初中圆的知识拓展提高

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2020-2021 中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练含答案解析

一、圆的综合

1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；

（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

【答案】（1）4；（2）3

；（3）点E的坐标为（1，2）、（

，

）、（4，2）．

【解析】

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则

MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，

华东师大初中数学九年级下册圆的对称性—知识讲解(提高)

圆的对称性—知识讲解（提高）

：

【学习目标】

1. 理解圆的定义；理解半径、直径、弦、弧、圆心角的概念；理解圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；

2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；

3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.

【要点梳理】

要点一、圆的基本元素

1.圆的定义

如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.

2.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

3.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧

“圆” 专题训练(拓展)

r=。

C=d C=2r

C=2r

C= d

2）。

d=C÷。

S=r

r=，S=r S=（）

2，S=r S=（2）

S=R-r

S=(R

S=R-r S=(R

S=（-(d÷

S=()-()

S=(+L)-()

S=（）-()2S= （）-()

S=（+L-()

S=()-()

正方形纸板上就可以剪出21÷3=7（个）半径是1.5分米的圆，竖着也可以剪出7个半径是1.5分米的圆。因此，在一个边长为21分米的正方形纸板上，最多可以剪出49个半径是1.5分米的圆。

解：1.5×2=3（分米）

21÷3=7（个）

7×7=49（个）

答：最多可以剪49个。

小结：在研究正方形纸板或长方形纸板上最多可以剪几个圆这类问题时，通常我们先求出在正方形纸板或长方形纸板上横着可以剪几个圆，再求竖着可以剪几个圆，然后用它们相乘就可以得到正方形纸板或长方形纸板上最多可以剪几个圆。

例2、张师傅用铁丝把3根直径均为10厘米的圆柱捆在一起（不计接头），把3根圆柱捆一周要用多少厘米铁丝？

解法一

【分析】如果把3根圆柱并排捆在一起，排成“一”字形（如图一）由图一可以看出，捆好这3根圆柱所用的铁丝的长度等于4条直径的长度+1根圆柱横截面的周长。

解：10×4+10×3.14=71.4（厘米）

答：把3根圆柱捆一周要用71.4厘米铁丝。

解法二

【分析】如果把3根圆柱捆成“品”字形（如图二），不难看出，这样捆一周需要铁丝的长度等于3条直径的长度+1根圆柱横截面的周长。

解：10×3+10×3.14=61.4（厘米）

答：把3根圆柱捆一周要用61.4厘米铁丝。

例3、草场上有一个木屋，木屋的底面是一个边长3米的正方形，点A是木屋的一角，在A点有一木桩，用6米长的绳子拴着一匹马，这匹马的活动范围有多大？

第24章圆-圆的综合应用拓展课件 22--23学年沪科版数学九年级下册

O
B
O
A
P
定圆上的点到定线的最值问题依据：圆上的点与圆外直线上各点的连线中，垂线段最短．
如图，l为圆O外的一条直线，点P为圆上一点，则点P到直线l的最短距离是什么？
①如点P为圆O上的一个定点；
根据垂线段最短，可知最短距离为垂线段PB的长度
O
②如点P为圆O上的一个动点；
P P
过圆心O作直线l的垂线交直线l于点A，与圆交于点P
DB′＝DE－EB′＝2 10 －2．
本题中通过翻折带来线段相等即EB＝EB′，线段EB′长度固定，点E固定，B′不固定，此时就有隐圆存在，B′点路径为以E为圆心EB′的长为半径的圆弧．再按照圆外一定点D与B′的运动轨迹（圆弧）之间的最小值求法求解．
隐圆问题方法二：共端点，两条线段为定长
形如OA，OB长度为定长，且共端点，求有关面积，角度的最值问题时，可以以公共端点为圆心，一条线段长为半径作圆，用圆的性质解题．
A
D
B
C
当CD与CA重合时，且当CA⊥AB时，
A(D)
B
如图所示，CD有பைடு நூலகம்大值等于4，SABC
＝
1 2
AB
CD
＝
1 2
5
4＝10．
若共端点两条线段长为定长，可让一定边两个端点固定，另一个定边的端点，在以公共点为圆心定长为半径的圆上运动．

