【深度解析高考真题】2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(3)

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2011年高考数学理科试卷(全国1卷)(含答案)(新课标卷卷)

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
（20）点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数的共轭复数是
（A）（B）（C）（D）
（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是
（A） (B) （C） (D)
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
的频率分别为0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,
即X的分布列为
X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
故 AD=2，AB=12.

2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50404．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2D．38．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40B．﹣20C．20D．409．（5分）（2011•新课标）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．610．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4 11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）（2011•新课标）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x 轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB ＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数＝＝＝i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y＝2x3，由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y＝|x|+1，由f（﹣x）＝|﹣x|+1＝f（x），为偶函数，当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N＝6，k＝1，p＝1P＝1，k＜N成立，有k＝2P＝2，k＜N成立，有k＝3P＝6，k＜N成立，有k＝4P＝24，k＜N成立，有k＝5P＝120，k＜N成立，有k＝6P＝720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．4．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，，∴，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a＝2∴a＝1∴＝＝∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40故选：D．【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9．（5分）（2011•新课标）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y＝，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S＝．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．10．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）＝，由于该函数的最小正周期为T＝，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φ+＝+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ＝．因此，f（x）＝cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．12．（5分）（2011•新课标）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2【分析】函数y1＝与y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H＝x B+x G＝x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z＝x+2y变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y＝x﹣9与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x 轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+＝1．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16，结合椭圆的定义，有4a＝16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即＝，则a＝c，将a＝c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为+＝1；故答案为：+＝1．【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：＝2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：＝8．故答案为：8【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB+2BC的最大值为2．【分析】设AB＝cAC＝bBC＝a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a＝m 代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B＝所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0故m≤2当m＝2时，此时a＝，c＝符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有＝＝＝＝2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin A＝cos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ＝，cosφ＝）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32＝9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2＝1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn＝log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2＝．由条件可知各项均为正数，故q＝．由2a1+3a2＝1得2a1+3a1q＝1，所以a1＝．故数列{a n}的通项式为a n＝．（Ⅱ）b n＝++…+＝﹣（1+2+…+n）＝﹣，故＝﹣＝﹣2（﹣）则++…+＝﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．＝（﹣1，，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则即，因此可取＝（，1，）设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，即：可取＝（0，1，），cos＜＞＝＝故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X＝﹣2）＝0.04，P（X＝2）＝0.54，P（X＝4）＝0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX＝﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42＝2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，＝•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所＝（﹣x，﹣1﹣y），＝（0，﹣3﹣y），＝（x，﹣2）．再由题意可知（）•＝0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y＝﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y＝﹣2上一点，因为y′＝x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02＝0．则o点到l的距离d＝．又y0＝﹣2，所以d＝＝≥2，所以x02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）＝1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a＝1，b＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程x2﹣14x+mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|＝|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣＝﹣1，故a＝2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

[高考真题]2011年理科数学解析

2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)理科数学解析一．选择题 1.解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C 2.解析:由图像知选B3.解析：框图表示1n n a n a -=⋅,且11a =所求6a =720 选B4.解析;每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=3193=选A5.解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选D6.解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=,选B 7.解析1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-.511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D8.解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出1x；若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 9.解析;用定积分求解432420021162)(2)|323s x dx x x x =+=-+=⎰,选C10.解析：1a b +==>得, 1cos 2θ>-,20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭.由1a b -==>得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦. 选A11.解析：())4f x x πωϕ=++,所以2ω=,又f(x)为偶函数,,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈,())2f x x x π∴=+=,选A12.解析：图像法求解.11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心,24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ,则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=,所以选D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.解析：画出区域图知, 当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时,min 6z =-14.解析：由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求.15.解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则=,22=,1623O ABCD V -=⨯⨯=16.解析：00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC ACBC A A B==⇒=022sin 2sin(120)sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+； 2AB BC ∴+=5sin ))A A A A ϕϕ+=+=+,故最大值是三．解答题17.解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知a>0,故13q =.由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =. 故数列{a n }的通项式为a n =13n. （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}nb 的前n 项和为21nn -+ 18.解析1：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=,由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则()1,0,0A,()0B,()C -,()0,0,1P(1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n =（x,y,z ）, 即00x z -=-=因此可取n =设平面PBC 的法向量为m ,则 0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v可取m=（0,-1, cos ,7m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为19解析：（Ⅰ）由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 （Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04,,054,0.42,因此X 的可能值为-2,2,4P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 20.解析; (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA uuu r =（-x,-1-y ）, MB uuu r =(0,-3-y), AB uu u r=(x,-2). 再由题意可知（MA uuu r +MB uuu r）•AB uu u r=0, 即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2.(Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点,因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=. 则o 点到l的距离2d =.又200124y x =-,所以201412,2x d +==≥ 当20x =0时取等号,所以o 点到l 距离的最小值为2. 21.解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =,1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++,所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=.(i)设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h(x)递减.而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x >-；当x ∈（1,+∞）时,h （x ）<0,可得211x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时,f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0,即f （x ）>1ln -x x +xk. （ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈（1,k -11）时,（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,k -11）时,h （x ）>0,可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾. （iii ）设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,+∞）时,h （x ）>0,可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾.综合得,k 的取值范围为（-∞,0] 22.解析：（I ）连接DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD AB mn AE AC ⨯==⨯ 即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆.（Ⅱ）m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2,AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F,分别过G,F 作AC,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C,B,D,E 四点共圆,所以C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于∠A=900,故GH ∥AB, HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21(12-2)=5.故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52 23.解析; （I ）设P(x,y),则由条件知M(,22x y ).由于M 点在C 1上,所以2cos ,222sin 2x y αα⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭即 4cos 44sin x y αα=⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭ 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=.所以21||||AB ρρ-==24.解析：（Ⅰ）当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-由题设可得2a -= 1-,故2a =。

