2011文科数学总复习——三角函数的性质(2) 课时作业

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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课时作业新人教A版必修41118653

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课时作业新人教A版必修411186531.4.2 正弦函数、余弦函数的性质选题明细表知识点、方法题号求三角函数的周期1,6,9三角函数的奇偶性的判断8正、余弦函数的单调性2,3,7,13正、余弦函数的值域与最值问题5,11,12正、余弦函数的综合问题4,10基础巩固1.(2019·拉萨市高一月考)函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( A )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10解析:函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,可得T==≤2,k≥2π,则正整数k 的最小值为7.故选A.2.满足sin(x-)=的x的集合是( D )(A)(B)(C)(D)解析:sin(x-)=,x-=2kπ+或x-=2kπ+π,k∈Z,x=2kπ+π或x=2kπ+π,k∈Z.故选D.3.(2018·贵阳市高一期末)在下列给出的函数中,以π为周期且在区间(0,)内是减函数的是( B )(A)y=sin (B)y=cos 2x(C)y=sin(x-) (D)y=sin(2x+)解析:对于A,y=sin 的周期为T==4π,不合题意;对于B,x∈(0,)时,2x∈(0,π),所以y=cos 2x在(0,)上是减函数,又函数的周期为T=π,满足题意;对于C,x∈(0,)时,x-∈(-,),所以y=sin(x-)在(0,)内是增函数,不合题意;对于D,x∈(0,)时,2x+∈(,),所以y=sin(2x+)在(0,)内不是单调递减函数,不合题意.故选B.4.(2019·南昌市高一月考)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下列结论错误的是( A )(A)函数f(x)是奇函数(B)函数f(x)的最小正周期为2π(C)函数f(x)在区间[0,]上是增函数(D)函数f(x)的图象关于直线x=0对称解析:函数f(x)=sin(x-)=-sin（-x）=-cos x(x∈R),所以f(x)=-cos x是偶函数,A错误;f(x)=-cos x的最小正周期为2π,B正确;y=cos x在[0,]上是减函数,所以f(x)=-cos x在区间[0,]上是增函数,C正确;由y=cos x的图象知,f(x)=-cos x的图象关于直线x=0对称,D正确.故选A.5.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|ϕ|的最小值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:函数关于点(,0)对称,则有3cos(2×+ϕ)=0,即cos(+ϕ)=0,所以cos(+ϕ)=0,即+ϕ=+kπ,k∈Z,即ϕ=-+kπ,k∈Z,所以当k=0时,|ϕ|=,此时|ϕ|最小.故选A.6.(2018·巢湖市高一期末)函数f(x)=3cos(x-)的最小正周期为. 解析:根据题意,函数f(x)=3cos(x-),其中ω=,其最小正周期T==4.答案:47.函数f(x)=2sin(-2x)在[π,2π]上的单调递增区间是.解析:2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,-kπ-π≤x≤-kπ-,k∈Z.又x∈[π,2π],故当k=-2时,≤x≤满足题意.答案:8.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ),试求ϕ为何值时:(1)f(x)是奇函数?(2)f(x)是偶函数?解:(1)因为f(x)的定义域为R,所以当f(x)为奇函数时必有f(0)=0.即sin ϕ=0,所以ϕ=kπ(k∈Z).即当ϕ=kπ(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是奇函数.(2)因为偶函数的图象关于y轴对称,且正、余弦函数在对称轴处取最值,所以要使f(x)为偶函数,需有f(0)=±1,即sin ϕ=±1.所以ϕ=kπ+(k∈Z).即当ϕ=kπ+(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是偶函数.能力提升9.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于( B )(A)1 (B)(C)0 (D)-解析:由题意知,f(-)=f(-3×+)=f()=sin =.10.(2019·沈阳市高一期中)函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,则下列说法错误的是( C )(A)函数f(x)在区间(0,)上单调递减(B)函数f(x)的图象关于直线x=-对称(C)函数f(x)在区间(,)上单调递增(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称解析:因为函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,所以ϕ+=+kπ,k∈Z,则ϕ=+kπ,k∈Z,ϕ=.所以f(x)=sin(2x+)=cos 2x.当x∈(0,)时,2x∈(0,π),函数f(x)在区间(0,)上单调递减,故A正确;f(-)=cos(-π)=-,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确;当x∈(,)时,2x∈(,),函数f(x)在区间(,)上先减后增,故C错误;f（）=cos=0,函数f(x)的图象关于点（,0）对称,故D正确.所以说法错误的是C.故选C.11.(2018·张家港市高一期中)已知函数f(x)=sin（x+）,其中x∈[-,],则f(x)的值域是.解析:函数f(x)=sin(x+),当x∈[-,]时,x+∈[-,],所以sin(x+)∈[-,1];且x=-时,f(x)取得最小值-,x=时,f(x)取得最大值1;所以f(x)的值域是[-,1].答案:[-,1]12.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],最大值为1,最小值为-5,求a和b的值. 解:因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π,所以-≤sin(2x-)≤1,易知a≠0.当a>0时,f(x)max=2a+b=1,f(x)min=-a+b=-5.由解得当a<0时,f(x)max=-a+b=1,f(x)min=2a+b=-5.由解得探究创新13.已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上是增函数,求ω的取值范围.解:由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是[-+,+](k∈Z).据题意,[-,]⊆[-+,+](k∈Z).从而有解得0<ω≤.故ω的取值范围是(0,].。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时作业新人教版必修4

