【配套K12】高中数学人教B版必修一练习：1.1.1 集合的概念

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1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念【选题明细表】1.(2018·江西临川实验学校月考)下列各组对象不能构成一个集合的是( C )(A)不超过20的非负实数(B)方程x2-9=0在实数范围内的解(C)的近似值的全体(D)临川实验学校2018年在校身高超过170厘米的同学的全体解析:A,B,D都是集合,因为的近似值的全体不满足集合中元素的确定性,不是集合,故选C.2.下列说法正确的是( D )(A)某个班年龄较小的学生组成一个集合(B)由数字1,2,3和3,2,1可以组成两个不同的集合(C)由数字0,,0.5,,sin 30°组成的集合含有3个元素(D)由数字1,2,3这三个数字取出一个或两个数字能构成一个集合解析:A中的这组对象是不确定的,因年龄较小没有明确标准,所以不能构成集合,B中的数字1,2,3与3,2,1只能构成一个集合,因集合中的元素是无序的.C中的五个数值形式归入同一集合中只有两个元素,故选D.3.下列命题正确的个数有( B )①3∈N;②∈N*;③∈Q;④2+∉R;⑤∉Z.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为3是自然数,所以3∈N,故①正确;因为不是正整数,所以∉N*,故②不正确;因为是有理数,所以∈Q,故③正确;因为2+是实数,所以2+∈R,所以④不正确;因为=2是整数,所以∈Z,故⑤不正确.选B.4.下列集合中,有限集为.①不超过π的正整数构成的集合;②平方后不等于1的数构成的集合;③高一(2)班中考成绩在500分以上的学生构成的集合;④到线段AB的两端点的距离相等的点构成的集合;⑤方程|x|=-1的解构成的集合解析:②与④是无限集,⑤是空集,①③是有限集.答案:①③5.(2018·安徽泗县月考)已知集合A中有三个元素2,4,6.且当a∈A 时有6-a∈A,那么a为( B )(A)2 (B)2或4 (C)4 (D)0解析:由集合中元素a∈A时,6-a∈A,则集合中的两元素之和为6,故a=2或4.故选B.6.已知非零实数a,b,代数式+的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( C )(A)0∉M (B)-2∉M (C)2∈M (D)1∈M解析:当a>0,b>0时,+=2;当a<0,b<0时,+=-2;当ab<0时,+=0.所以C正确.故选C.7.设L(A,B)表示直线AB上全体点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单写成P L(A,B).解析:P是直线AB上的一个点,则P是集合L(A,B)的一个元素,故P∈L(A,B).答案:∈8.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为.解析:若m=2,则m2-3m+2=0,不合题意;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,m=0时不合题意,m=3时符合题意.故m=3.答案:39.若集合A是由关于x的不等式x2-ax+1>0构成的解集,且3∉A,那么a的取值范围是.解析:因为3∉A,所以3是不等式x2-ax+1≤0的解集.所以10-3a≤0,所以a≥.答案:{a|a≥}10.已知关于x的方程ax2-3x+2=0,a∈R的解集为A.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解:(1)A是空集,所以所以a>且a≠0,所以a>.(2)A中只有一个元素.当a=0时,-3x+2=0的解是x=,所以A只有一个元素;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,得a=,此时方程为9x2-24x+16=0.解得x=,即A中只有一个元素.(3)A中至多有一个元素,即A是空集,或A只含有一个元素. 所以a>或a=0或a=,即a≥或a=0.11.设S是由满足下列两个条件的实数所构成的集合:①1∉S,②a∈S,则∈S.请解答下列问题:(1)若2∈S,则S中必有另外两个数,求出这两个数;(2)求证:若a∈S,则1-∈S;(3)在集合S中元素能否只有一个,请说明理由.(1)解:因为2∈S,2≠1,所以=-1∈S.因为-1∈S,-1≠1,所以=∈S.因为∈S,≠1,所以=2∈S.所以-1,∈S,即集合S中另外两个数为-1和.(2)证明:因为a∈S,所以∈S.所以=1-∈S(a≠0,因为若a=0,则=1∈S,不合题意).(3)解:集合S中的元素不能只有一个.理由:假设集合S中只有一个元素,则根据题意知a=,即a2-a+1=0,此方程无实数解,所以a≠,因此集合S不能只有一个元素.。

人教B版高中数学必修第一册课后习题第1章集合与常用逻辑用语 1.1.1 第1课时集合的含义

第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法第1课时集合的含义课后训练巩固提升1.下列对象能组成集合的是( )①某商店中所有漂亮的水杯;②所有的钝角三角形;③诺贝尔经济学奖得主;④大于等于0的整数;⑤某中学所有个高的学生. A.①②④ B.②⑤ C.③④⑤D.②③④解析:由集合中元素的确定性知,①中“漂亮的水杯”和⑤中“个高的学生”标准不确定,所以①⑤不能组成集合. 答案:D2.下列正确的结论的个数是( ) ①1∈N;②√2∈N +;③12∈Q;④2+√2∉R;⑤42∉Z.A.1B.2C.3D.4解析:∵1是自然数,∴1∈N,故①正确; ∵√2不是正整数,∴√2∉N +,故②不正确;∵12是有理数,∴12∈Q,故③正确;∵2+√2是实数,∴2+√2∈R,故④不正确; ∵42=2是整数,∴42∈Z,故⑤不正确.答案:B3.已知集合A 含有三个元素2,4,6,且当a ∈A 时,6-a ∈A,则a 的值为( ) A.2 B.2或4 C.4D.0解析:若a=2∈A,则6-a=4∈A; 若a=4∈A,则6-a=2∈A; 若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B. 答案:B4.已知x,y 都是非零实数,z=x |x |+y |y |+xy|xy |可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是( ) A.3∈A,-1∉A B.3∈A,-1∈A C.3∉A,-1∈A D.3∉A,-1∉A解析:当x,y 均为正数时,z=3;当x,y 均为负数时,z=-1;当x,y 为一正一负时,z=-1.所以3∈A,-1∈A.故选B.答案:BA.集合N中最小的数是1B.若-a∉N,则a∈NC.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2D.若a∈Z,则a∈Q答案:ABC6.由实数t,|t|,t2,-t,t3所构成的集合M中最多含有个元素,最少含有个元素.解析:由于|t|至少与t和-t中的一个相等,因此集合M中最多含有4个元素.当t=0时,M中只有1个元素0.答案:4 17.已知集合P中的元素x满足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a= .解析:∵x∈N,且2<x<a,a∈Z,∴结合数轴(略)知a=6.答案:68.已知集合A 中的元素y ∈N,且y=-x 2+1,x ∈R,若t ∈A,则t 的值为 .解析:∵y ∈N,且y=-x 2+1,x ∈R,∴y=0或y=1. 又t ∈A,∴t=0或t=1. 答案:0或19.设非空数集A 满足以下条件:若a ∈A,则11-a∈A,且1∉A.(1)若2∈A,你还能求出集合A 中哪些元素? (2)“3∈A”和“4∈A”能否同时成立? 解:(1)若2∈A,则11-2=-1∈A,于是11-(-1)=12∈A,而11-12=2.所以集合A 中还有-1,12这两个元素.(2)“3∈A”和“4∈A”能同时成立.理由如下: 当3∈A 时,有11-3=-12∈A,于是11-(-12)=23∈A,11-23=3, 当4∈A 时,有11-4=-13∈A,于是11-(-13)=34∈A,11-34=4,故当集合A=3,-12,23,4,-13,34时,能满足“3∈A”和“4∈A”同时成立.10.设P,Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素,Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素是a+b,其中a ∈P,b ∈Q,则P+Q 中元素的个数是多少?解:∵当a=0时,b 依次取1,2,6,得a+b 的值分别为1,2,6;当a=2时,b 依次取1,2,6,得a+b 的值分别为3,4,8; 当a=5时,b 依次取1,2,6,得a+b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知,P+Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个. 11.已知集合M 是由2,a,b 三个元素组成的集合,集合N 是由2a,2,b 2三个元素组成的集合.若M=N,求实数a,b 的值. 解:由M 与N 相等及集合中元素的特点,得{a =2a ,b =b 2①或{a =b 2,b =2a .② 解①,得{a =0,b =1或{a =0,b =0;解②,得{a =14,b =12或{a =0,b =0.当{a =0,b =0时,不符合集合中元素的互异性,舍去. 故a,b 的值为{a =0,b =1或{a =14,b =12.。

