2020年广西高考数学一诊试卷(理科).
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2+x−2<0}.则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,2}2.若复数z满足(1−i)z=−1+2i，则|z−|=()A. √22B. 32C. √102D. 123.在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数4.(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为()A. −40B. 120C. 160D. 2005.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=()A. −11B. −8C. 5D. 116.已知函数f(x)=a2x2+bln x图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，则ab等于()A. 2B. 1C. 0D. −27.函数f(x)=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图像大致为()A. B.C. D.8.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E,F分别是AB,CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90∘，则EF=()A. 1B. 2C. √2D. √39.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 100810.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√33x D. y=±√3x11.已知函数f(x)=|x|−1x2，则不等式的解集为()A. (1,0)U(1,+∞)B. (−∞,−1)U(0,1)C. (−∞,1)U(1,+∞)D. (−1,0)U(0,1)12.已知函数f(x)=√3sin2x−cos2x，有下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间[−π3,π6]上是增函数；③f(x)的图象关于点(π12,0)对称；④x=π3是f(x)的一条对称轴．其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗=(3,1)与向量b⃗ =(−1,2)的夹角余弦值是______．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7−a2=a9−10，则S7=________．15.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E 到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从一种零件中抽取了80件，尺寸数据表示如下(单位：cm)：这里用x×n表示有n件尺寸为x的零件，如362.51×1表示有1件尺寸为362.51cm的零件．(1)作出样本的频率分布表和频率分布直方图；(2)在频率分布直方图中画出频率分布折线图．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE//平面ABC1.若存在，求二面角E−AC1−B的余弦值．19.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，(1)若C=3π4，△ABC的面积为9√24，求a的值；(2)求sin(C−A)sinB −8sin2C2的值．20.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)．(Ⅰ)当a≤12时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x2−2bx+4.当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．21.已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D．(1)证明：∠ADB=90°；(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，A(0,−1)，B(−√3,0)，以AB为直径的圆记为圆C，圆C过原点O的切线记为l，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若过点P(0,1)，且与直线l垂直的直线l′与圆C交于M，N两点，求|MN|．23.设a，b为正实数，且1a +1b=4．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)若(a−b)2≥16(ab)3，求ab的值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：B={x|−2<x<1}；∴A∩B={−1,0}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由(1−i)z=−1+2i，得z=−1+2i1−i =(−1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+12i，∴|z−|=|z|=√(−32)2+(12)2=√102．故选：C．3.答案：C解析：解：根据题意知，A样本数据一定时，B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到的，则A样本的众数比B样本的众数小3；A样本的中位数比B样本的中位数小3；A样本的方差等于B样本的方差；A样本的平均数比B样本的平均数小3．故选：C．根据众数、中位数、平均数和方差的定义知，A样本数据一定时，B样本数据是A样本每个数都增加3得到的，则两样本的方差不变．本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义与应用问题，是基础题．解析：解：(x+2y)5展开式的通项为T r+1=C5r(x)5−r(2y)r∴(x+2y)5=x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，∴(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为160−40=120，故选：B．把(x+2y)5按照二项式定理展开，可得(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=−2，所以S5S2=1−q51−q2=−11．故选：A．先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．6.答案：C解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程的应用，属于基础题．对f(x)求导，由导数的几何意义即可求解．解：由题意可得f′(x)=ax+bx，所以f′(1)=a+b=2，且f(1)=a2=1，所以a=2，b=0，所以ab=0．7.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．解：因为f(−x)=(e −x−1)ln|−x|e−x+1=(1−e x)ln|x|e x+1=−f(x)是奇函数，所以排除A，C，当x→+∞时，f(x)>0，所以排除D．故选B ．8.答案：C解析：↵本题考查异面直线所成角，取BD中点G，连接EG，FG，EF，可得∠EGF=90°，进而得出答案．解：取BD中点G，连接EG，FG，EF，则EG//AD，EG=1，同理FG//BC，FG=1，所以∠EGF=90°，∴EF=√2．9.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形FACB为矩形，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形FACB为矩形，即有|AF|=|BC|，mn=2a2，设|AC|=m，|BC|=n，可得n−m=2a，n2+m2=4c2，12即有4c2−8a2=4a2，即有c=√3a，b=√c2−a2=√2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选：B．11.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，题目难度一般．首先判断出f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数是解题的关键．解：显然f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数，f(1)=f(−1)=0，故f(x)+f(−x)x <0等价于2f(x)x<0．当x>0时，2f(x)<0，解得0<x<1；当x<0时，2f(x)>0，解得x<−1．综上，所求不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)．故选B．12.答案：C解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．解：函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，①f(x)的最小正周期为π，故①正确；②由2x−π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)得：x∈[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，故f(x)在区间[−π3,π6]上不是单调函数，故②错误；③由2x−π6=2kπ得：x=π12+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故③正确；④由2x−π6=π2+2kπ得：x=π3+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于x=π3对称，故④正确；故选C．13.答案：−√210解析：解：cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√10√5=−√210． 故答案为：−√210．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题．14.答案：70解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的性质及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可求得a 4=10，进而利用等差数列的性质及求和公式即可求解． 解：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 由a 7−a 2=a 9−10，所以a 1+6d −a 1−d =a 1+8d −10， 即a 1+3d =10， 所以a 4=10， 所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=70．故答案为70．15.答案：√33或√53解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率． 解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ， ∴3x =2a ，∴a =3x 2，∵△MF 1F 2为直角三角形，若MF 2⊥F 1F 2，则x 2+4c 2=(2x)2， ∴c =√32x ，e =c a=√33； 若MF 1⊥MF 2，则x 2+(2x)2=4c 2， ∴c =√52x ，e =ca =√53． 故答案为：√33或√53．16.答案：2√33解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．连接AF 并延长AF 交线段BC 的延长线于G ，连接PG ，因为EF//平面PBC ， 平面PAF ∩平面PBC =PG ，EF ⊂平面PAF ，所以EF//PG ， 又DF =2FC ，由平面几何知识可得GCBC =GFFA =PEEA =12，过E 作EH ⊥AD 于H ，由平面PAD ⊥平面ABCD 可得，EH ⊥平面ABCD ， 直角三角形AEH 中，，即点E 到平面ABCD 的距离为2√33． 故答案为：2√33． 17.答案：略.解析：(1)在样本数据中，最大值是364.41，最小值是362.51，所以极差为364.41−362.51=1.90． 若取组距为0.30，则由于1.900.3=613，要分7组，组数合适，于是决定取组距为0.3，分7组，把第一组起点稍微提前，得分组如下：[362.40,362.70),[362.70,363.00)…[364.20,364.50].列出频率分布表：由上表可以画出频率分布直方图：．18.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1；解：(2)当E为B1B的中点时，连接AE、EC1、DE，如图，取A1A的中点F，连接EF、FD，∵EF//AB，DF//AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD//平面ABC 1，则有DE//平面ABC 1， 设点E 到平面ABC 1的距离为d ，∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥AB ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC 1， ∴S △BAC 1=12×4√2×2=4√2，∵A 1A ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面A 1ABB 1， ∵AC//A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面 1ABB 1，∴V C 1−ABE =13×S △ABE ×A 1C 1=13×12×2×2×4=83，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE =83，解得d =3×83S △ABC 1=3834√2=√2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，B(2,0，0)，C 1(0,4，4)，E(2,0，2)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 设平面AC 1E 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， 设平面AC 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设二面角的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√2=√63． ∴二面角E −AC 1−B 的余弦值为√63．解析：(1)推导出AA 1⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1C ⊥平面ABC 1，由此能证明平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1； (2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE ，求出d =√2.以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC 1−B 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，且sinA =2sinB ，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24,C=3π4，所以：12absinC=9√24，解得：a=3√2,b=3√22．(2)sin(C−A)sinB −8sin2C2，=(sinCcosA−cosCsinA)sinB−4(1−cosC)，=2sinBsinA−4=−3．解析：(1)直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=lnx−ax+1−ax−1(x>0)，f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2+x+a−1x2(x>0)，令ℎ(x)=ax2−x+1−a(x>0)，(1)当a=0时，ℎ(x)=−x+1(x>0)，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)当a≠0时，由f′(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1,x2=1a−1．当a=12时x1=x2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当0<a<12时，1a−1>1>0，x∈(0,1)时ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1,1a−1)时，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(1a−1,+∞)时，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．当a<0时1a−1<0，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增；当a =12时x 1=x 2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减； 当0<a <12时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1a −1)单调递增，(1a −1,+∞)单调递减．(Ⅱ)当a =14时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)，有f(x 1)≥f(1)=−12，又已知存在x 2∈[1,2]，使f(x 1)≥g(x 2)，所以−12≥g(x 2)，x 2∈[1,2]，(※)， 又g(x)=(x −b)2+4−b 2，x ∈[1,2]，当b <1时，g(x)min =g(1)=5−2b >0与(※)矛盾； 当b ∈[1,2]时，g(x)min =g(b)=4−b 2≥0也与(※)矛盾； 当b >2时，g(x)min =g(2)=8−4b ≤−12,b ≥178．综上，实数b 的取值范围是[178,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识求出g(x)在闭区间[1,2]上的最小值，然后解不等式求参数．21.答案：(1)证明：依题意有F (0, 14)，直线l ：y =kx +14，设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，直线l 与抛物线E 相交， 联立方程{y =x 2, y =kx +14,消去y ，化简得x 2−kx −14=0，所以x 1+x 2=k, x 1x 2=−14，又因为y′=2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1， 同理，直线l 2的斜率k 2=2x 2， 所以，所以，直线l 1⊥l 2，即∠ADB =90∘．(2)解：由(1)可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设P(x, y)是圆Γ上的一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以，圆Γ的方程为又因为x 1+x 2=k, x 1x 2=−14 ， y 1+y 2=kx 1+14+kx 2+14=k 2+12，y 1y 2=x 12x 22=116，所以，圆Γ的方程可化简为联立圆Γ与抛物线E 得{x 2+y 2−kx −(k 2+12)y −316=0, y =x 2,消去y 得x 4−(k 2−12)x 2−kx −316=0， 即(x 2+14)2−(kx +12)2=0，即若方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0有相同的实数根x 0，则矛盾，所以，方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于{k 2+1>0k 2−3>0,解得k >√3或k <−√3． 综上所述，k >√3或k <−√3．解析：本题考查抛物线简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，定值问题，曲线的交点个数问题，参数的范围问题，考查计算能力，属于难题．(1)由直线l 与抛物线E 相交，联立方程消去y ，由导数的几何意义，结合韦达定理可得l 1⊥l 2，故可得答案(2)先求得圆Γ的方程联立圆Γ与抛物线E 消去y 得通过外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点可得答案．22.答案：解：(1)由题意，知圆C 的直径|AB|=2，圆心C 的坐标为(−√32,−12)，∴圆C 的直角坐标为(x +√32)2+(y +12)2=1，即x 2+y 2+√3x +y =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入上式，得到圆C 的极坐标方程为ρ+√3cosθ+sinθ=0． (2)因为直线l′与圆C 过原点O 的切线l 垂直， 所以直线l′的倾斜角为π6，斜率为√33，又直线l′过点P(0,1)，故直线l′的普通方程为y =√33x +1，即√3x −3y +3=0，圆心C(−√32,−12)到直线l′的距离d =2√3=√32， 所以|MN|=2√1−34=1．解析：(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)首先利用垂直关系确定直线的斜率，进一步确定直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线方程的求法及应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)∵a 、b 为正实数，且1a +1b =4．∴a 、b 为正实数，且1a +1b =4≥2√1ab (a =b 时等号成立)．即ab ≥14(a =b =12时等号成立)∵a 3+b 3≥2√(ab)3≥14(a =b =12时等号成立)． ∴a 3+b 3的最小值为14，(Ⅱ)∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，则(1a +1b)2−4ab≥16ab⇒4ab+1ab≤4，又∵4ab+1ab ≥4，∴4ab+1ab=4∴当且仅当ab=12时“=”成立．∴ab=12．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥14，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．(Ⅱ)根据∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，化简得4ab+1ab=4从而可得ab=12．。
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)
2020 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的21．（5 分）已知集合 A ＝｛﹣2，﹣ 1，0，1，2｝，B ＝｛x|x 2﹣4x ﹣5<0｝，则 A ∩B ＝（ ）位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是2．3． A ．｛﹣2，﹣ 1，0｝ B ．｛﹣1，0，1，2｝ C ．｛﹣1，0，1｝D ．｛0，1，B ．C ．D ．50 分， 2} 则以该 84． 5． 6． A ．方差5 分）A ． 20 5 分）A ．9 5 分） a ﹣ b ＝B ．中位数C ．众数D ．平均数若（ x 2+ ）6的展开式中 x 6 的系数为 150，则 a 2＝（ B ． 15 C ．10 D ．25设递增的等比数列 已知函数 B ． f （x ）＝ ｛ a n ｝ 的前 n 项和为 S n ，已知 S 4＝ ， 3a 4﹣10a 3+3 a 2＝0，则 27 C ．81 D ．lnx+ax+b 的图象在点（ 1，a+b ）处的切线方程是 y ＝ 3x ﹣2，则 D ．﹣ 3A ．5 分）某校 8 位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出5 分）若复数 z 满足（ 1+3i ） z ＝（ 1+i ）2，则 |z|＝（ ） C ．﹣2A ．2B ． 3A ．A．B．C．D．D．9．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的，则① 处应填写（CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（B．k≤3？C．k≤5？D．k<5？10．（5 分）已知点F2 为双曲线的右焦点，直线y＝kx 与双曲线交于8．ABCD，ABCD）PA，A ．k< 3？其中所有正确结论的编号是13．（5 分）已知两个单位向量满足 | + |＝ | |，则向量 与 的夹角14．（ 5分）设 S n 是公差不为 0的等差数列 {a n }的前 n 项和，且 a 7＝﹣2a 1，则 ＝15．（5 分）已知 F 1，F 2是椭圆 C ： 的左、右焦点，过左焦点 F 1 的直线与椭圆 C 交于 A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB|＝|BF 2|，则椭圆 C 的离心率为AB ，BC ，C 1D 1 的中点．点 P 在平面 ABCD 内，若直线 D 1P ∥平面 EFG ，则线段 D 1P 长度的最小值是 ?两点，若A ．B ．D ．411． 5 分）已知函数A ．（ ，10） C ．（1，10）B ．（﹣∞， D ．12．（5 分）已知，函数 f （x ）＝ sin （ 2ωx ﹣ 出下列四个结论：① f （ x ）在（ π， 2π）上单调递增； ③ f （ x ）在 ［0， π］上没有零点；（f lgx ）＞ 3 的解集为（ ））∪（ 10， +∞）， 1）∪（ 1， 10））在区间（ π， 2π）内没有最值．给［，［，④ f （ x ）在 ［0， π］上只有一个零点．A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上16．（5 分）如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中， ，E ，F ，G 分别为，则△ AF 2B 的面积为（C ．，则不等式］；②ω三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17．（12 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．（12 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC ．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C 的余弦值．19．（12 分）a，b，c 分别为△ ABC 的内角A，B，C 的对边，已知a（sinA+4sinB）＝8sinA．（1）若b＝1，A＝，求sinB；（2）已知C＝，当△ ABC 的面积取得最大值时，求△ ABC 的周长．3220．（12 分）已知函数f（x）＝2x +mx +m+1 ．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m 的值．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2＝4x 与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r>0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r 的取值范围；（2）设四边形ABCD 的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC 的交点P 的坐标．（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4 ：坐标系与参数方程]22．（10 分）在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M 的周长．（1）求圆M 的半径和圆M 的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M 交于O，A 两点，l2与圆M 交于O， B 两点，求△ OAB 面积的最大值．[ 选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b 满足a+b＝4．2020 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1．（5 分）已知集合 A ＝｛﹣2，﹣ 1，0，1，2｝，B ＝｛x|x 2﹣4x ﹣5<0｝，则 A ∩B ＝（ ）解答】 解：∵ A ＝｛﹣2，﹣1，0，1，2｝ ，∴A ∩B ＝ ｛0，1，2｝． 故选： D ．2．（ 5分）若复数 z 满足（ 1+3i ）z ＝（ 1+i ）2，则|z|＝（ ） A ． A ．B ．C ．D ．【解答】 解：由（ 1+3i ）z ＝（ 1+i ）2＝2i ， 得 z ＝ 得＝ ∴|z|＝ ．故选： D ．3．（5 分）某校 8 位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数【解答】 解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差 50， 根据方差公式知方差不变． 故选： A ．4．（5 分）若（ x 2+ ） 6的展开式中 x 6的系数为 150，则 a 2＝（ ）A ．20B ．15C ． 10D ． 25【解答】 解：（x 2+ ）6 的展开式的通项公式为 T r+1＝ a r ?x 12﹣3r ，令 12﹣3r ＝6，求得r ＝2，可得展开式中 x 6 的系数为 ?a 2＝150，则 a 2＝10，A ．{﹣2，﹣ 1，0}B ．｛﹣1，0，1，2｝C ．｛﹣1，0，1｝D ．｛0，1，2｝B ＝ {x|﹣1<x <5} ，50 分，则以该 8故选： C ．解答】 解：根据题意，设等比数列 { a n }的公比为 q ，2若 3a 4﹣10a 3+3a 2＝0，则 3a 2q ﹣ 10a 2q+3a 2＝ 0，即有解可得 q ＝3 或 ，又由数列 { a n }为递增的等比数列，则 q ＝3，则 a 4＝ a 1q 3＝ 9， 故选： A ．a ﹣b ＝（ ）解答】 解：由 f （ x ）＝ lnx +ax+b ，得 f ′（ x ）＝ ，解得则 a ﹣ b ＝ 3． 故选： B ．5． 5 分）设递增的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知S4， 3a 4﹣10a 3+3 a 2＝0，则A ．9B ．27C ．81D ．7． 5 分）函数 的部分图象大致为23q 2﹣10q+3＝ 0，若 S 4＝，则 S 4＝ ＝ 40a 1＝ ，解可得 a 16． 5 分）已知函数 f （ x ）＝ lnx+ax+b 的图象在点（ 1，a+ b ）处的切线方程是 y ＝ 3x ﹣ 2，则A ．2B ．3C ．﹣ 2D ．﹣ 3+a ，故选：A ． 通过异面直线所成角的性质可知∠ EFG 是异面直线 EF 与 BD 所成的角， 设 AD ＝ 2，则 EF ＝ ＝ ，∴异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 ． 故选： C ．＝ e x ﹣ e x + 又由 f （﹣ x ）＝﹣（ e x ﹣ e ﹣x﹣ ）＝﹣ f （x ），则 f（x ） 为奇函数，排除 C 、D ；在（ 0， +∞） 上，当 x →0时， f （ x ）→﹣∞，排除B ， 8．（5 分）如图， PA ＝ AD ，E ， F 分别是线段 PA ，同理可得 EG ＝ ，又 FG ＝ ＝ ，∴在△ EFG 中， cos ∠ EFG ＝PA ⊥平面 ABCD ， ABCD 为正方形，且k ＝ 1，S ＝0由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 故则① 处应填写 k ≤3？ 故选： B ．10．（5 分）已知点 F 2 为双曲线的右焦点，直线 y ＝kx 与双曲线交于9．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则① 处应填写（解答】 解：模拟程序的运行，可得 C ．k ≤5？D ．k <5？