数学知识点人教A版高中数学必修四1.3-1《三角函数的诱导公式》导学案-总结

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1.3三角函数的诱导公式(一) 新课标高中数学人教A版必修四教案

1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ 例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++- 的值。

高中数学人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)

研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么－α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？本课 π 时答角 α 的终边与－α 的终边关于直线 y＝x 对称．栏 2 目 π 开问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)，则－ 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
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填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α，＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课时栏目开关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
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sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
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§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．本课时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与栏目个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．开关现问题、解决问题的能力．

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案

2019-2020年高中数学必修四 1.3 《三角函数的诱导公式》导学案【学习目标】1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式．2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明．【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程新授课阶段 1．诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+o的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+o的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+o呢？结论：任意α与180α+o的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-o ， cos(180)x α+=-o ．从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=o sin α-；cos(180)α+=-ocos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-o oo ． 2．诱导公式三：思考：（1）360α-o的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任何角α与α-的终边位置关系如何？可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20︒与20180︒+︒，20︒与20180︒-︒的终边的关系．从而易知，,33)k z απαπαπαπαπ+-+-+∈L 与，，，（2k+1），(终边相同，所以三角函数值相等．由α与απ+的终边与单位圆分别相交于P 与 P ´，它们的坐标互为相反数P( x ，y)，P ´(-x ，-y) （见课本图1-18），所以有[]cos (21)-cos k απα++=[]sin (21)-sin k απα++= （三） []tan (21)tan k απα++=结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-． 3．诱导公式四：sin(180)sin αα-=o；cos(180)cos αα-=-o ．4．诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o；cos(360)cos αα-=o ．说明：①公式四、五中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-o；tan(360)tan αα-=-o5．公式六：ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+说明：①公式六中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限．结合公式（一）和（三）可以得出下结论：sin ,sin()sin a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数cos ,cos()cos a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数tan()tan ,n n Z απα+=∈由α与πα-和单位圆分别交于点P ´与点P ，由诱导公式（二）和（三）或P ´与点P 关于y 轴对称，可以得到 α与πα-只见的三角函数关系（见课本图1-19）ααπsin sin(=-） ααπ-cos cos(=-）例1 下列各三角函数值：219sin120cos135tancos()34ππ-oo解：例2 将下列三角函数化为0o 到45o之间角的三角函数：sin 68cos 75tan126oo o解：例3 求下列三角函数值：（1）sin 960o；（2）43cos()6π-．解：例4 （1）化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--；（2）sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765.⋅+--++oooooo解：（1）（2）例5 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．解：．例6 已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值．解：例7 化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．解：课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-ooo的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为α±⋅ok 90（k 为常整数）；3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）；4．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．作业课本第32页习题B 组第1、2题拓展提升 1．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（）A ．}42|{Z k k ∈+=ππααB ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα2．已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-3．设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（）A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－3 4．当Z k ∈时，])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为（）A ．－1B ．1C ．±1D ．与α取值有关5．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f 那么=)2004(f （）A ．1B ．3C ．5D ．76．已知3sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（） A.21 B. —21C. 23D. —237．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（） A.23 B. 21C. 23±D. —23 8．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（）A. sin 2cos2+B. cos2sin 2-C. sin 2cos2-D.±cos2sin 2- 9．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（）A ．231+-B ．231+-C ．231-D ． 231+ 10．已知,0cos 3sin =+αα则=+-ααααcos sin cos sin .11．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第象限 12．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝．13．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．14．已知方程sin(3) = 2cos(4)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值．参考答案例1解：3sin120sin(3090)cos30=+==oooo2cos135cos(4590)sin 45=+=-=o o o o 2tantan()cot 33626ππππ=+=-=- 191932cos()cos cos(4)cos()sin 444424πππππππ-==+=+=-= 例2 解：略．例3解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=oooo（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-o o o （诱导公式二）2=-．（2）4343cos()cos66ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos66πππ=+=（诱导公式一） cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式二）=．例4．解：（1）原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅- 2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=．（2）原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)=-⋅-+--ooooooootan(675720)cot(765720)+-+-o o o o sin 60cos30sin 30cos 60tan(45)cot 45=++-+o o o o o o11tan 4512222=⨯+⨯-+o 3111144=+-+= 例5解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例6解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-由已知得：43cos ,tan 54αα==-， ∴原式2120=．例7解：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-．②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+拓展提升1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C 7．Ａ 8．C 9．B 10．2 11．二 12．－213．解：θθθθθθcos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-=f=θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =θθθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++=θθθθθθcos 2cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ ∴()3f π＝cos3π＝21 14．解： ∵sin( 3) = 2cos( 4)∴ sin(3) = 2cos(4)∴ sin( ) = 2cos( )∴sin=2c os且cos∴43cos 4cos 3cos 2cos 2cos 5cos 2sin cos 2cos 5sin -=-=--+-=+-+=αααααααααα原式。