高中新课程数学新课标人教B版必修一1.1.1集合的概念评估训练

双基达标(限时20分钟)1．下列对象不能构成集合的是()．①我国近代著名的数学家②联合国常任理事国③空气中密度大的气体A．①②B．②③C．①②③D．①③解析①中的著名没有明确的界限；③中“密度大”的程度没有明确的界限，故选D.答案 D2．下列关系正确的是()．A．6∈N B.23∉RC.2∈Q D．－3∉Z解析23是实数，故23∈R；2不是有理数，∴2∉Q；－3是整数，应有－3∈Z.答案 A3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1②若－a∉N，则a∈N③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2其中正确命题的个数是()．A．0 B．1C．2 D．3解析因为自然数集中最小的数是0，而不是1，故①错；②中取a＝2，－2∉N，且2∉N，故②错；对于③中a＝0，b＝0时，a＋b的最小值是0，故选A.答案 A4．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．解析若x2＝0，则x＝0，不合题意；若x2＝1，则x＝±1，又x＝1时不合题意，∴x＝－1；若x2＝x，则x＝1或x＝0不合题意，故x＝－1.答案－15．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析方程x2－5x＋6＝0的解为x1＝2，x2＝3，而方程x2－x－2＝0的解为x3＝－1，x4＝2，则由－1,2,2,3组成的集合中共有3个元素．答案 36．数集A满足条件：若a∈A，则1＋a1－a∈A(a≠1)，若13∈A，求集合中的其他元素．解∵13∈A，∴1＋131－13＝2∈A，∴1＋21－2＝－3∈A，∴1－31＋3＝－12∈A，∴1－121＋12＝13∈A.故当13∈A时，集合中的其他元素为2、－3、－12.综合提高(限时25分钟)7．已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三边，则△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解析由集合中元素的互异性知a、b、c均不相等．答案 D8．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()．A．2个元素 B．3个元素C．4个元素 D．5个元素解析由于x2＝|x|与x，－x中一个相等，－3x3＝－x，则最多含有2个元素．答案 A9．若m∈N，但m∉N*，则m________Q(填“∈”，或“∉”)．解析∵m∈N且m∉N*，∴m＝0，∵0∈Q，∴m∈Q.答案∈10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．解析a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1,2,3,4,6,6,7,8,11，则组成的集合P＋Q中元素有8个．答案811．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性．故a ＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合题意．∴a＝－3 2.12．(创新拓展)设非空集合A满足以下条件：若a∈A，则11－a∈A，且1∉A.(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？(2)求证：若a∈A，则1－1a∈A.(1)解∵2∈A，∴11－2＝－1∈A，则11－(－1)＝12∈A，又11－12＝2，∴A中的元素还有－1，1 2.(2)证明a∈A，则11－a∈A，又1 1－11－a ＝1－1a∈A，且a≠11－a≠1－1a.∴a∈A时，1－1a∈A.。

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：1.1.1.1 集合的概念 (含答案)