2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)及答案

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种 B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•大纲版）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选B2．（5分）（2011•大纲版）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选B．3．（5分）（2011•大纲版）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．4．（5分）（2011•大纲版）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2﹣S k=24转化为：∴S k+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D5．（5分）（2011•大纲版）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选C．6．（5分）（2011•大纲版）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B=V D﹣ABC可知﹣ACD所以，h=故选C．7．（5分）（2011•大纲版）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种 B．10种C．18种D．20种【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选B．8．（5分）（2011•大纲版）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选A9．（5分）（2011•大纲版）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．10．（5分）（2011•大纲版）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C 交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B 两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选D．11．（5分）（2011•大纲版）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选D12．（5分）（2011•大纲版）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）（2011•大纲版）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x 的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：014．（5分）（2011•大纲版）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣15．（5分）（2011•大纲版）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为616．（5分）（2011•大纲版）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP ⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2011•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．18．（12分）（2011•大纲版）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X 服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=2019．（12分）（2011•大纲版）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin20．（12分）（2011•大纲版）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．21．（12分）（2011•大纲版）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（2011•大纲版）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98×…×81＜（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜。

2011新课标全国卷数学(理科)(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2011年高考数学理科试卷(全国1卷)(含答案)(新课标卷卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A 2 （B 3（C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【深度解析高考真题】2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(3)