，，满足判断框内的条件， 执行循环体， k ＝ 3， 满足判断框内的条件， 执行循环体， k ＝4，＝，＝，＝＝S 的值为k ＝ 2，S ＝ 0+ S ＝解答】 解：设双曲线 C 的左焦点为 F 1，连接 AF 1， BF 1，由对称性可知四边形 是平行四边形， ∴ ， ，设 |AF 1|＝ r 1， |AF 2|＝ r 2，则 ，又 |r 1﹣r 2|＝ 2a ，故 ．∴．则△ AF 2B 的面积为．，则不等式 （f lgx ）> 3 的解集为∞）上的偶函数，且在（ 0， +∞）上是单调递减函数； 又 f （ 1）＝ log 22+ ＝3，所以不等式 f （lgx ）>3 可化为 0<|lgx |<1，故选：D ．A ．（ ， 10） C ．（1，10）B ． ∞，）∪（ 10，+∞）， 1）∪（ 1， 10）0，+两点，若A ．B ．C ．D ．4AF 1BF 211．（5 分）已知函数，则△ AF 2B 的面积为（即﹣1< lgx <1，且lgx≠ 0，解得 <x < 10，且 x ≠1； 所以所求不等式的解集为（ ，1）∪（ 1，10）．故选： D ．出下列四个结论：其中所有正确结论的编号是综上知，所有正确结论的编号是 ②④ 故选： A ．二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分把答案填在答题卡中的横线上13．（5 分）已知两个单位向量满足 | + |＝| |，则向量 与 的夹角 ．【解答】 解：∵两个单位向量满足 | + |＝ | |，＝ 1，＝＝ 1 ，12．（5 分）已知，函数 f （x ） ＝ sin 2ωx ）在区间（ π， 2π）内没有最值．给① f （ x ）在（ π， 2π）上单调递增；②ω∈[③ f （ x ）在 ［0， π］上没有零点；④ f （ x ）在 ［0， π］上只有一个零点．A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④解答】 解：由函数 f （ x ）＝ sin 2ωx ﹣ ）在区间（ π， 2π）内没有最值，则 2k π﹣≤2k π+≤ 2ωπ﹣< 4ωπ﹣≤2k π+解得 k ﹣+ ， k ∈Z ；≥ 2π，且 ω> ，所以 <ω≤ 1；令 k ＝ 0，可得 ω∈［ ］，且 f （x ）在（ π，2π）上单调递减；所以 ① 错误，② 正确；当 x ∈[0， π] 时， 2ωx ﹣ ∈[﹣ ， 2ωπ﹣ ］，所以 f （x ）在 ［0，π］上只有一个零点，所以③ 错误， ④ 正确； ≤2ωπ﹣< 4 ωπ﹣或 2k π+，k ∈Z ； ≤ ω≤+ ，或 k+≤ω≤] ，且 2ωπ﹣ 解得 ＝﹣ 1，∴向量 与 的夹角为解答】 解：设等差数列 { a n } 的公差为 d ，∵ a 7＝﹣ 2a 1，∴ a 1 +6d ＝﹣ 2a 1，∴ a 1＝﹣ 2d ．故答案为：18．15．（5 分）已知 F 1，F 2是椭圆 C ： 的左、右焦点，过左焦点 F 1 的直线与椭圆 C 交于 A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB|＝|BF 2|，则椭圆 C 的离心率为 解答】 解：设 |BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k ，由 |BF 1|+|BF 2|＝|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 得 2a ＝5k ，|AF 2|＝ 2k ，如图：在△ ABF 2 中， ，又在△ AF 1F 2中， 故离心率 故答案为：16．（5 分）如图，在长方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1中， ，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，C 1D 1 的中点．点 P 在平面 ABCD 内，若直线 D 1P ∥平面 EFG ，则线段 D 1P 长第13页（共 20页）则＝18．∴ cos <＞＝﹣14．（ 5分）设S n 是公差不为 0的等差数列 {a n }的前 n 项和，且 a 7＝﹣2a 1，则18得，故答案为：度的最小值是 ?【解答】 解：如图，连结 D 1A ，AC ，D 1C ， ∵E ，F ，G 分别为 AB ，BC ， C 1D 1的中点， ∴AC ∥EF ，EF? 平面 ACD 1，AC?平面 ACD 1， ∴ EF ∥平面 ACD 1，∵ EG ∥ AD 1，EG? 平面 ACD 1， AD 1?平面 ACD 1， ∴EG ∥平面 ACD 1，∵EF ∩EG ＝E ，∴平面 EFG ∥平面 ACD 1， ∵ D 1P ∥平面 EFG ，∴当 D 1P ⊥AC 时，线段 D 1P 的长度最小，最小值为故答案为： ．三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 分.60 ∴点 P 在直线 AC 上，在△ ACD 1中， AD 1＝ ，AC ＝2，CD 1＝2，17．（ 12 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间， （ ﹣ 2s ， +2s ） 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 s ≈ 15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ．1）求样本平均数的大小；2）若一个零件的尺寸是 100cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．（ 2） ＝ 66.5+30＝ 96.5，＝ 66.5﹣ 30＝ 36.5，100>96.5， ∴该零件属于“不合格”的零件．18．（12 分）如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，，B 1C ＝1，B 1C ⊥平面 ABC ．（ 1）证明：平面 A 1ACC 1⊥平面 BCC 1B 1．（ 2）求二面角 A ﹣B 1B ﹣C 的余弦值．【解答】（ 1）证明：因为 B 1C ⊥平面 ABC ．所 B 1C ⊥ AC ，×10×0.020+85 ×10×0.015+95×10×0.005＝66.5． 10×0.015+65×10×0.030+75因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC ，第15页（共20页）又BC∩ B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC? 平面A1ACC 1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB 两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB 1的一个法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，得由，又CA⊥平面CBB1，所以平面所以二面角A﹣B1B﹣C 的余弦值为CBB1 的一个向量为，由19．（12 分）a，b，c 分别为△ ABC 的内角A，B，C 的对边，已知a（sinA+4sinB）＝8sinA．（1）若b＝1，A＝，求sinB；（2）已知C＝，当△ ABC 的面积取得最大值时，求△ ABC的周长．【解答】解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sinA+4sin B）＝8sinA 转换为a（sin A+4sin B ）＝8bsinA，利用正弦定理sin2A+4sin AsinB＝8sinAsinB，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2abcosC≥ab，当a＝ b 时，最大值为，由于，所以△ ABC 为等边三角形．利用正弦定理a（sinA+4sinB ）＝8sinA，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b 时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+16 ﹣4＝13，解得c＝所以．20．（12 分）已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1 ．（1）讨论f（x）的单调性；2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m 的值．解答】解：1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R 上递增，当m>0 时，x∈（﹣∞，0），（m，+ ∞）递增，x∈（0，m）递减，当m<0 时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m>0 时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f（m）32＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1< 0，不成立；当m<0 时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．第21页（共 20页）21．（12 分）如图，已知抛物线 E ：y 1 2＝4x 与圆 M ：（x ﹣ 3）2+y 2＝r 2（r >0）相交于 A ，B ， C ，D 四个点．（ 1）求 r 的取值范围；（2）设四边形 ABCD 的面积为 S ，当 S 最大时， 求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标．【解答】 解：（ 1）联立抛物线 y 2＝4x 与圆 M ：（x ﹣3）2+y 2＝ r 2（r >0），可得 x 2﹣2x+9 ﹣r 2＝0，22由题意可得△＝ 4﹣4（9﹣r 2）> 0，且 9﹣r 2>0，r >0，解得 2 < r < 3；22（ 2）设 x 2﹣ 2x+9 ﹣r 2＝0 的两个根为 x 1， x 2，且 0< x 1<x 2， 可得 x 1+x 2＝2，x 1x 2＝9﹣ r 2，D （ x 2 ，﹣ 2 ），则 S ＝ （|AB|+|CD|）?（x 2﹣x 1）＝ （4 +4 ）?（x 2﹣x 1）＝ 2＝ 2 ? ，可令 t ＝ ∈（ 0，1），设 f （t ）＝S 2＝4（2+2t ）（4﹣4t 2）即 f （ t ）＝﹣ 32（t 3+t 2﹣t ﹣1），2f ′（ t ）＝﹣ 32（3t 2+2t ﹣ 1）＝﹣ 32（t+1）（3t ﹣1），由抛物线和圆都关于 x 轴对称， 可设 A （x 1，2），B （x 1，﹣2 ），C （ x 2，2 ）， ABCD 的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于 x 轴对称，可设 P （ m ，0），由 P ，A ，D 三点共线， 可得 t ＝ 四边形解得 m ＝﹣所以 P 的坐标为（﹣ ，0）．题计分 .[选修 4-4 ：坐标系与参数方程 1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； 2）过原点作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，其中 l 1与圆 M 交于 O ，A 两点， l 2与圆 M 交 于 O ， B 两点，求△ OAB 面积的最大值． 所以圆心坐标满足直线的方程，所以 a+1﹣2＝ 0，解得： a ＝ 1，则 ρ1＝ 2sin α+2cos α，由于 l 1⊥ l 2，所以 ＝ 2（ cos 2α﹣ sin 2α）＝ 2cos2α≤ 2， 故三角形面积的最大值为 2．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知正实数 a ，b 满足 a+b ＝ 4．（1）求 +解答】 解：（1）∵正实数 a ，b 满足 a+b ＝4，第19页（共 20页）＝﹣ t ＝﹣二）选考题：共 10 分 .请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做， 则按所做的第 22．（ 10 分）在直角坐标系中，已知圆 2 2 2 M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝a 2+1， 以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆 M 的周长．解答】 解：（ 1）已知直线 转换为直角坐标方程为 x+y ﹣ 2＝ 0．由于直线平分圆 M ：（ x ﹣ a ） 2 2 2 2+（y ﹣1）2＝a 2+1，所以圆的方程为（ x ﹣1）2+ y ﹣ 1） 2＝ 2，圆的半径为 ． 圆 M 的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ+2cos θ．2）设直线 l 1 为 θ＝ α，l 2为 ， |OA|＝ ρ1， |OB |＝ ρ2， 用 代替，可得ρ2＝2cos α﹣ 2sin α．的最小值．2）证明：第23页（共 20页）当 0<t < 时， f （t ）递增，在（ ， 1）递减，+＝ ）（a+b ）＝当且仅当 且 a+b ＝ 4 即 a ＝， b ＝ 时取得最小值 2）证明：∵ a+b ＝4，2当且仅当 a ＝b ＝ 2 时取 等号）。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)22．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．5645．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．126．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A ．25 B ．2 C ．15 D ．2112．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = ．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 ．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，sin cos sin (2cos )A C C A =-．（1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)2【思路分析】先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出R A ð．【解析】：易知()(){}1|3120{|2}3A x x x x x x =+-=-或厔?，所以1|23R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了补集的定义，是基础题．2．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--【思路分析】利用复数模的计算公式求|34|i -，即可求得z ，则答案可求．【解析】：由题意，得525z i =+g ．则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2(,1)5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“38x >” ⇔ “2x >”，即可判断出结论．【解析】：“38x >” ⇔ “2x >”，∴ “38x >”是“2x >”的充要条件．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【思路分析】C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．【解析】：C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．当0k >时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程224x y k k k -=，其焦距为8=，解得645k =； 当0k <时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-．综上，645k =或645k =-．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【思路分析】根据一元二次方程有实数根△0…，求出a 的取值范围，再求对应的概率值． 【解析】：因为方程2280x ax -+=有实数根，所以△2()4280a =--⨯⨯…， 解得8a …或8a -„， 所以方程2280x ax -+=有实数根的概率为12811242P -==-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【思路分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 【解析】：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q ⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 第一次运行时，2k =，332S =+⨯； 第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，332333S =+⨯+⨯+⋯，以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 此时刚好不满足2018k <，则输出3(12342018)S =++++⋯+，所以该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+【思路分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解析】：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项． 【解析】：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴【思路分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．【解析】：由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21w T π==，则()2sin()f x x ϕ=+中，因为5()()36f f ππ=，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==，将7(,2)12π代入2sin()y x ϕ=+，得72()122k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()12k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin(2)2sin()1212f x x k x πππ=-+=-，令22()2122k x k k Z πππππ--+∈剟，得5722()1212k x k k Z ππππ-+∈剟，所以函数()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增．故B 项正确； 令322()2122k x k k Z πππππ+-+∈剟，得71922()1212k x k k Z ππππ++∈剟，所以函数()f x 在175[,]1212ππ--上单调递减．故C 项错误； 令()122x kx k Z ππ-=+∈，得7()12x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴．故D 项正确． 故选：C ．【总结与归纳】考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A 25B ．22C 15D ．217【思路分析】本题根据题意可得22||b PF a=，然后过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据两个直角三角形相似可计算出点Q 坐标，再将点Q 坐标代入椭圆方程，结合222b a c =-，可解出e 的值．【解析】：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得22222||1PF c a b +=，解得22||b PF a=． 如图所示，过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ， 根据题意及图可知，Rt △211Rt QEF PF F ∆∽， Q 11||4||PF F Q =，∴1221||||4||||F F PF EF QE ==， 121||2||442F F c cEF ∴===，0322c cx c ∴=--=-．又220||||44PF b y QE a =-=-=-Q ．∴点Q 坐标为3(2c-，2)4b a -．将点Q 坐标代入椭圆方程，得222291416c b a a +=．结合222b a c =-，解得21c e a ==，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--【思路分析】根据已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<；解得40a -<<．再根据方程()0g x =只有唯一的正实数根，求导，分析函数()y g x =根的分布，列出不等式得出a 的取值范围即可．【解析】：因为二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<，解得40a -<<．由3223232()()(3)21(3)231g x f x ax a x ax ax ax ax a x ax a x x =+-+++=--+-+++=-+． 则2()363(2)g x ax x x ax '=-=-，令()0g x '=，故0x =或2x a =；由于0a <，所以2x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当20x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以2x a=有极小值，0x =时，有极大值；因为(0)1g =．当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根．而当2x a=时，32()31g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值，所以32222()()3()10g a a a a=-+>，解得2a >（舍去）或2a <-．综上所述，实数a 的取值范围是(4,2)--． 故选：D ．【总结与归纳】本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = 2 ． 【思路分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k 的值【解析】：由题意，得33(1,)(2,4)(5,34)a b k k +=-+-=--rr ，因为(3)//a b a +r r r．所以1(34)5()0k k ⨯----=， 解得2k =． 故答案为2．【总结与归纳】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是212 ．【思路分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得结论．【解析】：二项式91()2x x-的展开式的通项是3999219911()()(1)()22r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-， 令3902r -=，解得6r =．故二项式91()2x x -的展开式中的常数项是669679121(1)()22T C -=-=．故答案为：212【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 15 ．【思路分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解． 【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)--组成的直线的斜率，目标函数在点(4,0)C 处取得最小值011415min z +==+， 故答案为：15．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为17(4)π-．【思路分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．【解析】：正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，由正弦定理可知，BDC∆外接圆半径23243r==及2r=，所以三棱锥的高2044h=-=，又底面积23(23)33BCDS∆=⨯=，根据题意可知ABC∆底BC边上的高120317h=-=，侧面积13323173512ABCS S∆==⨯⨯⨯=，设三棱锥的体积1334433V=⨯⨯=，设内切球的半径为R，则由等体积可得，1()433ABC ACD ABD BCDS S S S R∆∆∆∆+++=，所以171R-=，故内切球的表面积2174(4)S Rππ'==-．故答案为：17(4)π-．【总结与归纳】本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且223a c ac-=，sin cos sin(2cos)A C C A=-．（1）求角B的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 【思路分析】（1）由sin cos sin (2cos )A C C A =-，可得sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，利用和差公式可得：sin()2sin A C C +=，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得2b c =．根据已知223a c ac -=，利用余弦定理即可得出B ．（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，由正弦定理，得．解得b ．c ．代入223a c ac -=中，得a ，j 即可得出ABC ∆的周长．【解析】：（1）因为sin cos sin (2cos )A C C A =-， 所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=， 所以sin()2sin A C C +=， 所以sin 2sin B C =． 由正弦定理，得2b c =． 因为223a c ac -=，由余弦定理，得22222222(2)31cos 22222a c b a c c a c ac B ac ac ac ac +-+--=====，又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，则由正弦定理，得．解得4b =．所以2c =．将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=， 解得113a =-（舍去）或113a =+．所以ABC ∆的周长是11342137a b c ++=+++=+．【总结与归纳】本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小【思路分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 【解答】（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF ．因为HF 是ABC ∆的中位线，所以12,//2HF BC HF BC ==．又因为2DE =，//DE BC ， 所以HF DE =，//HF DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形， 所以//EF HD ．因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊂/平面ACE ． 所以//DH 平面ACE ．（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG ．易知222211,(5)122OD DE AO AD OD ==-=-=，易知HG 是AOB ∆的中位线，所以//HG AO 且112HG AO ==．因为AD AE =，O 为DE 中点，AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥．因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥． 又DE CE E =I ，DE ，CE ⊂平面DBCE ， 所以HG ⊥底面DBCE ．所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 222242()(5)()222BC DE CE ---=-= 所以1DG =．在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===．得45HDG ∠=︒． 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒．【总结与归纳】本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【思路分析】（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．与抛物线方程联立消去x ，得2480y my --=，利用根与系数的关系即可得出． （2）由（1），知ABF∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-=g g ，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，0m ≠时，推理可得：CDF ∆的面积2S = 【解析】：（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+． 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以212121222()44444x x my my m y y m m m +=+++=++=+=+g ． 因为124x x +=．所以2444m +=，解得0m =． 所以直线AB 的方程为2x =． （2）由（1），知ABF ∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-g g ．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠．因此，直线CD 的方程为12x y m=-+．同理，CDF ∆的面积2S =所以1212S S ====， 当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立． 【总结与归纳】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ，b ． （2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知1~(4,)4X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由题意，得2(0.010.03)1010.01a b a b +++⨯=⎧⎨=⎩， 解得0.04a =，0.02b =．（2）估计这100名选手的平均成绩为：650.1750.3850.2950.484x =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题意知1~(4,)4X B ，则4431()()()44i i iP X i C -==，(0i =，1，2，3，4)，X 0 1 2 3 4 P 812562764271283641256()414E X =⨯=． 【总结与归纳】本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数()()1g x f x mx =--，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．【解析】：（1）由已知得()1x af x e x '=++，则0(0)1f e a a '=+=+． 又因为直线210x y ++=的斜率为12所以1(1)()12a +⨯-=-，解得1a =．所以()(1)x f x e ln x =++，定义域为(1,)-+∞，所以1()01x f x e x '=+>+．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间．（2）令()()1g x f x mx =--．则1()1x g x e m x '=+-+令1()1x h x e x =++，则21()(1)x h x e x '=-+当0x …时，211,01(1)x e x <+厔，所以()0h x '…．所以函数()(0)y h x x =…为增函数． 所以()(0)2h x h =…，所以()2g x m '-…．①当2m „时，20m -…，所以当2m „时，()0g x '…， 所以函数()(0)y g x x =…为增函数，所以()(0)0g x g =…， 故对0x ∀…，()10f x mx --…成立；②当2m >时，11m ->，由0x …时，1011x <+„，1()()11x x g x f x m e m e m x ''=-=+-<+-+，当(0x ∈，(1))ln m -，知10x e m +-<，即()0g x '<．所以函数()y g x =，(0x ∈，(1))ln m -为减函数． 所以当0(1)x ln m <<-时，()(0)0g x g <=． 从而()10f x mx --<，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(-∞，2]．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解析】：（1）由直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：390x y -+=．所以：直线l 的普通方程为390x y -+=．曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．转换为直角坐标方程为：2212350x y x +++=．故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=．（2）直线390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0)-，(0,9)， 不妨设(3,0)M -，(0,9)N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=， 由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )A αα-+， 所以22||||AM AN +最22222(3cos )sin (6cos )(sin 9)18(sin cos )128)1284πααααααα=-+++-++-=-++=-++，当sin()14πα+=-，即54πα=时，最大值为128．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+． 【思路分析】（1）解绝对值不等式即可； （2）利用作差法比较大小．【解析】：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<， 则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >．故所求不等式的解集为(2,)+∞． 证明：（2）2222(4)(4)(88)a b a b ++-+222()4416ab a b =--+ 222()4416ab a b =--+ 22(4)(4)a b =--，因为2b>，a>，2所以24b>，a>，24所以22-->．(4)(4)0a b所以原不等式2222++>+成立．(4)(4)88a b a b【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(有解析)