高中数学人教A版必修四第一章 1.3诱导公式(一)【教案】

必修四第一章 1.3 诱导公式（一）【教学目标】
1.知识与技能：
（1）识记诱导公式．
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．
2.过程与方法：
（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．
3.情感态度价值观：
（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．
【重点难点】
1.教学重点：诱导公式的推导及应用，三角函数式的求值、化简和证明等。

2.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，三角函数式的求值、化简和证明等。

【教学策略与方法】
1.教学方法：合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.
2.教具准备：直尺、多媒体
【教学过程】。

高中数学1.3三角函数的诱导公式(1)导学案新人教A版必修4

-y)高中数学 1.3 三角函数的诱导公式（1）导学案新人教A 版必修4一、三维目标：知识与技能:（1）、借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(απ±)；（2）、掌握公式二、三、四并灵活运用。

过程与方法:利用诱导公式并结合同角三角函数的关系进行三角函数式求值、化简和证明。

情感态度与价值观:培养学生应用数形结合的思想，推导出诱导公式，并能将它应用在解决问题中。

二、学习重、难点：能够恰当的运用四种诱导公式并结合同角三角函数的关系进行三角函数式求值、化简和证明。

三、学法指导：认真阅读教材，掌握四种诱导公式并能运用公式进行化简求值。

四、知识链接：1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ）,那么sin α= ；cos α= ；tan α= 。

2. 诱导公式一：3. 同角三角函数基本关系：（1）22sin cos 1αα+=；（2）sin tan cos ααα=练习：若1sin cos 2θθ=，则cos tan sin θθθ+的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D.12 五、学习过程：认真阅读教材23～25页，熟记下列四种诱导公式，完成学案内容。

如图，任意角α的终边与单位圆的交点P （x ,y ），那么απ+的终边与单位圆的交点坐标是；απ-的终边与单位圆的交点坐标是；α-的终边与单位圆的交点坐标是。

1．诱导公式二：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+）ααπtan tan(=+） 2．诱导公式三：αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）认真研究教材24页诱导公式二的推导过程，写出诱导公式三的推导过程：3．诱导公式四：ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-） ααπtan tan(-=-）注：四组诱导公式可概括为： απ±k 2（k ∈Z ），α-，απ±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

【数学】1.3《三角函数的诱导公式》学案(1)(新人教A版必修4)

难点16 三角函数的诱导公式运用三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)故－22a－2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34 D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc)cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x xx x xx x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin 2(sin2)2sin 2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc)cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ）∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ.于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log2log82log,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y Mt t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。

人教a版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式(1)(含答案)

