． 0，6，24，60，120，（）A．186 B．210 C．220 D．2265．2,6， 20， 50， 102，（）。
A．140 B．160 C．182 D．2006．3，8，9，0，-25，-72，（）A.-147B.-144C.-132D.-1217．2 10 19 30 44 62 ( )A、83B、84C、85D、868、 ( ) 36 19 10 5 2A．77 B．69C．54 D．489．1， 2， 6，33， 289，（）A.3414B.5232C.6353D.715110． -1．5， 2，1， 9，一1， ( ) A．10B．4 C．25 D．8（二）等比数列题型：例 1、3， 6， 12， 24，（）例 2、2， 6， 18， 54，（）例3、1， 2， 8， 64，（）例4、1， 1， 2， 6， 24，（）例 5、2， 5， 11， 23， 47，（）例 6、3， 7， 16， 35，（）例 7、2， 1， 5， 16， 53，（）例8、2， 1， 3， 7， 24，（）练习：1．11 13 28 86 346 ( )A、1732B、1728C、1730D、1352．（） 13.5 22 41 81A．10.25 B．7.25 C．6.25 D．3.253．1 2 512 29 （）A、82 B、70 C、48D、624．1， 4， 9，22， 53，（）。
等差数列前n项和公式的推导方法
等差数列前n项和公式的推导方法等差数列，是数学里一个超基础但又特别有趣的概念。
说简单点，它就是每一项跟前一项的差一样的那种数列。
比如说，2、5、8、11、14，这就是一个等差数列，因为每一项之间差的都是3。
今天，我们就来聊聊如何推导出这个等差数列前n项和的公式，弄明白它的背后那些“玄机”。
1. 了解等差数列的基本概念1.1 等差数列的定义等差数列就是每一项和前一项之间有一个固定的差，这个差叫做“公差”。
这就像是你在走路，每一步的长度都是一样的，那你走了10步，走过的总距离就是步长乘以步数。
1.2 举个例子假设你在玩一个有趣的游戏，每次你得到的奖励都比上一次多10元，第一轮你获得10元，第二轮20元，第三轮30元，依此类推。
那么你的奖励就是一个等差数列，公差就是10元。
2. 推导等差数列前n项和的公式2.1 简单的逻辑推导我们要算前n项和，首先得知道每一项的值。
拿前面的例子来说，第n项的值就是第一项加上（n1）乘以公差。
公式就是这样的：( a_n = a_1 + (n1) cdot d )。
如果你跟着这个公式算，结果是一样的。
2.2 推导过程的趣味假如我们要算前n项的和，可以用一种超级简单的办法来搞定。
先假设你有一个等差数列，然后把它从头到尾写出来，像这样：```S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n。
```然后，把这些数列的项从后往前也写一遍：```S_n = a_n + a_{n1 + a_{n2 + ... + a_1。
```把这两个式子一加，发现每对数加起来都是一样的，就是 (a_1 + a_n)，所以总和是：```2S_n = n cdot (a_1 + a_n)。
```于是，前n项的和 (S_n) 就是：```S_n = frac{n cdot (a_1 + a_n){2。
```是不是很有趣？就是这么简单，一看就懂了！3. 公式的应用实例3.1 实际应用你可能在生活中遇到各种各样的情况，比如说你在参加一个比赛，每一轮的分数都比上一轮高一些。
2012二轮3.1等差数列、等比数列
专题三：数 列第一讲 等差数列、等比数列【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：1．弄清等差、等比数列的基本概念及性质，掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式。
2．掌握特殊数列的求和方法。
如：倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。
3．利用数列中n a 与n S 之间的关系，求能项公式及解决其他数列问题。
4．利用数列的递推关系,求通项公式,结合n 项和公式,解决数列应用题。
5．数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合，综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用。
6．利用方程的思想、根据公式列方程（组），解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题；利用函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n 项和n S 的最值问题；利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差、等比数列问题来解决；利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q 是否为1等问题。
