(no.1)2013年高中数学教学论文构造函数证明不等式

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构造函数解不等式

构造函数解不等式构造函数是数学中常用的一种方法，用于解不等式。

不等式是数学中常见的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系。

构造函数解不等式的过程可以帮助我们找到不等式的解集，从而求解各种实际问题。

本文将介绍构造函数解不等式的方法，并通过具体例子来说明其应用。

我们来了解一下构造函数的概念。

构造函数是一种将数学关系转化为函数关系的方法。

通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，并通过函数的性质来求解不等式。

构造函数的基本思路是将不等式中的未知数表示为函数的自变量，并通过对函数的性质进行分析，来确定不等式的解集。

接下来，我们来看一个简单的例子来说明构造函数解不等式的方法。

假设我们要求解不等式2x-3<5。

首先，我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=2x-3。

然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。

由于2x-3是一个线性函数，其图像是一条直线，斜率为2，截距为-3。

我们知道直线的上方表示函数值大于直线上的点，直线的下方表示函数值小于直线上的点。

因此，不等式2x-3<5的解集是x的取值范围使得函数值小于5的区间。

根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为x<4。

上述例子展示了构造函数解不等式的基本思路和方法。

下面，我们来看一些更复杂的例子，以进一步说明构造函数解不等式的应用。

例子1：解不等式x^2-4<0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=x^2-4。

然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。

由于x^2-4是一个二次函数，其图像是一个抛物线，开口向上，顶点为(0,-4)。

我们知道抛物线的上方表示函数值大于抛物线上的点，抛物线的下方表示函数值小于抛物线上的点。

因此，不等式x^2-4<0的解集是x的取值范围使得函数值小于0的区间。

根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为-2<x<2。

例子2：解不等式1/(x-1)>0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=1/(x-1)。

构造函数证明不等式的八种方法

构造函数证明不等式的八种方法一、移项法构造函数1例：1、已知函数 f (x) ln( x 1) x ，求证：当x 1时，但有x x1 ln( 1)1 x2、已知函数f1x 2(x) ae x2（1）若 f (x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围。

（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x二、作差法构造函数证明12例：1、已知函数 f x x ln x( )223g( x) x 的图象下方。

3，求证：在区间(1,) 上，函数 f (x) 的图象在函数思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题- 1 -2、已知函数 f (x) n ln x 的图象在点 P( m , f ( x)) 处的切线方程为 y=x ，设ng( x) mx2ln x ，（1）求证：当 x 1时， g(x) 0恒成立；（2）试讨论关于 x的方x n32 2程g xxex txmx( )根的个数。

x3、换元法构造函数证明例：1、证明：对任意的正整数n ，不等式ln( 1 n1) 1 2n1 3n，都成立。

2、证明：对任意的正整 n ，不等式 ln( 1 n1)1 2n1 3n都成立。

3 23、已知函数 f (x) ln( ax 1) x x ax ，（1）若2 3为 yf ( x) 的极值点，求实数a的值；（2）若 y f (x) 在[1, ) 上增函数，求实数 a 的取值范围。