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第一章三角函数 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）课时作业新人教版必修41.函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.当x ＝π时，f (π)＝－π＜0，排除A ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时y ＞0，排除C ，选D.答案 D2.若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A.sin α>sin βB.sin β>sin αC.sin α≥sin βD.sin α与sin β的大小不定答案 D3.函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A.－1B.1C.－12D.－5解析由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.答案 C4.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为_______. 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 答案 sin 3<sin 1<sin 25.若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝_____.解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34.答案 346.求下列函数的单调增区间. (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z ).整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z ).所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z ).7.已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a >0).(1)写出函数f (x )的单调递减区间；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意得2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2，f (x )max ＝a ＋b ＝ 3.由2,2,22a a b b a b ⎧=⎧-+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪+=⎩8.求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值______. 解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z ). 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ). 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.能力提升9.函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间. 答案 C 10.函数y ＝2sin x的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.[]2k π－π，2k π(k ∈Z ) D.[]2k π，2k π＋π(k ∈Z )解析函数y ＝2x为增函数，因此求函数y ＝2sin x的单调减区间即求函数y ＝sin x 的单调减区间. 答案 B11.已知函数y ＝2sin(3x ＋φ)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称，则φ的一个可能取值为_____(只需填写一个即可).解析由题意，3×π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，令k ＝1，则φ＝π4.答案π4(答案不唯一) 12.关于下列结论：①函数y ＝sin x 在第一象限是增函数；②函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是偶函数； ③函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数. 其中所有正确的结论的序号为.解析 ①第一象限的角是无数个不连续的区间构成，由函数单调性的定义，易知①错误.②y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，是奇函数，②错误.③令z ＝2x －π3，又y ＝4sin z的对称中心是(k π，0)，∴2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，③正确.④显然错误. 答案 ③13.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3，x ∈R .(1)用五点法作出函数的简图； (2)分别写出它的值域、单调区间. 解 (1)列表：(2)值域为[1，5]，当x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )时，为增函数. ∴单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).当x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )时，即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ∈Z )时，为减函数. ∴单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ∈Z ).探究创新14.设定义域为R 的奇函数y ＝f (x )为减函数，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 ∵f (x )是奇函数，∴f (cos 2θ＋2m sin θ)>－f (－2m －2)＝f (2m ＋2). 又f (x )在R 上递减，∴cos 2θ＋2m sin θ<2m ＋2，即2m (1－sin θ)>cos 2θ－2.而sin θ＝1时该不等式恒成立，∴当sin θ≠1时，m >－1－sin 2θ2（1－sin θ）. 令t ＝1－sin θ，则t ∈(0，2]，且g (θ)＝－1－sin 2θ2（1－sin θ）＝－1－（1－t ）22t ＝－12⎝⎛⎭⎪⎫t ＋2t －2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －2t 2＋22－2≤1－ 2.故实数m 的取值范围为(1－2，＋∞).。

高考数学一轮复习必备第34课时第四章三角函数-三角函数的性质(二).doc

第34课时：第四章三角函数——三角函数的性质（二）一．课题：{三角函数的性质（二）二．教学目标：掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用解决一些问题．三．教学重点：三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用．四．教学过程：（一）主要知识：三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数奇偶性单调区间siny x=奇在[2,2]22k kππππ-+上增在3[2,2]22k kππππ++减()k Z∈cosy x=偶在[2,2]k kπππ-上增在[2,2]k kπππ+减()k Z∈tany x=奇在(,)22k kππππ-+上增()k Z∈（二）主要方法：1．三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；2．函数sin()y A xωϕ=+(0,0)Aω>>的单调区间的确定，基本思路是把xωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．（三）例题分析：例1．判断下列函数的奇偶性：（1）()|sin2|tanf x x x x=-⋅；（2）cos(1sin)()1sinx xf xx-=-．解：(1)∵()f x的定义域为{|,}2x x k k Zππ≠+∈，∴定义域关于原点对称，又∵()|sin(2)|()tan()|sin2|tan()f x x x x x x x f x-=---⋅-=-⋅=，∴()f x为偶函数．（2）∵()f x的定义域为{|2,}2x x k k Zππ≠+∈不关于原点对称，∴()f x为非奇非偶函数．例2．比较下列各组中两个值的大小：（1）3cos2，1sin10，7cos 4-；（2）3sin(sin )8π，3sin(cos )8π．解：（1）∵11sincos()10210π=-，77cos cos()44π-=-，又∵713042102πππ<-<-<<及cos y x =在(0,)π内是减函数，∴可得317cos sin cos2104<<-．（2）∵3cossin 88ππ=，∴330cos sin 188ππ<<<，而sin y x =在(0,1)上递增，∴33sin(sin)sin(cos )88ππ>．例3．设定义域为R 的奇函数()y f x =是减函数，若当02πθ≤≤时，2(c o s 2s i n)(22)0f m f m θθ++-->，求m 的值．解：∵()y f x =是奇函数，∴(22)(22)f m f m --=-+，原不等式可化为2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ+-+>，即2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>+．∵()f x 是减函数，∴2cos 2sin 22m m θθ+<+，即2sin 2sin 12m m θθ->--，22(sin )21m m m θ->--. ∵02πθ≤≤，∴0sin 1θ≤≤．当2210m m --<即1212m -<<+时，22(sin )21m m m θ->--成立；当12m ≥+时，22(1)21m m m ->--，即11>-成立；当12m ≤-时，22(0)21m m m ->--，即12m >-．综上所述，m 的取值范围是12m >-．例4．《高考A 计划》考点31，智能训练13：已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ωϕ和的值．解：由()f x 是R 上的偶函数，得()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，展开整理得：cos sin cos sin x x ϕωϕω-=，对任意x 都成立，且0ω>，所以cos 0ϕ=．又0ϕπ≤≤，所以2πϕ=．由()f x 的图象关于点M 对称，得33()()44f x f x ππ-=-+．取0x =，得33()()44f f ππ=-，所以3()04f π=，∴333()sin()cos 4424f πωππωπ=+=．所以33cos0,0,442k ωπωππωπ=>=+又得，()k N ∈．即2(21),0,1,2,3k k ω=+=220,,()sin()[0,]3322k f x x ππω===+当时在上是减函数；1,2,()sin(2)[0,]22k f x x ππω===+当时在上是减函数；102,,()sin()[0,]322k f x x ππωω≥==+当时在上不是单调函数；综上所得223ωω==或．（四）巩固练习：1．①函数tan y x =在它的定义域内是增函数；②若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③函数sin()y A x ωϕ=+一定是奇函数；④函数|cos(2)|3y x π=+的最小正周期为2π．上列四个命题中，正确的命题是（ B ）()A ① ()B ④ ()C ①、② ()D ②、③2．若04παβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ A ）()A a b < ()B a b > ()C 1ab < ()D 2ab >3．函数3sin(2)3y x π=-的单调递减区间是5[,]1212k k k Zππππ-+∈．五．课后作业：《高考A 计划》考点31，智能训练7，8，9，11，12，14，15．。

