高中数学排列组合问题的几种方法

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高中数学排列组合的方法的方法

高中数学排列组合的方法的方法高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法。

以下是高中数学中常见的排列组合方法：1. 排列（Permutation）：定义：从一组元素中选取若干个进行排列，所得到的不同的顺序称为一个排列。

公式：对于有n 个不同元素的集合，选取r 个元素进行排列的方法数可以表示为P(n, r) 或nPr，计算公式为P(n, r) = n! / (n - r)!，其中"!" 表示阶乘运算。

示例：从5 个不同的元素中选取 3 个进行排列的方法数为P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60。

2. 组合（Combination）：定义：从一组元素中选取若干个进行组合，不考虑顺序的情况下称为一个组合。

公式：对于有n 个不同元素的集合，选取r 个元素进行组合的方法数可以表示为C(n, r) 或nCr，计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)。

示例：从5 个不同的元素中选取 3 个进行组合的方法数为C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10。

3. 二项式定理（Binomial Theorem）：定义：二项式定理是展开一个二项式的公式，用于计算二项式的各项系数。

公式：对于任意实数a 和b，以及非负整数n，二项式定理可以表示为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。

示例：展开(x + y)^4 的结果为x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4。

这些方法在解决排列组合问题时非常有用，可以帮助我们计算不同情况下的可能性和概率。

1。

高中数学轻松搞定排列组合难题21种方法

高考数学排列组合难题21种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 143413练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高考数学知识讲析：12种典型排列组合问题的解法归类

高考数学知识讲析：12种典型排列组合问题的解法归类相邻问题捆绑法所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

相离问题插空法不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。

此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。

定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。

这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。

标号排位问题分步法把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。

求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。

多元问题分类法元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：来求解。

定位问题优限法所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。

例8、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）A.B.C.D.【解析】先把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则油画与国画有种放法。

再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。

故总的排列的方法为种，故选D。

多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。

例9、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的坐法种数为（）A.B.C.D.【解析】此题分两排坐，实质上就是8个人坐在8个座位上，故有种坐法，所以选D。

至少问题间接法含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。

例10、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35【分析】本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。

解决排列组合问题的常用方法

解：（1）如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法
含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法
根据分类计数原理和点A共面三点取法共有种
（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（种取法）减去4点共面的取法
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；
【变式】求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：。另法：用捆绑与剔除相结合：
（2）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。即＝（）
（3）组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
（4）组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
2、从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．

排列组合的5种方法

排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。

在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。

第一种方法是使用乘法原则。

乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。

例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。

第二种方法是使用加法原则。

加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。

例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。

第三种方法是使用排列。

排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。

如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。

其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。

例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。

第四种方法是使用组合。

组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。

如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。

例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。

第五种方法是使用二项式定理。

二项式定理是一个用于展开二项式的公式。

它可以用于计算排列和组合的值。

二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

排列组合问题的八种求法(免费)

- 35 9
126
种
（ 1）分成三堆，一堆 2 本，一堆 3 本，一堆 1 本；（ 2）平均分成三堆；（ 3）平均分给三个同学；（ 4）分给三个同学，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；（ 5）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本。解：（ 1）不是平均分堆，故有：
C C C
1排列组合问题的八种求法云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点难点内容之一同时也是解决概率问题的重要工具下面举例说明排列组合问题的八种求法
排列组合问题的八种求法
云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法：一、特殊位置或特殊元素：优先法例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数字且不能被 10 整除的六位数？解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-
2 4 4 5
解法二：先把特殊元素 0 排在中间四个位置的任何一个，然后把 0 以外的五个数字排在其他五个位置，可得符合条件的总数共有：
A A 个。
1 5 5 4
二、对称（或机会均等）问题用：除法例 2、 A、 B、 C、 D、 E 五人排成一排，如果 B 必须站在 A 的右边，则不同的站法有多少种？解：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边的排列情况是对称的（或 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边机会相等），故有：

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。

五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。

例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。

例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。

例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。

(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法

排列组合常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么例外的排法种数有种。

分析：把甲、乙视为一人，并且乙不变在甲的右边，则本题相当于4人4的全排列，A424种。

二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么例外排法的种数是。

52分析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A652种，例外的排法种数是A5A63600种。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B 可不相邻)，那么例外的排法种数有。

