初中圆的知识拓展提高
圆中考 知识点总结
圆中考知识点总结圆是中学数学中的一个重要知识点，在中考数学中起着重要的作用。
因此，掌握圆的相关知识对于中考数学是非常重要的。
本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结，帮助学生更好地复习和掌握圆的相关知识。
知识点总结一、基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个确定点一定距离的点的全体组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、圆周。
3. 圆的性质：圆的直径是圆周的两倍，圆周上任意两点与圆心的距离相等。
二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C=2πr。
2. 圆的面积公式：S=πr²。
三、圆的相关定理1. 直径定理：直径所对应的两个锐角为直角。
2. 圆的切线定理：过圆外一点引圆的切线与过该点作圆的半径垂直。
3. 圆的切线与弦的性质：相交弦定理、弦切定理。
4. 圆的内切与外切定理：内切定理、外切定理。
四、圆的相关应用1. 圆的面积和周长的应用：计算圆的面积、周长和扇形面积等。
2. 圆的几何关系：切线与圆的位置关系、相交弦的性质等。
3. 圆的倒影与旋转：圆的旋转变换、圆的倒影变换。
五、解题技巧1. 熟练掌握圆的相关公式和定理，能够正确应用公式和定理解题。
2. 多做练习，培养解决问题的能力，提高解题技巧。
3. 注意细节，正确理解题目的意思和要求，避免因理解错误而导致错误答案。
六、经典例题1. 已知AB是∠O的平分线，且AC⊥BC，求证：AC=BC。
2. 已知AB与CD是两条相交的直径，P是与AB、CD相交的一点，求证：PA²+PB²=PC²+PD²。
3. 如图，ΔABC是等边三角形，M、N分别是BC、AB的中点，P为AM的垂足，若PA=2，则求BP的长。
4. 四通五达服装公司要在正方形草坪内竖立一些旗杆，使得每个旗杆都最多不见这块草坪中心的五分之一。
那么最多可以竖立几个旗杆？结语通过对圆的相关知识点进行总结，我们可以更好地掌握圆的相关概念、公式、定理和应用。
九年级上册数学圆知识点与技巧
九年级上册数学圆知识点与技巧数学中的圆是一个重要而有趣的概念，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级上册数学课程中，我们学习了许多关于圆的知识点和技巧，这些知识点和技巧对我们理解和解决与圆相关的问题非常有帮助。
一、圆的定义和性质首先，我们需要了解圆的定义和性质。
圆是由一个固定点到平面上任意点的距离都相等的点的集合。
圆有许多独特的性质，如半径、直径、周长和面积等等。
半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，直径是通过圆心的线段，并且是圆的最长线段。
周长是圆的边界线的长度，而面积是圆所包围的平面区域。
在解决与圆相关的问题时，我们经常需要应用这些性质，例如计算圆的周长和面积。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算，其中r 表示圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14。
而圆的面积可以通过公式S=πr²计算。
这些公式是我们计算圆形问题时的基本工具，掌握它们非常重要。
二、圆与直线的关系圆与直线之间存在着多种有趣的关系，如相切、相交和相离等。
当一条直线与圆只有一个交点时，我们称它与圆相切。
相切关系可以帮助我们解决许多有关圆和直线的几何问题。
当一条直线与圆有两个交点时，我们称它与圆相交。
相交关系能够帮助我们找到圆与直线之间的共有点，从而解决一些几何定位问题。
当一条直线与圆没有任何交点时，我们称它与圆相离。
相离关系对于我们在解决一些几何问题时确定圆的位置非常有帮助。
三、圆的切线问题切线是与圆只有一个共同交点的直线。
圆的切线问题是我们在九年级上册数学中常见的一个问题。
当一条直线与圆相切时，我们需要找到这条直线在相切点处的切线。
为了求解这个问题，我们使用了一些几何性质和技巧。
首先，我们知道圆的切线与半径垂直。
这意味着，如果我们能够找到与圆相切的直线的斜率，就可以使用斜率的负倒数来确定切线的斜率。
然后，我们可以使用切线斜率和切线点的坐标来确定切线方程。
掌握这些技巧可以帮助我们解决各种与圆的切线问题。
四、圆的平移和旋转另一个与圆相关的重要概念是平移和旋转。
圆的知识知识讲解及提高练习解析
圆的知识知识讲解及提高练习解析【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．»»»»要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)AC=BC，(5)AD=BD．若上述5个条．件有 2 个成立，则另外 3 个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制 AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角） 考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为 r ，点 P 到圆心的距离 OP ＝d ，则有： 点 P 在圆外 ⇔ d ＞r ； 点 P 在圆上 ⇔ d ＝r ； 点 P 在圆内 ⇔ d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点 A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称外心(三角形外接圆的圆心)内心(三角形内切圆的圆心)确定方法三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点图形性质(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．+ -过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P 是⊙O 内任意一点，过点 P 作⊙O 的 直径 AB ，过 P 作弦 CD⊥AB 于 P ，则 CD 是过点 P 的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接 PO 交⊙O 于 A ，延长 PO 交⊙O 于 B ，则在点 P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上． 如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点 P ，交⊙O 于 A 、B 两点，则 PB 最长、PA 最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC = 90° 1 ∠A ．2(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点， ∠BEC = 90° 1∠A ． 2(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点， ∠E = 1∠A ．2- +(4)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点， ∠DFE = 90° 1∠A ．2(6)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为 DE 上一点，则 ∠DPE = 90° 1 2∠A ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径 OA ＝4，弦 BC 经过半径 OA 的中点 P ，∠OPC＝60°，求弦 BC 的长．【思路点拨】要用好 60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成 直角三角形． 【答案与解析】解：过 O 作 OM⊥BC 于 M ，连接 OC ．2．如图所示，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 M ， AD = BC ，连接 AC ．证明：(1) ∵ AD= CB ，∴∠MCA＝∠MAC．在 Rt△OPM 中，∠OPC＝60°， OP = 1OA = 2 ，2∴PM＝1，OM ＝ 3 ．在 Rt△OMC 中，BC ＝2MC ＝ 2 OC 2 - OM 2 = 2 13 ．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．» » (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若 AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM·AB．【思路点拨】(1)证明∠MCA＝∠MAC；(2)证明△AOM∽△ABC．【答案与解析】» »∴△MAC 是等腰三角形．(2)连接 OM ．∵AC 为⊙O 直径，∴∠ABC＝90°．∵△MAC 是等腰三角形，OA ＝OC ， ∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°． ∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴ AO A ． AB > 2CDB ． AB < 2CDC ． AB = 2CDD ． AB 与 2CD 的大小关系无法确定 解：要比较 AB与 2CD 的大小有两种思路． »AB的一半作出来，比较 1 »AB 与 CD的大小； (2)把 2CD 作出来，比较 AB 与 2CD 的大小． 