数学基础—辅导材料
第一章有理数学习辅助材料
第一章有理数学习辅助材料第一章有理数研究辅助材料有理数是数学中的重要概念之一，它涉及了整数和分数，是我们在日常生活和数学问题中经常遇到的。
在研究有理数时，掌握一些辅助材料可以帮助我们更好地理解和运用这一概念。
以下是一些有理数研究的辅助材料，可以帮助你加深对有理数的理解：1. 数轴：数轴是一个直线上的线段，用于表示数的大小和相对关系。
通过在数轴上绘制有理数，我们可以直观地看到它们的大小和位置关系。
数轴：数轴是一个直线上的线段，用于表示数的大小和相对关系。
通过在数轴上绘制有理数，我们可以直观地看到它们的大小和位置关系。
2. 分数条：分数条是一个长条分为若干等份，用于表示分数和它们之间的关系。
通过使用分数条，我们可以更好地理解和比较不同分数的大小。
分数条：分数条是一个长条分为若干等份，用于表示分数和它们之间的关系。
通过使用分数条，我们可以更好地理解和比较不同分数的大小。
3. 实际问题：将有理数与实际问题结合起来，可以帮助我们将抽象的概念应用到实际情境中。
通过解决与有理数相关的实际问题，我们可以提高对有理数的理解和应用能力。
实际问题：将有理数与实际问题结合起来，可以帮助我们将抽象的概念应用到实际情境中。
通过解决与有理数相关的实际问题，我们可以提高对有理数的理解和应用能力。
4. 练题：做一些有针对性的练题可以帮助我们巩固对有理数的理解和运用。
可以选择一些简单的练题开始，逐渐增加难度，从而提高自己的能力。
练习题：做一些有针对性的练习题可以帮助我们巩固对有理数的理解和运用。
可以选择一些简单的练习题开始，逐渐增加难度，从而提高自己的能力。
5. 交流和讨论：与他人讨论和交流有理数的概念和问题，可以帮助我们从不同的角度理解和运用有理数。
通过与同学、老师或其他研究伙伴的交流，我们可以相互研究和启发。
交流和讨论：与他人讨论和交流有理数的概念和问题，可以帮助我们从不同的角度理解和运用有理数。
通过与同学、老师或其他学习伙伴的交流，我们可以相互学习和启发。
学生数学辅导手册
学生数学辅导手册旨在为学生提供数学学科的全面指导和帮助，包括以下几个方面：
1. 基础知识梳理：手册首先对数学基础知识进行梳理，帮助学生建立扎实的数学基础，为后续的学习做好准备。
2. 解题技巧讲解：手册详细讲解各种数学题型的解题技巧和方法，引导学生掌握正确的解题思路，提高解题能力。
3. 典型例题解析：手册选取具有代表性的数学题目，进行详细的解析和解答，帮助学生理解题目的本质和解题思路。
4. 练习题及答案：手册提供丰富的练习题，供学生巩固所学知识和提高解题能力。
同时，答案部分为学生提供参考答案和解析，方便学生进行自我评估。
5. 学习方法指导：手册不仅关注学生的知识掌握，还注重学生的学习方法指导。
通过提供科学的学习方法和技巧，帮助学生更好地掌握数学学习中的重点和难点。
6. 激发学习兴趣：手册采用生动有趣的形式，将数学与实际生活相结合，引导学生发现数学的美妙和实用性，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过这本学生数学辅导手册，学生可以全面了解数学学科的知识体系和解题技巧，提高自己的数学能力和综合素质。
同时，手册还可以作为学生自学和复习的参考资料，为学生提供全方位的数学学习支持。
初二数学教学中的辅导材料推荐
初二数学教学中的辅导材料推荐随着教育发展的需求，数学辅导材料在中学生学习过程中扮演着愈发重要的角色。
对于初二学生来说，数学知识的基础打牢是非常关键的，因此寻找适合初二数学教学的辅导材料是十分必要的。
本文将向您推荐几种值得考虑的数学辅导材料，以帮助初二学生提高数学学习效果。
1. 《中学数学课外辅导与测评活动设计》这本书综合了初中数学课程内容，旨在培养学生的解决问题能力和创新意识。
它包含了多种不同难度的题目，每个题目都配备了详细的解答和解题思路。
此外，书中还提供了针对性的测试题和评测活动，使学生能够对自己的数学水平进行评估和提高。
这本教材不仅仅是辅导材料，更是一个综合性的数学学习工具。
2. 《初中数学快速突破系列》这套辅导材料着重于数学知识的系统梳理和讲解。
它将初中数学的重点知识点进行了详细阐述，并提供了大量的例题和练习题，以帮助学生巩固所学知识。
同时，这套材料还提供了一些技巧和方法，以帮助学生快速解题和提高解题能力。
这套材料的特点是知识点覆盖全面，适合初二数学学习的补充和巩固。
3. 《数学竞赛辅导与训练》这本书主要面向对数学竞赛感兴趣的初二学生。
它囊括了数学竞赛中常见的题型和解题方法，并提供了大量的例题和训练题，以帮助学生提高数学解题能力和思维灵活性。
此外，书中还包含了一些竞赛经验和技巧的分享，对于想要参加数学竞赛的学生来说，这本辅导材料是非常有帮助的。
4. 《数学积累与拓展》这本书的特点是注重对数学知识的广度和深度拓展。
它以问题为中心，引导学生思考和探索数学世界。
书中提供了一系列的数学问题和数学游戏，通过解题和游戏的方式激发学生对数学的兴趣，并培养他们的逻辑思维和数学创新能力。
这本辅导材料适用于对数学有兴趣的初二学生，帮助他们在兴趣中提高数学水平。
5. 在线数学辅导网站除了传统的纸质辅导材料外，现在还有许多在线数学辅导网站。
这些网站提供了各种免费或付费的数学学习资源，如数学视频课程、在线作业和题库等。
二年级数学辅导资料
二年级数学辅导资料
1.数数：使用各种物品数数，掌握0-100的数字，用数字表示数量。
2. 加法：通过图形、实物、数字等形式，学习加法的概念和运算方法，解决简单的加法计算问题。
3. 减法：通过图形、实物、数字等形式，学习减法的概念和运算方法，解决简单的减法计算问题。
4. 两位数加减法：学习两位数加减法的概念和运算方法，能够解决两位数加减法计算问题。
5. 分数：认识分数的概念和表示方法，学习分数的加减法运算。
6. 时钟：认识钟表上的小时、分钟、秒针，学习时间的读法和计算方法。
7. 金钱：认识各种面额的货币，学习货币的简单计算方法。
8. 几何图形：认识各种几何图形的名称和特点，学习几何图形的分类和性质。
9. 数据统计：了解数据的概念，学习数据的收集、整理、分析和表示方法。
- 1 -。
初中数学培训资料
初中数学培训资料数学是一门重要的学科，对学生的思维能力和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
为了帮助初中生更好地学习数学，提高他们的数学水平，我准备了以下初中数学培训资料。
一、数学基础知识梳理1. 数学符号和术语：介绍常见的数学符号和术语，如加减乘除、等于号、大于小于号等，帮助学生正确理解和运用。
2. 数字的分类和性质：介绍整数、有理数、无理数、实数等数字的分类和性质，帮助学生理解数字的本质和规律。
3. 数列和函数：介绍数列和函数的概念、性质和应用，帮助学生理解数列和函数的变化规律和图像特点。
