2020人教版A数学必修第二册课时分层作业12 正弦定理(1)

合集下载

答案--正弦定理---1

绝密★启用前2018-2019学年度???学校10月月考卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明试卷第2页，总7页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．在中，内角的对边分别是，且，则 __________．【答案】【解析】分析：直接利用正弦定理求出b 的值. 详解：由题得，∴ . 故填 .点睛：本题主要考查正弦定理的运用，属于基础题. 2．在中，若，则＝ _______．【答案】1 【解析】【分析】先利用正弦定理计算出，利用内角和为得到，最后利用等腰三角形求出．【详解】因，所以，故为锐角. 由正弦定理有，故，故，所以，因此，所以，填1. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.3．在△ABC 中，a=2，b= ，B=，则A=_______．【答案】或．【解析】【分析】直接由正弦定理求解.【详解】在△ABC 中，因为a =2，b = ，B =，所以由正弦定理可得：sin A ==，所以A =或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，45B =︒，则角A 为________．【答案】o 30【解析】由正弦定理可得：,a b A ∴30A ∴=︒故答案为30︒5．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c sin C =__________．【解析】 6．在中，设角所对边分别为，若，则角 ________．【答案】【解析】【分析】化简得：，从而求解。

人教版高中数学高二-课时作业正弦定理

第1章 1.1.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B ＝( )A ．105°B ．60°C ．15°D ．105°或15°解析：由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝10sin 30°52＝22. ∵a <c ，∴A <C ，∴C ＝45°或C ＝135°.∴B ＝180°－(A ＋C )，∴B ＝105°或15°.故选D.答案： D2．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：由正弦定理知A 、C 、D 正确，而sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误．答案： B3．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°解析：在△ABC 中，由正弦定理：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入sin A a ＝cos B b ＝cos C c得： sin A 2R sin A ＝cos B 2R sin B ＝cos C 2R sin C， ∴sin B cos B ＝sin C cos C＝1. ∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．答案： C4．判断下列说法，其中正确的是( )A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解解析： A 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝14×127＝1，所以B ＝90°，故只有一解，A 错误；B 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝25×1230<1，又A 为钝角，故只有一解，B 正确；C 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝9×226>1，所以B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝10×329<1，因为b <c ，B ＝60°，且0°<C <180°，所以C 有两解，D 错误．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________．解析：在△ABC 中，大角对大边，故b 为最大边长，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(105°＋15°)＝60°.据正弦定理b ＝a sin B sin A ＝5sin 105°sin 60°＝152＋566.答案： 152＋566 6．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若△ABC 只有一解，则x 的取值集合为________．解析： sin A ＝a ·sin B b ＝x ·222＝24x ，当x ＝22时，sin A ＝1，△ABC 有一解；又当a ≤b 时，即x ≤2时，A 为锐角，△ABC 只有一解．答案： {x |0<x ≤2或x ＝22}三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，求边b 的值．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝4sin 60°sin 45°＝2 6.8．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．解析：由正弦定理知cos A cos B ＝sin B sin A ＝43， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. 又∵b a>1，∴B >A ，∴△ABC 为直角三角形．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解析： ∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C .∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ，即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62，∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°，∴C －30°＝45°，∴C ＝75°， sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24.。

新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业11 余弦定理

课时分层作业(十一) 余弦定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° B [由题意知，(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 4 [因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.] 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . [解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[等级过关练]1．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0＜B ＜π，∴角B 的值为π3或2π3.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.] 3．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 7 [由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.]4．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________. (1，7)∪(5,7) [①若x >4，则x 所对的角为钝角， ∴32＋42－x 22×3×4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角， ∴32＋x 2－422×3×x <0且3＋x >4，∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．]5．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a ＞b ＞c ，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10. 当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第6章平面向量及其应用第2课时正弦定理——分层作业

∴△ABC 面积的最大值为
π
24
=R2(sin Acos A+sin2A)
2+1 2
R
.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sin A- 3sin B)2=
4sin2C-sin2B.
4.[探究点二]在△ABC 中,若 3asin B=c-bcos A,则 B=( A )
π
A. 6
π
B. 3
π
2π
C. 或
3
3
π
5π
D. 或
6
6
解析因为 3asin B=c-bcos A,由正弦定理得 3sin Asin B=sin C-sin Bcos A.
因为 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以 3sin Asin B=sin Acos B.
以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
2R(sin2A-sin2C)=( 2 a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.
14.在△ABC
AC=
π
中,B=4 ,BC
5
解析如图,由
又
边上的高 AD
,sin∠BAC=
π
AD=1,B= ,知
4
3 10