如图所示，作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于 F ．则 AF = BF ，且 AE = ∴ 2 AF > 2CD ，即 AB > 2CD ．AB= AM AC，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC 2＝2AM·AB．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )» » » »» »» »【答案】» »(1)把 2»» »∵AB＝2CD ．∴AE＝CD ．在 Rt△AFE 中，AF ＞AE ＝CD ． ∴AF＞CD ．»» » »答案 A.» » »»12AB ．3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O，BD⊥半径 AO 于 D ．8= sin C = ．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若 BD ＝4.8，sinC ＝ 45，求⊙O 的半径．【思路点拨】过 O 作 OE⊥AB 于 E ，连接 BO ，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：(1)过 O 作 OE⊥AB 于 E ，连接 BO(如图所示)，则 ∠C = 1∠BOA = ∠AOE ．2又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在 Rt△ABD 中， s in ∠ABD =AD 4 ∴ AB 5AD AB ，设 AD ＝4k ，则 AB ＝5k ，BD ＝3k ＝4.8，k ＝1.6． ∴AB＝8，AE ＝4．∵ sin ∠AOE = AE 4 4，∴ = ．∴OA＝5．OA 5 OA解法二：（1）延长 AO 交⊙O 于 C′．（如图所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O 的直径， ∴∠ABC′＝90°．AC = ∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在 Rt△BDC′中， s in C = sin C ' =BD BC ' ，∴ BC ' = 4.8 0.8 = 6 ．在 Rt△ABC′中，∵ sin C ' = AB 4 = ， AC ' 5∴设 AB ＝4k ，则 AC′＝5k ，BC′＝3k ＝6．∴k＝2．∴ OA = 11 ⨯10 = 5 ．2 2【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将 圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P ，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 于点 F ，连接 BE ．（1）求证：AC 平分∠DAB；（2）求证：△PCF 是等腰三角形；（3）若 AC=8，BC=6，求线段 BE 的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接 OE ，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF 是等腰三角形；（3）先在 Rt△ACB 中，根据勾股定理计算出 AB=10，最终算得 BE 的值．【答案与解析】（1）证明：∵PD 为⊙O 的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在△Rt ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=3-12，求证△DCE≌△OCB．OF=3-1【思路点拨】（1）由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC，易证△AOC 是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD是切线，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可证△CDE为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=3，CE=AE-AC=3，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC≌△DCE．【答案与解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切线，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE为等腰三角形．(2)证明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝3．3+1，∴AF=AO+OF=．22又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝3+1．∴CE＝AE－AC＝3＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．【答案】解：连接PQ并延长交AB于E，设大圆的圆心为O，连接OA．设AB＝2x，则AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∠CPA = (90°- ∠COP) = (90°- 60°= 15°． ∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如图所示，⊙O 的直径 AB ＝4，点 P 是 AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点 C ，连接 AC ．PM 平分 ∠APC 交 AC 于 M ．(1)若∠CPA＝30°，求 CP 的长及∠CMP 的度数；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变 化，请求出∠CMP 的度数；(3)若点 P 在直径 BA 的延长线上，PC 切⊙O 于点 C ，那么∠CMP 的大小是否变化？请直接写出你的 结论．【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC ，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO 的值和 OC 的长，可将 PC 的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP= 1 2 【答案与解析】 解:(1)连接 OC ，则∠OCP＝90°． ∵ OA ＝OC ，∴ ∠COP＝2∠CAP＝60°． （∠COP+∠CPO），故∠CMP 的值不发生变化．∴ CP ＝OC·tan60°＝∴ CP ＝ 2 3 ．∵ PM 平分∠CPA， 1 2AB·tan60°＝ 2 3 ， ∴ ∠MP A = 1 1 1 2 2 2)∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA＝α，∵ PM 平分∠CPA，∴ ∠CMP＝∠CAP+∠MPA = (90°- α ) + α = 45°． ∵∠CMP=∠A+∠MPA= 1 【变式】如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是 AE 的中点，CD⊥AB 于 D ，CD 与 AE 相交于 F ． - ∴ AC= AG ． ∴ AC (2)由(1)得 AC = AG ． 又∵C 是 AE 的中点，∴ AC = AG = CE ．∴ ∠MPA＝ 1 2 1 ∠CPA = α ． 2∵ ∠OCP＝90°，∴ ∠COP＝90°-α．又∵ OA ＝OC ，∴ ∠CAP＝ 1 (90° α ) ． 2 1 1 2 2（3）∠CMP 的大小没有变化1 1 1 ∠COP+ ∠CPO= （∠COP+∠CPO）= ×90°=45°．2 2 2 2【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度． 本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三： »(1)求证：AC 2＝AF·AE；(2)求证：AF ＝CF ．【答案】证明：(1)如图所示，连接 CE ，延长 CD 交⊙O 于 G ，连接 AG ．∵AB 是⊙O 直径，CD⊥AB，» »∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．AE = AF AC． ∴ AC 2＝AF·AE．» »» » » »∴∠2＝∠1．∴AF＝CF ．。
初中数学初三数学下册《圆中的计算问题》教案、教学设计
1.教学活动设计
在本节课的导入阶段，我将通过展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引发学生对圆的关注。接着，提出问题：“你们觉得圆有什么特别之处？”让学生思考并回答，从而激发学生对圆的性质和计算问题的兴趣。
2.教学内容
（1）引导学生观察圆形物体，发现圆的形状特点。
（2）让学生用自己的语言描述圆的定义和性质。
