北京市崇文区2004年高三第一次模拟考试数学试卷 (文史类)

北京市崇文区2004年高三第一次模拟考试数学试卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共40分）参考公式：三角函数的积化和差公式s i n c o s [s i n ()s i n ()]cos cos [cos()cos()]cos sin [sin()sin()]sin sin [cos()cos()]αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=++-=+--=-+--12121212一. 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若x R ∈，则函数y x =+cos()π2A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既不是奇函数，也不是偶函数D. 有无奇偶性不能确定（2）若x ∈()01，时，则下列结论中正确的是（ ） A. 212xx x >>lgB. 212xx x >>lgC.x x x122>>lgD. lg x x x >>122（3）下列不等式中成立的是（ ）A B C tg tg D ctg ctg .sin()sin().cos()cos().()().()()->-->-->-->-ππππππππ56565656（4）直线l 1与l 2互相平行的一个充分条件是（ ） A. l l 12，都平行于同一平面 B. l l 12，与同一平面所成的角相等 C. l 1平行l 2所在的平面D. l l 12，都垂直于同一平面（5）平面内有一固定线段AB ，||AB =4，动点P 满足||||PA PB -=3，O 为AB 中点，则||OP 的最小值为（ ） A. 3B. 2C.32D. 1（6）6本不同的图书全部分给2个学生，每个学生最多4本，则不同的分法种数为（ ） A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 （7）无穷等比数列{}a n 的首项a 13=，前n 项和为S n 且S S 3687=，则lim n n S →∞等于（ ）A. 2B. -2C. 6D. -6（8）设函数y f x =()的图象与函数y x =-21的图象关于直线y x =对称，则函数|()|f x 的单调递增区间为（ ） A. （-∞+∞，）B. （-1，+∞）C.[0，+∞）D. （-1，0）第II 卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）复数13-i 的共轭复数的平方是_______________。

（10）已知两点P P 121223()()--，、，，点P （x ，1）分PP 12→所成的比为λ，则λ=_________，x =___________。

（11）圆锥的侧面展开图的周长为2，则这个圆锥的侧面积的最大值为__________。

（12）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （024≤≤t ，单位：小时）的函数，记作y f t =()。

下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y f t =()的曲线可近似地看成是函数y A t b =+cos ω，根据以上数据，函数的解析式为_______________。

（13）设全集为R ，若集合A x x x =-+<{|}2320，集合B x x x =++<-{|log log ()}121211，则B =__________，A B ___________（14）已知二次函数f x x x p ()=-+-231，若在区间（0，1）内存在一个实数c ，使f c ()=0，则实数P 的取值范围是____________。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，其右焦点到直线x y -+=220的距离为3。

（I ）求椭圆的方程； （II ）直线y x =+331与椭圆交于P 、N 两点，求|PN|。

（16）（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足422722sin cos A C B +-= （I ）求角B 的度数； （II ）如果b a c =+=33，且a c >，求a 、c 的值。

（17）（本小题满分13分）已知等差数列{a n }中，a S n 38=，是其前n 项的和且S 20610= （I ）求数列{a n }的通项公式。

（II ）若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n 。

（18）（本小题满分15分）如图，已知正四棱柱ABCD A B C D -1111的底面边长为3，侧棱长为4，连结A B 1，过A 作AF A B ⊥1，垂足为F ，且AF 的延长线交B B 1于E 。

（I ）求证：D B 1⊥平面AEC（II ）求三棱锥B AEC -的体积（III ）求二面角B AE C --的正切值。

（19）（本小题满分13分）某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量f n ()（万件）与月份n 的近似关系为f n n n n n N n ()()()()=+-∈≤1150135212， （I ）求2005年第n 个月的需求量g(n)（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件。

（II ）如果将该商品每月都投放市场P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件？ （20）（本小题满分15分）已知函数f x x x x x ()()=-+--222322（其中x ≥1且x ≠2） （I ）求函数f(x)的反函数f x -1()（II ）设g x f x x ()()=++-131，求函数g(x)最小值及相应的x 值； （III ）若不等式()()()11-⋅>--x fx m m x 对于区间[]1412，上的每一个x 值都成立，求实数m的取值范围。