新教材2020-2021学年高中第二册同步练习：6.4.3.2 正弦定理

关闭Wor d文档返回原板块。

课时素养评价十二正弦定理(15分钟30分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=105°,B=45°,b=2,则c= ( )A. B.1 C. D.2【解析】选D.由三角形内角和定理得:C=180°-(A+B)=180°-(105°+45°)=30°.由正弦定理得c===2.【补偿训练】在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为 ( )A.+1B.2+1C.2D.2+2【解析】选 C.由已知及正弦定理,得=,所以b===2.2.在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cos C= ()A. B. C. D.【解析】选B.由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.因为AB<AC,所以C<B,所以cos C==.3.在△ABC中,若a=2bsin A,则B为 ( )A. B.C.或D.或【解析】选C.由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,所以sin A(2sin B-)=0.因为0<A<π,0<B<π,所以sin A≠0,sin B=,所以B=或B=.4.已知在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么解此三角形可得 ( )A.一解B.两解C.无解D.解的个数不确定【解析】选C.由正弦定理得sin B=·sin C=×=>1,故三角形无解.5.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于. 【解析】由正弦定理得sin C===,又因为0°<C<180°, 所以C=60°或120°,所以A=90°或30°,所以S△ABC=AB·AC·sin A=或.答案:或6.在△ABC中,A=30°,C=45°,c=,求a,b及cos B.【解析】因为A=30°,C=45°,c=,所以由正弦定理,得a===1.又B=180°-(30°+45°)=105°,所以cos B=cos 105°=cos(45°+60°)=,b===2sin 105°=2sin(45°+60°)=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是( )A.1∶2∶3B.1∶∶2C.2∶∶1D.∶1∶2【解析】选B.设三角形内角A、B、C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,所以x=30°.由正弦定理==,可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,所以a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=∶∶1=1∶∶2.2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,b=3,C=60°,则△ABC的面积为 ( )A.3B.3C.6D.6【解析】选B.S=absin C=×4×3×=3.3.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为(A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2a·sin B可化为:3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°,所以sin B≠0,所以sin A=,所以A=60°或120°,又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cosA,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小为 ( )A.,B.,C.,D.,【解析】选C.因为m⊥n,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理得:sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C,所以sin(A+B)=sin 2C,所以sin C=sin 2C.因为0<C<π,sin C≠0,所以sin C=1,所以C=,所以B=.【误区警示】注意两个向量垂直时的条件,不要与两向量平行混淆.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在△ABC中,已知b=6,c=6,C=30°,则a= ( )A.6B.6C.12D.12【解析】选AC.由正弦定理得sin B==,因为b>c,所以B>C.又因为0°<B<180°,所以B=60°或120°.当B=60°时,A=90°,a==12;当B=120°时,A=30°=C,a=c=6.所以a=6或12.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 ( )A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为【解析】选ACD.(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,t>0,解得a=4t,b=5t,c=6t,可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;由c为最大边,可得cos C===>0,即C为锐角,故B错误;由cos A===,由cos 2A=2cos2A-1=2×-1==cos C,由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;若c=6,可得2R===,△ABC外接圆半径为,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= .【解析】因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+cos A)=0.因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=,由正弦定理得sin C===,又0<C<,所以C=.答案:【补偿训练】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .【解题指南】利用正弦定理求出sin B的值,根据三角形大边对大角求出角B的值,再求角C即可.【解析】由正弦定理:=,得sin B===,因为b<c可得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°8.在△ABC中,若b=5,B=,tan A=2,则sin A=,a=. 【解析】由tan A=2,得sin A=2cos A,由sin 2A+cos 2A=1,得sin A=,因为b=5,B=,由正弦定理=,得a==2.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.(1)求角A的大小;(2)若a=1,b=,求c的值.【解析】(1)由acos C+c=b,得sin Acos C+sin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin C=cos Asin C.因为sin C≠0,所以cos A=.因为0<A<π,所以A=.(2)由正弦定理,得sin B==.因为0<B<π,所以B=或.①当B=时,由A=,得C=,所以c=2;②当B=时,由A=,得C=,所以c=a=1.综上可得c=1或2.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,m=(sin A,sinB),n=(cos B,cos A),m·n=-sin 2C.(1)求C的大小;(2)若c=2,A=,求△ABC的面积.【解析】(1)由题意,m·n=sin Acos B+sin Bcos A=-sin 2C,即sin(A+B)= -sin 2C,sin C=-2sin Ccos C.由0<C<π得sin C>0,所以cos C=-.C=.(2)由C=,A=,得B=π-A-C=.由正弦定理=得=,解得b=2.所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×2×sin =.1.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为( )A.60°B.75°C.90°D.115°【解析】选B.不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有==,即=,整理,得(3-)sin A=(3+)cos A.所以tan A=2+,所以A=75°.【补偿训练】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,若△ABC的周长为4(+1),且sin B+sin C=sin A,则a= ( )A. B.2 C.4 D.2【解析】选C.根据正弦定理,sin B+sin C=sin A可化为b+c= a.因为△ABC的周长为4(+1),所以解得a=4.2.在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.(1)试确定△ABC的形状;(2)求的取值范围.【解析】(1)在△ABC中,设其外接圆半径为R,根据正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,代入=,得=,所以b2-a2=ab.①因为cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,所以sin Asin B=sin2C.。

新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业14余弦定理、正弦定理的应用举例

课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理的应用举例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为 4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为()A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 mD [由题意知，∠A ＝∠B ＝30°，所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为()A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h A [如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1762n mile/h.]3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/时B．14海里/时C．142海里/时D．20海里/时B[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业12：6.4.3第四课时正、余弦定理在几何中的应用(1)