第一章集合与常用逻辑用语1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法第1课时集合的概念1.元素与集合的概念(1)集合：定义把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).表示方法通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：定义组成集合的每个对象都是这个集合的元素．表示方法通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)集合的元素具有的三个特点：确定性集合的元素必须是确定的互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的无序性集合中的元素可以任意排列根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．元素与集合的关系关系记法读法a是集合A的元素a∈A a属于集合Aa不是集合A的元素a∉A a不属于集合A元素与集合之间有哪些关系？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．3．空集定义不含任何元素的集合称为空集表示方法记作∅对于任意元素a ，a 与空集∅的关系是什么？提示：由空集的定义可知，a ∉∅. 4．两个集合相等定义给定两个集合A 和B ，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等表示方法记作A ＝B(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 6．常见的数集及表示符号数集非负整数集 (自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号 NN *或N ＋ZQRN 与N ＋(或N *)有何区别？提示：N ＋是所有正整数组成的集合，而N 是由0和所有的正整数组成的集合，所以N 比N ＋(或N *)多一个元素0.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) 提示：×．集合中的元素是互不相同的． (2)好听的歌能组成一个集合．( )提示：×．好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3)高一(1)班所有姓氏能构成一个集合．()提示：√．高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个．()提示：×．因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．2．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC 一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】选D.因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．(教材练习改编)已知集合M中有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．【解析】由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：3类型一元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理)1．下列对象能构成集合的是()①全国所有的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A ．①②④B ．②⑤C ．③④⑤D ．②③④【解析】选D.由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．2．集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________．【解析】由题意，得a 2＝4，a ＝±2. 答案：±21．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．(2)任何两个对象都是不同的． 2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．【补偿训练】已知A 中含有3个元素1，x ，y ，集合B 中含有3个元素1，x 2，2y ，若A ＝B ，则x －y ＝( )A ．12B ．1C ．14D ．32 【解析】选C.根据集合元素互异性：假设x ＝x 2，y ＝2y ，即x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0不满足条件；假设x ＝2y ，y ＝x 2，即x ＝0，y ＝0不满足条件或者x ＝12 ，y ＝14 满足条件，所以x －y ＝12 －14 ＝14. 类型二元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2 ＋3 ，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C ．1a ∉A D ．a ＋1∉A【思路导引】判断a ，a 2，1a ，a ＋1与5的大小关系．【解析】选A.a ＝2 ＋3 <4 ＋4 ＝4<5，所以a ∈A .a ＋1<4 ＋4 ＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2 )2＋22 ×3 ＋(3 )2＝5＋26 >5，所以a 2∉A ， 1a＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3 －2 <5，所以1a∈A .2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【思路导引】先确定x的取值，再验证．【解析】由63－x ∈N，x∈N知x≥0，63－x>0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0，1，2.当x＝0时，63－0＝2∈N，当x＝1时，63－1＝3∈N，当x＝2时，63－2＝6∈N.故集合A中的元素为0，1，2.答案：0，1，2判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．1．给出下列关系：①12 ∈R ；②2 ∉Q ；③|－3|∉N ； ④|－3 |∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选B.12 是实数；2 是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3 |＝3 是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．2．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【解析】因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1. 【补偿训练】已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A【解析】选C.k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，k ＝－103∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误．因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．类型三由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．【思路导引】A 中含有元素：1和a 2 ――→a ∈A a ＝1或a 2＝a ――→求a 的值检验集合中元素的互异性【解析】由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，①若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.②若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.根据集合中元素的特点求值的三个步骤1．(2021·西安高一检测)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－2【解析】选D.由题意可知⎩⎨⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.2．设集合M 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈M，求实数x的值．【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x ≠3.解得x≠－1，x≠0且x≠3.(2)因为－2∈M，所以x＝－2或x2－2x＝－2.若x2－2x＝－2，则x2－2x＋2＝0.因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0.方程无解．所以x＝－2.【补偿训练】集合P由1，m，m2－3m－1三个元素组成，若3∈P且－1∉P，则实数m＝________．【解析】由题意，分两种情况：(1)若m＝3，则m2－3m－1＝－1，不满足题意．(2)若m2－3m－1＝3，则m＝4或m＝－1，m＝－1不满足题意，应舍去．故m＝4.答案： 4备选类型元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 满足条件：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a ∈A .(1)若a ∈A ，求证：1－1a ∈A ；(2)在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由；【解析】(1)由a ∈A 得：11－a ∈A ，则11－11－a∈A ，又11－11－a ＝1－a 1－a＝1－a－a ＝a －1a ＝1－1a ，所以1－1a ∈A .(2)假设集合A 中只有一个元素，因为a ∈A ，则11－a ∈A ，所以a ＝11－a ，方程无解，所以假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数．设数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x ∈A . (1)若2∈A ，试证明集合A 中有元素－1，12 .(2)判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由．【解析】(1)由题意，由2∈A 可得11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－⎝⎛⎭⎫－1 ＝12 ∈A . 所以集合A 中有元素－1，12. (2)由题意，可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x ∈A ，x －1x ∈A ，且x ≠11－x ，11－x ≠x －1x ，x ≠x －1x ，故集合A 中至少有3个元素．1．(2021·枣庄高一检测)下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人【解析】选D.选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能构成集合．2．(教材练习改编)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5C ．37D ．7【解析】选D.由题意知a 应为无理数，故a 可以为7 .3．设a ，b ∈R ，集合A 中含有3个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有3个元素0，b a ，b ，若A ＝B ，则b －a ＝( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】选A.由已知，a ≠0，故a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.b －a ＝2.4．已知m ∈R ，由x ，－x ，|x |，x 2 ，－3x 3 所组成的集合最多含有元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选A.因为x ，－x ，|x |，x 2 ＝||x ，－3x 3 ＝－x 中，至多有2个不同的实数，所以组成的集合最多含有元素的个数是2.5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号).【解析】因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④。

人教B版数学高一版必修1教案1.1.1集合的概念

教师锦囊教学建议1.关于集合的概念及空集集合是现代数学思想中的原始概念,是不定义概念,但可以描述.对于描述的集合初学者不易领会到位,可以分门别类地举一些实例说明.教材中对集合的描述是“所研究对象的全体”,它不但可以是数,也可以是方程、不等式,一定范围内的人或物也可作为元素.教材中对集合作了很粗略的分类:有限集与无限集.显然这是按集合内元素的个数分的类.用不同的标准显然有不同的分类.数学上常见的还有其他一些类别,如实数集R,自然数集N,不等式构成的集合,函数构成的集合,多边形(图形)构成的集合等等.其中空集是很重要的集合.在不同的集合中,空集就像自然数中的0,它既是有限集(无任何元素),又是任何集合的子集,要举例说明空集与一般集合的这种关系.2.关于集合中元素的特性集合中元素具有以下三个特性:确定性、互异性、无序性.其元素具备这样特征的一类对象的全体才叫集合.生活中模棱两可的表达不能作为集合的元素.如好人构成一个集合,难题构成一个集合,很大的数构成一个集合都是错误的,为此可结合例3及变式强调元素特征的应用. 相同元素在集合内只能出现一次(元素的互异性),但是算式作为元素的集合可以有{x+y,y+x},有序实数对(点)为元素的集合可以有{(1,2),(2,1)}等.因为这是不同的两个元素.备用习题1.下列所给对象不能构成集合的是( )A.平面内的所有点B.直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点C.清华大学附中高一年级全体女生D.所有高大的树解析:由于选项D 中的对象含糊不清,所谓“高大”没有明确的客观标准,也就难以判断某些对象是否属于这个范畴,因而不符合集合的确定性.故选D.答案:D2.含有三个实数的集合可以表示为{a,ab ,1},也可以表示为{a 2,a+b,0},则a 2006+b 2006的值为( )A.0B.1C.-1D.±1解析:由已知a≠0,得ab =0. ∴b=0.由集合相等,可知a 2=1,即a=±1.又由集合中元素的互异性,得a≠1.∴a=-1.∴a 2006+b 2006=1.∴选B.答案:B3.集合P={1,a},a 2是集合P 中的元素,则a 可取的值有________个.解析:因为a 2是集合P 中的元素,所以a 2=1或a 2=a,解得a=1或-1或0.又由元素互异性,知a≠1,∴a=-1或0,即a 可取的值有2个.答案:24.求集合{a,12 a }中a 的取值范围.解析:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠,12,1a a a 得a≠1且a≠-1且a≠2.。

