椭圆的简单基本性质优秀课件(公开课)
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椭圆的简单几何性质公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
a=6 b=4.
∵焦点在x轴上，∴椭圆方程为 x2 +=y12.
36 16
3.(2023·唐山高二检测)已知△ABC旳顶点B、C在椭圆 x2
3
+y2=1上，顶点A是椭圆旳一种焦点，且椭圆旳另外一种焦点
在BC边上，则△ABC旳周长是( )
（A）2 3
（B）6
（C）4 3
【解析】选C.由 x+2 y2=1,得a= 3,
例题讲解
课堂练习
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2023·厦门模拟）椭圆 x2 + y2 =1旳离心率是( )
49
（A） 5
（B） 5
（C） 13
（D） 13
由 x2 +=y21，得
49
a=3,b=2,
∴c= a2 -b2 = 9-4= 5. ∴e= c = 5 .
二、填空题（每题4分，共8分）
5.若椭圆旳焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e= 3 , 则其原
2
则方程为____________.
【解析】依题意得a=2,e=c = 3∴, c= 3,
a2
∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆旳原则方程为 y+2 x2=1.
答案：y
2
+x2=1
4
4
P41 练习
作 业 教材Ｐ36 2
a3
2.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 4 5, 则椭圆 旳方程为( )
（A） x2 + y2 =1
36 16
（B） x2 + y2 =1
16 36
（C） x2 + y2 =1
64
（D） y2 + x2 =1
椭圆的简单几何性质课件
椭圆的简单几何性质课件椭圆的简单几何性质椭圆，作为一种常见的几何形状，具有许多有趣的性质和特点。
在这篇文章中，我们将探讨椭圆的一些简单几何性质，帮助读者更好地理解和应用椭圆。
一、椭圆的定义和基本元素椭圆是指平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
这两个固定点称为焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆的两个焦点与中心之间的距离称为焦距，记为c。
椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，其中a大于b。
二、椭圆的离心率和焦半径椭圆的离心率是一个重要的参数，用e表示。
离心率的定义是焦距与长轴长度的比值，即e=c/a。
离心率可以用来描述椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于直线。
与离心率相关的概念是焦半径。
焦半径是指从椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和，记为r。
根据焦半径的定义，我们可以得到一个重要的结论：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于2a，即r=2a。
三、椭圆的方程和参数方程椭圆的方程是描述椭圆上的点的数学表达式。
椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
根据椭圆的定义，我们可以得到一个重要的性质：椭圆上的任意一点到中心的距离与椭圆的长轴、短轴长度之间存在一定的关系，即(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。
除了标准方程，椭圆还可以用参数方程来表示。
参数方程是通过引入一个参数t，将椭圆上的点的坐标表示为x=a*cos(t)+h，y=b*sin(t)+k。
参数方程的优点是可以方便地描述椭圆上的点的运动和变化。
四、椭圆的性质和应用椭圆具有许多有趣的性质和应用。
首先，椭圆是一个闭合曲线，它的形状稳定且对称。
其次，椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数，这个性质可以应用于天文学中的行星轨道计算、卫星轨道设计等领域。
此外，椭圆还有许多与切线、法线、对称性等相关的性质。
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
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线段A1A2叫椭圆长轴，其长度等于2a;线段B1B2叫椭圆短轴，其 长度等于2b;线段C1C2叫椭圆焦距，其长度等于2c.
在三角形F2OB2中│OB2│＝b， │OF2│＝c， │F2B2│＝a。在直 角△ F2OB2中直观地显示出a，b，c三者之间关系。
第3页
椭圆简朴几何性质—研究问题
从方程上看：
当0<e<1时为椭圆 当e=1时为线段
第8页
椭圆简朴几何性质—研究问题
方 程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
性
y
图象
o
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
o x
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b
质 顶点坐标 (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
对称性 x轴、y轴、原点对称
的最小值为 a-c 。
第12页
椭圆简朴几何性质—作业布置
练习B 1，2
1.设a,b,c分别表示同一椭圆长半轴长,短半轴 长,半焦距长,则a,b,c大小关系是-----------.
