数学实验报告2 圆周率的计算 mathematica
13级数学(3)班,高继红,201370010307
数学实验报告二题目：利用Mathematica计算圆周率π的值学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2013级数学三班学生姓名：高继红学号： 201370010307指导教师：张贵仓数学实验报告（二）一．实验题目：圆周率π的计算二．实验目的：1.用多种方法计算圆周率错误！未找到引用源。
的值；2.通过实验来说明各种方法的优劣；三．实验环境：在Windows 环境，利用Mathematica7.0这个数学软件四．实验内容1.运用数值积分法来近似计算π的值；2.运用泰勒级数来近似计算π的值；3.利用蒙特卡洛（Monte Carlo ）法来近似计算π的值。
五．实验方法1.数值积分法 利用公式⎰+=102114dx x π设分点x 1,x 2,…x n-1将积分区间[0,1]分成n 等分。
所有的曲边梯形的宽度都是h=1/n 。
记yi=f(xi).则第i 个曲边梯形的面积A 近似地等于梯形面积，即：A=(y(i-1)+yi)h/2。
将所有这些梯形面积加起来就得到：A ≈2/n[2(y 1+y 2+…y n-1)+y 0+y n ]利用Mathematica 编程计算上式:n=5000;Y[x]:=4/(1+x*x);s1=(sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]实验结果：{0.00020000000000000000000 (sum[y[0.00020000000000000000000 k], {k,1.0000000000000000000,4999.0000000000000000}]+0.50000000000000000000 (y[0]+y[1.0000000000000000000])),0.0000333333333333333333333333333333(4.00000000000000000000000000000 sum[y[0.000200000000000000000000000000000(-0.500000000000000000000000000000+k)],{k,1.00000000000000000000000000000,5000.00000000000000000000000000}]+2.00000000000000000000000000000sum[y[0.000200000000000000000000000000000 k],{k,1.00000000000000000000000000000,4999.00000000000000000000000000}]+y[0]+y[1.00000000000000000000000000000]),3.14159265358979323846264338328}以上s1，s2分别是用梯形公式和辛普森公式计算出的 ，最后一句中的N[s1,20]表示s1的前20位准确有效数字组成的近似值，N[Pi,30]是 的前 位有效数字组成的近似值。
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
mathematica 数学实验报告
数学实验报告实验一数学与统计学院信息与计算科学(1)班郝玉霞201171020107数学实验一一、实验名：微积分基础二、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。
三、实验环境：学校机房，工具：计算机,软件：Mathematica。
四、实验的基本理论和方法：利用Mathematica作图来验证高中数学知识与大学数学内容。
五、实验的内容和步骤及结果内容一、验证定积分dttsx⎰=11与自然对数xb ln=是相等的。
步骤1、作积分dttsx⎰=11的图象；语句：S[x_]:=NIntegrate[1/t,{t,1,x}]Plot[S[x],{x,0.1,10}]实验结果如下：21图1dttsx⎰=11的图象步骤2、作自然对数xb ln=的图象语句：Plot[Log[x],{x,0.1,10}] 实验结果如下：2 1图2xb ln=的图象步骤3、在同一坐标系下作以上两函数的图象语句：Plot[{Log[x],S[x]},{x,0.1,10}] 实验结果如下：21图3dttsx⎰=11和xb ln=的图象内容二、观察级数与无穷乘积的一些基本规律。
（1）在同一坐标系里作出函数xy sin=和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数3!3xxy-=，!5!353xxxy+-=，⋅⋅⋅的图象，观察这些多项式函数的图象向xy sin=的图像逼近的情况。
语句1：s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]Plot[{Sin[x],s[x,2]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下：64242图4x y sin =和它的二阶Taylor 展开式的图象语句2：s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]Plot[{Sin[x],s[x,3]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,1]}] 实验结果如下：642321图5x y sin =和它的三阶Taylor 展开式的图象语句3：s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]Plot[{Sin[x],s[x,4]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,0]}] 实验结果如下：642321图6x y sin =和它的四阶Taylor 展开式的图象语句4：s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]Plot[{Sin[x],s[x,5]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[1,0,0]}] 实验结果如下：642321图7x y sin =和它的五阶Taylor 展开式的图象语句5：s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2],s[x,3],s[x,4],s[x,5] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下： 6422图8xy sin=和它的二、三、四、五阶Taylor展开式的图象（2）分别取n=10，20，100，画出函数xkkynk)12sin(1211--=∑=在区间[-3π，3π]上的图像，当n→∞时，这个函数趋向于什么函数？语句1：f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}]实验结果如下：6420.5图9 n=10时，xkkynk)12sin(1211--=∑=的图像语句2：f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]Plot[f[x,20],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下：6420.5图10 n=20时，xk k y nk )12sin(1211--=∑=的图像语句3：f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]Plot[f[x,100],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下：6420.5图11 n=100时，xk k y nk )12sin(1211--=∑=的图像（3）分别取5,15,100,，在同一坐标系里作出函数x x f sin )(=与∏=-⋅=nk k x x x p 1222)1()(π在区间[-2π，2π]上的图像。
Mathematica实验报告
Mathematica 实验报告【实验名称】利用MA THEMA TICA 作图、运算及编程.【实验目的】1。
掌握用MA THEMATICA 作二维图形，熟练作图函数Plot 、ParametricPlot 等应用，对图形中曲线能做简单的修饰.2。
掌握用MATHEMA TICA 做三维图形，对于一些二元函数能做出其等高线图等，熟练函数Plot3D ，ParametricPlot 的用法。
3、掌握用MA THEMATICA 进行微积分基本运算：求极限、导数、积分等。
【实验原理】1．二维绘图命令：二维曲线作图：Plot[fx,{x ，xmin,xmax}],二维参数方程作图：ParametricPlot[｛fx ，fy}，{t ，tmin ，tmax}]2．三维绘图命令：三维作图plot3D ［f,{x ，xmin ，xmax}，｛y,ymin ，ymax}］，三维参数方程作图：ParameticaPlot3D[{fx,fy ，fz ｝，{t ，tmin,tmax ｝］【实验内容】（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等)1。
作出函数)sin(22y x z +=π的图形. 步骤： z=Sin ［Pi Sqrt[x^2+y^2］];Plot3D ［z ，{x,-1，1},{y,—1，1}，PlotPoints →30,Lighting →True]2。