人教版数学高一-必修一训练1.1.1.1集合的含义

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．考察下列每组对象，能构成一个集合的是()
①某校高一年级成绩优秀的同学；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2008年北京奥运会比赛金牌获得者．
A．③④B．②③④
C．②③D．②④
2．由a，a，b，b，a2，b2构成集合A，则集合A中的元素最多有()
A．6个B．5个
C．4个D．3个
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
4．已知集合A由x＜1的数构成，则有()
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知集合A由元素1和a2构成，实数a不能取的值的集合是________．
6．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中：x＝a＋b2(a，b∈Q)，则下列元素中不属于集合M的元素个数是______个．
①x＝0，②x＝2，③x＝3－22π，
④x＝1
3－22
，⑤x＝6－42＋6＋4 2.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．
8．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．
9．(10分)数集A满足条件：若a∈A，则1
1－a
∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．。

人教B版高中数学必修一1.1.1集合的概念.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 1.1 1.1.1一、选择题1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是() A．3.14B．－5C．37D．7[答案] D[解析]∵7是实数，但不是有理数，∴选D.2．集合A中的元素为全部小于1的数，则有()A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－3∉A [答案] C[解析]∵集合A中的元素为全部小于1的数，∴3∉A,1∉A,0∈A，－3∈A，故选C.3．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是()A．0 B．1 C．－1 D．0或1 [答案] B[解析]∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而10无意义，排除A、D，故选B.4．若集合A含有两个元素0,1，则()A．1∉A B．0∈A C．0∉A D．2∈A[答案] B[解析]∵集合A含有两个元素0,1，∴0∈A,1∈A，故选B.5．正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是()A．整数集合B．有理数集合C．自然数集合D．以上说法都不对[答案] D[解析]正整数集合与负整数集合合并在一起，由于不包括0，所以A、B、C都不对，故选D.6．给出以下关系式：①5∈R；②2.5∈Q；③0∈∅；④－3∉N.其中正确的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]①②④正确；③错，因为空集不含任何元素，故选C.二、填空题7．对于自然数集N，若a∈N，b∈N，则a＋b________N，ab________N.[答案]∈∈[解析]∵a∈N，b∈N，∴a，b是自然数，∴a＋b，ab也是自然数，∴a＋b∈N，ab∈N.8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.[答案]－1[解析]∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2＝x.∴x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴x＝－1.三、解答题9．若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断－6＋22是不是集合A中的元素．[解析]是．理由如下：因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝－2，b＝2，即可得到－6＋22，所以－6＋22是集合A中的元素.一、选择题1．下列命题中正确命题的个数为()①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]自然数集中最小的元素是0，故①、③不正确；对于②，若a＝0时，即0是自然数，－0仍为自然数，所以②也不正确，故选A.2．由a，a，b，b，a2，b2构成的集合M中元素的个数最多是()A．6 B．5C．4 D．3[答案] C[解析]由集合中元素的互异性可知，选C.3．已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所构成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M[答案] D[解析]当x，y，z的值都大于0时，代数式的值为4，∴4∈M，故选D.4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4C．4 D．0[答案] B[解析]∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a∉A，故a＝2或4.二、填空题5．已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为________．[答案]x≠±1，且x≠±2[解析]根据元素的互异性知x2≠1，且x2≠2，∴x≠±1，且x≠±2.6．若1－a1＋a∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为________．[答案]－1±2[解析]由题意，得1－a1＋a＝a，∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±2.三、解答题7．已知集合A中含有三个元素m－1,3m，m2－1，若－1∈A，求实数m的值．[解析]当m－1＝－1时，m＝0,3m＝0，m2－1＝－1，不满足集合中元素的互异性．当3m＝－1时，m＝－13，m－1＝－43，m2－1＝－89，符合题意．当m2－1＝－1时，m＝0，m－1＝－1,3m＝0，不满足集合中元素的互异性．综上可知实数m的值为－1 3.8．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.请回答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，则1－1a∈S；(3)在集合S中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．[解析](1)∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S.∵12∈S，12≠1，∴11－12＝2∈S.∴集合S中的另外两个数为－1和1 2.(2)∵a∈S，∴11－a∈S，∴11－11－a∈S，即1 1－11－a ＝1－a1－a－1＝1－1a∈S(a≠0)．若a＝0，则11－a＝1∈S，不合题意．∴a＝0∉S.∴若a∈S，则1－1a∈S.(3)集合S中的元素不能只有一个．证明如下：假设集合S中只有一个元素a，则根据题意，知a＝11－a，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解，所以a≠11－a.因此集合S不能只有一个元素．9．某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1,2,3，…，8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x号同学去，则8－x号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？(2)若有两个名额，则有多少种分派方法？[解析]本题实质是考查集合中元素的特性，只有一个名额等价于x＝8－x，有两个名额则为x和8－x.(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M，则有x∈M,8－x∈M.若只有一个名额，即M中只有一个元素，必须满足x＝8－x，故x＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M中有且仅有两个不同的元素x和8－x，从而全部含有两个元素的集合M应含有1,7或2,6或3,5.也就是有两个名额的分派方法有3种．。

人教b版高一数学必修一：1.1.1《集合的概念》学案(含答案)

第一章集合§1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念自主学习学习目标1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．自学导引1．元素与集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的________构成的集合(或集)．通常用____________________表示．(2)元素：构成集合的______________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用________________表示．2．集合中元素的特性：__________、__________.3．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说________________，记作________．(2)如果a 不是集合A 的元素，就说__________________，记作________．4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母______、________、________、________、________或________来表示．5．集合的分类集合⎩⎨⎧ 空集：不含任何元素，记作 .非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧ ：含有有限个元素：含有无限个元素对点讲练知识点一集合的概念例1 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数知识点二集合中元素的特性例2 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．知识点三元素与集合的关系例3 若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视.课时作业一、选择题1．下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的同学D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．33．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．24．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M二、填空题6．用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3.14______Q ； (3)13______Z ； (4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N . 7．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市； ④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．三、解答题9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，求P＋Q中元素的个数是多少？【探究驿站】11．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1．1.1集合的概念答案自学导引1．(1)确定的不同的全体英语大写字母(2)每个对象英语小写字母2．确定性互异性3．(1)a属于集合A a∈A(2)a不属于集合A a∉A4．R Q Z N N*N＋5．∅有限集无限集对点讲练例1 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．变式迁移1 D例2 解∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 变式迁移2 解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 只能取3.例3 解因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．变式迁移3 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A . 课时作业1．D 2.A3．C [验证，看每个选项是否符合元素的互异性．]4．D [由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．]5．D [分类讨论：x 、y 、z 中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0，0，－4，∴4∈M .]6．(1)∉ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈7．1解析当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；综上可知，A 中只有一个孤立元素5.8．①④⑤9．解若3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，则x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．若x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．解当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．11．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