7．结合数学归纳法解决一类归纳——猜想——证明的题目。
第一讲 等差数列、等比数列【考纲透析】1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念。
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式。
【要点突破】要点考向1：有关等差数列的基本问题考情聚焦：1．等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2．该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。
3．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
考向链接：1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d ＞0,递增；d ＜0，递减）；3．证明数列{n a }为等差数列有如下方法：①定义法；证明1n n a a d +-=（与n 值无关的常数）；②等差中项法：证明112(2,)n n n a a a n n N *-+=+≥∈。
等差数列求和公式总结大全
等差数列求和公式总结大全一、等差数列求和公式总结大全引言概况概况1.1 等差数列求和公式总结大全是指建设等差数列求和公式总结大全的建设成本，即预期开支或实际开支的等差数列求和公式总结大全的全部费用。
等差数列求和公式总结大全建设周期长、投资大、协作部门多，在等差数列求和公式总结大全方面，具有单件性、多次性（投资估算、设计概算、等差数列求和公式总结大全预算、竣工结算）、方法的多样性及依据的广泛性、复杂性等特征。
目前，由于等差数列求和公式总结大全全过程、全方位投资管理的理念尚未形成，等差数列求和公式总结大全的各个阶段及环节制度和措施不够完善，脱节严重，导致等差数列求和公式总结大全中损失浪费现象比较普遍。
造成这种状况的主要原因是，在等差数列求和公式总结大全过程的各个阶段（包括投资决策阶段、等差数列求和公式总结大全设计阶段、招投标阶段、施工管理阶段及竣工决算阶段），造价控制仍存在诸多问题。
1.2 长期以来，我们对等差数列求和公式总结大全的理解往往只停留在预结算上，对等差数列求和公式总结大全管理缺乏全面而系统的定位，缺乏全过程、全方位、动态的管理。
对等差数列求和公式总结大全的控制，主要侧重于审查施工图预算和对竣工结算进行审核，对其他阶段的控制显得薄弱。
据有关部门资料数据分析：在等差数列求和公式总结大全的投资决策和设计阶段，影响等差数列求和公式总结大全等差数列求和公式总结大全造价的可能性为30%～75%，而在建设施工阶段，影响等差数列求和公式总结大全的可能性仅为5%～25%。
由此可见，将控制等差数列求和公式总结大全的主要精力放在等差数列求和公式总结大全建设中、后期的做法无疑是缺乏依据和有失全面的。
因此，要实现等差数列求和公式总结大全合理有效的控制，及等差数列求和公式总结大全投资最佳的社会和经济效益，就必须抓住重点，使等差数列求和公式总结大全管理工作始终贯穿于等差数列求和公式总结大全的全过程，实行全方位、全过程的科学系统的管理。
等差数列的概念第1课时课件上学期高二人教A版(2019)选择性必修第二册
分析:根据数列的递推关系, 利用取倒数法进行转化,
构造等差数列, 求出通项公式即可求值.
+
解: ∵an+1= +, ∴两边取倒数得 = = +1,
即
+
−
=1, 即数列
+
是公差d=1的等差数列,
∵首项为 =1, ∴ =1+(n-1)×1=n,
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数
列{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,······的第20项；
分析:（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差
数列的定义，由an+1-an = d ，即可求出公差d，
（2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利
度, 得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单
位: ⁰C)依次为
25 , 24 , 23 , 22 , 21.
(3)
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年. 如果个人
贷款月利率为r, 那么按照等额本金方式还款，他从某月开
始，每月应还本金b(=)万元，每月支付给银行的利息
(单位：元)依次为
些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项
和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受
数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比
较简单的数列入手.
4.2.1 等 差 数 列 的 概 念
请看下面几个问题中的数列.