第四课时正、余弦定理在几何中的应用新知探究一位父亲给两个儿子分一块地，地的形状如图所示，父亲将CE 连接起来，左边分给弟弟，右边分给哥哥，哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟矩形地块面积小，埋怨父亲偏心眼，兄弟二人打得不可开交，这时，他们的舅舅正好路过，兄弟二人让舅舅评理，舅舅说给他们算一下各自地块的面积，他拿来皮尺和一个测角仪，测出∠CED 的大小，量出CE ，DE 的长度及BC 的长度，经过计算发现这两块地面积一样大，平息了这场争吵.问题舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢？提示由ED 的长度，∠CED 的大小可计算出边CE 上的高为DE sin ∠CED ，从而得出△EDC 的面积12CE ·DE ·sin ∠CED .1.有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.(2)由三角形的几何性质可得a cos C ＋c cos A ＝b ，b cos C ＋c cos B ＝a ， a cos B ＋b cos A ＝c .(3)由大边对大角可得sin A >sin B ⇔A >B .(4)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A >cos B . 2.余弦定理可解决的两类问题(1)已知三角形的两边和它们的夹角解三角形； (2)已知三角形的三边解三角形. 3.正弦定理可解决的两类问题 (1)已知两角和一边解三角形；(2)已知两边和其中一边的对角解三角形.三角形的面积公式有多种形式，要根据已知条件选择最合适的面积公式解题 4.三角形的面积公式(1)S ＝12ab sin C ＝12bc sin__A ＝12ca sin__B ；(2)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高).拓展深化『微判断』1.公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积.(√)2.三角形中已知三边无法求其面积.(×)3.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.(√)提示 2.已知三角形的三边可以利用余弦定理求角，再利用三角形的面积公式求出面积. 『微训练』1.在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 3D.6『解析』 BC 边上的高等于b sin C ＝43×32＝6. 『答案』 D2.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝______.『解析』由余弦定理得b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.『答案』 43.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，B ＝120°，则△ABC 的面积为________. 『解析』由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即c 2＋5c －24＝0，解得c ＝3，c ＝－8(舍去). 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×5×3sin 120°＝1534.『答案』 1534『微思考』已知三角形ABC 的三边a ，b ，c ，怎样计算该三角形的面积？提示可以用余弦定理的推论计算cos C ，再得出sin C ，利用S ＝12ab sin C 可求.题型一利用正弦、余弦定理转化边角关系『例1』在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值. 解由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理，得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23， ∴由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝23，即3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306.『迁移1』对于本例中的条件c ·cos B ＝b ·cos C ，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab . 化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .『迁移2』本例中的条件c ·cos B ＝b ·cos C 的几何意义是什么？解如图，作AD ⊥BC ，垂足为D .则c ·cos B ＝BD ，b ·cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等. 规律方法 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段. (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式. 『训练1』设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长. 解 (1)法一由题设知， 2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. 法二由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)法一因为AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD→|＝72，从而AD ＝72. 法二因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.所以BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 题型二有关三角形面积的计算角度1 求三角形面积『例2』在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC 的面积.解设CD ＝x ，则AD ＝BD＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理的推论可知：cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知：ADsin C ＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝ADCD ·1－cos 2∠CAD ＝41－⎝ ⎛⎭⎪⎫31322＝378， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×4×5×378＝1574. ∴△ABC 的面积为1574.角度2 涉及三角形面积的条件转化『例3』在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝________.『解析』由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a ，由△ABC 的面积为a 2sin B ，得12ac sin B ＝a 2sin B ，由sin B ≠0，知c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 24a 2＝14. 『答案』 14规律方法求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.『训练2』如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，求该四边形ABCD 的面积.解连接BD(图略)，在△BCD中，BC＝CD＝2，C＝120°，则∠DBC＝30°，所以BD＝23，∠ABD＝90°，所以S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝12×2×2×32＋12×4×23＝5 3.题型三正、余弦定理在几何图形中的应用『例4』如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD.(1)若sin∠BAC＝1 4，求sin∠BCA；(2)若AD＝3AC，求AC.解(1)在△ABC中，由正弦定理得，ABsin∠BCA ＝BCsin∠BAC，即2 sin∠BCA ＝314，解得sin∠BCA＝612.(2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝AD2－AC2＝22x，sin∠CAD＝CDAD＝223.在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝x2－122x.又∠BAC＋∠CAD＝π2，所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即x2－122x＝223.整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－13(舍去)，即AC＝3.规律方法正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.『训练3』如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝1 7.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.一、素养落地1.通过推导三角形面积公式的过程，培养逻辑推理素养.通过运用余弦、正弦定理及三角形面积公式解三角形，提升数学运算素养.2.正弦、余弦定理与三角恒等变换在高考中经常出现.一般先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值.3.求三角形面积，要充分挖掘题中的条件，转化为求两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用.另外也常与均值不等式结合来求最值. 二、素养训练1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝________.『解析』在△ABC 中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.『答案』 π32.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →＝________.『解析』由余弦定理的推论得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA →·AC →＝－AB →·AC→＝－32. 『答案』－323.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，又知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为________.『解析』由正弦定理得c sin C ＝a sin A ，即33sin C ＝132，解得sin C ＝12.又c <a ，所以C <A ，且0°<C <180°，所以C ＝30°，故B ＝90°，所以S ＝12ac ＝12×1×33＝36.『答案』 364.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B 的值为________.『解析』由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12，又a >b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.高中数学人教A 版(新教材)第二册(必修2)11 『答案』 π65.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a ＜b ＜c ，b ＝2a sin B .(1)求A 的大小；(2)若a ＝2，b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)∵b ＝2a sin B ，∴由正弦定理化简得sin B ＝2sin A sin B .∵sin B ≠0，∴sin A ＝12.∵a ＜b ＜c ，∴A 为锐角，则A ＝π6.(2)∵a ＝2，b ＝23，cos A ＝32，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝12＋c 2－2×23×c ×32，整理得c 2－6c ＋8＝0，计算得出c ＝2(舍去)或c ＝4，则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×4×12＝2 3.。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业2：6.4.3第2课时正弦定理

