八年级数学下册第章三角形的证明角平分线第课时角平分线作业
2021八年级数学北师大版下第1章《三角形的证明》角平分线选择训练(二)含答案
北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》角平分线专项训练（二）1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交边AC于点G，若AG＝，则△GBC的面积为（）A．3B．6C．2D．2．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm23．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（）A．36 B．18 C．12 D．95．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．不能确定6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC等于（）A．2cm B．3cm C．3cm D．4cm7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，在Rt△ABC中，其中∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC＝5，AD＝2，则图中长度为的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AC＝10cm，则△DBE的周长为（）A．10 B．15 C．10D．2011．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC 于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若CD ＝BD ，点D 到边AB 的距离为6，则BC 的长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2413．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，有下列结论：①CD ＝ED ；②AC +BE ＝AB ；③∠BDE ＝∠BAC ；④AD 平分∠CDE ；其中正确的是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．已知△ABC ，求作一点P ，使点P 到∠CAB 的两边的距离相等，且P 到A 、B 两点的距离也相等．下列确定点P 位置的方法正确的是（ ）A ．P 为∠CAB 、∠CBA 两角平分线的交点B ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点C ．P 为∠CAB 的平分线与AB 的垂直平分线的交点D ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点15．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条公路．现要建造一个中转站P ，使P 到三条公路的距离都相等，则中转站P 可选择的点有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm17．如图所示，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8，则OM长为（）A．4 B．5 C．6 D．818．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA的邻补角的平分线所在直线交AC的延长线于F，交斜边AB上的高CD的延长线于E，EG∥AC交AB的延长线于G，则下列结论：①CF ＝CE；②FB＝AB；③EF是CG的垂直平分线；④△CGE为等边三角形．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm20．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB，若PC＝8，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：作GH⊥BC于H，如图，由作法得BP平分∠ABC，∴GA＝GH＝，∵∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，在Rt△ABG，∵∠ABG＝∠ABC＝30°，∴AB＝AG＝3，在Rt△ABC中，BC＝2AB＝6，＝×6×＝3．∴S△BCG故选：A．2．解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，∵OC＝BC＝2，∴∠BOC＝∠OBC＝30°，∴∠BCN＝60°，∴BD＝BC＝，∴S＝OC×BD＝＝，△BOC＝2，∴四边形OABC的面积＝2S△BOC故选：B．3．解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，∴①的结论正确；②连接BD、CD，如图1，∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG∴AD平分∠HAG，∴②的结论正确；③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，∴∠HAG＝60°，∵AD平分∠GAH，∴∠DAH＝∠DAG＝30°，∴∠BAH+∠DAF＝90°，∵∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAH＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，∴③的结论正确；④∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，当AB≠AC时，用∠B≠∠C，∴∠DHG≠∠DGH，∴DH≠DG，∵∠HDG＝60°，∴△DHG不是等边三角形，∴GD≠GH，∴④的结论不正确．故选：C．4．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∵BD平分∠BAC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE，设DE＝AD＝CE＝x，由勾股定理得：DC＝x，∵△CDE的周长为6，∴DE+EC+DC＝6，即x+x+x＝6，解得：x＝6﹣3，即AB＝AC＝AD+DC＝6﹣3+（6﹣3）＝3，∴△ABC的面积为＝＝9，故选：D．5．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：A．6．解：在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE＝AE＝3，∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝3，∠EBC＝30°，在Rt△CBE中，BC＝＝3（cm），故选：C．7．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥AC，∴ED＝EC，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∴ED＝AE＝×8＝4，∴CE＝4cm．故选：C．8．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．故选：B．9．解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC，∴DE＝DA＝2，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC＝5，BE＝CE，在Rt△ABD中，AB＝＝；在Rt△BDE中，BE＝＝；∴CE＝．故选：C．10．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，∴△DBE的周长＝DE+DC+BD＝DC+DB+BE＝BC+BE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB＝AC＝10cm．∴△DBE的周长＝AE+BE＝AB＝10cm．故选：C．11．解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△BDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；∴CE＝AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∵△CDE≌△BDF，∴∠ABO＝∠DCO，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAE＝∠CBD，∵Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠DAE＝∠DAF，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：D．12．解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE＝6，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6，∵CD＝DB，∴DB＝12，∴BC＝6+12＝18，故选：C．13．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，∴AC+BE＝AE+BE＝AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．14．解：∵点P到∠CAB的两边的距离相等，∴点P在∠CAB的平分线上，∵点P到A、B两点的距离也相等，∴点P在A线段B的垂直平分线上，∴P为∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．15．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．16．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴AC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，＝BD+CD+BE，＝BC+BE，＝AC+BE，＝AE+BE，＝AB，∵AB＝8cm，∴△DEB的周长是8cm．故选：B．17．解：∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM＝ON＝8，故选：D．18．解：∵BF平分∠GBC，∴∠GBF＝∠CBF，而∠GBF＝∠EBD，∴∠CBF＝∠EBD，∵∠BCA＝90°，CD为高，∴∠F＝∠BED，∴CF＝CE，所以①正确在△EGC中，EC＝EG，BE平分∠CEG，∴EB垂直平分GC，所以③正确；而选项②④由题干条件不能证明得出，所以①③正确；故选：B．19．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD＝DP，又AD＝4cm，∴DP＝4cm．故选：C．20．解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴PE＝PC＝4，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝4，故选：A．。
八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版
(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.
