陕西省2011届高三年级第二次四校联考数学试题文科

陕西省2011届高三年级第二次四校联考数学试题（文）命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中本试卷分必考题和选考题两部分，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈N ||x|≤2}，则A∩B = （ ） A ．{1,2,3,4} B ．{-2, -1,0,1,2,3,4} C ．{1,2} D ．{2,3,4} 2．已知sinx= 35，则sin2x 的值为（ ）A ．1225B ．±1225C ．2425D ．2425±3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b”的逆命题是真命题 B ．命题“∃x∈R，x 2-x ＞0”的否定是“∀x∈R，x 2-x≤0” C ．命题“p ∨q”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87, ,则此数列前20项的和等于（ ）A ．290B ．300C ．580D5．如图给出的是计算1＋13＋15＋……＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（ ）A ．n ＝n ＋2，i ＝15B ．n ＝n ＋2，i ＞15C ．n ＝n ＋1，i ＝15D ．n ＝n ＋1，i ＞156．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为P 点的坐标， 则点P 在圆x 2＋y 2＝25内的概率为 （ ）A ．12B ．512C ．722D 7．如图所示，点P 是函数y=2sin(ωx+ϕ)(x ∈R, ω>0)图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM →•PN →=0，则ω=（ ）A ．8B ．π8C ．π4D ．π28．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9+a 10a 7+a 8=（ ）A ．1+ 2B ．1- 2C ．3+2 2D ．3-229．设m,n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥αB ．若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂αC ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，α⊥β则m ⊥β10．已知变量x,y 満足⎩⎪⎨⎪⎧2x -y≤0x -2y ＋3≥0x≥0，则z ＝log 2(x ＋y ＋5)的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．3D ．211．已知函数2log )(,log )(,2)(22-=+=+=x x h x x x g x x f x 的零点依次为c b a 、、，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<12．若函数34)()(2+-='x x x f x f 的导函数，则使得函数)1(+x f 单调递减的一个充分不必要条件为∈x （ ）A ．（0,1）B ．[0,2]C ．（1,3）D ．（2,4）第Ⅱ卷 （非选择题：共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于________．14．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为 ___________．15．函数y=x 2(x>0)的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，1a =16，则=++531a a a ___________． 16．给出下列命题：①ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件； ②不等式051≤+-x x 的解集为{}5|-<x x ；③已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x -3y ＋1＝0的两侧，则3b -2a ＞1；④方程8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的图象的一条对称轴的方程； 其中正确的命题的序号是__________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上）．1A 1B 1C 1D ABCDE 1A A三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝x 2－2ax －1在区间(-∞，3]上单调递减；命题q ：函数2ln(1)y x ax =++的定义域是R ．如果命题q p 或为真命题，q p 且为假命题，求a 的取值范围． 18．(本题满分1 2分)已知在公比为实数的等比数列{}n a 中，6543,4,,4a a a a +=且成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n =na n ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中， AC=CD= 12AB=1，AB →•AC →=1，3sin 5BCD ∠=．（1）求BC 边的长； （2）求四边形ABCD 的面积．20．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD - 与它的侧视图（或称左视图）， E 是1DD 上一点，C B AE 1⊥．（1）求证CD B AE 1平面⊥； （2）求三棱锥ACD E -的体积． 21．（本小题满分12分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性和极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.选做题：请考生在第22，23，24三题中任选一道题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．(本题满分10分) 4—1(几何证明选讲)如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC=90o．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E 点D 是BC 边的中点．连OD 交圆0于点M（1）求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； （2）求证：2DE 2=DM •AC+DM •ABDACB23．(本题满分l0分) 4—4(坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极方程为sin()42πρθ+=．圆O 的参数方程为cos 2sin x r y r θθ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数，0r >） （1）求圆心的极坐标；（2）当r 为何值时，圆O 上的点到直线Z 的最大距离为3． 24．(本题满分10分) 4—5(不等式选讲)设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．2011届高三年级第二次四校联考数学试题答案(文科)一．CDBBB DCCDC AA二．13． 5 14．(2+2)a 2 15．21 16．①③④三．17．解：P 为真命题⇔a≥3 ………………………………………3分 q 为真命题⇔Δ=a 2-4<0恒成立⇔-2<a<2 ………………………6 由题意p 和q 有且只有一个是真命题 …………………………7分p 真q 假⇔⎩⎨⎧a≥3a≤-2或a≥2⇔a≥3 …………………………9分p 假q 真⇔⎩⎨⎧ a<3-2<a<2⇔-2<a<2 …………………………11分综上所说：a 的范围是(-2,2)∪[3,+∞) ……………………………12分 18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意可得645)4(2a a a +=+，即3244)44(2q q q +=+ …………………2分整理得：0)2)(1(2=-+q q1,2,1==∴∈a q R q …………………………………………………4分 {}12-=∴n n n a a 的通项公式数列 ……………………………………………6分（2）由（1）知12-=n n a ，∴12 n n b n -=⨯21122322n n S n -=+⨯+⨯++⨯ ① 2312122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②②-①得：2312(12222)(1)21n n nn S n n -=⋅-+++++=-+∴(1)21n n S n =-⋅+ *()n N ∈ …………………………12分19．解：（1）∵AC=CD=12AB=1∴||||cos 2cos 1AB AC AB AC BAC BAC ⋅=⨯⨯∠=∠=∴cos ∠BAC=12，∴060BAC ∠=…………………………………………3分在ABC ∆中，由余弦定理，有：2222cos 3BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=∴BC =． …………………………………………6分（2）由（Ⅰ）知：ABC ∆中，有：222AB BC AC =+即 ABC ∆为Rt ABC ∆，090ACB ∠= 12ABC S == ………8分又 090BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=+∠而3sin 5BCD ∠=，3cos 5ACD ∠= 从而 sin ∠ACD=1-cos 2∠ACD=4514211255ACD S ∴=⨯⨯⨯= ………………………………………………11分S ABCD =S ΔABC +S ΔACD =32+25 = 4+5310． …………………………………12分 20．解：⑴因为1111D C B A ABCD -是正四棱柱，所以11A ADD CD 平面⊥… 2分11A ADD AE 平面⊂，所以AE CD ⊥……3分又因为C B AE 1⊥，C C B CD =1 ，所以CD B AE 1平面⊥ …………5分 ⑵连接D A 1，因为CD B AE 1平面⊥，所以 C B AE 1⊥ ……………6分 所以D A AE 1⊥所以ADE ∆∽AD A 1∆ ……8分所以ADAA DE AD 1= …………9分 1422=⨯=DE …………10分 因为1111D C B A ABCD -是正四棱柱，所以DE 是三棱锥ACD E -的高……11分 所以三棱锥ACD E -的体积322131=⨯⨯⨯⨯=-DE CD AD V ACD E ……12分． 21．解：（1） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，()0f x '<，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，()0f x '>，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f ………………………………4分（2） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴min ()1f x = 1ln ()xg x x-'=………………………………6分 当e x <<0时，，()0g x '>,()g x 在],0(e 上单调递增 ∴max 11()()2g x g e e ==< ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+ ………8分 （3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x=-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值 .………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. …………12分22．解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ……………………………………… …1分又的中点是BC DBD DE =∴ ………………………………………2分又OD OD OB OE ==∴,ODB ODE ∆∆∴≌ …………………………………………4分 090=∠=∠∴OED OBD …………………………………5分 B O E D ,,,∴四点共圆． ………………………………………6分 （2）延长DO 交圆于点HOH DM DO DM OH DO DM DH DM DE ⋅+⋅=+⋅=⋅=)(2 ……… 8分)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴ ………………………………9分AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴22 ………………………………10分23．解：（1）圆心坐标为)22,22(--………………………………1分 设圆心的极坐标为),(θρ则1)22()22(22=-+-=ρ ……………………2分 所以圆心的极坐标为)45,1(π ………………………………4分（2）直线l 的极坐标方程为22)cos 22sin 22(=+θθρ ∴直线l 的普通方程为01=-+y x ………………………………6分∴圆上的点到直线l 的距离2|1sin 22cos 22|-+-+-=θθr r d即2|1)4sin(22|-++-=πθr d ………………………………7分∴圆上的点到直线l 的最大距离为32122=++r ……………………………9分∴224-=r ……………………………10分 24. 解：（1）设|1||7|)(-++=x x x f ，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=1,6217,87,26)(x x x x x x f ------ 1分当7-<x 时)(x f 有最小值8 ------ 2分 当17≤≤-x 时)(x f 有最小值8 ----- 3分 当1>x 时)(x f 有最小值8 ----- 4分 综上)(x f 有最小值8 ----- 5分 所以8≤m ------6分 （2）当m 取最大值时8=m 原不等式等价于：42|3|≤--x x ----- 7分等价于：⎩⎨⎧≤--≥4233x x x 或⎩⎨⎧≤--<4233x x x ----- 8分等价于：3≥x 或331<≤-x -------- 9分 所以原不等式的解集为}31|{-≥x x ------ 10分。