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1−2x x+3<0}，则∁R A = ( ) A. (−∞,−3]⋃[12,+∞)B. (−∞,−3)⋃(12,+∞) C. [−3,12]D. (−3,12) 2. 在复平面内，复数z =2+4ii (i 为虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为( )A. √63 B. √62 C. 3√55 D. √525. 在区间[−1,3]上随机取一个实数x ，则x 使不等式|x|≤2成立的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 34 6. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，己知S 2=3，S 4=15，则S 3=( )A. 7B. −9C. 7或−9D.7. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为( )A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220238.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 369.函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C. D.10.函数y=Asin(wx+φ)的部分图象如图所示，则()A. y =2sin (x +π6)B. y =2sin (2x −π6)C. y =2sin (x +π3)D. y =2sin (2x −π3)11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=|F 1F 2|且cos∠PF 2F 1=23，则椭圆离心率为( ) A. 12 B. 37 C. 23 D. 34 12. 定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)使得f′(x 1)=f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a ，则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=13x 3−m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [43,83]B. (43,83)C. (43,+∞)D. (−∞,83) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，若a ⃗ //b ⃗ ，则k 等于______ ．14. 二项式(2x x )6的展开式的常数项为______．15. 实数x ，y 满足{x +2y −4≤0x ≥1y ≥1，则z =x −2y 的最小值为______．16. 高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知cosC +cosAcosB −√3sinAcosB =0(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =1，求b 的取值范围．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若E为SC的中点，求证：SA//平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求CE与平面BDE所成的角．19.已知过点M(p2,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2+y2−2x=0与直线l相交于C，D(A,C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，BD 的长构成等差数列，求直线l的方程．20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a，b，c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．21.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)⩽3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了补集的定义与运算，不等式求解，是基础题．根据补集的定义写出运算结果即可．解：因为1−2xx+3<0⇔(2x−1)(x+3)>0，所以A={x|x>12或x<−3}，所以∁R A={x|−3⩽x⩽12}．故选C．2.答案：D解析：解：z=2+4ii =2i+4=4−2i，对应的点的坐标为(4,−2)，位于第四象限，故选：D．将复数进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2−6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2−6x+5=0⇔(x−3)2+y2=4，由此知道圆心C(3,0)，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴a2+b2=9①又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±bax⇔bx±ay=0，∴√a2+b2=2②连接①②得{b=2a2=5，可得c=3，所以双曲线的离心率为：ca =3√55．故选：C．5.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法，求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率是关键．首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度求概率．解：在区间[−1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的x范围为[−1,2]，所以由几何概型的公式得到概率为2+13+1=34；故选D．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比即可求出答案．解：己知S 2=3，S 4=15，则{a 1(1−q 2)1−q =3a 1(1−q 4)1−q =15，解答{a 1=−3q =−2或{a 1=1q =2， 故S 3=a 1(1−q 3)1−q =−3×(1+8)3=−9，或S 3=a 1(1−q 3)1−q =1×(1−8)−2=7．故选C ．7.答案：C解析：解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，可得s =11×2+12×3+⋯+12021×2022=1−12022=20212022．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题． 解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V =13×12×(4+4)×4×8=1283， 故选A ．9.答案：C解析：[分析]本题考查函数的性质与图象．根据函数的解析式并结合选项，列举出几组点的坐标，应用排除法找出正确的选项．[解答]解：当时，，说明函数图象上应该有点(−1,−1)，所以舍去A，D；当x=2时，，说明函数图象上应该有点(2,−1)，所以舍去B；故选C．10.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意求出A，T，代入点，得φ，即可得出结果．解：由图像得A=2，，即T=π，则，，代入点，得，即，，则，取k=0，得，，选项B符合题意，故选B．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．通过|PF1|=|F1F2|可得△PF1F2是以PF2为底的等腰三角形，且底边长为2a−2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∴△PF 1F 2是以PF 2为底的等腰三角形，|PF 2|=2a −2c ， 过F 1作F 1A ⊥PF 2交PF 2于A ， 则有cos∠PF 2F 1=|AF 2||F 1F 2|=12|PF 2||F 1F 2|=a−c 2c=23， ∴3a =7c ，即离心率e =ca =37， 故选B ．12.答案：B解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 根据题目给出的定义得到g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，即方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解，利用二次函数的性质能求出m 的取值范围． 解：∵g(x)=13x 3−m 2x 2，∴g′(x)=x 2−mx ，由题意可知g′(x)=x 2−mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，∴方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解． 令ℎ(x)=x 2−mx +m −43，则{Δ=m 2−4(m −43)>0ℎ(0)=m −43>0ℎ(2)=83−m >00<m 2<2，解得43<m <83．故选B ．13.答案：−12解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴2k +1=0，解得k =−12． 故答案为：−12根据向量平行列方程解出k ．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：60解析：解：设二项式(2x +1√x )6的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅x −12r =C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r ，令6−32r =0得：r =4，∴二项式(2x +√x )6的展开式的常数项为T 5=C 64⋅22=15×4=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r 中x 的幂指数为0求得r ，从而可求二项式(2x +√x )6的展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.答案：−2解析：解：由z =x −2y 得y =12x −z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)： 平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小，由{x =1x +2y −4=0，解得{x =1y =32，即A(1,32). 代入目标函数z =x −2y ， 得z =1−2×32=1−3=−2 ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−2． 故答案为：−2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16.答案：(√17−1)348π解析：解：正四棱锥的斜高为√17，正四棱锥内切球的半径为r 由等体积可得13×22×4=13(4+4×12×2×√17)r ， ∴r =√17−14， ∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为43⋅π⋅(√17−14)3=(√17−1)348π． 故答案为：(√17−1)348π．由等体积可得内切球半径r ，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积． 本题主要考查内切球半径r ，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b2=1−3ac，利用基本不等式求出b≥12，再由b<a+c=1，求出边b的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA//OE，又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，所以，SA//平面BDE；(Ⅱ)解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，因为SA//EO，所以EO⊥OC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，所以OC⊥平面BDE，所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．设正方形的边长为a，则EO=12SA=√22a，Rt△COE中，tan∠CEO=OCEO=1，所以∠CEO=45°，所以CE与平面BDE所成的角为45°．解析：(Ⅰ)要证明SA//平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA//OE，得证；(Ⅱ)证明∠CEO为CE与平面BDE所成的角，即可得出结论．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的觉，线面平行转化为线线平行是解题的关键．19.答案：解：(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，消去x，得，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，由于OA→⋅OB→=−3，即x1x2+y1y2=−3，x1x2=y122p ⋅y222p=p24，即有p24−p2=−3，解得，p=2；(2)由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=−4，则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=16(1+m2)，|AB|2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2=(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(1+m2)2，即有|AB|=4(1+m2)，由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|−|CD|=|AB|−|CD|，又CD为圆x2+y2−2x=0的直径，即有|CD|=2，则4(1+m2)=6，解得，m=±√22，则直线l的方程是√2x+y−√2=0或√2x−y−√2=0．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；(2)求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．20.答案：解：(1)由于a+b+2c=0.052，a+c=2b，c=2a，解得a=0.008，b=0.012，c=0.016，故数学成绩的平均分：x−=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08= 117.8分，(2)由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P(X=0)=C33C63=120，P(x=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120．E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a，b和c值，根据频率分布值直方图，即可求得平均值；(2)根据频率分布直方图即可求得中位数；(3)由题意，求得X的取值，分别求得其分布列，求得其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查分布列及数学期望的方法，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=e x−a⋅x，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m∈(0,+∞)时，f(x)+ax−ln(x+m)−1>0恒成立，∴m∈(0,+∞)时，e x−ln(x+m)−1>0恒成立，令g(x)=e x−ln(x+m)−1，x>−m，∴g′(x)=e x−1x+m，令ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，∴ℎ′(x)=e x+1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e−11+m >0，g′(0)=1−1m，当x→−m时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根， 设为x 0，则e x 0−1x0+m=0，∴g(x)在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+m)−1=e x 0+x 0−1>0， 设φ(x)=e x +x −1，x ∈(−m,1)， 易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增， 又φ(0)=0， ∴x 0>0，∴g′(0)=1−1m <0， 解得0<m <1， ∴m 的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a ≤0或a >0时的情况，即可求出结果； (2)构造函数g(x)=e x −ln(x +m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。
广西2020年高考数学一模试卷(理科)D卷(新版)
广西2020年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·濮阳期末) 设集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={y|y=2x ，x∈[0，2]}则A∩B=（）A . [0，2]B . （1，3）C . [1，3）D . （1，4）2. （2分） i是虚数单位，复数=（）A . 1﹣iB . ﹣1+iC . 1+iD . ﹣1﹣i3. （2分） (2016高二上·襄阳开学考) 已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A . 函数f（x）在区间[ ]上为增函数B . 函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC . 函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x= 对称D . 将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象4. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若• ≥ • ，则λ的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ，1]C . [ ， ]D . [ ， ]5. （2分）已知抛物线和点，为抛物线上的点，则满足的点有（）个。
A . 0B . 2C . 3D . 46. （2分）设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x,y)满足，则取得最小值时，点B的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 无数个7. （2分）在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2019高一上·金华期末) 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A . 先向左平移平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B . 先向左平移个单位，再横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变.C . 先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.D . 先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再向左平移个单位9. （2分）计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是，则判断框内应填（）A . n≤6B . n≤7C . n≤8D . n≤910. （2分）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A . 12种B . 16种C . 24种D . 36种11. （2分） (2016高二下·长安期中) 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 2B . 1C .D .12. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，0]B . （﹣∞，1]C . [﹣2，1]D . [﹣2，0]二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·寿光月考) 下列命题正确的是________（写出正确的序号）．①已知，，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则实数的值是；③抛物线（）的焦点坐标是 .14. （1分）(2017·山南模拟) 设a= cosxdx，则二项式（x2+ ）6展开式中的x3项的系数为________．15. （1分）(2017·临沂模拟) 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5﹣6世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S环两截面，可以证明S圆=S环总成立．据此，短轴长为，长轴为5的椭球体的体积是________．16. （1分）已知关于x的方程3cos2x+2sinx+a﹣4=0在区间[0， ]上有两个不同的解，则a的取值范围为________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分） (2020高一下·成都期末) 设等差数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，且，令，求数列的前项和 .18. （5分）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19. （10分）(2020·梅河口模拟) 在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面，，，G为BF的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2017高二上·太原月考) 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；21. （10分） (2019高二下·杭州期中) 已知函数．（1）求的图像在点处的切线方程；（2）求在区间上的取值范围．22. （5分）(2019·黄山模拟) 设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为psinθ-pcosθ+1= m.（I）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（II）设点P（1，m），若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|PA|= ，求m的值。
广西2020年高考理科数学质量检测试题及答案
广西2020年高考理科数学质量检测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-2. 设11iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A. -1B. iC. 1D. 43. 已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A. 3B. 12x xD. 25. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤= A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.07946.已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为A.3B.2D.7. 若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为 A. 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =A. 5B. 4C. 3D. 210.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为1-111.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为A ．52πB ．5πC ．4πD ．53π 12.已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∪B＝（）A．（1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]2．（5分）设（1﹣i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．1B．2C．4D．104．（5分）已知α∈（0，π），，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设a为正实数，函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2，若∀x∈（a，2a），f（x）＜0，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A．线段F1A的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）过曲线y＝e x﹣x外一点（e，﹣e）作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣e e B．﹣e e+2C．﹣e e+1D．e e+210．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛物线C 上，过点A作AA'⊥l，垂足为A'，若cos∠F AA'＝，则四边形AA'PF的面积为（）A．8B．10C．14D．2811．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，、是方向相反的单位向量，若向量满足（﹣）⊥（﹣），则||的值．14．（5分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是m ＝68，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860）[860，880）[880，900）[900，920）[920，940）直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82818．（12分）已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+3×2n+1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD＝A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥CD，AB＝2AD＝2AA1＝4．（1）证明：A1D⊥平面ABC1D1；（2）若DC＝1，求二面角B1﹣BC1﹣A的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过椭圆中心O的弦．（1）求△PQF面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）的两个极值点x1，x2（x1＜x2，x≠1），若m≤1，①证明：0＜x1＜2；②证明：﹣x12）．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（1）①设动点P∈l1，记是直线l1的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线l1的参数方程；②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）记函数y＝f（x）的最小值为k，若a，b，c是正实数，且，求证a+2b+3c ≥9．。
广西2020年高考数学一模试卷(理科)A卷
