2011春离散数学语音答疑提纲上(全书读书要点)
离散数学重点难点
第一篇数理逻辑用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。
这里所指的数学方法，就是引进一套严格定义的符号体系的方法，即建立一套形式语言，来研究形式逻辑。
所以数理逻辑又称作符号逻辑，它是从量的侧面来研究思维规律的。
现代数理逻辑可分为逻辑演算，证明论，模型论，递归函数论，公理化集合论。
这里介绍的是数理逻辑基本的内容：逻辑演算中的命题逻辑和谓词逻辑。
数理逻辑与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切联系。
第一章命题逻辑(11学时)本章是以“命题”为中心，主要讨论：命题的表示、命题的演算；命题演算中的公式，及其应用；命题逻辑推理的方法。
本章要求1.逻辑联结词，要熟练掌握联结词的真值表定义以及它们在自然语言中的含义。
其中特别要注意“∨”和“→”的用法。
2.会命题符号化。
3.掌握永真式的证明方法：(1).真值表。
(2).等价变换，化简成Ｔ。
(3).主析取范式。
4.掌握永真蕴含式的证明方法，熟练记忆并会应用43页中表1-8.3中的永真蕴含式。
5.掌握等价公式的证明方法，熟练记忆并会应用43页表1-8.4中的等价公式。
6.熟练掌握范式的写法及其应用。
7.熟练掌握三种推理方法。
本章主要内容本章主要有以下章节：第一节．命题及其表示法第二节．联结词第三节．命题公式及命题符号化第四节．重言式与重言蕴含式第五节．等价公式第六节．范式第七节．命题逻辑推理本章重点、难点联结词在自然语言中的含义，命题符号化永真式、永真蕴含式、等价公式的证明方法，相关公式的熟练应用范式的写法及其应用命题逻辑的三种推理方法第二章谓词逻辑(9学时) 在第一章命题逻辑中，把命题作为演算的基本单位，一个原子命题只用一个字母表示，而不再对命题中的句子成分及其内部结构进行分析。
这样就无法研究命题的更深层次的结构与意义，鉴于上述局限性，使得我们对于一些常见而又简单的命题无法进行解释与推理。
所以就要考虑解决这个问题的方法：在表示命题时，既表示出主语（主词），也表示出谓语（谓词），就可以解决上述问题。
2019春季学期离散数学语音答疑提纲下(全书考试内容).docx
2019春季学期《离散数学》语音答疑提纲(下)本次语音答疑分两步完成。
第一，回答全书各部分问题。
第二，指出全书考试范围，并给出例题，加以分析。
一． 2019春季学期期末考题在参考书中内容的分配:集合论部分（共 40分）集合的基本概念及运算 (第三章， 2 选择题 ;共 4 分).关系及函数 (第四章， 4选择题 -2关系， 2函数 ;1综合 .共20分).群论 (第九章， 2题单选 ;1综合 .共16分).图论部分（共 30分）图,图-树关系 (第五，七章， 8选择题 -图 2，图 -树关系 6;1综合 .共30分).逻辑学部分（共 30分）逻辑学 (第一，二章， 8选择题（ 7题命题逻辑） ;1综合 .共 30分).二.参考书第五版各章节考试范围内的知识点及例题第三章集合的基本概念和运算1.集合的基本概念要求掌握：集合与元素的关系—属于或不属于；（***）集合与集合间的关系—子集与集合叫包含，相互包含叫相等；子集为集合的元素时也叫属于关系。
例题 1: 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，则有 2 ∈A[非];单项选择题：例题 2: A,B，C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ] A． A；B． B；C． C；D．。
例题 3：设集合 A ={1， {2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ] A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C． 5∈A；D． {2}A。
例题 4: 设集合 A ={1， {2}，a，4，3}，则有 2 （） A。
此题为填空题 ,把 2 与集合 A 的关系填在 () 内.***** 请比较例题 1， 3， 4，那个最容易；那个最难！ *****2.集合的基本运算重点掌握：,并运算的”或”,交运算的”且”字的意义 .五大基本运算定义的表达式。
例如例题： N, Z+分别是自然数集合 ,正整数集合 ,则[ C ] A． N=Z+ +{0}B．N=Z+ + 0C．N=Z+∪{0}D． N=Z+.∪ 0 .(第四章关系及函数1.关系的基本概念重点掌握：关系的定义，关系来自有序对，有序对来自集合的笛卡儿积；A 到B 的二元关系以及 A 上的二元关系的条件；2.关系的五大性质及其判断—难点在于传递性的判断。
离散数学大纲
离散数学教学大纲第一部分大纲说明一.课程的性质与任务《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机计算机科学与技术一级学科及其相关专业必修的基础理论的核心课程。
它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。
该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此《离散数学》充分描述了计算机学科离散性的特点。
它是一门理论性较强，应用性较广的课程。
掌握集合论、数理逻辑、图论、整数、群、环、域、格、布尔代数以及语言与有限自动机等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。
并通过这些知识的学习进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机相关的理论研究与应用提供必要的描述工具和理论基础。
二《离散数学》的特点作为计算机科学与技术一级学科的一门课程，《离散数学》有与其他课程相同相似的地方，当然也有它自身的特点：1、义与定理多。
《离散数学》是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理与性质。
2、法性强。
《离散数学》的许多证明题中，方法性是非常强的，如果知道题的证明方法，很容易就可以证出来，反之则事倍功半。
所以在学习该课程中要善于总结，勤于思考，这也是培养分析问题解决问题抽象思维能力的一个过程。
三与其他相关课程的关系先修课程：高等数学（包括数学分析、线性代数）后续课程：数据结构、数据库、编译原理等四课程的主要内容与基本要求本课程分为九部分：集合论基础、命题逻辑、谓词逻辑、图与网络、数论基础、群与环、多项式与有限域、格与布尔代数以及语言和有限自动机。
（一）集合论基础：在整个《离散数学》的知识体系中，集合论处于基础的地位，对于其所包含知识的掌握程度，直接关系到是否能学好图论和抽象代数问题。
本章主要讲述集合、关系和映射。
1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。
一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。
二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。