九年级数学上册圆的综合几何题解题方法拓展复习——辅助线添加

圆的综合几何题的解题方法-辅助线的添加

【易错知识点汇总】

易错点1：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。

易错点2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。

易错点3：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。

易错点4：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况。（2题分类讨论）

易错点5：与圆有关的位置关系把握好d与R和R+r，R-r之间的关系以及应用上述的方法求解。

易错点6：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

易错点7：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。（选题最后一题考）

【圆中常见的辅助线的作法】

1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

A O

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

初中数学圆的知识点归纳梳理

很多同学在复习初中数学圆的知识点时，因为之前没有做过系统的总结，导致复习效率很低。下面是由编辑为大家整理的“初中数学圆的知识点归纳总结2022”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

初中数学圆的知识点归纳梳理

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合。

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合。

6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合。

7.同圆或等圆的半径相等。

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

12.①直线L和⊙O相交d ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d>r

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

15.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

圆的知识拓展学习

一、圆环的面积

（1）定义：圆环是由同心的一个大圆和一个小圆组成的，大圆也叫外圆，小圆也叫内圆；

（2）圆环面积=大圆面积-小圆面积

圆环面积计算公式：

一个圆环，外圆直径是4,cm 内圆直径是2,cm 求这个圆环的面积。

一个圆形花坛的直径是12,m 在它的周围铺一条宽1m 的石路，这条石子路的面积是多少？

2、扇形的面积

（1）定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，在扇形中，两条半径所夹的角是扇形所在圆的圆心角；

（2）扇形面积计算公式： 2

360

n r S π= r R

）：

d cm

3、组合图形面积的计算

在一个周长为18.84cm的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？

4、求阴影部分面积：

一、相加相减法

【点拨】：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积. 或者将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.

【例题1】：求组合图形的面积。（单位：厘米）

【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

4÷2=2（米）

4×4+2×2×3.14÷2=22.28（平方厘米）

【例题2】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。

【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.

4÷2=2（米）

6×4-2×2×3.14÷218.28（平方厘米）

求阴影部分面积

求非阴影部分面积

如图，以等腰直角三角形的两条直角边为直径，分别作两个半圆，求阴影部分的面积。（单位：cm ，6AB ）

圆的知识拓展提升

（第3题）

圆的知识复习与提高

【知识提要】

一．圆的轴对称性

垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且

平分。

推论1：平分弦（）的直径，

并且。

推论2：弦的垂直平分线必过。

推论3：圆的两条平行弦间。

二．圆的旋转不变性

定理：在同圆或等圆中，如果

这四组量中，只要有一组量相等，那么它们所对应

的其余各组量也相等。

三．圆周角

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于

。

推论1：在同圆或等圆中，相等的所对的圆

周角相等；反之，相等的圆周角所对的相等。

推论2：直径所对的圆周角是；反之

的圆周角所对的弦是直径。

四．圆内接四边形

定理：圆内接四边形，并且每一个

外角都等于它的。

五．直线和圆的位置关系

设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，

则，L与⊙O相交⇔。

L与⊙O相切⇔。

L与⊙O相离⇔。

六．圆的切线

（1）定义：如果一条直线与圆

则称这条直线叫做这个圆的切线。

（2）性质定理：圆的切线垂直于

（3）判定定理：经过并且

的直线是圆的切线。

七．三角形的内切圆

的圆叫做三角形的内

切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

（1）三角形的内心是三角形三条的交点，

它到三角形的距离相等。

（2）设三角形的周长为c，内切圆半径为r，则三

角形的面积S= .

(3) 已知⊿ABC的内心为I，Aα

∠=.

则BIC

∠=.