1.3三角函数的诱导公式(一)自主学习知识梳理1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于____对称；－α与α关于____对称；π－α与α关于____对称.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.自主探究你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？对点讲练知识点一给角求值问题例1求下列各三角函数值．(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6；(3)tan 945°.回顾归纳此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．变式训练1求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．知识点二给值求值问题例2已知sin3π－αcos3π－α＝2，求sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α的值．回顾归纳(1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．变式训练2已知cos π6－α＝33，求cos 5π6＋α－sin2α－π6的值．知识点三化简三角函数式例3化简：sin－2π－θcos6π－θtan2π－θcosθ－πsin5π＋θ.回顾归纳解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论．变式训练3化简：sin[k＋1π＋θ]·c os[k＋1π－θ]sin kπ－θ·cos kπ＋θ(其中k∈Z)．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～π2求值2.诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.课时作业一、选择题1．sin 585°的值为()A．－22B.22C．－32D.322．若n为整数，则代数式sin nπ＋αcos nπ＋α的化简结果是()A．tan nαB．－tan nαC．tan αD．－tan α3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k24．tan(5π＋α)＝m，则sinα－5πcosπ＋α的值为()A．m B．－m C．－1 D．15．若sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53B．－53C．±53D．以上都不对二、填空题6．sin－π3＋2sin5π3＋3sin2π3＝______.7．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是________．8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝________.三、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π的值．10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.§1.3三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称；－α与α关于x轴对称；π－α与α关于y轴对称.2.(1)sin αcos αtan α(2)－sin α－cos αtan α(3)－sin αcos α－tan α(4)sin α－cos α－tan α自主探究解设P(x，y)为角α终边上任一点，∵角α与π＋α终边关于原点对称．∴P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)位于角π＋α的终边上．∴|OP′|＝|OP|＝x2＋y2＝r.由任意角三角函数的定义知：sin(π＋α)＝－yr＝－sin α，cos (π＋α)＝－xr＝－cos α，tan(π＋α)＝－y－x＝yx＝tan α.借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．对点讲练例1解(1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－3 2；(2)cos 47π6＝cos(11π6＋6π)＝cos11π6＝cos(2π－π6)＝cosπ6＝32；(3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.变式训练1解原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°)＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝－32×32＋12×12＋1＝1 2 .例2解∵sin3π－αcos3π－α＝2，∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2.∵sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1∴sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝1－2－2－1＝13.变式训练2解cos 5π6＋α－sin2α－π6＝－cosπ－5π6＋α－sin2π6－α＝－cos π6－α－sin2π6－α＝－33－1－332＝－33－23＝－2＋33.例3解原式＝－sin2π＋θ·cos θ·－tan θcosπ－θ·sinπ＋θ＝sin θ·cos θ·tan θ－cos θ·－sin θ＝sin θ·cos θ·tan θsin θ·cos θ＝tan θ变式训练3解当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝sin[2n＋1π＋θ]·c os[2n＋1π－θ] sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ＝sinπ＋θ·cosπ－θ－sin θ·cos θ＝－sin θ·－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝sin[2n＋2π＋θ]·c os[2n＋2π－θ] sin[2n＋1π－θ]·c os[2n＋1π＋θ]＝sin[2n＋1π＋θ]·c os[2n＋1π－θ] sinπ－θ·cosπ＋θ＝sin θ·cos θsin θ·－cos θ＝－1.∴上式的值为－ 1. 课时作业1．A[sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－2 2 .]2．C[若n为偶数，则原式＝sin αcos α＝tan α；若n为奇数，则原式＝sinπ＋αcosπ＋α＝tan α.]3．B[∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝1－k2.∴tan 80°＝1－k2 k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2 k.]4．A[∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，∴tan α＝m.原式＝－sin α－cos α＝tan α＝m.]5．B[∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－23＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin2α＝－1－49＝－53.]6．0解析原式＝－sin π3＋2sin2π－π3＋3sin2π3＝－32－2×32＋3×32＝0.7．－1解析原式＝1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos2×360°＋70°＝1－2sin 110°cos 70°cos 70°－sin 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°| cos 70°－sin 70°＝－1.8．3解析f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2 ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asin α＋bcos β)＝1.∴asin α＋bcos β＝1.f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2 ＝asin α＋bcos β＋2＝3.9．解原式＝－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝2 3，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，则原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝2 3，sin α＝－1－cos2α＝－5 3，∴tan α＝sin αcos α＝－52，则原式＝52.10．证明∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴α＝2kπ＋π2－β (k∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan22kπ＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案(1)