4.通过典型例题的分析与讲解，使学生掌握解题方法和技巧，提高解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成独立思考、自主学习的好习惯。
3.通过对圆的性质和计算问题的研究，使学生体会数学的和谐美、逻辑美，提高学生的审美情趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握圆的基本性质，如圆的对称性、圆周角定理等。
2.运用垂径定理、切线定理、弦长公式等解决圆中的计算问题。
3.将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决与圆相关的问题。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、硬币等，引发学生对圆的兴趣，为新课的学习打下基础。
（3）简要回顾已学的圆的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在此环节，我将采用讲解、示范、提问等方式，向学生传授圆的基本性质和计算方法。同时，结合实际例子，让学生更好地理解和掌握新知识。
2.教学内容
（1）讲解圆的半径、直径、周长和面积的定义及计算方法。
（2）介绍圆的对称性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质。
当前学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，对新鲜事物充满兴趣。他们对数学学科的兴趣和信心是教学的重要基础。此外，学生在学习过程中可能存在以下问题：对复杂题目的畏惧心理、解题思路不清晰、对知识点掌握不牢固等。
中考数学总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角． 要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R 、r 为两圆半径(R ≥r)．d 为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ， 证：△APC∽△DPB .相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB . 用相交弦定理.切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2＝PA·PB 连结TA 、TB ， 证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ， 用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． BC 为O 的弦，∠BOC=130°，△ABC 为O 的内接三角形，求∠A 的度数.【思路点拨】依题意知O 为△ABC 的外心，由外心O 的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】应分两种情况，当O 在△ABC 内部时，1113065;22A BOC ∠=∠=⨯︒=︒当O 在△ABC 外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC 的度数为130︒，则BAC 的度数为360︒－130︒＝230︒,故∠A=115°. 综合以上得∠A=65°或∠A=115°. 【总结升华】转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决. 举一反三：【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130 【答案】解：当点C 在优弧上时，∠ACB＝21∠AOB＝21×100°＝50°， 当点C 在劣弧上时，∠ACB＝21（360°－∠AOB）＝21×（360°－100°）＝130°．故选D ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）【思路点拨】设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R ，r ，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可． 【答案与解析】A BO解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R ，r ， 如图，连接OE 、OA ， 则OA 2-OE 2=AE 2，即R 2-r 2=（）2=（）2=4，S 圆环=S 大圆-S 小圆=πR 2-πr 2，（2分）=π（R 2-r 2），（3分） ∵R 2-r 2=（）2=4， ∴S=4π（cm 2）．【总结升华】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．3．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A,B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【思路点拨】(1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ 的长；(2)由直线AB 与⊙O 相切,先找出结论成立的条件,当BQ 等于⊙O 的半径时,直线AB 与⊙O 相切,再根据直线AB 与⊙O 相切时的不同位置,分类求出t 的值. 【答案与解析】解 （1）连接OQ ．∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ⊥PN, 即90OQP ∠=．10OP =，6OQ =，∴)(861022cm PQ =-=（2）过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ．点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为t s ， ∴t PA 5=，4PB t =．10PO =，8PQ =，∴PQPBPO PA = P P ∠=∠，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=90090BQO CBQ OCB ∠=∠=∠=，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时．84BQ PQ PB t =-=-．由6BQ =，得846t -=．解得0.5(s)t =． ②当AB 运动到如图2所示的位置时．48BQ PB PQ t =-=-．由6BQ =，得486t -=．解得 3.5(s)t =． 所以，当t 为0.5s 或3.5s 时,直线AB 与⊙O 相切． 【总结升华】本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例4】【变式】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连接AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．【答案】（1）证明：连结OC .EC 与⊙O 相切，C 为切点.90....ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=，∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠= AB 是⊙O 的直径.BE ∴与⊙O 相切.（2）解：过点D 作DM AB ⊥于点M ，则DM ∥FB .在Rt ODB ∆中， 2909sin 3sin 6.ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=⋅∠=，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD =-=在Rt DMB ∆中，同理得 22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM =⋅∠==-=O 是AB 的中点，18.13.AB AM AB BM ∴=∴=-= DM ∥FB ，∴△AMD ∽△ABF .36513MD AM BF AB MD AB BF AM ∴=⋅∴==类型三、与圆有关的计算4．如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2． T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O 相切（我们称T1，T2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求r ：a 及r ：b 的值；（2）求正六边形T 1，T 2的面积比S 1：S 2的值．【思路点拨】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r ：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．【答案与解析】解：（1）连接圆心O 和T 1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r ：a=1：1；连接圆心O 和T 2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r ：b=AO ：BO=sin60°=：2；（2）T 1：T 2的边长比是：2，所以S 1：S 2=（a ：b ）2=3：4．【总结升华】 计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．