1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。
四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。
五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。
1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。
离散数学期末复习总要
离散数学期末复习总要离散数学期末复习各个章节要点纲要（及定理）离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。
1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1 设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2 设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C); （4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
《离散数学》答疑库
《离散数学》答疑库1、什么是计算学科？答：计算学科（Computing Science）即我们所熟悉的计算机科学与技术(Computer Science and Technology)。
计算学科是对描述和变换信息的算法过程，包括其理论、分析、设计、效率分析、实现和应用等进行的系统研究的一门学科。
它涉及计算过程的分析如可计算性、算法，研究有关计算机的各种现象、揭示其规律与本质如计算机的设计和使用、可计算性硬件和软件的实际实现问题。
计算学科的基本问题是能行与效率的问题,即它的核心问题是“能行”问题(Practicability)：1)、什么是（实际）可计算的？什么是（实际）不可计算的？2)、如何保证计算的自动性、有效性及正确性？2、计算科学是一门什么样的学科？是计算机科学是科学还是工程学科?答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。
但如何认识这门学科，它究竟属于理科还是工科，属于科学还是属于工程的范畴，这是困扰国内外计算机科学界很长时间且争论不休的问题。
计算学科诞生于20世纪40年代初，它的理论基础可以说在这之前就已经建立起来了。
正是电子数字计算机的问世才这一门学科的在发展。
世人一般公认1946年2月14日研制成功的ENIAC（电子数字积分器和计算器，Electronic Numerical Integrator and Calculator）是世界上第一台通用电子数字计算机（事实上，早在1943年，英国数学家图灵领导制造出了一台名叫“巨人”（Colossus）的电子计算机，它专门用于译码。
由于英国政府的保密制度，故人们对它的成就了解甚少。
）。
美国的普渡大学于1962年开设了最早的计算机科学学位课程。
在计算机产生之初及随后的一、二十年时间里，计算机主要用于数值计算。
大多数科学家认为使用计算机仅为编程问题，不需作任何深刻的科学思考，计算机从本质上说是一种职业而一门学科。
2013春季学期离散数学语音答疑提纲下(全书考试内容)
2013春季学期《离散数学》语音答疑提纲(下)本次语音答疑分两步完成。
第一，回答全书各部分问题。
第二，指出全书考试范围，并给出例题，加以分析。
一．2013春期末考题在参考书中内容的分配:集合论(第三章，3选择题;共 6 分).关系及函数(第四章，4选择-2关系，2函数;1综合.共20分).群论(第五，六章，2题单选;1综合.共16分).图,图-树关系(第七，九章，9是非题-图2，图-树关系7;1综合.共30分).逻辑学(第一，二章，8填空题（7题命题逻辑）;1综合.共 28分).二.各章节考试范围内的知识点及例题第一章集合的基本概念和运算1.集合的基本概念要求掌握：集合与元素的关系—属于或不属于；（***）集合与集合间的关系—子集与集合叫包含，相互包含叫相等；子集为集合的元素时也叫属于关系。
例题1: 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，则有 2 ∈A [ 非 ];例题2: A,B，C 为任意集合，则他们的共同子集是 [ D ]A．A；B．B；C．C；D．Ø。
例题3：单项选择题设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是 [ B ]A．2 ∈A； B．1 ∈ A； C．5 ∈A； D．{2} A。
2.集合的基本运算重点掌握：五大基本运算定义的表达式。
例如,并运算的”或”,交运算的”且”字的意义.例题：N, Z+分别是自然数集合,正整数集合,则[ C ]A．N=Z+ +{0} B．N=Z+ + 0 C．N=Z+∪{0} D．N=Z+.∪0 .第二章关系及函数1.关系的基本概念重点掌握：关系的定义，关系来自有序对，有序对来自集合的笛卡儿积；A 到B 的二元关系以及 A 上的二元关系的条件；2.关系的五大性质及其判断—难点在于传递性的判断。
重点掌握：五大性质的判别方式；当然，难点在于传递性的判断。
量变引起质变的示例：等价关系—同时具备自反、对称、传递性质；等价类，商集与划分的对应性。
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
《离散数学》辅导纲要
《离散数学》辅导纲要第一章 命题逻辑一. 主要内容1. 命题公式及其真值表。
2. 命题演算的基本等价式和蕴含式。
3. 命题公式的范式。
4. 推理理论。
二. 重点掌握1. 能正确的画出给定命题公式的真值表，并能判断其类型(重言式、矛盾式、可满足式)。
2. 能将给定的一个命题进行符号化。
3. 证明两个命题公式等价。
4. 运用基本等价式化简命题公式。
5. 会用等价演算法和真值表法求一个命题公式的各种范式(析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式)。
6. 运用推理理论证明蕴含式。
三. 典型题举例例1. 证明等价式：()()()Q R P Q R Q P →∨=→∧→。