(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档

(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一具位置旋转到另一具位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一具零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。

假如角的终边在坐标轴上，就以为那个角别属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k kαθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角别一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，所以，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。

（答：25-o；536π-）(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k kαθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边对于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边对于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边对于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边对于直线x y =对称，则α＝____________。

课时作业——三角函数的图象和性质(高三一轮复习)

数字 N
— 24 —
14．已知函数 f(x)＝2cos2ωx－1＋2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线 x＝π3是函数 f(x) 的图象的一条对称轴．
(1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)令 g(x)＝2f2x－π6＋f2x＋π3－m，若 x1，x2 是函数 g(x)在0，π2内的零点，求 cos(x1＋x2)的值．
数字 N
— 10 —
7．函数 y＝lg(cos x－sin x)的定义域是－34π＋2kπ，4π＋2kπ(k∈Z)
．
解析因为 y＝lg(cos x－sin x)，所以 cos x－sin x>0，即 sin x－cos x＝ 2sinx－π4 <0，即－π＋2kπ<x－π4<2kπ，k∈Z，解得－34π＋2kπ<x<π4＋2kπ，k∈Z，故函数的定义域为－34π＋2kπ，4π＋2kπ，k∈Z.
C．3
D．4
数字 N
— 8—
解析 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋ 3cos 2x＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋ 3cos 2x＝1＋ sin 2x＋ 3cos 2x＝1＋2sin2x＋3π.T＝22π＝π，①正确；当 2x＋3π＝π2＋2kπ，k∈Z 时， f(x)max＝3，②正确；令π2＋2kπ≤2x＋π3≤32π＋2kπ，k∈Z，解得1π2＋kπ≤x≤71π2＋kπ，k ∈Z，因此 f(x)的单调递减区间为1π2＋kπ，172π＋kπ(k∈Z)，③正确；令 2x＋3π＝kπ，k ∈Z，解得 x＝－6π＋k2π，k∈Z，此时 f(x)＝1，④错误．
— 14 —
数字 N
— 15 —
11．已知函数 f(x)＝asin ωxcos ωx(a＞0，ω＞0)．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 f(x)存在且唯一确定．

课时作业22：§4.3　三角函数的图象与性质

§4.3 三角函数的图象与性质基础达标1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π6，π6B ．⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6 B ．π6C ．－π3D ．π34．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增6．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的单调递减区间是________． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于________．8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.10．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．能力提升1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为42．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1B ．－3C ．－12D ．－323．已知函数f (x )＝A cos ωx (A ≠0，ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上存在零点，则ω的最小值为( ) A.12B.32C ．2D ．34．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋2φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )在⎝⎛⎭⎫π，3π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．⎝⎛⎦⎤0，12C ．⎣⎡⎦⎤12，1D ．⎣⎡⎦⎤12，545．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【参考答案】基础达标1．A【解析】y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C 、D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C 、D 不正确． 2．C【解析】由cos x －32≥0，得cos x ≥32，所以2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 3．D【解析】因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，所以f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )．又|θ|＜π2，所以θ＝π3.4．D【解析】y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2.结合选项图形知，D 正确．5．D【解析】f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增，故选D. 6．⎣⎡⎦⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z 【解析】当x ＝π8时，f (x )有最小值－2，所以2×π8＋φ＝－π2＋2k π，即φ＝－34π＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π，所以φ＝－34π.所以f (x )＝－2sin(2x －34π)．由－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤58π＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z . 7．32【解析】由题意知⎩⎨⎧π6ω＋φ＝π2＋2k π2π3ω＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得ω＝2，φ＝π6＋2k π，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π6＝cos π6＝32. 8．⎣⎡⎦⎤－32，3 【解析】由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3.9．解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.10．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)．函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．能力提升1．B【解析】易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 2．B【解析】f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B ． 3．C【解析】因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上存在零点，所以－πω4≤－π2或π2≤πω6，所以ω≥2或ω≥3，所以ωmin ＝2，故选C. 4．C【解析】f (x )＝sin(ωx ＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)＝cos φsin(ωx ＋φ)－sin φcos(ωx ＋φ)＝sin ωx ，π2＋2k π≤ωx ≤3π2＋2k π，k ∈Z ⇒π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2ω＋2k πω，3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，所以π2ω＋2k πω≤π＜3π2≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，由π2ω＋2k πω≤π，可得12＋2k ≤ω，k ∈Z ，由3π2≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，可得ω≤1＋4k 3，k ∈Z ，所以12＋2k ≤ω≤1＋4k 3，k ∈Z ，又T 2≥3π2－π＝π2，所以2πω≥π，因为ω＞0，所以0＜ω≤2，所以当k ＝0时，12≤ω≤1.故选C ．5．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．6．解：(1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