6.4.3 第2课时正弦定理A 级基础达标一、选择题1．从A 处望B 处的俯角为α，从B 处望A 处的仰角为β，则α，β的关系为( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 2．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B.π3C.π6D.512π 4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米5．如图所示，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)．8．如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．三、解答题9．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．B级能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 m C．400 m D．100 3 m2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？——★ 参*考*答*案 ★——A 级基础达标一、选择题1．『『解析』』由仰角和俯角的概念得α＝β.『『答案』』B2．『『解析』』因为AB ＝1 000×160＝503，C ＝75°－30°＝45°，所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝5032. 所以航线离山顶h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4. 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．『『答案』』B3．『『解析』』设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＝π6.『『答案』』C4．『『解析』』由题可得下图，其中AS 为塔高，设为h ，甲、乙分别在B 、C 处．则∠ABS ＝45°，∠ACS ＝30°，BC ＝500，∠ABC ＝120°，所以在△ABS 中，AB ＝AS ＝h ，在△ACS 中，AC ＝3h ，在△ABC 中，AB ＝h ，AC ＝3h ，BC ＝500，∠ABC ＝120°.由余弦定理(3h )2＝5002＋h 2－2·500·h ·cos 120°，所以h ＝500(米)．『『答案』』D5．『『解析』』依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.『『答案』』B二、填空题 6．『『解析』』根据图示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3. 在Rt △AMN 中，MN AM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150 (m)．『『答案』』1507．『『解析』』由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝⎛⎭⎫－22≈316.23 m ，所以这辆汽车的速度为316.23÷14≈22.6 m/s.『『答案』』22.68．『『解析』』在△ABM 中，由正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β），故BM ＝m cos αsin （α－β），要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin （α－β）>n . 所以当α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．『『答案』』m cos αcos β>n sin(α－β)三、解答题9．解：在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15.根据正弦定理，15sin 2.8°＝AT cos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°. 塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．10．解：在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sin A ＝AB sin C ，BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4(km)． CD ＝BC ·tan ∠DBC ≈BC ·tan 8°≈1 047(m)．B 级能力提升1．『『解析』』如下图所示，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)．『『答案』』B2．『『解析』』由题可知PM ＝68，∠MPN ＝120°，N ＝45°，由正弦定理MP sin 45°＝MN sin 120°得MN ＝68×32×2＝34 6. 所以速度v ＝3464＝1726(海里/时)．『『答案』』1726 3.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，因为∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5（3＋3）·sin 45°sin 105° ＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，所以需要的时间t ＝3030＝1(小时)．。

2021高一数学新教材必修2课时作业(设计)(十二) 余弦定理、正弦定理应用举例

课时跟踪检测（十二）余弦定理、正弦定理应用举例A 级——学考合格性考试达标练1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为()A ．α＋βB ．α－βC ．β－αD ．α解析：选C 如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.2．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的()A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B 灯塔A ，B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为()A.1762n mile/h B ．346n mile/h C.1722n mile/h D ．342n mile/h 解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A.4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为()A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m解析：选C 如图，设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝20 3.在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan 60°＝60.∴AB ＝OA －OB ＝40.故选C.5．一艘船以4km /h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则经过3h ，则船实际航程为()A ．215kmB ．6kmC ．221kmD ．8km 解析：选B 如图所示，在△ACD 中，AC ＝23，CD ＝43，∠ACD＝60°，∴AD 2＝12＋48－2×23×43×12＝36.∴AD ＝6.即该船实际航程为6km.故选B.6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走33km 到B 处，再沿正东方向行走2km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地的距离为7km.答案：77．如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100m ，汽车从C 点到B 点历时14s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)解析：由题意，AB ＝200m ，AC ＝1002m ，由余弦定理可得BC ＝≈316.2(m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．答案：22.68．上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.解析：如图所示，设A ，B 为世博轴的两端点，C 为中国馆，由题意知∠ACB ＝120°，且AC ＝BC ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，在Rt△CBD 中，DB ＝500m ，∠DCB ＝60°，∴BC ＝100033m.答案：1000339.如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求A 与D 间的距离．解：在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°，∴B ＝45°.∴AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．即A 与D 间的距离为24n mile.10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22，∴∠ABC ＝45°，BC 与正北方向成90°角．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．B 级——面向全国卷高考高分练1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝c sin C解出c .故选A.2．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km /h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是()A.7km B.13km C.19km D.10－33km 解析：选B 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×313，所以MN ＝13km.故选B.3.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC 为()A ．5002m B ．200mC ．10002mD ．1000m解析：选D ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1000×2212＝10002，∴BC ＝AB ·sin 45°＝10002×22＝1000(m)．故选D.4．如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60m ，则河流的宽度BC 是()A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60m ，∴AC ＝120m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．故选C.5．台风中心从A 地以每小时20km 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40km 处，B 城市处于危险区内的持续时间为________h.解析：设t h 时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40×cos 45°＝302.化简，得4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1(h)．答案：16．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得2sin 60°＝x sin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案：30°7．某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B 点测得旗杆顶端E 点的仰角为45°，小军站在点D 测得旗杆顶端E 点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD )6米，小李的身高(AB )1.5米，小军的身高(CD )1.75米，求旗杆的高EF 的长．(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AM ⊥EF 于M ，过点C 作CN ⊥EF 于N ，∴MN ＝0.25，∵∠EAM ＝45°，∴AM ＝ME ，设AM ＝ME ＝x ，则CN ＝(x ＋6)，EN ＝(x －0.25)，∵∠ECN ＝30°，∴tan ∠ECN ＝EN CN ＝x －0.25x ＋6＝33，解得：x ≈8.8，则EF ＝EM ＋MF ≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆的高EF 约为10.3m.C 级——拓展探索性题目应用练为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西3km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离为1km.在△ABC 中，AB ＝3(km)，AC ＝1(km)，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(km)．在△ACD 中，AC ＝AD ＝1，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(km)．∵BC 12×60＝5，∴在BC上需5min，CD上需5min.∴最长需要5min检查员开始收不到信号，并持续至少5min才算合格．。