1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系.(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得诱导公式五 sin ()2απ-=cos α，cos ()2απ-=sin α. 知识点二诱导公式六思考能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α). 由此可得诱导公式六 sin ()2απ+=cos α，cos ()2απ+=－sin α.知识点三诱导公式的推广与规律1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.类型二利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ) ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明因为左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三诱导公式在三角形中的应用例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状.解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形.反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.类型四诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值.解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )精品文档A.－233B.233C.13D.－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53B.－23C.53D.±53答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53.3.已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( )A.2B.－2C.0D.23答案 B解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.证明因为左边＝tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.35精品文档答案 B解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－35.又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45，故选B.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cosA ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos(π2－B 2)＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，故D 项正确. 4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2 答案 C 解析 cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－3m 2.二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝ . 答案265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245° ＝44＋12＝892.9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ . 答案 2解析因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ . 答案π2解析由题意得3cos A ＝3sin A ， ① cos A ＝3cos B ，②由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cosπ63＝12，∴B ＝π3.∴C ＝π2.三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)，∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ .答案－34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。

三角函数的诱导公式一教学设计与反思

出示问题，引导学生思考
让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯.这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的.
（五）小结
1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.
2.体会数形引导学生小结
然而还有一些缺憾：对本节内容，难度不高，本人认为，教师的干预（讲解）还是太多。
在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效。
(2).过程与方法目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；
(4).情感态度价值观目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观．
教学重点和难点
1.教学重点理解并掌握诱导公式.
四．简单应用
例1：求值：sin225°、cos43π、sin(－3π)、cos（－76π）、tan（－855°）练习：利用公式求下列三角函数值：(1) sin76π；(2) cos(−60°)；（3）°225cos（4）311sinπ；（5）)316sin(π−；（6）)2040cos(°−．例2：化简sin(180)cos(720)cos(180)sin(180
（三）问题一般化探究1
1.探究发现任意角Π﹢α的终边与α的终边关于原点对称；
2.探究发现任意角Π‐α的终边和α角的终边与单位圆的交点坐标关于y对称；

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式教案(1)

课题：1. 3三角函数的诱导公式(第1课时)教材：人教A版高中数学必修4Ⅰ．教学内容解析本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质。

前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上继续学习公式二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。

三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。

Ⅱ．教学目标设置1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.2.学生经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与ααπαπ-+-,,的三角函数值之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，感受数学中结构的对称美，形式的简洁美。

Ⅲ．学生学情分析授课班级学生敦化市实验中学实验班学生．1.学生已有认知基础学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系，这一点对于实验班的学生来说是可以独立完成的，学生数学基础与思维能力较好，具有一定的分析问题和解决问题的能力，初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯．2.难点及突破策略难点：1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。

1.3 三角函数的诱导公式-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)

知识点一诱导公式一设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式一sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.知识点二诱导公式二思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.απ+与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平11.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点。