（3）若 a=-1 时，方程fb3(1 x) (1 x)有实根，求实数 b 的取值范围。

x- 2 -4、从条件特征入手构造函数证明例 1 若函数y f (x) 在R 上可导且满足不等式xf '(x) f ( x) 恒成立，且常数a,b 满足a b，求证：af (a) bf (b)5、主元法构造函数例 1.已知函数 f (x) ln(1 x) x ，g(x) xln x ，（1）求函数 f (x) 的最大值；（2）设a b0 a b，证明：0 g(a) g( b) 2g( ) (b a) ln 226、构造二阶导数函数证明导数的单调性例1：已知函数 f1x 2( x) ae x2，（1）若 f ( x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围；（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）1 x1 1例1：证明当x 0 时，x e 2(1 x)- 3 -8、构造形似函数例1：证明当b a e，证明 b b aa2、已知m、n 都是正整数，且 1 m n ，证明：(1 n n mm) (1 ) 思维挑战21、设a 0 ，f ( x) x 1 ln x 2a ln x ，求证：当x 1时，恒有x ln 2 ln1 2 x a x2 x a x122、已知定义在正实数数集上的函数 f ( x) x 2ax2 2 ，其中a 0，，g (x) 3a ln x b5 2 2且b a 3a ln a2，求证： f (x) g(x)3、已知函数 fx(x) ln(1 x) ，求证：对任意的正数a、b恒有1 xln a ln b 1ba4、f (x) 是定义在(0, ) 上的非负可导数，且满足xf ( ) ( ) 0，对任意正数a、b ，' x f x若a b，则必有（）A. af (x) bf (a)B. bf (a) af (b)C. af (a) f (b)D. bf (b) f (a)- 4 -。

构造函数证明不等式或比较大小

构造函数证明不等式或比较大小在数学中，我们经常需要证明不等式或者比较大小。

构造函数是一个有用的工具，可以用来证明这类问题。

构造函数是一个函数，它的定义域是目标函数的定义域的一个子集，值域是实数集。

我们可以通过构造一个合适的函数，使得这个函数的值与目标函数的值相比较，从而证明不等式或者比较大小。

下面我们将通过几个例子来展示如何使用构造函数来证明不等式或者比较大小。

例1：证明对于任意的正实数x，有x+1>x。

证明：我们可以用构造函数f(x)=x+1来证明这个不等式。

首先我们需要验证这个函数的定义域是正实数集。

显然，对于任意的正实数x，x+1的定义域包含x。

接下来，我们需要验证这个函数的值域是实数集。

由于x是正实数，所以x+1也是实数。

因此，构造函数f(x)=x+1是一个合法的函数。

然后我们来比较f(x)和x的值。

显然，当x取任意正实数时，f(x)都大于x。

因此，我们可以得出结论x+1>x，对于任意的正实数x成立。

例2：证明对于任意的正整数n，有(n+1)²>n²。

证明：我们可以用构造函数f(n)=(n+1)²来证明这个不等式。

首先我们需要验证这个函数的定义域是正整数集。

显然，对于任意的正整数n，(n+1)²的定义域包含n。

接下来，我们需要验证这个函数的值域是实数集。

由于n是正整数，所以(n+1)²也是实数。

因此，构造函数f(n)=(n+1)²是一个合法的函数。

然后我们来比较f(n)和n²的值。

显然，当n取任意正整数时，f(n)都大于n²。

因此，我们可以得出结论(n+1)²>n²，对于任意的正整数n成立。

例3：证明对于任意的非负实数x，有3x³-2x²+x≥0。

证明：我们可以用构造函数f(x)=3x³-2x²+x来证明这个不等式。

首先我们需要验证这个函数的定义域是非负实数集。

构造法证明不等式

构造法证明不等式构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.一、构造一次函数法证明不等式有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.证明：视a为自变量，构造一次函数= 4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段.又= b+c-2bc = (b-c)≥0，= b+c-4b-4c+8 = (b-2)+(c-2)≥0，可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、构造二次函数法证明不等式对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.例2 实数a、b、c满足( a+c)( a+b+c)<0，求证：( b-c )>4a( a+b+c).证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a+c)( a+b+c)<0矛盾，故a = 0时，( b-c )>4a( a+b+c)成立.当a≠0时，构造二次函数= ax+( b-c )x+( a+b+c)，则有= a+b+c，= 2(a+c)，而·= 2( a+c)( a+b+c)<0，∴存在m，当-1【扩展阅读篇】用文字记载一个星期来的自己的思想、、情况的文字记录。