证明：()()()()Q R Q P Q R Q P ∨⌝∧∨⌝=→∧→()()Q R P Q R P ∨∨⌝=∨⌝∧⌝=()Q R P →∨=例2．用推理规则证明：()()()()S R S R B A B A P P D C D C ∨⇒∨→⌝∧⌝∧→⌝⌝→∨∨ , , , 证明：(1) D C ∨ P(2) ()P D C ⌝→∨ P(3) P ⌝ T (1)(2)I(4) ()B A P ⌝∧→⌝ P(5) B A ⌝∧ T (3)(4)I(6) ()()S R B A ∨→⌝∧ P(7) S R ∨ T (5)(6)I例3．证明等价式：()()()()CQ P A C Q P A C A Q P →↔∧=∨∨→∧→∧∧证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()CQ P A CQ P Q P A CQ P Q P A CQ P Q P A C Q P Q P A CQ P A Q P A C Q P A C Q P A C Q P A C A Q P C Q P A C A Q P →↔∧=→⌝∧⌝∨∧∧=→∨∧⌝∨⌝⌝∧=→∨∧⌝∨⌝∨⌝⌝=∨∨∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨∧∧⌝=∨∨→∧→∧∧例4．用推理规则证明：()C B E D A E D C B A ∨⇒∨→∨∨→ , ,证明：(1) () C B A ∨→ P(2) A E D →∨ P(3) C B E D ∨→∨ T (1)(2)I(4) E D ∨ P(5) C B ∨ T (3)(4)I例5．用推理规则证明：()()S Q S R Q P P →⇒∧→→ , 。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点大纲复习以课本和笔记为主.文中标红为需重点掌握的,祝大家都能取得好成绩第1章命题逻辑复习要点1．理解命题概念,会判别语句是不是命题．理解五个基本联结词：否定P、析取、合取、条件、和双条件及其真值表,理解其他联结词的定义及基本等价式,会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一,语句是陈述句；其二,语句有唯一确定的真假意义.2．理解公式的概念公式、赋值、成真指派和成假指派和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念,掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法,其二是等价演算法.3．了解公式等价概念,掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念,熟练掌握它们的求法真值表法和等价推导法．命题公式的范式不惟一,但主范式是惟一的．命题公式A有n个命题变元,A的主析取范式有k个小项,有m个大项,则于是有1 A是永真式k=2n m=0；2 A是永假式m＝2n k=0；5．了解C是前提集合{A1,A2,…,A m}的有效结论或由A1, A2, …, A m逻辑地推出C的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式,掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词,真值表,主析取合取范式,命题演算的推理理论.第2章谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域,会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词,个体词可以是具体事物或抽象的概念,分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词,存在量词.命题符号化注意：使用全称量词,特性谓词后用；使用存在量词,特性谓词后用．2．了解原子公式、谓词公式、变元约束变元和自由变元与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时,才是命题．在谓词公式xA或xA中,x是指导变元,A是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D个体域上谓词公式A的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下,谓词公式A取真值1,A为逻辑有效式永真式；公式A取真值0,A 为永假式；至少有一个解释使公式A取真值1,A称为可满足式．在有限个体域下,消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n },则会求谓词公式的真值,量词的辖域,自由变元、约束变元,以及换名规则、代入规则等．掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．理解前束范式的概念,掌握求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211,那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式,其中Q 1,Q 2,…,Q k 只能是或,而x 1, x 2, …, x k 是个体变元,B 是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式．重点：翻译；前束范式．第3章 集合与关系复习要点1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分． 掌握集合包含子集、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合,集合与子集,子集与幂集,与,空集与所有集合等的关系. 空集,是惟一的,它是任何集合的子集．集合A 的幂集PA ＝}{A x x ⊆, A 的所有子集构成的集合．若A ＝n ,则PA =2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并AB ,交AB ,补集AA 补集总相对于一个全集.差集A －B ,对称差,AB ＝A －BB －A ,或AB ＝AB －AB 等运算．掌握集合运算律运算的性质.3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：1要证明A ＝B ,只需证明AB ,又AB ；2通过运算律进行等式推导．4．了解有序对和笛卡尔积的概念,掌握笛卡尔积的运算．有序对就是有顺序二元组,如<x , y >,x , y 的位置是确定的,不能随意放置． 注意：有序对<a ,b ><b , a >,以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a }；有序对a , a 有意义,而集合{a , a }是单元素集合,应记作{a }．集合A ,B 的笛卡尔积A ×B 是一个集合,规定A ×B ＝{<x ,y >xA ,yB },是有序对的集合.笛卡尔积也可以多个集合合成,A 1×A 2×…×A n ．5．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图,掌握关系的集合运算及复合关系、逆关系的性质与求法． 二元关系是一个有序对集合,},{B y A x y x R ∈∧∈><=,记作xRy ．设A 、B 是两个集合,且|A|＝m,|B|＝n,则从A 到B 可产生的不同的二元关系个数为nm 2.关系的表示方法有三种：集合表示法,关系矩阵：RA ×B,R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图：R 是集合上的二元关系,若<a i , b j >R ,由结点a i 画有向弧到b j 构成的图形．空关系是唯一、是任何关系的子集的关系； 全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡； 恒等关系},{A a a a I A ∈><=,恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差． 