2 .3 .4 .5 .6 .7 . 8 .9 .2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）(5分)复数z=1+i,..A.- 2i为z的共轭复数，则z?. - z-仁（B.- iC. i D.2i (5分)函数y=i . (x>0)- 2A. y=' (x€ R)B. y=['4（5分）下面四个条件中，使A. a>b+1的反函数为（）(x>0) C. y=4* (x€ R) D.y=4x2(x> 0)a> b成立的充分而不必要的条件是B. a> b -1C. a2> b2)D. a3>b3（5分）设S n为等差数列｛a n｝的前n项和，若a i=1，公差d=2, S k+2-S k=24,则k=()A. 8B. 7C. 6(5 分)设函数f (x) =COS 3X(3> 0),长度后，所得的图象与原图象重合，则13A.B. 3（5分）已知直二面角a- l - B点A€D. 5Ky将y=f （x）的图象向右平移3的最小值等于（）C. 6D. 9个单位a，AC丄I, C为垂足，B€ B, BD丄l，D为垂足，若AB=2, AC=BD=1则D到平面ABC的距离等于（）A. ：B.C.3 3 3（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（A. 4种B. 10 种C. 18 种D.1从中取出4本赠送给D. 20 种（5分）曲线的面积为（3A.y=e-2x+1在点（0, 2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形B.D.1（5分）设f则f 一；=（）12A.（x）是周期为2的奇函数，当O W x< 1时，f （x）=2x （1 -x），B..丄10. （5分）已知抛物线C: f=4x的焦点为F，直线y=2x- 4与C交于A，B两点,则cos/ AFB=（）A.丄B.丄C.仝D. JL5 5 5 511.（5分）已知平面a截一球面得圆M，过圆心M且与a成60°二面角的平面B截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4n,则圆N的面积为（）A. 7 nB. 9 nC. 11 nD. 13 n12.（5分）设向量冈，c满足|创=| =1,也可=—匸，V& —匚，b —匚〉=60 ,则| . |的最大值等于（）A. 2B. 一；C.二D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13. ______________________________________________________________（5分）【|…「的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ______________ .14.（5 分）已知a€（f-, n）, sin a=，则tan2 a ________ .2 515.（5分）已知F1、F2分别为双曲线C: 空一二1的左、右焦点，点A € C,点9 2TM的坐标为（2, 0）, AM为/ F1AF2的平分线，则| AFd = ______ .16.（5分）已知E、F分别在正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BBi、CC上，且B1E=2EBCF=2FC,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________ .三、解答题（共6小题，满分70分）17.（10分）△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A—C斗,a+c= ；：b,求C.18.(12分)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3 .设各车主购买保险相互独立.(I )求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(H) X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.19.(12分)如图，四棱锥S-ABCD中，AB// CD, BC丄CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2 CD=SD=1(I )证明：SD丄平面SAB(U )求AB与平面SBC所成的角的大小.20.(12分)设数列｛a n｝满足a1=0且』------ =1I_a n+l 1_a n(I )求｛a n｝的通项公式；(U)设殆二件，记S n=£ b k，证明：Sv 1. n Vn k=l221.(12分)已知0为坐标原点，F为椭圆C:直二1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-二的直线l与C交于A、B两点，点P满足- ■ | - i.(I )证明：点P在C上；(U)设点P关于点0的对称点为Q,证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.22.( 12分)(I)设函数心曲^卷，证明：当x>0时，f (x)> 0.(n)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明:2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）复数z=1+i, •.为z的共轭复数，则z?. - z-仁（）A.—2iB.- iC. iD. 2i【考点】A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可.【解答】解：司=1 - i,所以27-z-l= （1+i）（1 - i）- 1- i-仁-i故选：B.【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型.2. (5分)函数y=I ■■■ (x>0)的反函数为( )2 2A. y= ：(x€R)B. y=：(x>0)C. y=4x2(x€R)D. y=4* (x>0)【考点】4R反函数.【专题】11:计算题.【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）.【解答】解:I y=“W （x> 0），••• x= ，y>0，、2故反函数为y=[ （x> 0）.故选：B.【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域.3. （5分）下面四个条件中，使a> b成立的充分而不必要的条件是（）A. a>b+1B. a>b - 1C. a2> b2D. a3>b3【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】5L:简易逻辑.【分析】利用不等式的性质得到a>b+1? a>b；反之，通过举反例判断出a>b 推不出a>b+1 ;禾【」用条件的定义判断出选项.【解答】解：a>b+1? a>b ；反之，例如a=2，b=1满足a> b，但a=b+1即a> b推不出a> b+1，故a>b+1是a> b成立的充分而不必要的条件.故选：A.【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法.4. （5分）设S n为等差数列｛a n｝的前n项和，若a1=1，公差d=2，S<+2- S=24,则k=( )A. 8B. 7C. 6D. 5【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11:计算题.【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，8<,将S+2 -S<=24转化为关于k 的方程求解.【解答】解：根据题意：S k+2= （k+2）2，S k=k2••• 3+2 - S=24转化为：（k+2）2- k2=24k=5 故选：D .【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题.5. （5分）设函数f （x ） =cos 3x （3>0）,将y=f （x ）的图象向右平移工个单位3长度后，所得的图象与原图象重合，则 3的最小值等于（） A. —B . 3C. 6D . 9【考点】HK 由y=Asin （的部分图象确定其解析式.【专题】56:三角函数的求值.【分析】函数图象平移——个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果.【解答】解：f （x ）的周期T 平，函数图象平移冷-个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以—-.-—，k €乙令k=1,33可得3 =6 故选：C.【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型.6. （5分）已知直二面角 a- I - B,点A € a ，AC 丄I , C 为垂足，B € B, BD 丄l ，D为垂足，若AB=2, AC=BD=1则D 到平面ABC 的距离等于（【考点】MK :点、线、面间的距离计算. 【专题】11:计算题；13:作图题；35:转化思想.【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出平面ABC 的距离.B . Vs3 D . 1【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角a- I - B,点A € a, AC 丄I , C 为垂足，B € B, BD 丄l , D 为垂足，若AB=2, AC=BD=1贝U D 到平面ABC 的距离转化为三棱锥 D -ABC 的高为h , 所以 AD= -;, CD= '：, BC=由V B - ACD =V D - ABC 可知号X 吉QeBh 丄 x 占加【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力.7. （5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给 4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（） A . 4 种B . 10 种C. 18 种D . 20 种【考点】 D3:计数原理的应用. 【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册 C 42 种，根据分类计数原理得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册 C 42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B.【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中.8. (5分)曲线y=e 「2x +1在点(0, 2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) A .二B .丄C.工D . 13 2 3【考点】6H :利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】11:计算题.【分析】根据导数的几何意义求出函数f (x )在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可. 【解答】解：I y=e 2x +1 y'= (- 2) e 2x --y'| x=o = ( — 2) e 2x | x=o = — 2•••曲线y=e 2x +1在点(0, 2)处的切线方程为y -2=— 2 (x — 0)即2x+y — 2=0•••切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为故选：A .【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 应用等有关问题，属于基础题.9. (5分)设f (x )是周期为2的奇函数，当0W x < 1时，f (x ) =2x (1 — x )，则 f 一 =() A .-寺B -4C 寺D 冷【考点】31:奇函数、偶函数；3Q :函数的周期性. 【专题】11:计算题.令y=0解得x=1, 以及两直线垂直的令y=x 解得x=y【分析】由题意得If（专戸（诗）=-f （莽代入已知条件进行运算•【解答】解：••• f （x）是周期为2的奇函数，当O w x< 1时，f （x）=2x （ 1 - x）,_) =-f(日=-2 ——)=-故选：A.【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值.10. （5分）已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,直线y=2x- 4与C交于A, B两点,则cos/ AFB=(A. _4B.C.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题.【分析】根据已知中抛物线C: y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A, B 两点，我们可求出点A, B, F的坐标，进而求出向量B|,「的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案.【解答】解：•••抛物线C: y^=4x的焦点为F,••• F点的坐标为（1, 0）又•••直线y=2x- 4与C交于A, B两点，则A, B两点坐标分别为（1,- 2）（4, 4）,则〕=（0,- 2）,「二（3, 4）,则cos/ AFB=I「.故选：D.【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧.11. （5分）已知平面a截一球面得圆M，过圆心M且与a成60°二面角的平面B截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4n,则圆N的面积为【考点】MJ :二面角的平面角及求法. 【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出 0M 的长，找出二面角的平面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径，从而求出面积.【解答】解：•••圆M 的面积为4n •••圆M 的半径为2 根据勾股定理可知0M=-；•••过圆心M 且与a 成60°二面角的平面B 截该球面得圆N • / OMN=30，在直角三角形 OMN 中，ON 二； •••圆N 的半径为丨二则圆的面积为13n 故选：D .【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题.【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】利用向量的数量积求出一，.［的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合( )A . 7 nB . 9 n C. 11 n D . 13n12. （5 分）设向量 J ，：，满足 I [■- || =| !'| =1， a- 一,则| ■ |的最大值等于（） A . 2 D . 1图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出El最大值. 【解答】解：•.• |肚|二怜|二1, m二•••；. ［「的夹角为120。