举一反三：【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【答案】解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB•sin∠OBC=8×=4m，∴S △OBC=BC•OG=×8×4=16，∴S 六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【思路点拨】（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值．【答案与解析】（1）证明：连接OD；∵AB是直径，∴∠ACB=90°；∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA；又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AF，∴∠ODE=∠AFD=90°，即OD⊥EF；又∵EF过点D，∴EF是⊙O的切线．（2）解：连接BD，CD；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AFD；∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴BD=CD；设BD=CD=a；又∵EF是⊙O的切线，∴∠CDF=∠DAC，∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，∴△CDF∽△ABD∽△ADF，∴=，=；∵sin∠ABC==，∴设AC=3x，AB=4x，∴=，则a2=4x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1；又∵=，∴4x﹣1=1×（1+3x），∴x=2，∴AB=4x=8，AC=3x=6；∵EF∥BC，∴△ABC∽△AEF，∴=，=，AE=，∴在Rt△AEF中，EF===．综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和．【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例3】【变式】（2015•宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．【答案】解：（1）连接OD，∵BA=BD，BO⊥AD，∴∠ABO=∠DBO，在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SAS），∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切线；（2）∵在RT△ODC中，CD===6，∴OC=10，∴AC=18在RT△ABC中，AB=AC•tan∠C=18×=24，∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，∴sin∠ADB=sin∠AOB==，6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【思路点拨】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【答案与解析】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，又∵∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．举一反三：【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .【答案】解：（1）连接OB、OC；∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB=∠NOC，∴∠MON=∠BOC=120°；（2）90°；72°；360n．（3）15.。
初中圆的知识拓展提高
初中圆的知识拓展提高整理人：孙亮鑫 2017.12.17一、基础知识回顾 圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O 表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d 表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r 表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或r=二分之d 。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C 表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2，用字母S 表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π 4、圆周长的一半:1\2周长(曲线) 5、半圆的长：1\2周长+直径 面积计算公式：1、已知半径：S=πr 平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方点、直线、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径⇔⇔⇔2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
九年级圆有关知识点
九年级圆有关知识点圆是几何中重要的基本图形之一，其相关概念和性质在九年级的几何学中占有重要地位。
本文将就九年级圆的相关知识点进行论述，包括圆的定义、圆的元素、圆的性质和相关公式等内容。
一、圆的定义圆是平面上所有距离某一点（圆心）相等的点的集合。
圆由圆心和半径两个要素来确定。
二、圆的元素1. 圆心：圆心是圆的核心点，用字母O来表示。
2. 半径：半径是从圆心到圆上的任意一点的距离，用字母r来表示。
3. 直径：直径是通过圆心的线段，且两端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍，用字母d来表示。
4. 弦：弦是连接圆上两点的线段，弦的长度可以小于、等于或大于直径的长度。
5. 弧：弧是圆上的一段连续的曲线。
三、圆的性质1. 圆与直线的关系：a. 直线是否与圆相交的情况：若直线与圆有且仅有一个交点，则该直线与圆相切；若直线与圆没有交点，则该直线与圆相离；若直线与圆有两个交点，则该直线与圆相交。
b. 切线：与圆有且仅有一个交点的直线称为切线，切线与半径的关系为垂直。
c. 弦的性质：圆上任意弦所对应的两条弧的长度是相等的。
2. 圆与角度的关系：a. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧的长度是角度的两倍，即弧长=S×r（S为圆心角的度数，r为半径长度）。
b. 弧度制和度数制：角度单位有弧度制和度数制两种，弧度制中圆心角的一个完整圆角为2π弧度，而度数制中为360度。
四、圆的相关公式1. 圆的周长：圆的周长等于该圆的直径乘以π（π取近似值3.14），也可以用2π乘以半径来表示，即周长=2πr或周长=πd。
2. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即面积=πr²。
五、圆的应用圆的相关知识点在现实生活中有广泛的应用。
例如：1. 建筑领域：圆的形状常用于建筑物中，例如圆形的柱子、圆顶等。
2. 地理测量：地球的形状可以近似看作是一个球体，地理测量中的经纬度也是基于圆的概念来确定位置的。
3. 交通标志：交通标志中的标志牌、箭头等往往采用圆形来说明交通信息。
九年级圆知识点复习
九年级圆知识点复习圆知识点复习在数学学科中，圆是一个非常重要的几何形状。
九年级的学生需要掌握关于圆的各种性质和计算方法。
本文将以复习的方式，系统地介绍九年级圆的知识点，帮助同学们加深对圆的理解。
一、圆的定义与性质1. 定义：圆是由平面上每个到一个给定点距离相等的点构成的图形。
这个给定点称为圆心，所有到圆心距离相等的点构成的距离就是半径。
2. 性质：- 直径：连接圆上两个点，并经过圆心的线段称为圆的直径，直径的长度是半径的两倍。
- 弦：连接圆上两个点的线段称为圆的弦，弦的中点连线与圆心的连线垂直，并且垂分线的长度是半径的一半。
- 弧：圆上两个点之间的部分称为圆弧。
- 切线：与圆只有一个交点的直线称为圆的切线，切线与半径垂直。
二、圆的计算1. 周长：圆的周长也称为圆的周长。
周长的计算公式是：C =2πr，其中r是半径，π是一个常数，取约等于3.14。
2. 面积：圆的面积也称为圆的面积。
面积的计算公式是：A =πr²。
三、圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用方程表示。
设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²四、圆的位置关系1. 内切：如果一个圆的内部与另一个圆的外部相切，那么这两个圆是内切的。
2. 外切：如果一个圆的外部与另一个圆的外部相切，那么这两个圆是外切的。
3. 相交：如果两个圆的内部有公共点，那么这两个圆是相交的。
4. 相离：如果两个圆的内部没有公共点，那么这两个圆是相离的。
五、圆与直线的位置关系1. 切线：如果圆与直线只有一个交点，并且交点在圆上，那么这条直线是圆的切线。
2. 相离：如果圆与直线没有交点，那么这条直线与圆相离。
3. 相交：如果圆与直线有两个交点，那么这条直线与圆相交。
六、圆的证明问题在数学中，我们经常需要用已知条件去证明一个结论。