复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><== ；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=按逻辑运算； 有结合律：R S T ＝R S T ,一般不可交换． 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1； 复合关系与逆关系存在：R S －1=S －1 R －1．6．理解关系的性质自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示,掌握其判别方法利用定义、矩阵或图,充分条件,知道关系闭包自反,对称,传递的定义和求法．注：1关系性质的充分必要条件：① R 是自反的I A R ；②R 是反自反的I A R ＝；③R 是对称的 R ＝R －1；④R 是反对称的RR －1I A ；⑤R 是传递的R RR .(2)I A 具有自反性,对称性、反对称性和传递性．E A 具有自反性,对称性和传递性．具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．重点：集合的运算,笛卡尔积,关系的性质,复合关系和逆关系,关系的闭包.第4章 函数复习要点1．理解函数概念：函数映射,函数相等,复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念,掌握其判别方法．设f 是集合A 到B 的二元关系,aA ,存在惟一bB ,使得<a , b >f ,且Dom f =A ,f 是一个函数映射．函数是一种特殊的关系设A 、B 是两个集合,且|A|＝m,|B|＝n,则从A 到B 可产生的不同的函数关系个数为m n ．集合A ×B 的任何子集都是关系,但不一定是函数．函数要求对于定义域A 中每一个元素a ,B 中有且仅有一个元素与a 对应,而关系没有这个限制．二函数相等是指：定义域相同,对应关系相同,且定义域内的每个元素的对应值都相同．函数有：单射——若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射——fA =B 或,,A x B y ∈∃∈∀使得y =fx ；双射——单射且满射．复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则 即))(()(x f g x f g = ．复合成立的条件：)(Dom )(Ran g f ⊆．一般g f f g ≠,但f g h f g h )()(=.反函数——若f ：AB 是双射,则有反函数f －1：BA , },)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-,f f g f f g ==-----11111)(,)(重点：函数.第5章 代数结构复习要点1．掌握代数系统中运算及其性质自反,对称,传递,等幂,会判断某代数系统具有哪种性质.2. 掌握半群,独异点,群,阿贝尔群,循环群的概念及判定方法.半群：封闭+可结合.独异点：封闭+可结合+有幺元.群：封闭+可结合+有幺元+每个元素有逆元.阿贝尔群：群+可交换.循环群：群+有生成元.3. 掌握同态与同构的概念,理解同态的相关性质,并熟练掌握同态与同构的证明方法.重点：代数系统的运算性质,群与循环群的证明方法,同构与同态的证明方法.第7章 图的基本概念复习要点1．理解图的概念：结点、边、有向图,无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理．图是一个有序对<V ,E >,V 是结点集,E 是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图,有向边与有向图,混合图,零图,平凡图、自回路环,无向平行边,有向平行边等概念．简单图,不含平行边和环自回路的图、在无向图中,与结点vV 关联的边数为结点度数deg v ；在有向图中,以vV 为终点的边的条数为入度deg －v ,以vV 为起点的边的条数为出度deg ＋v ,deg v =deg +v +deg －v ．无向完全图K n 及其边数)1(21-=n n E ；有向完全图及其边数)1(-=n n E ． 了解子图、真子图、补图的概念． 知道图的同构概念,更应知道图同构的必要条件,用其判断图不同构.重要定理：1 握手定理 设G =<V ,E >,有∑∈=V v E v 2)deg(；2 在有向图D ＝<V , E >中,∑∑∈+∈-=Vv V v v v )(deg )(deg ；3 奇数度结点的个数为偶数个．2．了解路与回路概念．会求路和回路的长度．了解无向图的连通性,会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G＝<V,E>,结点与边的交替序列为路．路中边的数目就是路的长度．起点和终点重合的路为回路．边不重复的路是迹；结点不重复的路是通路.无向图G中,结点u, v存在通路,u, v是连通的,G中任意结点u, v连通,G是连通图．PG表示图G连通分支的个数．要知道：强连通−−→−必是弱连通,反之不成立．−必是单侧连通−−→3．掌握邻接矩阵,可达矩阵和距离矩阵的概念,掌握其构造方法及其应用．4．理解欧拉通路回路、欧拉图的概念,掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G的每条边一次且仅一次的路回路是欧拉路回路．存在欧拉回路的图是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复．笔不离开纸,不重复地走完所有的边,走过所有结点,就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理1 无向连通图G是欧拉图G为连通图且G不含奇数度结点即G的所有结点为偶数度；2 非平凡图G含有欧拉路G为连通图且G最多有两个奇数度的结点；3 连通有向图D含有有向欧拉回路D中每个结点的入度＝出度．4 连通有向图D含有有向欧拉路D中除两个结点外,其余每个结点的入度＝出度,且此两点满足一个结点的入度比出度大1,另一个结点的出度比入度大1．5．了解汉密尔顿路回路、汉密尔顿图的概念,会做简单判断．通过连通图G的每个结点一次,且仅一次的路回路,是汉密尔顿路回路．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.汉密尔顿图的充分条件和必要条件1 在无向简单图G=<V,E>中,V3,任意不同结点V)deg(deg(,,则G是汉∈),vuGvu≥+密尔顿图．充分条件2 有向完全图D＝<V,E>, 若3V,则图D是汉密尔顿图. 充分条件≥3 设无向图G=<V,E>,任意V1V,则WG－V1V1必要条件若此条件不满足,即存在V1V,使得PG－V>V1,则G一定不是汉密尔顿图非汉密尔顿图的充分条件．6．了解树、树叶、生成树和最小生成树等概念,掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件等价定义．注意：1 树T是连通图；2树T满足m＝n－1即边数=顶点数-1．图G的生成子图是树,该树就是生成树．每边指定一正数,称为权,每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权,记作WT．最小生成树是带权最小的生成树．7．了解有向树、根树等概念．有向图删去边的方向为树,该图为有向树．对非平凡有向树,恰有一个结点的入度为0该结点为树根,其余结点的入度为1,该树为根树．有关树的求法：1生成树的破圈法和避圈法求法；2最小生成树的克鲁斯克尔求法；重点：图的概念,握手定理,路、回路以及图的矩阵表示,欧拉图和哈密顿图的基本概念及判别,树与根树的基本概念,最小生成树的求法．。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲集合论一、基本概念集合(set)：做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