二、代数与方程1. 代数运算：介绍代数运算的基本规则，包括加减乘除、指数运算、根式运算等，帮助学生掌握代数运算的方法和技巧。
2. 一元一次方程：介绍一元一次方程的概念、解法和应用，包括等式的转化、方程的解的判断和方程应用题的解法。
3. 一元二次方程：介绍一元二次方程的概念、解法和应用，包括配方法、公式法和图像法等，帮助学生掌握一元二次方程的解法和应用。
三、几何与图形1. 几何基本概念：介绍点、线、面等几何基本概念，帮助学生理解几何图形的构成和性质。
2. 直线与角：介绍直线和角的概念、性质和应用，包括平行线、垂直线、相交线等，帮助学生掌握直线和角的相关知识。
3. 三角形与四边形：介绍三角形和四边形的概念、性质和分类，包括等边三角形、等腰三角形、矩形、正方形等，帮助学生认识和区分不同的几何图形。
四、统计与概率1. 数据的收集与整理：介绍数据的收集方法和整理方式，包括频数表、频率表、直方图等，帮助学生掌握数据的处理和分析方法。
2. 概率的基本概念：介绍概率的基本概念和性质，包括样本空间、事件、概率的计算等，帮助学生理解概率的基本原理和应用。
五、解题技巧与方法1. 阅读题目技巧：介绍阅读题目的技巧，包括理解题意、分析题目要求、确定解题思路等，帮助学生提高解题效率和准确性。
2. 推理与证明：介绍推理和证明题的解题方法和技巧，包括归纳法、逆否命题等，帮助学生掌握推理和证明题的解题思路和步骤。
数学培训材料
数学培训材料一、整数整数是数学中最基本的概念之一，它包括正整数、负整数和零。
整数在现实生活中有广泛的应用，比如计算温度、海拔等。
下面将介绍整数的概念、性质和基本运算。
1. 整数的概念整数是由正整数、负整数和零组成的集合，用符号Z表示，即Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。
2. 整数的性质- 整数可以进行加法、减法和乘法运算，运算的结果还是整数。
- 整数之间的加法和乘法满足交换律和结合律。
- 整数加法满足零元素和相反元素的存在。
- 整数乘法满足单位元素的存在和相反元素的存在。
3. 整数的基本运算- 加法：对于任意两个整数a和b，其和记为a+b，满足加法交换律和结合律。
- 减法：对于任意两个整数a和b，其差记为a-b，可以化为加法运算。
- 乘法：对于任意两个整数a和b，其积记为a×b，满足乘法交换律和结合律。
二、分数分数是数学中另一个重要的概念，它能够表示两个整数之间的比值关系。
分数在现实生活中也有广泛的应用，比如计算比例、求解比率等。
下面将介绍分数的概念、性质和基本运算。
1. 分数的概念分数是由一个整数作为分子和一个非零整数作为分母组成的数，并用a/b表示（其中a为分子，b为分母）。
2. 分数的性质- 分数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，运算的结果还是分数。
- 分数之间的加法和乘法满足交换律和结合律。
- 分数加法满足零元素的存在。
- 分数乘法满足单位元素的存在和零因子的存在。
3. 分数的基本运算- 加法：对于任意两个分数a/b和c/d，其和记为(a/b)+(c/d)，其中a、b、c、d为整数，b和d均不为零。
- 减法：对于任意两个分数a/b和c/d，其差记为(a/b)-(c/d)，可以化为加法运算。
- 乘法：对于任意两个分数a/b和c/d，其积记为(a/b)×(c/d)。
- 除法：对于任意两个分数a/b和c/d，其商记为(a/b)/(c/d)，可以化为乘法运算。
初中教辅材料
初中教辅材料一、数学1. 整数运算整数运算是数学中的基础，掌握好整数的加减乘除运算是学习数学的重要基础。
初中教辅材料中通常会有整数运算的题目和解析，帮助学生巩固整数运算的知识点。
2. 分数运算分数是初中数学中的重要内容，学生需要掌握分数的加减乘除运算，化简分数等基本操作。
教辅材料中会提供大量的分数运算题目和解析，帮助学生理解分数运算的规则。
3. 代数方程代数方程是初中数学中的重点内容，教辅材料中通常会有各种类型的代数方程题目和解析，帮助学生掌握解代数方程的方法和技巧。
4. 几何图形几何图形是初中数学中的重要内容，教辅材料中通常会有各种类型的几何图形题目和解析，帮助学生理解几何图形的性质和计算几何图形的面积、周长等。
二、语文1. 诗词鉴赏诗词是语文学习的重要组成部分，教辅材料中通常会有各种名家诗词的鉴赏题目和解析，帮助学生理解诗词的意境和修辞手法。
2. 文言文阅读文言文是语文学习的难点，教辅材料中通常会有各种古代文言文的阅读题目和解析，帮助学生理解古代文言文的语言特点和意义。
3. 阅读理解阅读理解是语文学习的重要内容，教辅材料中通常会有各种类型的阅读理解题目和解析，帮助学生提高阅读理解能力。
4. 写作指导写作是语文学习的重要环节，教辅材料中通常会有各种写作指导题目和范文，帮助学生提高写作能力和表达能力。
三、英语1. 词汇积累英语词汇是英语学习的基础，教辅材料中通常会有各种词汇积累题目和解析，帮助学生扩大词汇量。
2. 语法练习英语语法是英语学习的重点，教辅材料中通常会有各种语法练习题目和解析，帮助学生掌握英语语法规则。
3. 阅读训练阅读训练是英语学习的重要环节，教辅材料中通常会有各种阅读理解题目和解析，帮助学生提高阅读理解能力和阅读速度。
4. 口语表达口语表达是英语学习的重要内容，教辅材料中通常会有各种口语表达题目和示范，帮助学生提高口语交流能力。
四、物理1. 运动力学运动力学是物理学的基础，教辅材料中通常会有各种运动力学题目和解析，帮助学生理解运动的规律和计算运动的速度、加速度等。
高中数学辅导材料
高中数学辅导材料
高中数学辅导材料有很多，包括书籍、习题集、在线课程等。
以下是一些比较受欢迎的高中数学辅导材料：
1. 《高中数学》（人教版、北师大版、苏教版）：这是三本比较常见的高中数学教材，涵盖了高中数学的所有知识点，是学生学习高中数学的基础。
2. 《五年高考三年模拟》：这是一本很经典的数学辅导书，包含了大量的高考真题和模拟题，非常适合提高学生的解题能力。
3. 《高中数学专项突破》：这是一本针对高中数学各个知识点的专项突破练习册，适合学生针对自己的薄弱环节进行有针对性的练习。
4. 《高中数学解题宝典》：这是一本很实用的数学辅导书，包含了高中数学的各种题型和解题方法，非常适合学生自学或复习。
5. 高中数学网课：现在有很多在线教育平台提供高中数学网课，学生可以根据自己的需求选择适合自己的课程。
总之，选择适合自己的高中数学辅导材料，需要结合自己的学习情况和需求，以及注意材料的系统性和针对性。
同时，学生也需要注重实践和反思，通过练习和总结不断提高自己的数学能力。
高一数学基础差适合的数学辅导书
高一数学基础差适合的数学辅导书
以下是适合高一数学基础差的数学辅导书推荐：
1.《中学数学基础》（陈达毅、胡才富编著）：本书内容全面，从数
学基础知识到高中数学内容都有涉及，适合用作补充和复习材料。