(4) 已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，

斜边长为c，则它的内切圆半径r= 。

八．三角形的外接圆

如果一个圆，则称这个圆叫

做三角形的外接圆。三角形外接圆圆心叫做三角形

的。

（1）当三角形为三角形时，三角形的外心

在三角形的内部。

当三角形为三角形时，三角形的外心在

圆学习知识拓展

圆知识拓展（一）

【知识拓展】

1．如何巧测细管的内径？

要测量一个很细的管子的内径，通常使用的卡钳太大，放不进去，不易直接测出结果来．我们利用圆

的有关知识，可巧妙地采用下面的间接测量方法．

把一个钢球放在细管的口上．取管子的一段固定长度，当钢球放上以后，钢球与这段管子的总高度可

以用卡钳量出．这样，我们就可以计算管子的内径了．

如图7－202，是过球心以及管子内径的两个端点A 、B 所作的截面图．

设钢球的直径为d ，管子的长度为1h ，钢球与这段管子的总高度为2h ．

作直径CD ⊥AB ，垂足为E ，则12h h DE -=．

.h h d )h (h d CE 2112-+=--=∴

.CE DE AE ,2⋅=有根据相交弦定理的推论

.)h h d )(h h (CE DE AE 2112-+-=⋅=∴

.)h h d )(h h (2AE 2AB 2112-+-==∴

2．怎样作半径很大的圆弧？

求作半径很大的圆弧是一个很有用的实际问题．上海的万体馆和国际会议中心等都有大型的圆形建筑，场内的观众席都是排列成一组同心圆弧．因此在建馆（或场）时就遇到了求作半径很大的圆弧问题（在实际生活和工作中，我们也常会遇到同样的问题）．由于圆的半径很大，就不能用通常圆规画圆的方法来

作出圆弧．下面介绍一种简便而实用的方法（见图7－203）．

我们知道，利用相交弦定理可推出长l 2的弦与所对应的劣弧所构成的弓形高h 的计算公式22l R R h --=（其中R 为圆的半径）．

现在来作过A 、B 两点（A 、B 间距离为l 2）、半径为R （R 很大）的圆弧：过AB 中点M 作AB 的垂线MC ，且使22R R MC l --=（MC 可用代数作图作出）．则由垂径定理得C 为的中点．连结AC 、BC ，再作∠BAC 的平分线和BC 的垂直平分线交于点D ．则由圆周角与所对弧的关系和垂径分弦定理可知，D 为的中点，它也是的四等分点．照这样做下去，就可以得到的八等分（'D ）、十

九年级圆的知识点拓展

圆是数学中一个非常重要的概念，它在几何形状的研究中起着

至关重要的作用。本文将介绍九年级圆的一些知识点，并对其进

行拓展。

一、圆的定义和基本性质

圆是由平面上距离中心点相等的所有点组成的集合。圆的基本

性质有三个：半径、直径和圆心。半径是连接圆心与圆上任意点

的线段长度，而直径是连接圆上任意两点的线段，其中经过圆心。圆与直径的关系是，圆的直径是圆的半径的两倍。

二、关于圆的周长和面积的计算

圆的周长被称为圆周长，通常用C表示。圆周长的计算公式是：C=2πr，其中r表示圆的半径，π是一个数学常量，约等于3.14159。圆的面积被称为圆面积，通常用A表示。圆面积的计算公式是：

A=πr²。这两个公式在解决与圆相关的问题时非常重要。

三、弧和扇形

在圆的概念中有两个重要的衍生概念，分别是弧和扇形。弧是

圆上两个点之间的部分，可以通过角度或长度来描述。扇形是圆

心、弧和边界线段所围成的区域。弧和扇形的计算可以通过圆的周长和面积公式来得到。例如，给定圆的半径r和弧度θ，则弧长L=2πr(θ/360)，扇形的面积S=πr²(θ/360)。

四、切线和弦

切线是一条与圆相切于一点的直线，且在该点上的斜率等于圆的半径。弦是连接圆上两个点的线段，并且弦与圆心之间的连线垂直。这两个概念在解决与圆相关的几何问题时非常有用。

五、圆切割和圆锥

圆切割是指用一条直线将圆分成两部分。根据切割的角度和位置，圆切割可以分为四种情况：内切、外切、切割和断开。圆锥是一个在一端尖锐而另一端呈圆形的几何体。圆锥在实际生活中广泛应用于建筑、工程和设计领域。