2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第一章《三角形的证明》之角平分线专项(一)
八年级数学北师大版下册第一章《三角形的证明》之角平分线专项（一）1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD ＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果∠A＝30°，AB＝4cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE ⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A．6 B．+4 C．+2D．2+25．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC＝10，则PE的最小值为（）A．8 B．5 C．4 D．26．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64 B．48 C．32 D．427．对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（）A．①②③④B．①③C．①②③D．①②④8．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC 行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（）A．1000m B．800m C．200m D．1800m9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC ＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8 B．7 C．6 D．510．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（）A．7 B．9 C．11 D．1411．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD ⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20 B．12 C．10 D．812．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4 B．5：3 C．4：3 D．3：413．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．414．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD 的长为（）A．B．C．D．15．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3 B．C．2 D．616．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（）A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．无法确定17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．6018．如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若OQ ＝4，则点P到OM的距离为（）A．2 B．C．3 D．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE平分∠ACB交AB于点E．EF ⊥BC于点F，若EF＝4，则线段AE的长为（）A．2B．C．2+2 D．320．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP ＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案1．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．2．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∴∠A＝∠ABE，∵ED⊥AB，∴AD＝AB＝2，∴DE＝AD＝，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴CE＝DE＝，故选：A．3．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，∴OD＝OE＝OM，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OE+AC•OD+BC•OM，∴＝+•OM+，∴OM＝2，故选：B．4．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，∴AD＝2DF＝4，∵∠B＝45°，∴∠FDB＝∠B＝45°，∴BF＝DF＝2，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴AB＝AF+BF＝2+2，故选：D．5．解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴AE＝PE，ED＝PE，∴AE＝ED＝PE，∵AD＝8，∴PE＝4，即PE的最小值是4，故选：C．6．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，7．解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．8．解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，∴DC＝D点到AB的距离，∵BC＝1000m，BD＝800m，∴DC＝200m，∴D点到AB的最短距离＝200m，故选：C．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：如图，∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴CD＝9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴点D到AB边的距离是9，故选：B．11．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝×（AB+BC+AC）×OD＝×10×2＝10，故选：C．12．解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．13．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．14．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∴BC边上的高＝3×4÷5＝，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，解得h＝，S＝×3×＝BD•，△ABD解得BD＝．故选：A．15．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故选：A．16．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，∴PH＝PD＝3，∵点E是射线OB上的一个动点，∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．故选：A．17．解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×12×5＝30，故选：B．18．解：过P作PF⊥OM，PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴OE＝OF，∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4∵OQ＝4，∴PE＝PM＝2．故选：A．19．解：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，EF⊥BC，∴∠ACB＝∠EFB＝90°，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF＝4，∵∠B＝30°，∴BE＝2EF＝8，BF＝EF＝4，∴BC＝CF+BF＝4+4，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝＝＝，∴AE＝AB﹣BE＝，故选：B．20．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．。
四会市第三中学八年级数学下册第1章直角三角形角平分线的判定练习新版湘教版8
1.4.2角平分线的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．32.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）A．DE=DF B．AE=AFC．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．44. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+25. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D 到AB边的距离为( )A．18 B．16 C．14 D． 126. 如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处7. 在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A的度数为( ) A．40° B．36° C．70° D．60°8. 如图，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P 到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上二、填空题(本大题共6小题)9. 已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC=。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明1.4 角平分线第2课时 三角形的内角平分线习题课件北师大版
在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE2 4 2 cm.
C
E
D
B
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC
的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD. A
的距离_相__等___. 即PD=_P_E__=__P_F__.
A
D
NP
F M
B
C
E
课程讲授
1 三角形的三条内角平分线相交于一点
练一练：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分 线相交于点O，下面结论中正确的是（ B ）
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
E
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
C
D
B
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
练一练：如图，铁路OA和铁路
OB交于O处，河道AB与铁路分别
交于A处和B处，试在河岸上建一 M
一点到角两边的距离相等.
A
已知：如图，在△ABC中，角平分线 BM与角平分线CN相交于点P，过点P 分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分
别为D，E，F. 求证：∠Ａ的平分线经过点P，且 B
PD=PE=PF.
D
N
PMFE来自C课程讲授1 三角形的三条内角平分线相交于一点
北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》角平分线 解答题专项(三)
