连续与间断

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连续性间断点,连续函数的运算

无穷间断点左右极限至少有一第二类间断点振荡间断点个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x

函数的连续性与间断性

lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2，则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证函明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内间 .连
证任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意当的 0时 , 有 si n,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如果左极限 f(x０ )及右极限 f(x０ )都存在 , 那么 x0称为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果不f(是 x)的第一,那类x0 么称间为断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右点极中限左相、等者称为
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与值 1 之在间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所限以多 x点 0 次称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所义以函数

数学分析中的连续与间断

数学分析中的连续与间断在数学分析中，连续与间断是重要的概念，用于描述函数在某个点的行为。

本文将详细介绍连续与间断的定义、分类以及相关定理。

1. 连续的定义在数学分析中，一个函数f(x)在某个点a上连续，意味着当x接近于a时，f(x)也接近于f(a)。

换句话说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意满足|a-x|<δ的x，都有|f(a)-f(x)|<ε成立，那么函数f在点a上连续。

2. 间断的定义与连续相对应，间断表示函数在某个点上的行为不连续。

间断点可以分为三种类型：第一类间断、第二类间断和跳跃间断。

2.1 第一类间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在，但是两个极限不相等，即lim_(x→a^-) f(x)≠lim_(x→a^+) f(x)，那么点a就是函数f(x)的第一类间断点。

2.2 第二类间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在，但是至少一个极限不存在或为无穷大，即至少一个极限lim_(x→a) f(x)不存在或为无穷大，那么点a就是函数f(x)的第二类间断点。

第二类间断可以进一步细分为可去间断和无穷间断。

2.2.1 可去间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在但不相等，并且lim_(x→a) f(x)不存在，那么点a就是函数f(x)的可去间断点。

2.2.2 无穷间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在但不相等，并且至少一个极限为无穷大，那么点a就是函数f(x)的无穷间断点。

2.3 跳跃间断如果函数f(x)在点a的左右极限不存在，即lim_(x→a^-) f(x)和lim_(x→a^+) f(x)都不存在，那么点a就是函数f(x)的跳跃间断点。

3. 连续与间断的性质与定理3.1 连续函数的性质若函数f和g在点a处连续，则以下函数也连续：- f(x)+g(x)- kf(x)（k为常数）- f(x)g(x)- f(g(x))（复合函数）3.2 间断函数的性质若函数f在点a处存在第一类间断，则以下函数也存在第一类间断：- |f(x)|- kf(x)（k为常数）- f(x)+g(x)- f(x)g(x)（假设g(x)在点a连续）若函数f在点a处存在第二类间断，则以下函数也存在第二类间断：- |f(x)|- kf(x)（k为常数）- f(x)+g(x)（假设g(x)在点a存在第二类间断）- f(x)g(x)（假设g(x)在点a存在第二类间断）3.3 介值定理若函数f在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，对于任意介于f(a)和f(b)之间的y，存在一个点c∈(a,b)，使得f(c)=y。

连续性和间断点

作业
P4 1、2、3
机动目录
f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
lim[ f (x0 x) f (x )] 0
x0
0
y y f (x)
y
lim y 0
x0
x
o x0 x x
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二、函数的间断点
设在点的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点不连续 : (1) 函数在无定义 ;
(2) 函数在虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数在虽有定义 , 且
存在 , 但
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点称为间断点 .
机动目录上页下页返回结束
间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若若第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
在点连续的等价形式
在点间断的类型可去间断点
第一类间断点跳跃间断点无穷间断点
第二类间断点振荡间断点
左右极限都存在
左右极限至少有一个不存在
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思考与练习
1. 讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
又如, 有理分式函数在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(