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：3.1数列的概念
第三章数列2014高考导航考纲解读1 •理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2•理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式，并能解决简单的实际问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前〃项和公式，并能解决简单的实际问题.§3.1数列的概念本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考 考点探究讲练互动 教材回顾夯实双基基础梳理1.数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛123,…，〃｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图象是一一群孤立的点.数歹的第兀项知与项数〃的关系若能用一个公式知=加）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式•3.数列的前〃项和数列的前〃项和S“=ai+a2 ----------- 5,且下列关系成立Si (n = l)a tl=^S n~S n^i (/i M2).4.递推公式如果已知数列仏啲第1项(或前几项)，且任一项心与它的前一项给-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.思考探究1.｛〜｝与a“有何关系？提示：｛心与◎是两个不同的概念，｛a“｝表示数列％a v …，a”,…，而知只表示数列｛〜｝中的第〃项.2.一个数列的通项公式是否唯一？提示：不一定，有的数列通项公式唯一，有的数列有多个通项公式，有的数列没有通项公式.课前热身3 8 151•（教材改编）数列务节, A.n2—1 ""—nB.(n +1)2— 1a,~ n + 1C.(W+1/+2”"l(T)n + 1D.(n n(W+l)2_ 1 "l(T)n + 1答案：C¥，…的一个通项公式是（）2.已知«o=l,如=3,怎一％w“+i=(-1)"仗WN*),则如等于() A・ 33 B. 21C 17 D. 10答案：A3. （2011•高考江西卷）已知数列《｝的前兀项和S”满足：S“+S = ^n+m9且"1 = 1，B. 9那么"10 = ()A. 1C. 10D. 55解析：*/ S n+S m=S n+m,且幻=1,・・・S1 = 1・可令加=1,得s“+]=s” + i,s“+i _s“=i・即当必1时9知+i = l, .\a10=l.4.如果数列仏J的前孔项和为S n=2n2+19贝!|妁=答案:3 (n = l)4H—2 (〃$2)5.在数列仏｝中, 项之和为________ 答案：-1005=1,尤一冷+1 — 1=0,则此数列的前2 014考点1由数列的前几项写数列的通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:(1) 0.8,0・8&0.888,(4)0丄….【思路分析】（1）循环数借助于1—命来解决.5_ 2932 6164917710 13-2^ XI/3 1一* 2⑵正负号交叉用（一1）"或（一1严1来调节，这是因为H和«+1 奇偶交错.（3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.（4）对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决.【解】⑴将数列变形为尹一0.1)勺(1—0.01),尹一0.001),…，・• a n—^(1 — ]0") •⑵各项的分母分别为亍夕，，，…，易看出第2,3,4项的分子2 —3分别比分母少3.因此把第1项变为一二一，至此原数列已化为21-3 22-3 23-3 24-322，一a“=(—1)"宁.IT ‘~ir ‘ …'3 5 7 9(3)将数列统_为㊁,丁,帀p,…，对于分子3,5,7,9,…是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b n =2n+l f 对于分母2,5,1047,…联想到数列1A016,…，即数列{/}, 可得分母的通项公式为c“ = /+l,2n±ln 2+r/° (〃为奇数)又0=1_1 1=丄+丄11 s 为偶数)’又 2 2, 1—2+2，.••也可为。
§2.2.1等差数列(一)
a n a 1 ( n 1) d
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
…
用一下
§2.2.1等差数列(一) a n a1 ( n 1 )d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
Q 解： a1 = 8 , d = 5 - 8 = - 3 , n = 20 , a 20 8 ( 20 1) ( 3 ) 49 (2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项
公式为：
an＝a1＋(n－1)d.
推导出公式：an＝am＋(n－m)d . 或an＝pn＋q (p、q是常数)
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§2.2.1等差数列(一)
有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
d
d
an a1 n1
an am nm
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§2.2.1等差数列(一)
例3. 梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列. 计算中间各级的宽.