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》角平分线解答题专项（三）1．如图，△ABC中，∠C＝60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：（1）∠APB＝120°；（2）点P在∠C的平分线上；（3）AB＝AE+BD．2．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴＝，而S△ABD＝×，S△ACD＝×则S△ABD：S△ACD＝：（2）在图2中，作AP⊥BC而×，×，则S△ABD：S△ACD＝：；（3）由（1）、（2）可得“角平分线”第二性质：＝：．3．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．4．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．（1）求证：BE＝CE．（2）若AB＝3，BE＝2，则CD的长为．5．如图，△ABC的角平分线BD＝1，∠ABC＝120°，∠A、∠C所对的边记为a、c．（1）当c＝2时，求a的值；（2）求△ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；（3）求证：a，c之和等于a，c之积．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．7．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．8．（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC＝60cm，M、N分别为AB、BC的中点．①若BC＝20cm，则MN＝cm；②若BC＝acm，则MN＝cm．（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝60°，OM平分∠AOB，射线ON 在∠BOC内，且∠MON＝30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由．9．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．12．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．13．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．14．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．参考答案1．证明：（1）∵∠C＝60°，AD、BE是△ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠ABC，∠BAP＝∠BAC，∴∠BAP+∠MBP＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠C）＝60°，∴∠APB＝120°；（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，∴PF＝PG，PF＝PH，∴PH＝PG，∴点P在∠C的平分线上；（3）如图2，在AB上取点M使AM＝AE，连接PM∵AD是∠BAC的平分线，∴∠PAM＝∠PAE，在△AMP与△AEP中，，∴△AMP≌△AEP，∴∠APM＝∠APE＝180°﹣∠APB＝60°，∴∠BPM＝180°﹣（∠APM+∠APE）＝60°，∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠BPM＝∠BPD，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBP＝∠DBP，在△BPM与△BPD中，，∴△BPM≌△BPD，∴BM＝BD，∴AB＝AM+BM＝AE+BD．2．解：（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵S△ABD＝AB×DE，S△ACD＝AC×DF，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC．故答案案为：DE＝DF，AB、DE，AC、DF，AB：AC；（2）在图2中，作AP⊥BC，∵BD×AP，CD×AP，∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD；故答案为：BD、AP，CD、AP，BD、CD；（3）∵（1）中，S△ABD：S△ACD＝AB：AC，在（2）中，S△ABD：S△ACD＝BD：CD，∴AB：AC＝BD：CD．故答案为：AB、AC、BD、CD．3．证明：连接FE，∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A＝∠DCB，又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠DAE，又∵∠AHD＝∠CHE，∠ADH＝90°，∴∠CGH＝90°，∴∠GAC+∠ACG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∵∠GAC＝∠GAF，∴∠ACG＝∠AFG，∴AC＝AF，∴CG＝FG，同法可证，CH＝CE，∴CH＝HF＝EF＝CE，∴四边形HCEF是菱形，∴HF∥BC．4．解：已知：射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，求证：PE＝PD，证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，∵PE⊥OB于EPD⊥OA于D，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，在△POD与△POE中，，∴△POD≌△POE（AAS），∴PD＝PE；（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF＝EG＝EH，在△BEF与△CEH中，∴△BEF≌△CEH（AAS），∴BE＝CE；（2）∵∠HEC＝∠BEF，∠HED＝∠DEG，∠GEA＝∠AEF 又∵∠HEC+∠BEF+∠HED+∠DEG+∠GEA+∠AEF＝180°∴∠BEF+∠HED+∠AEF＝90°又∵∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠EDH＝∠AEB，∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECD∴，即：AB•CD＝BE•EC∴3CD＝2×2，CD＝故答案为：5．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠CBD＝60°，过D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，∴DE＝DF，∵BD＝1，∴BE＝BF＝，DE＝DF＝，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AB＝，∵S△ABC＝BC•AG＝×a＝×2×+a，∴a＝2；（2）△ABC的面积＝BC•AG＝×c×a＝ac；（3）∵S△BAC＝S△ABD+S△BCD，∴BC•AG＝AB•DE+BC•DF，∴•a•c＝×（c+a），∴ac＝a+c，∴a，c之和等于a，c之积．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．7．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．8．解：（1）①∵BC＝20，N为BC中点，∴BN＝BC＝10．又∵M为AB中点，∴MB＝AB＝40．∴MN＝MB﹣BN＝40﹣10＝30．故答案为30；②当BC＝a时，AB＝60+a，BN＝a，MB＝AB＝30+a，∴MN＝MB﹣BN＝30．故答案为30；（2）平分理由：∵OM分别平分∠AOB，∴∠BOM＝∠AOB＝（∠AOC+∠BOC）＝30°+∠BOC．又∵∠BOM＝∠MON+∠BON＝30°+∠BON，∴∠BON＝∠BOC．∴ON平分∠BOC．故答案为30，30．9．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD．10．证明：连接BF，∵F是△ABC的角平分线交点，∴BF也是角平分线，∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠MFE＝15°，∴∠MEF＝75°＝∠NDF，在△DNF和△EMF中，，∴△DNF≌△EMF（AAS），∴FE＝FD．11．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．12．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．13．证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．14．解：（1）过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴S ABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，故答案为：1：1；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴S ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案为：9．15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明4 第1课时 角平分线的性质
应用格式：
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
P
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. O
E
B
典例精析
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上
，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且
DE = DF，求 DE 的长.
A
E F
B
D
C
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗?
对此你能得出什么结论？动手证一证.
结论：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等.
O
A D
C
CB E
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
DA PC
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的理由有三个，必须写
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE
完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，
则 PE = ___4___cm.
B D
M P
A
EC
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
2 角平分线的判定
北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第一章 三角形的证明 角平分线 第1课时 角平分线
9．(宝丰期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①DE＝DF；②AD是线段EF的垂直平分线；
③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC.其中正确的个数有( D ) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， 作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距 D．OC＝PC
3．(4分)(德州中考)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4， 则点C到射线OA的距离为_3___．
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， 若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为_5___．
6．(4分)如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D， 若QC＝QD，则∠AOQ＝3_5_°__．
7．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB， DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为1_3_7_°_．
8．(8分)如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F， AE＝AF.