2、对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
更接近于圆的是
。
3、椭圆
x2 a8
y2 9
1的离心率e
－3）两点
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）
④两顶点坐标为（0，±6），且通过点（5，4）
⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
3. 已知椭圆一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴两端点，
△FBC是等边三角形，求这个椭圆原则方程。
公开课__椭圆的简单几何性质共19页PPT
公开课__椭圆的简单几何性质
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强
椭圆的简单几何性质市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
x2 y2 1
25 16
因此: a = 5 ,b = 4
c = 25 16 3
因此，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ；
离心率为0.6 ；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
Y
顶点坐标为
(-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
O
X
例2、求符合下列条件的椭圆的原则方程:
(1)通过点(-3,0)、(0,-2); 解：易知a=3,b=2
A
x2 a2
y2 b2
1
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
|
|
F2
A
|)
1 (2.8 2.82 4.52 ) 2
4.1
b a2 c2
离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 e c，叫做椭圆的离心率
a
1 当e靠近1时，c越靠近a,从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁。
2 当e靠近0时，c越靠近0,从而b越靠近a,图形越靠近于圆。
3 当e=0时，c=0,a=b两焦点重叠,椭圆的原则方程为
x y a
2
2
2 图形就是圆。
椭圆的几何性质
ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一 种焦点F1上，片门位于另一种焦点F2上， 由椭圆一种焦点F1发出的光线，通过旋转 椭圆面反射后集中到另一种焦点F2。已知 AC F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm, 求截口ABC所在椭圆的方程。
25 16
因此: a = 5 ,b = 4
c = 25 16 3
因此，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ；
离心率为0.6 ；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
Y
顶点坐标为
(-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
O
X
例2、求符合下列条件的椭圆的原则方程:
(1)通过点(-3,0)、(0,-2); 解：易知a=3,b=2
A
x2 a2
y2 b2
1
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
|
|
F2
A
|)
1 (2.8 2.82 4.52 ) 2
4.1
b a2 c2
离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 e c，叫做椭圆的离心率
a
1 当e靠近1时，c越靠近a,从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁。
2 当e靠近0时，c越靠近0,从而b越靠近a,图形越靠近于圆。
3 当e=0时，c=0,a=b两焦点重叠,椭圆的原则方程为
x y a
2
2
2 图形就是圆。
椭圆的几何性质
ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一 种焦点F1上，片门位于另一种焦点F2上， 由椭圆一种焦点F1发出的光线，通过旋转 椭圆面反射后集中到另一种焦点F2。已知 AC F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm, 求截口ABC所在椭圆的方程。
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆及其标准方程课件(公开课)
椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。
椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
椭圆的简单几何性质-(公开课)
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
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7
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：
30
.离心率等于： 6 。顶点坐是：(0, 6)
。 。
(。1, 0)
外切矩形的面积等于：
46
。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
00:19:46
11
例2 椭圆的一个顶点为A2，0 ,其长轴长是短轴长
的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
41
4 16
00:19:46
12
练习2：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
k 8 9
2
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c2 k 1．
当由椭圆e 的12焦，点得在：yk
4
轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
x2 y2 1 或 x2 y2 1
100 64
64 100
00:19:46
18
求适合下列条件的椭圆 的标准方程:
(1)经过点P(2,0)Q(1,1);
椭圆的简单几何性质(第1课时)(公开课课件)
2 - 2
小
小
2
小
2 大
2 小
40
.所以2 = 2 ,所以20 =
大
小
2 小
10
,所以小椭
3
6.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= ,求 m 的值及椭圆的
2
长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
2
解:椭圆方程可化为
∵m- +3 =
+
2
+3
(+2)
关于x , y轴对称，关于原点对称
A1 ( a , 0), A2 (a , 0), B1 (0, b), B2 (0, b)
e
A1 ( b, 0), A2 (b, 0), B1 (0, a ), B2 (0, a )
c
(0 e 1)
a
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、
c扩大或缩小相同倍数时, 椭圆的形状不变. 这
样, 利用c和a这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程
度.离心率就是刻画椭圆的扁平程度的量.
4. 椭圆的离心率：
c
c
e
.
我们]把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即
a
a
说明：
(1) 离心率的取值范围：因为a > c > 0，所以0 < e < 1.
1.
16 12
6 10
2
2
x
y
2
2
1，
解：(2) 椭圆x 9 y 36的标准方程为
36 4
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2.2.2
椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质
第 1 课时
教师用书独具演示
课 标 解 读
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆 标准方程中 a、 b、 c 的几何意义． (重 点) 2． 会用椭圆的几何意义解决相关问 题．(难点)
椭圆的简单几何性质
【问题导思】 x2 y2 1．观察椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的形状， a b
) D．45
【解析】 由标准方程知 a＝9，故长轴长 2a＝18. 【答案】 C
3．椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短 轴长的 2 倍，则 m 的值为( 1 1 A. B．2 C. D．4 2 4 )