广西2020年高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·海淀模拟) 已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）A . {﹣1，0，1}B . {0，1}C . {1}D . {0}2. （2分） (2018高二下·中山月考) 曲线与曲线（）的（）A . 顶点相同B . 虚轴长相等C . 焦点相同D . 离心率相等3. （2分） (2017高一上·延安期末) 下列说法中，正确的是（）A . 经过不同的三点有且只有一个平面B . 分别在两个平面内的两条直线是异面直线C . 垂直于同一个平面的两条直线平行D . 垂直于同一个平面的两个平面平行4. （2分） (2017高一下·衡水期末) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为B . 直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴C . 函数f（x）在区间[﹣， ]上单调递增D . 将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=2sin2x5. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（）A . -4B . -7C . -22D . -326. （2分） (2019高二上·田东期中) 函数f(x)＝4x－ x3的单调递增区间是（）A . (－∞，－2)B . (2，＋∞)C . (－∞，－2)和(2，＋∞)D . (－2,2)7. （2分）(2018·广东模拟) 已知三棱锥的外接球的球心恰好是线段的中点，且，则三棱锥的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）已知（x2﹣）9（a∈R）的展开式中x6的系数为﹣，则（1+sinx）dx的值等于（）A . 4﹣2cos2B . 4+2cos2C . ﹣4+2cos2D . 49. （2分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A . （2，4）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）10. （2分） (2016高二上·东莞开学考) 已知向量，满足• =0，| |=1，| |=2，则|2﹣ |=（）A . 0B .C . 4D . 811. （2分） (2017高二下·淄川期中) 若函数f（x）= x4+ ax2+bx+d的导函数有三个零点，分别为x1 ， x2 ， x3且满足：x1＜﹣2，x2=2，x3＞2，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣∞，﹣3）C . （﹣7，+∞）D . （﹣∞，﹣12）12. （2分）(2017·山西模拟) 设I是△ABC的内心，其中AB=4，BC=6，AC=5，且 =m +n ，则曲线y=（m﹣n）x2的焦点坐标为（）A . （﹣，0）B . （0，）C . （0，﹣）D . （，0）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2014·江苏理) 已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为________．14. （1分） (2018高一下·抚顺期末) 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________.（从小到大排列）15. （1分） (2020高三上·南昌月考) 已知函数，则在处的切线方程________.16. （1分） (2020高一下·慈溪期末) 在△ABC中，B＝45°，设BC边上的高为h，若BC＝3h，则sinA+cosA 的值等于________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （15分）(2017·江苏模拟) 己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ，对任意的n∈N* ，均存在m∈N* ，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数a1的值．18. （10分）(2017·枣庄模拟) 某公司有A、B、C、D、E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6．已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、D两辆汽车每天出车的概率均为，五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：工作日星期一星期二星期三星期四星期五限行车牌尾号0和51和62和73和84和9例如，星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行．（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．19. （10分） (2018高一下·石家庄期末) 四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面 .（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论.20. （10分）(2020·江西模拟) 已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，若，求直线的方程.21. （10分） (2019高二下·郏县月考) 已知是的极值点.（1）求；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.22. （5分） (2017高二下·深圳月考) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，直线的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．23. （10分）(2017·广元模拟) 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A ＝（ ） A.(−2,13)B.(−13,2)C.(2,52) D.(−∞,−13]∪[2,+∞)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|＝2+5i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A.(25,1) B.(1,25)C.(−25,−1)D.(−1,−25)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的（ ） A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件4. 已知双曲线C:x 2−4y 2＝k 的焦距等于圆M:x 2+y 2+4x ＝12的直径，则实数k ＝（ ） A.−645B.645C.564D.645或−6455. 在区间[4, 12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8＝0有实数根的概率为（ ） A.23B.14C.13D.126. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3−8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A.3 B.−3C.3或−353D.−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A.输出3(1+2+3+4+...+2017)的值B.输出3(1+2+3+4+...+2018)的值C.输出3(1+2+3+4+...+2019)的值D.输出1+2+3+4+...+2018的值8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45∘的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A.5π2+12B.5π+24C.3π+12D.3π2+129. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A.B.C. D.10. 函数f(x)＝A sin (wx +φ)(A >0, w >0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A.f(x)在[19π12,31π12]上单调递增B.f(x)的最小正周期是2πC.f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D.直线x =−17π12是曲线y ＝f(x)的一条对称轴11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|＝4|F 1Q|，则C 的离心率为（ ） A.√22 B.2√55C.√217D.√15512. 已知二次函数f(x)＝ax 2−ax −1没有零点，g(x)＝f(x)+ax 3−(a +3)x 2+ax +2，若方程g(x)＝0只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, −4)B.(−4, 0)C.(−4, −2)D.(−2, 0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a →=(1,−k),b →=(2,−4)，若(3a →+b →)∥a →，则实数k ＝________．二项式(12x −√x )9的展开式中的常数项是________．已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0, 则z =y+1x+1的最小值为________．已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2＝ac ，sin A cos C ＝sin C(2−cos A)． （1）求角B 的大小；（2）若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD ＝BD ＝AE ＝CE =√5，BC ＝4，DE ＝2，DE // BC ，O ，H 分别为DE ，AB的中点，AO ⊥CE ．（1）求证：DH // 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点P(2, 0)的直线交抛物线C 于A(x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点． （1）当x 1+x 2＝4时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60, 70),[80, 90),[90, 100]的频率构成等比数列．（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．已知函数f(x)＝e x +a ln (x +1)(a ∈R)的图象在点（0, f(0)）处的切线与直线x +2y +1＝0垂直． （1）求f(x)的单调区间；（2）若当x ∈[0, +∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+35＝0． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]（1）求不等式|x −4|−x <0的解集；（2）设a ，b ∈(2, +∞)，证明：(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2．参考答案与试题解析2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆于虫锥春线接综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】二次来数的斗象二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系直线都一起式方钾与直荷的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年广西桂林市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广西桂林市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2. 若复数z =(1+i1−i )2018+3i ，则|z |=( )A. √10B. 2√2C. 4D. 20183. 某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t ={64,x ≤0,2kx+6,x >0,且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[−6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中正确结论的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 两个不同平面α、β，直线m 是α内的直线，则“m//β”是“α//β”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 不充分也不必要5. 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z =2x −y 的最大值为( )A. 152B. 92C. 94D. 26. 我国明代数学家程大位《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为A. 30.8贯B. 39.2贯C. 47.6贯D. 64.4贯7.函数f(x)=(x−1x)cosx(−π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()A. B.C. D.8.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √79.一个几何体三视图如下，则其体积为()A. 12B. 8C. 6D. 410.已知函数f(x)=sin2x+2cos2x−1，将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)等于()A. √2sinxB. √2cosxC. √2sin(4x−3π4) D. √2cos4x11.已知双曲线C：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=35|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A. 8B. 8√7C. 8√14D. 1612.函数f(x)=−e x1+x2，若存在x0∈(0,2]使得m−f(x0)>0成立，则实数m的范围是()A. (−15e2,+∞) B. (−1,+∞) C. (1,+∞) D. (−12e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式(x2−2x)6的展开式中的常数项是_______．14.已知等比数列{a n}满足a1=12，且a2a4=4(a3−1)，则a5=______．15.设F1，F2分别为椭圆x29+y26=1的左、右焦点，A，B是椭圆上的两点，若F1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则tan∠F2F1A=______ ．16.已知函数f(x)=|x2−2|−a有4个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求∠B的大小；(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．18.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润X1(万元)的概率分布列如表所示：且X1的期望E(X1)=120万元；若投资乙项目一年后可获得的利润X2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0<p<1)和1−p.若乙项目产品价格一年内调整的次数X(次数)与X2的关系如表所示：(1)求a，b的值；(2)求X 2的分布列；(3)若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p 的取值范围．19. 如图，底面为正方形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一动点，PA =AC ．(1)当E 为PC 中点时，求证：PA//平面BDE ； (2)当AE ⊥平面PBD 时，求二面角P −BD −E 的余弦值．20. 已知函数f(x)=ln(ax +12)+22x+1．(1)若a >0，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知抛物线Γ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN|=4． (Ⅰ)求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆(x −1)2+y 2=1内切于△PBC ，求△PBC 面积的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出集合B，由此能求出交集A∩B.解：由题意得到B={y|y=x2,x∈A}={1,0,4,9,16}，所以A∩B={0,1，4}；故选B．2.答案：A解析：解：因为(1+i1−i )2018=[(1+i1−i)2]1009=(−1)1009=−1，所以z=(1+i1−i)2018+3i=−1+3i；∴|z|=√10．故选：A．先根据(1+i1−i)2018=−1，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.答案：C解析：本题考查函数模型的应用，由图象结合指数函数的性质逐一判断即可．解：由题设知，食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t={64,x⩽02−12x+6,x>0，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x∈[−6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8℃，此时保鲜时间不超过4小时，到12时，保鲜时间为1小时，故到13时，甲所购买的食品刚好过保鲜时间，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论序号为①④，故选C．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合面面平行和线面平行的关系是解决本题的关键，为基础题．根据线面平行和面面平行的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当α//β时，m//β成立，即必要性成立，反之不一定成立，即“m//β”是“α//β”的必要不充分条件，故选：B．5.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点B 时，截距最小，此时z 最大， 由{x =32y −x =0，解得{x =3y =32, 即B(3,32)，此时z 的最大值为z =2×3−32=92． 故选B ．6.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．运用等差数列的相关公式，建立关于首项，公差的方程组，从而得解．解：由题意，设等差数列{a n }的前5项a 1,a 2,a 3,a 4,a 5分别为甲、乙、丙、丁、戊所得钱数， 等差数列{a n }的公差为d ， 则有{S 5=5a 1+5×42d =238a 1−a 5=−4d =33.6，解得{d =−8.4a 1=64.4, 所以戊所得钱数为a 5=a 1+4d =64.4−8.4×4=30.8贯， 故选A7.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的判断，属于基础题．由条件可得函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据x =π时，f(π)<0，得出结论． 解：对于函数f(x)=(x −1x )cosx(−π≤x ≤π且x ≠0)，由于它的定义域关于原点对称，且满足f(−x)=(1x−x)cosx=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x=π，f(π)<0，故排除C，故选：D．8.答案：A解析：利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．9.答案：D解析：本题考查了立体几何的三视图，棱锥的体积的计算，属于基础题．根据三视图，可得到几何体是三棱锥，根据图中数据，得到体积．解：根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥P−ABC;把该三棱锥放入长宽高分别为4、2、3的长方体中，所以其体积为13×4×12×3×2=4．故选D．10.答案：A。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3x2-5x-2≥0}，则∁R A=（）A. B.C. D.2.已知复数z满足z•|3-4i|=2+5i（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.设x∈R，则“x3＞8”是“x＞2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：x2-4y2=k的焦距等于圆M：x2+y2+4x=12的直径，则实数k=（）A. B. C. 或 D.5.在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2-ax+8=0有实数根的概率为（）A. B. C. D.6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=a3-8，且S3=13，则a2=（）A. -3B. 3C.D. 3或7.某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A. 输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B. 输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C. 输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D. 输出1+2+3+4+…+2018的值8.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A. 5π+24B.C. 3π+12D.9.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A. B.C. D.10.函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A. f（x）的最小正周期是2πB. f（x）在上单调递增C. f（x）在上单调递增D. 直线是曲线y=f（x）的一条对称轴11.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知二次函数f（x）=ax2-ax-1没有零点，g（x）=f（x）+ax3-（a+3）x2+ax+2，若方程g（x）=0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是（）A. （-4，0）B. （-∞，-4）C. （-2，0）D. （-4，-2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数k=______．14.二项式的展开式中的常数项是______．15.已知实数x，y满足不等式组则的最小值为______．16.已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该正三棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-3c2=ac，sin A cos C=sin C（2-cos A）．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆半径是，求△ABC的周长．18.如图，在四棱锥A-DBCE中，AD=BD=AE=CE=，BC=4，DE=2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求直线DH与底面DBCE所成角的大小19.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2=4时，求直线AB的方程；（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．20.在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70），[80，90），[90，100]的频率构成等比数列．（1）求a，b的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21.已知函数f（x）=e x+a ln（x+1）（a∈R）的图象在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+1=0垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）-mx-1≥0恒成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．23（1）求不等式|x-4|-x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．2020年广西高考数学一诊试卷（理科）答案和解析【答案】1. A2. B3. C4. C5. D6. D7. A8. B9. B10. C11. D12. D13. 214.15.16. （4-）π17. 解：（1）因为sin A cos C=sin C（2-cos A），所以sin A cos C=2sin C-sin C cos A，所以sin A cos C+sin C cos A=2sin C，所以sin（A+C）=2sin C，所以sin B=2sin C．由正弦定理，得b=2c．因为a2-3c2=ac，由余弦定理，得，又因为B∈（0，π），所以（2）因为△ABC的外接圆半径是，则由正弦定理，得．解得b=4．所以c=2．将c=2代入a2-3c2=ac中，得a2-12=2a，解得（舍去）或．所以△ABC的周长是．18. （1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，所以．又因为DE=2，DE∥BC，所以HF=DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH∥平面ACE．（2）解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知，易知HG是△AOB的中位线，所以HG∥AO且．因为AD=AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG∥AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG∥AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG是DH与底面DBCE所成的角．易求等腰梯形DBCE的高为所以DG=1．在Rt△HDG中，由．得∠HDG=45°．故直线DH与底面DBCE所成角的大小为45°．19. 解：（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x=my+2．联立消去x，得y2-4my-8=0，由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-8，所以．因为x1+x2=4．所以4m2+4=4，解得m=0．所以直线AB的方程为x=2．（2）由（1），知△ABF的面积为=．因为直线CD与直线AB垂直，且当m=0时，直线AB的方程为x=2，则此时直线l的方程为y=0，但此时直线l与抛物线C没有两个交点，所以不符合题意，所以m≠0．因此，直线CD的方程为．同理，△CDF的面积．所以，当且仅当，即m2=1，亦即m=±1时等号成立．20. 解：（1）由题意，得，解得a=0.04，b=0.02．（2）估计这100名选手的平均成绩为：=65×0.1+75×0.3+85×0.2+95×0.4=84．（3）由题意知X～B（4，），则P（X=i）=，（i=0，1，2，3，4），X 0 1 2 3 4PE（X）=4×=1．21. 解：（1）由已知得，则f'（0）=e0+a=a+1．又因为直线x+2y+1=0的斜率为所以，解得a=1．所以f（x）=e x+ln（x+1），定义域为（-1，+∞），所以．所以函数f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），无单调减区间．（2）令g（x）=f（x）-mx-1．则令，则当x≥0时，，所以h'（x）≥0．所以函数y=h（x）（x≥0）为增函数．所以h（x）≥h（0）=2，所以g'（x）≥2-m．①当m≤2时，2-m≥0，所以当m≤2时，g'（x）≥0，所以函数y=g（x）（x≥0）为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，故对∀x≥0，f（x）-mx-1≥0成立；②当m＞2时，m-1＞1，由x≥0时，，，当x∈（0，ln（m-1）），知e x+1-m＜0，即g'（x）＜0．所以函数y=g（x），x∈（0，ln（m-1））为减函数．所以当0＜x＜ln（m-1）时，g（x）＜g（0）=0．从而f（x）-mx-1＜0，这与题意不符．综上，实数m的取值范围为（-∞，2]．22. 解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x-y+9=0．所以：直线l的普通方程为3x-y+9=0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35=0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35=0．（2）直线l3x-y+9=0与坐标轴的交点依次为（-3，0），（0，9），不妨设M（-3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35=0化为标准方程是（x+6）2+y2=1，由圆的参数方程，可设点A（-6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最=（-3+cosα）2+sin2α+（-6+cosα）2+（sinα-9）2=-18（sinα+cosα）2+128=-18，当，即时，最大值为18．23. 解：（1）由不等式|x-4|-x＜0，得|x-4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）-（8a2+8b2）=（ab）2-4a2-4b2+16=（ab）2-4a2-4b2+16=（a2-4）（b2-4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2-4）（b2-4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．【解析】1. 解：易知，所以，故选：A．先求出集合A，再利用补集的定义即可求出∁R A．本题主要考查了补集的定义，是基础题．2. 解：由题意，得z•5=2+5i．则，其在复数平面内对应的点的坐标为．故选：B．利用复数模的计算公式求|3-4i|，即可求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：“x3＞8”⇔“x＞2”，∴“x3＞8”是“x＞2”的充要条件．故选：C．“x3＞8”⇔“x＞2”，即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 解：C圆M：x2+y2+4x=12化为标准方程是（x+2）2+y2=16，其半径为4．直径为8．当k＞0时，双曲线C：x2-4y2=k化为标准方程，其焦距为，解得；当k＜0时，双曲线C：x2-4y2=k化为标准方程是，其焦距为，解得．综上，或．故选：C．C圆M：x2+y2+4x=12化为标准方程是（x+2）2+y2=16，其半径为4．直径为8．对k分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k．本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 解：因为方程2x2-ax+8=0有实数根，所以△=（-a）2-4×2×8≥0，解得a≥8或a≤-8，所以方程2x2-ax+8=0有实数根的概率为P==．故选：D．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6. 解：设公比为q，易知q≠1．由得，解得或，当时，a2=a1q=3；当时，，所以a2=3或，故选：D．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7. 