椭球面()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈==u z v u v u y v u x R R R R R R sin ,,,2,0,2,2,sin cos cos cos 332121πππ自行给定,作图. 步骤：ParametricPlot3D ［{4Cos[u ］Cos[v],3Cos ［u]Sin[v]，2Sin[u]｝，{u ，—Pi/2，Pi/2}，｛v,0，2Pi}]3.做出极坐标描绘的图形：)cos 1(4θ+=r步骤：r ［t_］:=4(1+Cos[t ］）；ParametricPlot ［{r ［t ］Cos[t]，r ［t ］Sin ［t]},｛t,0,2Pi}]【实验结果】结果1：结果2:结果3：【总结与思考】MATHEMATICA作图的常见错误：General::spell1: Possible spelling error，因为在MATHEMATICA中作图函数大小写有区别.由于拼写间要有空格，易导致错误。
Mathematica计算Pi的值
Mathematica计算π的值姓名: 学号: 班级:实验目的学习使用Mathematica软件的一些基本功能计算π的值，以下通过三种不同的方法求解π：1.数值积分法2.泰勒级数法3.蒙特卡洛（Monte Carlo）方法实验的基本原理和方法1.Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；2.计算圆周率π的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法，并且利用特定的公式来计算圆周率π。
实验的内容和步骤（1）数值积分法计算π半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。
只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出π。
1.1．Mathematica输入如下：Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}]图1在计算扇形面积时，很容易想到使用数学分析中积分的方法，第一象限中的扇形由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，实际操作中，我们不能准确地计算它的面积，于是就通过分割的方法，将其划分为许多小的梯形，通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算41102π=-=⎰dx x S 。
利用Mathematica 编程计算上式:运行结果如下：图2从而得到 的近似值为3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法计算所得到的值π是相当精确的。
n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近π的准确值。
2.泰勒级数法计算π反正切函数的泰勒级数 +--+-+-=--12)1(53a r c t an 12153k x x x x x k k 计算π，实验运行如下：从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。
原因是当x=1时得到的arctan1的展开式收敛太慢。
要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使x 的绝对值小于1，最好是远比1小。
π的mathematica表达式
π的mathematica表达式什么是π？首先，让我们来解释一下π是什么。
π是一个数学常数，代表圆周与其直径之间的比值。
也就是说，无论圆的大小如何，其周长与直径的比值都是π。
π的近似值约为3.14159，但是它是一个无限不循环的小数，所以无法被精确表示。
π是一个古老而重要的数学常数，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
π在数学中的应用：在几何学中，π与圆形之间的关系密不可分。
圆的面积公式是πmultiplied by r的平方，其中r代表半径。
通过这个公式，我们可以计算出圆的面积，不论它的大小如何。
此外，π也在计算弧长和扇形面积等问题中起着重要的角色。
在三角学中，π是非常重要的。
例如，正弦函数、余弦函数和正切函数的周期都是2π。
这意味着，在一个完整的周期内，它们的值会反复变化两次，并且在2π的倍数上会重复。
π也出现在三角函数的定义和性质中，例如，sin(π/2)=1，cos(π/2)=0等。
在微积分中，π也是一个不可或缺的常数。
例如，通过对圆的周长公式进行微分，我们可以得到圆的周长对半径的变化率。
这是微积分中的一个重要概念，称为导数。
π还与积分有关，例如，通过对圆的面积公式进行积分，我们可以得到半圆的面积。
这使得π成为微积分中的一个重要工具。
π的计算方法：π的计算一直是数学家们的一个挑战。
在古代，人们使用近似值来计算π，在此之前，它们是通过作图或测量来近似得到的。
然而，直到近代，才出现了一些更精确的计算方法。
其中一种最著名的计算方法是通过级数来近似计算π。
将π/4展开成一个无限级数的形式，我们可以得到如下的公式：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...。
通过不断增加级数的项，我们可以得到更精确的π的近似值。
另一个计算π的方法是使用蒙特卡罗方法。
这种方法基于随机性原理，通过生成大量的随机点，并判断这些点是否在一个单位圆内来估计π的值。
当随机点足够多时，通过计算落在圆内的点的比例，我们可以得到一个接近π的近似值。
圆周率的计算数学实验报告
ans1=symsum(f1,n,1,28);
ans2=symsum(f2,n,1,28);
ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100)
得π≈
3.141592653589793238462643383279502884197130451046268578972203255663716036677133432949011735665451127
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415926519
n=100000时，
编写程序：
n=100000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈
3.1415926536
也可利用积分公式
3.概率方法
编写程序：
m=0;
for i=1:100000
x=rand;
y=rand;
if x^2+y^2<=1;
m=m+1;
else end
end
4*m/100000
得π≈3.136000000000000
n=100000时，
π≈3.139920000000000
4.数值积分方法
利用公式
设分点x1,x2,…xn-1将积分区间[0,1]分成n等分。
2.分析方法
(1).由公式
推出 =4
编写程序
symsk
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,10)
Mathematica实验报告
实验名称Mathematica综合实验实验目的和要求：通过本次综合实验，进一步熟练掌握Mathematica系统中进行程序设计的基本方法，熟练运用各种综合性语句，完成Mathematica绘图、计算和编程等常用操作，进一步熟练掌握其功能和语法。
实验内容和步骤:1、用Mathematica编写20以内整数加法程序。
运行以下程序：输出结果：2、编写程序，列出9*9的乘法表来。
输入程序：9*9乘法表3、编写程序，输入两个正整数，用“辗转相除法”求它们的最大公约数。
辗转相除法：(1) 以大数m作被除数，小数n做除数，相除后余数为r。
(2) 若r ≠ 0，则m ← n，n ← r，继续相除得到新的r。
若仍有r ≠ 0，则重复此过程，直到r = 0为止。
(3) 最后的n就是最大公约数。
Mathematica代码如下：运行结果4、统计一个班级某次考试个分数段的人数。
输入程序：运行结果：5、编写程序用切线法求方程的解。
Mathematica语句和运行结果如下：6、编写Mathematica程序显示二维码图像。
输入程序：二维码图像7、用0~8这九个数字,组成一个二位数和一个三位数相乘使他们的积恰好是四位数.数字不能重复。
即□□×□□□=□□□□输入以下Mathematica程序：输出结果：8、用Mathematica编写程序绘制一个围棋棋盘.输入以下程序：围棋棋牌9、假设新开辟的国家公园里没有兔子和狐狸，现引进兔子和狐狸个50只，n 个月后兔子和狐狸的数量分别记为n R 和n F ，假定有⎩⎨⎧+=-=++nn n n n n F R F F R R 6.02.02.01.111Mathematica 程序如下：运行结果如下：注释：在一段时间内，兔子和狐狸的数量均会减少，但最终均会趋于一个稳定值。
10、有一个木工、一个电工和一个油漆工，三人协商合作装修他们的房子，并达成如下协议：a.每人总共工作10天（包括给自己家干活）；b.每人日工资根据市场价确定在60 80 元之间；c.每人的总支出与每人的总收入相等。
实验2 怎样计算圆周率
这就是梯形公式。
Simpson公式：仍用分点 xi = a + i(b − a) / n, 0 ≤ i ≤ n 公式： 公式 将积分区间 [a, b] 分成n等分，再作每个小区间 1 x = a + ( i − )( b − a ) / n [ x i −1 , x i ] 的中点 ，将第i个小曲边 2 梯形的上边界近似地看作经过三点 ( x, f ( x)) ( x = x , x , x ) 的抛物线段，则可求得
π