2.使用诱导公式的目的在于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

【考查内容】诱导公式的应用，三角函数的基本关系式。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.α-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平 13.απ-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平14.απ±2与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平1第三讲三角函数的诱导公式知识通关答案角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点三诱导公式三思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三梳理公式一～三都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这三组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．知识点四诱导公式四完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系．(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得诱导公式四知识点五诱导公式五思考能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案以－α代替公式四中的α得到 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin(－α)．由此可得诱导公式五知识点六诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α.2．诱导公式记忆规律：公式一～三归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式四～五归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．五组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．题型一利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题变式训练1-1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)．解析： (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2) cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.命题角度2 给值求值或给值求角问题例1-2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3答案 D－α)题型三利用诱导公式求值例3、已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．解析： ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.变式训练3已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值．解析： ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 题型四利用诱导公式证明三角恒等式规律方法例4、求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明： ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．变式训练4求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).证明：右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边，所以原等式成立．题型五诱导公式的综合应用规律方法例5 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．解析： (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.变式训练5已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 解析：(1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.一、选择题1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4 D ．4－π 解析： tan(π－α)＝－tan α＝－4. 答案 C2．cos(π＋x )等于( ) A ．cos x B ．－cos x C ．sin xD ．－sin x解析：由诱导公式得cos(π＋x )＝－cos x . 答案 B3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.35解析：因为sin(π＋α)＝35，且sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. 答案 B4．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析： ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.A 组基础演练答案 B5．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对解析： ∵sin(π－α)＝sin α＝32log 2－2＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 答案 B6．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α等于( ) A ．－53B ．－23C.53D ．±53解析： ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α＝－53. 答案 A7．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23解析： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C. 答案 C9．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k D ．不确定解析： cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k 答案 B.10．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析： ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确．答案 D二、填空题11．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为______．解析： tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝－3a＝3，即a ＝－ 3.答案－3 12.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.答案 2－213．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析： ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22，∴b ＞a ＞c . 答案 b ＞a ＞c14．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝ .解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.答案－1三、解答题16.化简下列各式：(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).解析： (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.17．已知角α的终边经过单位圆上的点P ⎝⎛⎭⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求cos (2π－α)sin (π＋α)·tan (π＋α)cos (3π－α)的值．解析： (1)∵点P 在单位圆上，∴由正弦的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦的定义得cos α＝45，故原式＝54.一、选择题1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32.答案 C2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案 D3．已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α解析：当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.答案 C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13解析： cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13.答案 C5．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( )A ．1B ．sin 2αC ．－cos 2αD ．－1解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α，所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.答案 C6．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析： f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.答案 A7．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m2解析： ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.答案 C解析：∵f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＋4＝3，∴a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝－1，∴f (2018)＝a sin(2017π＋α＋π)＋b cos(2017π＋β＋π)＋4＝－a sin(2017π＋α)－b cos(2017π＋β)＋4＝1＋4＝5.答案 C10．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( )A ．89B ．90 C.892D ．45解析：原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 答案 C二、填空题11．化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________. 解析： cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α ＝cos αtan αsin α＝cos αsin αcos αsin α＝1. 答案 112．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 017)＝－1，则f (2 018)＝________. 解析： ∵f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin(π＋2 017π＋α)＋b cos(π＋2 017π＋β)＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＝－f (2 017)，又f (2 017)＝－1，∴f (2 018)＝1.答案 113．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案－214．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是．①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13； ③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 解析：由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．答案 ③三、解答题15. 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解析： (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.16．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．解析： ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.17．已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．解析： f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60° ＝－233.高中数学，同步讲义必修四第一章三角函数第三讲三角函数的诱导公式。