2.《数学基础强化》（廖姝珍、王康贵、谢志华编著）：本书内容全面，注重基础，有大量的例题和练习题，适合有数学困难的初中生和高中
新生使用。
3.《高中数学基础与提高》（贾长海、闫超编著）：本书从基础知识
讲起，注重概念部分的讲解，同时有大量的题目和例题，适合有数学基础
薄弱的同学使用。
4.《高中数学基础能力训练》（吴征远、吴秋伟主编）：本书按照考
试要求和知识点顺序，从基础知识到高中数学内容全面讲解，注重解题技
巧和方法，适合补充和巩固基础知识的同学使用。
5.《高中数学基础强化课》（吕总明编著）：本书将高中数学知识点
划分为基础部分和提高部分，注重基础训练，同时有大量的练习题和例题，适合有数学基础差的同学使用。
初中{数学}辅导
初中{数学}辅导
以下是初中数学的辅导材料：
1. 基础知识：初中数学的基础知识包括数轴、有理数、无理数、代数式、方程式等。
需要掌握这些基础知识的概念、性质和运算方法。
2. 函数：初中数学中的函数主要包括一次函数、二次函数和反比例函数。
需要理解函数的定义、性质和图像，并能够解决与函数相关的实际问题。
3. 三角形：三角形是初中数学中的一个重要内容，需要掌握三角形的性质、分类和全等的判定方法，以及直角三角形的勾股定理和三角函数等。
4. 四边形：四边形是初中数学中的另一个重要内容，需要掌握四边形的性质、分类和全等的判定方法，以及平行四边形、矩形、菱形和梯形等特殊四边形的性质和判定方法。
5. 概率初步：概率初步是初中数学中的一个新内容，需要理解概率的概念、性质和计算方法，并能够解决与概率相关的实际问题。
6. 综合与实践：综合与实践是初中数学中的一个重要环节，需要学生通过实践活动来综合运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力和创新能力。
以上是初中数学的辅导材料，希望对您有所帮助。
数学基础知识资料推荐
数学基础知识资料推荐1. 介绍数学是一门广泛应用于各种领域的科学，是自然科学和社会科学中最基础和最重要的学科之一。
掌握数学基础知识对于解决现实生活中的问题和发展个人智力有着重要意义。
本文将介绍一些值得推荐的数学基础知识资料，帮助读者更系统地学习和掌握数学。
2. 数学基础知识资料推荐2.1 教材•《高等数学》 - 高等数学是大学阶段最基础、最重要的数学课程之一。
该教材内容详细，包括微积分和数学分析等内容，适合有一定数学基础的学生学习。
•《线性代数》 - 线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理和计算机科学等领域。
这本教材内容丰富，包括向量、矩阵、空间等内容，适合需要学习线性代数知识的读者。
2.2 参考书•《数学分析习题集》 - 数学分析是数学的重要分支，对于理解和掌握微积分等知识有着重要作用。
这本习题集包含丰富的练习题，适合读者巩固数学分析知识。
•《概率论与数理统计》 - 概率论与数理统计是现代数学中的重要内容，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
这本参考书介绍了概率、统计等知识，适合需要学习概率论和统计知识的读者。
2.3 在线资源•Khan Academy - Khan Academy是一个在线教育平台，提供免费的数学课程。
在这个平台上，你可以找到丰富的数学视频和练习题，帮助你系统地学习和巩固数学基础知识。
•Coursera - Coursera是一个知名的在线教育平台，提供多门数学课程，包括线性代数、微积分等课程。
通过Coursera你可以学习到专业领域的数学知识，提升自己的数学能力。
3. 总结数学基础知识对于每个人都非常重要，不仅可以帮助我们解决日常生活中的问题，还可以提升我们的逻辑思维能力。
通过学习上述推荐的数学基础知识资料，读者可以系统地学习和掌握数学知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
以上是关于数学基础知识资料推荐的内容，希望对读者有所帮助。
如果还有任何疑问或建议，欢迎留言交流。
高中数学基础知识教辅
高中数学基础知识教辅一、引言在高中阶段，数学作为一门基础学科，在学生的学习中占据着重要的地位。
对于许多学生来说，数学可能是一门较为抽象和困难的学科，但是掌握好高中数学的基础知识对于未来的学习和职业发展至关重要。
本文将就高中数学的基础知识进行教辅，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
二、数学知识概述在高中数学课程中，我们将学习到许多重要的数学知识，其中包括： - 代数 - 几何 - 微积分 - 概率统计三、代数代数是数学中的一个重要分支，是研究数和符号之间的关系的数学分支。
在高中数学中，代数涉及到的知识包括： - 代数方程 - 函数 - 不等式 - 多项式等四、几何几何是研究空间、形状、大小以及相互位置关系等问题的数学分支。
高中数学课程中的几何主要包括： - 几何形状的性质 - 几何变换 - 向量和坐标几何五、微积分微积分是数学的一个重要分支，主要研究变化速率和面积、体积等问题。
在高中数学中，微积分主要包括： - 导数 - 积分 - 微积分应用等六、概率统计概率统计是研究随机现象的概率规律和统计规律的数学分支。
在高中数学中，概率统计的内容主要包括： - 概率计算 - 统计方法 - 排列组合等七、学习建议为了更好地掌握高中数学基础知识，学生可以采取以下学习策略： - 坚持每天进行数学练习 - 主动思考并理解数学概念 - 多做题多总结 - 注重归纳和整理知识点八、总结高中数学基础知识对于学生的学习和未来发展具有重要意义。
通过认真学习和练习，学生可以更好地掌握数学知识，为未来更进一步的学习和发展奠定坚实的基础。
以上便是关于高中数学基础知识的教辅文档，希望对学生们有所帮助。
祝愿大家在数学学习中取得好成绩！。
基础教育学科辅导材料
基础教育学科辅导材料一、数学辅导材料数学作为基础教育的重要学科，对学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的培养作用。
以下是一些数学辅导材料，可供学生们提高自己的数学水平。
1. 知识点概述- 数学基础知识：包括数的认识和运算、代数式与方程式、几何图形、概率与统计等。
- 基础思维方式：培养学生的逻辑思维和分析能力。
- 常用解题方法：介绍和练习数学问题的解题技巧。
- 典型习题解析：对一些常见的数学考点进行详细解析，帮助学生理解并掌握相关知识。
2. 练习册推荐- 习题集：提供大量的练习题，涵盖数学的各个知识点，并附有详细的解析和答案，可以供学生们进行自主练习。
- 模拟试卷：模拟真实考试的形式和难度，帮助学生们熟悉考试环境和提前感受考试压力，同时也能检验自己的学习成果。
二、语文辅导材料语文作为基础教育的核心学科，对学生的语言表达和文学素养有着重要的培养作用。
以下是一些语文辅导材料，可供学生们提高自己的语文水平。