分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即15A560种。

2四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。

例5有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，例外的选法总数有。

分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，例外的选法共211有C10C8C72520种。

排列组合问题常用的解题方法含答案

排列组合问题常用的解题方法含答案高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻).那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 .组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法(不计顺序)共有多少种例8：从.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式=+-?。

n A B n A n B n A B()()()()例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置.可先排这个(几个)元素.再排其他元素。

高中数学排列组合技巧

高中数学排列组合技巧方法(一)插空法同学们要理解插空法的使用条件，插空法要求一些元素不能排放在一起对其他元素没有限制的情况，应对这种问题时，首先要把没有要求的元素排好，然后再把不能排放在一起的元素插到没有任何要求的元素中间。

例如，有3个大小不一的黑球和2个颜色不同的花球，要求花色球不能排在一起，问有多少种排法题目的要求与插入法的使用条件彻底符合，可以使用插入法进行处理。

先把没有要求的黑球排好，共有A33种方法。

3个黑球的中间加上两端共有四个位置可以摆放花球，从四个位置选择两个摆放花球，有A24种，因此按照题目要求共有A33某A24种排法。

(二)插板法转变思维方式在排列组合问题中起着至关要的作用，有时候顺着题目要求很难解出题目，尤其是对那些非常抽象的问题更是如此。

同学们不能坠入思维定式的误区，换一种思绪，或许就能将许多繁琐的问题用简单的方式加以解决。

例如，某个班级共有6个小组，请求选出9人去参加拔河，并且每一个小组最少要有一个人加入，问有多少种选择方式顺着出题人的思路去解答问题很抽象，很难快速的解答，不妨换一种思维方式。

首先把问题做一下类比，把题目类比为将9个苹果分成6份，有多少方法这就转化成我们熟悉的插板问题，将9个苹果依次排开，共有8个空隙，在空隙中装入6块板，总共有C69种方法。

(三)捆绑法捆绑法的应用极其简单，判断捆绑法的类型也十分容易。

倘若题目出现某些元素必须排放在一起的时候，就要用到捆绑法。

可是应用捆绑法时要注意一些细节，要把有要求的元素放在一块儿而作为一个团体，再与其他元素组合排列。

如若遇到较为复杂的情况，在整体的内部还要对个体进行排列组合。

例如，4名男同学和5名女同学照结业照，女生请求站在一块儿，问有多少种站法这是经典的捆绑问题，解法如下：5名女生作为不同的元素有A55种，把她们捆绑在一起看作一个团体再和4名男生进行全排，有A55种，综上，按照题目所述总共有A55某A55种站法。

1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

高三数学排列组合的几种方法总结

排列组合方法总结1、【特殊元素、特殊位置】优先法在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。

例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有14C ；最后排其他位置共计有34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C2、【相邻问题】捆绑法题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，3、【相离问题】插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（）解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种4、【选排问题】先选后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.5、【相同元素分配问题】隔板法将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:11--m n C 。

例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案故共有不同的分配方案为为6984C =种（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以nn A ，n 为均分的组数），避免重复计数。

高中数学排列组合几种基本方法

例6 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、 C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有
A 条， 3 7
210
其中不过原点的直线有
A61条，A62 180
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
甲乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
几个元素必须相邻时，先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.
共有2 120＝240种排法
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”
元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀♀ ♀ ♀♀♀
↑↑
↑
↑
↑↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
A.6
B.12
C.72
D.144
C 3. 5个人排成一排，其中甲、乙相邻的排法种数是（）
A.72
B.42
C.48
D.56
34.. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ A ）
A.
C142
C84
C
4 4
种
B.3
C142 C 84
C
4 4
种
C.
C142
C
4 8
A33
种
D.
C142C84 A33
C44
种
直接法： 2
A 30 6
7.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里，每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.

解答排列组合问题常用的几种途径

体，即为一个“对象”，4 本不同年级的物理书也看成一
个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排
有
A2 2
种排法；
第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素
分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有
A3 3
种排列
方法，物理书“对象”内部的元素有
A
4 4
种排列方法.
因此，符合题意的排列方法共有
同元素.将这 10 个相同元素排成一排，元素之间有 9 个
空，选出 2 个空插入隔板，可把 10 个元素分成 3 份，分
配给每个班级，所以共有
C2 9
=
36种
分配方案.
本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问
题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时
需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用
A22∙A33∙A
4 4
=
288种
.
本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相
邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行
求解.
二、运用插空法
若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空
法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不
能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从
而将各个元素按照题目要求排列好.
隔板法求解.
四、借助倍缩法
有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我
们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然
后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，
即可得到问题的答案.
例 4.现将 4 名男生、3 名女生（身高各不相同）这 7
名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从