证明：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴∠BDO＝∠ADO. 又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN
13．(14分)如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE， DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上．
证明：过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，CF⊥OB 于点 F，如图，在△MOE 和△NOD 中， OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD，∴S△MOE－S 四边形 ODCE＝S△NOD－S 四边形 ODCE， ∴S△MDC＝S△NEC.∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE. 由三角形面积公式得12 DM·CG＝12 EN·CF，∴CG＝CF. 又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点 C 在∠AOB 的平分线上
北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明第4节角平分线课堂练习
第一章三角形的证明第4节角平分线课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．在Rt ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∠AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．32C．2D．62．如图，Rt∠ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB 上一动点，则GP的最小值为（）A．1B．12C．2D．无法确定3．作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；（2）分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA4．如图，ABC中，BAC∠的平分线AD与边BC的垂直平分线GD相交于点D，DE AB⊥交AB的延长线于点E，DF AC⊥于F，现有下列结论：∠DE DF=；∠BE CF=；∠DG平分EDF∠；∠2AB AC AF+=；其中，正确的结论的个数是______A．4B．3C．2D．15．如图，在∠ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2B．4C．5D．6评卷人得分二、填空题6．如图，点O在直线AB上，OD OE⊥，垂足为O，OC是DOB∠的平分线，若70AOD∠=°，则COE∠=________度．7．如图，点C在AOB∠的平分线上，CD OA⊥于点D，且1CD=，如果E是射线OB 上一点，那么CE长度的最小值是______．8．如图，在ABC中，90ACB∠=︒，O为三条角平分线的交点，OD BC，OE AC⊥，OF AB⊥，若5AB=，4BC=，则OD的长为_______________________．9．如图，在∠ABC中，按以下步骤作图：∠以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；∠分别以D，E为圆心，以大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；∠作射线BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，∠ABG的面积为18，则∠CBG的面积为_____．10．如图，在∠ABC中，AD是中线，AE是高，AB＝BC,过点D作DF∠AC于点F，交AE于点K,∠BAD＝∠DAE，∠ABD的面积是15，DE＝3，则KE的长为__．11．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED ＝_____°．评卷人得分三、解答题12．已知：∠DAC＋∠ACB＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACF＝24°，∠DAC＝4∠5，求证：（1）CE平分∠BCF（2）则∠5＝__________°（直接写出答案即可）13．已知直线//AB CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是ACD∠的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG AC⊥交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若36GAB∠=︒，求MCD∠的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明：290MCD GAB∠+∠=︒．14．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．已知：如图，点D ，E 分别在线段,AB BC 上，//,AC DE AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，DF 平分BDE ∠交BC 于F ．试说明//DF AE ．解：因为AE 平分BAC ∠（已知），所以1122∠=∠=_________（________）． 因为DF 平分BDE ∠（已知），所以1342∠=∠=__________（角平分线的定义）． 因为//AC DE （已知），所以BDE BAC ∠=∠（______________），所以___________________________．（等量代换），所以//DF AE （____________）．15．如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 上一点，且DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，求证：AD ＝CD ＋AB ．16．已知如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD CD=，DE AB⊥，DF AC⊥，垂足分别是E、F．求证：EB FC=．17．如图，BD平分ABC∠，ADB ABD∠=∠．证明：MAD ABC∠=∠．18．如图，已知ABC，用尺规作图法作ABC∠的平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）19．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图∠在ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果5AD=，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．解：∠AD是BC边上的中线，∠BD CD=，又∠//AC BE，∠CAD E∠=∠在ADC和EDB△中CAD EADC EDBBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC EDB≌（AAS）∠AD DE=又∠5AD=∠AE=______（2）【猜想证明】如图∠，在四边形ABCD中，//AB CD，点E是BC的中点，若AE 是BAD∠的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）【拓展延伸】如图∠，已知某学校内有一块梯形空地，//AB CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现50AB BC==米，16CD=米，ABE△和ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在BCD△内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知30DFE BAE∠=∠=︒，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．20．如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，EF与AC相交于点G，∠BDA＋∠CEG＝180°．（1）求证：AD∠EF；（2）求证：AD是∠BAC的平分线．参考答案：1．A【解析】【分析】根据角平分线的性质即可求得．【详解】解：∠∠B=90°，∠DB∠AB，又∠AD平分∠BAC，DE∠AC，∠DE=BD=3，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2．A【解析】【分析】如图，过点G作GH∠AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，过点G作GH∠AB于H．∠GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC∠BC，∠GH＝GC＝1，根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短的知识点，作好辅助线求解是关键．3．