考点17 三角函数的性质与应用答案

为（
）
k − A．x= 2 6 (k∈Z)
【答案】B
k + B．x= 2 6 (k∈Z)
k − C．x= 2 12 (k∈Z)
k + D．x= 2 12 (k∈Z)
【解析】由题意，将函数
y
=
2
sin
2x
的图像向左平移
π 12
个单位长度得函数
y
=
2
sin
2(
x
+
π 12
)
＝
2sin(2x + π)
称，则的最小正值是（
A． 8
B. 4
【答案】C
）
3 C． 8
3 D． 4
【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略：
（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化
思想的应用．
【典型高考试题变式】
（一）三角函数的周期性
例 1 【2017 山东】函数 y = 3sin2x + cos2x 最小正周期为（
）
π A． 2
2π B． 3
C． π
D． 2π
【答案】C
【解析】∵ y = 2
3 2
sin
2x
+
1 2
cos
2x
=
2sin
2x
+
π 6
T
，∴
= 2π 2
=π
例 5 【2017 课标 II】函数
4
2 的最大值是____________．
【答案】1

高中数学第一章三角函数第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时作业新

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第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)-—单调性、最值课时目标1。

理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间．2识记强化 1．y ＝sin x 错误!错误!x ＝2k π＋错误!,k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋错误!，k ∈Z ,y ＝sin x 取得最小值－1。

2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间［2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos 错误!的单调递减区间是( ）A.错误!（k ∈Z ）B.错误!（k ∈Z )C.错误!（k ∈Z )D 。

错误!（k ∈Z ）答案：C解析:∵2k π≤2x －错误!≤2k π＋π，k ∈Z 。

∴k π＋错误!≤x ≤k π＋错误!π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos 错误!＋1取得最大值时，x 的值应为（ )A ．2k π－错误!，k ∈ZB ．k π－错误!，k ∈ZC ．k π－π3,k ∈Z D ．k π＋错误!,k ∈Z 答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋错误!)＝1时，y 有最大值,此时2x ＋错误!＝2k π，k ∈Z ，变形为x ＝k π－错误!,k ∈Z .3．已知函数f （x )＝sin(x －错误!)(x ∈R ),下面结论错误的是( )A ．函数f （x ）的最小正周期为2πB ．函数f (x ）在区间[0,错误!]上是增函数C ．函数f (x ）的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x ）是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛）x －π2＝－cos x ，所以f （x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos 错误!，x ∈错误!的值域是( )A 。