解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k=2，S=3+3×2；第二次运行时，k=3，S=3+3×2+3×3；第三次运行时，k=4，S=3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k=2018，S=3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S=3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8. 解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9. 解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题．10. 解：由图可知，A=2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）=2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y=2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11. 解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得+=1，解得|PF2|=．如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵=4，∴==4，∴|EF1|===，∴x0=-c-=-．又∵y0=-|QE|=-=-．∴点Q坐标为（-，-）．将点Q坐标代入椭圆方程，得．结合b2=a2-c2，解得，故选：D．本题根据题意可得|PF2|=，然后过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合b2=a2-c2，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12. 解：因为二次函数f（x）=ax2-ax-1没有零点，则a≠0且△=a2+4a＜0，解得-4＜a＜0．由g（x）=f（x）+ax3-（a+3）x2+ax+2=ax2-ax-1+ax3-（a+3）x2+ax+2=a3x-3x2+1．则g'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），令g'（x）=0，故x=0或x=；由于a＜0，所以x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当＜x＜0时，g'（x）＞0，g （x）单调递增；当x＞0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以x=有极小值，x=0时，有极大值；因为g（0）=1．当a＜0时，g（x）=0只有唯一的正实数根，所以g（x）=0在（-∞，0）上没有实数根．而当时，g（x）=ax3-3x2+1在（-∞，0）上取得最小值，所以，解得a＞2（舍去）或a＜-2．综上所述，实数a的取值范围是（-4，-2）．故选：D．根据已知二次函数f（x）=ax2-ax-1没有零点，则a≠0且△=a2+4a＜0；解得-4＜a＜0．再根据方程g（x）=0只有唯一的正实数根，求导，分析函数y=g（x）根的分布，列出不等式得出a的取值范围即可．本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．13. 解：由题意，得，因为．所以1×（-3k-4）-5（-k）=0，解得k=2．故答案为2．根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k的值本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14. 解：二项式的展开式的通项是，令，解得r=6．故二项式的展开式中的常数项是．故答案为：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15. 解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数表示可行域内的点（x，y）与点（-1，-1）组成的直线的斜率，目标函数在点C（4，0）处取得最小值，故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16. 解：正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，由正弦定理可知，△BDC外接圆半径2r==4及r=2，所以三棱锥的高h==4，又底面积S△BCD==3，根据题意可知△ABC底BC边上的高h1==，侧面积S=3S△ABC=3×=3，设三棱锥的体积V==4，设内切球的半径为R，则由等体积可得，（S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD）R=4，所以R=，故内切球的表面积S′=4πR2=（4-）π．故答案为：（4-）π．设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．17. （1）由sin A cos C=sin C（2-cos A），可得sin A cos C=2sin C-sin C cos A，利用和差公式可得：sin（A+C）=2sin C，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得b=2c．根据已知a2-3c2=ac，利用余弦定理即可得出B．（2）因为△ABC的外接圆半径是，由正弦定理，得．解得b．c．代入a2-3c2=ac中，得a，j即可得出△ABC的周长．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. （1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出∠HDG是DH与底面DBCE所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题．19. （1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x=my+2．与抛物线方程联立消去x，得y2-4my-8=0，利用根与系数的关系即可得出．（2）由（1），知△ABF的面积为=，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD与直线AB垂直，对m分类讨论，m≠0时，推理可得：△CDF的面积．进而得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. （1）由频率分布直方图的性质能求出a，b．（2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知X～B（4，），由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数g（x）=f（x）-mx-1，对其求导，然后结合导数，对a进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22. （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(含答案解析)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A =( )A. (−13,2)B. (−2,13) C. (−∞,−13]∪[2,+∞)D. (2,52)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|=2+5i(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A. (1,25)B. (25,1)C. (−1,−25)D. (−25,−1)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知双曲线C ：x 2−4y 2=k 的焦距等于圆M ：x 2+y 2+4x =12的直径，则实数k =( )A. 645B. −645C. 645或−645D. 5645. 在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8=0有实数根的概率为( )A. 14B. 23C. 13D. 12 6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=a 3−8，且S 3=13，则a 2=( )A. −3B. 3C. −353D. 3或−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A. 输出3(1+2+3+4+⋯+2018)的值B. 输出3(1+2+3+4+⋯+2017)的值C. 输出3(1+2+3+4+⋯+2019)的值D. 输出1+2+3+4+⋯+2018的值 8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为( ) A. 5π+24B.5π2+12C. 3π+12D. 3π2+129.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()A. B.C. D.10.函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A. f(x)的最小正周期是2πB. f(x)在[19π12,31π12]上单调递增C. f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D. 直线x=−17π12是曲线y=f(x)的一条对称轴11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为()A. 2√55B. √22C. √155D. √21712.已知二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，g(x)=f(x)+ax3−(a+3)x2+ax+2，若方程g(x)=0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是()A. (−4,0)B. (−∞,−4)C. (−2,0)D. (−4,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量a ⃗ =(1,−k),b ⃗ =(2,−4)，若(3a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗ ，则实数k =______． 14. 二项式(12x −1√x )9的展开式中的常数项是______．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0,则z =y+1x+1的最小值为______．16. 已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2=ac ，sinAcosC =sinC(2−cosA)． (1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．18. 如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD =BD =AE =CE =√5，BC =4，DE =2，DE//BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO ⊥CE ． (1)求证：DH//平面ACE ；(2)求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P(2,0)的直线交抛物线C 于A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)两点．(1)当x 1+x 2=4时，求直线AB 的方程；(2)若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．20. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60,70)，[80,90)，[90,100]的频率构成等比数列． (1)求a ，b 的值；(2)估计这100名参赛选手的平均成绩；(3)根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=e x +aln(x +1)(a ∈R)的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x +2y +1=0垂直．(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x ∈[0,+∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．23.(1)求不等式|x−4|−x<0的解集；(2)设a，b∈(2,+∞)，证明：(a2+4)(b2+4)>8a2+8b2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：易知A ={x|(3x +1)(x −2)≥0}={x|x ≤−13或x ≥2}， 所以C R A ={x|−13<x <2}，故选：A ．先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出∁R A . 本题主要考查了补集的定义，是基础题． 2.答案：B解析：解：由题意，得z ⋅5=2+5i.则z =25+i ， 其在复数平面内对应的点的坐标为(25,1)．故选：B ．利用复数模的计算公式求|3−4i|，即可求得z ，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.答案：C解析：解：“x 3>8”⇔“x >2”， ∴“x 3>8”是“x >2”的充要条件． 故选：C ．“x 3>8”⇔“x >2”，即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.答案：C解析：解：C 圆M ：x 2+y 2+4x =12化为标准方程是(x +2)2+y 2=16，其半径为4.直径为8．当k >0时，双曲线C ：x 2−4y 2=k 化为标准方程x 2k −y 2k4=k ，其焦距为2√k +k 4=8，解得k =645；当k <0时，双曲线C ：x 2−4y 2=k 化为标准方程是y 2−k 4−x 2−k =1，其焦距为2√−k −k4=8，解得k =−645． 综上，k =645或k =−645． 故选：C ．C 圆M ：x 2+y 2+4x =12化为标准方程是(x +2)2+y 2=16，其半径为4.直径为8.对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ． 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：D解析：解：因为方程2x 2−ax +8=0有实数根， 所以△=(−a)2−4×2×8≥0， 解得a ≥8或a ≤−8，所以方程2x 2−ax +8=0有实数根的概率为 P =12−812−4=12．故选：D ．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a 的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：设公比为q ，易知q ≠1．由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−73， 当{a 1=1q =3时，a 2=a 1q =3； 当{a 1=253q =−73时，a 2=a 1q =−353， 所以a 2=3或a 2=−353，故选：D ．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力． 7.答案：A解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k =2，S =3+3×2；第二次运行时，k =3，S =3+3×2+3×3；第三次运行时，k =4，S =3+3×2+3×3+3×4； …，以此类推，第2017次运行时，k =2018，S =3+3×2+3×3+3×4+⋯+3×2018，此时刚好不满足k <2018，则输出S =3(1+2+3+4+⋯+2018)，所以该程序的功能是“输出3(1+2+3+4+⋯+2018)的值． 故选：A ．解析：解：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积S =18×π×22×2+2×3×2+18×2π×2×3=52π+12．故选：B ．直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.答案：B解析：解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：由图可知，A =2，该三角函数的最小正周期T =7π3−π3=2π，故A 项正确；由w =2πT=1，则f(x)=2sin(x +φ)中，因为f(π3)=f(5π6)，所以该三角函数的一条对称轴为x =π3+5π62=7π12，将(7π12,2)代入y =2sin(x +φ)，得7π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，解得φ=−π12+2kπ(k ∈Z)，所以f(x)=2sin(x −π12+2kπ)=2sin(x −π12)，令2kπ−π2≤x −π12≤2kπ+π2(k ∈Z)， 得2kπ−5π12≤x ≤2kπ+7π12(k ∈Z)，所以函数f(x)在[19π12,31π12]上单调递增．故B 项正确；令2kπ+π2≤x −π12≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得2kπ+7π12≤x ≤2kπ+19π12(k ∈Z)，所以函数f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递减．故C 项错误；令x −π12=kx +π2(k ∈Z)， 得x =kπ+7π12(k ∈Z)，则直线x =−17π12是f(x)的一条对称轴．故D 项正确．故选：C ．由图象求出函数f(x)的解析式，然后逐个分析所给命题的真假． 考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．解析：解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得c2 a2+|PF2|2b2=1，解得|PF2|=b2a．如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0,y0)，根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵|PF1||F1Q|=4，∴|F1F2||EF1|=|PF2||QE|=4，∴|EF1|=|F1F2|4=2c4=c2，∴x0=−c−c2=−3c2．又∵y0=−|QE|=−|PF2|4=−b24a．∴点Q坐标为(−3c2,−b24a).将点Q坐标代入椭圆方程，得9c24a2+b216a2=1．结合b2=a2−c2，解得e=ca =√217，故选：D．本题根据题意可得|PF2|=b2a，然后过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0,y0)，根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合b2=a2−c2，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12.答案：D解析：解：因为二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，则a≠0且△=a2+4a<0，解得−4<a<0．由g(x)=f(x)+ax3−(a+3)x2+ax+2=ax2−ax−1+ax3−(a+3)x2+ax+ 2=a3x−3x2+1．则g′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，令g′(x)=0，故x=0或x=2a；由于a<0，所以x<2a 时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当2a<x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；所以x=2a有极小值，x=0时，有极大值；因为g(0)=1.当a<0时，g(x)=0只有唯一的正实数根，所以g(x)=0在(−∞,0)上没有实数根．而当x=2a时，g(x)=ax3−3x2+1在(−∞,0)上取得最小值，所以g(2a )=a(2a)3−3(2a)2+1>0，解得a>2(舍去)或a<−2.综上所述，实数a的取值范围是(−4,−2)．故选：D．根据已知二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，则a≠0且△=a2+4a<0；解得−4<a<0.再根据方程g(x)=0只有唯一的正实数根，求导，分析函数y=g(x)根的分布，列出不等式得出a的取值范围即可．本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意，得3a⃗+b⃗ =3(1,−k)+(2,−4)=(5,−3k−4)，因为(3a⃗+b⃗ )//a⃗．所以1×(−3k−4)−5(−k)=0，解得k=2．故答案为2．根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k的值本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14.答案：212解析：解：二项式(12x−√x)9的展开式的通项是T r+1=C9r(12x)9−r(−√x)r=C9r(−1)r(12)9−r x9−32r，令9−32r=0，解得r=6．故二项式(12x−√x)9的展开式中的常数项是T7=C96(−1)6(12)9−6=212．故答案为：212先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15.答案：15解析：解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数z=y+1x+1表示可行域内的点(x,y)与点(−1,−1)组成的直线的斜率，目标函数在点C(4,0)处取得最小值z min=0+14+1=15，故答案为：15．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.答案：(4−√172)π解析：解：正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，由正弦定理可知，△BDC外接圆半径2r=√3√32=4及r=2，所以三棱锥的高ℎ=√20−4=4，又底面积S△BCD=√34×(2√3)2=3√3，根据题意可知△ABC底BC边上的高ℎ1=√20−3=√17，侧面积S=3S△ABC=3×12×2√3×√17=3√51，设三棱锥的体积V=13×3√3×4=4√3，设内切球的半径为R，则由等体积可得，13(S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD)R=4√3，所以R=√17−14，故内切球的表面积S′=4πR2=(4−√172)π．故答案为：(4−√172)π．设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．17.答案：解：(1)因为sinAcosC=sinC(2−cosA)，所以sinAcosC=2sinC−sinCcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinC，所以sin(A+C)=2sinC，所以sinB=2sinC．由正弦定理，得b=2c．因为a2−3c2=ac，由余弦定理，得cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−(2c)22ac=a2−3c22ac=ac2ac=12，又因为B∈(0,π)，所以B=π3(2)因为△ABC的外接圆半径是4√3，3则由正弦定理，得．解得b=4．所以c=2．将c=2代入a2−3c2=ac中，得a2−12=2a，解得a=1−√13(舍去)或a=1+√13．所以△ABC的周长是a+b+c=1+√13+4+2=√13+7．解析：(1)由sinAcosC=sinC(2−cosA)，可得sinAcosC=2sinC−sinCcosA，利用和差公式可得：sin(A+C)=2sinC，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得b=2c.根据已知a2−3c2=ac，利用余弦定理即可得出B．(2)因为△ABC的外接圆半径是4√3，由正弦定理，得．解得b.c.代入a2−3c2=ac中，3得a，j即可得出△ABC的周长．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，BC=2,HF//BC．所以HF=12又因为DE=2，DE//BC，所以HF=DE，HF//DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF//HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH//平面ACE．(2)解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知OD=1DE=1,AO=√AD2−OD2=√(√5)2−12=2，2易知HG是△AOB的中位线，AO=1．所以HG//AO且HG=12因为AD=AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG//AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG//AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG 是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 的高为√CE 2−(BC−DE 2)2=√(√5)2−(4−22)2=2所以DG =1．在Rt △HDG 中，由tan∠HDG =HGDG =11=1.得∠HDG =45°．故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45°．解析：(1)利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；(2)关键是找出∠HDG 是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)由直线AB 过定点P(2,0)，可设直线方程为x =my +2．联立{x =my +2y 2=4x 消去x ，得y 2−4my −8=0，由韦达定理得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8，所以x 1+x 2=my 1+2+my 2+2=m(y 1+y 2)+4=m ⋅4m +4=4m 2+4． 因为x 1+x 2=4.所以4m 2+4=4，解得m =0． 所以直线AB 的方程为x =2． (2)由(1)，知△ABF 的面积为S 1=S △APF +S △BPF =12|PF|⋅|y 1|+12|PF|⋅|y 2|=12×1×|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√12(4m)2−4×(−8)=12√16m 2+32=2√m 2+2． 因为直线CD 与直线AB 垂直，且当m =0时，直线AB 的方程为x =2，则此时直线l 的方程为y =0， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以m ≠0.因此，直线CD 的方程为x =−1m y +2． 同理，△CDF 的面积S 2=2√1m2+2．所以S 1S 2=4√(2+1m 2)(m 2+2)=4√5+2m 2+2m 2≥4√5+2√2m 2⋅2m 2=4√5+2×2=12，当且仅当2m 2=2m 2，即m 2=1，亦即m =±1时等号成立．解析：(1)由直线AB 过定点P(2,0)，可设直线方程为x =my +2.与抛物线方程联立消去x ，得y 2−4my −8=0，利用根与系数的关系即可得出．(2)由(1)，知△ABF 的面积为S 1=S △APF +S △BPF =12|PF|⋅|y 1|+12|PF|⋅|y 2|=12×1×|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，m ≠0时，推理可得：△CDF 的面积S 2=2√1m+2.进而得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意，得{(0.01+0.3+a +b)×10=10.01a =b 2，解得a =0.04，b =0.02．(2)估计这100名选手的平均成绩为：x −=65×0.1+75×0.3+85×0.2+95×0.4=84． (3)由题意知X ～B(4,14)，则P(X =i)=C 4i(34)4−i (14)i ，(i =0,1，2，3，4)，E(X)=4×14=1．解析：(1)由频率分布直方图的性质能求出a ，b ．(2)由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩． (3)由题意知X ～B(4,14)，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)由已知得f′(x)=e x +ax+1，则f′(0)=e 0+a =a +1．又因为直线x +2y +1=0的斜率为12 所以(a +1)×(−12)=−1，解得a =1．所以f(x)=e x +ln(x +1)，定义域为(−1,+∞)， 所以f′(x)=e x +1x+1>0．所以函数f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，无单调减区间． (2)令g(x)=f(x)−mx −1.则g′(x)=e x +1x+1−m 令ℎ(x)=e x +1x+1，则ℎ′(x)=e x −1(x+1)2当x ≥0时，e x ≥1,0<1(x+1)2≤1，所以ℎ′(x)≥0． 所以函数y =ℎ(x)(x ≥0)为增函数．所以ℎ(x)≥ℎ(0)=2，所以g′(x)≥2−m ．①当m ≤2时，2−m ≥0，所以当m ≤2时，g′(x)≥0， 所以函数y =g(x)(x ≥0)为增函数，所以g(x)≥g(0)=0， 故对∀x ≥0，f(x)−mx −1≥0成立；②当m >2时，m −1>1，由x ≥0时，0<1x+1≤1，g′(x)=f′(x)−m =e x +1x+1−m <e x +1−m ，当x ∈(0,ln(m −1))，知e x +1−m <0，即g′(x)<0． 所以函数y =g(x)，x ∈(0,ln(m −1))为减函数． 所以当0<x <ln(m −1)时，g(x)<g(0)=0． 从而f(x)−mx −1<0，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(−∞,2]．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；(2)构造函数g(x)=f(x)−mx −1，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：(1)由直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).转换为直角坐标方程为：3x −y +9=0．所以：直线l 的普通方程为3x −y +9=0．曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0.转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+12x +35=0．故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+12x +35=0．(2)直线l3x −y +9=0与坐标轴的交点依次为(−3,0)，(0,9)， 不妨设M(−3,0)，N(0,9)，曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2+12x +35=0化为标准方程是(x +6)2+y 2=1， 由圆的参数方程，可设点A(−6+cosα,sinα)，所以|AM|2+|AN|2最=(−3+cosα)2+sin 2α+(−6+cosα)2+(sinα−9)2=−18(sinα+cosα)2+128=−18√2sin(α+π4)+128， 当sin(α+π4)=−1，即α=5π4时，最大值为18√2+128．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由不等式|x −4|−x <0，得|x −4|<x ， 则{x >0−x <x −4<x，解得x >2． 故所求不等式的解集为(2,+∞)．证明：(2)(a 2+4)(b 2+4)−(8a 2+8b 2)=(ab)2−4a 2−4b 2+16 =(ab)2−4a 2−4b 2+16=(a 2−4)(b 2−4)， 因为a >2，b >2， 所以a 2>4，b 2>4，所以(a 2−4)(b 2−4)>0．所以原不等式(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2成立．解析：(1)解绝对值不等式即可；(2)利用作差法比较大小．本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)