人教B版高中数学必修一第一章1.1.1集合的概念之集合的含义及表示

(2) 大于 11且小于 29 的整数集B．
课堂小结
1．集合的定义; 2．集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法；
A．1 B．2 C．3 D．4
例4、已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}
只有一个元素，求a的值和这个元素．．
课堂练习
1.若M={1，3}，则下列表示方法
正确的是（C ）
A． 3M B．1 M
C． 1 M D． 1 M且 3 M
2．用符号表示下列集合，并写出其元素：
(1) 12的质因数集合A；
1.1.1集合的含义与表示
视察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12；（2）我校的篮球队员；（3）满足x－3＞2 的实数；（4）我国古代四大发明；（5）抛物线y=x2上的点．
1. 定义： 2. 集合的表示法：
3．集合中元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的．
如果a是集合A的元素，就说a
（1）列举法：
－例1．写出集合的元素，并用符号表示下列集合： ①方程x2 _ 9=0的解的集合； ②大于0且小于10的奇数的集合；
③不等式x－3＞2的解集； ④抛物线y=x2上的点集； ⑤方程x2+x +1=0的解集合. （2例3。若方程x2－5x+6=0和方程x2－ x－2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ）
属于集合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的．集合中的任何两个元素都可以交换位置．

数学人教B版必修1课后训练：1-1-1 集合的概念含解析

课后训练1．下列说法正确的是()A．空集中含有元素0B．某班中较漂亮的同学构成一个集合C．中国的四大“火炉”城市构成一个集合D．1，－1,3，－1,0构成的集合中含有五个元素2．已知集合A＝{a}，则下列各式正确的是()A．a∈A B．a A C．a＝A D．A＝3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0或2或34．有下列命题：①集合N中最小的正数是1；②若－a∈N，则a∈N；③x2－6x＋9＝0的解集中的元素为3,3；④由元素4,3,2与3,2,4构成的集合是同一集合．其中正确的个数为() A．0 B．1 C．2 D．35．已知集合A是无限集且集合A中的元素为12,22,32,42，…若m∈A，n∈A，则m n∈A．其中“”表示的运算可以是()A．加法B．减法C．乘法D．除法6．已知集合A中含有1和t2两个元素，则实数t满足的条件为__________．7．对于由元素2,4,6构成的集合，若a∈A，则(6－a)∈A．其中a的值是__________．8．若x为实数，由对象x，x2－x，x3－3x能组成一个集合吗？如果能组成集合，请说明理由；如果不能，请给出附加条件，使它们组成一个集合．9．方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A．(1)当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；(2)当A中至少有一个元素时，求a满足的条件．参考答案1.答案：C空集中没有元素，故选项A错误；某班中较漂亮的同学是不确定的，所以不能构成集合，故选项B错误；中国的四大“火炉”城市是确定的对象，所以能构成集合，故选项C正确；选项D要考虑元素的互异性，所以构成的集合中含有4个元素，故选项D错误．2.答案：A3.答案：B由题意，知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.经检验，当m＝0或m＝2时，不满足集合A中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上可知，m＝3.4.答案：C①④正确；②中若a取－1，有－a∈N，但a N，故②错误；③中方程的解为x1＝x2＝3，根据集合中元素的互异性知其解集中的元素只有3，故③错误．5.答案：C因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方，故选C.6.答案：t≠±1根据集合中元素的互异性，可知t2≠1，得t≠±1.7.答案：2或4当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0A.因此a的值为2或4.8.答案：解：由于x为实数，则x，x2－x，x3－3x这三个实数有可能相等，因此不满足集合中元素的互异性，所以它们不一定能组成集合．由x＝x2－x，得x＝0或x＝2；由x＝x3－3x，得x＝0或x＝±2；由x2－x＝x3－3x，得x＝0或x＝2或x＝－1，故只需增加条件x≠0且x≠－1且x≠－2且x≠2，由对象x，x2－x，x3－3x才能组成一个集合．9.答案：解：(1)A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．①当a＝0时，方程的根为12x=-；②当a≠0时，由∆＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程的两个相等的根为x1＝x2＝－1.综上，当a＝0时，集合A中的元素为12 -；当a＝1时，集合A中的元素为－1.(2)A中至少有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根或有两个相等实根或有一个实根．①当方程有两个不等实根时，a≠0，且∆＝4－4a＞0，∴a＜1且a≠0；②当方程有两个相等实根时，a≠0，且∆＝4－4a＝0，∴a＝1；③当方程有一个实根时，a＝0，∴2x＋1＝0，∴12x=-，符合题意．由①②③，得当A中至少有一个元素时，a满足的条件是a≤1.。

