数值分析分章复习(第七章非线性方程求根)

第七章非线性方程求根

要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断

（2） 迭代公式收敛阶概念

（3） Newton 迭代公式及收敛性左理

复习题：

1、建立一个迭代公式il •算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产

l/o = 5

数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ）

注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0•习

(2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1

2\J X + 5 2

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“

2、对于方程—x = 2 »

解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2

显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0

当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0

可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根

(2)取

(II)当 X €[T9-1]时，恒有 0Cr) = 0"

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

(3)记/(x) = 0 J-2

牛顿迭代法形式：和“”-错;

(1) 证明在区间［」・9, .1］内有唯一实根

(2) (3) 无+1-0*-2的收敛性如何？ 扯 e （-L9,-l ）

写出求解该实根的牛顿迭代公式

讨论迭代格式

严-X-2

兀屛=兀------ 汗七―

e" -1

.心=一1・9

3、为求x^-x--\=0/£ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的

迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性

X-

解：记

⑴ 迭代式为£. = 1+2,这里记9?U)= I+4

注意到/(1・3)/(1・5)<1・并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q.

xe[L3J.5]

所以区间［1.3J.5］为有根区间

2 0([l・3J・5])c[l・3J•习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I

依据不动点迭代法收敛世理，知该迭代公式收敛

⑵ 迭代式为兀4=(l + x；)・这里0(0 = (1 + /)了同(1)中讨论，得结

论：该迭代公式收敛

4、对于方程人0'-1 = 0在0.5附近的根。

(1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。

(2)给出求解该实根的牛顿迭代公式

解：(1)加一1=0《9 A =—

e'

I X ・=£

构造迭代式：｛ 2 ,即取迭代函数0(羽=严

I/O

首先，容易验证区间［O.IJ］是方程的一个有根区间

^[OJJDc[0.1,1],并且当%e[0J,l]时，恒有I0(x)l

依据不动点迭代法收敛过理，知该迭代公式收敛设/€［0.tl］是其根的

精确值, 因为= HO,故收敛为线性收敛，即收敛阶p = l

⑵记 f (X)= xe' -1

牛顿迭代法形式：

(£+1)严

1兀=

// I

5、应用牛顿法于方程/（x ） = l -一 =0,导出求V&的迭代公式

解：牛顿迭代法形式，-册

3佔£

2a

如果C/V1・可取兀=1，如果«>1-可取Xy =a

6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0

（1） 证明在区间（1, 8）有一个单根■并大致估计单根的取值范

围.

（2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式

解：（1）记f （x ） = x-}nx-2，显然/（X ）处处可微

/(1) = -1<0 , lim /(x) = 4

・K

所以，在区间（1, 8）内至少存在一个实根

另外，由于 /V ） = l-->0 ,X€（l,g ） X

所以，在区间（1, 00）内有且仅有一个实根

/(3) = l-ln3vO, /(4) = 2-ln4>0

可见根xe （3,4）

⑵牛顿迭代法形式―”-鵠

1-4

即：兀+|=兀--才 2a

HP ： <

即：和’一41戸

考虑取如=4

7、据理证明X =1是方程x"-x'-2%-+3x = 1的一个二重根,

井构造计算F的具有平方收敛阶的Newton迭代

解：记/(X)=十一x'-2x2+3兀-1

因为/(1) = 0, r(l)=O,厂⑴HO

所以X = 1是方程/(X)= 0的一个二重根

注意到，当a是/(X)= 0的m重根0«>2)时,

牛顿迭代法求解/(X)= 0仅是线性收敛的

fM

事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是(p(x} = x-冲

f (-V)

由住是/(X)= 0 的川重根，令/(x) = (x-ay”g(x), g(a)工0,

Cr-a)gCv)

则

mg(x) + (x-a)g(X)

容易验证J 0(a) = 1——

,因w>l,0(a)H(X且0(尤)<1, 故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。

求方程也重根的牛顿迭代法形式：兀+1 =兀-川孕丄

7 (X”)

2(€ - 兀；- 2»・；+3 兀-1)

4xH+3

该迭代至少为平方收敛

8、求方程疋-2x-5 = 0在区间［23］内根的近似值有如下变形