间断点和连续点的关系

间断点和连续点的关系在数学中，间断点是指函数在某个点上不连续的现象。

具体来说，如果一个函数在某个点x=a的左右两侧的极限存在，但这两个极限不相等，那么这个点就被称为间断点。

间断点有三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

首先我们来看可去间断点。

可去间断点是指函数在某个点上虽然不连续，但可以通过修改函数在该点上的定义来使得函数在该点上连续。

例如，考虑函数f(x)=x/x，当x=0时，函数的值是未定义的，但可以通过定义f(0)=1来使得函数在x=0处连续。

其次是跳跃间断点。

跳跃间断点是指函数在某个点上的左右极限存在，但不相等。

例如，考虑函数f(x)=x，当x=1时，函数的左极限是1，右极限是1，但它们不相等，所以x=1是函数f(x)的一个跳跃间断点。

最后是无穷间断点。

无穷间断点是指函数在某个点上的左右极限至少有一个是无穷大。

例如，考虑函数f(x)=1/x，当x=0时，函数的左极限是无穷大，右极限是负无穷大，所以x=0是函数f(x)的一个无穷间断点。

与间断点相对的是连续点。

连续点是指函数在某个点上连续的现象。

具体来说，如果一个函数在某个点x=a的左右两侧的极限存在且相等，那么这个点就被称为连续点。

连续点是函数中最常见的情况，大部分函数在定义域的大部分区间上都是连续的。

间断点和连续点的关系可以通过以下几个方面来描述。

首先，根据间断点的定义，我们可以得出结论：一个函数在某个点上连续当且仅当该点不是间断点。

换句话说，连续点是指函数在该点上没有间断的点。

间断点和连续点在函数图像上有明显的区别。

间断点通常表现为函数图像上的断裂或者突变，而连续点则表现为函数图像上的平滑和连贯。

通过观察函数图像，我们可以清楚地看到间断点和连续点的不同特征。

间断点和连续点在函数的性质和应用中也有所不同。

连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理和最值定理等，这些性质在实际问题的求解中起到了重要的作用。

而间断点则可能导致函数在某些点上的性质发生变化，因此在分析函数的性质时需要特别注意这些间断点。

间断点和连续点的关系

间断点和连续点的关系一、概述间断点和连续点是数学中的概念，用于描述函数图像上的特殊点。

间断点指的是函数在某一点上不连续的现象，而连续点则表示函数在某一点上连续的现象。

本文将深入探讨间断点和连续点之间的关系，以及它们在数学中的重要性。

二、间断点的定义与分类1. 定义间断点是指函数在某一点处存在不连续现象的情况。

具体来说，对于函数f(x)，若存在一个点a，满足以下三个条件中的任意一个，就称a为f(x)的间断点： -函数f(x)在点a处的函数值不存在（无定义）。

- 函数f(x)在点a处的函数极限存在，但与f(a)不相等。

- 函数f(x)在点a处的左右极限存在，但不相等。

2. 分类根据间断点的性质，可以将间断点分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1. 可去间断点：当函数在某一点的函数极限存在，但与函数在该点处的函数值不相等时，称该点为可去间断点。

可去间断点是由于函数在该点附近有一个孤立的不连续现象造成的。

2. 跳跃间断点：当函数在某一点的左右极限存在，但不相等时，称该点为跳跃间断点。

跳跃间断点是由函数在该点出现一个波动不连续的现象造成的。

3. 无穷间断点：当函数在某一点的左右极限至少有一个趋于无穷大时，称该点为无穷间断点。

无穷间断点是由于函数在该点附近的函数值无限增大或减小而导致的。

三、连续点的定义与性质1. 定义连续点是指函数在某一点上满足连续性的现象。

具体来说，对于函数f(x)，若对于任意给定的数ε（ε > 0），存在数δ（δ > 0），使得当|x-a| < δ时，都有|f(x)-f(a)| < ε成立，则称函数f(x)在点a处连续。

2. 性质连续点相较于间断点更加普遍，它们具有以下性质： 1. 函数在连续点的局部变化趋势比较平缓，不会出现突变。

2. 连续点的函数值和函数极限是相等的。

3. 可以通过连续点的局部性质进行函数的逼近和近似计算。

4. 连续点可以构成区间，对函数进行求积分、求导等操作。

函数的连续性与间断点

且是无穷次振荡型间断点.
O

1 y sin x
x
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型极限与连续之间的关系: f (x)在x0点连续
f (x)在x0点存在极限
求函数f ( x )
1 1 e
x 1 x
的间断点, 并指出其类型.
解当x 0, x 1时, 函数无定义, 是函数的间断点. 1 , x 0, 由于 lim f ( x ) lim x x 0 x 0 1 x 1 e 所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
lim y 0
则称函数f (x)在x0处连续, 并称x0为函数 f (x)的连续点.
设 x x0 x , y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 即为 x x0 , y 0 即为 f ( x ) f ( x0 ).
lim 定义2 若 x x f ( x ) f ( x0 ), 则称函数 f (x)
f ( x0 0 ) , 称x0为跳跃间断点.
第二类间断点： f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 中至少一个不存在. 若其中有一个为 , 称x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡, 称x0为振荡间断点.
例点x 0是如下函数的第几类间断点：
(1)
sin x f ( x) ; x
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.
x2 , 例讨论函数 f ( x ) x 1,
x 1, x 1,
在 x 1处的连续性.