解：设 a 表示梯子自上而下各级宽度 所成的等差数列，由知己条件，可知
课堂小结
1. 等差数列定义：即an－an－1 ＝d (n≥2). 2.等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 推导出公式： an＝am＋(n－m)d . 或an＝pn＋q (p、q是常数)
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等差数列试题及答案(1)
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．2402．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．804．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．146．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1627．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．588．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．278B ．52C ．3D ．49．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1611．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=12．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺A ．47B ．1629C ．815D ．4513．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n15．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．55 16．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5917．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2118．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 19．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6420．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85二、多选题21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦22．题目文件丢失！23．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6524．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+25．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-27．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.28．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<-C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项29．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 5．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 6．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B.【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 8．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-，所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选：A 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 11．B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
等差数列的推理与证明
等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。
二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。
3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。
四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。
4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。
五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。
总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。
在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。
习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
2021高考数学一轮复习考点规范练31等差数列及其前n项和(含解析)
2021 高考数学一轮复习考点规范练：31 等差数列及其前 n 项和（含解析）基础巩固1.(2019 河北唐ft高三摸底考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+a11=4,则S13=( )A.13B.26C.39D.52答案:B13(a1 + a13)解析:由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,则S13= 2 =26,故选B.2.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12答案:B解析:因为 3S3=S2+S4,所以 3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则 3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.3.已知等差数列{a n}的前4 项和为30,前8 项和为100,则它的前12 项和为( )A.110B.200C.210D.260答案:C解析:设{a n}的前n项和为S n.∵在等差数列{a n}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100 成等差数列,∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.4.已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n 项和为S n,则使得S n达到最大的n 是( )A.18B.19C.20D.21答案:C解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.5.