2011年高考新课标全国I卷数学(理)试题精解精析(解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析1.解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C 2.解析:由图像知选B3.解析：框图表示1n n a n a -=⋅,且11a =所求6a =720选B4.解析;每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=3193=选A 5.解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B6.解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选D7.解析：通径|AB|=224b a a=得2222222b a a c a =⇒-=,选B 8.解析:1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x+-. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项51552155(2)()(1)2r r r r r r rr T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 9.解析;用定积分求解43242002116(2)(2)|323s x x dx x x x =-+=-+=⎰,选C10.解析：222cos 22cos 1a b a b a b θθ+=++=+>得, 1cos 2θ>-,20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭.由222cos 22cos 1a b a b a b θθ-=++=->得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦. 选A11.解析：()2sin()4f x x πωϕ=++,所以2ω=,又f （x ）为偶函数,,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈,()2sin(2)2cos22f x x x π∴=+=,选A12.解析：图像法求解.11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心,24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x , 则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=,所以选D 13.解析：画出区域图知, 当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点（4,-5）时,min 6z =-（14.解析：由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求. （15.解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232+=, OM=224(23)2-=,16232833O ABCD V -=⨯⨯⨯=. 16.解析：00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC AC BC A A B==⇒= 022sin 2sin(120)3cos sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+； 2AB BC ∴+=3cos 5sin 28sin()27sin()A A A A ϕϕ+=+=+,故最大值是2717.解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知a>0,故13q =. 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =. 故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+ 18.解析1：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则()1,0,0A ,()03,0B ，,()1,3,0C -,()0,0,1P .(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n =（x,y,z ）,则0n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即 3030x y y z -+=-=因此可取n =(3,1,3)设平面PBC 的法向量为m ,则 0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取m=（0,-1,3-） 427cos ,727m n -==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 277-（19.解析：（Ⅰ）由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的z xPCBA Dy频率分别为0.04,,054,0.42,因此X 的可能值为-2,2,4P （X=-2）=0.04, P （X=2）=0.54, P （X=4）=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820.解析; （Ⅰ）设M （x,y ）,由已知得B （x,-3）,A （0,-1）.所以MA uuu r=（-x,-1-y ）, MB uuu r =（0,-3-y ）, AB uu u r =（x,-2）.再由题意可知（MA uuu r +MB uuur ）• AB uu u r =0, 即（-x,-4-2y ）• （x,-2）=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. （Ⅱ）设P （x 0,y 0）为曲线C ：y=14x 2-2上一点,因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=. 则o 点到l 的距离20020|2|4y x d x -=+.又200124y x =-,所以 2020220014142(4)2,244x d x x x +==++≥++当20x =0时取等号,所以o 点到l 距离的最小值为2.21.解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++,所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--.X -2 2 4P 0.04 0.54 0.42考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.（i ）设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h （x ）递减.而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x>-；当x ∈（1,+∞）时,h （x ）<0,可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时,f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0,即f （x ）>1ln -x x +xk.（ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈（1,k -11）时,（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h（x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,k -11）时,h （x ）>0,可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾.（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,+∞）时,h （x ）>0,可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为（-∞,0]点评;求参数的范围一般用离参法,然后用导数求出最值进行求解.若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了.即以参数为分类标准,看是否符合题意.求的答案.此题用的便是后者. 22.解析：（I ）连接DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD AB mn AE AC ⨯==⨯ 即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆.（Ⅱ）m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2,AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F,分别过G,F 作AC,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C,B,D,E 四点共圆,所以C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于∠A=900,故GH ∥AB, HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21（12-2）=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52 23.解析：（I ）设P （x,y ）,则由条件知M （,22x y）.由于M 点在C 1上,所以2cos ,222sin 2x y αα⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭即 4c o s 44s i n x y αα=⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||23AB ρρ-==.24.解析：（Ⅰ）当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. （ Ⅱ）由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-,故2a =2019高中教师读书心得体会作为教师，在教授知识的提示，也应该利用空暇时刻渐渐品读一些好书，吸收书中的精华。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (理科)(解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ) （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i 【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数2(0)y x x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( )（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( ) （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解Cβα lABD E得5k =.解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足．若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1 【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D 到平面ABC 的距离.在Rt BCD ∆中,由等面积法得12633BD CD DE BC ⨯⨯===.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23, 23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=.ABC(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45-【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得35,5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离23OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴132ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g ，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1【答案】A【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年新课标卷高考理科数学试卷真题及解析

1 x 图像所有交点的横坐标之和等于( D )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
y 1 的对称中心是(1, 0),也是y 2sin x(2 x 4)
1 x
3
的中心,它们的图像在x 1
2
左侧有4个交点, 右侧也有4
个交点, 不妨把它们横坐标
1
从小到大设为x1 , x2 , x3 , x4 ,
6
B.
f
(
x
)在
4
,
3
4
单调递增
f ( x) 2 sin( x ), 2, 又f ( x)为偶函数,
4
k k , k Z ,
42
4
f ( x) 2 sin(2x ) 2 cos 2x
2
12. 函数y 1 的图像与函数y 2sin x(2 x 4)的
C52 (2 x)3
1 x
2
40
80
40
9.由曲线y x , 直线y x 2及y轴所围成的图形的
面积为( C )
10
4
16
A.
B. 4
C.
D. 6
3
3
3
4
S 0 ( x x 2)dx
2
2 3
3
x2
1 2
x2
2x
4 0
16 3
.
1
6
4
2
2
4
1
2
3
10.已知a与b均为单位向量,其夹角为 ,有下列四个命题
4
2
x5 , x6 , x7 , x8 , 则x1 x8
1
x2 x7 x3 x6 x4 x5 2
2

2011年高考试题(新课标卷理科数学)含答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数_2」的共轲复数是12i(A) 3i (B) -i (Q i (D) i5 5(2)下列函数中，既是偶函数又在(0,+ )单调递增的函数是3 2 IX(A) y x (B) y x 1 (C) y X 1 (D) y 2 rl(3)执行右面的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的p是(A)120(B)720(C)1440(D)5040(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1 12 3(A) - (B) —(C) —(D)-3 2 3 4(5)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上，则cos2 =,人、4 3 3 .C、4(A) —(B) —(C) 一(D)一5 5 5 5(A)P,P 4(6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示,则相应的俯视图可以为(A) (B) (C)(D)(7)设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A , B 两点,AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为(A) 22(B) 73 (0 2 (D) 3a 1 (8) x a 2x - 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为xx(9)由曲线y Jx,直线y x 2及y 轴所围成的图形的面积为(B) P,P 3 (C) P 2,P 3(D) P 2,P 4第2页共11页(A) -40(B) -20(C) 20(D) 40(B) 4(10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为(C) -63,有下列四个命题(D) 6P 1 : a b 10,— 3 P 2: a b 1P 3: a b 1 其中的真命题是0，3P 4: a b 1f( x) f (x),则(A) f (x)在0,-单调递减2. 3 __ ,,(B) f(x)在—，3—单调递减4 4(C) f (x)在0,-单调递增23 、一 •一(D) f (x)在一J 单调递增 4'4(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【实用资料】2011年全国高考理科数学试题及答案-全国.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．3B ．3C ．3D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2xe -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上．．．．作答无效．．．．）13．（）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．y 214．已知a ∈（2π，π），tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF与面ABC 所成的二面角的正切值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，b ，求C ． 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