它有别于“流水账”，日记，在于流水账是有就记录什么，不需要作任何修饰和认识的升华，而且内容不限，一周之内可以记录您每一天的任何事情。

而周记就是：每周一次，并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。

周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。

构造函数解不等式

构造函数解不等式我们需要明确什么是构造函数。

构造函数是一种特殊的函数，它的定义域和值域都是实数集。

通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，从而更加直观地进行分析和解决问题。

在解不等式时，我们常常需要考虑不等式的根、极值点和函数的变化趋势。

构造函数可以帮助我们清晰地展示这些信息，从而更好地理解不等式的解集。

接下来，我们将通过几个具体的例子来说明构造函数解不等式的过程和方法。

例1：解不等式x^2-3x<2我们可以构造函数f(x)=x^2-3x-2。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和2，且在-1和2之间的区间内函数值都小于0。

因此，不等式的解集为(-1,2)。

例2：解不等式x^2-4x>5我们可以构造函数g(x)=x^2-4x-5。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和5，且在-1和5之外的区间内函数值都大于0。

因此，不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,∞)。

通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法可以帮助我们直观地分析不等式的解集。

不仅如此，构造函数还可以帮助我们解决更加复杂的不等式问题。

例3：解不等式x^3-3x^2+2x>0我们可以构造函数h(x)=x^3-3x^2+2x。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为0、1和2，且在0和1之间的区间内函数值都小于0，在1和2之间的区间内函数值都大于0。

因此，不等式的解集为(0,1)∪(2,∞)。

通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法在解决高次不等式时也同样有效。

通过构造函数，我们可以更加清晰地理解不等式的解集。

除了以上的例子，构造函数还可以应用于更加复杂的不等式问题，如绝对值不等式、分式不等式等。

通过构造函数，我们可以将这些复杂的不等式转化为函数的形式，从而更好地解决问题。

构造函数是解不等式的一种有效方法。

通过构造一个特定的函数，我们可以直观地分析不等式的解集。

构造函数不仅适用于简单的一元不等式，还适用于高次不等式和复杂的不等式问题。

构造函数证明不等式的八种方法

构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。

例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。

例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。

例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。

7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。

例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。

下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。

此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。

构造函数证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。

一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

例1. 设：a 、b 、c ∈R ，证明：0)(322≥+++++c b a b c ac a 成立，并指出等号何时成立。

解析：令bc b c a c b a a f 33)3()(222+++++=⊿＝2222)(3)33(4)3(c b bc b c c b +-=++-+∵b 、c ∈R ，∴⊿≤0即：0)(≥a f ，∴0)(322≥+++++c b a b c ac a 恒成立。

当⊿＝0时，0=+c b ，此时，0)(3)(222=-=+++=c a ab c ac a a f ，∴c b a =-=时，不等式取等号。

例2. 已知：R c b a ∈,,且2,2222=++=++c b a c b a ，求证： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0,,c b a 。

解析：⎩⎨⎧=++=++22222c b a c b a 消去c 得：012)2(22=+-+-+b b a b a ，此方程恒成立， ∴⊿＝043)12(4)2(222≥+-=+---b b b b b ，即：340≤≤b 。

同理可求得∈c a ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 ② 构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=由0)(≥x f ，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例3. 设+∈R d c b a ,,,且1=+++d c b a ，求证：14141414+++++++d c b a ﹤6。

高中数学教学论文不等式证明中的构造函数策略

不等式证明中的构造函数策略有些不等式证明问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，则可以顺利得到证明。