2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习十二正弦定理81

课时素养评价十二正弦定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·合肥高一检测)△ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A=，a=3，b=2，则sin B= ( )A. B. C. D.【解析】选D.因为A=，a=3，b=2，所以根据正弦定理可得sin B===.2.在△ABC中，已知BC=，sin C=2sin A，则AB= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选D.由正弦定理，得AB=BC=2BC=2.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tan A∶tan B=a∶b，则△ABC的形状一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选A.因为tan A∶tan B=a∶b，所以btan A=atan B，所以=，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，所以cos A=cos B，即A=B，故△ABC是等腰三角形.4.(2019·南充高一检测)在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为( )A.4B.60C.5D.6【解析】选C.因为由三角形的面积公式得：S=acsin B=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cos B=，根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.所以△ABC的外接圆的直径为==5.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在△ABC中，已知A=60°，tan B=，a=2，则c=________.【解析】因为tan B=，所以sin B=，cos B=.又因为A=60°，所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin B=+.由正弦定理，得=，即c===.答案：6.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A+acos B=0，则B=________.【解析】已知bsin A+acos B=0，由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0，即sin B=-cos B，又因为sin2B+cos2B=1，解得sin B=，cos B=-，故B=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac 的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由条件b=6，a=2，b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时，C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时，C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，所以A=C，则有a=c=2.所以ac=2×2=12.8.(14分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sinB)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求sin C.【解析】(1)因为m∥n，所以asin B-bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，从而tan A=.由于0<A<π，所以A=.(2)由正弦定理，得=，从而sin B=，又由a>b，知A>B，所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.(15分钟·30分)1.(4分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C 等于( )A.120°B.105°C.90°D.75°【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=，即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0°<C<180°，所以C=120°.2.(4分)(2019·通化高一检测)在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为( )A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=，所以sin C==，所以S=absin C=×4×=.3.(4分)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则△ABC的形状为【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径)，代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A，所以2sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，所以cos A=0，又A∈(0，π)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.答案：直角三角形【加练·固】在△ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状为________.【解析】由正弦定理知b=2R·sin B，a=2R·sin A，则3b=2a·sin B可化为：3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°，所以sin B≠0，所以sin A=，所以A=60°或120°，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形.答案：等边三角形4.(4分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=.再由正弦定理，得sin B==.由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，从而cos B==.由上述结果知sin C=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=.答案：5.(14分)在△ABC中，求证：(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，于是==1-·2cos A=1-·2cos A===.(2)方法一：==·==.方法二：====.【加练·固】在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定△ABC的形状. 【解析】由正弦定理得=，由2cos Asin B=sin C，有cos A==.又由余弦定理得cos A=，所以=，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.1.在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，即所以30°<B<45°.由正弦定理知：===2cos B∈(，)，故的取值范围是(，).答案：(，)2.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c.【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，整理得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin Ccos A.因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，且sin C≠0，所以，cos A=.又0<A<π，所以，A=.(2)因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.①由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2 =8，②联立①②解得，b=c=2.。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业4：6.4.3第1课时余弦定理-6.4.3第2课时正弦定理