以下是一些常见的圆的证明问题：1. 证明圆的直径是最长的。
圆的知识拓展学习
圆的知识拓展学习一、圆环的面积（1）定义：圆环是由同心的一个大圆和一个小圆组成的，大圆也叫外圆，小圆也叫内圆；（2）圆环面积=大圆面积-小圆面积圆环面积计算公式：一个圆环，外圆直径是4,cm 内圆直径是2,cm 求这个圆环的面积。
一个圆形花坛的直径是12,m 在它的周围铺一条宽1m 的石路，这条石子路的面积是多少？2、扇形的面积（1）定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，在扇形中，两条半径所夹的角是扇形所在圆的圆心角；（2）扇形面积计算公式： 2360n r S π= r R）：36d cm3、组合图形面积的计算在一个周长为18.84cm的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？4、求阴影部分面积：一、相加相减法【点拨】：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积. 或者将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.【例题1】：求组合图形的面积。
（单位：厘米）【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.4÷2=2（米）4×4+2×2×3.14÷2=22.28（平方厘米）【例题2】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。
【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.4÷2=2（米）6×4-2×2×3.14÷218.28（平方厘米）求阴影部分面积求非阴影部分面积如图，以等腰直角三角形的两条直角边为直径，分别作两个半圆，求阴影部分的面积。
（单位：cm ，6AB ）A二、等分法【点拨】：根据所求图形的对称性，将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。
【例题4】：求阴影部分的面积（单位：厘米）【分析与解答】：把原图平均分成八分，就得到下图，先求出每个小扇形面积中的阴影部分：3.14×22÷4－2×2÷2=1.14(平方厘米 )阴影部分总面积为：1.14×8=9.12(平方厘米 )三、平移法【点拨】：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图【例题5】：正方形的边长6分米，求图中阴影部分的面积。
圆的拓展提高
1、圆是由曲线围成的封闭图形，无顶点。
2、 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r 表示，半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。
3、 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d 表示。
直径是圆中最长的线段。
4、 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
半径和直径都是线段，一个圆有无数条半径和无数条直径，在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的12 。
5、 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，只有1条对称轴的图形有：等腰三角形、等腰梯形、半圆。
6、 围成圆的曲线的长是圆的周长。
任意一个圆的周长和它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个无限不循环小数。
π≈3.14.7、如果用C 表示圆的周长，就有：C=πd 或C=2πr 。
8、 圆的周长与它的半径、直径的关系：（1）圆的半径或直径扩大到原来的几倍，它的周长也扩大到原来的几倍。
（2）圆的半径或直径缩小到原来的几分之一，它的周长也缩小到原来的几分之一。
9、 两个圆的半径之比等于它们的直径之比，也等于它们的周长之比。
已知周长求半径或直径：r=C ÷π÷2或d=C ÷π。
10、半圆的周长指的是圆的周长的一半加上1条直径或两条半径的长度，半圆的周长的计算公式是：Ｃ半圆=12πd+d 或Ｃ半圆=πr+2r 。
11、圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份，求一份的长度，圆的周长的一半的计算公式是：Ｃ圆的周长的一半=πr 或Ｃ圆的周长的一半=πd ÷2。
12、圆所占平面的大小叫做圆的面积。
如果用S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式是：S=πr 2.已知圆的周长求面积：S=π(C 2π )2. 圆环的面积=外圆（大圆）的面积－内圆（小圆）的面积。
九年级圆的知识点拓展
九年级圆的知识点拓展圆是数学中一个非常重要的概念，它在几何形状的研究中起着至关重要的作用。
本文将介绍九年级圆的一些知识点，并对其进行拓展。
一、圆的定义和基本性质圆是由平面上距离中心点相等的所有点组成的集合。
圆的基本性质有三个：半径、直径和圆心。
半径是连接圆心与圆上任意点的线段长度，而直径是连接圆上任意两点的线段，其中经过圆心。
圆与直径的关系是，圆的直径是圆的半径的两倍。
二、关于圆的周长和面积的计算圆的周长被称为圆周长，通常用C表示。
圆周长的计算公式是：C=2πr，其中r表示圆的半径，π是一个数学常量，约等于3.14159。
圆的面积被称为圆面积，通常用A表示。
圆面积的计算公式是：A=πr²。
这两个公式在解决与圆相关的问题时非常重要。
三、弧和扇形在圆的概念中有两个重要的衍生概念，分别是弧和扇形。
弧是圆上两个点之间的部分，可以通过角度或长度来描述。
扇形是圆心、弧和边界线段所围成的区域。
弧和扇形的计算可以通过圆的周长和面积公式来得到。
例如，给定圆的半径r和弧度θ，则弧长L=2πr(θ/360)，扇形的面积S=πr²(θ/360)。
四、切线和弦切线是一条与圆相切于一点的直线，且在该点上的斜率等于圆的半径。
弦是连接圆上两个点的线段，并且弦与圆心之间的连线垂直。
这两个概念在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
五、圆切割和圆锥圆切割是指用一条直线将圆分成两部分。
根据切割的角度和位置，圆切割可以分为四种情况：内切、外切、切割和断开。
圆锥是一个在一端尖锐而另一端呈圆形的几何体。
圆锥在实际生活中广泛应用于建筑、工程和设计领域。
六、圆与直线的相交关系圆与直线之间有几种可能的相交关系。
当直线与圆相交于两个交点时，称为相交。
当直线与圆相切于一个点时，称为相切。
当直线既不与圆相交也不与圆相切时，称为不相交。
七、圆锥曲线和圆的应用圆锥曲线是通过切割圆锥在不同角度和位置下所形成的几何体。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
圆的知识拓展提升
（第3题）圆的知识复习与提高【知识提要】一．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分。
推论1：平分弦（）的直径，并且。
推论2：弦的垂直平分线必过。
推论3：圆的两条平行弦间。
二．圆的旋转不变性定理：在同圆或等圆中，如果这四组量中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
三．圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于。
推论1：在同圆或等圆中，相等的所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的相等。
推论2：直径所对的圆周角是；反之的圆周角所对的弦是直径。
四．圆内接四边形定理：圆内接四边形，并且每一个外角都等于它的。
五．直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则，L与⊙O相交⇔。
L与⊙O相切⇔。
L与⊙O相离⇔。
六．圆的切线（1）定义：如果一条直线与圆则称这条直线叫做这个圆的切线。
（2）性质定理：圆的切线垂直于（3）判定定理：经过并且的直线是圆的切线。
七．三角形的内切圆的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
（1）三角形的内心是三角形三条的交点，它到三角形的距离相等。
（2）设三角形的周长为c，内切圆半径为r，则三角形的面积S= .(3) 已知⊿ABC的内心为I，Aα∠=.则BIC∠=.(4) 已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边长为c，则它的内切圆半径r= 。
八．三角形的外接圆如果一个圆，则称这个圆叫做三角形的外接圆。
三角形外接圆圆心叫做三角形的。
（1）当三角形为三角形时，三角形的外心在三角形的内部。
当三角形为三角形时，三角形的外心在三角形的一边中点上。
当三角形为三角形时，三角形的外心在三角形的外部。
（2）三角形的外心是的交点。
（3）三角形的外心到三角形的距离相等。
【综合训练】1.（2011威海）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,CD=则∠AED= .2. （2011烟台）如图，△ABC的外心坐标是第1题3. （2011无锡）如图，以原点圆心的圆交x轴于点A、By轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD4. 一直角三角形的斜边长为13切圆半径为2，则这个三角形的周长为，面积为。