高中排列组合方法

高考数学排列组合方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

复习1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学排列组合问题的几种基本方法

例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？ 5 解法1：将5个人依次站成一排，有 A5 种站法，
2 2
5 然后再消去甲乙之间的顺序数 A A5 3 5 4 3 A 5 2 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A2 解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好， 3 有 A5 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 1 A5
5.剪截法： n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___ 种. 解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串，截为4段有 C9 84 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
4.消序法(留空法) 解: 如图所示变式：如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①, B A ②,③,④顺序一定的将一条路经抽象为如下的一个 11 A 排列，有 11 排法(5-1)+(8-1)=11格:
7.剔除法 (正难则反或间接法) 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.

解高中排列组合题的常用方法

解高中排列组合题的常用方法排列组合是高中数学的重点和难点之一,也是高考必考的内容.学好排列组合对同学有两方面的益处,一方面为同学进一步学好概率知识打下坚实的基础;另一方面使同学进一步理解和掌握分类讨论思想、转化思想和对称思想等数学思想.由于排列组合问题不仅内容抽象,题型多样,解法灵活,而且解题过程中极易出现重复或者遗漏的错误,针对这些问题,下文介绍了八种解排列组合题的常用方法,并且结合一些2009年数学高考题来阐述一下这些方法的具体运用.一、分类法(分类问题)对于可分成若干类完成的排列组合问题,把问题分成若干类(使得每类不重不漏),分别计算出每类的排列组合数,再根据加法原理把各类的排列组合数相加即可.例1 甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种解析此问题可分为两类,第一类是:由甲组中选出一名女生,有C15•C13•C26=225种选法,第二类是:由乙组中选出一名女生,有C25•C16•C12=120种选法,从而共有225+120=345种选法,故选D.例2用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析此问题可分为两类,第一类是:个位、十位和百位上的数字都是偶数的四位数有C23A33C14+A33C13=90个,第二类是:个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数的四位数有C23A33C14+C13C23A33C13=234个,故个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有90+234=324个.评注对于分类问题,关键是正确地分类和准确地计算出每类的排列组合数.练习在11名同学中,有5人只会打篮球,4人只会打乒乓球,另外2人既会打篮球也会打乒乓球,现从11人中选4人打篮球,4人打乒乓球,问共有多少种不同的选法?(答案:185)二、分步法(分步问题)对于可分成若干步完成的排列组合问题,把问题分成若干步,分别计算出每步的排列组合数,再根据乘法原理把各步的排列组合数相乘即可.例3 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有()A. 120种B. 96种C. 60种D. 48种解析此问题可分为四步完成,第一步是:5人中选4人共有C45种,第二步是:星期五选一人有C14种,第三步是:星期六选两人有C23种,第四步是:星期日选一人有C11种,则不同的选派方法共有C45C14C23C11=60种,故选C.例4 甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).解析此问题可分为两步完成,第一步是:先排甲有7种情况,第二步是:再排乙、丙,此步又分为两类,第一类是:当乙和甲站在同一个台阶有1种情况时,丙站在其它六个台阶之一有6种情况,第二类是:当乙站在其它六个台阶其中之一有6种情况时,丙可以任意站有7种情况,则第二步有1×6+6×7=48种情况,故不同的站法种数是7×48=336种.评注对于分步问题,关键是正确地分步和准确地计算出每步的排列组合数.练习n+1本不同的书分给n个人,每人至少一本,问有多少种不同的分法?(答案:C2n+1Ann)三、排除法/间接法(限制条件问题)对于关于有限制条件的排列组合问题,首先求出不加限制条件的排列组合数,然后减去其中不符合条件的排列组合数.例5 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种解析两人各选2门的情况有C24C24种,两人所选两门都不相同的情况有C24C22种,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有C24C24-C24C22=36-6=30种,故选C.例6 某地政府召集5家企业人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A. 14B. 16C. 20D. 48解析不考虑是否来自同一企业的种数是C36,而3人有来自同一企业的种数是C22C14,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为C36-C22C14=20-4=16,故选B.评注对于有限制条件或出现“至少”“至多”之类字眼的题目适合用排除法,就是让不考虑限制条件得到的总排列组合数减去不符合题中限制条件的排列组合数.练习某班有10名中共党员,其中4名男同学,6名女同学,要从这10人中评选出3名“三好学生”,并且至少有1名男同学,问有多少种选法?(答案:100)四、优先法(指定位置问题)对于某几个元素要排在指定位置的排列组合问题,一般应先考虑这些特殊元素,再考虑其他元素.