随堂练习15

盐城中学2016届高三数学随堂练习（15）一，填空题：1已知函数()sin(2)6f x x π=+，其中π[,]6x a ∈-，若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是___⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ___． 2已知数列{}n a 的通项公式为13-=n a n ，若满足)(102191*++∈=++N k a a a k k k ，则=k __2或5__．11.设a 为非零实数，偶函数1||)(2+-+=m x a x x f (x R ∈)在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 ⎪⎭⎫⎝⎛--25,310. 11． 设数列{}n a满足1a =0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=．则2015a1 ．（注：[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }=x -[x ]．）12．已知直角三角形ABC 的三个顶点都在抛物线212y x =上，且斜边AB // x 轴，则斜边上的高等于2 ▲ ．13．已知平面向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角余弦为15，b 与c 的夹角余弦为1-，1=b ，则⋅a c▲ ．14．设t ∈R ，对任意的n ∈*N ，不等式ln 20ln ln 20ln nt n t nt t n ++≥，则的取值范围是[4,5] ▲ ．在△ABC 中，A π∠=3，BC =3，点D 在BC 边上．（1）若AD 为A ∠的平分线，且BD =1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形．15． （1）在△ABD 中，sin πsin 6AB BD BDA =∠， 在△ACD 中，sin πsin 6AC CD CDA =∠， 相除得：AC =2AB ………………………………………3分在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴ABAC6分∴1πsin 23ABC S AB AC ∆=⋅=………………………………………7分（2）∵2AB AC AD +=，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅ ∴2227AB AC AB AC ++⋅=………………………………………9分又2229AB AC AB AC BC +-⋅==相减得9AB AC ⋅=………………………………………11分∴229AB AC AB AC AB AC +-⋅==⋅ ∴()20AB AC -=即∶AB =AC ，又∠C =60°∴三角形ABC 为等边三角形．………………………………………14分如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD，AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？ （2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？17． （1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则11tan y θθθ+==+（其中00θθ<<，0tan 7θ=）………………………………………3分2sin sin cos y θθθ'=当tan θ=34=BE 时，min 8y =………………………………………6分 （2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则()1cos sin y θθ=+++⎝⎭（其中00θθ<<，0tan 3θ==）………………9分()()2sin 1sin cos cos sin sin cos y θθθθθθθ⎫'=++++-⎪⎝⎭⎝⎭令0y '=得sin cos θθ=当πθ=时，即36=BE时)min 2y =………………………………………12分答：按方法（1），34=BE 米时，钢丝绳最短；按方法（2），36=BE 米时，钢丝绳最短。

………………………………………14分已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足1112(N )n n n n n a b a b na n *++++=∈． （1）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112b =时，求数列{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 、{}n b 都是公差不为．．0．的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定； （3）设2121n n n n a a a a ++=+()n *∈N ，21nn i i S b ==∑，求证：226n S n <<． A ED CAED CB F 图1图219． （1）因为数列{}n a 是常数列，且*1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈，所以*12()N n n b b n n ++=∈…①，因此*12(1)(,2)N n n b b n n n -+=-∈≥…②，①-②得*112(,2)N n n b b n n +--=∈≥，………………2分这说明数列{}n a 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为2的等差数列，又112b =，122b b +=，所以232b =，因此2111(1)2(21)22n