2019高考经典【备考高考】2019数学热点难点名师精讲专题13+导数法巧解单调性问题含答案

考纲要求:
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).
基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性
证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0'
()f x ≥≤（2）用导数求函数的单调区间
求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增
D '
()f x '
()f x ()<P D P （减）区间。

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数()f x '
()f x ⇒()f x 一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数()f x '()f x ⇒()f x （3）单调性的应用（已知函数单调性）
一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥()f x ()f x ⇒'
()f x ()≤0
【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号）'()f x ，最后求二者的交集，把它写成区间。

②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。

'
()f x ③求函数的单调增（减）区间，要解不等式＞0，此处不能带上等号。

'
()f x ()<④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。

应用举例:
类型一、判断或证明函数的单调性
】设函数.
）讨论的单调性；
）设，当时，，求的取值范围
(2)
'
②当时，在单调递增，
③当时，
当时，；当时，；
在单调递增，在单调递减；
，有，
令，有
时，单调递增．
∴，即．
，即时，在单调递增，
，不等式
②当时，有一个解，设为
单调递减；当时，单调递增，有，∴当时，
综上所述，的取值范围是．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，
①讨论函数的单调性；
②当时，求证：
求出，设切点为
，可得，利用导数可得的最大值，从而可得结果；（）①求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得增区间，求得
，只需证明，而
，所以成立
）当时，
∴，
①（i）当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数；
）当时，在区间上是增函数；
）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数
②证明：当时，，要证明，只需证明
而，所以成立
【点睛】
求斜率,即求该点处的导数；己知斜率求切点即解方程；
出切点利用
类型二、求函数的单调区间
N，≥2，且R
）当，时，求函数
）当时，令，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围；
）当时，试求函数的零点个数，并证明你的结论．
）；（
）依题意得，，，
．
令，得；令，得
在上单调递减，在上单调递增．
）由题意知：．
则，
令，得，
2
则
由，得
，
，即函数
所以，故的取值范围是
，∴f
又∵，
∴，
f(x)(0,x0)
根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点．
）若函数在上是减函数，求实数的取值范围
(0,2a
）6；（2）单调递减区间是
，解得.
的定义域为.
①当时，的单调递增区间为；
②当时，.
'(x),f(x)
当变化时，的变化情况如下:
(2a)
），于是
g(x)
因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立
g(x)
又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立
于是有，设，则，所以有
，，
当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，
即实数的取值范围是
.
[
16)
类型三、已知函数的单调性求参数的范围
】已知函数.
）若函数
在定义域
内单调递增，求实数的取值范围；）对于任意的正实数，且
，求证：
(1)
;(2)）依题意，导数
对于任意m ≤2，则，故实数由于目标不等式
中两个字母与可以轮换，则不妨设.欲证目标不等式
⇐3(1‒u)2(1+u)+lnu >0又因为
，则
方法、规律归纳:
1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2、求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
实战演练:
1．【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A． f（x）在（0，2）单调递增 B． f（x）在（0，2）单调递减
C． y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D． y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
【答案】C
【点睛】
f(x)(a,b)f'(x)>0(f'(x)<0)f(x)
（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反f(x)(a,b)f'(x)≥0(f'(x)≤0)
之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
的图像关于直线
对称；若对称．
．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ B ． C )(103,+∞)，
，，令，解得，
g'(x )<0递减，在递增，
实数的取值范围为间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间
上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是
区间上都是减函数，则实数（
B C D
4
，则在
轴在有交点，通过分析整
轴在有交点，
其在
】当时，
(x)<f(x)
上不是单调函数，则实数的取值范围是
即
，则，
x +1=t,t ∈(3,4)m =2t +2
t =g (t )
2x
】设函数，其中
y=f(x)y=g(x)f(x)min≥0f(x)max≤0
可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
f(x)=ax‒1 10．【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知函数，
g(x)=e x
G(x)=f(x)·g(x)G(x)
(Ⅰ)设函数，讨论函数的单调性；
a∈[1,1+e]f(x)≤g(x)+x‒1
（Ⅱ）求证：当时，
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
f(x)≤g(x)+x‒1(a‒1)x≤e x F(x)=e x‒(a‒1)x
（Ⅱ）要证，即证，令，
a=1F(x)=e x>0(a‒1)x≤e x
当时，，∴成立；
1<a≤1+e F'(x)=e x‒(a‒1)=e x‒e ln(a‒1)
当时，，
x<ln(a‒1)F'(x)<0x>ln(a‒1)F'(x)>0
当时，；当时，，
F(x)(‒∞,ln(a‒1))(ln(a‒1),+∞)
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
F(x)≥F(ln(a‒1))=e ln(a‒1)‒(a‒1)ln(a‒1)=(a‒1)[1‒ln(a‒1)]
∴．
时，函数有两个零点
）求函数的单调区间；
(2) .
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所以当时，在上恒成立．x>1 f k'(x)>0(1 ， +∞)
当n=k+1时，，
f k+1(x)=f k(f(x))=f k(x2‒x+1)
所以f k+1'(x)=(2x‒1)f'
k
(x2‒x+1)
又当时，，，
x>1 2x‒1>0x2‒x+1>1
所以在上恒成立，
f'k(x2‒x+1)>0(1 ， +∞)
所以在上恒成立，
f k+1'(x)=(2x‒1)f'k(x2‒x+1)>0(1 ， +∞)
所以在上为增函数．
f k+1(x)(1 ， +∞)
由①②得证，对于任意，在上均为增函数．
n∈N∗f n(x)(1 ， +∞)
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及数学归纳的证明问题，其中认真审题，掌握函数的导函数与原函数的关系，以及数学归纳法的步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
，单调递增区间为.。