B【解析】【分析】利用基本作图得到OD =OE ，DC =EC ，然后根据全等三角形的判定得到进行判断．【详解】解：如图，连接EC ，DC ．在∠EOC 和∠DOC 中，OE OD OC OC EC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，∠∠EOC ∠∠DOC （SSS ），∠∠EOC =∠DOC ，∠OC 平分∠BOA ．故选：B ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．B【解析】【分析】角平分线的性质可知∠正确；先证明BED CFD ≌，从而可证明∠正确；先证明DAE DAF ≌，从而得∠ADE =∠ADF ，即：AD 平分EDF ∠，故∠错误；∠连接BD 、DC ，然后证明∠EBD ∠∠DFC ，DAE DAF ≌，从而得到BE ＝FC ，AE ＝AF ，从而可证明∠．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．∠AD平分∠BAC，DE∠AB，DF∠AC，∠ED＝DF．故∠正确．∠BAC∠的平分线AD与边BC的垂直平分线GD相交于点D，∠BD＝CD，∠DE∠AB，DF∠AC，∠∠BED=∠CFD=90°，又∠ED＝DF，≌，∠BED CFD=，故∠正确；∠BE CF∠∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∠DAE=∠DAF，∠DAE DAF≌，∠∠ADE=∠ADF，即：AD平分EDF∠∠不能判定GD平分∠EDF．故∠错误．∠∠∠BED∠∠CFD．∠BE＝FC，∠DAE DAF≌，∠AE＝AF，∠AB＋AC＝AE−BE＋AF＋FC，又∠AE＝AF，BE＝FC，∠AB＋AC＝2AE．故∠正确．故选B．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【解析】【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值．【详解】解：作C点关于BD 的对称点C '，过C '作C 'F ∠BC 交BD 于点E ，交BC 于点F ，∠CE +EF ＝C 'E +EF ≥C 'F ，∠CE +EF 的最小值C 'F 的长，∠CC '∠BD ，∠BD 平分∠ABC ，∠∠C 'BG ＝∠GBC ，在∠C 'BG 和∠CBG 中，''C BG GBC BG BGBGC BGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠C 'BG ∠∠CBG （ASA ），∠BC ＝BC '，∠AC ＝BC ＝8，∠ACB ＝120°，∠∠ABC ＝30°，BC '＝8，在Rt∠BCC '中，C 'F ＝12BC '＝812⨯=4， ∠CE +EF 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题．【解析】【分析】根据点O 在直线AB 上，得到180AOD DOB ∠+∠=︒，110DOB ∠=︒，再根据OD OE ⊥，垂足为O ，OC 是DOB ∠的平分线得到90∠+∠=︒DOC COE ，1552DOC COB DOB ∠=∠=∠=︒ ，最后得出答案． 【详解】解：∠点O 在直线AB 上，∠180AOD DOB ∠+∠=︒，∠70AOD ∠=°，∠180********DOB AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∠OD OE ⊥，∠90∠+∠=︒DOC COE ，∠OC 是DOB ∠的平分线，∠1552DOC COB DOB ∠=∠=∠=︒， ∠90905535COE DOE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：35．【点睛】 本题主要考查了补角、余角、角平线的性质，关键在于熟练运用角平分线的性质进行求解．7．1【解析】【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C在∠AOB的平分线上，CD∠OA于点D，且CD＝1，∠CE＝CD＝1，即CE长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．1【解析】【分析】根据勾股定理求得AC＝3，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，设OD＝x，然后根据S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB可得到关于x的方程，从而可得到OD的长度．【详解】解：∠在∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∠AC＝2222543AB BC-=-=，∠点O为∠ABC的三条角平分线的交点，OD BC，OE AC⊥，OF AB⊥，∠OE＝OF＝OD，设OE＝OF＝OD＝x，∠S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，∠12AC·BC＝12AB·OF +12AC·OE+12BC·OD，∠12×3×4＝12×5x+12×3x +12×4x，解得：x＝1，∠OD＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理和角平分线的性质，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，面积法的应用是解题的关键．9．24【解析】【分析】如图，过点G作GM AB⊥于M，GN BC⊥于N．证明GM GN=，求出GM，即可解决问题．【详解】解：如图，过点G作GM AB⊥于M，GN BC⊥于N．由作图可知，GB平分ABC∠，GM AB⊥，GN BC⊥，GM GN∴=，1182ABGS AB GM∆=⨯⨯=，4GM∴=，4GN GM∴==，111242422CBGS BC GN∆∴==⨯⨯=，故答案为24．【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题是解题的关键．10．1【解析】【分析】先作DG ∠AB 于点G ，根据角平分线的性质和∠ABD 的面积可以求出AB ，进而求出BC ，BD ，EC ，然后根据计算结果证明AF DF =，再证明C AFK DF ≌，推出CF FK =，即可求得KE 的值．【详解】解：作DG ∠AB 于点G ，∠∠BAD ＝∠DAE ，AE ∠BC∠DG ＝DE ＝3，∠∠ABD 的面积为15，∠AB •DG ＝30，∠AB ＝10，∠BC ＝10，BD ＝DC ＝5，∠BE ＝DB +DE ＝8，∠AE ＝6，EC ＝BC ﹣BE ＝2，∠222262210AC AE EC =+=+=，∠1122AE DC DF AC =， ∠3102DF =， ∠22102CF CD DF =-=， ∠3102AF AC CF =-=， ∠AF DF =， ∠90,90C CDF C CAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，∠CDF KAF ∠=∠，∠90AFK DFC ∠=∠=︒，()AFK DFC ASA ∴≌，∠102CF FK ==， ∠10DK DF FK =-=，∠221EK DK DE =-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质以及勾股定理，根据全等三角形性质求出CF FK =是解题的关键．11．37【解析】【分析】连接CE ，过E 作ER ∠AC 于R ，CD 交ER 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE ＝BE ，ER ＝EF ，根据全等求出∠RCE ＝∠EBF ，求出∠ACB ＝∠QED ＝28°，求出∠BED ＝∠CED ＝65°，求出∠REF 的度数，再求出∠CAB ，求出∠CAE ，根据三角形的外角性质求出∠DOE ，再求出答案即可． 【详解】解：连接CE ，过E 作ER ∠AC 于R ，CD 交ER 于Q ，AE 交BC 于O ，∠DE 是线段BC 的中垂线，∠∠EDC ＝90°，CE ＝BE ，∠∠ECB ＝∠EBD ，∠∠EBD ＝25°，∠∠ECB ＝25°，∠∠DEB ＝∠CED ＝90°﹣25°＝65°，∠ER ∠AC ，ED ∠BC ，∠∠QRC ＝∠QDE ＝90°，∠∠ACB +∠CQR ＝90°，∠EQD +∠QED ＝90°，∠∠CQR ＝∠EQD ，∠∠ACB ＝∠QED ，∠∠ACB ＝28°，∠∠QED ＝28°，∠AE 平分∠CAM ，ER ∠AC ，EF ∠AM ，∠ER ＝EF ，在Rt∠ERC 和Rt∠EFB 中，CE BE ER EF=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ERC ∠Rt∠EFB （HL ），∠∠EBF ＝∠ACE ＝∠ACB +∠ECD ＝28°+25°＝53°，∠∠EFB ＝90°，∠∠BEF ＝90°﹣∠EBF ＝90°﹣53°＝37°，∠∠REF ＝∠RED +∠BED +∠BEF ＝28°+65°+37°＝130°，∠∠ARE ＝∠AFE ＝90°，∠∠CAM ＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∠AE 平分∠CAM ，∠∠CAE ＝12∠CAM ＝25°， ∠∠DOE ＝∠CAE +∠ACB ＝25°+28°＝53°，∠ED ∠BC ，∠∠EDB ＝90°，∠∠AED ＝90°﹣∠DOE ＝90°﹣53°＝37°，故答案为：37．