2 y 2 2 【解析】 方程化为 x ＋ ＝1，长轴长为 ，短 1 m m 2 1 轴长为 2，由题意， ＝2×2，∴m＝ . 4 m
图 2－2－2 你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称 性？椭圆上哪些点比较特殊？
【提示】
椭圆上的点都在如题图中的矩形框内
部， 椭圆关于坐标轴对称． 椭圆与坐标轴的四个交点比 较特殊．
x2 y2 2．如何由椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与 x、 a b y 轴的交点坐标？
【提示】
只要令 x＝0 或 y＝0 求解即可．
围 顶 点 轴 长
－ b≤y≤b ___________________
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－ a≤y≤a _________________
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
Байду номын сангаас
2b 2a 短轴长＝________ ，长轴长＝_________
离心率 椭圆的____________ ． (0,1) 2．性质：离心率 e 的范围是_________ ．当 e 越接 0 越扁 近 1 时，椭圆__________ ；当 e 越接近于______ 时，椭
圆就越接近于圆．
x2 y2 1．椭圆 ＋ ＝1 的长轴长为( 81 45 A．81 B． 9 C．18
【提示】 当 a 值不变，b 越大，即 c 越小时，椭 圆形状越圆；b 越小即 c 越大时，椭圆形状越扁．
c 2．若用a来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？ c c 【提示】 a越小椭圆形状越圆； a越大椭圆形状越 c 扁．(注意：0＜a＜1) c e＝a 1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比_______，叫做
焦 点 焦 距 对 称 性
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝______ 2c
坐标轴 ，对称中心为________ 原点 对称轴为_________
椭圆的离心率
【问题导思】 1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程 x2 y2 度不一．对于椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，若令 a 不变，b a b 怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时 c 的情况如何？
焦点的 焦点在 x 轴 位置 图形 上
焦点在 y 轴上
标准 方程
x2 y2 ＋ ＝1(a 2 a 2 b2 y x2 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b ________________ ＞b＞0)
－a≤x≤a且 －b≤x≤b且 范 _____________________ __________________
根据椭圆的方程研究其几何性质
已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e＝ 3 ，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点． 3 【思路探究】 根据已知条件，如何求出 a、b、c 的值？
谢谢！
【答案】
C
2．椭圆 6x2＋y2＝6 的离心率为( 5 30 1 6 A. B. C. D. 6 6 6 6
)
2 y 【解析】 椭圆方程可化为 x2＋ ＝1，∴a2＝6， 6 c 5 30 2 2 b ＝1，∴c ＝5，∴e＝a＝ ＝ . 6 6
【答案】
B
x2 y2 (1)椭圆 ＋ ＝1 的离心率为________． 16 8 (2)已知椭圆的两焦点为 F1、F2，A 为椭圆上一点， → → 且 AF1· AF2＝0，∠AF2F1＝ 60° ，则该椭圆的离心率为 ________．
椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质
第 1 课时
教师用书独具演示
课 标 解 读
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆 标准方程中 a、 b、 c 的几何意义． (重 点) 2． 会用椭圆的几何意义解决相关问 题．(难点)
椭圆的简单几何性质
【问题导思】 x2 y2 1．观察椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的形状， a b
) D．45
【解析】 由标准方程知 a＝9，故长轴长 2a＝18. 【答案】 C
3．椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短 轴长的 2 倍，则 m 的值为( 1 1 A. B．2 C. D．4 2 4 )
2 y 2 2 【解析】 方程化为 x ＋ ＝1，长轴长为 ，短 1 m m 2 1 轴长为 2，由题意， ＝2×2，∴m＝ . 4 m
图 2－2－2 你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称 性？椭圆上哪些点比较特殊？
【提示】
椭圆上的点都在如题图中的矩形框内
部， 椭圆关于坐标轴对称． 椭圆与坐标轴的四个交点比 较特殊．
x2 y2 2．如何由椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与 x、 a b y 轴的交点坐标？
【提示】
只要令 x＝0 或 y＝0 求解即可．
围 顶 点 轴 长
－ b≤y≤b ___________________
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－ a≤y≤a _________________
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
Байду номын сангаас
2b 2a 短轴长＝________ ，长轴长＝_________
离心率 椭圆的____________ ． (0,1) 2．性质：离心率 e 的范围是_________ ．当 e 越接 0 越扁 近 1 时，椭圆__________ ；当 e 越接近于______ 时，椭
圆就越接近于圆．
x2 y2 1．椭圆 ＋ ＝1 的长轴长为( 81 45 A．81 B． 9 C．18
【提示】 当 a 值不变，b 越大，即 c 越小时，椭 圆形状越圆；b 越小即 c 越大时，椭圆形状越扁．
c 2．若用a来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？ c c 【提示】 a越小椭圆形状越圆； a越大椭圆形状越 c 扁．(注意：0＜a＜1) c e＝a 1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比_______，叫做
焦 点 焦 距 对 称 性
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝______ 2c
坐标轴 ，对称中心为________ 原点 对称轴为_________
椭圆的离心率
【问题导思】 1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程 x2 y2 度不一．对于椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，若令 a 不变，b a b 怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时 c 的情况如何？
焦点的 焦点在 x 轴 位置 图形 上
焦点在 y 轴上
标准 方程
x2 y2 ＋ ＝1(a 2 a 2 b2 y x2 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b ________________ ＞b＞0)
－a≤x≤a且 －b≤x≤b且 范 _____________________ __________________
根据椭圆的方程研究其几何性质
已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e＝ 3 ，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点． 3 【思路探究】 根据已知条件，如何求出 a、b、c 的值？
谢谢！
【答案】
C
2．椭圆 6x2＋y2＝6 的离心率为( 5 30 1 6 A. B. C. D. 6 6 6 6
)
2 y 【解析】 椭圆方程可化为 x2＋ ＝1，∴a2＝6， 6 c 5 30 2 2 b ＝1，∴c ＝5，∴e＝a＝ ＝ . 6 6
【答案】
B
x2 y2 (1)椭圆 ＋ ＝1 的离心率为________． 16 8 (2)已知椭圆的两焦点为 F1、F2，A 为椭圆上一点， → → 且 AF1· AF2＝0，∠AF2F1＝ 60° ，则该椭圆的离心率为 ________．