2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数4．（5分）若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．255．（5分）设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且P A＝AD，E，F分别是线段P A，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？10．（5分）已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．411．（5分）已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）12．（5分）已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．14．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．（5分）已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．19．（12分）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．20．（12分）已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．（5分）若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．（5分）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【解答】解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式知方差不变．故选：A．4．（5分）若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．25【解答】解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，故选：C．5．（5分）设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，解可得q＝3或，又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，则a4＝a1q3＝9，故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【解答】解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，∴，解得．则a﹣b＝3．故选：B．7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，故选：A．8．（5分）如图，P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且P A＝AD，E，F分别是线段P A，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD＝2，则EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝＝，∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0k＝2，S＝0+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．故则①处应填写k≤3？故选：B．10．（5分）已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．4【解答】解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，∴，，设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，又|r1﹣r2|＝2a，故．∴．则△AF2B的面积为．故选：D．11．（5分）已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）【解答】解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；又f（1）＝log22+＝3，所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，解得＜x＜10，且x≠1；所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．故选：D．12．（5分）已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④【解答】解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；综上知，所有正确结论的编号是②④．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【解答】解：∵两个单位向量满足|+|＝||，∴＝1，＝＝1，解得＝﹣1，∴＝﹣，∴cos＜＞＝﹣，∴向量与的夹角为．故答案为：．14．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．则＝＝＝＝18．故答案为：18．15．（5分）已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【解答】解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，又在△AF1F2中，，得，故离心率，故答案为：．16．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・【解答】解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．【解答】解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．（2）＝66.5+30＝96.5，＝66.5﹣30＝36.5，100＞96.5，∴该零件属于“不合格”的零件．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），由，，得令x＝1，得．又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，由，所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．19．（12分）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，当a＝b时，最大值为，由于，所以△ABC为等边三角形．利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，解得c＝所以．20．（12分）已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．【解答】解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f（m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．【解答】解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，解得2＜r＜3；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x 2，﹣2），则S＝（|AB|+|CD|）•（x 2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2•＝2•，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得＝，解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，所以P的坐标为（﹣，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，所以圆心坐标满足直线的方程，所以a+1﹣2＝0，解得：a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，则ρ1＝2sinα+2cosα，用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．由于l1⊥l2，所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，故三角形面积的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．【解答】解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，∴+＝（+）（a+b）＝＝，当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；（2）证明：∵a+b＝4，∴＝＝1，∴，∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。
2020年广西玉林市高考数学一模试卷(理科)
2020年广西玉林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =-剟，则(A B =U ) A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩…„„，则2z x y =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．104．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为( )A ．433- B ．334- C ．710D ．235．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为( )A ．310 B ．35C ．25D ．1306．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,)37．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =u u u u r u u u rg ，则此双曲线的离心率为( ) A ．3B ．32C ．31+ D ．31+8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为( )A 35B 33C 25D 239．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．e e -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为( ) A ．8B ．10C ．14D ．2811．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,]1212ππ-上的最大值为( )A ．2-B ．3 C ．32-D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）在平面上，1e u r 、2e u u r 是方向相反的单位向量，若向量b r满足12()()b e b e -⊥-u r u u r r r ，则||b r的值 ．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于2223()b c a +-，则内角A 的大小为 ． 15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为 ．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表： 产量（单位：[840，860) [860，880) [880，900) [900，920) [920，940)约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？附2:()()()()K a b c d a c b d =++++18．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯． （1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设164n n n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===． （1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．。
2020届广西南宁市一模数学(理科)试卷及答案
2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =- ，则(A B = )A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．104．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为()A ．43310-B ．33410-C ．710D ．2355．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A ．310B ．35C ．25D ．1306．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是()A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,)37．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，则此双曲线的离心率为()A ．3B ．32C ．312+D ．31+8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为()A 35B 33C 25D 239．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为()A ．ee -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为()A ．8B ．10C ．14D ．2811．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,1212ππ-上的最大值为()A ．2-B ．2C ．32-D ．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，1e 、2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()b e b e -⊥- ，则||b的值．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于222)b c a +-，则内角A 的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：[840，860)[860，880)[880，900)[900，920)[920，940)斤）播种方式直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k 0.100.0100.0010k 2.7066.63510.82818．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164n n n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心O 的弦．（1）求PQF ∆面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A 、B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点1x ，212(x x x <，1)x ≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =++-．（1）求不等式()8f x x+的解集；（2）记函数()y f x=的最小值为k，若a，b，c是正实数，且33112ka kb kc++=，求证239 a b c++ ．2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =- ，则(A B = )A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]【解答】解：{|1}A x x => ，{|12}B x x =- ，[1A B ∴=- ，)+∞．故选：B ．2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)1i x yi -=+，即1x xi yi -=+，则1x =，1y =-．x yi ∴+在复平面内所对应的点的坐标为：(1,1)-，位于第四象限．故选：D ．3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．10【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由2t x y =+得：2y x t =-+，由图象得：2y x t =-+过(1,2)时，t 最小，4t =最小值，故选：C ．4．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为()A ．43310-B ．33410-C ．710D ．235【解答】解：(0,)απ∈ ，3cos()65πα+=，4sin()65πα∴+=，4313433sin sin[()]66522510ππαα-∴=+-=⨯-⨯=．故选：A ．5．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A ．310B ．35C ．25D ．130【解答】解：由某市2019年12月1日到10日 2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据折线图得：这10天中空气质量为一级的天数为4天，从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，基本事件总数310120n C ==，空气质量为一级的恰好抽取了2天包含的基本事件个数126436m C C ==，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率36312010m p n ===．故选：A ．6．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是()A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,3【解答】解：因为2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，因为2a x a <<时，()0f x '<，故()f x 在(,2)a a 上单调递减，因为(,2)x a a ∀∈，()0f x <，所以f （a ）32220a a =-+ ，故1a ．故选：A ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，则此双曲线的离心率为()A B ．32C D 1+l ，其倾斜角为60︒，过2F 且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，△12PF F 是等腰三角形，即有212||||2PF F F c ==，则有(2cos60,2sin 60)P c c c +︒︒，即为(2)P c ，代入双曲线方程双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，即有2222431c c a b -=，由离心率公式ce a =，222b c a =-，即有2223411e e e -=-，化简可得424810e e -+=，解得：212e =±，由1e >，解得132e +=．故选：C ．8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为()A ．357B ．337C ．257D ．237【解答】解：如图所示，作ME AD ⊥，垂足为E ，SD ⊥ 平面ABCD ，SD ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，CD ∴⊥平面SAD ．//ME CD ，ME ∴⊥平面SAD ．连接NE ，则MNE ∠是MN 与平面SAD 所成角为α，作EF SA ⊥，连接MF ，此时MFE ∠取得最大值．不妨设AB ，则4CD =，可得2432ME +==，22sin 1524EF AE SAD =∠==+．则2235sin 72()35EMFMα==+．故选：A ．9．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为()A ．ee -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +【解答】解：设切线l 在曲线x y e x =-上的切点为0(x ，0)y ，由x y e x =-，得1x y e '=-，则切线l 的斜率00|1x x x k y e ='==-，∴切线l 的方程为000(1)()x y y e x x -=--，l 为曲线x y e x =-外一点(,)e e -的切线方程，∴000x y e x =-①，000(1)()x e y e e x --=--②，∴由①②，得01x e =+，10(1)e y e e +=-+，l ∴在y 轴上的截距0200(1)()x e y e x e ++--=-．故选：B ．10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为()A ．8B ．10C ．14D ．28【解答】解：由条件得，2p =，过点F 作FF AA '⊥'，垂足为F '．设||3AF x '=，3cos 5FAA ∠'=，||5AF x ∴=，||4F F x '=．由抛物线定义可得：||||5AF AA x ='=．则||||5322A F PF x x x p ''==-===，解得1x =．则||33AF x '==，||||55AF AA x ='==，||44F F x '==．∴四边形AA PF '的面积(||||)||(25)41422PF AA PA S +''+⨯=== ．故选：C．11．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<【解答】解：令()()(0)f x g x x x=≠，由于()f x 为R 上的奇函数，所以()()(0)f x g x x x=≠为定义域上的偶函数，又当0x >时，()()xf x f x '>，所以，当0x >时，2()()()0xf x f x g x x '-'=>，所以，偶函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；又4420sin1log 6log 9log 38π<<<<=，所以4422(sin (log 6)(log 9)(log 3)(log 3)8g g g g g π<<==-，即c b a <<，故选：C ．12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,1212ππ-上的最大值为()A ．2-B ．2C ．32-D ．0【解答】解：()2cos()1044f πωπϕ=+-= ，1cos()42ωπϕ∴+=，∴243k ωππϕπ+=±，k Z ∈，①(2cos()1133f πωπϕ=+-= ，cos()13ωπϕ∴+=，∴23m ωπϕπ+=，m Z ∈，②由①②可得4863k m πϕππ=-±，由于||ϕπ<，可取1k =，1m =，解得210(33ππϕ=舍去），则62m ω=-，m Z ∈，可得正数ω的最小值为4，即有2()2cos(413f x x π=+-，由[,]1212x ππ∈-，可得24[33x ππ+∈，]π，可得()f x 在[,1212ππ-上递减，则()f x 的最大值为1()2cos 12101232f ππ-=-=⨯-=，故选：D ．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，1e 、2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()b e b e -⊥-，则||b的值1．【解答】解： 1e 、2e是方向相反的单位向量，向量b 满足12()()b e b e -⊥-，12()()b e b e ∴--21212()b b e e e e =-++210b =-=，||1b ∴=．故答案为：1．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于222()4b c a +-，则内角A 的大小为13π．【解答】解：因为2221()2cos sin 442S b c a bc A bc A =+-==，sin A A =即tan A =，故13A π=．故答案为：13π15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为203．【解答】解：由三视图还原出原几何体如图所示，该几何体是边长为2的正方体截去三棱锥F BGE -，则该几何体的体积为311202222323V V V =-=-⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．故答案为：203．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为4715．（用分数表示）【解答】解：由题意，240对都小于l 的正实数对(,)x y ，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且x ，y 都小于1，1x y +>，面积为142π-，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数68m =，所以68124042π=-，所以4715π=．故答案为：4715．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860)[860，880)[880，900)[900，920)[920，940)直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k 0.100.0100.0010k 2.7066.63510.828【解答】解：（1）估计100块直播农田的平均产量为8500.048700.088900.189100.399300.31907⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤)；（2）22⨯列联表：产量高产量低合计直播7030100散播5050100合计1208020022200(70505030)8.333 6.63510010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关．18．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】（1）证明：依题意，由11232n n n a a ++=+⨯，两边同时乘以112n +，可得11322n n n n a a ++=+，即11322n nn n a a ++-=，114222a ==，∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，3为公差的等差数列，∴23(1)312nna n n =+-=-，(31)2n n a n ∴=- ，*n N ∈．（2）解：由（1），可知116464311(31)2(32)2(31)(32)3132n n n n n n n b a a n n n n n n ++⨯⨯====--+-+-+ ，故12n n T b b b =++⋯+11111125583132n n =-+-+⋯+--+11232n =-+32(32)nn =+．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．【解答】解：（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，又12AD AA ==，所以平行四边形11ADD A 为正方形，所以11AD A D ⊥，又1AB AD A = ，所以1A D ⊥平面11ABC D ；（2）以D 为原点，以AD ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2A ，0，0)，1(0C ，1，2)，(2B ，4，0)，1(2B ，4，2)，1(0,0,2)BB = ，1(2,3,2)BC =-- ，(0,4,0)BA =-，设平面11BB C 的法向量为(,,)m x y z =，由11202320m BB z m BC x y z ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩ ，得(3,2,0)m =- ，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =，由1402320n BA b n BC a b c ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，得(1,0,1)n = ，由cos ,m n <>== 故二面角11B BC A --．20．（12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心O 的弦．（1）求PQF ∆面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A 、B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．【解答】解（1）由椭圆方程知2a =，又因为离心率为12，所以1c =，b =，所以椭圆方程为：22143x y +=．由于直线PQ 过原点，所以122||2PQF POF p S S c y ∆∆==⨯⨯⨯，则PQF ∆（2）设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，联立直线l 与椭圆得2230x tx t ++-=，且12x x t +=-，2123x x t =-，设(,)M m n ，直线AM 与直线BM 的斜率之和是：12212212113()()()()()23222()()3MA MB m x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x t mn m ---+----+-+==--++-，当32n m =，23mn =，时斜率和为定值0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故满足所有条件的定点P 为3(1,2，或3(1,2--．21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点1x ，212(x x x <，1)x ≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--．【解答】解：（1）2()8()f x x x alnx a R =-+∈ 的定义域为(0,)+∞，228()28a x x a f x x x x-+∴'=-+=，当2(8)426480a a --⨯=- ，即8a 时，()0f x ' ，函数()f x 的在区间(0,)+∞单调递增；当2(8)426480a a --⨯=->，即8a <时，分两类讨论：方程2280x x a -+=的两根为1,28242x ==±，1︒若0a，120x =，220x =，故2(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间2(0,)x 上单调递减，2(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 在区间2(x ，)+∞上单调递增；2︒若08a <<，同理可得，()f x 在区间1(x ，2)x 上单调递减，在区间1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；综上所述，当0a 时，()f x 在区间2(0,)x 上单调递减，在区间2(x ，)+∞上单调递增；当08a <<时，()f x 在区间1(x ，2)x 上单调递减，在区间1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；当8a 时，函数()f x 的在区间(0,)+∞单调递增；（2）证明：①当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2280x x a -+=在(0,)+∞上有两个不等正根．0a ∴>且2(8)426480a a --⨯=->，08a ∴<<．124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<，214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．②要证明21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--成立，即证1111112(4)(2)(4)(1)1x x lnx m x x x ->--+-成立，由于2140x x =->，即证11112(2)(1)1x lnx m x x >-+-成立，也就是证11112(2)(1)01x lnx m x x --+>-．即证2111112(2)(1)[2]01x m x lnx x x --+>-，由于101x <<时，11201x x >-，112x <<时，11201x x <-，故令2(2)(1)()2(02)m x h x lnx x x--=+<<，则22(2)2(2)()(02)m x x m h x x x -++-'=<<，令2(2)2(2)0m x x m -++-=，则△244(2)m =--，由于1m ，故21m -- ，2(2)1m - ，所以△0 ，()0h x ∴' ，∴在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >．12x <<时，()0h x <．∴2111112(2)(1)[2]01x m x lnx x x --+>-成立，即11112(2)(1)01x lnx m x x --+>-成立，证毕．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值．【解答】解：（1）①直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A．转换为直角坐标方程为12)3y x -=-．由于动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，故以t 为参数求直线1l的参数方程为：22(112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．②由于直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，所以cos 3M ρθ= ，整理得3cos M ρθ=，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，即12M N ρρ= ，所以cos 124cos 3N θρθ=⨯=，整理得224x y x +=，即22(2)4x y -+=．（2）把直线1l的参数方程为：22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入224x y x +=，得到：230t t +-=，所以121t t +=-，123t t =-．故：12121212||1111||||||||||t t AP AQ t t t t -+=+===．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =++-．（1）求不等式()8f x x + 的解集；（2）记函数()y f x =的最小值为k ，若a ，b ，c 是正实数，且33112ka kb kc ++=，求证239a b c ++ ．【解答】解：（1）：21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，则()8f x x + 可得2182x x x --+⎧⎨-⎩ 或3821x x +⎧⎨-<<⎩ 或2181x x x ++⎧⎨⎩，解得3x - 或∅或7x ，故不等式的解集为(-∞，3][7- ，)+∞；证明：（2）由（1）可得函数的最小值为3，即3k =，∴111123a b c++=，211123(23)()(111)923a b c a b c a b c∴++=++++++= ，当且仅当23a b c ==时等号成立.。