九年级圆的单元作业设计

九年级数学——圆的单元作业设计

一、作业目标

本次作业旨在帮助学生：

1.巩固和加深对圆的基本性质、定理和公式的理解。

2.提高学生运用圆的知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑推理能力、创新思维能力和自主学习能力。

二、作业内容

1.基础练习

（1）根据圆的定义，判断下列图形是否为圆，并说明理由。

（2）计算给定圆的半径、直径、周长和面积。

（3）利用圆的基本性质，证明给定的几何命题。

（4）运用圆的切线性质，求解相关问题。

2.应用拓展

（1）实际问题：有一个圆形花坛，其半径为5米。现在需要在花坛周围修建一条宽1米的石子小径。请问：修建小径后，整个区域（花坛+小径）的面积是多少？

（2）动态问题：在一个平面直角坐标系中，有一个圆以原点O为中心，半径为r。现在有一个点P在圆上运动，求点P的轨迹方程。

（3）最值问题：给定两个定圆，求它们之间的最短距离和最长距离。

（4）综合问题：结合相似三角形和圆的知识，求解实际问题。

三、作业要求

1.学生应独立完成作业，并在完成后进行自我检查。

2.对于基础练习部分，学生应确保答案的准确性和完整性。

3.对于应用拓展部分，学生应运用所学知识进行分析和解决，并在必要

时进行讨论与交流。

4.学生应在规定时间内完成作业并提交。

四、评价与反馈

1.教师将对学生的作业进行批改，给出分数和评语。

2.教师将针对学生在作业中暴露出的问题进行反馈，提出改进意见和建

议。

3.教师将选取优秀作业进行展示和点评，以激发学生的学习兴趣和动力。

4.学生应根据教师的反馈进行反思和总结，以便更好地掌握圆的相关知

识。

初中圆单元备课教案

1. 知识与技能目标：

（1）理解圆的定义、圆心和半径的概念；

（2）掌握圆的画法，包括圆规画圆和利用圆规和直尺画圆的方法；（3）学会用圆的性质解决实际问题，如计算圆的周长、面积等。

2. 过程与方法目标：

（1）通过观察、实践、探究等环节，培养学生的动手能力和合作意识；（2）引导学生运用类比、归纳等方法，发现圆的性质和规律；

（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：

（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学习热情；

（2）培养学生勇于探究、勇于实践的精神；

（3）培养学生团队协作、相互帮助的良好品质。

二、教学内容

1. 圆的定义和圆心、半径的概念；

2. 圆的画法，包括圆规画圆和利用圆规和直尺画圆的方法；

3. 圆的性质，如圆的对称性、周长、面积等；

4. 实际问题中的应用，如计算圆的周长、面积等。

三、教学重点与难点

1. 教学重点：

（1）圆的定义和圆心、半径的概念；

（2）圆的画法；

（3）圆的性质和实际问题中的应用。

2. 教学难点：

（1）圆的性质的发现和归纳；

（2）利用圆的性质解决实际问题。

四、教学方法

1. 采用问题驱动法，引导学生观察、实践、探究，发现圆的性质和规律；

2. 运用类比、归纳等方法，帮助学生理解和掌握圆的知识；

3. 结合实例，讲解圆在实际问题中的应用，提高学生的应用能力；

4. 鼓励学生动手实践，培养学生的动手能力和合作意识。

五、教学过程

1. 导入：

通过展示生活中的圆形物体，如硬币、地球等，引导学生关注圆形的特征，激发学生对圆的学习兴趣。

2. 新课导入：

初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆巧解难题》

四点共圆巧解难题

一、知识准备

四点共圆的概念、性质、判定方法

二、拓展导学【问题解决】

例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF.

求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得

CF ⊥AE ，即∠CFA=90°

∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆，即F 在△ACD 的外接圆上

又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°，得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形

对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF.

解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那

么由点与圆的位置关系可得这四点共圆；

②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相平分的性质可得BG=DG=CG ；

③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是

△AEC 的一条中位线，所以可证FG = CE =CA=CG ，即FG=BG=DG=CG ；

④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）.

【难题呈现】

例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.