1 β = arctan 239
π
1 1 = 4α − β = 4 arctan − arctan 4 5 239
于是得到
π = 16 arctan − 4 arctan
1 5 1 239
这称为Maqin公式，利用 arctan x 的Taylor展开式 1 1 arctan arctan ， 的近似值，就可以由Maqin 求出 239 5 公式求出 π 的近似值。 Taylor级数是无穷级数，实际计算时必然 只能取它的前n项，导致截断误差
数 学 实 验
π的计算
南通大学信息与计算科学教研室
实验2 实验 怎样计算圆周率 π 一、实验目的 本实验主要涉及数值积分法、 Taylor级数法和Monte Carlo法， 要求尝试利用所知道的数学知 识来进行近似计算。
二、实际问题 众所周知，圆周率 π 是平面上圆的周长与 直径之比，它等于3.141 592 6…。古代人 把3作为它的近似值。古希腊阿基米德 10 1 （Archimedes）曾得到 3 71 < π < 3 7 。我国宋 22 代的祖冲之得到 π 的近似值 7 （约率）和 355 （密率），后者化为小数后等于3.141 113 π 的准确值的误差在 10−6 以下。 592…，与
mathematica 实验报告
mathematica 实验报告Mathematica 实验报告引言：Mathematica 是一款强大的数学软件，它能够帮助用户进行各种数学计算、数据分析和可视化等工作。
本实验报告将介绍我在使用 Mathematica 进行实验时的一些经验和心得。
一、实验目的本次实验的目的是通过使用 Mathematica，掌握其基本操作和功能，了解其在数学计算和数据处理方面的应用。
二、实验步骤1. 安装和启动 Mathematica首先，我在官方网站下载了 Mathematica 的安装包，并按照提示完成了安装。
然后，我启动了 Mathematica 软件，进入了主界面。
2. 基本操作在主界面中，我发现 Mathematica 提供了一个强大的交互式界面，用户可以通过键入命令和运行代码来实现各种功能。
我尝试了一些基本操作，比如进行简单的数学计算、定义变量和函数等。
3. 数据处理和分析Mathematica 提供了丰富的数据处理和分析功能，使得用户可以轻松处理和分析各种数据。
我使用了一些内置的函数和工具，对一些实验数据进行了处理和分析。
例如，我使用了 ListPlot 函数绘制了一些实验数据的散点图，并使用了Fit 函数进行了数据拟合。
4. 可视化Mathematica 还提供了强大的可视化功能，用户可以通过绘制图表和图形来展示数据和结果。
我使用了 Plot 函数绘制了一些函数的图像，并使用了 Graphics 函数绘制了一些几何图形。
5. 编程和自动化Mathematica 具有强大的编程功能，用户可以编写自己的函数和程序来实现复杂的计算和操作。
我尝试了一些简单的编程，比如编写了一个计算斐波那契数列的函数。
此外，我还了解到 Mathematica 支持自动化操作，可以通过编写脚本和批处理文件来实现自动化的计算和分析。
三、实验结果与分析通过使用 Mathematica，我成功完成了实验的各项任务，并取得了一些令人满意的结果。
Mathematica圆周率的计算
Mathematica圆周率的计算圆周率的计算实验目的通过使用数学方法，结合数学软件的使用掌握计算圆周率的一些方法更好的理解圆周率的数学意义熟练地使用数学软件实验原理不同的半径、不同的大小的圆，圆周率的值总是一个比值比较稳定的数值1、祖冲之的圆周率N[22/7, 10] 3.142857143N[355/113, 10] 3.1415929202、无理数的最佳分数逼近a = Pi; e0 = 1; list = {};]o[p = Floor[q * a + 0.01]; e = Abs[p/ q – a]* q;If[e } e0, Appen]To[list, p/ q]; ∈0 = ∈], {q, 1, 100 000}];list{3,22/7,333/106,355/113,103993/33102,10434{/33215,20{34 1/66317,3126{9/99532 }a = Pi; e0 = 1; list = {};]o[p = Floor[q * a + 0.01]; e = Abs[p - q * a];Print["p=", p, ";q=", q, ";e=", e // N];If[e } e0, Appen]To[list, p/q]; ∈0 = ∈], {q, 1, 10}];listp3;q1;0.141593p6;q2;0.2{31{5p9;q3;0.42477{p12;q4;0.566371p15;q5;0.707963p1{;q6;0.{49556p22;q7;0.00{{5142p25;q{;0.132741p2{;q9;0.274334p31;q10;0.415927{3,22/7}3、乐音的频率比k = 2.0^(1/ 12）;music = {1.0, k^2, k^4, k^5, k^7, k^9, k^11, k^12}{1., 1.12246, 1.25992, 1.334{4, 1.49{31, 1.6{179, 1.{{775, 2.}freq1 = {1, 2^(2/12}, 2^(4/12), 2^(5/12L, 2^(7/12), 2^(9/12), 2^(11/ 12), 2}freq2 = {1, 9 / {, 5 / 4, 4 / 3, 3 / 2, 5 / 3, 17 / 9, 2}{1, 21/6, 21/3, 25/12, 27/12, 23/4, 211/12, 2}{1,9/{,5/4,4/3,3/2,5/3,17/9, 2}freq = freq2;m = 512;Play[Sin[2 Pi * m * t * freq[[2]]], {t, 0, 0.{}, PlayRange->{0, 1]] Soun][Sample]Soun]Function[Function[{Play`Time3}, Block[{t 0. 0.000125 Play`Time3}, HSin[2mt freq[2]] 0.5}2.]], 6400, {000]] m = 512;freq1 = {1, 2^(2 / 12), 2^(4 / 12), 2^(5 / 12), 2^(7 / 12), 2^(9 / 12), 2^(11 / 12), 2}; freq2 = {1, 9 / {, 5 / 4, 4 / 3, 3 / 2, 5 / 3, 17 / 9, 2};freq = freq2;Playmusic[song_] := Do[Play[Sin[2Pi* m* t* freq[[song[[i]]]]], {t, 0, 0.8}, PlayRange->{0, 1}], {i, 1, Length[song]}];music = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1};Playmusic[music]Playsong[song_] :=Do[x = song[[i, 1]];w = Which[x } 0, freq[[-x]] / 2, x > 10, freq[[x - 10]] * 2, True, freq[[x]]];y = song[[i, 2]];Play[Sin[2 Pi* m* t* w], {t, 0, 0.4 y}, PlayRange->{0, 1}], {i, 1, Length[song]}] song2 = {{-3, 4}, {-5, 3}, {-6, 1}, {1, 3}, {2, 1}, {-6, 1}, {1, 1}, {-5, 2}, {5, 3}, {11, 1}, {6, 1}, {5, 1}, {3, 1}, {5, 1}, {2, 8},{2, 3}, {3, 1}, {-7, 2}, {-6, 2}, {-5, 3}, {-6, 1}, {1, 2}, {2, 2},{-3, 2}, {1, 2}, {-6, 1}, {-5, 1}, {-6, 1}, {1, 1}, {-5, 8},{3, 3}, {5, 1}, {-7, 2}, {2, 2}, {-6, 1}, {1, 1}, {-5, 3}, {-3, 1},{-3, 1}, {-5, 1}, {-3, 2}, {-5, 1}, {-6, 1}, {-7, 1}, {2, 1}, {-6, 4},{1, 2}, {1, 1}, {2, 1}, {5, 2}, {5, 1}, {3, 1}, {2, 2}, {3, 1}, {2, 1}, {1, 2}, {-6, 1}, {-5, 1}, {-3, 4}, {1, 4}, {-6, 1}, {1, 1}, {-6, 1}, {-5, 1},{-3, 1}, {-5, 1}, {-6, 1}, {1, 1}, {-5, 4}};Playsong[song2]song1 = {{3, 1}, {5, 1}, {6, 1}, {6, 0.5}, {5, 0.5}, {6, 1}, {3, 1},{2, 2}, {3, 1}, {5, 1}, {6, 1}, {6, 0.5}, {5, 0.5}, {6, 1}, {3, 3},{3, 1}, {5, 1}, {6, 1}, {6, 0.5}, {5, 0.5}, {6, 1}, {3, 1}, {2, 2},{5, 1}, {3, 1}, {2, 0.5}, {3, 0.5}, {2, 0.5}, {1, 0.5}, {2, 1}, {-6, 3},{-6, 1}, {2, 2}, {5, 1}, {3, 3}, {2, 0.5}, {1, 0.5}, {-6, 4},{5, 1}, {3, 1}, {2, 0.5}, {3, 0.5}, {2, 