人教B版高中数学必修第一册课后习题第1章集合与常用逻辑用语 1.1.1 第2课时集合的表示

第2课时集合的表示课后训练巩固提升1.已知集合A={y|y=x+1,x∈R},集合B={(x,y)|y=x+1,x∈R,y∈R},则下列判断正确的是( )A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,4)∈BD.(3,4)∈A,且2∈B解析:集合A中的元素y是实数,不是点,故选项B,D错误;集合B中的元素(x,y)是点,而不是实数,2∈B错误,故A错误.故选C.答案:CA.0与{0}表示同一个集合B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}D.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示解析:A中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合;根据集合中元素的无序性可知B正确;根据集合元素的互异性可知C错误;D不能用列举法表示,原因是该集合有无数个元素,不能一一列举.答案:ACD3.已知集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N=x,则x0与N的关系是( )A.x0∈NB.x0∉NC.x0∈N或={x|x=2k+14,k∈Z},N={x|x=k+24,k∈Z}.因为2k+1(k∈Z)是一个奇数,k+2(k∈Z)是一个整数,所以若+n;当m,n中一个为正奇数,另一个为正偶数时,m⊗n=mn.则集合M={(a,b)|a⊗b=16,a∈N+,b∈N+}中元素的个数为( )A.22B.20C.17D.15解析:①当m,n都是正偶数时,(a,b)可以是(2,14),(4,12),(6,10),(8,8),(14,2),(12,4),(10,6),共7个;当m,n都是正奇数时,(a,b)可以是(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个;②当m,n中一个为正奇数,一个为正偶数时,(a,b)可以是(1,16),(16,1),共2个.所以集合M中元素的个数为17.答案:C5.已知非空数集A={x∈R|x2=a},则实数a的取值范围为.(用区间表示)解析:∵x∈R,∴a=x2≥0.∴a∈[0,+∞).答案:[0,+∞)6.若-5∈{x|x2-ax-5=0},则实数a的值为,集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为.解析:因为-5∈{x|x2-ax-5=0},所以a=-4,方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2. 故集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为2.答案:-4 27.设集合B={x∈N|62+x∈N}.(1)试判断元素1,2与集合B的关系;(2)用列举法表示集合B.解:(1)当x=1时,62+1=2∈N;当x=2时,62+2=32∉N,所以1∈B,2∉B.(2)由62+x∈N,x∈N,得x=0,1,4.故B={0,1,4}.8.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的所有可能取值构成的集合B.解:若a+2=1,则a=-1,代入集合A,得A={1,0,1},与集合中元素的互异性矛盾;若(a+1)2=1,则a=0或-2.当a=0时,A={2,1,3};当a=-2时,A={0,1,1},故a=0符合要求; 若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,由上可知,均不符合要求.综上可知,只有a=0符合要求,故B={0}.9.若集合A={x|=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z),令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b.由k∈Z,知a∈A,b∈B.故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b.。

高中数学必修1(人教B版)第一章集合1.1知识点总结含同步练习题及答案

描述：例题：描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章集合 1.1 集合与集合的表示一、学习任务1. 了解集合的含义，会使用符号“ ” 或 “ ” 表示元素与集合之间的关系．2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常数集、解集和一些基本图形的集合等．二、知识清单集合的概念集合中元素的性质元素和集合的关系空集的概念常见的数集及其记法集合的分类集合的表示法三、知识讲解1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．集合通常用英语大写字母，，，来表示，它们的元素通常用英语小写字母，，，来表示．2.集合中元素的性质集合中元素的性质包括：集合中元素的确定性给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合中，或者不在给定集合中，二者必居其一．集合中元素的互异性给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重复出现的．集合中元素的无序性∈∉A B C ⋯a b c ⋯判断下面的语句能否确定一个集合，能构成集合的，写出其中的元素．（1）小于的所有正偶数；（2）方程的实数解．解：（1）能构成集合，其中的元素有，，，；（2）能构成集合，其中的元素有，．10−1=0x 22468−11高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

答案：B答案：解析：2. 下列四个集合中，是空集的是 A ．B ．C ．D ．D对于，，所以是空集．(){x |x +3=3}{(x ,y )|=−,x ,y ∈R }y 2x 2{x |<x }x 2{x |−x +1=0}x 2−x +1=0x 2Δ<0{x |−x +1=0}x 2答案：3. 若集合，则中元素的个数是 A ．B ．C ．D ．B P ={0,1,2},Q ={(x ,y ){,x ,y ∈P }∣∣∣x −y +1>0x −y −2<0Q ()3579答案：解析：4. 定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为 A ．B ．C ．D ．D设为一对数组，则可为，，，，此时．即中有三个元素，，，其和为．A ⊙B ={z |z =xy (x +y ),x ∈A ,y ∈B }A ={0,1}B ={2,3}A ⊙B ()061218(x ,y )(x ,y )(0,2)(0,3)(1,2)(1,3)z =0,6,12A ⊙B 061218。

高中数学第一章集合 1.1.1 集合的概念同步练习(含解析)新人教B版必修1

1.1.1 集合的概念同步练习1．下列所给对象不能构成集合的是( )．A．平面内的所有点B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所有点C．清华大学附中高三年级全体学生D．所有高大的树2．下列语句中正确的个数是( )．①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含有6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是有限集；⑤某时刻地球上所有人的集合是无限集．A．0 B．1 C．2 D．33．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )．A．1 B．－2 C．6 D．24．给出以下关系式：①∈R，②2.5∈Q，③0∈∅，④N.其中正确的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．45．以实数x，－x|x|，－|x|，有( )．A．2个元素 B．7个元素C．4个元素 D．5个元素6．已知x，y，z是非零实数，代数式xyzx y zx y z xyz+++的值所组成的集合为M，则M中有________个元素．7．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________．8．用符号∈和∉填空．(1)设集合A是正整数的集合，则0________A A，(－1)0________A；(2)设集合B的所有实数的集合，则B,1________B；(3)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；(4)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)的集合，则－1________D，(－1,1)________D.9．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a，b，c∈R)，当a，b，c满足什么条件时，以实数解构成的集合分别为空集、含一个元素、含两个元素？10.数集M满足条件：若a∈M，则11aMa+∈-(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．参考答案1. 答案：D解析：“高大”一词标准不明确，不满足集合元素的确定性．2. 答案：A3. 答案：C解析：将各个值代入检验，A 中元素满足互异性．4. 答案：C解析：①②④正确．5. 答案：A解析：x =，x =-， x =-x =|，∴题目中的实数都可转化为x ，－x ，|x |，－|x |.当x ＝0时，构成的集合中有1个元素；x ≠0时，有2个元素．6. 答案：3解析：分x ，y ，z 中有一个为正，有两个为正，三个均为正，三个均为负，这四种情况讨论．7. 答案：2或4解析：当a ＝2时，6－a ＝4，符合题意；当a ＝4时，6－a ＝2，符合题意；当a ＝6时，6－a ＝0，不符题意．8. 答案：(1) ∉∉∈ (2) ∉∈ (3) ∉∈ (4) ∉∈解析：(1)0(－1)0＝1是正整数，依次应填∉，∉，∈；(2)∵=>2(1311+=+<，∴1+<∴依次应填∉，∈；(3)由于n 是正整数，∴n 2＋1≠3.而n ＝2时，n 2＋1＝5，∴依次应填∉，∈；(4)由于集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，而－1是数，所以1D -∉.又(－1)2＝1，所以依次应填∉，∈.9. 解：∵Δ＝b 2－4ac ，∴(1)当Δ<0，即b 2－4ac <0时，方程无实数解，此时以实数解构成的集合为空集．(2)当Δ＝0，即b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数解，此时解构成的集合含有一个元素．(3)当Δ>0，即b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数解，此时解构成的集合含有两个元素．10.解：∵a＝3∈M，∴1132113aMa++==-∈--，∴121123M -=-∈+，∴11131213M-=∈+，∴1123112M +=∈-，∴M中的元素有：3，－2，13-，12.。