规定集合的三种方式：列举法、描述法、归纳法集合论的三大基本原理外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）概括公理：对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）正规公理：不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）注意：隶属、包含的判断（有时两者兼有）定理1：对于任意集合A和B，A=B当且仅当A ? B且B ? A传递性，对全集、空集的?关系等定理5：空集是唯一的子集、真子集、子集个数等运算：并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式幂集：对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为：ρ(A)={x|x?A}，所有子集的集合设A,B为任意集合，A A B当且仅当ρ(A) ?ρ(B)集合族：如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族集合族的标志集：如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集广义并、广义交，及相关运算性质、公式归纳定义：基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象例：自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）二、关系有序组（二元）：设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为称a为的第一分量，b为第二分量递归定义：n=2时，={{a1},{a1,a2}}n>2时，=<< a1,…,an-1>, an>集合的笛卡儿积：对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：A1×A2 = { | u∈A1,v∈A2}A1×A2×…×An =(A1×A2×…×An-1) ×An定理：对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|一些运算性质关系是各个对象之间的联系和对应R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。
2019春季学期离散数学语音答疑提纲下
2019春季学期《离散数学》语音答疑提纲(下)本次语音答疑分两步完成。
第一，回答全书各部分问题。
第二，指出全书考试范围，并给出例题，加以分析。
一．2019春季学期期末考题在参考书中内容的分配:集合论部分（共40分）集合的基本概念及运算(第三章，2 选择题;共 4 分).关系及函数(第四章，4选择题-2关系，2函数;1综合.共20分).群论(第九章，2题单选;1综合.共16分).图论部分（共30分）图,图-树关系(第五，七章，8选择题-图2，图-树关系6;1综合.共30分).逻辑学部分（共30分）逻辑学(第一，二章，8选择题（7题命题逻辑）;1综合.共30分).二.参考书第五版各章节考试范围内的知识点及例题第三章集合的基本概念和运算1.集合的基本概念要求掌握：集合与元素的关系—属于或不属于；（***）集合与集合间的关系—子集与集合叫包含，相互包含叫相等；子集为集合的元素时也叫属于关系。
例题1: 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，则有 2 ∈A [ 非];单项选择题：例题2: A,B，C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ] A．A；B．B；C．C；D．。
例题3：设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ] A．2 ∈A；B．1 ∈A；C．5 ∈A；D．{2} A。
例题4: 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，则有 2 （）A。
此题为填空题,把2 与集合A 的关系填在( ) 内.***** 请比较例题1，3，4，那个最容易；那个最难！*****2.集合的基本运算重点掌握：五大基本运算定义的表达式。
例如,并运算的”或”,交运算的”且”字的意义.例题：N, Z+分别是自然数集合,正整数集合,则[ C ] A．N=Z+ +{0} B．N=Z+ + 0 C．N=Z+∪{0} D．N=Z+.∪0 .(第四章关系及函数1.关系的基本概念重点掌握：关系的定义，关系来自有序对，有序对来自集合的笛卡儿积；A 到B 的二元关系以及A 上的二元关系的条件；2.关系的五大性质及其判断—难点在于传递性的判断。
2016春离散数学语音答疑提纲上(全书读书要点)
2016 春《离散数学》语音答疑提纲(上)第一次答疑在 3 月 31 号，时间较早，就是说，同学们还没有来得及看全书及听完课件。
本次语音答疑分析全书学习要点。
全书共分三部分：第一部分包括以下三章：集合的基本概念和运算（参考书第三章）。
二元关系（参考书第四章）。
群论初步（参考书第九章）。
第二部分包括以下两章：图的基本概念（参考书第五章）。
树（参考书第七章）。
第三部分包括以下两章：命题逻辑(参考书第一章).一阶逻辑(参考书第二章).对于全书各章,都要用例题形式分析,以便大家理解所要求掌握的概念.第二次语音答疑在 5 月 19 号。
拟以期末考试为目标，分析并解答所有问题。
总的精神是：以《2016春离散数学教学指导》为线索，把该《指导》以例题形式加以概括。
还要参照《2016春期末复习大纲》形式与内容，以掌握本学期学习要求和考试的全部内容。
首先，要求大家通过看书，听课件，做作业了解如下概念。
在读和听的过程中，遇到难懂问题，可以参考我的《专题讨论》一至十八。
第一部分集合论部分第一章集合的基本概念和运算本章中，特别注意以下几个专题讨论：《专题讨论一》是听课件应注意点。
请各位同学听课件之前，务必认真一读；《专题讨论二》为第三章学习内容及学习方法；《专题讨论三》综合分析了集合的特殊运算，给大家一个整体概念。