函数的连续性与间断点

x x0
x x0
二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例
二、函数的间断点
（一）概念（二）分类（三）举例
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第八讲函数的连续性与间断点
连续性:
连续函数: 要求:
函数的一种变化性态
高等数学的主要研究对象理解连续的概念理解间断的概念与分类会讨论函数的连续性
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
x0 , x0 内有界.
定理函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
[a , b]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
二、函数的间断点
（一）概念（二）分类（三）举例
二、函数的间断点
（一）概念（二）分类（三）举例
定义设函数 y f ( x ) 在点x0 的某去心邻域内有定义,
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念

间断点和连续点的关系

间断点和连续点的关系
间断点和连续点是数学中的两个重要概念，在多个数学领域都得到广
泛的应用。

间断点是指函数定义域中一个点，其左右极限不存在或者
不相等，在此点处无法定义函数值。

而连续点则是指函数定义域中的
一个点，其左右极限存在且相等，函数可以在此点处被定义。

间断点和连续点的关系在函数的特性和性质分析中具有重要意义。

以
下是两者关系的讨论：
1. 间断点可能是连续点，连续点不可能是间断点。

这是因为连续点要
求函数在此点处连续存在，其左右极限一定相等。

而间断点的左右极
限不存在或者不相等，因此不能是连续点。

2. 针对连续点的梯度、函数值以及函数的其他特性在该点处均存在，
而针对间断点的梯度、函数值以及函数的其他特性在该点处均不存在。

3. 间断点可分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点，其中跳跃间
断点是一种常见的类型。

跳跃间断点即函数在该点处的左右极限都存在，但是极限不相等。

在跳跃间断点处，函数定义域的各个部分都具
有连续性，但是在该点处失去了连续性。

4. 连续点和间断点的出现是函数定义的必然结果，因此在函数的分析中我们需要关注这两者的特性，并根据需要分别考虑。

在一些建模场景下，间断点和连续点的性质可以被用来进行合理的函数近似，以此为依据应用到问题的解决中。

总之，间断点和连续点的关系在数学中具有重要意义，不仅体现了函数特性的不同，也为问题建模和解决提供了基础依据。

研究和理解这两者的特性，对于建立更准确的数学模型、解决更复杂的数学问题具有重要意义。

《连续性与间断点》课件

连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性，因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极限不相等，即函数在该点处发生“跳跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处理的一种，可以通过补充定义使得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。

本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。

具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。

对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。

1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。

换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。

2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。

即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。

3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。

也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。

二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。

对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。

而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。

对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。

《连续性和间断点》课件

深入研究连续性和间断点可以提高对函数行为的理解。
连续性和间断点在实际问题中的应用
连续性和间断点在实际问题中具有广泛的应用价值。
3
第一类间断点
在此点处函数的极限存在，但函数本身在此点处不连续。
可去间断点
在此点处函数有间断，但可以通过修补来使函数连续。
连续性和间断点的判定方法
1 函数的分段定义
可以通过分段定义来描述函数的连续性。
2 左右极限的存在性
函数在间断点两侧的极限是否存在能够判定连续性。
3 极限的大小关系
极限的大小关系可以提供连续性的信息。
连续性和间断点
# 连续性和间断点 PPT课件大纲
连续性的定义
连续性的概念
连续性是函数在一个区间上无间断的特性。
连续Байду номын сангаас数的定义
连续函数是定义域上处处连续的函数。
闭区间上的连续函数
在闭区间上连续的函数在区间的两个端点都有定义。
间断点的分类
1
第二类间断点
2
在此点处函数的极限不存在，函数也不连续。
应用实例
连续函数的应用
连续函数在科学、工程、经济等领域中有广泛的应用。
间断点的应用
间断点在物理、计算机等领域中有各种实际应用。
数学建模中的连续性和间断点问题
连续性和间断点问题在数学建模中具有重要实际意义。
总结
连续性和间断点的意义
连续性和间断点是研究函数特性的重要概念。
连续性和间断点的深入研究