中考数学圆知识点总结7篇
中考数学圆知识点总结7篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。
圆具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意角度后，得到的图形仍然与原图形重合。
二、圆的性质1. 圆的直径是最大的弦，弦是连接圆上两点的直线段，直径是特殊的弦。
2. 圆心到圆上各点的距离都等于半径，即圆的半径是圆的长度单位，它决定了圆的大小。
3. 圆的周长与直径的比值叫做圆周率，是一个重要的数学常数，约等于3.1415926。
4. 圆的面积等于π乘以半径的平方，即圆的面积随着半径的增大而增大。
三、圆与直线的关系1. 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
相交是指直线与圆有两个不同的交点；相切是指直线与圆有一个切点；相离是指直线与圆没有交点。
2. 圆的切线垂直于过切点的半径，即切线与半径是垂直关系。
3. 圆的两条平行弦所对的圆心角相等，即圆心角的大小只与弦的位置有关，与弦的长度无关。
四、圆与圆的位置关系1. 两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。
外离是指两个圆没有公共点；外切是指两个圆有一个公共点；相交是指两个圆有两个不同的公共点；内切是指两个圆有一个公共点且两圆的圆心在公共点的两侧；内含是指两个圆的圆心在同一个大圆的内部。
2. 两个圆的圆心距等于两圆半径之和或差，即两圆的位置关系可以通过计算圆心距来判断。
3. 两个相交的圆，它们的交点叫做共点，共点将两圆分成四段弧，每段弧叫做一拱。
五、圆的幂和极坐标1. 圆的幂是指一个点到一个圆的距离的平方，即该点到圆心的距离乘以它自身。
圆的幂是该点的极坐标系中的ρ值。
2. 极坐标系是一种在平面中表示位置的方法，它使用一个角度和一个距离来表示一个点。
在极坐标系中，圆的幂可以通过ρ值来计算。
3. 通过计算圆的幂和极坐标系中的角度值，我们可以确定一个点是否在某个圆上或某个圆外。
篇2一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。
初中数学九年级有关圆的知识点
初中数学九年级有关圆的知识点圆是我们生活中常见的几何形状之一，无论是日常生活还是数学领域，圆都占据着重要的位置。
在初中数学九年级中，我们学习了许多关于圆的知识点，下面就让我们一起来回顾一下。
一、圆的定义和性质圆是由平面上所有与一个固定点的距离相等的点组成的图形。
其中，这个固定点被称为圆心，而与圆心距离相等的距离被称为圆的半径。
根据圆的定义，我们可以知道圆的所有点到圆心的距离都相等。
在圆的性质方面，我们首先要了解圆的直径和弦。
直径是通过圆心的一条线段，且它的两个端点都在圆上；弦是圆上的两点所确定的线段，而这条线段的两个端点可以是圆上的任意两个点。
圆还有许多重要的性质，如切线与半径的垂直性、圆的内切与外切、切线与切点的关系等。
这些性质在解决各种数学问题时非常有用，能够帮助我们简化解题过程。
二、圆的常见元素和关系在学习圆的过程中，我们还需要了解一些与圆相关的元素和关系，如圆上的弧、扇形、圆心角和弦长等。
首先，圆上的弧是由圆上的两点所确定的部分，可以表示为AB或者AC。
而扇形则是由圆心和圆上两点所围成的区域，通过计算圆心角可以求得扇形的面积。
圆心角是扇形所对的圆心的角，它的大小正好等于对应的弧所对的圆心角。
我们可以通过圆心角的大小来判断扇形的面积大小，并且在解决一些几何问题时，圆心角的计算十分重要。
而弦长则是圆上的两个任意点所确定的线段长度，利用弦长的性质可以帮助我们求解许多几何问题。
三、圆的面积和周长在学习圆的知识点时，面积和周长也是我们需要掌握的重要内容。
首先是圆的周长，也就是围绕圆形边界的长度。
计算圆的周长需要使用到圆的半径或直径，根据公式 C = 2πr 或C = πd 进行计算，其中 r 表示圆的半径，d 表示圆的直径，π 表示圆周率，它的近似值为3.14。
其次是圆的面积，也就是圆内所有的点所包含的区域。
圆的面积计算则需要使用到圆的半径，根据公式A = πr² 进行计算。
通过掌握这些公式，我们可以准确地计算圆的周长和面积，应用到实际生活和解题中。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版《圆》要点分析
九年级数学专题复习---《圆》要点分析一、关于圆的主干知识点为：垂径定理；圆心角圆周角；切线的性质和判定；圆中线段、角弧长、扇形的计算。
故计划用3个课时完成圆一章的复习：第1课时《圆的有关概念及计算和应用》——包括求边和角的简单计算、弧长、扇形面积、正多边形的简单计算。
第2课时《与圆有关的三种位置关系》——会利用数量关系准确判断三种与圆有关的位置关系。
第3课时《切线性质与判定的应用》——切线的性质和判定定理的应用及归纳判定切线证明的基本方法。
二、关于与圆进行单元间综合的知识点有：等腰、直角三角形的重要性质等。
针对涉及本单元外的知识点，要计划在单元外复习时加强落实，以确保单元复习的延续性和完整性。
【示例】(07年)21、如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE AC.【分析】本题在运用切线的有关性质得出线段相等的条件后，若在图形中隐去了圆，则解题过程中所用到的全是关于等腰三角形三线合一、三角函数的相关知识。
因此，在进行《三角形》复习时必须注意落实相关内容的复习，让单元外知识成为本章复习的枝节内容，更好地突出圆复习的重点内容。
三、通性、通法分析“问题是数学的心脏”，可见学习数学不能不解题，九年级数学总复习的最终目标就是学生能顺利解答出试题。
所以提高学生解决问题的能力也就成为数学教学的重要组成部分。
近年来考试命题不仅注重基础知识的覆盖面和主干知识的重点考查，而且更重视数学思想方法的考查，强调淡化特殊技巧、注重通性通法。
所以通性通法成为九年级数学复习的重要内容。
所谓“通性”是处理数学题的共通思维意识和策略，“通法”是一类题的共性特征，有普遍意义，【示例】《切线的性质和判定的应用》：在△ABC中，CA=CB，AB的中点为点D，（1）如图3，当点D恰好在⊙C上时，图3求证：直线AB 是⊙C 的切线。
（2）如图4，当⊙D 恰与CA 相切于E 点，求证：BC 也是⊙D 的切线。
如何学好九年级圆的知识点
如何学好九年级圆的知识点学好九年级圆的知识点对于学习数学的学生来说非常重要。
圆是几何学中的基本形状之一，掌握好圆的相关概念和性质，对于解决几何问题和应用数学都起着至关重要的作用。
本文将介绍一些学习九年级圆的方法和技巧，帮助学生更好地理解和掌握圆的知识点。
一、圆的定义和性质圆是平面上距离某一给定点（圆心）相等的所有点的集合。
圆由圆心、直径、半径、弧、弦等要素组成。
了解圆的定义和性质是学好九年级圆知识点的基础。
首先，圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。
直径是通过圆心的一条线段，直径的两个端点同时也在圆上。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
弧是圆上的一段弯曲线，弦是圆上的一条线段，连接圆上两点但不通过圆心。
其次，学生需要了解圆的性质。
圆的直径是圆上任意两点之间最长的线段，直径的长度是半径长度的2倍。
圆的半径相等，圆上任意两点到圆心的距离是相等的。
圆的任意弧所对的圆心角相等，圆心角是以圆心为顶点的角。
圆的弦的性质也需要掌握，对圆的任意弦，对弦上任意一点，连接该点和圆心的线段与弦的长度乘积相等。
二、学习资源和工具为了帮助学生学好九年级圆的知识点，学习资源和工具起到了重要的辅助作用。
以下是一些推荐的学习资源和工具：1. 参考书籍：学生可以选择适合自己水平的数学教材，例如九年级数学教材中有专门的章节介绍圆的知识点。
在自学的过程中，可以参考这些教材，了解知识点的概念和应用。
2. 视频教程：有许多优秀的数学学习视频教程可以供学生参考。
这些视频通常采用直观的图表和实例，生动地解释和演示圆的知识点。
通过观看视频教程，学生可以更好地理解和记忆圆的知识。
3. 在线练习：许多网站提供在线数学练习，其中包括圆的相关题目。
学生可以通过这些在线练习检验自己对于圆的掌握情况，并找到自己的不足之处。
4. 几何绘图工具：学生可以使用几何绘图工具，例如尺子、圆规和角尺等，进行几何图形的绘制和计算。
这些工具可以帮助学生更好地理解圆的性质和应用。
2023年中考专题复习：圆形知识点
2023年中考专题复习：圆形知识点1. 圆的基本属性- 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
- 半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。
半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。
- 直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。
直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。
- 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。
弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。
- 扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。
扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。
- 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
2. 圆的计算公式- 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。
周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。
- 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
3. 圆的相关定理- 圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。
圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。
- 圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。
圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。
- 圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。
圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。
- 同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。
同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。
- 相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。
相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。
4. 圆的应用- 圆的投影：当光线垂直照射在立体表面上时，投影形成的图形通常是圆。
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初中圆的知识拓展提高整理人：孙亮鑫 2017.12.17一、基础知识回顾 圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O 表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d 表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r 表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或r=二分之d 。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C 表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2，用字母S 表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π 4、圆周长的一半:1\2周长(曲线) 5、半圆的长：1\2周长+直径 面积计算公式：1、已知半径：S=πr 平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方点、直线、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径⇔⇔⇔2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3. 外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
4. 直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
5. 直线和圆位置关系的性质和判定如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。
圆和圆 定义：两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。
原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离＜＝＞ d ＞R+r 两圆外切＜＝＞ d=R+r两圆相交＜＝＞ R-r<d<R+r(R>＝r) 两圆内切＜＝＞ d=R-r(R>r) 两圆内含＜＝＞ d<R-r(R>r)3 正多边形和圆1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n ≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n 边形的对称轴有n 条。
(3)边数相同的正多边形相似。
4 弧长和扇形面积知识点1、弧长公式l l ⇔r d <l ⇔r d =l ⇔r d >因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
二、题目分析●难题透视例1如图7-1，在O 中，弦AD 平行于弦BC ，若80AOC ∠=，则DAB ∠=____度． 【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系． 【思路点拔】∵∠B=12∠AOC ，80AOC ∠= ∴∠B=40°∵AD ∥BC∴DAB ∠=∠B =40°【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC ，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．例2如图8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ） A ．1000 B ．1100 C ．1200 D ．1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识． 【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径∴ACB 度数是1800 ∵BC=CD=DA ∴BC =CD =DA∵∠BCD=001(18060)2+=1200【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是 ． 【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题． 【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝． 【答案】填：7㎝或1㎝【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径． 图7-5 ADC B O 图7-1图7-2B A(A)(B)C D E F 图7-3 图7-6【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答． （2）过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2． ∴x ＝10．【答案】这个圆形截面的半径为10cm ．【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．例6如图7-9，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC 交⊙O 与点F ． （1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么? （2）按角的大小分类， 请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由． 【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用． 【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD 是△ABC 的中位线，∴DO ∥CA ，∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠OBD ＝∠ACB ，∴AB ＝AC（方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC （方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=21AC ，OB=OD=21AB ，∴AB=AC（2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°∴∠B ＜∠ACB ＝90°．∠C ＜∠ACB ＝90°．∴∠B 、∠C 为锐角 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A ＜∠BFC ＝90°．∴△ABC 为锐角三角形 【答案】（1）AB ＝AC ；（2）△ABC 为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．●难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．图7-9O FD C B A●拓展演练 一、选择题1．