2011年高考全国数学试卷(新课标)-理科(含详解答案)

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

2011年高考试题——(全国卷理)解析版

2011 年高考题全国卷II数学试题· 理科全解全析科目：数学试卷名称2011 年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)知识点检索号题目及解析新课标（1）复数z 1 i ， z为 z 的共轭复数，则 zz z 1（A）2i（ B）i（ C）i（ D）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选 B. z 1i, zz z 1 (1 i )(1 i) (1 i ) 1 i .（2）函数y 2 x (x≥0)的反函数为（A）y x2( x R)（ B）4（C）y4x 2( x R)（）Dyx2 ( x≥0) 4y 4x2 (x≥0)【思路点拨】先反解用y 表示 x, 注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选 B. 在函数y2x (x≥0) 中， y0 且反解x 得x y2，所以4y 2 x ( x≥0)的反函数为 y x2( x 0) .4（3）下面四个条件中，使a＞ b 成立的充分而不必要的条件是（A）a＞b 1（ B）a＞b 1（ C）a2＞b2（ D）a3＞b3【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由 a>b 推不出选项的选项 .【精讲精析】选 A. 即寻找命题 P 使 P a b, a b 推不出P，逐项验证可选A。

（4）设S n为等差数列a n的前n项和，若a11，公差d 2 ，S k 2S k24 ，则k（A） 8（B）7（C） 6（D） 5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二：利用 S k 2 S k a k 2 a k 1 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选 D.Sk 2S kak 2ak 12a 1 (2k 1)d 2 (2k 1)2 24 k 5.（5）设函数 f ( x)cos x( ＞0) ，将 yf (x) 的图像向右平移个单位长度后，3所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A ）1（B ） 3（C ） 6（D ） 93【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 y f ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。

2011年全国统一高考数学试卷详细解析(新课标卷)(理科)

2011年全国统一高考数学试卷（新课标卷）（理科）答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、复数的共轭复数是（）A、B、C、﹣iD、i考点：复数代数形式的混合运算。

专题：计算题。

分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．解答：解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A、y=x3B、y=|x|+1C、y=﹣x2+1D、y=2﹣|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。

专题：常规题型。

分析：首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．解答：解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选B．点评：本题考查基本函数的奇偶性及单调性．3、执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A、120B、720C、1440D、5040考点：程序框图。

专题：图表型。

分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．解答：解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；经过第六次循环得此时执行输出720，故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．4、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A、B、C、D、考点：古典概型及其概率计算公式。

2011年全国高考数学试题及答案(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 3. 4. 5. 6. 7.1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线12+=-xe y 在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=(A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(C) 11π (D) 13π 11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于 (D) 1小题，每小题5分，共其答案按先后次序填写的系数与x )，AM ,17.,a c +18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

2011年新课标高考数学理科试卷(带详解)

