模型组合讲解：对策性的模型

模型组合讲解——对称性模型
［模型概述］
对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。

从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。

所以作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。

［模型讲解］
1. 简谐运动中的对称性
例1. 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面的高度为h ，用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则： A. 运动过程中距地面的最大高度为2h B. 球上升过程中势能不断变小
C. 球距地面高度为h 时，速度最大
D. 球在运动中的最大加速度是kh/m
解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，当离地面距离为h 时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h ，利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高点速度为零时距平衡位置也为h ，所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h ，由于球的振幅为h ，由a k m
x =-
可得，球在运动过程中的最大加速度为a k m
h =
，球在上升过程中动
能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。

所以正确选项为ACD 。

2. 静电场中的对称性
例2. （2005上海高考）如图1所示，带电量为＋q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d ，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。

若图中b 点处产生的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k ）。

图1
解析：在电场中a 点： E E E a q =+=+板0 E E E k
q d
q q 板，=-=++2
板上电荷在a 、b 两点的电场以带电薄板对称，带电薄板在b 点产生的场强大小为k q d
2
，
方向水平向左。

点评：题目中要求带电薄板产生的电场，根据中学物理知识仅能直接求点电荷产生的电
场，无法直接求带电薄板产生的电场；由E a ＝0，可以联想到求处于静电平衡状态的导体的感应电荷产生的场强的方法，利用E E q 板=-+来间接求出带电薄板在a 点的场强，然后根据题意利用对称性求出答案。

例3. 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图2所示。

虚线表示这个静电场在xOy 平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox 轴、Oy 轴对称，等势线的电势沿x 轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。

一个电子经过P 点（其横坐标为-x 0）时，速度与Ox 轴平行。

适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在Ox 轴上方运动。

在通过电场区域过程中，该电子沿y 方向的分速度v y ，随位置坐标x 变化的示意图是：
图2
解析：由于静电场的电场线与等势线垂直，且沿电场线电势依次降低，由此可判断Ox 轴上方区域y 轴左侧各点的场强方向斜向左上方，y 轴右侧各点的场强方向斜向左下方。

电子运动过程中，受到的电场力的水平分力沿x 轴正方向，与初速方向相同，因此，电子在x 方向上的分运动是加速运动，根据空间对称性，电子从x ＝-x 0运动到x x =0过程中，在y 轴左侧运动时间比在y 轴右侧运动的时间长。

电子受到电场力的竖直分力先沿y 轴负方向，后沿y 轴正方向。

因此电子在y 方向上的分运动是先向下加速后向下减速，但由于时间的不对称性，减速时间比加速时间短，所以，当x x =0时，v y 的方向应沿y 轴负方向。

正确答案为D 。

3. 电磁现象中的对称性
例4. （2005年全国高考）如图3所示，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为m 带电量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的相
互影响。

下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝m v
Bq。

哪个图是正确的？
（）
图3
解析：由于是许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。

所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。

在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。

①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。

由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到：
B q v
mv
R
2
，解得R＝
m v
Bq。

所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。

②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半圆将会出现在点O的左边。

直径也是2R。

③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点O为转动点，以2R为直径从右扫到左的一片区域。

即如图4所示。

图4
4. 光学中的对称性
例5. （2005年江苏高考）1801年，托马斯·杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。

1834
年，洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。

（1）洛埃镜实验的基本装置如图5所示，S为单色光源，M为一平面镜。

试用平面镜成像作图法在答题卡上画出S经平面镜反射后的光与直接发出的光在光屏上相交的区域。

图5
（2）设光源S到平面镜的垂直距离和到光屏的垂直距离分别为a和L，光的波长为λ，在光屏上形成干涉条纹。

写出相邻两条亮纹（或暗纹）间距离∆x的表达式。

解析：（1）如图6所示。

图6
（2）∆x
L
d =λ
因为d a
=2，所以∆x
L
a
=
2
λ。

点评：试题以托马斯·杨的双缝干涉实验为引导，以洛埃镜实验为载体，将平面镜对光的反射与光的干涉综合在一起，考查考生对“一分为二”及干涉过程的理解和对课本知识的迁移能力。

［模型特征］
在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准确地解决问题。

对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。

它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。

用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。

如，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看作是一个初速度为零的匀加速直线运动，于是便可将初速度为零的匀加速直线运动的规律和特点，用于处理末速度为零的匀减速运动，从而简化解题过程。

具体如：竖直上抛运动中的速度对称、时间对称。

沿着光滑斜面上滑的物体运动等具有对称性；简谐振动中|v|、|a|、|F|、动势能对称以平衡位置的对称性；光学中的球型对称等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一种科学的思维方法。

利用对称法解题的思路：①领会物理情景，选取研究对象；②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某一过程或某一状态；③透析研究对象的属性、运动特点及
规律；④寻找研究对象的对称性特点。

⑤利用对称性特点，依物理规律，对题目求解。

［模型演练］
将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。

图7甲表示小滑块（可视为质点）沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的AA'之间来回滑动。

A 、A'点与O 点连线与竖直方向之间夹角相等且都为θ，均小于10°，图7乙表示滑块对器壁的压力F 随时间t 变化的曲线，且图中t ＝0为滑块从A 点开始运动的时刻。

试根据力学规律和题中（包括图中）所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量。

（g 取10m/s 2）
图7
答案：由图乙得小滑块在A 、A'之间做简谐运动的周期T =π
5
s
由单摆振动周期公式T R g =2π
，得球形容器半径R T g =
2
2
4π
代入数据，得R ＝0.1m
在最高点A ，有F mg min cos =θ，式中F N min .=0495
在最低点B ，有F mg m
v
R
max -=2
，式中F N max .=0510
从A 到B 过程中，滑块机械能守恒
12
12
m v
m gR =-(cos )θ
联立解得：cos .θ=099，则m ＝0.05kg 滑块机械能 E m v
m gR J ==-=-121510
2
4
(cos )θ×。