新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结

高中数学必修 4 三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念 .2、与角终边相同的角的集合： 2k ,k Z .§1.1.2、弧度制3、弧长公式： l n RR .180§1.2.1、任意角的三角函数sin y， cosx， tan y ， cot xrr x y3、 sin ， cos ， tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT4、特殊角 0°， 30°， 45°， 60°， 90°，180°， 270 等的三角函数值 .§1.2.2、同角三角函数的基本关系式221、平方关系： sin 2cos 21.sin2、商数关系： tan .64322334322sincostan1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 4、扇形面积公式2nR ：S 3601lR .21、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点A x ,y P x,y ，那么： sin y, cos x, tan yx （设 r x 2 y 2） 2、cos3、倒数关系：tan cot 1§ 1.3 、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限” k Z ）sin 2k sin ,1、诱导公式一： cos 2k cos , （其中： k Z ） tan 2k tan . sin sin ,2、诱导公式二： cos cos ,tan tan . sin sin ,3、诱导公式三： cos cos ,tan tan . sin sin ,4、诱导公式四： cos cos ,tan tan .3、会用五点法作图 .y sin x 在 x [0,2 ] 上的五个关键点为： § 1.4.3 、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：5、诱导公式五6、诱导公式六§ 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx-52 y-2 1-4 -7-3 -2 -3 -232o272x2 53 4y=cosx-5 -32 -4 -7372 3 2 2 -2 -3222、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：单调性、周期性 . o 2 5 4x定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、30，0）（，2 ，1）（，，2sin2、记住余切函数的图象：yy=cotx- -2 o3223、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 . 周期函数定义：对于函数f x ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ，那么函数f x 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§ 1.5 、函数y Asin x 的图象1、对于函数：y Asin x B A 0, 0 有：振幅 A，周期T 2，初相，相位x ，频率f T1 2 2、能够讲出函数y sin x的图象与y Asin x B 的图象之间的平移伸缩变换关系 .①先平移后伸缩：y sin x 平移| | 个单位y si nx(左加右减)横坐标不变y Asi n x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变 y Asin x1横坐标变为原来的 | | 倍平移 |B|个单位 y Asin x B (上加下减)② 先伸缩后平移：y sin x 横坐标不变 y Asinx纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变 y Asin x1横坐标变为原来的 | 1| 倍平移个单位 y Asi n x (左加右减)平移 |B|个单位 y Asin x B (上加下减)3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 2函数 y sin( x )，x∈R 及函数 y cos( x) ， x ∈R(A, , 为常数，且 A≠0) 的周期 T函数 y tan( x ) ， x k ,k Z (A, ω, 为常数，且 A≠ 0)的周期 T2 | |对于 y Asin( x )和 y Acos( x )来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系求函数 y Asin( x ) 图像的对称轴与对称中心，x k (k Z)解出 x 即可. 余弦函数可与正弦函数类比可得 4、由图像确定三角函数的解析式要根据周期来求 , 要用图像的关键点来求 § 1.6 、三角函数模型的简单应用 1、要求熟悉课本例题 .第三章、三角恒等变换§ 3.1.1 、两角差的余弦公式记住 15°的三角函数值：§3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式只需令 x k (k Z) 与2利用图像特征：ymax y min2 ymax ymin21、 sin sin cos cossin2、 sin sin cos cossin3、 cos cos cos sinsin4、 cos cos cos sin sin§ 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin2 2sin cos ，变形： sin cos 21sin 2 .2、 cos2 cos 2sin 22cos 2121 2sin . 变形如下：21 cos2 2cos 2升幂公式：2 1 cos2 2sin 23、 tan22tan2.1 tan 2sin2 1 cos24、tan1 cos2 sin2§ 3.2 、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次 .2、辅助角公式 y asinx bcosx a 2b 2sin(x )(其中辅助角所在象限由点 (a,b) 的象限决定 , tan b).a 第二章：平面向量§ 2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度 .2、既有大小又有方向的量叫做向量 . § 2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 .2、向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度(或称模)，记作 AB ；长度为零的向量叫做零向量等于 1 个单位的向量叫做单位向量 .3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量） . 规定：零向量与任意向量平行 § 2.1.3 、相等向量与共线向量5、 t an tan tan1 tan tan 6、 t antan tan 1 tan tan降幂公式：cos 2 2sin 1 12(1 cos2 ) 12(1 cos2 )长度1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . § 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则 .2、 a b ≤ a b .§ 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 .§ 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 . 记作： a ，它的长度和方向规定如下：⑵当0时, a 的方向与 a 的方向相同；当 0时, a 的方向与 a 的方向相反2、平面向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 b a . § 2.3.1 、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果 e 1,e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数 1, 2，使 a 1e 1 2e 2 . § 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a xi y j x,y .§ 2.3.3 、平面向量的坐标运算1、设a x 1,y 1 ,b x 2, y 2 ，则：⑴⑴a b x 1 x 2, y 1 y 2 ， ⑵a b x 1 x 2,y 1 y 2 ， ⑶ax 1, y 1 ，⑷a//b x 1y 2 x 2 y 1.2、设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则：AB x 2 x 1, y 2 y 1 .