0.5}, {1, 0.5}, {2, 1}, {-6, 3},{5, 1}, {3, 1}, {2, 0.5}, {3, 0.5}, {2, 0.5}, {1, 0.5}, {2, 1}, {6, 3}};Playsong[song1]4、单位圆的面积等于 f[x_] := 2^1x ;fig = Plot[{f[x], 0}, {x, 0, 1}, AspectRatio-> 1]n = 10; fig1 = {}; fig2 = {};Do[{AppendTo[fig1, Line[{{1 / n* i, 0}, {1/ n*i, f[1/ n*i]}}]], AppendTo[fig2, Line[{{1 / n* (i – 1), f[1 / n*i]}, {1 / n*i, f[1 / n*i]}}]]}, {i, 1, n}];Show[fig, Graphics[fig1], Graphics[fig2]]fig3 = {}; fig4 = {};Do[{AppendTo[fig3, Line[{{1 / n*i,0}, {1/ n*i,f[1/ n*（i– 1）]}}]], AppendTo[fig4, Line[{{1 / n*(i – 1), f[1 / n * (i – 1)]}, {1/ n*i, f[1/ n*(i – 1)]}}]]}, {i, 1, n}]; Show[fig, Graphics[fig3], Graphics[fig4]] ]o[s1 = N[4 * Sum[f[k / 10^m] / 10^m, {k, 1, 10^m}]];s2 = N[4 * Sum[f[Hk - 1L / 10^m] / 10^m, {k, 1, 10^m}]];Print[{s1, s2, Hs1 + s2L / 2}], {m, 1, 4}]fig5 = {};Do[{AppendTo[fig5, Line[{{1 / n * Hi - 1L, f[1 / n * Hi - 1L]}, {1 / n * i, f[1 / n * i]}}]]}, {i, 1, n}]; Show[fig, Graphics[fig1], Graphics[fig5]]]o[m = 10^t;s3 = N[4 * ((f[0] + f[1]) / 2 / m + Sum[f[k / m] / m, {k, 1, m - 1}]L, 20];s4 = N[4 * ((f[0] + f[1]) / m + 2 * Sum[f[k / m] / m, {k, 1, m - 1}] +4 * Sum[f[(k + 1 / 2) / m] / m, {k, 0, m - 1}]L / 6, 20]; Print[{s3, s4}], {t, 3, 4}] {3.1415554669110276{37, 3.1415{751{9122776906} {3.1415914776113222011, 3.141592*********{162}5、级数展开法T[x_, n_] := Sum[（-1）^（k – 1） * x^(2 k – 1) / (2 k – 1), {k, 1, n}];N[4*T[1, 10 000], 20]N[Pi, 20]3.14149265359004323{53.1415926535{979323{4626433{3279502{{42`20.N[4 * (4 T[1 / 5, 100] - T[1 / 239, 40]), 150]N[Pi, 150]3.14159265358979323853.14159265358979323846264338327950288419716939937 51058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095 50582231725113323563.14159265358979323846264338327950288419716939937 51058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095 50582231725359408136、蒙特卡罗法（随机模拟法）fig = Plot[ 2^1x , {x, 0, 1}, AspectRatio->1, PlotStyle-> {RGBColor[1, 0, 0]}]; fig0 = Graphics[Line[{{0, 1}, {1, 1}, {1, 0}}]];Show[fig, fig0]n = 1000; fig1 = {}; temp = 0;Do[{x = Random[]; y = Random[];AppendTo[fig1, Point[{x, y}]];If ［x^2+ y^2<=1, temp ++, {}］}, {i, 1, n}］;Show[fig, fig0, Graphics[fig1]]N[temp * 4 / n]n = 10 000; p = {};]o[m = 0; ]o[x = Random[]; y = Random[]; If[x^2 + y^2 <= 1, m = m + 1], {k, 1, n}]; AppendT o[p, N[4 m / n]], {t, 1, 5}];Print[p];Sum[p[[t]], {t, 1, 5}] / 5{3.1312, 3.142, 3.1276, 3.1124, 3.144{}3.1316实验总结:通过综合许多方法计算圆周率通过不断逼近的方式，我们可以很精确的去计算圆周率熟练运用数学方法与数学软件的结合计算和结局一些数学问题。
数学实验mathematica圆周率Pi的计算方法
1.祖冲之的圆周率N 22 7,10N 355 113,103.1428571433.141592920无理数的最佳分数逼近Α Pi;Ε0 1;list ;Dop Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α q;If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,100000 ;list3,227,333106,355113,10399333102,10434833215,20834166317,31268999532Α Pi;Ε0 1;list ;Dop Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α ;Print "p ",p,";q ",q,";Ε ",Ε N ;If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,10 ;listp 3;q 1;Ε 0.141593p 6;q 2;Ε 0.283185p 9;q 3;Ε 0.424778p 12;q 4;Ε 0.566371p 15;q 5;Ε 0.707963p 18;q 6;Ε 0.849556p 22;q 7;Ε 0.00885142p 25;q 8;Ε 0.132741p 28;q 9;Ε 0.274334p 31;q 10;Ε 0.4159273,227 乐音的频率比k 2.0^ 1 12 ;music 1.0,k^2,k^4,k^5,k^7,k^9,k^11,k^121.,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2.2数学实验圆周率Pi的计算方法.nbfreq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,21,21 6,21 3,25 12,27 12,23 4,211 12,21,98,54,43,32,53,179,2freq freq2;m 512;Play Sin 2Pi m t freq 2 , t,0,0.8 ,PlayRange 0,1Sound SampledSoundFunction Function Play`Time3 ,Block t 0. 0.000125Play`Time3 , Sin 2Πm t freq 2 0.5 2. ,6400,8000 m 512;freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2 ;freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2 ;freq freq2;Playmusic song_ : Do Play Sin 2Pi m t freq song i ,t,0,0.8 ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song ;music 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1 ;Playmusic musicPlaysong song_ :Do x song i,1 ;w Which x 0,freq x 2,x 10,freq x 10 2,True,freq x ;y song i,2 ;Play Sin 2Pi m t w , t,0,0.4y ,PlayRange 0,1 , i,1,Length songsong2 3,4 , 5,3 , 6,1 , 1,3 , 2,1 , 6,1 ,1,1 , 5,2 , 5,3 , 11,1 , 6,1 , 5,1 , 3,1 , 5,1 , 2,8 ,2,3 , 3,1 , 7,2 , 6,2 , 5,3 , 6,1 , 1,2 , 2,2 ,3,2 , 1,2 , 6,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,8 ,3,3 , 5,1 , 7,2 , 2,2 , 6,1 , 1,1 , 5,3 , 3,1 ,3,1 , 5,1 , 3,2 , 5,1 , 6,1 , 7,1 , 2,1 , 6,4 ,1,2 , 1,1 , 2,1 , 5,2 , 5,1 , 3,1 , 2,2 , 3,1 , 2,1 , 1,2 ,6,1 , 5,1 , 3,4 , 1,4 , 6,1 , 1,1 , 6,1 , 5,1 ,3,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,4 ;Playsong song2song1 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 ,2,2 , 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,3 ,3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 , 2,2 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,6,1 , 2,2 , 5,1 , 3,3 , 2,0.5 , 1,0.5 , 6,4 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ;Playsong song14.