不详之处，请细读各个章节有关部分。
1.集合的基本概念.必须懂得集合的定义,因为集合定义带有任意性.所谓任意性,是说把什麼划在某集合内,要根据研究问题的需要.在理解集合定义的基础上，只要弄懂一个问题，即元素与集合的关系:属于或不属于.本章其余问题，例如：集合与集合的关系，子集与母集合，幂集合定义，全集合定义，等等，都要用元素与集合的关系来解释。
2.集合的基本运算.要求掌握集合运算定义的表达式的意义.例如:”并”运算的”或”;”交”运算的”且”等的意义.第二章二元关系(简称关系)和函数本章注意《专题讨论四》二元关系一章学习内容及方法。
离散数学复习提纲
一、数理逻辑（第1章、第2章）·命题定义、联结词（与、或、非、单条件、双条件）·命题公式、真值、真值表、符号化·谓词、量词（全称、存在）、谓词公式·一阶逻辑符号化（所有的。
是。
，、和有些。
是。
特性谓词）·谓词公式求真值（在某种解释下）·命题公式的等值（等价）演算（十大定律）·命题公式的主范式·谓词公式的前束范式·命题逻辑应用·命题逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP）·谓词逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP，UI，EI,UG,EG）····························二、集合论（第3章）·集合的定义与表示方法（解析法、枚举法、文氏图法）·集合间的相互关系（定义，符号：⊆⊂ =）·集合的运算定义与图示（⋂⋃ - ~⊕⨯ P / ）——入集条件·集合定律（十大定律）·集合恒等式的证明法一：直接利用定律及已证等式法二：利用集合相等的定义（①左⊆右∧右⊆左②x∈左⇔ x∈右）·集合的元素计数与应用（包容排斥原理）·································三、关系论（第4章）·二元关系的定义及其表示（解析法、集合法、图示法、矩阵法）·关系的运算（集合的所有运算+左复合、求逆、求闭包）·关系的性质（定义、关系图特点、矩阵的特点、证明）·等价关系（定义、等价类、上集、划分）·偏序关系与偏序集（定义、哈斯图）·全序集（线序集、定义、最元、极元、界元、确界）·································四、函数论（第4章）·定义（唯一性）·A到B的函数（唯一性、良定性）·特殊函数（常、恒等、单增、单减、特征、自然映射）·BA的计数·函数的性质（单、满、双，判断）·函数的复合（左复合）·反函数（只有双设才有）·······························五、代数系统（第5章、第6章）·二元运算（定义，封闭性）、运算表·各种定律（交换、结合、幂等、分配、吸收、消去、幺元、零元、逆元）·代数系统、子代数、积代数（定义、特殊元素、代数常数）·同态与同构（同态等式、证明）·半群、独异点·群、子群、阿贝尔群、生成子群、元素的阶（周期）、循环群（定义与证明）·环、含幺环、零因子、无零因子环、整环、除环与域·格（两种定义）、分配格、有界格、布尔格（判断）·······························六、图论（第7张、第8张、第9张）·无向图、有向图、零图、平凡图、完全图、子图、生成子图、补图·第一握手定理、度数序列·通路、回路、简单。
离散数学重点难点复习提纲
第一部分数理逻辑第一章命题逻辑重点：●熟练掌握联结词的定义；●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：1.直接证法2.反证法3.CP规则难点：●如何正确地掌握对语言的翻译；●如何利用推理方法正确的完成命题推理。
第二章谓词逻辑重点：●谓词、量词、个体域的概念；●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●熟记基本的谓词等价公式；●求公式的前束范式；●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论第三章集合与关系重点：●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；●幂集的概念以及和子集的关系；●序偶和笛卡尔积的概念；●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；●关系的复合；●关系的五种性质及其判断和证明；●关系的闭包；●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；●偏序关系的定义和证明，哈斯图；●偏序关系中的特殊元素；难点：●如何正确证明集合之间包含和相等关系；●如何正确地理解和判断关系的性质；●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。
第四章函数重点：●能够判定某个二元关系是否是函数；●几种特殊的函数：满射，单射，双射；难点：●如何正确地判断三种特殊函数。
第三部分代数结构重点：●理解代数结构的构成和研究方法；●代数结构中运算的性质以及特殊元素；●广群⇒半群⇒独异点⇒群；●群的定义与性质；●环与域的判断和证明；●格的两种定义；●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；●有补分配格与布尔代数之间的联系；难点：●循环群的判断和证明；●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系和区别；●如何正确理解布尔代数的概念。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结（仅供参考）1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤：首先应是陈述句；其次要有唯一的真值。
例：（1）我正在说谎。
不是命题。
因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。
这其实是一个语义上的悖论。
悖论不是命题（2）x-y ＞2。
不是命题。
因为x, y的值不确定，某些x, y使x−y＞2为真，某些x, y使x−y＞2为假，即x−y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。
因此x−y＞2的真假无法确定，所以x−y＞2不是命题。
2.命题可以分为两种类型：原子命题（不能再分解为更简单命题，又可称为简单命题）；复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题）3.命题常元：一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元命题变元：如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元注：当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派4.联接词：（1）否定联接词：﹁假为真，真为假；还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并不”等多种方式表示否定（2）合取联接词：∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方式表达合取（3）析取联接词：∨一个为真就为真；一般用或表示注：联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。