【参考答案】一. 选择题（1）A （2）A （3）D （4）D（5）C（6）B （7）A（8）C二. 填空题：（9）-+223i （10）1425；- （11）14（12）y t =+1261cos π（13）{|}x x ≤1；{|}x x x ≤≥12或 （14）（1，3）三. 解答题：（15）解：（I ）由题意设椭圆方程为x a y ba b 222210+=>>()，b =1，又设右焦点F （c ，0）， 则||c +=2223，解得c =2 ∴=a 3∴椭圆方程为x y 2231+= 6分（II ）设直线与椭圆的交点为P （x y 11，）、N （x y 22，），则y x x y =++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪3313122，解方程组得x y 1101==⎧⎨⎩或x y 2230=-=⎧⎨⎩ ∴直线与椭圆的交点为P （0，1），N （-3，0） ∴=-+-=+=||()()()PN x x y y 1221222231212分（16）解：（I ）在∆ABC 中，A B C ++=︒180由422722sincos A C B +-= 得41221722⋅-+-+=cos()cos A C B ……3分所以44102cos cos B B -+= 于是cos B B ==︒1260，……6分（II ）根据余弦定理有b a c a B 2222=+-cos 又b a c =+=33，所以3222=+--()cos a c ac ac B 得ac =2……10分又a c ac a c +==>⎧⎨⎪⎩⎪32解得a c ==21，……12分（17）解（I ）设数列{}a n 的公差为d ，则a a d 312=+， a a d 318821=∴=-，()又S a a a d 201201202610219612=+=∴+=()()由（1）（2）得a d 123==，∴数列{}a n 的通项公式a n n N n =-∈31()7分（II ） T a a a a n n =++++2482…=⨯-+⨯-++⨯-=++++-=⋅---=⋅--+()()()()()321341321322223221213261231……n n n n nnn∴数列{}b n 的前n 项和T n n N n n =⋅--∈+3261() 13分（18）证：（I ） ABCD A B C D -1111是正四棱柱 ∴⊥D D 1平面ABCD连AC ，又底面ABCD 是正方形 ∴⊥AC BD由三垂线定理知，D B AC 1⊥ 同理，D B AE AE AC A 1⊥=， ∴⊥D B 1平面AEC……5分（II ）V V B AEC E ABC --=EB ⊥平面ABC∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离 Rt ABE Rt A AB ∆∆~1∴==EB AB A A 2194∴==⋅=⨯⨯⨯⨯--V V S EB B AEC E ABC ABC 1313123394∆=278……10分（III ）连CFCB ⊥平面A B BA 11，又BF AE ⊥由三垂线定理知，CF AE ⊥于是，∠BFC 为二面角B AE C --的平面角在Rt ABE ∆中，BF BA BE AE =⋅=95 在Rt CBF ∆中，tg BFC ∠=53∴∠=BFC arctg 53即二面角B AE C --的正切角为53……15分（19）解：（I ）由题意知，()g f 11115012331125==⨯⨯⨯=() 当n ≥2时，g n f n f n ()()()=--1=+-----=+----=-1150135211501352111501352137212512n n n n n n n n n n n n n ()()()[()][()()()()]() 又125112111251⨯⨯-==()()g ∴=-∈≤g n n n n N n ()()()1251212， ……5分 由1251214n n ().->得n n 212350-+< ∴<<57n ，又n N n ∈∴=，6 即6月份的需求量超过1.4万件……7分（II ）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P （万件）应满足Pn f n ≥()即Pn n n n ≥+-11501352()() ∴≥+-=---P n n n n 115013521753323522()()() n N ∈，当n =8时，11501352()()n n +-的最大值为1.14万件 即P 至少为1.14万件……12分（20）解：（I ）f x x x x x x x x x ()[()()()()]()=--+-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪≥≠1212111222且01111113≤-+<-+≠x x x x 且 ∴函数f x x x x x ()=-+--⎛⎝ ⎫⎭⎪222322的值域为[)()019191，，由f x x x ()=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪112，得fx xx -=+-111()因此，函数y f x =()的反函数fx x xx -=+-∈111019191()[)()，，……6分（II ）g x x x x xx ()()=-+++=++++≥+1132111221当且仅当211+=+xx即x =-322时，g(x)有最小值221+……10分（III ）由()()()11-⋅>--x fx m m x得12+>-x m m x设x t =，则ϕ()()()t m t m =++-11根据题意，对区间[]1222，中的一切t 值，ϕ()t >0恒成立则ϕϕ()()120220>>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪得()()()[()]m m m m +-<+-+<⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪132011220∴-<<-<<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-<<1321122132m m m 即实数m 的取值范围是m ∈-()132， ……15分。