1. 写作指导- 作文结构：介绍不同类型作文的结构特点和写作要求，帮助学生们掌握基本的写作结构。
- 语言表达：培养学生的表达能力，包括修辞手法、文采技巧等。
- 写作技巧：分享一些写作技巧和方法，如如何选取合适的写作素材、如何提高行文逻辑性等。
2. 阅读素材- 文学作品：选取经典文学作品的片段，帮助学生提高阅读理解和文学素养。
- 新闻报道：选取与时事热点相关的报道，帮助学生提高阅读理解和信息处理能力。
三、英语辅导材料英语作为基础教育的必修学科，对学生的英语能力和跨文化交流有着重要的培养作用。
以下是一些英语辅导材料，可供学生们提高自己的英语水平。
1. 词汇积累- 基础词汇表：提供常用基础词汇的分类和例句，帮助学生建立起词汇基础。
- 高级词汇表：选取一些高级词汇，如形容词、副词和短语，帮助学生提高语言表达能力。
2. 口语表达- 情景对话：设计真实情景，提供与之相关的对话，帮助学生们练习口语表达和交际能力。
- 写作范文：提供一些常见写作题目和范文，帮助学生们熟悉写作结构和表达方式。
初一数学好的辅导资料
初一数学好的辅导资料初一数学是中学数学学习的基础阶段，对于培养学生的逻辑思维、空间想象和问题解决能力具有重要意义。
为了帮助初一学生更好地掌握数学知识，提高数学成绩，以下推荐一些优质的初一数学辅导资料，并对这些资料的特点和使用方法进行详细介绍。
一、《初中数学通解》《初中数学通解》是一本系统介绍初中数学知识的辅导资料，涵盖了初一数学的所有知识点。
该书以教材为基础，对各个知识点进行了详细讲解，并配备了大量的例题和练习题。
此外，该书还注重培养学生的解题思维和方法，通过一题多解、多题一解等方式，帮助学生掌握解题技巧，提高解题能力。
使用方法：建议学生在课堂学习的基础上，结合《初中数学通解》进行课后复习和巩固。
可以先阅读该书的相关章节，了解知识点的基本概念和解题方法，然后再做相应的练习题进行巩固。
遇到不懂的问题，可以参考书中的解答或向老师请教。
二、《初中数学公式定律速记手册》《初中数学公式定律速记手册》是一本专门针对初中数学公式和定律的辅导资料。
该书将初一数学中涉及的公式和定律进行了分类整理，并提供了相应的记忆方法和技巧。
通过使用该手册，学生可以快速掌握数学公式和定律，提高解题效率。
使用方法：建议学生在学习过程中随时携带该手册，方便查阅和记忆。
可以在课堂上或课后复习时使用该手册进行公式和定律的巩固记忆。
同时，也可以在做题过程中遇到不熟悉的公式或定律时及时查阅该手册。
三、《初中数学典型题解题思路》《初中数学典型题解题思路》是一本针对初中数学典型题的辅导资料。
该书精选了初一数学中的典型题目，并提供了详细的解题思路和答案解析。
通过学习和模仿这些解题思路，学生可以更好地理解数学知识，提高解题能力。
使用方法：建议学生在做题过程中遇到难题时参考该书中的解题思路进行思考和解答。
可以先尝试自己解决问题，如果遇到困难再参考书中的答案解析进行对照和学习。
同时，也可以在做题前阅读该书中的相关章节，了解典型题目的解题方法和技巧。
四、《初一数学同步练习册》《初一数学同步练习册》是一本与初一数学教材同步的练习册，旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学应用能力。
高中数学基础辅导书推荐
高中数学基础辅导书推荐
1. 《高中数学基础辅导》
这本书是我个人推荐的高中数学辅导书之一。
它覆盖了高中数学的基础概念，
理论和技巧。
书中内容深入浅出，适合初学者和需要加强基础的学生阅读。
2. 《高中数学基础必修课辅导》
这本书主要针对高中数学必修课程，包括代数、几何、概率统计等内容。
书中
有大量习题和例题，适合需要加强练习的学生使用。
3. 《高中数学基础理论详解》
这本书适合想深入理解高中数学基础理论的学生阅读。
书中详细解析了高中数
学中的各种定理和概念，帮助读者建立扎实的数学基础。
4. 《高中数学基础解题技巧》
这本书主要介绍了高中数学解题的技巧和方法。
通过大量实例和案例分析，读
者可以学习到各种解题技巧，提高解题效率。
5. 《高中数学基础应用实践》
这本书主要介绍了高中数学基础知识在实际问题中的应用。
通过丰富的实例和
案例，读者可以学习到数学在现实生活中的应用，培养数学思维和解决问题的能力。
结语
以上是我推荐的几本高中数学基础辅导书，每本书都有其独特的特点和优势，
适合不同类型的学生使用。
希望这些书籍能够帮助你加强数学基础，提高学习效果。
高中数学知识点全总结教辅
高中数学知识点全总结教辅一、代数基础1. 集合与函数概念集合的基本概念、表示方法及其运算；函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。
2. 代数式的运算整式的加减乘除、因式分解、分式的运算法则；复数的基本概念和运算。
3. 不等式与方程一元一次不等式、一元二次不等式及其解集；一元一次、二次方程的解法；分式方程和无理方程的解法；参数方程和极坐标方程。
4. 函数的图像与性质函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性；常见函数的图像和性质；函数的极限与连续性。
二、平面几何1. 平面几何图形点、线、面的基本性质；角的概念及其分类；三角形的基本性质和定理；四边形的性质和分类。
2. 圆的性质与定理圆的基本性质、圆周角定理、垂径定理、弦切角定理等；圆的方程及其应用。
3. 相似与全等全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；相似多边形和相似圆的判定与性质。
4. 解析几何直线的方程及其位置关系；圆的方程及其位置关系；椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质。
三、立体几何1. 空间几何图形空间直线与平面的基本性质；空间角的计算；棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的基本性质。
2. 立体图形的计算体积与表面积的计算公式；棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的体积与表面积的计算。
四、概率与统计1. 概率的基本概念随机事件、概率的定义及其性质；条件概率、独立事件的概念。
2. 随机事件的概率古典概型、几何概型；互斥事件的概率计算；贝叶斯定理。
3. 统计与数据分析数据的收集、整理与描述；平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念与计算；概率分布与正态分布。
五、数学归纳法与逻辑推理1. 数学归纳法数学归纳法的原理与步骤；典型的数学归纳法证明例题。
2. 逻辑推理命题逻辑的基本概念；充分必要条件的理解与应用；逻辑推理题的解题方法。