但自然语言中的“或”既可以是“排斥或”也可以是“可兼或”。
例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。
（排斥或）例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。
（可兼或）例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。
（既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结词，故例1.8是原子命题。
离散数学第一章知识点 总结
原子命题(原子命题)：不能分解成更简单的命题的命题。
复合命题：由若干个原子命题用命题联结词、标点符号联结起来的命题。
命题标识符：用字母p 、q 、r 、s 、p 1、…来表示命题，这些字母称为命题标识符。
1. 否定 符号：┑P 是命题， ┑ P 读作“非P”。
2 合取 符号：∧， p ∧q 读作“p 且q”，“p 合取q”。
3 析取 符号：∨ p ∨ q 读作“p 或q”，“p 析取q”。
4 蕴含 符号： → ， p → q 读作“p 蕴含q”，“如果P 则q”，“当p ，则q”，“p 是q 的充分条件”。
运算联结词的优先级： ┓ 最高；∧,∨, 其次；→， 最低.命题公式的赋值指派（赋值）：命题公式中出现n 个不同的命题变项P 1 P n ，对这n 个命题给定一组真值指定称为这个公式的一个指派或赋值或解释。
若一个公式中出现n 个不同的命题变项，每个变项分别可以取成1、0，那么该公式共有个2n 不同的指派。
命题公式的类型永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假可满足式： 如公式不是矛盾式就是可满足式，即至少存在一个赋值使公式为真常见的等值式（记住）1) 双重否定律 ： ┑( ┑A)⇔A2) 幂等律: A ∨A ⇔ A, A ∧ A ⇔ A3) 交换律: A ∨B ⇔ B ∨A,4) 结合律: (A ∨B)∨C ⇔A ∨(B ∨C)，5) 分配律： A ∨(B ∧C) ⇔(A ∨B)∧(A ∨C)A ∧(B ∨C) ⇔(A ∧ B)∨(A ∧ C)6)德.摩根律: ┑(A ∨ B) ⇔ ┑A ∧┑B,⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧永真式仅可满足式可满足式矛盾式公式┑(A ∧B) ⇔┑A∨┑B7) 吸收律: A ∧(A ∨B) ⇔ A, A∨(A∧B) ⇔ A8) 零律: A ∨1⇔ 1 , A ∧0⇔09) 同一律： A ∨0⇔ A, A ∧1⇔ A10) 排中律： A ∨┑A ⇔ 111) 否定律： A ∧┑A ⇔012) 蕴含等值式：A→B ⇔ ¬A∨B13) 等价等值式：A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14) 假言易位：A→B ⇔┑B →┑A15) 等价否定等值式：A↔B ⇔ ¬A → ¬B16) 归缪论: (A→B) ∧( A →¬B) ⇔┑A1.5 对偶式与范式一对偶式定义在仅含有联结词⌝, ∨，∧，的命令题公式A中，将∨换成∧，将∧换成∨，同时T和F（既0和1）互相替代，所得公式A*称为A的对偶式。
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2011春《离散数学》语音答疑提纲(上)第一次答疑在 3月 16 号，回答第一部分包括以下三章疑难问题：集合的基本概念和运算（参考书第三章）。
二元关系（参考书第四章）。
群论初步（参考书第五、六章）。
然后，以例题形式，指出图论部分，逻辑学部分的学习要点，因为此时同学们还来不及看书，听课件到全书完结，所以，只能给你们指出学习重点。
总的精神是：以《2011春教学指导》为线索，把该《指导》以例题形式加以概括。
第二次答疑在 5月18号。
拟就《期末复习大纲》为线索，分析本学期考试内容。
为使同学思路开阔，问题深入，按照以下每章列出的要点，当语音答嶷时间开始后，每章提出 3 至 5 个典型问题，启发学生思考，回答。
到第二学时，把提出的所有问题，加以分析，并解答。
第一部分集合论部分第一章集合的基本概念和运算1.集合的基本概念.必须懂得集合的定义,因为集合定义带有任意性.所谓任意性,是说把什麼划在某集合内,要根据研究问题的需要.在理解集合定义的基础上，只要弄懂一个问题，即元素与集合的关系:属于或不属于.例如，请判断以下问题：集合 A={1,3,{2},1,Z}.试问：-2∈A，2∈A，及｛2｝ A 正确吗？这里,-2 及 2 都不属于 A 而分别属于整数集合 Z 及{2}.而{2}包含于 A 也不对,因为集合{2}的元素 2 不在集合 A 中.2.集合的基本运算.要求掌握集合运算定义的表达式的意义.例如:”并”运算的”或”;”交”运算的”且”等的意义.例题1:A=某班教室内桌子的集合;B=某班教室内凳子的集合;C=A∪B, 试问:集合 C 的元素是什么? D=A∩B,D 的元素是何?例题2:正整数集合及自然数集合分别为Z+,N,而 N = Z+ + 0 对吗 ?本章中，特别注意以下两个问题：一是听课件应注意点，请留心论坛中的专题讨论一；二是集合的特殊运算，请留心专题讨论二。
第二章二元关系(简称关系)及函数部分的具体概念1.关系的定义:请注意书上定义中的一个”都”字.元素都是有序对的集合,起名叫”关系” .当然,没有元素的集合,叫空关系.2.关系的由来:来自于集合的笛卡儿积.3.关系的第二层定义:A 到 B 的二元关系.在没有联系的集合之间,建立起关系.具体来说,这里的关系定义,受到集合 A,B 的元素的限制.4.A 上的二元关系:当集合 A=B 时,关系定义过度到A 上的二元关系的定义.并没有新的概念.5.关系的运算:求域,求逆,没有难点.求合成才是难点.合成运算有两点必须记住:第一,合成分左右;第二,合成的实质(有两句话—寻找过河的桥.所谓桥即是书上的用语”过度元素 t”;过河拆桥.因为合成完了,依然产生一个新集合,即新二元关系,此时的过度元素,即桥,不就成了第三者了吗).请参考专题讨论三.6.关系的性质:难点在传递性的判断.一个集合关系可以有三种表示方法:表达式法;矩阵法;图法.所以,认识他的性质,也要从三个侧面入手.参考书上有一个关系性质表.不懂之处,请参考课程论坛上专题讨论四.7.集合的映射—也是集合间的变换,函数1)函数的定义:满足单值性的二元关系.2)集合 A 到 B 的映射:给集合 A 的各个部分都照在底板胶片 B 上.所以叫B 上 A.如同说”B 上这个人是 A”.3)A 上 A:就是当集合 A,B 相等时.4)函数的合成运算:f(x)。