人教B版数学必修一(讲义)：第1章1.1.1 集合的概念

1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1．元素与集合的相关概念2．元素与集合的关系及元素的特性(1)关系⎩⎨⎧ 属于：a 是集合A 的元素，记作a ∈A .读作“a 属于A ”.不属于：a 不是集合A 的元素，记作a ∉A .读作“a 不属于A ”.(2)特性⎩⎨⎧ 确定性：作为一个集合的元素必须是确定的.互异性：集合中元素一定是不同的.无序性：集合中的元素是不存在前后顺序的.思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？[提示] 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义是：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2：集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，如何理解这一性质？[提示] 一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的．3．集合的分类及常用数集(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧ 空集(∅)：不含任何元素的集合.非空集合⎩⎨⎧ 有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.(2)常用的数集：1．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－2 C.78 D.7D [选项A 、B 、C 中的数都是有理数，因此也是实数，选项D 中，7是无理数．]2．由“book ”中的字母构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [集合中任何两个元素都不相同，所以集合中的元素有3个，分别是b ，o ，k.]3．下列对象能构成集合的是()①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2018年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤莘县第一中学所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④D[由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．]4．用符号“∈”或“∉”填空：0__________∅，－12________Z，π __________Q，4________Q，|－4|________N*.∉∉∉∈∈[根据常见数集及其记法进行判断．]【例1】①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2019年第二届青运会的年轻运动员；⑥π的近似值的全体．[思路探究]判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．①③④[①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“π的近似值”未明确精确到什么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．]判断一组对象能否构成集合的方法(1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.1．考察下列每组对象，能构成一个集合的是()①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第48届世界体操锦标赛金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合．②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．]【例2】，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1[思路探究]首先明确字母R、Q、N、Z的意义，再判断所给的数与集合的关系是否正确．C[R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，3，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．]判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．(1)已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为()A．0B．1C．2D．3(2)设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M(1)D(2)B[(1)∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.(2)从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.][探究问题]1．“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？提示：两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．2．若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？提示：因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.【例3】若集合A中的三个元素分别是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求实数a的值．[思路探究]按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．[解](1)若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中的三个元素分别是－3，－1，－4，满足题意；(2)若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中的三个元素分别是－4，－3，－3，不满足题意；(3)若－3＝a2－4，则a＝±1.当a＝1时，集合A中的三个元素分别是－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a＝0或a＝1.(变条件)若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．[解]∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此时集合A中有三个元素－2,1，－3符合题意．故所求a的值为1.集合中元素的特征性质的应用策略(1)如果一个元素是集合中的元素，则可以和集合中的任何一个元素相等，因为集合中的元素是无序的.(2)含有字母的集合问题处理时先根据集合中元素的确定性列出方程求出字母的值，然后代入检验集合中的元素是否是互异的.3．若集合A中有且仅有三个数1,0，a，若a2∈A，求a的值．[解]若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，所以当a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知，a＝－1.1．本节课的重点是理解集合的含义及集合元素的三个特性，元素与集合的关系，难点是集合元素特性的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断一组对象能否构成集合的方法．(2)判断元素与集合关系的方法．(3)利用集合元素的特性求解参数问题．3．本节课的易混点是常用数集的字母表示，易错点是求解字母参数时易忽视利用集合元素互异性检验．1．思考辨析(1)高一数学课本中较难的题组成集合．( )(2)漂亮的花组成集合．( )(3)联合国常任理事国组成集合．( )(4)空集中只含有元素0，而无其余元素．( )[解析] (1)×.因为较难的题没有统一的标准，即元素不确定，不能组成集合．(2)×.因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．(3)√.因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．(4)×.空集不含任何元素，错误．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知集合A 中只有一个元素1，若|b |∈A ，则b 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0C [由题意可知|b |＝1，∴b ＝±1.]3．方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有__________个元素．1 [易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．]4．已知由1，x ，x 2三个实数构成一个集合，求x 应满足的条件．[解] 根据集合元素的互异性，得⎩⎨⎧ x ≠1，x 2≠1，x ≠x 2，解得x ≠±1，x ≠0.所以x 满足的范围是{x |x ∈R 且x ≠±1，x ≠0}．。

高中数学新人教B版必修一《1.1.1集合的含义与表示》同步练习

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章、集合与函数概念1.1.1 集合的含义与表示例1. 用符号∈和∉填空。

⑴ 设集合A 是正整数的集合，则0_______A ，2________A ，()01- ______A ； ⑵ 设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23______B ，1+2______B ；⑶ 设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度_____A ，英国____A例 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴ 某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵ 1，23，46，21-，21这些数组成的集合有五个元素； ⑶ 由a ，b ，c 组成的集合与b ，a ，c 组成的集合是同一个集合。

例3. 用列举法表示下列集合：⑴ 小于10的所有自然数组成的集合A ；⑵ 方程x 2= x 的所有实根组成的集合B ；⑶ 由1～20中的所有质数组成的集合C 。

例4. 用列举法和描述法表示方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集。

典型例题精析题型一集合中元素的确定性例 1. 下列各组对象：① 接近于0的数的全体；② 比较小的正整数全体；③ 平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④ 正三角形的全体；⑤ 2的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5题型二集合中元素的互异性与无序性例 2. 已知x 2∈{1，0，x }，求实数x 的值。

题型三元素与集合的关系问题1. 判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x ∣x =2k , k ∈Z}，B={x ∣x =2k + 1, k ∈Z}。

若a ∈A ，b ∈B ，试判断a + b 与A ，B 的关系。

3. 利用元素个数求参数取值问题例5. 已知集合A={ x ∣a x 2+ 2x + 1=0, a ∈R }，⑴ 若A 中只有一个元素，求a 的取值。

⑵ 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

人教新课标高中数学B版必修1《1.1.1 集合的概念》教学设计(表格式)

1.1.1 集合的概念一、教材分析1.知识来源：集合的概念选自人民教育出版社B版必修一第一章第一节集合与集合的表示方法的第一小节.2.知识背景：作为现代数学基础的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究.通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力.3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的.二、学情分析1.学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过度知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度.再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理.因此本节授课方法就显得十分重要.2.学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力.对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣.三、教学目标：1、知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.（2）初步了解“属于”、“不属于”关系的意义.（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义.2、过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合之间的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确的理解集合.（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己思考举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）.3、情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力.初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.四、教学重难点重点：使学生了解集合的含义以及具体的表示方法.难点：区别较多的新概念和相应的新符号.五、课时分配：集合的学习约为6课时1、集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念 1课时1.1.2集合的表示方法 1课时1、2集合之间的关系和运算1.2.1集合之间的关系 1课时1.2.2集合的运算 2课时小结与复习 1课时六、教学建议集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，是学生理解集合的含义.学习集合语言最好的方法是运用，在教学中要创设学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，Venn图有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言.七、教学过程。