2020年广西玉林市、百色市高考数学质检试卷(理科)(5月份)(一模)
2020年广西玉林市、百色市高考数学质检试卷（理科）（5月份）（一模）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.1−i1+2i的共轭复数为()A. −15−35i B. −15+35i C. 15+35i D. 15−35i2.若集合A={x|y=√x+2}，B={x|y=√x2−1}，则A∩B=()A. [1,+∞)B. [−2,−1]∪[1,+∞)C. [2,+∞)D. [−2,−1]∪[2,+∞)3.设向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−4)，则()A. a⃗⊥b⃗B. a⃗与b⃗ 同向C. a⃗与b⃗ 反向D. 15(a⃗+b⃗ )是单位向量4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,√32b)，且C的离心率为12，则C的方程是()A. x24+y23=1 B. x28+y26=1 C. x24+y22=1 D. x28+y24=15.在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点AD=6，BC=4，EF=√2，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A. 34B. 56C. 910D. 11126.(a+x2)(1+x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为()A. 30B. 45C. 60D. 817.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a(sinA+9sinB)=12sinA，sinC=13，则△ABC的面积的最大值为()A. 1B. 12C. 43D. 238.设[t]表示不大于t的最大整数．执行如图所示的程序框图，则输出的x=()A. 2B. 3C. 4D. 59.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X万元，则E(X)=()A. 18.12B. 18.22C. 19.12D. 19.2210.若α∈(0,2π)，则满足4sinα−1cosα=4cosα−1sinα的所有α的和为()A. 3π4B. 2π C. 7π2D. 9π211.设x，y满足约束条件{x+y≥0x−y+1≤0x−2y+m≥0，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形．现有下述四个结论：①若x+y的最大值为6，则m=5；②若m=3，则曲线y=4x−1与Ω有公共点；③m的取值范围为(32,+∞)；④“m>3”是“x+y的最大值大于3”的充要条件．其中所有正确结论的编号是()A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①③④12.已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，当x≤1时，函数f(x)单调递增，则()A. f2(log34)>f2(log43)>f2(log2√423)B. f2(log2√423)>f2(log43)>f2(log34)C. f2(log34)>f2(log2√423)>f2(log43)D. f2(log43)>f2(log34)>f2(log2√423)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若曲线y=sin(ωx−π5)(0<ω<π2)关于点(2,0)对称则ω=______．14.若双曲线x2m+2−y22−m=1(−2<m<2)上一点到A(−2,0)，B(2,0)两点的距离之差的绝对值为2√3，则双曲线的虚轴长为______．15.如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知BC=EF=πcm，AE=2cm，BE=CF=4cm，AD=7cm，且AE⊥EF，AD⊥底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为______cm ．16. 已知函数f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量(单位：单)绘制了如图茎叶图： (1)根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；(2)设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m ，将完成订单数超过m 记为“优秀”，不超过m 记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；优秀 一般甲配送方案 乙配送方案(3)根据(2)中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k)0.05 0.010 0.005 k3.8416.6357.87918.在递增的等比数列{a n}中，a3=16.a2+a4=68.S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=a1，S2=a2．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{√4a n S n}的前n项和T n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，且AD=CD，∠ABC=45°．(1)证明：AC⊥PB．(2)若AD=√2PA，试在棱PB上确定一点M，使DM与平面PAB所成角的正弦值为2√2121．20.已知F(0,1)为抛物线C：y=mx2的焦点．(1)设A(1m ,m+1m)，动点P在C上运动，证明：|PA|+|PF|≥6．(2)如图，直线l：y=12x+t与C交于M，N两点(M在第一象限，N在第二象限)，分别过M ，N 作l 的垂线，这两条垂线与y 轴的交点分别为D ，E ，求|DE|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+(m −2)x −mlnx ．(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)设函数g(x)=12x 2+mlnx ，P ，Q 为曲线y =f(x)−g(x)上任意两个不同的点，设直线PQ 的斜率为k ，若k ≥m 恒成立，求m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+6cosαy =6sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)+2=0． (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线l′与曲线C 交于M ，N 两点，求|PM|−|PN|的最大值．23.已知函数f(x)=|x−4|+|x−1|−kx−1．(1)若k=2，求不等式f(x)>0的解集；(2)若方程f(x)=0有实数根，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−35i，∴1−i1+2i 的共轭复数为−15+35i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|y=√x+2}={x|x≥−2}，B={x|y=√x2−1}={x|x≤−1或x≥1}，则A∩B=[−2,−1]∪[1,+∞)．故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵a⃗=(−1,2),b⃗ =(2,−4)，∴b⃗ =−2a⃗，∴a⃗与b⃗ 反向，又15(a⃗+b⃗ )=(15,−25)，∴15(a⃗+b⃗ )不是单位向量．故选：C．根据条件即可得出b⃗ =−2a⃗，从而得出a⃗与b⃗ 反向，可求出15(a⃗+b⃗ )的坐标，进而判断选项D错误，从而得出正确的选项．本题考查了向量坐标的数乘运算，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的运算能力，属于基础题．把点的坐标代入椭圆方程，同时利用离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2，可建立关于a和b的方程组，解之即可．【解答】解：由题可知，{1a2+34=1√a2−b2a2=√1−b2a2=12，解得{a2=4b2=3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选：A．5.【答案】D【解析】解：如图所示，取CD的中点，连接EG，FG，则FG//BC，EG//AD．则∠EGF为异面直线AD与BC所成角或补角，∵FG=12BC=2，EG=12AD=3，∴cos∠EGF=4+9−22×2×3=1112．∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为1112．故选：D．如图所示，取CD的中点，连接EG，FG，利用三角形中位线定理可得FG//BC，EG//AD.可得∠EGF为异面直线AD与BC所成角或补角，再利用余弦定理即可得出．本题考查了三角形中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．由题意先求出a和n的值，再把(1+x)n按照二项式定理展开，可得(a+x2)(1+x)n的展开式中x4的系数．【解答】解：令x=1，可得(a+x2)(1+x)n的展开式中各项系数之和为(a+1)⋅2n=192，且常数项为a=2，∴3⋅2n=192，∴n=6．∴(a+x2)(1+x)n=(2+x2)(1+x)6=(2+x2)(1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6)，则该展开式中x4的系数为2×15+15=45，故选：B．7.【答案】D【解析】解：∵a(sinA+9sinB)=12sinA，∴a(a+9b)=12a，又a>0，∴a+9b=12≥2√9ab，则可得ab≤4，∴△ABC的面积的最大值为12×4×13=23．故选：D．由已知利用正弦定理可得(a+9b)=12，进而根据基本不等式可求ab≤4，从而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理的应用与基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行过程，如下；x=1，t=100，[t]=100；x=2，t=50，[t]=50；x=3，t=506，[t]=16；x=4，t=256，[t]=4；所以输出的x=4．故选：C．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的x值．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意得，X的可能取值为28，13.2，−1.6，P(X=28)=0.72=0.49，P(X=13.2)=2×0.7×0.3=0.42，P(X=−1.6)=0.32=0.09，∴E(X)=28×0.49+13.2×0.42−1.6×0.09=19.12．故选：C．由题意得X的可能取值为28，13.2，−1.6，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由4sinα−1cosα=4cosα−1sinα，所以4(sinα−cosα)=1cosα−1sinα=sinα−cosαsinαcosα，sinα−cosα=0或4sinαcosα=1，即tanα=1，或sin2α=12；因为α∈(0,2π)，所以α=π4，或5π4，π12，13π12，5π12，17π12；所以满足条件的所有α的和为π4+5π4+π12+13π12+5π12+17π12=9π2．故选：D．由题意化简等式求出α的值，再求和即可．本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．【解析】 【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合思想以及逻辑推理的核心素养． 画出可行域，求出m 的范围，利用线性规划的知识，判断公共选项的正误即可． 【解答】解：作出x ，y 满足约束条件{x +y ≥0x −y +1≤0x −2y +m ≥0，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形，如图所示：联立{x +y =0x −y +1=0，解得{x =−12y =12， 因为Ω为三角形区域，所以−12−2×12+m >0，可得m >32， 所以③正确；当直线z =x +y 经过可行域的A(m −2,m −1)时， z =x +y 取得最大值，并且最大值为2m −3， 所以①错误；④正确；当m =3时，A(1,2)当x =1时，函数y =4x −1的值为3>2， 则曲线y =4x −1与Ω有公共点， 所以②正确； 故选：B ．【解析】解：根据题意，函数f(x +1)是定义在R 上的奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且f(1)=0， 当x ≤1时，函数f(x)单调递增，则f(x)在[1,+∞)上单调递增，且f(x)≥f(1)=0，所以x >1时，f 2(x)与f(x)同号，且f 2(x)=f 2(2−x)，∴f 2(log 43)=f 2(2−log 43)，所以只需比较x >1时，f(x)的大小关系即可． 因为：|2−log 43|=2−log 43=log 4163，∴f 2(log 43)=f 2(log 4163)；∵log 2√423=log 4143，∴log 3163>log 3143．又log 34−log 4163=lg4lg3−2lg4−lg3lg4=lg 24−2lg4lg3+lg 23lg3lg4=(lg4−lg3)2lg3lg4>0，故log 34>log 4163>log 4143，则有f 2(log 34)>f 2(log 43)>f 2(log 2√423)．故选：A ．易知，f(x)关于(1,0)对称，且f(1)=0，因为当x ≤1时，函数f(x)单调递增，则f(x)在[1,+∞)递增，且f(x)>0，所以x >1时，f(x)与f 2(x)同号，大小一致．然后将x <1时的函数值，根据对称性转化为x >1时的函数值，利用单调性比较即可．本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，注意分析函数在[1,+∞)上的单调性以及f(x)与f 2(x)大小关系的一致性，属于中档题．13.【答案】π10【解析】 【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 直接利用正弦型函数性质的应用求出结果． 【解答】解：函数y =sin(ωx −π5)关于(2,0)对称， 所以2ω−π5=kπ(k ∈Z)，解得ω=kπ2+π10(k ∈Z)，由于0<ω<π2， 所以ω=π10． 故答案为：π1014.【答案】2【解析】解：由双曲线的定义可得c 2=m +2+2−m =4，所以可得A ，B 两点为双曲线的焦点， 由双曲线的定义可得2a =2√3，解得a =√3，所以b 2=c 2−a 2=4−3=1，所以b =1， 所以虚轴长为2， 故答案为：2．由题意可得双曲线的c ，再由题意求出a ，再由a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出虚轴长． 本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．15.【答案】√33【解析】解：设铸得的铁球的半径为rcm ，由题意可得几何体的体积为：12×2×π×4+13×12×2×π×(7−4)=5π． 可得：5π×(1−20%)=43πr 3， 解得：r =√33． 故答案为：√33．设出球的半径，利用几何体的体积与球的体积相等，转化求解球的半径即可． 本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识．16.【答案】17【解析】解：因为f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)=x 6−16x 3+x 2−4x =(x 3−8)2−(x −2)2−68， ∴当x =2时，函数取得最小值即x 0=2， ∵(f(x)x)′=5x 4−32x +1，∴则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率k =5×24−32×2+1=17．故答案为：17由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解．本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力．17.【答案】解：(1)用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为53，用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为49，因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49，且49<52， 所以，甲配送方案的效率更高； (2)由茎叶图知m =25×52+25×4950=50.5，列联表如下：(3)因为K 2=50×(17×16−8×9)225×25×26×24=20039≈5.13>3.841，所以有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．【解析】(1)利用茎叶图即可求出各组内25位骑手完成订单数的中位数，用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49，且49<52，所以甲配送方案的效率更高；(2)先利用茎叶图求出m 的值，再根据题目所给的数据填写2×2列联表即可； (2)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了平均值和中位数的求法，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．18.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则{a 1q 2=16a 1q +a 1q 3=68， 两式相比，可得1+q 2q=174，化简整理，得4q 2−17q +4=0， 解得q =14，或q =4．∵当q =14时，a 1=a 3q 2=16(14)2=256>0，此时数列{a n}是递减的等比数列，不符合题意，∴q≠14，从而q=4，∴a n=a3⋅q n−3=16⋅4n−3=4n−1，n∈N∗．∵b1=a1=41−1=1，S2=b1+b2=1+b2=a2=4，解得b2=3，设等差数列{b n}的公差为d，则d=b2−b1=3−1=2，∴b n=1+2(n−1)=2n−1，n∈N∗．(2)由(1)知，S n=n+n(n−1)2⋅2=n2，∴√4a n S n=√4⋅4n−1⋅n2=n⋅2n，∴T n=1×21+2⋅22+3⋅23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2T n=1×22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减，可得−T n=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2−2n+11−2−n⋅2n+1=−(n−1)⋅2n+1−2，∴T n=(n−1)⋅2n+1+2．【解析】本题第(1)题先设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a3=16.a2+a4=68列出算式进行转化计算并解出q的值，主要排除不符合题意的q的值，即可得到数列{a n}的通项公式，然后代入b1=a1，S2=a2，分别计算出b1，b2的值，得到公差，即可计算出数列{b n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出S n的表达式和数列{√4a n S n}的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n项和T n．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．19.【答案】(1)证明：∵AD⊥CD，且AD=CD，∴∠ACD=∠DAC=45°，∴∠BCA=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ，∵PA ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内， ∴PA ⊥AC ， 又PA ∩AB =A ， ∴AC ⊥平面PAB ， ∵PB 在平面PAB 内， ∴AC ⊥PB ；(2)解：取BC 的中点E ，以A 为坐标原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ，如图所示，设PA =1，则A(0,0,0),P(0,0,1),B(√2,−√2,0),C(√2,√2,0),D(0,√2,0)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2,−1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0)， 设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2λ,−√2λ,−λ)(0≤λ≤1)， 则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2λ,−√2λ−√2,−λ+1)， 由(1)可知，AC ⊥平面PAB ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0)为平面PAB 的一个法向量， 设DM 与平面PAB 所成的角为θ，则sinθ=|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+2(λ+1)2+(−+1)2×2=2√2121， 整理得20λ2+8λ−9=0，解得λ=12(负值舍去)， ∴点M 为棱PB 的中点．【解析】(1)由AC ⊥AB ，PA ⊥AC 可证得AC ⊥平面PAB ，再由线面垂直的性质定理可得AC ⊥PB ； (2)建立空间直角坐标系，设PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2λ,−√2λ,−λ)(0≤λ≤1)，求出平面PAB 的法向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0)及直线DM 的方向向量，进而根据题设条件建立方程，解出即可．本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量解决线面角问题，考查方程思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由抛物线的方程可得焦点F 的坐标(0,14m )，由题意可得14m =1，所以m =14，即抛物线的方程为：x 2=4y ，所以可得A(4,5)，且可得抛物线的准线方程为：y =−1，设P 到准线的距离为d ，由抛物线的性质可得|PF|=d ， 因为A 到准线的距离为5+1=6，所以|PA|+|PF|=|PA|+d ≥6.过A 作准线的垂线交抛物线于P ，此时取等号． 即证：|PA|+|PF|≥6．(2)由{x 2=4yy =12x +t 整理可得x 2−2x −4t =0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，(x 1>0,x 2<0)， 则x 1+x 2=2，x 1x 2=−4t <0，所以t >0，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4+16t >2， 直线DM 的方程为：y −y 1=−2(x −x 1)，令x =0可得y D =2x 1+y 1， 同理可得y E =2x 2+y 2，所以|DE|=y D −y E =2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=2(x 1−x 2)+12(x 1−x 2)=52(x 1−x 2)>52⋅2=5， 所以|DE|>5，所以|DE|的取值范围(5,+∞)．【解析】(1)由抛物线的方程可得焦点的坐标，再由椭圆可得m 的值，求出抛物线的方程及准线方程，进而可得A 的坐标，当PA 垂直于准线时取等号，可证得结论；(2)将直线l 的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而可得两根之差的范围，由题意求出直线DM ，NE 的方程，令x =0求出M ，N 的纵坐标，进而可得|DE|的表达式，再由前面两根之差的范围求出|DE|的取值范围．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，及求两点间的距离的取值范围，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)．f′(x)=2x+m−2−mx =2x2+(m−2)x−mx=(2x+m)(x−1)x．令f′(x)=0，得x=−m2或x=1．①当−m2>1，即m<−2时，在(0,1)和(−m2,+∞)上，f′(x)>0，在(1,−m2)上，f′(x)<0，∴当x=1时，f(x)取得极大值，当x=−m2时，f(x)取得极小值，故f(x)有两个极值点；②当0<−m2<1，即−2<m<0时，在(0,−m2)和(1,+∞)上，f′(x)>0，在(−m2,1)上，f′(x)<0，∴当x=−m2时，f(x)取得极大值，当x=1时，f(x)取得极小值，故f(x)有两个极值点；③当−m2=1，即m=−2时，f′(x)=(2x+m)(x−1)x=2(x−1)2x≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值点；④当−m2≤0，即m≥0时，在(0,1)上，f′(x)<0，在(1,+∞)上，f′(x)>0，故x=1时，函数求得极小值，无极大值，f(x)只有一个极值点．综上，当m=−2时，f(x)极值点的个数为0；当m≥0时，f(x)的极值点的个数为1；当m<−2或−2<m<0时，f(x)的极值点的个数为2；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ(x)=12x2+(m−2)x−2mlnx，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，x1，x2∈(0,+∞)，则k=ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2．不妨设x1>x2，则由k=ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2≥m恒成立，可得ℎ(x1)−mx1>ℎ(x2)−mx2恒成立，令t(x)=ℎ(x)−mx，则t(x)在(0,+∞)上单调递增，∴t′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即ℎ′(x)−m≥0恒成立，则x+m−2−2mx −m≥0恒成立，即x2−2x−2mx≥0恒成立．又x∈(0,+∞)，∴x2−2x−2m≥0恒成立，则2m≤(x2−2x)min．∵x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴2m≤−1，即m≤−12．即m 的取值范围为(−∞,−12].【解析】(1)求出原函数的导函数，求解导函数的零点，然后对m 分类判断函数的单调性，求解极值，从而判断函数零点的个数；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ(x)=12x 2+(m −2)x −2mlnx ，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1，x 2∈(0,+∞)，求PQ 的斜率，求得k =ℎ(x 1)−ℎ(x 2)x 1−x 2.不妨设x 1>x 2，则由k =ℎ(x 1)−ℎ(x 2)x 1−x 2≥m 恒成立，可得ℎ(x 1)−mx 1>ℎ(x 2)−mx 2恒成立，构造函数t(x)=ℎ(x)−mx ，由t(x)在(0,+∞)上单调递增，转化为t′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，分离参数m ，再由配方法求最值，可得m 的取值范围．本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，训练了利用分离参数法求字母的取值范围，属难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2+6cosαy =6sinα(α为参数)，转化为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=36，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)+2=0.整理得12ρsinθ−√32ρcosθ+2=0，由{x =ρcosθy =ρsinθ整理得√3x −y −4=0．(2)直线√3x −y −4=0与y 轴的交点坐标为(0,−4)，直线l′的参数方程为{x =tcosαy =−4+tsinα(t 为参数)．代入(x −2)2+y 2=36得到：t 2−(8sinα+4cosα)t −16=0， 所以t 2+t 1=8sinα+4cosα，t 1t 2=−16<0．故|PM|−|PN|=|t 1|−|t 2|⩽|t 1+t 2|=|4√5sin(α+θ)|≤4√5．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：(1)当k =2时，f(x)={−4x +4,x ≤1−2x +2,1<x <4−6,x ≥4，由f(x)>0得x <1， 故f(x)>0的解集为(−∞,1)；(2)由f(x)=0，得|x −4|+|x −1|−1=kx ，令g(x)=|x −4|+|x −1|−1，则g(x)={4−2x,x ≤12,1<x <42x −6,x ≥4，作出g(x)的图象，如图所示，直线y =kx 过原点，当此直线经过点B(4,2)时，k =12； 当此直线与直线AC 平行时，k =−2，由图可知，当k <−2或k ≥12时，g(x)的图象与直线y =kx 有公共点，从而f(x)=0有实数根， 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪[12,+∞)．【解析】(1)将k =2代入，并把函数化为分段函数的形式，由此即可求得解集；(2)依题意，|x −4|+|x −1|−1=kx ，令g(x)=|x −4|+|x −1|−1，作出函数g(x)的图象，由图象观察可知，当k <−2或k ≥12时，f(x)=0有实数根，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法以及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想的运用，属于基础题．。