单位圆的面积等于Π数学实验圆周率Pi的计算方法.nb3f x_ : 1 x2;fig Plot f x ,0 , x,0,1 ,AspectRatio 11.00.80.60.40.20.20.40.60.8 1.04数学实验圆周率Pi的计算方法.nbn 10;fig1 ;fig2 ;Do AppendTo fig1,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i ,AppendTo fig2,Line 1 n i 1 ,f 1 n i , 1 n i,f 1 n i , Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig2fig3 ;fig4 ;Do AppendTo fig3,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i 1 ,AppendTo fig4,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i 1 , i,1,n ;Show fig,Graphics fig3 ,Graphics fig4Do s1 N 4 Sum f k 10^m 10^m, k,1,10^m ;s2 N 4 Sum f k 1 10^m 10^m, k,1,10^m ;Print s1,s2, s1 s2 2 , m,1,4fig5 ;Do AppendTo fig5,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i ,i,1,n ;Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig5Do m 10^t;s3 N 4 f 0 f 1 2 m Sum f k m m, k,1,m 1 ,20 ;s4 N 4 f 0 f 1 m 2 Sum f k m m, k,1,m 14 Sum f k 1 2 m m, k,0,m 1 6,20 ;Print s3,s4 , t,3,4 3.1415554669110276837,3.14158751891227769063.1415914776113222011,3.14159249122019981625.数值积分法数学实验圆周率Pi的计算方法.nb5 a b f x x b a n f a f b 2 i 1n 1f x i ,x i a b a n iClear a,b,x,n ;a 0;b 1;n 100;y x_ : 4 1 x^2 ;p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50p2 N b a 6 ny a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,503.1415926535897932384626433832795028841971693993751a b f x x b a6n f a f b 4 i 1n f x i 0.5 2 i 1n 1f x i ,x i 0.5 a b a n（i 0.5 ，为 x i 1,x i 的中点Clear a,b,x,n ;a 0;b 1;n 100;y x_ : 4 1 x^2 ;p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50p2 N b a 6 ny a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,503.14159265358979323846264338327950288419716939937516.级数展开法T x_,n_ : Sum 1 ^ k 1 x^ 2k 1 2k 1 , k,1,n ;N 4 T 1,10000 ,20N Pi,203.14149265359004323853.1415926535897932384626433832795028842`20.N 4 4T 1 5,100 T 1 239,40 ,150N Pi,1503.14159265358979323853.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725113323563.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408137.蒙特卡罗法（随机模拟法）fig Plot 1 x2, x,0,1 ,AspectRatio 1,PlotStyle RGBColor 1,0,0 ;fig0 Graphics Line 0,1 , 1,1 , 1,0 ;Show fig,fig06数学实验圆周率Pi的计算方法.nbn 1000;fig1 ;temp 0;Do x Random ;y Random ;AppendTo fig1,Point x,y ;If x2 y2 1,temp , , i,1,n ;Show fig,fig0,Graphics fig1N temp 4 nn 10000;p ;Do m 0;Do x Random ;y Random ;If x^2 y^2 1,m m 1 , k,1,n ;AppendTo p,N 4m n , t,1,5 ;Print p ;Sum p t , t,1,5 53.1312,3.142,3.1276,3.1124,3.14483.1316。
数学实验报告2-圆周率的计算-mathematica
数学实验报告实验序号：2 日期：2016年月日实验结果报告及实验总结：一、数值积分法计算π因为单位圆的半径为1，它的面积等于π，所以只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出π。
而且单位的精度可能会影响计算的结果，下面将给出不同的n计算所得结果并讨论差异。
1.当n=1000时命令：n=1000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/( 6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];结果如下：2.当n=5000时命令：n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}]) /(6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];运行结果:3.当n=10000时命令:n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/( 6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}]运行结果：4. 结果分析：当数值积分法得到 的近似值为3.149323846264338328，可以看出，用这种方法计算所得到的 值是相当精确的，n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的准确值。
基于蒙特卡罗方法用Mathematica和Matlab计算圆周率pi
张宏浩
• 数学原理：对于两个在[0,1]区间均匀分布的 随机数x，y，它们的平方和x^2+y^2<1的概 率是pi/4.
• 算法：生成N组在[0,1]区间均匀分布的2维 随机数向量(x_i, y_i)，其中i=1,2,…,N，对其 中满足平方和小于1的向量进行计数，设数 目为N_A，则N_A与N的比值为pi/4，也即是 说，pi=4N_A/N.
• 在二维情形用matlab计算pi（版本1）：逐个产生随机点
• 在二维情形用matlab计算pi（版本2）：一次性产生随机矩阵，用 while循环做选择
• 在二维情形用matlab计算pi（版本3）：一次性产生随机矩阵，用for 循环做选择
• 在三维情形用matlab计算pi（版本1）：逐个产生随机点
• 使用Mathematica软件： 用RandomReal生成随机数
用Select选取满足内积小于或等于1的行向量 用Dot求向量的内积
计算结果
三维情形对pi的计算
原理：对于3个在[0,1]区间均匀分布的随机数， 它们的平方和小于1的概率是pi/6.
四维情形对pi的计算
原理：对于4个在[0,1]区间均匀分布的随机数， 它们的平方和小于1的概率是pi^2/32.