§ 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设 A x 1,y 1 ,B x 2, y 2 ,C x 3,y 3 ，则 ⑴线段 AB 中点坐标为 x12x2,y12y2， ⑵△ ABC 的重心坐标为x1 x 32 x3 , y 1 y 32 y 3§2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a b a b cos .2、 a 在b 方向上的投影为： a cos .3、5、 a b a b 0.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设a x 1,y 1 ,b x 2, y 2 ，则：⑴a b x 1x 2 y 1 y 2⑵ ax 12 y 12⑶a b a b 0 x 1x 2 y 1y 2 0⑷a/ /b a b x 1y 2 x 2y 1 0 2、设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则：ABx 2 x 1 2y 2 y 1 2.3、两向量的夹角公式22aa4、4、点的平移公式则x x h y y k.函数 y f (x) 的图像按向量 a (h,k) 平移后的图像的解析式为 y k f (x h).§ 2.5.1 、平面几何中的向量方法§ 2.5.2 、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 . 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳 .1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若 A 、 B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与 AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 . ⑵．平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n ，如果 n ，那么向量n叫做平面的法向量 .⑶．平面的法向量的求法( 待定系数法) ： ① 建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为 n (x, y, z) ． ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标n④ 根据法向量定义建立方程组 nn⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 .2、用向量方法判定空间中的平行关系cos平移前的点为 P(x,y) (原坐标) ，平移后的对应点为 P(x,y) 新坐标)，平移向量为 PP (h,k) ，a (a 1,a 2,a 3),b (b 1,b 2,b 3)如图)ab abx 1 x 2 y 1 y 2⑴线线平行设直线 l 1,l 2的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l 1∥ l 2，只需证明 a ∥b ，即 a kb （k R ）. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线 .⑵线面平行①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，则要证明 l ∥ ，只需证明 a u ，即a u 0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 .⑶面面平行若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证 ∥ ，只需证 u ∥ v ，即证 u v即：两平面平行或重合两平面的法向量共线 .3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线 l 1,l 2的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l 1 l 2 ，只需证明 a b ，即 a b 0.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直 ⑵线面垂直①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，则要证明 l ，只需证明 a ∥ u ，即a u .a m 0②（法二）设直线 l 的方向向量是 a ，平面内的两个相交向量分别为 m 、n ，若 ,则l .a n 0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直 .⑶面面垂直若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证，只需证 u v ，即证 u v 0. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直 .4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角已知 a, b 为两异面直线， A ，C 与B ，D 分别是 a, b 上的任意两点， a,b 所成的角为， AC BDAC BD .⑵求直线和平面所成的角① 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角则 cos②求法：设直线l 的方向向量为a，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为，a与u 的夹角为，则为的余角或的补角的余角 .即有：① 定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上任取一点 O ，分别在两个半平面内作射线AO l,BO l ，则 AOB 为二面角l 的平面角 .如图： ②求法：设二面角 l 的两个半平面的法向量分别为 m 、n ，再设 m 、n 的夹角为，二面角l 的平面角为，则二面角为 m 、n 的夹角或其补角 .根据具体图形确定是锐角或是钝角：mnmn即 arccos ；mnmnm n ◆如果是锐角，则 cos cos ◆ 如果是钝角，则 cos co5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离若 Q 为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上， a 为直线 l的方向向量， h |1a| (|a||b|)2 (a b)2⑵ 点 A 到平面的距离 =PQ ，则点 Q 到直线 l 距离为若点 P 为平面外一点，点 M 为平面内任一点，平面的法向量为 n ，则 P 到平面的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值mn即 arccos当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等 .由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离 .⑷ 两平行平面 , 之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离n MP即 d .n⑸异面直线间的距离设向量 n 与两异面直线 a,b 都垂直， M a,P b,则两异面直线 a,b 间的距离 d 就是MP 在向量 n 方向上投影的绝对值6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PO ,O 推理模式： PA A a PAa ,a OA 概括为：垂直于射影就垂直于斜线 . ⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO ,O 推理模式： PA A a AOa ,a AP 概括为：垂直于斜线就垂直于射影 .7、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线， AD 是的一条斜线 AB 在内的射影，且 BD ⊥ AD ，垂足为 D.设 AB 与 (AD) 所成的角为1， AD 与 AC 所成的角为 2， AB 与 AC 所成的角为．则 cos cos 1 cos 2. A 21即d n MP n. 即 d8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面内的射影图形的面积为S S射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则S ' S射cos = .S S原9、一个结论长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3, 则有l2l12l22l32cos21cos22cos231 sin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例） .。