6.4.3 第1课时余弦定理~6.4.3 第2课时正弦定理A 级基础达标一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．22．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 33．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积是( ) A ．8 B ．16 C ．18D ．324．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3B ．－ 3C ．－2 3D ．－25．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________． 8．在△ABC 中，A ＝π6，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长是________．三、解答题9.在△ABC 中，∠B ＝π4，AB ＝42，点D 在BC 上，且CD ＝3，cos ∠ADC ＝55.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足b sin A ＋b cos A ＝c . (1)求B ；(2)若角A 的平分线与BC 相交于D 点，AD ＝AC ，BD ＝2，求△ABC 的面积．B 级能力提升1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb ，则角C 的值为________．3．已知x 、y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．——★ 参*考*答*案 ★——A 级基础达标一、选择题1．『『解析』』因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.『『答案』』B2．『『解析』』面积S ＝3＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，所以c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×12＝13，所以a sin A ＝1332＝2393.『『答案』』A3．『『解析』』在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65，即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65，①在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17，② 又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41. 因为平行四边形的周长为18，所以AB ＋AD ＝9，又AB 2＋AD 2＝41，所以AB ＝4，AD ＝5或AB ＝5，AD ＝4.所以cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22·AB ·AD ＝35，所以sin A ＝45，故平行四边形的面积为12×AB ×AD ×sin A ×2＝16.『『答案』』B4．『『解析』』S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，所以sin C ＝1213，所以tan C ＝sin C cos C＝－12＝－2 3. 『『答案』』C5．『『解析』』因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.『『答案』』A 二、填空题 6．『『答案』』6 37．『『解析』』因为a －b ＝4，所以a ＞b ，又因为a ＋c ＝2b ，所以b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝4＋c ，所以a ＞b ＞c . 所以最大角为A ，所以A ＝120°，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2＝－b (b －4)，即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b ＝－b 2＋4b ，所以b ＝10，所以a ＝14，c ＝6.故周长为30. 『『答案』』308．『『解析』』设∠BCD ＝θ，因为S △BCD ＝4＝12·CD ·CB ·sin θ，所以sin θ＝255，θ∈(0，π)，所以cos θ＝±55.在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2＝CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos θ，从而BD ＝42或BD ＝4. 当BD ＝42时，由BD sin θ＝CD sin B 得sin B ＝CD ·sin θBD ＝1010，又由AC sin B ＝BC sin A 得AC ＝BC sin Bsin A ＝22，当BD ＝4时，同理可得AC ＝4. 综上，AC ＝4或AC ＝2 2. 『『答案』』4或2 2 三、解答题9. 解：(1)因为∠ADC ＋∠ADB ＝π，且cos ∠ADC ＝55，所以cos ∠ADB ＝－55，所以sin ∠ADB ＝1－cos 2∠ADB ＝255，由∠B ＋∠ADB ＋∠BAD ＝π得， sin ∠BAD ＝sin(∠B ＋∠ADB )＝sin ∠B cos ∠ADB ＋cos ∠B sin ∠ADB ＝22×⎝⎛⎭⎫－55＋22×255＝1010. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB ，所以BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB＝42×1010255＝2，由正弦定理得AD sin ∠B ＝ABsin ∠ADB ，所以AD ＝42×22255＝25，在△ADC 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝20＋9－2×25×3×55＝17，所以AC ＝17.10．解：(1)由题意，利用正弦定理可得 sin B sin A ＋sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，整理可得sin B ＝cos B ，所以B ＝π4.(2)由AD ＝AC ，可知∠ACD ＝∠ADC . 设∠BAD ＝∠DAC ＝α，∠ACD ＝∠ADC ＝β，则⎩⎪⎨⎪⎧45°＋2α＋β＝180°，α＋2β＝180°，所以α＝30°，β＝75°， △ABD 中，由正弦定理可得AB sin 105°＝AD sin 45°＝2sin 30°，所以AB ＝6＋2，AD ＝22，所以AC ＝22，所以S △ABC ＝12AB ·AC ·sin 2α＝3＋ 3.B 级能力提升1．『『解析』』设另两边长为8x ，5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12，解得x ＝2.所以两边长是16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.『『答案』』A2．『『解析』』由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin C sin B ，即sin （A ＋B ）sin B cos A ＝2sin C sin B ，所以cos A ＝12，A ∈(0，π)，A ＝π3，sin A ＝32，由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝22，又c <a ，C <A ，所以C ＝π4. 『『答案』』π43．解：构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x 、y 满足已知条件．因为x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2，所以x ＝2sin A ，y ＝2sin B ，所以x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2『sin A ＋sin(120°－A )』＝2⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A ＋12sin A＝23⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A＝23sin(A ＋30°)因为0°<A <120°，所以当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.。

2020年高中数学必修第二册课时训练试题：弦定理、正弦定理、余弦定理 (人教A版)(原卷版)

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理（用时45分钟）基础巩固1．△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若11,2,cos 2a c B ===，则b =（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．32．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2223a b ctanB ac -+=，则角B 的值为（） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π 3．边长分别为1，5，22的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．90B ．120C ．135D ．1504．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 2c B a b ⋅=+，则C ∠=（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 5．的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为( ) A ． B ． C ． D ．6．已知ABC ∆中，3AB =1BC =，30A =︒，则AC = ．7．在不等边△ABC 中，a 为最大边，若222a b c <+，则A 的取值范围为________.8．在∆ABC 中，已知23a =62c =045B =，解三角形.能力提升9．△ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 所对的边，若22214a b c =+，则cos a B c 的值等于（） A ．58 B ．54 C ．516 D ．8510．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，22sin BAC ∠=，32AB =3AD =，则BD 的长为____11．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22coscos 2123,2,A a b B C +-===. （1）求C 的大小；（2）求c b的值. 素养达成12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=.（1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。

2020学年高中数学课时分层作业1正弦定理(1)(含解析)新人教A版必修5(2021-2022学年)

课时分层作业（一)正弦定理(1)（建议用时:6０分钟)［基础达标练]一、选择题１.在△ABC中,a＝4,Ａ＝45°，B＝60°，则边b的值为（)A．＼r(3)＋1 B．２错误!未定义书签。

+1Ｃ．２错误!ﻩ D.２+2错误!未定义书签。

C［由已知及正弦定理,得错误!=错误!未定义书签。

,∴ｂ=错误!＝错误!未定义书签。

=2错误!。

］2．在△AＢC中,Ａ＝６０°,a=4错误!未定义书签。

,ｂ=4＼r(2),则B等于( ) A．45°或1３5°ﻩ B.135°C.45°Ｄ．以上答案都不对C［∵sｉn B=＼ｆ(bｓｉn A，ａ)＝错误!=错误!未定义书签。

，∴B＝４5°或135°。

但当B=135°时，不符合题意,∴Ｂ=45°，故选C。

］3.在△AＢC中,A＞B，则下列不等式中不一定正确的是( )Ａ.sｉｎA〉sin BﻩB．ｃos A<ｃos BC.sin 2Ａ>sｉｎ2B D．coｓ2Ａ〈cos 2ＢC [A＞B⇔ａ〉b⇔sin Ａ>sｉｎB，Ａ正确．由于(0,π)上,y＝cos x单调递减,∴ｃoｓA〈coｓＢ,B正确．cos ２A＝１－2sin2Ａ。