设S n为等差数列{a n}的前n 项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=( )A.5B.6C.7D.8答案:Dn(n - 1)解析:(方法一)由题知S n=na1+2d=n+n(n-1)=n2,S n+2=(n+2)2,由S n+2-S n=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.(方法二)S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.(2019 广东汕头二模)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,2S3=2a4+S2,则a8=( )A.8B.9C.16D.15答案:D解析:由 2S3=2a4+S2,得 2(3a1+3d)=2(a1+3d)+(2a1+d),即 2a1=d,d=2,故a8=a1+7d=15.7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996 斤绵分给8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17 斤绵,那么第8 个儿子分到的绵是斤.(注:“斤”非国际通用单位)答案:184解析:用a1,a2,…,a8表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为 17 的等差数列,且这 8 项的和为 996,即{8 × 7× 即 8a 1+ 217=996,解得 a 1=65.所以 a 8=65+7×17=184.8. 记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,已知 a 1=-7,S 3=-15.(1) 求{a n }的通项公式;(2) 求 S n ,并求 S n 的最小值.解:(1)设{a n }的公差为 d ,由题意得 3a 1+3d=-15.由 a 1=-7 得 d=2.所以{a n }的通项公式为 a n =2n-9.(2)由(1)得 S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4 时,S n 取得最小值,最小值为-16.能力提升9.(2019 河北衡水高三下学期大联考)已知等差数列{a n }的首项 a 1=31,公差为 d (d 为整数),若数列{a n }的前 8 项和最大,则 d=( )A.-2B.-3C.-4D.-5答案:Ca 8 ≥ 0, 31 + 7d ≥ 0, 31 31 解析:由题意得{ a 9 < 0, 31 + 8d < 0, 所以- 7 d<- 8 又因为 d 为整数,所以 d=-4.故选 C .10. 已知数列{a n }为等差数列,其前 n 项和为 S n ,且 2a 1+3a 3=S 6,给出以下结论:①a 10=0;②S 10 最小;③S 7=S 12;④S 19=0.其中一定正确的结论是( )≤ .S nn S nA.①②B.①③④C.①③D.①②④ 答案:B解析:设等差数列{a n}的公差为d,则 2a1+3a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=0,a10=0,故①正确;若a1>0,d<0,则S9=S10,且它们为S n的最大值,故②错误;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即S7=S12,故③正确;19(a1 + a19)S19= 2 =19a10=0,故④正确.11.设数列{a}的前n项和是S,若点A (n, n)在函数f(x)=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a=3.n n n 1(1)求数列{a n}的通项公式;a a(2)记b n= n,求数列{b n}的前n 项和T n的最小值.解:(1)因为点A (n, n )在函数f(x)=-x+c 的图象上运动,S n所以n =-n+c,所以S n=-n2+cn.因为a1=3,所以c=4,所以S n=-n2+4n,所以a n=S n-S n-1=-2n+5(n≥2).又a1=3 满足上式,所以a n=-2n+5(n∈N*).(2)由(1)知,b n=aan=-2a n+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,{ {故数列{b n }为等差数列.当 n=1 时,a 1=-1<0,当 n ≥2 时,a n >0,则 T n 的最小值是 T 1=-1.12. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项公式 a n ;(2)求 S n 的最小值;S n(3)若数列{b n }是等差数列,且 b n =n + c ,求非零常数 c.解:(1)∵数列{a n }为等差数列,∴a 3+a 4=a 2+a 5=22.又 a 3·a 4=117,∴a 3,a 4 是方程 x 2-22x+117=0 的两实根.又公差 d>0,∴a 3<a 4,∴a 3=9,a 4=13,∴ a 1+ 2d = 9, a 1 + 3d = 13, ∴ a 1 = 1, d = 4.∴通项公式 a n =4n-3.(2)由(1)知 a 1=1,d=4,n(n - 1)(n - 1)2 - 1. ∴S n =na 1+ 2 d=2n -n=2 4 8∴当 n=1 时,S n 最小,最小值为 S 1=a 1=1.S n (3)由(2)知 S n =2n 2-n ,∴b n =n + c =2n 2 - nn + c , 1 6 15 .∴b 1=1 + c ,b 2=2 + c ,b 3=3 + c∵数列{b n }是等差数列, 2解得 6 ∴2b 2=b 1+b 3,即2 + c 1 2=1 + c 15 3 + c ,∴2c 2+c=0,1 1 .∴c=-2(c=0 舍去),故 c=-2高考预测13. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足:a 4=2a 2,且 a 1,4,a 4 成等比数列.(1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 求同时满足下列条件的所有 a n 的和:①20≤n ≤116;②n 能够被 5 整除.解:(1)∵a 4=2a 2,且 a 1,4,a 4 成等比数列,∴ a 1 + 3d = 2(a 1 + d), a 1 = 2,{ a 1·(a 1 + 3d) = 16, {d = 2. ∴数列{a n }的通项公式为 a n =a 1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n 同时满足:①20≤n ≤116;②n 能够被 5 整除,∴满足条件的 n 组成等差数列{b n },且 b 1=20,d=5,b n =115,115 - 20∴项数为5 +1=20.1 ∴{b n }的所有项的和为 S 20=20×20+2 ×20×19×5=1350.又 a n =2n ,即 a n =2b n ,∴满足条件的所有 a n 的和为 2S 20=2×1350=2700. × +。
等差数列
等差数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数 2项数=（末项-首项）公差+1末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数通项公式，利用它可以求出等差数列中的任何一项。
中间项=（首项+末项） 2例1、求等差数列3,8,13,18，…的第38项和第69项变式训练1、求等差数列1,4,7,10,13，…的第20项和第80项。
2、超市工作人员在商品上依次编号，分别为4,8，12,16，…请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个呢？3、商店中推行打包促销活动，每6个商品为一包。