已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm ，点A 与⊙O 的位置关系时（ ） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距=10cm ，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 3．下列语句中正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知圆的半径为6．5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相离5．AB 是⊙O 的直径，点D ．E 是半圆的三等分点，AE ．BD 的 延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43π－3 B ．23π C ．23π－3 D ．13π二、填空题6．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=6，AC=8，则sin ∠ABD 的值是 8．用48m 长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成 （圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m ，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am ，最大高度为bm ，则b a -= m （不取近似值）． 11．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长”．根据题意可得CD 的长为 ． 三、解答题13．如图，在△ABC 中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB ．AC 都相切，求⊙O 的半径．16．如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G ．O D EC B A（1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．●习题答案专题七《圆》1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ，大于圆的半径6.5cm ，所以直线与圆相离]5.【答案】A [点拨：∵AE ED DB ==，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC 是等边三角形，又 AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ， ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43π－3] 6.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半]7.【答案】45[由已知已知AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90O ，AB 垂直平分CD ，∴△BCD 为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC ，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45AC AB =] 8.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大] 10.【答案】0.5(1cos10)-︒ [点拨：根据垂径定理计算]11.【答案】216o [226810l =+=（cm ），C=2πr=12π，∴n=00180216CLπ=] 12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD 平分弦AB ，所以152AE AB ==，设⊙O 的半径为R ，连结OA ，在Rt △AOE 中，222AO AE OE =+，所以2225(1)R R =+-，解之，得R=13，所以CD=2R=26]13.【答案】解：由题意，BC=22AB AC -=6， 过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥OE ，则D ．E 分别是AB ．AC 与⊙O 相切的切点，则AD=AE ，OD=OE ，26AP CP AC AP BC =∴=-==，,OE CP BC CP ⊥⊥又，∴BCP △∽△OEP ，∴EP=OE ，设OE=x ，则BD =AB -AD =AB -AE =10-(2+x )=8-x ，OB =BP -OP =2， ∴(8-x )2+x 2=2(6-x )2 ，∴x =1，∴⊙O 的半径为1 16.【答案】解：（1）∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD （2）方法一：连接CB ．OC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°，∵F 是BD 中点，∴∠BCF =∠CBF =90°－∠CBA =∠CAB =∠ACO ，∴∠OCF =90°，∴CG 是⊙O 的切线 方法二：可证明△OCF ≌△OBF（3）解：由FC =FB =FE 得：∠FCE=∠FEC ，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG ，由切割线定理得：[2＋FG ]2＝BG ×AG =2BG 2①在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ②由①、②得：FG 2－4FG －12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）∴AB ＝BG ＝24，∴⊙O 半径为22三 巩固练习1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）.①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③︒90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等．A ．1个B ．2个C ． 3个D ． 4个2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是弧BAC 上一点，则∠D 的度数________. 3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，︒=∠30AOB ，则弦AB 的长是（ ）． A ．22 B ．32 C ．5 D ．534．如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠． （1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求OD 的长．5．已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．6．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．7．小明想用一个半径为5cm ，弧长是6πcm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么围成的圆锥的高度是 cm ． 8．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 与点C 、D ，若PA ，PB 的长是关于关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m mx x 的两个根，求PCD ∆的周长．DBCABAOOE DCBA P例题分析例题1.如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①_________，②________ ，③________，④________（不添加其它字母和辅助线）（2）A ∠=30°，CD =233，求O ⊙的半径r ．（2）A ∠=30°，CD =233，求O ⊙的半径例题1图例2. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．例3.如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA=OB=6㎝，AB=36㎝． 求：（1）⊙O 的半径；（2）图中阴影部分的面积．D课后练习1．如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．2、如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．3.如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若BC=36，DE=3． 求：(1) ⊙O 的半径； (2)弦AC 的长；(3)阴影部分的面积．P BC EA 第1题图中考链接2011•福州）如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E 两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．求：（1）tanC；（2）图中两部分阴影面积的和．（2010•福州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=3/5，求⊙O的直径．。