g(x)=f(g(x)).就是说,把 g(x) 当成一个整体,放在 f(x) 的 x 处即可.5)函数的性质:只把眼光放在单射,满射上,关系的性质不管.虽然函数必是关系.例题1:设函数f：{1，2}→{a}，则f [ B ] A．只是单射函数.；B．只是满射函数.；C．是双射函数.；D．A,B,C都不是.例题2:设A = {a，b}，B = {1，2}，问A 到B 的关系的数目有[ D ]。
A．1； B．2； C．3； D．4。
例题3:设ｆ(x)＝ｘ+１，ｇ(x)＝ｘ-１都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。
ｇ＝[ D ] A．x+1；B．x-1；C．x2 ；D．x。
，试求：例题 4:设 A = {1，2，3}，A 上的关系 R = {〈1，3〉，〈3，1〉}∪IA1)说明 R 的性质。
自反，对称，传递。
2)给出 R 的定义域。
3)给出 R 的值域。
4)若关系 R 同时具有自反,对称,传递三性质,则称其为等价关系,如本题.5)x 为集合 A 中的任意元素,其等价类[x]=R中所有与其具有等价关系的元素,即与其构成有序对的元素的集合.例如[1]={1,3}=[3];[2]={2}.6)一个等价关系构成一个商集A/R={[x]x ∈A}={{1,3},{2}}.7)对集合 A 的元素进行划分时,一定按商集的元素进行.而这些元素由 R 决定.所以,等价关系与划分一一对应.8)反过来,一个 n 元集合 A 可以有多种划分方式,本题有 5 种.一种划分方式对应着一个等价关系.请参阅参考书 97 页,最后一行例题.***** 请留心专题讨论五．*****第三章群论部分的具体概念1.代数系统:定义了二元运算的集合被称为代数系统.从此,集合与二元运算钉在了一处.2.代数系统的算律:结合律.集合中元素不能结合,怎能产生结构?3.代数系统的特殊元素及其求法:不论是幺元,零元,还是元素的逆元,都要求解联立方程:一个方程是二元运算的定义;另一个是特殊元素的定义.以上三点均在第五章内。
4.代数系统算律和特殊元素与代数结构的关系:集合上的二元运算满足封闭性,构成代数系统;代数系统满足结合律,则为半群;半群中有幺元,则为含幺半群,也称独异点; 独异点中的每个元素都有唯一的逆元,则独异点为群.群的判别方法,必须掌握.此点在第六章内。
群论部分共有第五,第六两大章,只要把上述四点弄通,就算达到了基本要求.在实际工作中,也就基本够用了.＊＊＊＊＊请参看专题讨论六．＊＊＊＊＊例:设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 *，对于所有 x，y ∈Z 都有 x * y = x + y - 2；验证〈Z，*〉能构成群。
每步判断都有根据：1、满足封闭性，所以构成代数系统。
2、满足结合律，代数系统为半群。
3、设 y 是代数系统的幺元,则有以下联立方程:x * y = x + y - 2 (二元运算定义)x * y = x (幺元定义)解此联立方程组,得幺元为 2，所以为幺半群。
4、与求幺元相仿,设 y 是 x 的逆，求解联立方程组,所以有 y = 4 – x 。
＊＊＊＊＊试问：－２的逆为何？＊＊＊＊＊5、最后结论:此代数系统构成群。
第二部分为图论。
包含以下两章：第四章图（参考书第七、八章）。
第五章树（参考书第九章）。
第二部分图论方法. (请注意图与树的关系.)第四章图.图的基本概念图分无向图和有向图．有向图产生有向树．有向树产生根树.无向图中，用阶表示图中顶点数.1) 无向图部分必须掌握度的概念．因为度是图中表达顶点集合与边集合元素之间关系的量.度的定量表示，即为握手定理：所有顶点的度数之和＝边的两倍．本章所有计算题，都是基于此．2) 一个图的顶点集合的子集合及边集合的子集合构成一个新图，新图是原图的子图.子图分成生成子图（将来引出生成树）和导出子图（将来引出余树）．此点与下一章树有密切联系。
请看专题讨论七。
例题1９阶无向简单连通图Ｇ中，定点间的最大距离为 [ A ] A．8； B．9； C．10； D．11。
例题2: 11 条边的图G 中，所有顶点的度数之和为 [ C ] A．10； B．11； C．22； D．25。
第五章树.树的具体概念如下:１.要求掌握树的定义和树的来源.只有连通图才可能有生成树．２.家族概念用于根树的方便．注意家族中元，正则，完全正则三个概念．3.最佳２元前缀码来自于最优２元树（注意 Huffman 法则）．最佳２元前缀码在通信中的重要意义．请注意专题讨论八。
例题(1.,2.,5.,7.,8.题都为图树关系题)1、n 阶无向连通图G有m 条边，则G对应生成树T的基本回路数目为[ D ]A．n ；B．n-1 ；C．m-n；D．m-n+1。
2、非平凡无向树T 是连通图[是]3、根树中的树叶都在树的最高层。
[非]4、给出传输 GOODBEY 的最佳前缀码。
每个字母出现频率分为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可不归一化).。
100（近似）42。
5628。
28。
28。
14 。
14 14 14 14所以，得到编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。
5、任何图都至少有一棵生成树. [ x ]6、无向连通图 G（m,n）的每一条边都可以成为他的某一生成树的树枝。
[ x ]7、边数 m 等于 n-1 的 n 阶无向图都是树。
[ x ]第三部分为逻辑推理理论。
包含以下两章：第六章命题逻辑（参考书第一章）。
第七章谓词逻辑（参考书第二章）(1) 逻辑推理的基本要素—命题:具有确切结果的陈述句;联结词把原子命题联结成复合命题.（蕴含式复合命题的搭配方式见专题讨论九）。
(2) 符号化的原子命题按一定规则构成命题公式．因为命题公式一般不是命题,所以要赋值.保持真值相等的前提下的命题间的互换,叫等值演算.(3) 命题公式的规范形式叫范式—又引出主范式—主析取范式,主合取范式—注意二者之间的关系(从公式的真值表中可以清楚看出，即专题讨论十).(4) 逻辑推理理论及逻辑推理的程序.2.一阶逻辑的基本概念(１)命题逻辑的致命缺点:没有把句子结构—主语,谓语,定语--展开来．请看专题讨论十一。
(２)句子中的主语由个体词充当;谓语由谓词充当;定语由量词充当.三者之间按一定规则搭配在一起,完成对命题的符号化．请看专题讨论十二。
例题:1、命题公式P 的类型是可满足式。
[ 是 ]当然,也可以问命题公式 p 的类型,以选择题型形式给出.2.如果天不下雨,则走路上班.只能 p:天下雨,q:走路上班.符号化为:﹁p→q.切切不可 p 表示天不下雨.3、证明题请在合适的逻辑中构造下面论题的证明：1）给出前提和结论，完成构造法的证明。
（1）前提：p∧q→r，﹁s∨q，p。
（2）结论：s→r 。
（3）证明：采用附加前提法。
引入前提﹃s∨q 及附加前提 s 后，利用公式”假言推理”得到 q，再引入前提 p，再利用”假言推理”公式，得到结果：r。
2）若他学计算机专业，他必定学好离散数学。
若他不是学英语的，他必是学计算机的。
他没有学好离散数学。
所以他是学英语的。
（1）设：p：他学计算机；q：他学好离散数学；r：他学英语。
（2）前提：p→q，﹃r→p，﹃q。
（3）结论：r。
（4）证明：引入前提 p→q，﹃q 后，利用公式”拒取式”得到﹃p，再引入﹃r→p，再用”拒取式”公式，得到结果：r。