六、微积分基础1. 导数与微分导数的定义、几何意义和物理意义；常见函数的导数；微分的概念及其应用。
数学基础知识资料
数学基础知识资料一、数学概述数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，是自然科学和工程技术学科中不可或缺的基础学科。
数学广泛应用于科学、工程、经济学、计算机科学等领域。
二、基本概念1. 数和数系•自然数：正整数，表示为1, 2, 3, …•整数：包括自然数及其负数，表示为… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …•有理数：可以表示为两整数比值的数。
•无理数：不能被表示为有理数的数。
2. 整除和倍数•如果a除以b的余数为0，则称a能被b整除。
•b能被a整除的情况下，称b是a的倍数。
3. 整数的运算•加法：a+b代表a和b的和。
•减法：a−b代表a和b的差。
•乘法：$a \\times b$代表a和b的乘积。
•除法：$\\frac{a}{b}$代表a除以b的商。
三、代数1. 代数表达式•变量：表示未知数，通常用字母表示。
•常数：具体的数值。
•算术运算符：加法、减法、乘法、除法。
•代数运算符：包括幂、平方根等。
2. 一次方程一次方程指的是最高次数为1的代数方程，通常表示为ax+b=0。
解一次方程的步骤包括移项、合并同类项和化简等。
3. 二次方程二次方程指的是最高次数为2的代数方程，通常表示为ax2+bx+c=0。
解二次方程的方法包括配方法、公式法和求根公式等。
四、几何学几何学是研究空间形状、大小、属性、变换等问题的数学分支。
1. 几何基本概念•点、直线、线段、射线、平面和角：几何的基本元素。
•平行线和垂直线：指相交角为直角的两条线。
2. 图形的性质•正方形、矩形、三角形、圆形：常见的几何图形。
•对称性：图形相对某一轴的镜像对称、旋转对称等性质。
3. 分析几何•坐标系：用数值表示空间位置。
•直线、圆、曲线和方程：基于坐标系的几何研究。
五、微积分微积分是研究极限、导数、积分等概念的数学分支，是解决变化问题的有力工具。
1. 极限•无穷大：极限中的一个重要概念。
•极限存在性：当极限存在时，称其为收敛；不存在时，称其为发散。
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焊接、数控技术应用（专科）专业《数学基础》辅导材料 （2015年4月）考试题型及分值分配：一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分） 四、证明题（本大题共1小题，每小题8分，共8分）第一章 函数、极限与连续一、单项选择题 1．函数x x y -=3是【 】P2 A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 有界函数 2．函数2sin y x x =+是【 】P 2A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 周期函数3．函数xx y 3cos 2=是【 】P 2A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 周期函数4．函数()32f x x x =+在()+∞∞-,上【 】P 2 A. 单调减少 B. 单调增加 C. 有界 D. 有最大值 5．函数()x x f arctan =在()+∞∞-,上【 】P 2A. 单调减少B. 单调增加C. 无界D. 有最大值 6．函数()x arc x f cot =在()+∞∞-,上【 】P 2A. 单调增加B. 单调减少C. 无界D. 有最大值 7．下列数列发散的是【 】 P 8A.211n x n =+B. nn x )1(-= C. 11n n x n -=+ D. 12nnx =8. 下列数列收敛的是【 】 P 8A.sin 2n n x π= B. ()11n n x -=-C. nx n 1= D. 3n nx = 9. 下列数列发散的是【 】P 8A.3n x = B. sin 2n nx π=C. 1n x n =D. 11nn x n -=+ 10. 零点定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()0)(<⋅b f a f ，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ使得【 】P 24 A. 0)(=ξf B. ξξ=)(f C. a f =)(ξ D. b f =)(ξ11. 零点定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()0)(<⋅b f a f ，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ使得=)(ξf 【 】P 24 A. A B. ξC.B D. 012. 函数()1,1,12,1x x f x a x x b x +>-⎧⎪==-⎨⎪+<-⎩在1x =-处连续的充分必要条件是【 】P 23A.0a =，b 任意 B. a 任意，2b = C. ,a b 都任意 D. 0a =，2b =13．在给定的自变量变化过程中，下列函数属于无穷小量的是【 】P 15A. 21,39x x x +→- B. 1,0x e x +→ C. 22sin ,0x x x +→ D.31,x x x+→∞ 14．在给定的自变量变化过程中，下列函数中无穷大量的是【 】P 15A.1,1x x →∞- B. 234,1x x x x--→- C.234,4x x x x--→ D. 1,0x x → 15．在给定的自变量变化过程中，下列函数中无穷大量的是【 】P 15A. 1,0xe x +→ B. 1ln 1,x x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭C. sin ,0x x x +→x →+∞二、填空题 16．若x →+∞时，函数()y f x =无限接近于A ，则称 为x →+∞时的极限. P 11 17．若x →-∞时，函数()y f x =无限接近于A ，则称 为x →-∞时的极限. P 1118．()lim x f x →∞= 的充要条件是()()lim lim x x f x f x →+∞→-∞==A P 1119．y =的反函数是 P 320．y =的反函数是 P 3 21．31y x =-的反函数是 P 3第二章 导数与微分一、填空题1．已知sin x t y t =⎧⎨=⎩，则=dx dyP 41 2．已知23x aty bt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则=dxdy P 41 3．