九年级数学拓展知识点总结

一、几何相关知识

1. 向量

在九年级数学学习中，我们开始接触向量的概念。向量是一种具有大小和方向的物理量，它能用来表示平行四边形的对角线，力的方向和大小等。向量的运算包括加减、数乘、点积和叉积等，这些运算在几何运用和物理问题中都具有重要意义。

2. 三角形

在几何中，三角形是一个非常重要的概念。我们需要学习三角形的性质、角平分线、中位线、高线等概念，并且掌握相关的定理和证明，比如角平分线定理、中位线定理和高线定理等。三角形的相关知识在解题时往往会被大量应用。

3. 圆的性质

圆是一个非常基本的几何图形，但它的性质却有着许多深刻的数学内涵。学习圆的性质包括圆的切线、切线与半径的关系、相切圆等概念，以及相关的定理和应用，比如切线定理和切线的性质等。

4. 相似三角形

相似三角形是一个重要的几何概念，学习相似三角形的方法和定理可以帮助我们解决很多几何问题，如相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的应用等。

5. 圆周角与弦的性质

在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆周角、圆心角、弦的性质及相关定理，这些知识对于解决圆相关的问题非常重要。

二、代数和函数

1. 复数

复数是一个非常抽象的数学概念，它包括实部和虚部两部分，可以用平面上的点表示。我们需要学习复数的基本性质、运算规律以及复数方程的解法等。

2. 不等式与绝对值

不等式是解决实际问题中经常用到的数学工具，我们需要学习不等式的性质、解不等式的方法，以及绝对值不等式等概念。

3. 函数的概念

在九年级数学中，我们开始学习函数的概念和性质，理解复合函数、反函数、初等函数以

5.圆的复习及知识拓展

．A
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
． O
．
B
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
过D点作DF AC 于F点，然后证明 DF等于圆D的半径BD
F
如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是 20cm,求该零件所在的半径长.
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵︵ AB = CD
C ∴AB=CD
A
1、如图,已知⊙O的半径OA长 AC=BC 为5,弦AB的长8,OC ⊥AB于C, 则OC的长为 _______. 3
A
O
弦心距
半径
C 半弦长 B
E
2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。直⊥

圆知识拓展

1、如图所示，在一个大圆内有3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问，大圆的周长与这3个小圆周长那个长，为什么？

周长问题

用一根铁丝可以围成一个长21.4厘米，宽10厘米的长方形（接头处不计），如果把这跟铁丝围成一个圆形，这个圆的半径是多少？

用一根绳子可以围成一个长10厘米，宽5.7厘米的长方形，如果把这跟绳子改围成一个圆形，这个圆形的直径是多少？

王大爷用一批篱笆可以围成一个长方形，长与宽的和是18.84厘米，如果将这跟线改围成一个圆形，这个圆的半径是多少？

王大爷用一批篱笆可以围成一个直径是10厘米的羊圈，现在想把篱笆改围成一个面积最大的长方形羊圈，新羊圈的边有多长？

图1是一个两件的横截面，求这个横截面的周长（单位：厘米）

正方形的边长是8厘米，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心，半径3厘米分别画圆弧（如图所示），求阴影部分周长。

如右图所示，求图形的周长

把三根底面直径为6厘米的圆形钢管用铁丝紧紧捆一在一起，捆一圈至少要用多少长的铁丝（接头处需要8厘米）？

把三根底面直径为8厘米的圆形钢管用铁丝紧紧捆一在一起，捆2圈至少要用多少长的铁丝（接头处不计）？

图中两个完全相同的圆紧紧靠在一起，半径都是2.5厘米，求阴影部分的周长。

有4段原木，横截面的半径是10厘米，用绳子将他们捆在一起（如图所示），只需要捆一圈，打结处需要15厘米的绳子，那么共需要多少厘米长的绳子？

求右图阴影部分的周长。

图中两个圆完全一样，半径为20厘米，求这个组合图形的周长。

如图，求图形的周长（单位：厘米）

如图圆的周长是24厘米，圆的面积等于长方形的面积,求阴影部分的周长是多少厘米？