• 在三维情形用matlab计算pi（版本2）：一次性产生随机矩阵，用 while循环做选择
• 在三维情形用matlab计算pi（版本3）：一次性产生随机矩阵，用for 循环做选择
大学数学实验报告----怎样计算∏
验
过
程
及
结
果
1、数值积分法
n=1000
n=10000
n=1000
n=10000
2、泰勒级数法
练习1、
练习2、
3、蒙特卡罗法
n=1000
n=10000
n=50000
实验结果分析
1、数值积分法中s1使用梯形公式计算出的积分的近似值，s2使用辛普森公式计算出的积分的近似值，计算出的积分值与π的值十分接近；
（5）同时按Shift和Enter键运行。
（6）n=10000时，只需将上面两个程序中的第一行“n=1000”改为“n=10000”.即可。
2、泰勒积分法计算Π
练习1、将x=1代入反正切函数的泰勒级数得到 ，在此级数中取n=20000计算 的近似值。观察所得的结果和所花的时间。
(1)在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
取n=1000,10000,用梯形公式和辛普森公式计算 和 的近似值（取二十位有效数字）。将所得的结果与 的准确值相比较。
（1）在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
（2）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
（3）同时按Shift和Enter键运行。
（4）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
2、泰勒级数法可以较为精确的计算出π的值；
3、蒙特卡罗法可以近似的计算出π的值，但是精度很低，随着n的增大精度有所提高，但是仍比数值积分法与泰勒级数法计算出的π的值精度低；
以上三种方法中将n的值取得更大，算出的积分的值将更加接近π的值。
（3）同时按Shift和Enter键运行。
3、蒙特卡罗法计算Π
取n=1000，10000，50000，用蒙特卡罗法计算 的近似值。
Mathematica学习（2）-mathematica命令
Mathematica学习（2）-mathematica命令Mathematica的内部常数 Pi , 或π(从基本输⼊⼯具栏输⼊, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输⼊⼯具栏输⼊, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）⾃然对数的底数eI (从基本输⼊⼯具栏输⼊, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或 ∞(从基本输⼊⼯具栏输⼊ , 或“Esc”+“inf”+“Esc”）⽆穷⼤ ∞Degree 或°(从基本输⼊⼯具栏输⼊,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常⽤内部数学函数 指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]⾃然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开⽅函数Sqrt[x]表⽰x的算术平⽅根绝对值函数Abs[x]表⽰x的绝对值三⾓函数（⾃变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三⾓函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求⾓度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的⾓，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最⼤公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最⼩公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表⽰m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表⽰m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产⽣m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表⽰n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐⾓函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表⽰⼤于或等于实数x的最⼩整数Floor[x]表⽰⼩于或等于实数x的最⼤整数Round[x]表⽰最接近x的整数IntegerPart[x]表⽰实数x的整数部分FractionalPart[x]表⽰实数x的⼩数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字） N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表⽰numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差⼩于dx 最⼤、最⼩函数Max[a，b，c，．．．]求最⼤数Min[a，b，c，．．．]求最⼩数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可⽤空格键代替*)乘法a/b (输⼊⽅法为：“ Ctrl ” + “ / ” ) 除法a^b (输⼊⽅法为：“ Ctrl ” + “ ^ ” )乘⽅-a 负号Mathematica的关系运算符 ==等于<⼩于>⼤于<=⼩于或等于>=⼤于或等于!=不等于注：上⾯的关系运算符也可从基本输⼊⼯具栏输⼊。
数学应用软件实验报告(mathematica实验程序)2
徐州工程学院数理学院数学应用软件实验报告课程（实验序号）数学应用软件实验 3 实验地点、日期数学建模机房2011 年 3 月9 日主要仪器设备计算机使用的软件名称Mathematica实验类型演示性实验验证性实验综合性实验√设计性实验研究性实验班级：姓名：孙娅学号：20090402223一、实验题目名称：符号计算和数值计算（2）二、实验目的：深刻理解函数的概念;深刻理解符号表达式的一般处理过程和基本表达式的变换;掌握表的简单操作运算;了解程序包的使用，计算结果的存取初步掌握简单的外部通讯手段，关系判断与逻辑表达式;熟练掌握微积分的相关计算以及方程的数值解，曲线拟合，函数极值等数值计算手段。
为了学生能够很好的掌握，建议由教师利用多媒体由对实例的分析教会学生对软件相关内容的基本操作。
三、实验内容：练习31. 展开(1+x+2xy+y)^20,它有多少项？Expand[(1+x+2*x*y+y)^20]Length[%]1+20 x+190 x2+1140 x3+4845 x4+15504 x5+38760 x6+77520 x7+125970 x8+167960 x9+184756 x10+167960 x11+125970 x12+77520 x13+38760 x14+15504 x15+4845 x16+1140 x17+190 x18+20 x19+x20+20 y+420 x y+4180 x2 y+26220 x3 y+116280 x4 y+387600 x5 y+1007760 x6 y+2093040 x7 y+3527160 x8 y+4870840 x9 y+5542680 x10y+5206760 x11y+4031040 x12y+2558160 x13y+1317840 x14y+542640 x15y+174420 x16 y+42180 x17y+7220 x18y+780 x19y+40 x20y+190 y2+4180 x y2+43510 x2y2+285000 x3y2+1317840 x4 y2+4573680 x5y2+12364440 x6y2+26666880 x7y2+46608900 x8y2+66680120 x9y2+78521300 x10 y2+76253840 x11y2+60969480 x12y2+39922800 x13y2+21201720 x14y2+8992320 x15y2+2974830 x16 y2+739860 x17 y2+130150 x18y2+14440 x19 y2+760 x20 y2+1140 y3+26220 x y3+285000 x2 y3+1947120 x3 y3+9379920 x4y3+33876240 x5y3+95194560 x6y3+213180000 x7y3+386475960 x8y3+572911560 x9 y3+698377680 x10 y3+701400960 x11 y3+579462000 x12 y3+391708560 x13 y3+214575360 x14 y3+93799200 x15y3+31957620 x16y3+8179500 x17y3+1479720 x18y3+168720 x19y3+9120 x20y3+4845 y4+116280 x y4+1317840 x2y4+9379920 x3y4+47035260 x4y4+176668080 x5y4+515856840 x6y4+1199311920 x7 y4+2255240910 x8y4+3464678880 x9y4+4373174520 x10y4+4543989840 x11y4+3880631820 x12 y4+2709556560 x13 y4+1531911480 x14 y4+690625680 x15 y4+242487405 x16 y4+63915240 x17 y4+11899320 x18 y4+1395360 x19 y4+77520 x20 y4+15504 y5+387600 x y5+4573680 x2 y5+33876240 x3 y5+176668080 x4 y5+689695440 x5y5+2091722160 x6y5+5047559760 x7y5+9844807440 x8y5+15675706800 x9 y5+20492396496 x10y5+22036687920 x11y5+19462868880 x12y5+14043755760 x13y5+8199522960 x14 y5+3814712688 x15 y5+1381251360 x16 y5+375196800 x17 y5+71938560 x18 y5+8682240 x19 y5+496128 x20y5+38760 y6+1007760 x y6+12364440 x2y6+95194560 x3y6+515856840 x4y6+2091722160 x5 y6+6586060440 x6y6+16491449760 x7y6+33358367640 x8y6+55054936560 x9y6+74554588680 x10 y6+82999113600 x11y6+75841498200 x12y6+56582235600 x13y6+34135350600 x14y6+16399045920 x15 y6+6127645920 x16y6+1716602880 x17y6+339227520 x18y6+42170880 x19y6+2480640 x20y6+77520 y7+2093040 x y7+26666880 x2 y7+213180000 x3 y7+1199311920 x4 y7+5047559760 x5 y7+16491449760 x6 y7+42835691520 x7 y7+89846842800 x8 y7+153696500880 x9 y7+215632422720 x10y7+248584159200 x11 y7+235095291600 x12 y7+181435172400 x13 y7+113164471200 