1.复数2i12i+-的共轭复数是（） A.3i 5- B.3i 5C.i -D.i 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出复数，求其共轭复数. 【难易程度】容易【参考答案】C 【试题解析】2i (2i)(12i)i 12i 5+++==-,共轭复数为-i,选C.2.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A.3y x =B. 1y x =+C.21y x =-+D. 2x y -=【测量目标】函数奇偶性及单调性的判断.【考查方式】给出四个函数，判断其是否为偶函数并在定义域单调递增. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由3y x =不是偶函数，则A 错，(步骤1)21y x =-+在(0,)+∞单调递减，则C 错，（步骤2） 2xy -=在(0,)+∞单调递减，则D 错，所以选B.（步骤3）3.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（） A.120 B.720 C.1440 D.5040第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，由输入值与p 和k 的关系求输出值. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】框图表示1n n a n a -= ，且11a =所求6a =720,选B.4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A.13B.12C.23D.34【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出问题情境，根据列举法求解概率. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为3193P ==,选A. 5.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（）A.45-B.35-C.35D.45【测量目标】诱导公式.【考查方式】由所给条件去化简求值. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】由题知,tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++,选B.6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）第6题图A Yxj 68B Yxj69C Yxj 70D Yxj71【测量目标】平面图形的三视图.【考查方式】已知平面图形的正视图和俯视图，求其侧视图. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选D.7.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )【测量目标】双曲线的几何性质及离心率.【考查方式】由直线与双曲线的位置关系求其离心率. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】通径224b AB a a==,得22222222+3b a a b c c a e =⇒=⇒=⇒=，选B.8.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A.-40B.-20C.20D.40【测量目标】二项式定理.【考查方式】已知二项式的展开式各系数之和，求展开式的常数项. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】方法 1.令1x =得1a =.故原式=511()(2)x x x x +-,51(2)x x-的通项为51552155C (2)()C (1)2r r r rr r r r T x x x ----+=-=-，（步骤1）由5-2r =1得r =2,对应的常数项=80，由5-2r =-1得r =3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D.（步骤2）方法2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x ,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x .（步骤3）故常数项=223322335353111C (2)C ()C ()C (2)x x x x x x-+- =-40+80=40（步骤4）9.由曲线y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ( )A.103 B.4 C.163D.6 【测量目标】定积分及封闭图形面积的解法.【考查方式】已知曲线与直线方程，求其与y 轴围成的图形的面积. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】用定积分求解32420421162)(2)0323S x dx x x x =+=-+=⎰，选C10.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题其中的真命题是（）12:10,3p θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3p θπ⎛⎤+>⇔∈π ⎥⎝⎦a b3:10,3p θπ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3p θπ⎛⎤->⇔∈π ⎥⎝⎦a bA.14,p pB.13,p pC.23,p pD.24,p p【测量目标】不等式比较大小及向量的线性运算. 【考查方式】给出四个不等式，判断是否为真命题. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】1+==a b 得， 1cos 2θ>-，2π0,3θ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭，（步骤1）由1-==>a b 得1cos 2θ<π,π3θ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦，选A （步骤2）11.设函数π()s i n ()c o s ()(0,)2f x x x ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A.()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B.()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【测量目标】三角函数的周期性、奇偶性、单调性.【考查方式】已知三角函数()f x 及其最小正周期、奇偶性，求其单调减区间或单调增区间. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】π())4f x x ωϕ=++，所以2ω=，（步骤1）又()f x 为偶函数，πππππ,424k k k ϕϕ∴+=+⇒=+∈Z ，π())22f x x x ∴=+=，选A （步骤2）12.函数11y x =-的图象与函数2sin π(24)y x x =-剟的图象所有交点的横坐标之和等于（） A.2 B.4 C. 6 D.8【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】已知两函数的解析式，通过函数图象求解.【难易程度】中等【参考答案】D 【试题解析】11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin π(24)y x x =-剟的中心，（步骤1）24x-剟他们的图象在1x =的左侧有4个交点，则1x =右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为12345678,,,,,,,x x x x x x x x ，则18273642x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D.(步骤2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y +⎧⎨-⎩剟剟则2z x y =+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】已知二元不等式组，通过图象解出目标函数的最小值. 【难易程度】容易【参考答案】-6【试题解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时，min 6z =-.第13题图14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF △的周长为16，那么C 的方程为 .【测量目标】椭圆的标准方程.【考查方式】已知离心率及直线与椭圆的位置关系，求椭圆的标准方程. 【难易程度】容易【参考答案】221168x y += 【试题解析】由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得4,a c ==（步骤1）从而2228,1168x y b =∴+=为所求.（步骤2）15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为【测量目标】立体几何中两点距离及体积的求解.【考查方式】已知立体几何中线段的长及直线的关系求棱锥的体积. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】设ABCD 所在的截面圆的圆心为M ,则AM ==2OM ==,（步骤1）1623O ABCD V -=⨯⨯=.（步骤2）16.在ABC V中，60,B AC == 2AB BC +的最大值为 .【测量目标】正弦定理、利用三角函数求最值.【考查方式】给出三角形的边长及角的大小，求所给向量的最大值. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】120120A C C A +=⇒=- ,(0,120)A ∈ ,22sin sin sin BC ACBC A A B==⇒=（步骤1）22sin 2sin(120)sin sin AB ACAB C A C B==⇒==-sin A A =+；（步骤2）25sin sin())AB BC A A A A ϕϕ∴+++=+，故最大值是.（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共小题，每小题分，满分分）．（分）复数的共轭复数是（）．．．﹣ ．．（分）下列函数中，既是偶函数又在（， ∞）上单调递增的函数是（）．．． ﹣ ． ﹣．（分）执行如图的程序框图，如果输入的是，那么输出的是（）．．．．．（分）有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）．．．．．（分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）．﹣ ．﹣ ．．．（分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．．．．．（分）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为（）．．．．．（分）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（）．﹣ ．﹣ ．．．（分）由曲线，直线 ﹣ 及轴所围成的图形的面积为（）．．．．．（分）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：＞ ⇔ ∈ ，）；：＞ ⇔ ∈（，；： ﹣ ＞ ⇔ ∈ ，）；： ﹣ ＞ ⇔ ∈（，；其中的真命题是（）．，．，．，．，．（分）设函数（）（）（）的最小正周期为，且（﹣ ）（），则（）．（）在单调递减．（）在（，）单调递减．（）在（，）单调递增．（）在（，）单调递增．（分）函数的图象与函数（﹣ ≤ ≤ ）的图象所有交点的横坐标之和等于（）．．．．二、填空题（共小题，每小题分，满分分）．（分）若变量，满足约束条件则的最小值为．．（分）在平面直角坐标系，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线交于，两点，且△ 的周长为，那么的方程为．．（分）已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，，则棱锥 ﹣ 的体积为．．（分）在△ 中，，，则的最大值为．三、解答题（共小题，满分分）．（分）等比数列的各项均为正数，且，，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和．．（分）如图，四棱锥 ﹣ 中，底面为平行四边形，∠ ，， ⊥底面．（）证明： ⊥ ；（）若，求二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．．（分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为配方和配方）做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组，），），），），频数配方的频数分布表指标值分组，），），），），频数（）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；（）已知用配方生成的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为从用配方生产的产品中任取一件，其利润记为（单位：元），求的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（分）在平面直角坐标系中，已知点（，﹣ ），点在直线 ﹣ 上，点满足∥，，点的轨迹为曲线．（）求的方程；（）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值．．（分）已知函数（），曲线（）在点（，（））处的切线方程为 ﹣ ．（）求、的值；（）如果当＞，且 ≠ 时，（）＞，求的取值范围．．（分）如图，，分别为△ 的边，上的点，且不与△ 的顶点重合．已知的长为，的长为，，的长是关于的方程 ﹣ 的两个根．（）证明：，，，四点共圆；（）若∠ ，且，，求，，，所在圆的半径．．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线（）求的方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．．设函数（） ﹣ ，其中＞．（）当时，求不等式（）≥ 的解集（）若不等式（）≤ 的解集为 ≤﹣ ，求的值．年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共小题，每小题分，满分分）．（分）（新课标）复数的共轭复数是（）．．．﹣ ．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为（， ∈ ）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数，它的共轭复数为：﹣ ．故选．（分）（新课标）下列函数中，既是偶函数又在（， ∞）上单调递增的函数是（）．．． ﹣ ． ﹣【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（， ∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于．，由（﹣ ） ﹣ ﹣ （），为奇函数，故排除；对于．，由（﹣ ） ﹣ （），为偶函数，当＞时，，是增函数，故正确；对于． ﹣ ，有（﹣ ）（），是偶函数，但＞时为减函数，故排除；对于． ﹣ ，有（﹣ ）（），是偶函数，当＞时， ﹣ ，为减函数，故排除．故选．．（分）（新课标）执行如图的程序框图，如果输入的是，那么输出的是（）．．．．【分析】执行程序框图，写出每次循环，的值，当＜不成立时输出的值即可．【解答】解：执行程序框图，有，，，＜成立，有，＜成立，有，＜成立，有，＜成立，有，＜成立，有，＜不成立，输出的值为．故选：．．（分）（新课标）有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）．．．．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 × 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 × 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有种结果，根据古典概型概率公式得到，故选．．（分）（新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）．﹣ ．﹣ ．．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：，所以，则 ﹣ ×﹣ ﹣．故选：．．（分）（新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．．．．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选．．（分）（新课标）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为（）．．．．【分析】不妨设双曲线：，焦点（﹣ ，），由题设知，，由此能够推导出的离心率．【解答】解：不妨设双曲线：，焦点（﹣ ，），对称轴，由题设知，，∴，，﹣ ，，∴ ．故选．．（分）（新课标）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（）．﹣ ．﹣ ．．【分析】给赋值求出各项系数和，列出方程求出；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的为得到展开式的各项系数和为∴∴∴∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为（﹣ ） ﹣ ﹣令 ﹣ 得；令 ﹣ ﹣ 得展开式中常数项为 ﹣故选．（分）（新课标）由曲线，直线 ﹣ 及轴所围成的图形的面积为（）．．．．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线，直线 ﹣ 的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（，），因此曲线，直线 ﹣ 及轴所围成的图形的面积为：．故选．．（分）（新课标）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：＞ ⇔ ∈ ，）；：＞ ⇔ ∈（，；： ﹣ ＞ ⇔ ∈ ，）；： ﹣ ＞ ⇔ ∈（，；其中的真命题是（）．，．，．，．，【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出 ﹣ ＞，即＜，又 ∈ ，，故可以得出 ∈（，，故错误，正确．由＞，得出＞，即＞﹣，又 ∈ ，，故可以得出 ∈ ，），故错误，正确．故选．．（分）（新课标）设函数（）（）（）的最小正周期为，且（﹣ ）（），则（）．（）在单调递减．（）在（，）单调递减．（）在（，）单调递增．（）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与的关系确定出的值，根据函数的偶函数性质确定出的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于（）（）（），由于该函数的最小正周期为，得出，又根据（﹣ ）（），得（ ∈ ），以及＜，得出．因此，（），若 ∈，则 ∈（，），从而（）在单调递减，若 ∈（，），则 ∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故，，都错，正确．故选．．（分）（新课标）函数的图象与函数（﹣ ≤ ≤ ）的图象所有交点的横坐标之和等于（）．．．．