例7 从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()A. 432B. 288C. 216D. 108解析由于是奇数,优先考虑末尾数字从1,3,5,7中取,有种情况;再从剩余三个奇数中选取一个,有C13种情况;从2,4,6三个偶数中选取两个,有C23种情况,再进行十位、百位和千位三个位置的全排列,有A33种情况,则共有C14C13C23A33=216个,故选C.评注上题中要求的是奇数,所以优先考虑末尾数字,再考虑其他位置的数字.练习广东宏远篮球队的10名队员中有3名主力球员,派5名参加比赛,3名主力球员安排在中锋、组织后卫和进攻后卫位置上,从其余7名球员中选2名排在小前锋和大前锋位置,那么不同的出场顺序有多少种?(答案:252)五、插空法(不相邻问题)对于某几个元素不相邻的排列组合问题,可先将其它元素排好,再将这些不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入.例8 5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有种.解析除甲乙外先排其他三人有A33种情况,再将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中有A24种情况,故甲、乙两不相邻的排法有A33A24=72种.评注上题中由于甲、乙不相邻,所以先排其他人,再把甲和乙插进去.练习n个男生要m(m≤n)和个女生合影,要求m个女生两两不相邻,问有多少种不同的排法?(答案:AnnAmn+1)六、捆绑法(相邻问题)对于某几个元素相邻的排列组合问题,可将相邻的元素捆绑在一起,看作一个整体元素与其它元素排列组合,然后再在这个整体元素内部进行排列组合.例9 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A. 60B. 48C. 42D. 36解析有两位女生相邻可从名女生中任取人捆绑在一起记作a,(a共有C23A22=6种不同排法),剩下一名女生记作b,两名男生分别记作甲、乙,则男生甲必须在a、b之间(若甲在a、b两端,则为使a、b不相邻,只有把男生乙排在a、b之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(a左b右和a右b左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,则共有12×4=48种不同排法,故选B.评注上题中由于有两名女生相邻,所以要把这两名相邻女生捆绑在一块看成一个整体.练习5名同学要和2名校长合影,要求排成一排,2名校长相邻且不排在两端,问有多少种不同的排法?(答案:960)七、集合法(交叉问题)对于某些排列组合部分之间有交集的排列组合问题,可用集合中求元素个数公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A ∩B)来求解.例10 50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为()A. 50B. 45C. 40D.35解析由公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B),得两项都参加的学生人数为:Card(A∩B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∪B)=30+25-50=5,则仅参加了一项活动的学生人数为:50-5=45,故选B.评注关键是把公式中的每个量准确地求出来.练习从6名运动员中选出4名参加4×100m接力赛,其中甲不跑第二棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法?(答案:252)八、概率法(概率问题)对于几种情况出现概率相同的排列组合问题,只要求出其中一种情况排列组合数,乘以情况总数就可得到总体情况排列组合数;或者只要求出总体情况排列组合数,除以情况总数就可得到每种情况排列组合数.例11 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).解析由于三个乡镇甲、乙、丙都有可能得到两名大学生,这三种情况出现的概率相同,从而我们不妨只考虑乡镇甲分到两名大学生,乡镇乙、丙各分到一名大学生的情况,这种分配方案有C24C12C11=12种,故总的分配方案有3C24C12C11=3×12=36种.评注关键是搞清楚每种情况发生的概率,再选其中一类特殊情况进行讨论.练习由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,其中个位数小于十位数的共有多少个?(答案:2160) 解排列组台题的方法很多,以上只是对常用方法进行了分析,这里只起抛砖引玉的作用,望大家解题时不断积累经验,总结解题规律,掌握方法和技巧,最终达到灵活运用.责任编校徐国坚。

高中数学排列组合难题十一种方法

高中数学排列组合难题十一种方法高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++L种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯L种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =143413位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学排列组合解题技巧

高中数学排列组合解题技巧
1.相离问题插空法
相离问题插空法主要用来解决2个或假设干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。

它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进展整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

2.相邻问题捆绑法
相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进展一一分析^p 排列。

3.多元问题分类法
多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。

它是在弄清题意的根底上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进展总计。

4.特殊元素优先安排法
特殊元素优先安排法是指在具有特殊元素的排列组合问题中，应优先对特殊元素进展安排，再考虑其它元素。