∵ｓｉn A〉siｎＢ〉0,∴ｓｉn2A〉sｉn2Ｂ，∴cｏｓ 2Ａ〈ｃos 2B,D正确.]4.在△ABC中,Ａ∶B∶Ｃ＝4∶1∶1,则ａ∶b∶c等于(）A．4∶1∶１ B.2∶1∶1C．错误!∶1∶1ﻩＤ.错误!∶１∶1Ｄ[∵A+Ｂ＋C=180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A =12０°，B =30°,Ｃ=30°。

由正弦定理的变形公式得a ∶ｂ∶c ＝si ｎ A ∶sin B ∶s ｉn C =si ｎ 120°∶s ｉn 30°∶sin 3０°=错误!未定义书签。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业10：习题课余弦定理、正弦定理的应用

习题课余弦定理、正弦定理的应用基础达标一、选择题1.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形『解析』 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 『答案』 C2.在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 『解析』设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由已知及正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则cos A ≥12.∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C. 『答案』 C3.在△ABC 中，若满足sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°『解析』设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵sin2A＝sin2B＋3sin B·sin C＋sin2C，∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋3bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－32，又∵0°<A<180°，∴A＝150°. 『答案』 D4.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A.1B.2C.12 D.4『解析』设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1.由三角形面积S＝12ab sin C＝abc4R＝abc4＝14，∴abc＝1.『答案』 A5.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A.10B.9C.8D.5『解析』化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝1 5.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入数据，得b＝5. 『答案』 D二、填空题6.在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.『解析』∵cos C＝13，C∈(0，π)，∴sin C＝223，∴12ab sin C＝43，∴b＝2 3.『答案』2 37.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.『解析』∵b＝2a，∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin A，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A，化简得sin A＝33cos A，∴tan A＝3 3，又∵0°<A<180°，∴A＝30°.『答案』30°8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－14，则a的值为________.『解析』因为cos A＝－14，0<A<π，所以sin A＝1－cos2A＝154.由315＝12bc sin A得bc＝24.又因为b－c＝2，所以b＝6，c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝36＋16＋12＝64.故a＝8. 『答案』8三、解答题9.如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝1 7.(1)求sin ∠BAD；(2)求BD，AC的长.解(1)在△ADC中，因为cos ∠ADC＝17，所以sin ∠ADC＝437.所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin ∠ADC cos B－cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin ∠BADsin ∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC＝7.10.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B＝b 2c.(1)求角C的值；(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求c的值.解(1)由sin B＝b2c得2c sin B＝b，由正弦定理得2sin C sin B＝sin B，所以sin B(2sin C－1)＝0，因为sin B≠0，所以sin C＝12，因为C是钝角，所以C＝5π6.(2)由S＝12ab sin C＝12a＝3，得a＝23，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋4－2×23×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝28，即c 的值为27.能力提升11.已知锐角△ABC 中，A ＝2B ，AC ＝2，则BC 的范围为( ) A.(22，23) B.(2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32D.『22，23』『解析』由正弦定理得BC sin A ＝2sin B ，所以BC 2sin B cos B ＝2sin B ，即BC ＝4cos B ，又△ABC 是锐角三角形，所以90°<A ＋B <180°且A <90°，所以30°<B <45°，所以22<cos B <32，所以22<BC <23，故选A. 『答案』 A12.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值. 解由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2，故sin A ＝223. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.(1)当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.(2)当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.综上，a 的值为22或2 3.创新猜想13.(多选题)在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是( ) A.2 3B. 3C.3 3D.4 3『解析』在△ABC 中，因为B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，所以由AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又因为AB ·sin 30°<AC <AB ，所以C 有两解，所以C ＝60°或C ＝120°.由三角形内角和定理得A ＝90°或A ＝30°. 由面积公式S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ，所以S △ABC ＝3或S △ABC ＝2 3. 『答案』 AB14.(多填题)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)则1tan A ＋1tan C 的值为________； (2)设BA →·BC→＝32，则a ＋c 的值为________.『解析』 (1)由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32，得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，又∵a >0，c >0，∴a ＋c ＝3. 『答案』 (1)477 (2) 3。