【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：∠线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，∠角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．12．（1）见解析；（2）26°【解析】【分析】（1）根据平行线的判定方法证明DA ∠BC ∠EF ，然后根据平行线的性质即可证明． （2）根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）∠∠DAC ＋∠ACB ＝180°，∠DA ∠BC ，又∠∠1＝∠2，∠DA ∠EF ，∠DA ∠BC ∠EF ，∠∠3＝∠5，∠∠3＝∠4，∠∠4＝∠5，∠CE 平分∠BCF ． （2）∠∠DAC ＋∠ACB ＝180°，∠DAC ＝4∠5，∠4∠5+∠5+∠5+24°=180°，解得：∠5=26°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念和判定，解题的关键是根据题意找出题目中各角之间的关系．13．（1）63°；（2）见解析【解析】【分析】（1）依据AG AC ⊥，36GAB ∠=︒可得CAH ∠的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质即可得到MCD ∠的度数；（2）结合（1）得180ACD CAH ︒∠+∠=，再依据角平分线的定义，即可得290MCD GAB ∠+∠=︒.【详解】解：（1）AG AC ⊥，36GAB ∠=︒，903654CAH ∴∠=︒-︒=︒，//AB CD ，180ACD CAH ∴∠+∠=︒，126ACD ∴∠=︒，CM 是ACD ∠的平分线，63ACH DCM ∴∠=∠=︒；（2）ACH DCM ∠=∠，2ACD MCD ∴∠=∠，由（1）得180ACD CAH ︒∠+∠=，AG AC ⊥，90CAG ∴∠=︒，290180MCD GAB ∴∠+︒+∠=︒，290MCD GAB ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14．BAC ∠；角平分线的定义；BDE ∠；两直线平行，同位角相等；23∠∠=；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质与判定即可证明.【详解】解：因为AE 平分BAC ∠（已知），所以1122BAC ∠=∠=∠（角平分线的定义）． 因为DF 平分BDE ∠（已知），所以1342BDE ∠=∠=∠（角平分线的定义）． 因为//AC DE （已知），所以BDE BAC ∠=∠（两直线平行，同位角相等），所以∠2=∠3．（等量代换），所以//DF AE（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．证明见解析【解析】【分析】过M作ME∠AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM ＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根据全等三角形性质，推导得∠MCD∠∠MED，根据全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．【详解】如图，过M作ME∠AD于E，∠∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∠∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，∠CDM EDMC DEMCM EM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠MCD∠∠MED（AAS），∠CD＝DE，∠BAM EAMB AEMBM EM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABM∠∠AEM（AAS），∠AE＝AB，∠AD ＝AE ＋DE ＝CD ＋AB ．【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．16．见解析【解析】【分析】首先由角平分线的性质可得DE ＝DF ，又有BD ＝CD ，可证Rt∠BED ∠Rt∠DFC （HL ），即可得出EB ＝FC ．【详解】证明：∠AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 、DF ∠AC ，∠DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，在Rt∠BED 和Rt∠DFC 中，BD CD DE DF=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠BED ∠Rt∠CFD （HL ），∠EB ＝FC ．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．17．见解析【解析】【分析】由角平分线定义得ABD DBC ∠=∠，等量代换得DBC ADB ∠=∠，由内错角相等两直线平行得到//AD BC ，再由两直线平行同位角相等即可得证.【详解】证明：∠BD 平分ABC ∠∠ABD DBC ∠=∠∠ADB ABD ∠=∠∠DBC ADB ∠=∠∠//AD BC∠MAD ABC ∠=∠【点睛】此题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握相应的性质定理是解答此题的关键. 18．见解析【解析】【分析】利用基本作图作∠ABC 的平分线即可．【详解】解：如图，BD 即为所求．【点睛】考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）是解决问题的关键． 19．（1）10；（2）AB DC AD +=，证明见解析；（3）34cm ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据AD DE =，可以得到210AE AD ==即可求解；（2）延长AE ，DC 相交于点A '，然后证明ABE A CE '△≌△即可得到答案；（3）延长AE ，DC 相交于点A '，根据ABE ACE S S =得到BE CE =，然后证明ABE A CE '△≌△即可求解．【详解】解：（1）∠AD DE =∠210AE AD ==（2）结论：AB DC AD +=．证明：延长AE ，DC 相交于点A '．∠//AB CD ，∠B A CE '∠=∠在ABE △和A CE '△中B A CEBE CEAEB A EC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩'∠ABE A CE'△≌△（ASA）∠AB A C'=，BAE A'∠=∠∠AB A C'=，BAE A'∠=∠∠AD A D'=∠AD A D A C CD AB CD''==+=+（3）解：延长AE，DC相交于点A'．∠ABE ACES S=∠BE CE=．∠//AB CD∠ABE BCA'∠=∠在ABE△和A CE'△中，ABE BCABE CEAEB CEA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'∠ABE A CE'△≌△（ASA）∠()50mAB A C'==，30BAE A'∠=∠=︒∠A AFE'∠=∠∠A D DF'=∠()501634m A D A C CD ''=-=-=∠()34m DF =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20．（1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】 （1）由领补角可得∠ADB +∠ADC =180°，然后可得∠ADC =∠CEG ，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得∠F =∠BAD ，DH ∠AC ，则有∠H =∠EGC =∠DAC ，然后问题可求证．【详解】证明：（1）∠∠BDA ＋∠CEG ＝180°，∠ADB +∠ADC =180°，∠∠ADC =∠CEG ，∠AD ∠EF ；（2）∠∠EDH ＝∠C ，∠DH ∠AC ，∠∠H =∠EGC ，∠AD ∠EF ，∠∠F =∠BAD ，∠DAC =∠EGC ，∠∠H =∠EGC =∠DAC ，∠∠F ＝∠H ，∠∠BAD＝∠DAC，∠AD是∠BAC的平分线．【点睛】本题主要考查角平分线的判定及平行线的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定及平行线的性质与判定是解题的关键．。
八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大
【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示． 方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB， 且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝ ＝EADD， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.