已知4cos 3sin x t y t =⎧⎨=⎩，则=dx dyP 41 4．如果函数)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h )()(lim 000 P 32 5．如果函数)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h 3)()(lim 000 P 32 6．如果函数)(x f 在0x 处可导，则=-+→hx f h x f h 3)()(lim 000 P 32 7．函数22y x =当2,0.01x x =∆=时的微分是 P 438．函数33y x =当1,0.01x x =∆=时的微分是 P 439．函数33y x =当1,0.03x x =∆=时的微分是 P 43二、计算题10．已知函数cos y x x =，求y '' P 3811．已知函数xy x12+=，求y '' P 38 12. 已知函数()ln 1y x =+，求y ''P 38 13.求曲线3y x =在点()2,8处的切线方程 P 34 14求曲线3y x =在点()2,8处的法线方程P 3415. 求2y x =在点()1,1处的法线方程P 34第三章 中值定理与导数的应用一、单项选择题 1.设函数()f x 满足在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得【 】P 51A.()0f ξ'= B. ()f ξξ'= C.()f a ξ'= D. ()f b ξ'=二、填空题 2．如果曲线()y f x =在(),a b 内每一点处的切线都在该曲线的 ，则称区间(),a b 为曲线()y f x =的凹区间 P 593．如果曲线()y f x =在(),a b 内每一点处的切线都在该曲线的 ，则称区间(),a b 为曲线()y f x =的凸区间P 59 .4．连续曲线上凹弧与凸弧的 称为曲线)(x f 的拐点P 59 .5. 设函数()f x 满足在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()f a ()f b 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()f ξ'=0 P 516. 设函数()f x 满足在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则函数()f x 在(),a b 内至少存在一点ξ使得()()f b f a -= P 51 7. 设函数()f x 满足在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则函数()f x 在(),a b 内至少存在一点ξ使得()'f ξ= P 51三、计算题8．42sin sin lim22--→x x x P 539．0tan lim x x x→ P 5310．123lim 321-+-→x x x x P 5311. 求函数245)(x x f -=在112x -≤≤上的最大值、最小值 P 58 12. 求函数233)(x x x f -=在14x -≤≤上的最大值、最小值 P 5813. 求函数11243)(234+--=x x x x f 在33x -≤≤上的最大值、最小值P 58四、证明题 14. 当0>x 时，1x x e +< P 3-1 5215 证明：arctan arc cot 2x x π+=,(,)x ∈-∞+∞. P 5216. 当0x >时，sin x x < P 52第四章 不定积分一、单项选择题 1. 设函数的原函数存在，k 为非零常数，则=⎰dx x f k )(【 】 P 67A.⎰dx x f )( B.C.⎰+dx x f k )( D.⎰dx x f k )(2．不定积分()dxx f ⎰表示一族积分曲线()C x F y +=，则曲线族中的每一条曲线对应于同一横坐标0x x =点处的斜率【 】P 66A. 相差一个常数B. 互相平行C. 无规律D. 相同 3．下列等式正确的是【 】P 64A.⎰=)()(x f dx x f dx dB. ()()f x dx f x '=⎰C.()()df x f x =⎰ D. ⎰=)()(x f dx x f d4．下列等式正确的是【 】P 64A.()()df x dx f x c dx =+⎰ B. ()()f x dx f x '=⎰ C.()()df x f x =⎰ D. ()()d f x dx f x dx =⎰5．下列等式正确的是【 】P 64 A.()()Cx f x df +=⎰ B.()()x f dx x f d =⎰C.()()C x f dx x f dx d+=⎰D. ()()x f dx x f ='⎰二、填空题 6．2x dx =⎰ P 647．=⎰dx x 1P 648．xe dx =⎰ P 64三、计算题 9. 求2xxe dx ⎰. P 7310.cos x xdx ⎰ P 7311.dxxe x⎰2 P 73第五章 定积分及其应用一、单项选择题1．椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转而形成的立体体积为【 】P 104A. 2243a b πB. 243a b π C. 243ab π D. 43ab π 2．椭圆12222=+b y a x 绕y 轴旋转而形成的立体体积为【 】P 104 A. 2243a b π B. 243ab π C. 243a b π D. 43ab π 3．由直线,ry x x h h ==及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而形成的立体体积为【 】P 104 A. 13rh π B. 2213r h π C. 243h π D. 213r h π4．()=+⎰dt e dx d x t 21sin 【 】P 92 A.()21sin 2x e x + B. ()21sin x e x ++C. ()x e +1sinD. 0 5．()=+⎰dt e dx d xt 01sin 【 】P 92 A. ()x e x +1sin B. ()x e x ++1sin C. ()x e +1sin D. 0 6．()=+⎰dt t dx d xsin 1【 】P 92 A. x sin 1- B. x sin 1+ C. x x sin + D. x sin7．若b a =，则=⎰dx x f ba)(【 】P 89A.dx x f ab⎰)( B. dx x f ab⎰-)(C. 0D. 18．函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分记作()b af x dx ⎰，其中()f x dx 叫做【 】P 89A. 