【分析】的图象由奇函数的图象向右平移个单位而得，所以它的图象关于点（，）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数的图象的一个对称中心也是点（，），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，的图象有公共的对称中心（，），作出两个函数的图象如图当＜ ≤ 时，＜而函数在（，）上出现个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数在（，）上函数值为负数，且与的图象有四个交点、、、相应地，在（﹣ ，）上函数值为正数，且与的图象有四个交点、、、且： ═ ，故所求的横坐标之和为故选二、填空题（共小题，每小题分，满分分）．（分）（新课标）若变量，满足约束条件则的最小值为﹣ ．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数变化为 ﹣ ，当直线沿着轴向上移动时，的值随着增大，当直线过点时，取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数，变化为 ﹣ ，当直线沿着轴向上移动时，的值随着增大，当直线过点时，取到最小值，由 ﹣ 与的交点得到（，﹣ ）∴ （﹣ ） ﹣故答案为：﹣ ．．（分）（新课标）在平面直角坐标系，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线交于，两点，且△ 的周长为，那么的方程为．【分析】根据题意，△ 的周长为，即，结合椭圆的定义，有，即可得的值；又由椭圆的离心率，可得的值，进而可得的值；由椭圆的焦点在轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ 的周长为，即；根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，将，代入可得，，则 ﹣ ；则椭圆的方程为；故答案为：．．（分）（新课标）已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，，则棱锥 ﹣ 的体积为．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：，所以棱锥 ﹣ 的体积为：．故答案为：．（分）（新课标）在△ 中，，，则的最大值为．【分析】设利用余弦定理和已知条件求得和的关系，设代入，利用判别大于等于求得的范围，则的最大值可得．【解答】解：设由余弦定理所以 ﹣设代入上式得﹣ ﹣△ ﹣ ≥ 故 ≤当时，此时，符合题意因此最大值为另解：因为，，所以，由正弦定理，有，所以，．所以（ ﹣ ）（ ﹣ ）（），（其中，）所以的最大值为．故答案为：三、解答题（共小题，满分分）．（分）（新课标）等比数列的各项均为正数，且，，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和．【分析】（）设出等比数列的公比，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列的通项公式代入设，利用对数的运算性质及等差数列的前项和的公式化简后，即可得到的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前项和．【解答】解：（）设数列的公比为，由得，所以．由条件可知各项均为正数，故．由得，所以．故数列的通项式为．（） ﹣（） ﹣，故 ﹣ ﹣ （﹣）则 ﹣ （ ﹣）（﹣）（﹣） ﹣，所以数列的前项和为﹣．．（分）（新课标）如图，四棱锥 ﹣ 中，底面为平行四边形，∠ ，， ⊥底面．（）证明： ⊥ ；（）若，求二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．【分析】（）因为∠ ，，由余弦定理得，利用勾股定理证明 ⊥ ，根据 ⊥底面，易证⊥ ，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证 ⊥ ；（）建立空间直角坐标系，写出点，，，的坐标，求出向量，和平面的法向量，平面的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（）证明：因为∠ ，，由余弦定理得，从而，故 ⊥又 ⊥底面，可得 ⊥所以 ⊥平面．故 ⊥（）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系 ﹣ ，则（，，），（，，），（﹣ ，，），（，，）．（﹣ ，，），（，，﹣ ），（﹣ ，，），设平面的法向量为（，，），则即，因此可取（，，）设平面的法向量为（，，），则，即：可取（，，），＜＞故二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值为：﹣．．（分）（新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为配方和配方）做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组，），），），），频数配方的频数分布表指标值分组，），），），），频数（）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；（）已知用配方生成的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为从用配方生产的产品中任取一件，其利润记为（单位：元），求的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（）由试验结果知，用配方生产的产品中优质的频率为∴用配方生产的产品的优质品率的估计值为．由试验结果知，用配方生产的产品中优质品的频率为∴用配方生产的产品的优质品率的估计值为；（）用配方生产的件产品中，其质量指标值落入区间，），，），，的频率分别为，，，∴ （ ﹣ ），（），（），即的分布列为﹣∴ 的数学期望值 ﹣ × × ×．（分）（新课标）在平面直角坐标系中，已知点（，﹣ ），点在直线 ﹣ 上，点满足∥，，点的轨迹为曲线．（）求的方程；（）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值．【分析】（）设（，），由已知得（，﹣ ），（，﹣ ）并代入∥，，即可求得点的轨迹的方程；（）设（，）为上的点，求导，写出在点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得点到距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（）设（，），由已知得（，﹣ ），（，﹣ ）．所（﹣ ，﹣ ﹣ ），（，﹣ ﹣ ），（，﹣ ）．再由题意可知（），即（﹣ ，﹣ ﹣ ）（，﹣ ）．所以曲线的方程式为 ﹣ ．（）设（，）为曲线： ﹣ 上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为 ﹣ （ ﹣ ），即 ﹣ ﹣ ．则点到的距离．又 ﹣ ，所以 ≥ ，所以时取等号，所以点到距离的最小值为．．（分）（新课标）已知函数（），曲线（）在点（，（））处的切线方程为 ﹣ ．（）求、的值；（）如果当＞，且 ≠ 时，（）＞，求的取值范围．【分析】（）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值．（）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数的范围．【解答】解：由题意（），即切点坐标是（，）（）由于直线 ﹣ 的斜率为，且过点（，），故即解得，．（）由（）知，所以）．考虑函数（＞），则．（）设 ≤ ，由知，当 ≠ 时，（）＜．而（），故当 ∈（，）时，（）＜，可得；当 ∈（， ∞）时，（）＜，可得（）＞从而当＞，且 ≠ 时，（）﹣（）＞，即（）＞．（）设＜＜．由于当 ∈（，）时，（ ﹣ ）（）＞，故（）＞，而（），故当 ∈（，）时，（）＞，可得（）＜，与题设矛盾．（）设 ≥ ．此时（）＞，而（），故当 ∈（，∞）时，（）＞，可得（）＜，与题设矛盾．综合得，的取值范围为（﹣∞，．．（分）（新课标）如图，，分别为△ 的边，上的点，且不与△ 的顶点重合．已知的长为，的长为，，的长是关于的方程 ﹣ 的两个根．（）证明：，，，四点共圆；（）若∠ ，且，，求，，，所在圆的半径．【分析】（）做出辅助线，根据所给的的长为，的长为，，的长是关于的方程 ﹣ 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取的中点，的中点，分别过，作，的垂线，两垂线相交于点，连接，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（）连接，根据题意在△ 和△ 中，× × ，即又∠ ∠ ，从而△ ∽△因此∠ ∠∴ ，，，四点共圆．（），时，方程 ﹣ 的两根为，．故，．取的中点，的中点，分别过，作，的垂线，两垂线相交于点，连接．∵ ，，，四点共圆，∴ ，，，四点所在圆的圆心为，半径为．由于∠ ，故 ∥ ， ∥ ．，（ ﹣ ）．故，，，四点所在圆的半径为．（新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线（）求的方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．【分析】（）先设出点的坐标，然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程；（）根据（）将求出曲线的极坐标方程，分别求出射线与的交点的极径为，以及射线与的交点的极径为，最后根据 ﹣ 求出所求．【解答】解：（）设（，），则由条件知（，）．由于点在上，所以即从而的参数方程为（为参数）（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为．所以 ﹣ ．．（新课标）设函数（） ﹣ ，其中＞．（）当时，求不等式（）≥ 的解集（）若不等式（）≤ 的解集为 ≤﹣ ，求的值．【分析】（）当时，（）≥ 可化为 ﹣ ≥ ．直接求出不等式（）≥ 的解集即可．（）由（）≤ 得 ﹣ ≤ 分 ≥ 和 ≤ 推出等价不等式组，分别求解，然后求出的值．【解答】解：（）当时，（）≥ 可化为﹣ ≥ ．由此可得 ≥ 或 ≤﹣ ．故不等式（）≥ 的解集为≥ 或 ≤﹣ ．（）由（）≤ 得﹣ ≤此不等式化为不等式组或即或因为＞，所以不等式组的解集为由题设可得﹣ ﹣ ，故。