高中数学人教A版必修第二册课后练习12 正弦定理和余弦定理的综合应用

高中数学人教A 版必修第二册课后练习12 正弦定理和余弦定理的综合应用题组1：夯实基础1.在△ABC 中，B=60°，最长边与最短边之比为(√3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°解析：依题意，得△ABC 不是等边三角形.因为B=60°，所以角B 不是最大角.设C 为最大角，A 为最小角，则A ＋C=120°，所以c c =sin c sin c =sin(120°－c )sin c =sin120°cos c －cos120°sin csin c =√32tan c ＋12=√3+12，解得tan A=1，所以A=45°，C=75°.答案：C2.在△ABC 中，a=2，c=1，则角C 的取值范围是( )A ．(0，π2) B ．(π6，π3) C ．(π6，π2) D ．(0，π6]解析：在△ABC 中，a=2，c=1，由正弦定理c sin c =c sin c ，得2sin c =1sin c ，∴sin C=12sin A ．∵A ∈(0，π)，∴0<sin A ≤1，∴sin C ∈(0，12].结合函数y=sin x 的图象可得C ∈(0，π6]∪[5π6，π). ∵a>c ，∴角C 是锐角，∴C ∈(0，π6].故选D ．答案：D3.在△ABC 中，a=2，a ·sin (A ＋B )=c ·sin c +c 2，则△ABC 周长的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：由题得a ·sin C=c ·cos c 2，∴sin A ·sin C=sin C ·cos c 2，∴sin A=cos c 2，∴2sin c 2cos c 2=cos c 2，∵c 2∈(0，π2)，∴cos c 2≠0，∴sin c 2=12，∴A=π3.由余弦定理得4=b 2＋c 2－2bc cos A=b 2＋c 2－bc ，∴(b ＋c )2=4＋3bc ≤4＋3·(c +c )24，当且仅当b=c=2时取等号.∴b ＋c ≤4，∴a ＋b ＋c ≤6.答案：C4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B=(2c －b )cos A ．(1)求角A 的大小;(2)若a=6，求△ABC 面积的最大值.解(1)由正弦定理得(2sin C －sin B )cos A=sin A cos B ，即2sin C cos A=sin A cos B ＋cos A sin B=sin(A ＋B )，∵A ＋B＋C=π，∴sin(A＋B)=sin C≠0，∴cos A=12.∵A∈(0，π)，∴A=π3.(2)由(1)知S△ABC=12bc sin A=√34bc，由余弦定理得cos A=12=c2+c2－c22cc≥2cc－362cc(当且仅当b=c时等号成立)，∴0<bc≤36(当且仅当b=c时等号成立).∴S△ABC的最大值为√34×36=9√3.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C=3a cos B－c cos B．(1)求cos B的值;(2)若cc⃗⃗⃗⃗ ·cc⃗⃗⃗⃗ =2，且b=2√2，求a和c的值.解(1)由正弦定理，得sin B cos C=3sin A cos B－sin C cos B，可得sin B cos C＋sin C cos B=3sin A cos B，即sin(B＋C)=3sin A cos B，可得sin A=3sin A cos B．又sin A≠0，因此cos B=13.(2)由cc⃗⃗⃗⃗ ·cc⃗⃗⃗⃗ =2，得ac cos B=2.由(1)知cos B=13，故ac=6，由b2=a2＋c2－2ac cos B，得a2＋c2=12，所以(a－c)2=0，即a=c，所以a=c=√6.题组2：难点突破1.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2=b2＋bc，且A∈(60°，90°)，则cc取值范围是__. 解析：∵△ABC中，a2=b2＋bc，由余弦定理，得a2=b2＋c2－2bc cos A，∴b2＋bc=b2＋c2－2bc cos A，整理，得c=b(1＋2cos A)，∴a2=b2＋b2(1＋2cos A)=b2(2＋2cos A)，∴cc=√2+2cos c，∵A∈(60°，90°)，∴cos A∈(0，12)，可得2＋2cos A∈(2，3)，∴√2+2cos c∈(√2，√3)，即cc∈(√2，√3).答案：(√2，√3)2.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，b2＋c2=ac cos C＋c2cos A＋a2，且S△ABC=√32，则△ABC周长的最小值为__________.解析：由b2＋c2=ac cos C＋c2cos A＋a2，得b2＋c2=c(a cos C＋c cos A)＋a2=bc＋a2，即bc=b2＋c2－a2.故cos A=c 2+c2－c22cc=12，∴A=π3.由三角形面积公式得12bc sin A=√32，bc=2.所以三角形的周长a＋b＋c=√c2+c2－cc＋√(c+c)2=√c2+c2－2＋√c2+c2+4≥√2cc－2＋√2cc+4=√2＋√8=3√2，当且仅当a=b=c=√2时，等号成立.故周长的最小值为3√2.答案：3√23.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c sin c+c sin c－c sin csin c sin c −2√33a=0.(1)求角C;(2)若△ABC的中线CE的长为1，求△ABC的面积的最大值.解(1)由c sin c+c sin c－c sin csin c sin c −2√33a=0，得c·c+c·c－c·cc·sin c =2√33a，即c2+c2－c22cc=√33sin C，由余弦定理，得cos C=√33sin C，∴tan C=√3.∵C∈(0，π)，∴C=π3.(2)由余弦定理，得b2=1＋c 24－2×1×c2·cos∠CEA，①a2=1＋c 24－2×1×c2·cos∠CEB，②①＋②，得b2＋a2=2＋c 22，即2(b2＋a2)=4＋c2，∵c2=a2＋b2－2ab·cos C，∴a2＋b2=4－ab≥2ab，∴ab≤43，当且仅当a=b时取等号.S△ABC=12ab sin C≤12×43×√32=√33.△ABC的面积的最大值是√33.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos A cos B=2√2sin A cos B．(1)求cos B的值;(2)若a＋c=2，求b的取值范围.解(1)因为cos C＋cos A cos B=2√2sin A cos B，所以－cos(A＋B)＋cos A cos B=2√2sin A cos B，即sin A sin B=2√2sin A cos B，因为sin A≠0，所以sin B=2√2cos B>0，又因为sin 2B＋cos 2B=1，解得cos B=13.(2)∵a＋c=2，可得c=2－a，由余弦定理，得b2=a2＋c2－2ac cos B=a2＋c2－23ac=a2＋(2－a)2－23a(2－a)=83(a－1)2＋43.∵0<a<2，∴2√33≤b<2，所以b的取值范围为[2√33，2).。