被积表达式B. 被积函数C. 积分变量D. 积分区间9．函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分记作()baf x dx ⎰，其中()f x 叫做【 】P 89A. 被积表达式B. 被积函数C. 积分变量D. 积分区间10．广义积分211dx x -∞=+⎰【 】P 100A.πB.2π C.0 D. 发散11．广义积分2011dx x +∞=+⎰【 】P 100A.πB.2π C. 0 D. 发散12．广义积分211dx x +∞-∞=+⎰【 】P 100A.πB.2π C. 0D. 发散 二、填空题13．比较积分值的大小⎰102x⎰13dx x P 9114．比较积分值的大小⎰21ln xdx ()221ln x dx ⎰ P 9115．比较积分值的大小dx x ⎰10dxx ⎰12P 91第六章 线性代数及其应用一、单项选择题1．已知1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则=-1A 【 】P 143 A. 2214-⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.2214-⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则=-1A 【 】P 143A. 1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1011⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C. 1222⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D.2214-⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 则=-1A 【 】P 143 A. 2234--⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1121⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2212-⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题4．四阶单位矩阵可以表示为4E = P 137 5.三阶单位矩阵可以表示为3E = P 1376．二阶单位矩阵可以表示为2E = P 137第七章 概率论与数理统计初步一、单项选择题 1.设随机变量X的概率密度为)(x f ，则称()EX xf x dx +∞-∞=⎰为X的【 】P 190A.数学期望B.方差C.极限D. 标准差 2.在概率中我们称()2X EX -的数学期望()()222DX E X EX EX EX =-=-为随机变量X的【 】P 193A.期望B.标准差C. 方差D. 连续3. 设()2X EX -的数学期望为()()222DX E X EX EX EX =-=-，则σ=X的【 】P 193A.期望B. 连续C. 标准差D.方差 4．若A 、B 是二个相互独立的随机事件，()()0.30.6P A P B ==,则()P AB =【 】P 176A. 0.3B. 0.6C. 0.9D. 0.18 5．若A 、B 是二个相互独立的随机事件，()()0.50.6P A P B ==,则()P A B +=【 】P 170A. 0.5B. 0.8C. 0.85D. 1.2 6．设若()()0.50.3P A P AB ==,则条件概率()P B A =【 】．P 172 A. 0.1 B. 0.6C. 0.2D. 0.87．有四张同样的卡片，上面分别写有字母D ，D ，B ，B ，现将四张卡片随意排成一排，恰好排成DBBD 的概率是【 】P 169A.124 B. 112C. 16D. 138．在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1210,、、、从中任取一球，此球号码为偶数的概率是【 】P 169A. 13B. 12C. 14D. 19．将一个正常的骰子连续投掷两次，两次掷出的点数之和等于9的概率是【 】P 169 A.136 B. 118C.19D. 16二、计算题 10.设随机变量()2~1,4X N ,求{}5P x ≥. P 185其中：()00.5000φ=()0.50.6915φ=()10.8413φ=()20.9772φ=11. 设随机变量()2~1,2X N ,求{}1.4 2.2P x -<<. P 185其中：()00.5000φ=()0.50.6915φ=()0.70.7580φ=()1.30.9032φ=12.设随机变量()2~,X N μσ,求{}22P x μδμδ-<<+. P 185其中：()00.5000φ=()0.50.6915φ=()10.8413φ=()30.9987φ=焊接、数控技术应用（专科）专业《数学基础》辅导材料参考答案（2015年4月）第一章 函数、极限与连续一、单项选择题1.B2.C3.B4.B5.B6.B7.B8.C9.B 10.A 11.D 12.D 13.C 14.D 15.A 二、填空题16．A 17．A 18．A 19．31y x =- 20．21y x =+ 21．13x y +=第二章 导数与微分一、填空题1．sec t 2．32bt a3．3cot 4t - 4．)(0'x f - 5．)(310'x f - 6．)(310'x f 7．0.08 8．0.09 9．0.27 二、计算题10．已知函数cos y x x =，求y ''解：cos sin y x x x '=-；sin sin cos y x x x x ''=---2sin cos x x x =-- 11．已知函数x y x12+=，求y '' 解：212ln 2x y x-='；3222ln 2xy x +=''12. 已知函数()ln 1y x =+，求y ''解：11y x'=+；()21111y x x '⎛⎫''==- ⎪+⎝⎭+13. 求曲线3y x =在点()2,8处的切线方程解：因为23y x '=，所以212x y ='=所求切线方程为()8122y x -=- 即12160x y --=14求曲线3y x =在点()2,8处的法线方程 解：因为23y x '=，所以212x y ='=所求法线方程为()18212y x -=-- 即12980x y +-= 15. 求2y x =在点()1,1处的法线方程解：因为2y x '=，所以12x y ='=所求切线方程为()1112y x -=-- 即230x y +-= 第三章 中值定理与导数的应用一、单项选择题 1.A一、填空题2．