x14 y7+56175023040 x15 y7+21676452480 x16 y7+6267336960 x17y7+1277529600 x18y7+163722240 x19y7+9922560 x20y7+125970 y8+3527160 x y8+46608900 x2y8+386475960 x3y8+2255240910 x4y8+9844807440 x5y8+33358367640 x6 y8+89846842800 x7 y8+195370274190 x8 y8+346388778840 x9 y8+503527535940 x10 y8+601227096600 x11 y8+588701269650 x12 y8+470190583200 x13 y8+303365992800 x14 y8+155702951040 x15 y8+62090109120 x16 y8+18542784000 x17 y8+3902046720 x18 y8+515973120 x19 y8+32248320 x20 y8+167960 y9+4870840 x y9+66680120 x2y9+572911560 x3y9+3464678880 x4y9+15675706800 x5y9+55054936560 x6 y9+153696500880 x7 y9+346388778840 x8y9+636450324120 x9 y9+958623134040 x10y9+1185753090600 x11y9+1202454193200 x12y9+994336636800 x13y9+663992908800 x14y9+352587006720 x15 y9+145407674880 x16y9+44889661440 x17y9+9760491520 x18y9+1332930560 x19y9+85995520 x20 y9+184756 y10+5542680 x y10+78521300 x2y10+698377680 x3y10+4373174520 x4y10+20492396496 x5 y10+74554588680 x6 y10+215632422720 x7 y10+503527535940 x8 y10+958623134040 x9 y10+1496053026468 x10y10+1917246268080 x11y10+2014110143760 x12y10+1725059381760 x13y10+1192873418880 x14 y10+655756687872 x15 y10+279883169280 x16 y10+89392343040 x17 y10+20101452800 x18 y10+2837852160 x19 y10+189190144 x20 y10+167960 y11+5206760 x y11+76253840 x2 y11+701400960 x3 y11+4543989840 x4 y11+22036687920 x5 y11+82999113600 x6 y11+248584159200 x7 y11+601227096600 x8 y11+1185753090600 x9y11+1917246268080 x10y11+2545801296480 x11y11+2771110230720 x12y11+2459144014080 x13 y11+1761757969920 x14y11+1003245235200 x15y11+443478896640 x16y11+146665359360 x17 y11+34140221440 x18 y11+4987740160 x19 y11+343982080 x20 y11+125970 y12+4031040 x y12+60969480 x2 y12+579462000 x3y12+3880631820 x4y12+19462868880 x5y12+75841498200 x6y12+235095291600 x7 y12+588701269650 x8y12+1202454193200 x9y12+2014110143760 x10y12+2771110230720 x11 y12+3125924387040 x12y12+2875098969600 x13y12+2134935528960 x14y12+1260135352320 x15 y12+577341672960 x16 y12+197875691520 x17 y12+47727513600 x18 y12+7223623680 x19 y12+515973120 x20 y12+77520 y13+2558160 x y13+39922800 x2y13+391708560 x3y13+2709556560 x4y13+14043755760 x5 y13+56582235600 x6 y13+181435172400 x7 y13+470190583200 x8 y13+994336636800 x9 y13+1725059381760 x10y13+2459144014080 x11y13+2875098969600 x12y13+2741484257280 x13y13+2110905569280 x14 y13+1292175298560 x15y13+614047703040 x16y13+218296320000 x17y13+54613770240 x18 y13+8573091840 x19y13+635043840 x20y13+38760 y14+1317840 x y14+21201720 x2y14+214575360 x3 y14+1531911480 x4y14+8199522960 x5y14+34135350600 x6y14+113164471200 x7y14+303365992800 x8 y14+663992908800 x9y14+1192873418880 x10y14+1761757969920 x11y14+2134935528960 x12 y14+2110905569280 x13y14+1686031472640 x14y14+1070961745920 x15y14+528237404160 x16 y14+194958458880 x17 y14+50644746240 x18 y14+8255569920 x19 y14+635043840 x20 y14+15504 y15+542640 x y15+8992320 x2y15+93799200 x3y15+690625680 x4y15+3814712688 x5y15+16399045920 x6 y15+56175023040 x7y15+155702951040 x8y15+352587006720 x9y15+655756687872 x10 y15+1003245235200 x11y15+1260135352320 x12y15+1292175298560 x13y15+1070961745920 x14 y15+706248130560 x15 y15+361816227840 x16 y15+138757079040 x17 y15+37467586560 x18 y15+6350438400 x19y15+508035072 x20y15+4845 y16+174420 x y16+2974830 x2y16+31957620 x3y16+242487405 x4 y16+1381251360 x5y16+6127645920 x6y16+21676452480 x7y16+62090109120 x8y16+145407674880 x9y16+279883169280 x10y16+443478896640 x11y16+577341672960 x12y16+614047703040 x13 y16+528237404160 x14y16+361816227840 x15y16+192656424960 x16y16+76840304640 x17 y16+21591490560 x18y16+3810263040 x19y16+317521920 x20y16+1140 y17+42180 x y17+739860 x2 y17+8179500 x3y17+63915240 x4y17+375196800 x5y17+1716602880 x6y17+6267336960 x7 y17+18542784000 x8 y17+44889661440 x9 y17+89392343040 x10 y17+146665359360 x11y17+197875691520 x12y17+218296320000 x13y17+194958458880 x14y17+138757079040 x15y17+76840304640 x16 y17+31901614080 x17y17+9338880000 x18y17+1718353920 x19y17+149422080 x20y17+190 y18+7220 x y18+130150 x2y18+1479720 x3y18+11899320 x4y18+71938560 x5y18+339227520 x6y18+1277529600 x7 y18+3902046720 x8y18+9760491520 x9y18+20101452800 x10y18+34140221440 x11y18+47727513600 x12 y18+54613770240 x13 y18+50644746240 x14 y18+37467586560 x15 y18+21591490560 x16 y18+9338880000 x17 y18+2851471360 x18y18+547880960 x19y18+49807360 x20y18+20 y19+780 x y19+14440 x2y19+168720 x3 y19+1395360 x4 y19+8682240 x5 y19+42170880 x6 y19+163722240 x7 y19+515973120 x8 y19+1332930560 x9 y19+2837852160 x10y19+4987740160 x11y19+7223623680 x12y19+8573091840 x13y19+8255569920 x14 y19+6350438400 x15y19+3810263040 x16y19+1718353920 x17y19+547880960 x18y19+110100480 x19 y19+10485760 x20y19+y20+40 x y20+760 x2y20+9120 x3y20+77520 x4y20+496128 x5y20+2480640 x6 y20+9922560 x7y20+32248320 x8y20+85995520 x9y20+189190144 x10y20+343982080 x11y20+515973120 x12y20+635043840 x13y20+635043840 x14y20+508035072 x15y20+317521920 x16y20+149422080 x17 y20+49807360 x18 y20+10485760 x19 y20+1048576 x20 y204412.利用mathematica计算下列不定积分（1）Integrate[x^2*Cos[x^3],x]Sin[x3]/3（2）Integrate[1/(x^2+a^2)^4,x](33 a5 x+40 a3 x3+15 a x5+15 (a^2+x^2)3 ArcTan[x/a])/(48 a7 (a^2+x^2)3)（3）Integrate[(Sin[x])^10,x](63 x)/256-105/512 Sin[2 x]+15/256 Sin[4 x]-(15 Sin[6 x])/1024+(5 Sin[8 x])/2048-Sin[10 x]/51203.拟合曲线Clear[fx,fy,biao,nb,ft,ft1,t1]fy[y_]:=Log[y]fx[x_]:=xbiao={{0.4,1.75},{0.5,1.34},{0.6,1.00},{0.7,0.74}};nb=Table[{fx[biao[[i,1]]],fy[biao[[i,2]]]},{i,1,4}];ft=Fit[nb,{1,x},x];ft1=Exp[ft]t1=Plot[ft1,{x,0,1.0},AxesLabel→{"x","y"},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0]}]t2=ListPlot[biao,PlotStyle→{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.04]}]Show[t1,t2,PlotRange→{0,2}]©1.71895 -2.87483 x0.20.40.60.8 1.0x 12345y0.450.500.550.600.650.701.01.21.41.60.20.40.60.8 1.0x 0.51.01.52.0y四、总结及心得体会：数据拟合比较复杂，需要多次调试多次运行，数据拟合的程序相对较前面的比较繁复，在做数据拟合的时候应该仔细分析好思路，充分理解，再写程序。