b n n -=+-⋅=--，231(1)2222n b n n =+-⋅=-， 即*1()2N n b n n =-∈ . ………………………………………4分 （2）设{}n a ，{}n b 的公差分别为1212,(0)d d d d ≠，将其通项公式代入*1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈得111211121211[()]()()[()]2()d n a d nd b nd a d n b d n nd a +-++++-=+，因为它是n 的恒等式，所以121111212111111212222222200d d d b d a d d d aa b b d a d d d =⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪≠⎩，解得111211d a b d =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此1n n a na b n =⎧⎨=⎩ . …………………………………7分 由于1a 可以取无穷多非零的实数，故数列{}n a 有无穷多个，数列{}n b 惟一确定 . ………………………………………8分（3）因为2*121()1N n n n a a n a ++=∈+，且0n a >，所以2212011n n n n n n n n a a a a a a a a ++-=-=>++，即1n n a a +<， ………………………………………10分所以1111112n n n n n n n n n a b a b na a b a b +++++++=<+， 得12n n b b n ++>，因此212342121()()()nn i n n i S b b b b b b b -===++++⋅⋅⋅++∑221232(21)2n n >⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=．………………………………………12分又由*1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈得11(2)n n n n a b n b a ++=-，而0n a >，所以2n b n <．因此2212(122)2(12)42nn i i S b n n n n n ==<++⋅⋅⋅+=+=+∑，………………………………………14分所以22(2,42)n S n n n ∈+．所以22246nS n n <<+≤．20-1 已知函数f (x )＝2x 2＋3(a 2＋a )ln x －8ax ． (1)若x ＝3是f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)若函数f (x )在其导函数f ′(x )的单调区间上也是单调的，求a 的取值范围．解 (1) f ′(x )＝4x ＋3(a 2＋a )x －8a ＝4x 2－8ax ＋3(a 2＋a )x ＝4(x －a )2－a 2＋3ax， 因为x ＝3是一个极值点，所以f ′(3)＝0，从而4(3－a ) 2－a 2＋3a ＝0，即a 2－7a ＋12＝0，所以a ＝3或a ＝4.当a ＝3时，f ′(x )＝4(x －3)2x ≥0，函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增，没有极值点，所以a ≠3； 当a ＝4时，f ′(x )＝4(x －3)(x －5)x，函数f (x )在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，在(5,＋∞)上单调递增，x ＝3是f (x )的一个极值点，所以a ＝4.(2) f ′(x )＝4x ＋3(a 2＋a )x －8a ＝4x 2－8ax ＋3(a 2＋a )x ＝4(x －a )2－a 2＋3a x ，f ′′(x )＝4－3(a 2＋a )x2， 设g (x )＝4(x －a )2－a 2＋3a .①若－a 2＋3a ≥0，即0≤a ≤3，f ′(x )≥0，函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增， 当a ＝0时，f ′(x )＝4x 在(0,＋∞)上单调递增，适合题意；当0＜a≤3时，a2＋a＞0，f′(x)在(0,3(a2＋a)4)上单调递减，在(3(a2＋a)4,＋∞)上单调递增，函数f(x)在其导函数f′(x)的两个单调区间上都是是单调递增的，适合题意.②若－a2＋3a＜0，即a＜0或a＞3，g(x)＝0有两个不相等的实数根x1和x2，不妨设x1＜x2，(i)若g(x)＝0有两个根x1和x2满足x1＜x2≤0，这时a≤－1，函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增，当a＝－1时，f′′(x)＝4，f′(x)＝4x在(0,＋∞)上单调递增，适合题意；a＜－1时，a2＋a＞0，f′(x)在(0,3(a2＋a)4)上单调递减，在(3(a2＋a)4,＋∞)上单调递增，函数f(x)在其导函数f′(x)的两个单调区间上都是单调递增的，适合题意.(ii)若g(x)＝0有两个根x1和x2满足x1＜0＜x2，这时－1＜a＜0，a2＋a＜0，函数f(x)在(0, x2)上单调递减，在(x2, ＋∞)上单调递增，f′(x)在(0, ＋∞)上单调递增，不含题意.(iii)若g(x)＝0有两个根x1和x2满足0＜x1＜x2，这时a＞0，a2＋a＞0，函数f(x)在(0, x1)上单调递增，在( x1, x2)上单调递减，在(x2, ＋∞)上单调递增，f′(x)在(0,3(a2＋a)4)上单调递减，在(3(a2＋a)4,＋∞)上单调递增，函数f(x)在其导函数f′(x)的两个单调区间上不都是单调的，不含题意. 综上，a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,3].。