高中数学必修1人教b版课后习题答案

人教B 版高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页） 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B ． 4．解：显然{2,4,6}UB =，{1,3,6,7}UA =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4_______R ；（5Z ；（6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数；（4R 是实数；（5Z3=是个整数；（6）2N ∈ 25=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求AB ，AC ，()A B C ，()A B C ． 7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ，S A ．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}SA x x =是梯形．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()RA B ，()RA B ，()R A B，()R A B ．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}RA x x x =<≥或，{|2,10}RB x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}RA B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得UB A ⊆，即()U UA B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}UB =，而()UU B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+；（2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；O离开家的距离时间（A ） O离开家的距离时间（B ） O离开家的距离时间（C ） O离开家的距离时间（D ）图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素604．设相对应B 中的元素是什么？与B 中的元素22相对应的A 中元素是什么？的4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45．1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-；（2）2()f x x =；（3）26()32f x x x =-+；（4）4()1x f x x -=-．1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()()f x x g x x ==；（3）326(),()f x x g x x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+．3．解：（1）义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩；（2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+，得22100(0)d x x x =+>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)l d d =+>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24v x t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ．10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+；（2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=；（4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--；（2）29y x =-.1．解：（1）5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；函数在（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间；（2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，AC ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}UA B =，(){2,4}U A B =，求集合B .3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得由25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

人教B版数学高一版必修1课后导练1.1.1集合的概念

课后导练基础达标1.下列语句能确定一个集合的是( )A.实验中学高一·一班高个子同学的全体B.实验中学高一·一班身高最高的三位同学C.我国的小河流D.3、x 、x 2三个实数解析:A 、C 所指标准不明确,D 中若x=1时,违背集合元素的互异性,故选B.答案:B2.若a ∈R ,但a ∉Q ,则a 可以是( )A.3.14B.-5C.73 D.7 答案:D3.给出下列关系式:3∈R ,0.5∉Q ,2∈N *.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:3∈R 与2∈N *正确.答案:C4.由实数x,-x,|x|,2x x 2,33x -所组成的集合中,最多含有元素的个数为( )A.2B.3C.4D.5解析:2x =|x|,33x -=-x,而|x|与x 和-x 两者中的一个相等,故最多含2个元素.答案:A5.设a 、b 都是非零实数,则y=||a a +||b b +||ab ab 可能取的值组成的集合中的元素为( ) A.3 B.3,2,1 C.3,1,-1 D.3,-1解析:分⎩⎨⎧>>0,b 0,a ⎩⎨⎧<>0,b 0,a ⎩⎨⎧><0,b 0,a ⎩⎨⎧<<0b 0,a 四种情况讨论. 答案:D6.用“∈”或“∉”符号填空. (1)372_______Q ; (2)32_______N ; (3)π_______Q ; (4)2_______R ; (5)9_______Z ; (6)(5)2_______N .答案:(1)∈ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈7.设A 是所有亚洲国家组成的集合,B 为所有亚洲国家的首都组成的集合,请用符号“∈”或“∉”填空：(1)台湾________A; (2)台湾________B; (3)印度________A; (4)堪培拉________B. 答案:(1)∉ (2)∉ (3)∈ (4)∉8.若x ∈N ,则{5,x,x 2-4x}中的元素x 必须满足什么条件?解析:满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠-≠,4,54,522x x x x x x故x≠5且x≠0.∴x ∈N *且x≠5.9.已知集合A={a|ma 2+3a+1=0}只含一个元素,求m 的值.解析:若m=0,则a=31-,符合题意. 若m≠0,则Δ=0,得m=49. ∴m 的值为0或49. 10若-3∈{a-3,2a-1,a 2-4},求实数a 的值.解析:(1)当a-3=-3时,a=0,集合为{-3,-1,-4},符合题意;(2)当2a-1=-3时,a=-1,集合为{-4,-3,-3},根据集合的互异性原则,a=-1不符合题意;(3)当a 2-4=-3时,a 2=1,a=±1,当a=1时,集合为{-2,1,-3},此时成立.故a 的实数值应为0或1.综合运用11.下列命题中,正确的个数是( )①集合N 中最小的正数是1 ②-a ∉N ,则a ∉N ③x 2-6x+9=0的解集中含有2个元素A.0B.1C.2D.3解析:①正确;②③错误:②中,若-a=-2∉N ,但a=2∈N ,③中只有一个元素x=3.答案:B12.已知集合S 中的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:由题意知a≠b≠c,故选D.答案:D13.设集合A 含有三个元素2,4,6,若a ∈A,则6-a ∈A,那么a 的值是_________.答案:2或414.设M 是由平行四边形的全体组成的集合,若a 是矩形,b 是梯形,则a__________M,b__________M.答案:∈ ∉15.已知集合A={x|x<6且x ∈N },B={小于10的质数},C={24和36的正公因数},设A 、B 、C 的元素个数分别是a 、b 、c.求:(1)a+b+c;(2){y|y ∈A,且y ∈C};(3){y|y ∈B,且y ∉C}.解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},B={2,3,5,7},C={1,2,3,4,6,12}.(1)a=6,b=4,c=6.故a+b+c=16.(2)∵y ∈A 且y ∈C,∴y=1,2,3,4,即{y|y ∈A 且y ∈C}={1,2,3,4}.(3)∵y ∈B 且y ∉C,∴y=5,7,即{y|y ∈B 且y ∉C}={5,7}.拓展探究16.集合A={x ∈R |x=a+3b,a 、b ∈Z },判断下列元素x 与集合A 的关系:(1)x=0; (2)x=352-; (3)x=321-; (4)x 1∈A,x 2∈A,x=x 1+x 2;(5)x 1∈A,x 2∈A,x=x 1x 2.解析:(1)0∈A.(2)由352-=352-·(35+)=35+∉A. (3)由321-=2+3∈A. (4)由x 1∈A,x 2∈A 不妨设x 1=m 1+3n 1,x 2=m 2+3n 2且m 1,m 2、n 1、n 2∈Z .∴x=x 1+x 2=(m 1+m 2)+3(n 1+n 2)∈A.(5)同(4)易得x=x 1x 2∈A.。