下方 3．上方 4．分界点 5．= 6．()()'f b a ξ- 7．()()f b f a b a--三、计算题8．42sin sin lim22--→x x x42sin sin lim 22--→x x x 2cos lim 2x x x →=cos 24=9．0tan lim x x x →0tan lim x x x→ 20sec lim 1x x →=1=10．123lim 321-+-→x x x x123lim 321-+-→x x x x21332lim x x x -=→31-=11. 求函数245)(x x f -=在1-≤x ≤21上的最大值、最小值解：设245)(x x f -= 则2454)(xxx f --=' 令0)(='x f 得01=x,2)21(,1)1(,5)0(==-=f f f 所以)(x f 在]21,1[-上的最大值为5)0(=f ，最小值为1)1(=-f12. 求函数233)(x x x f -=在14x -≤≤上的最大值、最小值解： ()2363)(2-=-='x x x x x f 令0)(='x f 得01=x 22=x()164,4)1(,4)2(,0)0(=-=--==f f f f 所以)(x f 在]4,1[-上的最大值为16)4(=f ，最小值为()42)1(==-f f13. 求函数11243)(234+--=x x x x f 在33x -≤≤上的最大值、最小值解： ()()2112241212)(23-+=--='x x x x x x x f 令0)(='x f 得11-=x 02=x 23=x()()283,2443,31)2(,4)1(,1)0(==--=-=-=f f f f f 所以)(x f 在]3,3[-上的最大值为244)3(=-f ，最小值为31)2(-=f一、 证明题14. 当0>x 时，1x x e +<证明： 设()1x f x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf x e '=->，即)(x f 单调增加即()(0)0f x f >=，即10x e x -->，1xe x >+15. 证明：设()arctan arccot f x x x =+则2211()011f x x x'=-=++ 即 f （x ）在(,)-∞+∞内恒为常数又()0arctan 0arc cot 02f π=+=故arctan arc cot 2x x π+=, (,)x ∈-∞+∞16. 当0x >时，sin x x <证明： 设()sin f x x x =-显然当2x π≥时，sin x x <()1cos 0f x x '=-> 02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭即()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调增加,由于()f x 在)2,0[π内连续 即()()sin 00f x x x f =->=即当0<x <2π时，x x <sin综上所述当0x >时，x x <sin第四章 不定积分一、单项选择题1.D2.D3.A4.D5.A 二、填空题6．33x c + 7．C x +ln 8．x e C + 三、计算题 9.2x xe dx ⎰2x xe dx ⎰2xxde =⎰22x x xe e dx =-⎰22x x xe e c =-+ 10. 求cos x xdx ⎰.解：原式sin sin x x xdx =-⎰sin cos x x x c =++11. 求dx xe x ⎰2.解：原式=dx e xe xx ⎰-222121 =c e xe xx +-224121 第五章 定积分及其应用一、单项选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.B7.C8.A9.B 10.B 11.B 12.A 二、填空题13．> 14．> 15．>第六章 线性代数及其应用一、单项选择题 1.C 2.B 3.C 二、填空题4．1000010000100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5．100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 6．1001⎛⎫ ⎪⎝⎭第七章 概率论与数理统计初步一、单项选择题1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.C8.B9.C 二、计算题 10.设随机变量()2~1,4X N ,求{}5P x ≥.其中：()00.5000φ=()0.50.6915φ=()10.8413φ=()20.9772φ=解：{}5P x ≥={}151P x -≥-={}14P x -≥=1444x P -⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭=114x P -⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭=()11φ- =10.8413-=0.158711. 设随机变量()2~1,2X N ,求{}1.4 2.2P x -<<.其中：()00.5000φ=()0.60.7257φ=()0.70.7580φ=()1.20.8849φ=解：{}1.4 2.2P x -<<={}1.411 2.21P x --<-<-={}2.41 1.2P x -<-<= 2.41 1.2222x P --⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭=11.20.62x P -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭=()()0.6 1.2φφ--=()()0.61 1.2φφ--⎡⎤⎣⎦=[]0.725710.8849--=0.610612.设随机变量()2~,X N μσ,求{}22P x μδμδ-<<+.其中：()00.5000φ=()0.50.6915φ=()10.8413φ=()20.9772φ=解：{}22P x μδμδ-<<+={}22P x μδμμμδμ--<-<+-={}22P x δμδ-<-<=22x P δμδδδδ--⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭=22x P μδ-⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭=()()22φφ--=()()212φφ--⎡⎤⎣⎦ =()221φ-=20.97721⨯-=0.9544。