高中数学第一章三角函数课时作业13 1.4.2 正弦函数

课时作业(十三) 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）1．符合以下三个条件：①(0，π2)上递减；②以2π为周期；③是奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sinxB ．y ＝－sinxC ．y ＝cos2xD ．y ＝cos x 2答案 B解析在(0，π2)上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C 、D.2．函数f(x)＝3sin(x ＋π6)在下列区间内单调递减的是( )A ．[－π2，π2]B ．[－π，0]C ．[－2π3，2π3]D ．[π2，2π3]答案 D3．函数f(x)＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 f(x)＝sin(x －π4)的图像的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－π4.4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B5．函数y ＝|sinx|的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π答案 C解析由y ＝|sinx|的图像可知⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2是增区间，选C.6．若函数y ＝sin(π＋x)，y ＝cos(2π－x)都是减函数，则x 的范围是( ) A ．[2k π，2k π＋π2](k∈Z )B ．[2k π－π2，2k π](k∈Z )C ．[2k π－π2，2k π＋π2]，(k∈Z )D ．[2k π＋π2，2k π＋32π](k∈Z )答案 A解析 ∵y＝sin(π＋x)＝－sinx ，其单调递减区间为[2k π－π2，2k π＋π2]，k ∈Z ；y ＝cos(2π－x)＝cosx ，其单调递减区间为[2k π，2k π＋π]，k ∈Z .∴选A. 7．若0<α<β<π4，a ＝2sin(α＋π4)，b ＝2sin(β＋π4)，则( )A ．a<bB ．a>bC ．ab<1D ．ab> 2答案 A解析 ∵0<α<β<π4，∴π4<α＋π4<β＋π4<π2.而正弦函数y ＝sinx ，x ∈[0，π2]是增函数，∴sin(α＋π4)<sin(β＋π4)．∴2sin(α＋π4)<2sin(β＋π4)，即a<b. 8．函数y ＝sin(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]答案 D9．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( )A ．[3π8，7π8]B ．[－π8，3π8]C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]答案 A 解析π2＋2k π≤2x －π4≤32π＋2k π，k ∈Z ， 38π＋k π≤x ≤78π＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得38π≤x ≤78π，选A.10．函数y ＝sin(2x ＋5π2)的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝5π4答案 A解析 2x ＋52π＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝－π＋k π2，k ∈Z .令k ＝1，x ＝－π2，故选A.11．若f(x)＝cosx 在[－b ，－a]上是增函数，则f(x)在[a ，b]上是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．减函数 D ．增函数答案 C12．y ＝cosx 在区间[－π，a]上为增函数，则a 的取值范围是________．答案－π<a ≤013．函数y ＝log 12(3sinx ＋1)的最小值是________．答案－214．y ＝a ＋bsinx 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________．答案 a ＝12，b ＝±115．求y ＝cos 2x －4cosx ＋5的值域．解析令t ＝cosx ，则t∈[－1，1]， ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1.∴函数在(－∞，2)上递减．∴在[－1，1]上单调递减． ∴y min ＝f(1)＝2，y max ＝f(－1)＝10. ∴值域为[2，10]．16．设sin α＋sin β＝13，求y ＝sin α－cos 2β的最值．错解由sin α＋sin β＝13，得sin α＝13－sin β.∴y ＝13－sin β－cos 2β＝sin 2β－sin β－23＝(sin β－12)2－1112.∴当sin β＝12时，y 有最小值－1112；当sin β＝－1时，y 有最大值43.错因分析若将sin β＝－1代入已知条件，得sin α＝43，这是不可能的，错误的原因在于消去sin α后，丢掉了sin α对sin β取值的限制作用．解析由sin α＋sin β＝13，得sin α＝13－sin β.由－1≤sin α≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤13－sin β≤1，－1≤sin β≤1，解得－23≤sin β≤1. ∴y ＝13－sin β－cos 2β＝sin 2β－sin β－23＝(sin β－12)2－1112.∴当sin β＝12时，y 有最小值－1112；当sin β＝－23时，y 有最大值49.1．函数y ＝1－λcos(x －π3)的最大值与最小值的差等于2，则实数λ的值为________．答案 1或－1解析 ∵x∈R ，－1≤cos(x －π3)≤1.当λ>0时，y max ＝1＋λ，y min ＝1－λ.由题意，得(1＋λ)－(1－λ)＝2，∴λ＝1. 当λ<0时，同理可得λ＝－1.2．设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．解析 (1)∵x＝π8是函数y ＝f(x)的图像的对称轴，∴sin (2×π8＋φ)＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)．由题意得当x 满足2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k∈Z )时，函数f(x)单调递增．即当x∈[k π＋π8，k π＋5π8](k∈Z )时，f(x)单调递增．所以函数y ＝sin(2x －3π4)的单调增区间为[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z .3．(1)求函数y ＝1－sin2x 的单调区间．(2)求使函数y ＝2sin3x ＋1，x ∈R 取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？解析 (1)求函数y ＝1－sin2x 的单调区间，转化为求函数y ＝sin2x 的单调区间，要注意负号的影响．由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是[π4＋k π，3π4＋k π](k∈Z)．同理可求得函数的单调递减区间是[－π4＋k π，π4＋k π](k∈Z )．(2)当sin3x ＝1，即3x ＝π2＋2k π(k∈Z )得x ＝π6＋23k π(k∈Z )时．函数y 取得最大值为3.此时，自变量x 的集合为{x|x ＝π6＋23k π，k ∈Z }．。

文科数学总复习三角函数的性质课时作业

学习好资料欢迎下载第七课时三角函数的性质(2) 课时作业1.(文科)若f (x )sin x A ．sin x B ．cos x C ．sin 2x D ．cos 2x1．(理科)(20XX 年南宁模拟)设函数f (x )＝sin 3x ＋|sin 3x |，则f (x )为( ) A ．周期函数，最小正周期为2π3B ．周期函数，最小正周期为π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数2．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m ＞3D ．3<m <7＋43或m ＜－1 3．(20XX 年全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．24．若函数f (x )＝a sin ax ＋a cos ax (a >0)的最大值是22，则函数f (x )的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π5．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.126．已知函数f (x )＝sin πx3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝( )A ．2010 B. 3 C.32D ．0 7．(20XX 年辽宁卷)设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为___________．8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)，且f (5)＝7，则f (－5)＝________. 9．(20XX 年厦门模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的最大值和最小值； (3)若f (α)＝34，求sin 2α的值．10．(20XX 年北京卷)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围．参考答案1．B 1.A2．C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.3 8.－59．(1)2π (2)f (x )的最大值为2和最小值－2 (3)－71610．(1)1 (2)⎣⎡⎦⎤0，32。

课时作业(二十七) 三角函数的性质(含答案)