数学实验：怎样计算圆周率
怎样计算姓名：学号班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。
而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图图一扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。
每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。
如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。
所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值：n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。
方法二：泰勒级数法其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数计算。
方法三：蒙特卡罗法其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。
而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。
将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。
能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是Random[ ]产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。
数学实验mathematic_初步实验报告
For, Do,While,If,Switch等
【实验环境】
Mathematica5
二、实验内容：
【实验方案】
1．积分的求解
2．图形的绘制
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1．求积分
（1）
解：
( 2)
解：
2.将 在 处和 处展成9阶泰勒公式形式
解：(1)在 处(2)在源自处3、解方程（组）Graphics
【实验结论】（结果）
用Mathematica计算出了函数不定积分和定积分；很好的掌握了解方程（组）的方法；理解和掌握把函数展成泰勒公式的方法；掌握了用Mathematica绘制一元函数、二元函数以及参数函数图形的方法。
【实验小结】（收获体会）
深刻体会到Mathematica是一个功能强大的常用数学软件。以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。并掌握了Mathematica的几种基本操作命令。
（1）
解：Solve[{Log[a+x]= =5,Cos(a-x)= =0.5},{a,x}]
（2）
解：
4、做作出下列函数的图形
（1）
解：Plot[Which[x 1,2 x,0 x 1,2,x<0,Cos[x]+1],{x,-8,8}]
Graphics
（2）
SurfaceGraphics
（3）
解：ParametricPlot[{3Cos[t]^3,3 Sin[t]^3},{t,-3 ,3 }]
新乡学院数学与信息科学系
实验报告
实验项目名称mathematic初步试验
所属课程名称数学实验
实验类型基础性试验
实验日期2013-4-12
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、实验总结
利用数值方法计算 ，在n的不同取值下精度都很大，随着n值的增加计算所需时间也在增加；相比数值方法，Taylor级数收敛法需要花费更多的时间用于计算，所得精度也更高；而蒙特卡罗方法相比上述两个，运行速度最快，但精度不高。
综上，这三种方法都可以较为准确地计算出 值，考虑日常生活中的实用性，蒙特卡洛方法具有耗时短效率高的特点，更适合低精度要求下的计算。
教师评语：
Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];
运行结果:
3.当n=10000时
命令:
n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x);
s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;
s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);
命令：
n=10000;p={};
Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
运行结果：
结果分析：
从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，虽然精确度不太高，但运行时间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的。
命令：
n=1000000;p={};
Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
运行结果如下
结果分析：
1.当n=1000时
命令：
n=1000;y[x_]:=4/(1+x*x);
s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;
s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);
Print[N[16*(T[1/5,110]-4*T[1/239,30]),150]];
Print[N[Pi,150]]
运行结果：
结果分析：从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当x=1时得到的的展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使x的绝对值小于1，最好是远比1小。例如，因为，所以我们可以计算出 的值，从而得到 的值。这样，就使得收敛速度加快。改进后可以看出，泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。
2.运用数值积分法计算圆周率：
利用半径为1的单位圆的面积等于 来求解圆周率；
3.利用泰勒级数法计算 ：
利用反正切函数的泰勒级数
4.蒙特卡罗法计算
实验结果报告及实验总结：
一、数值积分法计算
因为单位圆的半径为1，它的面积等于 ，所以只要计算出单位圆的面积，就算出了 。在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出 。而且单位的精度可能会影响计算的结果，下面将给出不同的n计算所得结果并讨论差异。
Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];
Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}]
运行结果：
4.结果分析：当数值积分法得到的近似值为3.14159265358979323846264338328，
可以看出，用这种方法计算所得到的值是相当精确的，n越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近的准确值。
实验环境：
学校机房、Mathematica4.0软件、PrintScreen软件
实验目的：
首先在Mathematica环境中用多种方法计算圆周率 的值，通过实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣，接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率 的值。
实验理论基础和方法：
1.用Mathematica绘图函数Plot绘制圆周率 ；
三、蒙特卡罗法计算
在数值分析法中，我们利用求单位圆的1/4面积来得到，从而得到。单位圆的1/4是一个扇形，它是边长为1的单位正方形的一部分，单位正方形的面积。只要能够求出扇形的面积 在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到，从而得到 的值。下面的问题归结为如何求 的值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理就是在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。降落在扇形内的点的个数与所投店的总数的比可以近似的作为 的近似值。
n=100000;p={};
Do[m=0;
[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
运行结果：
当n=1000000时
步骤四、针对步骤三提出疑问：步骤三中我们发现当n=10000时，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，精确度不太高，那么对n取不同的值，所得结果的精确度会不会有变化？假如有变化，会有什么变化呢？
猜想：对n取不同的值，所得结果的精确度应该会有变化，且当n值越大，所得结果越精确。
当n=100000时
命令：
二、泰勒级数法计算
利用反正切函数的泰勒级数
来计算 。
命令：
T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}];
N[4*T[1,20000],20]//Timing
T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}];
Print[N[4*(T[1/2,260]+T[1/3,170]),150]];
Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];
结果如下：
2.当n=5000时
命令：
n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x);
s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;
s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);
数学实验报告
实验序号：2日期：2016年月日
班级
姓名
学号
实验
名称
圆周率π的计算
问题背景描述：
圆周率是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究。回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定程度上反映着这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”