八年级下册1、4角平分线的性质第2课时三角形的角平分线习题新版湘教版
3．如图，在△ABC 中，O 为△ABC 的三条角平分线的交点， OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 F，D，E，且 AB＝10 cm，BC＝8 cm， AC＝6 cm，则点 O 到三边 AB，BC，AC 的距离分别为( A ) A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面 积为__2_7_____． 【点拨】易知 BG 为∠ABC 的平分线，如图， 过 G 作 GH⊥BC 于点 H，作 GM⊥AB 于点 M，则 GM＝GH. ∵△ABG 的面积为 18， ∴12AB·GM＝18.∴GM＝92.∴GH＝92. ∴△CBG 的面积为12BC·GH＝12×12×92＝27.
14．观察、猜想与证明： 在△ABC 中，∠ACB＝2∠B.
(1)如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的平分线时，求证：AB ＝AC＋CD；
证明：过 D 作 DE⊥AB，交 AB 于点 E，如图①所示，易知∠ACB ＝∠AED＝90°. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B. 又∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵AD 为∠BAC 的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE.∴BE＝DC.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质 第2课时 三角形的角平分线
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三边
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1B
2B
3A
4C
5 27
6 125° 7 B
8D
9C
10 A
11 10
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2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明 易错题之角平分线综合专练(三)
八年级数学下册第一章《三角形的证明》易错题之角平分线综合专练（三）1．如图，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD．求证：∠DAB+∠BCD＝180°．2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．3．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．4．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝吗？请说明理由．6．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB．（1）若△ABC的面积为10，分别求点B、C的坐标；（2）如图①，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB＝90°，作∠BAC的平分线AD交x轴于点D，求∠ADO的度数；（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作∠AQM＝∠DQP，它们的边分别交x、y轴于点M、P，作∠FMG＝∠DMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD ＝DF＝AF，DE⊥AB于点E．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）CF＝BE．8．小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD 的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC 平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．10．如图所示，OC平分∠AOB，OA＝OB，P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：PE＝PF．11．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC 相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ ＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC 交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图直线EF∥GH，点A、点B分别在EF、GH上，连接AB，∠FAB的角平分线AD 交GH于D，过点D作DC⊥AB交AB延长线于点C，若∠CAD＝36°，求∠BDC的度数．14．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC的值．15．已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．16．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．参考答案1．证明：作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠DAE＝∠DCB，∵∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°．2．解：AE＝FG，AE∥FG．理由如下：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC＝90°，FG⊥BC，∴FA＝FG，∠AFC＝∠CED，∵∠AEF＝∠CED，∴∠AEF＝∠AFC，∴AE＝AF，∴AE＝FG，∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴AE＝FG，AE∥FG．3．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．4．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）连接OC，∴AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，，∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OD＝OG＝OE，∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，∴OD＝2，∴S△AOB＝10×2＝10．5．解：＝，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∵S△ABD＝AB•DE＝BD•AH，S△ACD＝AC•DF＝CD•AH，∴＝＝＝．6．解：（1）∵点A的坐标为（0，4），∴OA＝4，∵△ABC的面积为10，∴×AO×BC＝10，∴BC＝5，∵OC＝4OB，∴OB＝，OC＝，∴点B（，0），点C（，0）；（2）∵∠ABC﹣∠ACB＝90°，∠ABC＝90°+∠BAO，∴∠BAO＝∠ACB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD+∠DAC＝∠BAO+∠BAD，∴∠DAO＝∠ADO，∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°；（3）FM⊥PQ，理由如下：延长FM交QP于H，设∠DQP＝∠AQM＝x，∠FMG＝∠DMQ＝y，则∠DMH＝∠FMG＝y，∠AQM＝∠QMD+∠QDM，即x＝y+45°，∴∠1＝180°﹣∠DQP﹣∠ADO＝90°﹣y，则∠2＝∠1＝90°﹣y，∴∠2+∠DMH＝y+90°﹣y＝90°，∴∠MHQ＝90°，即FM⊥PQ．7．证明：（1）∵DF＝AF，∴∠FAD＝∠FDA，∵DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠BAD，即AD平分∠BAC；（2）∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝BE．8．解：小明的做法可行．理由如下：在直角尺DEMN中，DN∥EM，∴∠DPO＝∠POM，∵DP＝OD，∴∠DPO＝∠DOP，∴∠POM＝∠DOP，∴OC平分∠AOB．9．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．10．证明：在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC，∴∠ACO＝∠BCO，又PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF．11．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．12．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．13．解：∵∠FAB的角平分线AD，∠CAD＝36°，∴∠DAF＝∠CAD＝36°，∵DC⊥AB，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣36°＝54°，∵EF∥GH，∴∠ADB＝∠DAF＝36°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝54°﹣36°＝18°．14．解：（1）如图1中，过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴S ABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，故答案为：1：1；（2）如图2中，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴S ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；（3）如图3中，∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9．15．证明：延长AD交BC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，∵∠B＝∠EAC，∴∠DFE＝∠DAE，∴AE＝FE，∵ED⊥AD，∴ED平分∠AEB．16．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM＝PN，∴PQ＝PN，∴点P在∠C的平分线．。
北师大初二数学8年级下册 第1章(三角形的证明)1.3线段的垂直平分线 同步提升训练(含解析)