课时作业(二十七) 三角函数的性质一､选择题1.已知函数()2f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ∈R ),下面结论错误的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数f (x )的图象关于直线x =0对称 D.函数f (x )是奇函数解析:(),2f x sin x cosx π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故f (x )为偶函数,故答案为D. 答案:D2.已知函数f (x )=asin 2x +cos 2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为,12x π=则a 的值为( )1..223A C D解析:∵12x π=是一条对称轴,∴(0)6f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,得a = 答案:C3.若函数()f x = (ωx +φ)(ω>0)的图象的两条相邻的对称轴的距离为2π,则ω的值为( )11...1.242A B C D解析:2142,T ππωω===得. 答案:B4.函数6262x x y sin cos ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递减区间是( )A.72,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B.32,232k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) C.52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D.[]2,2k k πππ+ (k ∈Z ) 解析:函数123y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由2k π+2π≤x +3π≤2k π+32π得2k π+6π≤x ≤2k π+76π.故选A.答案:A5.给定性质:①最小正周期为π;②图象关于直线3x π=对称.则下列四个函数中,同时具有性质①②的是( )..2266.||.26x A y sin B y sin x C y sin x D y sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 解析:逐个检验. 答案:D6.(2011·山东期末)函数y =sin 22x 是( ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析:sin 22x =142cos x -,2.42T ππ== 答案:D 二､填空题7.(2010·浙江)函数2(4)2x f x sin π⎛-=⎫ ⎪⎝⎭的最小正周期是________. 解析:14142(),22cos x sin x f x π⎛⎫-- ⎪-⎝⎭== ∴2.42T ππ== 答案:2π8.对于函数f (x )=|sin 2x |,有下列命题 ①函数f (x )的最小正周期是2π; ②函数f (x )是偶函数; ③函数f (x )的图象关于直线4x π=对称;④函数f (x )在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数. 其中正确命题的序号是________(把正确的序号全写上). 解析:由f (x )=|sin 2x |的图象可知①②正确,又142f sin ππ⎛⎫==⎪⎝⎭,∴③也正确,由图可知f (x )在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,故正确的有①②③. 答案:①②③9.设212136;21136;tan a cos ta c n b ︒==+-︒=︒︒,则a ､b ､c 的大小关系是________.222:6624,12221321313113126,25,,313242,526.a co si tan sin co s n sinb sin sin sin s s tan cos sinc in sin a c b =︒︒︒===+︒︒+︒=︒-︒=︒︒=︒︒<︒<︒<<=解析由正弦函数的单调性可知故答案:a <c <b 三､解答题10.设函数f (x )=sin (2x +φ)(-π<φ<0),y =f (x )的图象的一条对称轴是直线.8x π=(1)求φ;(2)求y =f (x )的单调增区间. 解:(1)∵8x π=是y =f (x )的一条对称轴∴(0),4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭故sin φ=2sin πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos φ ∴tan φ=1,又φ∈(-π,0),∴φ=34-π. (2)由(1)知φ=34-π,∴f (x )=324sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭由2k π2π-≤324x -π≤2k π+2π得k π+8π≤x ≤k π+58π 故函数的单调增区间为5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). 11.(2011·江西)已知函数f (x )=(1+cotx )sin 2x -2sin 44x sin x ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若tanα=2,求f (α);(2)若x ∈,,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦求f (x )的取值范围. 解:(1)f (x )=sin 2x +sinxcosx +cos 2x=1212222cos x sin x cos x -++ =11(22)22sin x cos x ++ 由tanα=2得sin 2α=22222415sin cos tan sin cos tan αααααα==++ cos 2α=2222221315cos sin tan cos sin tan αααααα--==-++ ∴f (α)=113225(22)sin cos αα+=+ (2)由(1)得11()(22)22f x sin x cos x =++=12242sin x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 由x ∈,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦得552,.4124x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴2.4sin x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴1()242f x x π⎡⎛⎫=++∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦.12.(2010·江西期末)已知a =(sinx ,-cosx ),()b cosx = ,函数f (x )=32a b +. (1)求f (x )的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; (2)当0≤x ≤2π时,求函数f (x )的值域.解:(1)f (x )=a ·b=22sinxcosx x -+=1221)222sin x cos x -++ =23sin x π⎛⎫-⎪⎝⎭∴22T π==π,即f (x )的最小正周期为π. 令20,3sin x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得23x π-=k π ∴26k x ππ=+ (k ∈Z ) 故所求对称中心的坐标为,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤2π,∴3π-≤23x π-≤23π∴2-≤sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1即f (x )的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