第一包中每个商品的编号依次是3,6,9,12,15,18；第二包中编号为21,24,27,30,33,36.依次类推，请问第20包的第3个商品编号为多少？例2、36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？变式训练1、仓库有一叠被编上号的书，共40本，已知每下面一本书都比上面一本书的编号多5，最后一本书的编号是225，问第一本书的编号是几？2、学校举办运动会，共54个人参加，每人都有参赛号码，已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少4，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？3、幼儿园给小朋友们发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具上都有编号，已知最后一个小朋友玩具上的编号是98，每一个玩具的编号比后一个玩具的编号少3，问第一个小朋友手上的玩具是多少号？例3、游乐园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽150厘米，中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中一级的宽。
§3.1等比数列(1)
§3.1等比数列（1）（王全生 西工大附中 710072）【教材版本】北师大版【教材分析】1.知识内容与结构分析本节内容是教材§3等比数列中的第一节，计划课时2课时。
本节教材的主要内容有等比数列的概念，等比数列的公比，等比数列的通项公式与应用以及等比中项的概念。
教材在问题提出部分，利用生活中的两个实例引出等比数列的概念，然后通过这两个实例的分析，在抽象概括部分，给出等比数列的定义以及等比数列公比的概念，通过对等比数列定义符号语言的分析，利用不完全归纳法，得到等比数列的通项公式，最后在思考与交流部分，通过应用进一步深化与理解本节内容，同时提出了等比中项的概念。
2.知识学习意义分析等比数列与等差数列一样，在生活实际也有着非常广泛的应用：因此，等比数列在数列一章占有重要的地位．而且公式推导过程中蕴含的归纳、迭代、累积等思想方法，是解决数列问题的重要方法。
通过等比数列的学习，可以初步解决存款与贷款利息、增长率等一些问题。
在公式的推导时，运用了类比的思想方法，这种方法是进一步学习数列知识和解决数列问题的重要思维方法。
3.教学建议与学法指导等比数列同等差数列一样，也是一种非常特殊、非常重要的数列，它们都是描述生活中离散变量之间关系的重要数学模型．教材将等比数列安排在等差数列之后，鉴于等比数列与等差数列在概念上非常类似，因此，在教学过程中可以采用类比教学的方法，这样既可以强化对等差数列的理解，而且使新课的教学可以放开，由学生进行探究，激发学生自主求知的兴趣，教学过程也显得非常自然。
在引入等比数列概念时，教材给出了两个实例，实际教学时，建议补充几个实例（见教学过程），以强化概念的理解。
通过类比研究等差数列的方法，在学生得到等比数列的概念后，应引导学生不仅要注意两者之间的共同点，更应注意到两者的区别，例如：等差数列的公差d 可以为任意实数，但等比数列的公比q 不能为0。
等比数列的符号语言可以为1n n a q a +=()0,q n N ≠∈或1n n a q a -=()0,2,q n n N ≠≥∈，但不能变形为1n n a a q +=()0,q n N ≠∈，这两者是有区别的。
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课 题：3.1 等差数列（一）教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…（问：多少天后他的单词量达到3000？）2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，…请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =⨯-+=1)1(1（1≤n ≤6）数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-⨯-+=（n ≥1） 数列③;,1,54;53,52;51 551)1(51n n a n =⨯-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a n m --如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+=三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d an=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a⑵由4)5(9,51-=---=-=d a得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列n u 中，设数列的第s 项和第t 项分别为s u 和t u ，计算ts u u t s --的值，你能发现什么结论？并证明你的结论解：通过计算发现ts u u t s --的值恒等于公差 证明：设等差数列{n u }的首项为1u ，末项为n u ，公差为d ，⎩⎨⎧-+=-+=)2()1()1()1(11d t u u d s u u t s⑴-⑵得d t s u u t s )(-=- d ts u u t s =--∴ 小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设{}n a 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：1a =33, 12a =110，n=12∴d a a )112(112-+=,即10=33+11d 解得：7=d因此，,61,54,47740,407335432===+==+=a a a a,103,96,89,82,75,6811109876======a a a a a a答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm.例5 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2）） ])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数 ∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，… ②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个四、练习：1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *） ∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12, ∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7.∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：1a =0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +27, 令－27n +27=－20,解得n =747 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 2.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ;（2）已知3a =9, 9a =3,求12a .解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a . （2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a ∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。