2020届广西玉林市高三第一次适应性考试数学（理）试题
2020届广西玉林市高三第一次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}10,12A x x B x x =->=-≤≤，则A B =（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)-+∞C ．[1,1]-D ．[1,2]-【答案】B【解析】解出集合A 中的一次不等式即可. 【详解】因为{}{}101A x x x x =->=>，{}12B x x =-≤≤ 所以A B =[1,)-+∞故选：B 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.2．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项.3．若实数,x y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】B【解析】作出可行域，作直线2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小 【详解】作出可行域如图所示：作直线2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小 z 的最小值为4故选：B 【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单. 4．已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为（ ） A ．43-3B 33-4C ．710D 23【答案】A【解析】先算出)in(4s 65πα+=，然后利用sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可算出答案【详解】由(0,)απ∈，3cos()65πα+=得)in(4s 65πα+= 所以sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4331433552-=-⨯=故选：A 【点睛】本题考查的是三角函数的平方关系及和差公式，较简单.5． 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在353/g m μ以下空气质量为一级，在353/g m μ～753/g m μ之间空气质量为二级，在753/g m μ以上空气质量为超标. 如图是某市2019年12月1日到10日 2.5PM 日均值（单位：3/g m μ）的统计数据. 若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（ ）A ．310B ．35C ．25D ．130【答案】A【解析】由图易知，第3,8,9,10天空气质量为一级，共4天，然后即可求出答案 【详解】由图易知，第3,8,9,10天空气质量为一级，共4天，故所求事件的概率为2146310310C C p C == 故选：A 【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.6．设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2),()0x a a f x ∀∈<，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．(0,1)D ．2(0,)3【答案】A【解析】首先利用导数判断出()f x 在(,2)a a 上单调递减，然后解出不等式()0f a ≤即可 【详解】由322()32f x x ax a =-+得()2()3632f x x ax x x a '=-=-所以当(,2)x a a ∈时，()0f x '<所以函数()f x 在(,2)a a 上单调递减所以只需()0f a ≤即可，即()322232210a a a a a a -⋅+=-≤解得：1a ≥ 故选：A 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及解决恒成立问题，较简单.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线与双曲线在第一象限的交点为A .线段1F A 的中点为D ，若210F D F A ⋅=，则此双曲线的离心率为（ ）A B ．32C ．12D ．31+【答案】C【解析】由条件得出1222F F F A c ==，126AF F π∠=，1AF =，然后利用双曲线的定义建立方程求解即可 【详解】由线段1F A 的中点为D ，210F D F A ⋅=得1222F F F A c ==因为2F A ，所以可得126AF F π∠=所以1AF =所以由双曲线的定义可得22c a -=所以c e a ==故选：C 【点睛】本题考查的是双曲线的定义及离心率的求法，较简单.8．如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD所成角为α，则sin α的最大值为（ ）A ．35B ．337C ．25D ．23【答案】A【解析】设AD 的中点为E ，连接,ME NE ，然后证明MNE ∠为MN 与平面SAD 所成角,然后2sin 9MEMNNE α==+，然后求出NE 的最小值即可【详解】设AD 的中点为E ，连接,ME NE 因为AD CD ⊥，所以AD ME ⊥因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD CD ⊥，SD ME ⊥ 所以ME ⊥平面SAD所以MNE ∠为MN 与平面SAD 所成角，即MNE α∠=设2DA =，则3ME =，29MN NE =+2sin 9MEMNNE α==+NE 的最小值为E 到AS 5所以sin α35故选：A【点睛】本题考查的是线面角的知识，作出辅助线，找出线面角是解题的关键.9．过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．e e - B ．2e e +- C ．1e e +- D ．2e e +【答案】B【解析】设切点为()000,xx e x -，利用导数求出切线的方程，然后将点(,)e e -代入，解出01x e =+，然后即可算出答案. 【详解】由xy e x =-得1xy e '=-设切点为()000,xx e x -，则切线的斜率为01x e - 所以切线方程为：()()00001xxe y e x x x +--=-因为切线过点(,)e e -，所以()()00001xx e e x e x e --+=--，解得01x e =+所以切线方程为： ()()11111e e e y e e x e ++--++=--令0x =，可解得2e y e +=-故选：B 【点睛】本题考查的是导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为（ ） A ．8 B ．10C ．14D ．28【答案】C【解析】过点F 作FF AA ''⊥,垂足为F '，设3AF x '=，然后由条件可得5AF x =，4FF x '=，22A F x ''==，解出x ，然后算出答案即可【详解】 作出图形如下：过点F 作FF AA ''⊥,垂足为F '，设3AF x '= 因为3cos 5FAA '∠=，所以5AF x =，4FF x '= 由抛物线的定义，5AA AF x '==，所以22A F x ''==，即1x =四边形AA PF '的面积为()()2541422PF AA PA ''+⋅+⋅==故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线的定义，较简单.11．已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>.若2424(sin )(log 3)(log 6)8,,log 3log 6sin 8f f f a b c ππ-===-，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】设()()f xg x x=，由条件可得出()g x 是偶函数且在0,上单调递增，然后即可比较出,,a b c 的大小 【详解】 设()()f xg x x=，因为()f x 是奇函数，所以()g x 是偶函数 当0x >时()()()20xf x f x g x x'-'=>，所以()g x 在0,上单调递增因为2420sin1log log 6log 38π<<<=<，()2222log 3(log 3)log 3log 3f f a -==- 所以()()42sin log 6log 38g g g π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a << 故选：C 【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题.12．已知函数()2cos()1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,]1212ππ-上的最大值为（ ）A ．2- B．2C ．32-D ．0【答案】D【解析】由条件可得1cos()42πωϕ+=，cos()13πωϕ+=，即2,43k k Z πωπϕπ+=±∈，2,3n n Z πωϕπ+=∈，将两式相减可得：()()244,n k n k Z ω=-±∈，然后求出ω和ϕ【详解】 由条件可得：1cos()42πωϕ+=，cos()13πωϕ+= 所以2,43k k Z πωπϕπ+=±∈，2,3n n Z πωϕπ+=∈将两式相减可得：()()244,n k n k Z ω=-±∈，所以ω的最小值为4此时42,3n n Z ϕππ=-∈，因为ϕπ<，所以23ϕπ= 所以2()2cos(4)13f x x π=+- 因为[,]1212x ππ∈-，所以24,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以函数()f x 在[,]1212ππ-上的最大值为0故选：D 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，由条件求出ω和ϕ是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．在平面上，12,e e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足()()12b e b e -⊥-，则b 的值____________． 【答案】1【解析】由()()12b e b e -⊥-得()()120b e b e -⋅-=，由12,e e 是方向相反的单位向量得120e e +=，121e e ⋅=-，然后即可算出答案 【详解】由()()12b e b e -⊥-得()()120b e b e -⋅-= 即()212120b e e b e e -++⋅=因为12,e e 是方向相反的单位向量，所以120e e +=，121e e ⋅=-所以210b -=，即1b =故答案为：1 【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.14．设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积222)b c a +-，则内角A 的大小为____________． 【答案】3π【解析】由2221)sin2S b c a bc A =+-=得222sin b c a A +-=，结合余弦定理可推出tan A =【详解】因为2221)sin 2S b c a bc A =+-= 所以222sinb c a A +-=由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=所以1cos sin 3A A =，即tan 3A = 因为()0,A π∈，所以3A π=故答案为：3π 【点睛】本题考查的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.15．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．【答案】203【解析】由三视图画出几何体的直观图即可 【详解】由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如下：其体积为：1120222222323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 故答案为：203【点睛】本题考查的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键. 16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(),x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为____________．（用分数表示） 【答案】4715【解析】由题意，240对都小于1的正实数对(),x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y ，满足221x y +<且01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩，面积为142π-，然后即可建立方程求解 【详解】由题意，240对都小于1的正实数对(),x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y ，满足221x y +<且01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩面积为142π- 因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数68m =所以68124042π=-，所以4715π= 故答案为：4715【点睛】本题考查的是几何概型中的面积型的应用，较简单.三、解答题17．水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++：【答案】（1）100块直播农田的平均产量为907斤，（2）有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关.【解析】（1）根据48183931850870890910930100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，算出答案即可（2）由题目中给的数据完善22⨯列联表，然后算出2K 的观察值即可【详解】（1）100块直播农田的平均产量为：48183931850870890910930907100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤） （2）由题中所给的数据得到22⨯列联表如下所示：由表中的数据可得2K 的观察值()2120820070503050258 6.01001635300k ⨯⨯⨯>⨯⨯-⨯==>所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 【点睛】本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.18．已知数列{a n }满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见详解，()312nn a n =-⋅，（2）364n nT n =+【解析】（1）由11232n n n a a ++=+⨯得11322n n n n a a ++-=，然后()213312n n a n n =+-⨯=-，即可算出答案（2）()()()()13126431322313213132n n n n b n n n n n n +-⋅⋅⨯===-+⋅--++，然后即可求出n T 【详解】（1）因为11232n n n a a ++=+⨯，所以11322n nn na a ++-=即数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为2，公差为3的等差数列所以()213312nn a n n =+-⨯=- 所以()312nn a n =-⋅ （2）由()312nn a n =-⋅得()()()()13126431322313213132n n n n b n n n n n n +-⋅⋅⨯===-+⋅--++ 所以1111111125582331323264n n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法19．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解，（2）44226【解析】（1）证明1AB A D ⊥和11AD A D ⊥即可（2）以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面11BB C 的法向量，平面1ABC 的法向量可取为：()12,0,2DA =，然后即可算出答案 【详解】（1）因为侧棱1AA ⊥平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD 又AD AB ⊥，平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面11ADD A 而1A D ⊂平面11ADD A ，所以1AB A D ⊥因为1AD AA =，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，所以四边形11ADD A 是正方形 所以11AD A D ⊥，又1ABAD A =，所以1A D ⊥平面11ABC D（2）如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系则()()()()112,0,0,0,1,2,2,4,0,2,4,2A C B B设平面11BB C 的法向量为(),,n x y z =，又()10,0,2BB =，()12,3,2BC =--则11202320n BB z n BC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，求得023z y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，令3x =得()3,2,0n =-由（1）中可得平面1ABC 的法向量可取为：()12,0,2DA = 所以111326cos ,261322n DA n DA n DA ⋅===⨯⋅故二面角11B BC A --的正弦值为44226【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法20．已知椭圆C ：22214x y b+=（0＜b ＜2）的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过中心O 的弦．（1）求PQF △面积的最大值；（2）动直线1:2l y x t =+与椭圆交于A ，B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．【答案】（1（2）证明见详解，定点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）先由条件得出1c =，b =然后PQF △的面积等于POF 和QOF的面积之和，设P 点到x 轴的距离为h ，122PQFSc h ch =⨯=，然后即可分析出答案 （2）设()112211,,,,,22A x x t B x x t M m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将1:2l y x t =+代入22143x y+=得2230x tx t ++-=，则有21212,3x x t x x t +=-=-，然后可推出2232323MA MBn m t mn k k t mt m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭+=++-，当32n m =，23mn =时斜率的和恒为0，然后解出即可. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则222c a b =- 由122c c e a ===得1c =，所以b =又由PQF △的面积等于POF 和QOF 的面积之和，设P 点到x 轴的距离为h ，由PQ 是过椭圆的中心的弦，则Q 点到x 轴的距离也为h 所以POF 和QOF 的面积相等，所以122PQFSc h ch =⨯= 因为h 的最大值为b ，所以PQF △的最大面积为bc =（2）由（1）知椭圆22:143x y C +=设()112211,,,,,22A x x t B x x t M m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将1:2l y x t =+代入22143x y +=得2230x tx t ++-=则有21212,3x x t x x t +=-=-直线AM 与直线BM 的斜率之和：()()()()12212212113232223MA MBn x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x t mt m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+==--++- 为与t 无关的常数，可知当32n m =，23mn =时斜率的和恒为0， 解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）综上所述：所有满足条件的定点M 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21．已知函数()2()8ln f x x x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点()12121,,1x x x x x <≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111ln (2)(43)1a x m x x x >-+-- ． 【答案】（1）情况较多，见详解，（2）证明见详解【解析】（1）求出()228(0)x x a f x x x-+'=>，然后分8a ≥，08a <<，0a ≤三种情况讨论（2）①由121212420x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩即可证明；②用分析法得到要证原命题即证()()211111212ln 01m x x x x x ⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，然后设()()()()2212ln 02m x h x x x x--=+<<，利用导数得到()h x 在()0,2单调递减，结合(1)0h =可得当01x <<时()0h x >，当12x <<时()0h x <，然后即可证明. 【详解】（1）由已知()228(0)x x a f x x x-+'=>①当8a ≥时，2280x x a -+≥，所以0f x ，所以函数()f x 在0,上单调递增②当08a <<时，2280x x a -+=在0,上有两不等正实数根记124422x x -+==当()10,x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增 当()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递减 当()2,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增③当0a ≤时，120,0x x =≤=>所以当()20,x x ∈时，0f x ，()f x 单调递减 当()2,x x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增（2）①()f x 的定义域为0,，有两个极值点()1212,x x x x <则()2280t x x x a =-+=在0,上有两个不等正根由（1）中可得08a <<因为121212420x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，所以()2112111242240x x a x x x x x x =-⎧⎪==-⎨⎪<<⎩，所以102x <<②原命题即证明当102x <<且11x ≠，1m 时21111ln (2)(43)1a x m x x x >-+--成立 即证()()()11111124ln (2)411x x x m x x x ->--+-，即证()11112ln (2)11x x m x x >-+-即证()11112ln (2)101x x m x x --+>-，即证()()211111212ln 01m x x x x x ⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦设()()()()2212ln 02m x h x x x x--=+<<则()()22222m x x m h x x -++-'=当1m 时()0h x '≤，()h x 在()0,2单调递减因为(1)0h =，所以当01x <<时()0h x >，当12x <<时()0h x < 又因为101x <<时1101x x >-，当112x <<时1101xx <- 所以()()211111212ln 01m x x x x x ⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，原命题得证 【点睛】1.解含参的一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小、根在不在给的范围内.2.本题考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足| 12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te =，以t 为参数求直线1l 的参数方程②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ+的值 【答案】（1）①直线1l的参数方程为22112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），②曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直角坐标方程为：()22400x y x x +-=≠；（2【解析】（1）①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），②设()()()111,,,0,0N M ρθρθρρ>>，由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，由11cos 3ρθ=可得12cos 3θρ⋅=（2）将1l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中得：221214202t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得230t t +-=，设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，则12121,30t t t t +=-=-<，然后利用11AP AQ+=.【详解】（1）①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）即22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） ②设()()()111,,,0,0N M ρθρθρρ>>，由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩ 因为点M 在直线2:cos 3l ρθ=上，所以11cos 3ρθ= 所以12cos 3θρ⋅=，即4cos ρθ=所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：()22400x y x x +-=≠ （2）将1l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：22121420222t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得230t t +-= 设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，则12121,30t t t t +=-=-<所以1212121111t t AP AQ t t t t -+=+====【点睛】本题考查了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程的求法，属于中档题.23．己知函数()21f x x x =++- （1）求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）记函数()y f x =的最小值为k ，若,,a b c 是正实数，且33112ka kb kc ++=，求证239a b c ++≥.【答案】（1）不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞，（2）证明见详解【解析】（1）分3种情况解出即可（2）首先求出3k =，即可得到111123a b c++=，然后()122332323323233211a a b b c c a b c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭，用基本不等式即可证明.【详解】（1）()218f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-所以不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞（2）因为()212(1)3f x x x x x =++-≥+--=当[]2,1x ∈-时等号成立，所以()f x 的最小值为3，即3k = 所以111123a b c++= 所以()122332323323233211a a b b c c a b c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++⎪⎝⎭ 23233322292332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当23a b c ==时等号成立【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题.。