高中三角函数教学设计及习题及答案

第三章三角函数章节结构图三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．3．1三角函数的概念(一)复习指导1．了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号．3．会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题． (二)解题方法指导例1．写出与－60°终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－2π ≤α≤4π 的元素α写出来．例2．已知角α终边上有一点P (x ，1)，且21cos =α，求sin α，tan α．例3．求函数21sin )(-=x x f 的定义域．例4．已知α∈(0，π )，比较2tan,2sinαα的大小．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．2同角三角函数关系及诱导公式(一)复习指导1．理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出αα±±π,2π的正弦、余弦、正切的诱导公式． 3．能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简． (二)解题方法指导例1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值．例2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．例3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．例4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．(三)体会与感受1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．3三角函数的图象与性质(一)(一)复习指导1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)3．理解正切函数在区间)2π,2π(-的单调性．例1．用五点法画出函数)3sin(+=x y 草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，对称中心．例2．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域．例3．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．例4．求函数xxy cos 3sin 1--=的值域．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．4三角函数的图象与性质(二)(一)复习指导1．了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义；能画出y =A sin(ωx +φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．(二)解题方法指导例1．在同一个坐标系中，用五点法画出下列函数的草图．(1));3πsin(,sin +==x y x y (2)).3π2sin(,2sin +==x y x y例2．已知函数)6π2sin()(+=x x f ，该函数的图象可以由y =sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到．例3．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．例4．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．5和、差、倍角的三角函数(一)(一)复习指导1．掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．能用上述公式解决一些化简和求值问题．(二)解题方法指导例1．若5tan 1tan 1=+-x x，则)4πtan(+x 的值为 ( )(A)5(B)5-(C)55(D)55-例2．=-++)4π(sin 2)cos (sin 22x x x ____________．例3．已知21)4πtan(=+x ．求xx x 2cos 1cos 22sin 2+-的值．例4．已知f (cos x )=cos2x . (Ⅰ)求))16π(cos(f 的值；(Ⅱ)求f (sin x )．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．6和、差、倍角的三角函数(二)(一)复习指导1．能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值． 2．掌握A sin x +B cos x 型代数式变形方法． (二)解题方法指导例1．已知)π,2π(,54cos ∈-=αα，则=-)4πcos(α( )． (A)102(B)102-(C)1027-(D)1027 例2．x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小值为____．例3．已知：53cos ,2π0=<<x x ，且π2π<<y ，且135)sin(=+y x ，求cos y 的值．例4．已知54)cos(,53sin ,π2π0-=+=<<<<⋅βααβα，求sin β．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．7正弦定理和余弦定理(一)复习指导1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(二)解题方法指导例1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则其最大角为____．例2．在△ABC 中，有a cos A =b cos B ，判断△ABC 的形状．例3．在△ABC 中，∠A =60°，面积为310，周长为20，求三条边的长．例4．在一条河的对岸有两个目标物A ，B ，但不能到达．在岸边选取相距32里的C ，D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，且A ，B ，C ，D 在同一个平面内，求A ，B 之间的距离．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________例题解析第三章三角函数3．1 三角函数的概念例1分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集合．解：因为3π60o-=-，所以},,3ππ2|{Z ∈-==k k S αα S 中满足－2π≤α≤4π的元素有⋅-3π11,3π5,3π 例2分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可以利用同角关系直接求得．解：因为P (x ，1)在角α的终边上，所以，,211cos ,422=+=+=x x x r α 解得,33±=x 又因为x ＞0，所以,33=x 所以.3tan ,23sin ==αα小结：知道一个角某个三角函数值，求其它的函数值，是三角函数求值问题中典型问题之一．例3解：因为021sin ≥-x ，所以,21sin ≥x当21sin =x 时，6ππ2+=k x 或,,6π5π2Z ∈+=k k x 利用三角形函数线得到， .],6π5π2,6ππ2[Z ∈++∈k k k x例4分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线．解：因为α∈(0，π)，所以)2π,0(2∈α，如图3－1－2，在单位圆中，作出2α的正弦线MP 和正切线AT ，因为S △OAP ＜S △OAT ，所以|,|||21||||21AT OA MP OA ⋅⋅<⋅⋅ 即｜MP ｜＜｜AT ｜，所以⋅<2tan2sinαα小结：例3和例4都是三角形函数线的应用，其中例4还可以利用比较法来解决，实际上有)2π,0(∈x 时，sin x ＜x ＜tan x ．3．2 同角三角函数关系及诱导公式例1分析：知道一个角某个三角函数值，求其它函数值，方程思想是通法．解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 小结：这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题．例2分析：这种代数式化简，一般要用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=例3分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用sin x ±cos x 与sin x cos x 的关系，整体求值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2，所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ，所以有⋅-=103cos sin x x 小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值．例4分析：这种证明问题，可以从左边开始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形．在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证．法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．3．3三角函数的图象与性质(一)例1解：周期为T =2π，单调增区间为,),6ππ2,6π5π2(Z ∈+-k k k 单调减区间为,),6π7π2,6ππ2(Z ∈++k k k 对称轴为,,6ππZ ∈+=k k x对称中心为.),0,3ππ(Z ∈-k k小结：画图的时候，要注意五个点的选取．例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象，得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]．例3解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围．例4解：设A (3，1)，P (cos x ，sin x )，把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率，因为动点P (cos x ，sin x )在单位圆上，所以只要求经过点A (3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，两条切线的斜率分别为0和,43 所以].43,0[∈y小结：这是数形结合解题的一个典型问题．3．4三角函数的图象与性质(二)例1解：(1)例2分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序．解：法一：将函数y =sin x 依次作如下变换： (1)把函数y =sin x 的图象向左平移6π个单位，得到函数)6πsin(+=x y 的图象； (2)把函数)6πsin(+=x y 图象上各点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数)6π2sin(+=x y 的图象．法二：将函数y =sin x 依次作如下变换：(1)把函数y =sin x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数y =sin2x 的图象．(2)把函数y =sin2x 向左平移12π个单位，得到函数)12π(2sin +=x y ，即)6π2sin(+=x y 的图象．小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样．如y =sin2x 的图象向左平移12π个单位，得到函数)12π(2sin +=x y ，即)6π2sin(+=x y 的图象．例3分析：这样的问题，首先要清楚几个参数A ，ω，φ对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ例4分析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称，降低次数，然后再求相应的问题．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2- 3．5 和、差、倍角的三角函数(一)例1解：5)4πtan(tan 4πtan 1tan 4πtantan 1tan 1=-=+-=+-x x xx x ，所以,51)4πtan(1)4πtan(=-=+x x 选C ．小结：本题还可以tan x 把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值．例2解：)4π(sin 2)cos (sin 22x x x -++.22sin 12sin 1)4π(2cos 12sin 1=-++=--++=x x x x例3解：因为21tan 1tan 1)4πtan(=-+=+x x x ，所以,31tan -=x⋅-=-=-=+-341tan cos 2cos 2cos sin 22cos 1cos 22sin 222x xx x x x x x小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果．例4解：(Ⅰ)因为,8πcos ))16π(cos(==f而422222124πcos18πcos 2+=+=+=且08πcos >，所以;228πcos +=(Ⅱ)因为.2cos )2πcos())2π(2cos())2π(cos()(sin x x x x f x f -=-=-=-=3．6 和、差、倍角的三角函数(二)例1解：因为)π,2π(,54cos ∈-=αα，所以,53sin =α又αααsin 4πsin cos 4πcos )4πcos(+=-，代入求得结果为,102-所以选B ．例2解：因为)26πsin(22sin 3cos cos sin 322cos )(x x x x x x x f -=-=-=，所以其最小值为－2．例3分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系．解：因为,53cos ,2π0=<<x x 则⋅=-=54cos 1sin 2x x 因为π2π,2π0<<<<y x ，所以,2π32π<+<y x 所以,1312)cos(-=+y x 所以cos y =cos[(x ＋y )－x ]=cos(x ＋y )cos x ＋sin(x ＋y )sin x651654135531312-=⨯+⨯-= 例4解：因为,π2π0<<<<βα 所以,2π32π<+<βα 又54)cos(-=+βα，所以53)sin(-=+βα，或,53)sin(=+βα若53)sin(-=+βα,则由53sin =α，得到β=π，矛盾，所以,53)sin(=+βα所以⋅=+-+=-+=2524sin )cos(cos )sin(])sin[(sin αβααβααβαβ 3．7正弦定理和余弦定理例1解：因为三条边中c 边最大，则角C 最大，根据余弦定理，21cos -=C ，所以⋅=3π2C例2解：由正弦定理，a =2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入有2R sin A cos A =2R sin B cos B ，即sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π－2B ．即A =B 或2π=+B A ，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．例3解：因为310sin 21==∆A bc S ABC ，所以bc =40，又a ＋b ＋c =20，a 2=b 2＋c 2－2bc cos A ，解得三条边为5，7，8．例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路．要求AB ，可以把AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值．解：中△ACD 中，∠ACD =120°，∠ADC =30°所以∠DAC =30°，所以｜AC ｜=｜CD ｜=23，在△BCD 中，∠BCD =45°，∠CDB ＝75°，所以∠CBD =60°，由正弦定理,60sin ||75sin ||,oo CD BC =所以,2660sin 75sin ||||oo+==CD BC 在△ABC 中，∠BCA =75°，根据余弦定理，｜AB ｜2=｜AC ｜2＋｜BC ｜2－2｜AC ｜·｜BC ｜·cos75°，求得｜AB ｜2=20，⋅=52||AB。