高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一) 学案新人教A版必修4

广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学必修四1.3三角函数的诱导公式(一) 学案【学习目标】1. 认识诱导公式。

2. 初步运用诱导公式求三角函数值，并进行三角函数式的化简和证明。

【重点、难点】应用诱导公式进行化简、求值自主学习案【问题导学】P(x,y)关于原点对称的点为_________P(x,y)关于x 轴对称的点为_________P(x,y)关于y 轴对称的点为_________与a 角终边相同的角的集合________与a 角终边关于原点对称的角的集合________与a 角终边关于x 轴对称的角的集合________与a 角终边关于y 轴对称的角的集合________诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等sin(2k π+α)=_______ cos(2k π+α)=__________ tan(2k π+α)=_______ 诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式sin(π+α)=___________ cos(π+α)=____________ tan(π+α)=_______ 诱导公式（三）关于x 轴对称的三角函数公式sin(－α)=____________ cos(－α)=____________ tan(－α)=______ 诱导公式（四）关于y 轴对称的三角函数公式sin(π－α)=____________ cos(π－α)=____________tan(π－α)=______【预习自测】1.把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值。

(1) sin 1110°=__________ (2) tan 94π = ____________ (3) cos(－ 116π)= ____________ 2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值(1) cos(－ 3π5)=___________(2) tan 138π= _____________ (3) sin 197π=_________________ 3.求下列三角函数值(1)sin(- π4)=___________ (2) cos(-60°)=____________ (3)tan(-236π) =__________ (4) sin(- 103π)=____________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 在0°到360°写出下列角终边相同的角（1）1289° （2）-2040°例2 利用公式求下列三角函数值（1）cos 225° (2) sin311π (3) sin(-623π) (4) cos(-2040°)例3（1）化简)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)【当堂检测】1. 转化为锐角三角函数(1) cos210°=_____________ (2) sin 263°42′=_____________(3)cos(－7π)=____________ (4) tan 617π=_________________ 2. 化简 )sin()an(360)(cos 2αα-+︒--t a = __________3. 化成关于a 的三角函数(1) sin(360°－α)=___________ (2) cos(360°－α)=_______________(3) tan(360°－α)=___________【小结】课后练习案1. 利用公式求下列三角函数值cos(－420°)=_________ sin(－76π)= _____________ sin(－1300°)=_________ cos(679π-)=__________________ 2. 若sin20°=a ，则tan 200°=________________3. sin 34πtan(45π-)=____________ sin 210°=_____________ 4. 已知cos α=31，02<<-a π，求a a a a )tan cos(-))sin(2cos(+--ππ5. 化简(1) sin 3(－a)cos(2π+a)tan(－a －π)(2) ))tan(k -sin(k ))cos((sin 2a a a a k --+πππ。