连续与间断的概念及连续函数的运算

定义, 如果 lim x0
f (x)
f ( x0 ), 那么就称函数
f (x)
在点 x0 连续.
定义3 " "定义 :
f ( x) 在点 x0 连续 0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
例1
连续.
设函数 y f ( x)在点 x0 的某一个邻域内有
定义,当自变量 x 在这邻域内从 x0变到 x0 x 时, 函数 y 相应地从 f ( x0 ) 变到 f ( x0 x), 则函数 y 对应的增量为 y f ( x0 x) f ( x0 ).
从几何上观察:
y
y f (x)
cos x, a x,
x 0 在 x 0处连续. x0
解因为 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim (a x) a,
x0
x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0) a 1,
x1 1 x
x1
因为 lim x , 所以 lim f ( x) 1,
x1 1 x
x1
所以 x 1为跳跃间断点.
几个特殊函数的连续性
(1) 狄利克雷函数
y

D(
x)

1, 0,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断, 且都是第二类间断点.
但
x2 lim
1
lim( x 1) 2,
x1 x 1 x1
若补充定义: 令 x 1时 y 2, 则函数在 x 1 连续,

函数的连续性和间断点

又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
y
y f ( x)
y
x
0
x0
x 0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数的增量y 也趋向于零,即 lim y 0
x 0 x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
故| f ( x ) |、 f ( x )在 x0 都连续.
2
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
练习题
一、填空题：
x2 1 1 、指出 y 2 在 x 1 是第 _______ 类间 x 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . x2 x 2 、指出 y 在 x 0 是第 ________ 类间 2 x ( x 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1 二、研究函数 f ( x ) 的连续性，并画出函数 1, x 1 的图形 .

两个函数连续与间断的关系

两个函数连续与间断的关系在数学中，连续与间断是两个重要的概念。

连续函数是指在定义域内的每一个点都存在极限，并且函数值与极限值相等的函数。

而间断函数则是指在定义域的某些点上不连续的函数。

本文将探讨连续函数与间断函数之间的关系。

我们来看连续函数。

连续函数是数学中最常见的函数类型之一，它具有平滑、连贯的特点。

在连续函数中，函数曲线没有任何突变或断裂的地方，可以被无限细分的点所覆盖。

例如，常见的多项式函数、三角函数等都属于连续函数。

连续函数在数学和物理等领域中有广泛的应用，能够准确描述各种变化规律。

接下来，我们来看间断函数。

间断函数是指在定义域的某些点上不连续的函数。

在这些点上，函数曲线存在突变或断裂的情况。

间断函数可以分为可去间断、跳跃间断和无穷间断三种情况。

可去间断是指在某个点上的函数值与该点的极限存在但不相等的情况。

这种情况通常是由于定义域内的某个点被去掉或者在该点上定义了一个新的函数值。

例如，函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在 x = 1 处具有可去间断，因为在该点上的极限存在但与函数值不相等。

跳跃间断是指在某个点上的函数值与该点的左右极限不相等的情况。

这种情况通常是由于定义域内的某个点存在一个突变或跳跃。

例如，函数 f(x) = floor(x) 在整数点上具有跳跃间断，因为在整数点上的左右极限不相等。

无穷间断是指在某个点上的函数值或者左右极限为无穷大的情况。

这种情况通常是由于定义域内的某个点接近一个奇点或者发散。

例如，函数 f(x) = 1/x 在 x = 0 处具有无穷间断，因为在该点上的函数值为无穷大。

连续函数与间断函数之间存在着密切的关系。

事实上，可以将连续函数看作是一种特殊的间断函数，即在定义域的每一个点上都不存在间断。

而间断函数则可以看作是连续函数在某些点上的特殊情况。

因此，连续函数与间断函数是相互补充、相互依存的。

总结起来，连续函数是数学中最常见的函数类型之一，具有平滑、连贯的特点，能够准确描述各种变化规律。