课时作业15：§4.3三角函数的图象与性质

§4.3三角函数的图象与性质A·卷考点一· 三角函数的图象及其变换1.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )2.函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到.考点二· 三角函数的性质及其应用3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7D.54.已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A.y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称 B.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C.f (x )的最大值为32D.f (x )既是奇函数，又是周期函数5.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0，2]B·卷考点一· 三角函数的图象及其变换1.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度2.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π33.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位4.将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π65.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位6.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 7.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 . 考点二· 三角函数的性质及其应用8.设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关9.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x10.函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2πD.4π11.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A.[－2，2] B.[－3，3] C.[－1，1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 12.函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是 . 13.已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.14.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.参考答案A·卷考点一·三角函数的图象及其变换1.B【解析】由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 2. 2π3【解析】 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.考点二· 三角函数的性质及其应用 3.B【解析】因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 4.C【解析】对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎡⎦⎤－33，33上递增，在⎣⎡⎦⎤－1，－33与⎣⎡⎦⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝⎛⎭⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确.综上知，错误的结论只有C ，故选C. 5.A【解析】由π2＜x ＜π得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.B·卷考点一· 三角函数的图象及其变换 1.D【解析】由题可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D. 2.A【解析】点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.3.B【解析】 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位. 4.D【解析】易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知， ①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或 ②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎨⎧x 1＝－π4＋k 1π，x 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6，同理由②得φ＝π6.故选D.5.C【解析】因为y ＝sin 3x ＋cos 3x＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C. 6.B【解析】将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B. 7. 7【解析】在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 考点二· 三角函数的性质及其应用 8.B【解析】因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. 9.A【解析】 A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ， T ＝π，且关于原点对称，故选A. 10.B【解析】 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.11.B【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝32sin x －32cos x＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6∈[－3，3].故选B 项. 12. π2【解析】 y ＝1－2cos 2(2x )＝1－2×1＋cos 4x 2＝－cos 4x ，则最小正周期为π2.13.解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 14.解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.。

三角函数性质与应用例题和知识点总结

三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。

余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。

正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。

正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。

三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。

设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。

解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

课时作业2：第二课时　三角函数值的符号及公式一

第二课时三角函数值的符号及公式一基础达标一、选择题1.给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.其中符号为负的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 ①中，－100°为第三象限角，∴sin(－100°)<0；②cos (－220°)＝cos (－220°＋360°)＝cos 140°<0；③∵－10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2，－3π，∴－10为第二象限角， ∴tan (－10)<0；cos π＝－1<0，故选D.答案 D2.若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由条件可知sin θ<0，cos θ>0，则θ为第四象限角，故选D. 答案 D3.2cos 37π6－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值为( ) A.－ 3B.－1C.0D. 3解析 2cos 37π6－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π6－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4π＝2cos π6－3tan π6＝2×32－3×33＝0.答案 C4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2，故选C.答案 C5.点P (cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 cos 2 019°＝cos (2 019°－6×360°)＝cos (－141°)<0，sin 2 019°＝sin(2 019°－6×360°)＝sin(－141°)<0.故选C.答案 C二、填空题6.sin 13π3＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4的值为________. 解析 sin 13π3＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4＝sin π3＋cos π3－tan π4＝32＋12－1＝3－12.答案 3－127.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第________象限角.解析 ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角.若α为第一象限角，则sin α>0，cos α>0，∴sin α＋cos α>0；若α为第三象限角，则sin α<0，cos α<0，∴sin α＋cos α<0.答案一8.已知角A 为第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A 2是第________象限角. 解析 ∵A 为第三象限角，∴A 2为第二、四象限角.又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，∴sin A 2<0， ∴A 2为第四象限角.答案四三、解答题9.求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°＋0°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.10.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4. 解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角.∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0. 能力提升11.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M (35，m )，求m 的值及sin α的值.解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α，∴sin α<0，①由lg(cos α)有意义，∴cos α>0.②由①②得，角α在第四象限.(2)∵点M (35，m )在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，∴m <0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.12.若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0).(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号.解 (1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15.当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a >0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45<0；当a <0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45>0. 综上，当a >0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.。

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)；单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性奇偶奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。