北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（ ）A．AC的垂直平分线上B．∠BAC的平分线上C．BC的中点D．AB的垂直平分线上2．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α3．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（ ）A．10B．16C．18D．264．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）A．40°B．50°C．80°D．100°6．A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（ ）A．三条中线的交点B．三条垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为 ．8．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ °．9．如图，点O是△ABC内的一点，且点O到顶点A、B、C的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为 ．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝2，则△ACE的面积为 ．11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE ＝DE，DC＝3，则AE的长为 ．12．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE ＝20°，则∠C＝ 度．13．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A ＝ ．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD 的度数是 ．15．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是 cm．16．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于 度．17．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE 上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4，则BE的长为 ．18．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC 的度数为 °．19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．21．如图，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠BCD＝114°，求∠BAD的度数．22．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．24．如图，线段AB、AC的垂直平分线相交于D，连接BD、CD，若∠EDG＝40°，求∠BDC 的度数．25．已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥∥BC，BM是线段CF的垂直平分线，垂足为M，N是线段BM上的一点，且NC＝EF．（1）若∠BNC＝150°，EF＝4，求FM的值．（2）若BN＝BE，求证：∠MNC＝3∠MBC．26．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，判断∠CAF 与∠B的大小关系，并说明理由．参考答案1．解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，∴DC＝DA，∴点D在AC的垂直平分线上，故选：A．2．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．3．解：∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵△BDC的周长为18，∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18，∵BC＝8，∴AC＝10，故选：A．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，故选：C．6．解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，∴三个小区到公园距离相等，公园最适当的建造位置是在△ABC三边垂直平分线上，故选：B．7．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝11，故答案为：11．8．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，∵DE是线段BC的中垂线，∴∠EDC＝90°，CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBD，∵∠EBD＝25°，∴∠ECB＝25°，∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC＝∠QDE＝90°，∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，∵∠CQR＝∠EQD，∴∠ACB＝∠QED，∵∠ACB＝28°，∴∠QED＝28°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER＝EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，，∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，∵∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，∵∠ARE＝∠AFE＝90°，∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∵AE平分∠CAM，∴∠CAE＝CAM＝25°，∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，故答案为：37．9．解：连接OA，∵∠BCA＝78°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣78°＝102°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，同理，∠OCA＝∠OAC，∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝78°，∴∠OBC+∠OCB＝102°﹣78°＝24°，∴∠BOC＝180°﹣24°＝156°，故答案为：156°．10．解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝22.5°，∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，∴AC＝EC＝2，∴△ACE的面积＝×AC×EC＝×2×2＝2，故答案为：2．11．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵BE＝DE，∠B＝90°，ED⊥AC，∴∠EAC＝∠BAE，∴∠EAC＝∠C＝∠BAE＝30°，在Rt△CED中，EC＝＝2，∴AE＝2，故答案为：2．12．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．13．解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．14．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．15．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），故答案为：18．16．解：∵A＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣50°＝20°，故答案为：20．17．解：连接OC，作OF⊥BC于点F，由题意得，DE＝OD+OE＝6，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝2，∴CF＝CE﹣EF＝10，∴BC＝20，∴BE＝20﹣12＝8，故答案为：8．18．解：连接DA、DC，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，∴DA＝DB，DA＝DC，∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，故答案为：10．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为14cm，∴AB+BC+AC＝14（cm），∵AC＝6cm，∴AB+BC＝8（cm），∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．21．解：（1）连接AC，∵点E是边BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC（垂直平分线的性质）同理AD＝AC，∴AB＝AD；（2）∵AB＝AC，AD＝AC，∴∠B＝∠1，∠D＝∠2，∴∠B+∠D＝∠1+∠2，即∠B+∠D＝∠BCD，∵∠BAD+（∠B+∠D）+∠BCD＝（4﹣2）•180°＝360°，∠BCD＝114°，∴∠BAD＝360°﹣114°﹣114°＝132°．22．（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∴点A、D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF；（2），证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE＝AD，∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，∴∠DEO＝30°，∴OD＝DE，∴DO＝AD．23．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．24．解：经过点D作射线AH，∵∠EDG＝40°，∴∠EDF＝180°﹣40°＝140°，∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BAC＝180°﹣∠EDF＝40°，∵线段AB、AC的垂直平分线相交于D，∴DA＝DB，DA＝DC，∴∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，∴∠BDC＝∠BDH+∠CDH＝2∠DAB+2∠DAC＝80°．25．（1）解：如图1中，∵∠BNC＝150°，∴∠CNM＝30°，∵BM垂直平分线段FC，∴∠NMC＝90°，FM＝CM，∵CN＝EF＝4，∴CM＝FM＝CN＝2．（2）证明：如图2中，连接FN，BF．∵BM垂直平分线段CF，∴BF＝BC，NC＝NF，∴∠CBN＝∠FBN，∵EF＝NC，∴EF＝FN，∵BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SSS），∴∠EFB＝∠∠NFB，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠FBC＝2∠CBN，∴∠BFN＝2∠CBN，∵∠CNM＝∠MNF＝∠NBF+∠BFN，∴∠CNM＝3∠MBC．26．解：∠CAF＝∠B．理由如下：∵EF垂直平分AD∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠CAF＝∠B．。