数值分析分章复习(第七章非线性方程求根)
数值分析(李庆扬)第七章)
1）, 若
f
a
b 2
0
输出根
x
ab 2
, 否则：若
f
a
2
b
0，
令
a1
a
2
b
，b1
b
反之
ab b1 2 , a1 a.
2 ),对 [ a1 ,b1 ] 区间重复1）的计算，并产生 [ a2 ,b2 ],
3),
若
f
ai
2
bi
0，则得到根
x ai bi . 2
二分法的收敛性
二分法产生一个有根区间：
f (x) 0 在真根附近 x0 点展开成 Taylor 级数：
假设方程x (x)在[a, b]内有两个根x1* x2*,
由条件（2），有
x1* x2* (x1* ) (x2* ) L x1* x2* x1* x2*
导出矛盾，唯一性得证。
对任意x0 [a, b],由迭代公式有
xn x* (xn1) (x* ) L xn1 x*
定定 理4理: ：对于迭代过程xk1 (xk ),如果 ( p) (x)在所
求根x*的邻近连续，并且
' (x* ) " (x*) L ( p1) (x*) 0; ( p) (x*) 0
则该迭代过程在点x*邻近是p阶收敛的。
证：由于 ' (x*) 0 1,故xk1 (xk )具有局部收敛性。
数值分析--第7章非线性方程求根
内有方程的根. 取[a, b]的中点 x0
否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧.
1 2
(a b) ,
将区间一分为二. 若 f (x0)=0, 则x0就是方程的根, 若f(a) · 0)<0, 则x*∈(a, x0), 令 a1= a, b1=x0; f(x 若f(x0) · f(b)<0, 则x*∈(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b.
上页 下页
例2 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由例1可知x*∈(1, 1.5), 要想满足题意，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 2
n 1
(b a) 2
2 lg 2
1
n 1
(1.5 1) 2
1
n 2
0.005
上页 下页
xk 1 ( xk )
k
( k 0,1, 2, )
lim xk x .
当(x)连续时，显然x*就是方程x=(x)之根(不动点). 于是可以从数列{xk}中求得满足精度要求的近似根. 这种求根方法称为不动点迭代法, xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 称为迭代格式, (x)称为迭代函数, x0 称为迭代初值,
(-∞, 0), (0, 3)，(3, +∞)
数值分析题库1
解：积分区间[1，3]，要使用高斯公式，需先变换到[-1，1]上，为此，作 变换：
y=(a+b)+(b-a)t = t + 2 则当y[1，3]时， t[-1，1], 且 dy = dt, =. 所以，三点高斯公式 =0.555 555 6（+）+
0.888 888 9 = 1.098 039 3
第五章 解线性方程组的直接解法
5.1、用分解法解方程组
解：设 由矩阵乘法得： 由 得 由 得
5.2设，，已知方程组的精确解为。 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余；
解：（1） （2）
第六章 解线性方程组的迭代解法
6.1对方程组，用雅可比迭代法求解是否收敛？若 收敛，取初始向量，迭代计算至。
解： （1） 求积公式中含有3个待定参数A、B、C，故令求积公式对精 确成立，即
解得： 又由 故具有三次代数精度。
（2） 求积公式中含有两个待定参数，，当时，有 故令求积公式对精确成立，即
解得 将代入求积公式，显然 故求积公式，当求积节点取或时，具有二次代数精度。 令 得n2.54。故取n=3，即需取2n+1=7个节点处的函数值。
由于，故取迭代计算一定收敛，计算结果如下表所示。
k
k
0
2.0 3
1 2.293 055 4 556
数值分析 第7章 非线性方程的数值解法..ppt;ppt
x*
y=x y
x0
x*
x1
y=x
y=g(x)
y=g(x) p0
p0 p1
x x0 x*
p1
x
18
x1 x0 x*
x1
例5
求方程
f ( x) x 3 x 1 0
（2.3）
3 xk 1 xk 1.
在 x0 1.5附近的根 x * .
解 设将方程改写成 x 3 x 1.
x * xk 即可结束计算并取
x k x k 1
16
几何意义
y x 交点的横坐标 x ( x) y ( x) y (x ) y=x
x * x2
x1
x0
17
y
p1 p0
y=x
y=g(x)
y
p0
y=x
x
p1 y=g(x) x
x0
y
x1
在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题， 它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的 求解问题。
1
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
/* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/
wenku.baidu.com
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根
二分法
一、题目
用二分法求方程=
的所有根
x
.13要求每个根的误差小于
-x
+
0.001.
.
2
1
二、方法
二分法
三、程序
1、Jiangerfen.M的程序
function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2)
if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end
%nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。
ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。
yb=feval('f',b);
if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,end
max=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。
for k=1:max
c=(a+b)/2;
yc=feval('f',c);
if((b-a)/2<tol2)|(abs(yc)<tol1),break,end
if yb*yc<0
a=c;ya=yc;
else
b=c;yb=yc;
end
end
k,c=(a+b)/2,yc=feval('f',c)
2、f.M的程序
function y=f(x);
y=x^3-2*x-1;
四、结果
>> format compact
>> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]);
>> jiangerfen('f',-1.5,-0.8);
第7章 非线性方程的数值解法
0.25
3
0.75
0.01831
0.125
4
0.625
0.1859
0.0625
5
0.6875
0.08533
0.03125
6 0.71875
0.033879
0.015625
7 0.734375
0.007874
0.078125
8 0.7421875
0.005195
0.00390625
9 0.73828125
y
y=x
y=g(x)
Q1 P0
Q2
P*
P1
P2
o x* x2 数值分x1析
x0
x
26/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
例：用迭代法求方程f(x)=x2-2x-3=0的根（x1=3，x2= -1） 解：(1)方程改写成 x=(2x+3)1/2
建立迭代公式 xk+1=(2xk+3)1/2 (k=0,1,2…)， 取x0=4，x1=3.316，x2= 3.104，x3=3.034，
再对[a1, b1]进行上述过程，直到满足 。
数值分析
15/47
§5.2 中二止分条件法
a
xa1 x* xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
不能保证 x 的精度
数值分析期末复习
《数值分析》期末复习提纲
第一章数值分析中的误差
(一) 考核知识点
误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。误差的定性分析
(二)复习要求
1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
4. 避免误差危害的若干原则
第二章插值法
(一) 考核知识点
插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。
(二)复习要求
1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
第三章函数逼近
(一) 考核知识点
函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法
（二）复习要求
1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。
2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。
3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。
4. 最小二乘法及其计算方法。
第四章数值积分与数值微分
(一) 考核知识点
数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；
数值分析
第七章 非线性方程数值解法 (习 题)
2. 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，
并建立相应的迭代公式：
（1）2/11x x +=，迭代公式 2
1/11n n x x +=+
（2）231x x +=，迭代公式 3/121)1(n n x x +=+，
（3）)1/(12-=x x ，迭代公式 2/11)1(1-=+n n x x ， 试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？ 解：取5.10=x 的邻域]6.1,3.1[来考察
(1) 2/11)(x x +=ϕ ，333.1/2/2)(<-='x x ϕ1901.0<=，故迭代公式(1)收敛.
(2) 3
1
2)
1()(x x +=ϕ,
])
1(3/[2)(3
/22x x x +='ϕ3
/22)]
3.11(3/[6.12+⨯<5515.0≈，
故迭代公式（2）也收敛。 (3) 2/1)1/(1)(-=x x ϕ ,
])
1(2/[1)(2
/3--='x x ϕ2
/3)
16.1(2/1->10758287.1>=
故迭代公式（3）发散.
由于)(0x ϕ'越小，越快地收敛于根α ，故（2）式收敛最快。□
3．设)(x x ϕ=有解α存在，又,1|)(|>'αϕ证明无论如何选取0x ，只要
α≠k x ),2,1,0( =k ，简单迭代法)(1k k x x ϕ=+必发散.
证明： )()(1αϕϕα-=-+k k x x αξϕ-⋅'=k k x )(
k ξ为α与k x 之间的某一点。由于)(αϕ'1>，k ξ又属于α的近傍，故： 1)(≥'k ξϕ，
08级研《数值分析》复习题
《数值分析》复习题(2008研)
第一章绪论
1. 根据Horner算法设计一种算法求下面多项式的值
P n(x) =a° 亠a’(x —X。)亠a? (x —x°)( x —X i)亠'亠a. ( x —x°)( x —xj…(x —x“ 丄)注：这实际上是Newt on插值多项式的计算问题，参见P62算法1.2
2. 设计一种算法求下面二次方程的两个根，使算法的数值稳定性尽可能地好：
2 2
ax +bx+c=0 ( 4ac = b )
提示：用求根公式，避免相近的数做减法。
3. 用sin x在x = 0处的Taylor展开取前四项作为sin x的近似来计算
x —sin x ( x =1)
(1) 估计该方法的截断误差；
(2) 设计一种计算方法使得数值稳定性尽可能地好，并且运算次数尽能地少。
提示:(2)从避免大数吃小数和Horner算法考虑。
答案［(匚一1)匚
42 20
4. 下面是计算■■ 7的迭代法
1
7
X。= 2, X k 1
(x
k ) (k = 0 J,
2
,…) 2x
k
证明：若X k是的具有n位有效数字的近似值，则X k .1是.7的具有2n位有效数字的近似值。
注：见P24习题7。这是Newton迭代法，思考它与平方收敛有什么关系？
5. 要使.17的近似值的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？
提示:参见P8定理2.1 ;答案:4位
6. ( 1)x =(3, 0, —4, 12)丁，则|x|L =—, ||x|2=—, |x|^ =—
1 「1
(2) A = 2
3 '则 =——，1卜|〔2 =—, |卜||盟=一,
数值分析第7章答案
第七章非线性方程求根
一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程
(7.1) 的根是指求（实数或复数），使得.称为方程(7.1)的根,也称为函数的零点.若可以分解为
其中m 为正整数,满足,则是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m>1时,称为m 重根.若充分光滑,是方程(7.1)的m 重根,则有
(1)()
(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若在[a,b]上连续且,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程
(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法
设在[a,b]上连续,,则在(a,b)内有根.再设在(a,b)内仅有一个根.令,计算和.若则,结束计算;若,则令,得新的有根区间;若,则令,得新的有根区间.,.再令计算,同上法得出新的有根区间,如此反复进行,可得一有根区间套
且110011
*,0,1,2,...,()...()
22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-.
故
因此,可作为的近似根,且有误差估计 (7.2) 2.迭代法
将方程式(7.1)等价变形为 (7.3)
若要求满足则;反之亦然.称为函数的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (7.4)
函数称为迭代函数.如果对任意,由式(7.4)产生的序列有极限 则称不动点迭代法(7.4)收敛.
数值分析71方程求根与二分法
有误差
|xk
x*|
ba 2k 1
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
b a ε k lnb a ln ε 1
2 k 1
ln 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概
位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个
满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a,
b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0 。
7
例 证明1 x sin x 0在[0,1]内仅有一个根 ,使用二分法求误差 不大于 1 10 4的根需要对分多少次 ?
(a1
b1 ),
可得一系列的小区间和中点
3
小区间
[a0 , b0 ],[a1, b1 ],[a2 , b2 ],,[an , bn ]
中点
x0 , x1 , x2 , , xn
xn
1 2 (an
bn )
显然每个小区间都有单根
n 0,1,2,
(bn
an )
1 2n
(b a)
|xn
xn1|
1 2 n 1
2
解设f (x) 1 x sin x,则f (0) 1 0,f(1) sin(1) 0,且f (x) 在上[0,1]上连续,故方程f (x) 0在[0,1]内至少有一根.
数值分析习题与答案
第一章绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.
2.4)有
已知x*的相对误差满足，而
，故
即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限和相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
有5位有效数字，其误差限，相对误差限
有2位有效数字，
有5位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？
（1）
（2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）
（2）
4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：
第二、三章插值和函数逼近
习题二、三
1. 给定的数值表
用线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限，因
，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值
误差限
，故
2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?
解：用误差估计式（5.8），
令
因
得
3. 若，求和.
解：由均差和导数关系
于是
4. 若互异，求
的值，这里p≤n+1.
解：，由均差对称性
可知当有
而当P＝n＋1时
于是得
5. 求证.
解：解：只要按差分定义直接展开得
6. 已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
数值分析习题
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为0.5x103那么近似数0. 003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
2兀= 3.14159…具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
3已知cul.2031, b = 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a + b, axb有几位有效数字？（有效数字的计算）
4设x>0, x的相对误差为5,求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）
5测得某圆柱体高度力的值为ir = 20cw ,底面半径厂的值为r* = 5cm ,已知\h-h* |<0.2cm, |r-r* |<0.1c/w,求圆柱体体积v = m^h的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
6设x的相对误差为c/%,求y = 的相对误差。（函数误差的计算）
7计算球的体枳，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多人？（函数误差的计算）
1
8 设l H=e~^x n e x dx,求证：
（1）/… = 1 - nl^ （n = 0,1, 2 - • ■）
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增人；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插 值余项的计算和应甩
1己知/(—1) = 2,/(1) = 1,/(2) = 1,求/(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗口插值) 2已知y =
习=9,用线性插值求J7的近似值。(拉格朗口线性插值)
数值分析 李庆扬 第7章 非线性方程与方程组的数值解法
7
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
④ 反复计算，直到 （
ba ，
ab 。 2
k ——二分次数）
——预定的精度）
由连续函数性质可知：存在
即
15
x* x*
x* a , b 使 f x* 0
， x* 为
x
的不动点。
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
再证唯一性。 设
* 及 x* 都是 x 的不动点，则： x1 2 a , b
* * * * * * * x1 x* x x L x x x x 2 1 2 1 2 1 2
其中
a0 0 ， ai 为实数，则称方程为 n 次代数方程。
n 次代数方程在复数域有且只有 n 个根（含重根）。
当 n 5 时不能用公式表示方程的根，只能数值求解。
3
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
对于超越方程，例如：
e x 10sin 10x 0
在整个
x 轴上有无穷多个解， x 取值范围不同，解也不同。
2017年1月4日
或称
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析
第一章绪论 (1)
第二章函数插值 (2)
第三章函数逼近 (5)
第四章数值积分与数值微分 (10)
第五章解线性方程组的直接解法 (12)
第六章解线性方程组的迭代解法 (16)
第七章非线性方程求根 (19)
第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)
第一章绪论
1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？
解：
面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限
k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^
1 r 1 2x4 8
4-xio1-" <0.1%, 8
解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.
1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计
算到M。，误差有多大？这个算法稳定吗？
解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是
|/i 一川=|1。》0 —IT。〉；+1| = 1。|光 - 司 < 1。5
卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允
许的相对误差限是多少?
解:
5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.
____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f R
数值分析简单习题
重点考察内容
第一章：
基本概念
第二章：
Gauss消去法，Lu分解法
第三章：
题型：具体题+证明，误差分析
三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明
第四章：
掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数
第五章：
最小二乘法计算
第六章：
梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析
高斯求积公式的构造
第七章：
几种常用的迭代格式构造，收敛性证明
第九章：
基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）简单欧拉法
第一章误差
1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是 _________ , ________ , ________ , ________ 。
2. 用Taylor 展开近似计算函数f （x ） ：、f （x 0） f'（x 0）（x-x 0），这里产生是什么误差？
3. 0.7499作3的近似值，是
位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有 几
4
位有效数字，相对误差限为 _______ . 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有 ________ 位有效数字.
4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：
（1） —|x|=1
（ 2） +
J 1-丄，|x|=1
1 +2x 1 +x Y x Y x
1「cosx
（3）
, x=0,|x| 1. （4） sin ： -sin :, 一—■
x
5. 采用下列各式计算（、、2-1）6
时，哪个计算效果最好？并说明理由。
1 1
（1） 6 （ 2） 99-70,2
（ 3） （3-2、月）6
（ 4） 3
（V2+1）6
（3 + 2问3
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第七章非线性方程求根
要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断
（2） 迭代公式收敛阶概念
（3） Newton 迭代公式及收敛性左理
复习题：
1、建立一个迭代公式il •算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产
l/o = 5
数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ）
注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0•习
(2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1
2\J X + 5 2
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“
2、对于方程—x = 2 »
解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2
显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0
当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0
可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根
(2)取 (II)当 X €[T9-1]时，恒有 0Cr) = 0" 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (3)记/(x) = 0 J-2 牛顿迭代法形式：和“”-错; (1) 证明在区间［」・9, .1］内有唯一实根 (2) (3) 无+1-0*-2的收敛性如何？ 扯 e （-L9,-l ） 写出求解该实根的牛顿迭代公式 讨论迭代格式 严-X-2 兀屛=兀------ 汗七― e" -1 .心=一1・9 3、为求x^-x--\=0/£ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性 X- 解：记 ⑴ 迭代式为£. = 1+2,这里记9?U)= I+4 注意到/(1・3)/(1・5)<1・并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q. xe[L3J.5] 所以区间［1.3J.5］为有根区间 2 0([l・3J・5])c[l・3J•习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I 依据不动点迭代法收敛世理，知该迭代公式收敛 ⑵ 迭代式为兀4=(l + x；)・这里0(0 = (1 + /)了同(1)中讨论，得结 论：该迭代公式收敛 4、对于方程人0'-1 = 0在0.5附近的根。 (1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 (2)给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1)加一1=0《9 A =— e' I X ・=£ 构造迭代式：｛ 2 ,即取迭代函数0(羽=严 I/O 首先，容易验证区间［O.IJ］是方程的一个有根区间 ^[OJJDc[0.1,1],并且当%e[0J,l]时，恒有I0(x)l 依据不动点迭代法收敛过理，知该迭代公式收敛设/€［0.tl］是其根的 精确值, 因为= HO,故收敛为线性收敛，即收敛阶p = l ⑵记 f (X)= xe' -1 牛顿迭代法形式： (£+1)严 1兀= // I 5、应用牛顿法于方程/（x ） = l -一 =0,导出求V&的迭代公式 解：牛顿迭代法形式，-册 3佔£ 2a 如果C/V1・可取兀=1，如果«>1-可取Xy =a 6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0 （1） 证明在区间（1, 8）有一个单根■并大致估计单根的取值范 围. （2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式 解：（1）记f （x ） = x-}nx-2，显然/（X ）处处可微 /(1) = -1<0 , lim /(x) = 4 ・K 所以，在区间（1, 8）内至少存在一个实根 另外，由于 /V ） = l-->0 ,X€（l,g ） X 所以，在区间（1, 00）内有且仅有一个实根 /(3) = l-ln3vO, /(4) = 2-ln4>0 可见根xe （3,4） ⑵牛顿迭代法形式―”-鵠 1-4 即：兀+|=兀--才 2a HP ： < 即：和’一41戸 考虑取如=4 7、据理证明X =1是方程x"-x'-2%-+3x = 1的一个二重根, 井构造计算F的具有平方收敛阶的Newton迭代 解：记/(X)=十一x'-2x2+3兀-1 因为/(1) = 0, r(l)=O,厂⑴HO 所以X = 1是方程/(X)= 0的一个二重根 注意到，当a是/(X)= 0的m重根0«>2)时, 牛顿迭代法求解/(X)= 0仅是线性收敛的 fM 事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是(p(x} = x-冲 f (-V) 由住是/(X)= 0 的川重根，令/(x) = (x-ay”g(x), g(a)工0, Cr-a)gCv) 则 mg(x) + (x-a)g(X) 容易验证J 0(a) = 1—— ,因w>l,0(a)H(X且0(尤)<1, 故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。 求方程也重根的牛顿迭代法形式：兀+1 =兀-川孕丄 7 (X”) 2(€ - 兀；- 2»・；+3 兀-1) 4xH+3 该迭代至少为平方收敛 8、求方程疋-2x-5 = 0在区间［23］内根的近似值有如下变形