把握这种构造函数的证题策略，有利于证明一些用常规方法难以证明的命题.一、构造一次函数证明不等式例1. 设0<x<1，0<y<1，0<z<1，求证：x (1－y) + y(1－z) + z(1－x)<1.分析：把结论的左式看成以x为主元的一次函数，利用一次函数的单调性即可得证.证明：设f(x)=x(1－y)+y(1－z)+z(1－x) =(1－y－z)x+(y+z－yz)（0<x<1）∵0<y<1 ，0<z<1∴f(0)= y + z－yz =1－(1－y)(1－z)<1 f(1)= 1－yz <1∴当x∈(0，1)时，f(x)<1即x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) <1评注：⑴f(x) = (1－y－z)x + (y+z－yz)在x∈(0，1)上的图象是线段（不含端点），故f(x)<1⇔f(0)<1且f(1)<0.⑵本题也可就1－y－z在（－1，1）内的不同情况分类说明.二、构造二次函数证明不等式例2.若0<a<b1，求证：b－b2 <11+a.分析：结论即b2－b+11+a>0，可将左式看成是以b为主元的二次函数（其中0<b<a1），再予以证明.证明：令b=x，由0<a<b1，得x=b∈(0，a1).构造二次函数f(x)=x2－x+11+a， x∈(0，a1).其对称轴为x=21⑴当a1≤21，即a≥2时，f(x)在(0，a1)上单调递减.于是f(x)>f(a1)=)1(1111122+=++-aaaaa>0⑵当a1>21，即0<a<2时，有f(x) > f(21) =11+a－41>0综上，当x∈(0，a1)时，f(x) = x2－x + 11+a>0恒成立,即不等式b－b2<11+a成立.评注：1、本题旨在构造二次函数，并对定轴x=21与动区间（0，a1）间的不同位置情况分类讨论。

构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理

构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理1.构造多项式函数法：通过构造一个多项式函数来证明不等式。

例如，要证明当$x>0$时，$x^3+x^2+x+1>0$，我们可以构造多项式$f(x)=x^3+x^2+x+1$，然后证明$f(x)$的系数全为正数，从而得到结论。

2. 构造变形函数法：通过构造一个特定的变形函数来证明不等式。

例如，要证明当$x>0$时，$x+\frac{1}{x}>2$，我们可以构造变形函数$f(x)=x+\frac{1}{x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。

3. 构造反函数法：通过构造一个特定的反函数来证明不等式。

例如，要证明当$x>0$时，$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}>2$，我们可以构造反函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。

4. 构造积分函数法：通过构造一个特定的积分函数来证明不等式。

例如，要证明当$x>0$时，$\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt<x$，我们可以构造积分函数$f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt-x$，然后证明$f(x)$的取值范围为负数，从而得到结论。

5. 构造递推函数法：通过构造一个特定的递推函数来证明不等式。

例如，要证明$n$个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，我们可以构造递推函数$f(n)=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}-\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}$，然后证明$f(n)$关于$n$的递推关系为非负数，从而得到结论。

6. 构造交换函数法：通过构造一个特定的交换函数来证明不等式。

例如，要证明当$x,y,z>0$时，$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$，我们可以构造交换函数$f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz$，然后证明$f(x,y,z)$在$x,y,z$的任意交换下都保持不变或增加，从而得到结论。

例析用构造函数法证明不等式的思路

知识导航不等式证明问题是高考中的常规题型，而构造函数法是解答此类问题的基本方法.它是通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数最值问题进行求解的方法.而求函数最值的方法有很多，如基本不等式法、换元法、利用函数的图象与性质、导数法等.下面结合具体题目来进行分析.例1.已知x>-1，求证：1-1x+1≤ln(x+1)≤x.分析:所证明不等式中既含有分式又含有指数函数，很难建立起它们之间的关系，不妨把不等式拆分为两个不等式，分别构造新的函数f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=ln(x+1)-1x+1-1，将问题转化为证明f(x)max≤0，g(x)min≥0.继而对f(x),g(x)求导，求出其零点、判断函数单调性，结合定义域求出极值，从而证明f(x)max≤0，g(x)min≥0，便可证明1-1x+1≤ln(x+1)≤x成立.证明：令f(x)=ln(x+1)-x，则f′(x)=1x+1-1=-x x+1，令f′(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时，f′(x)>0,f(x)单调递增，当x>0时，f′(x)<0,f(x)单调递减，因此当x>-1时，f(x)max=f(0)=ln1-0=0，即f(x)=ln(x+1)-x≤0，可证明ln(x+1)≤x.再令g(x)=ln(x+1)+1x+1-1，则g′(x)=x()x+12，令g′(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时，g′(x)<0,g(x)单调递减，当x>0时，g′(x)<0,g(x)单调递增，因此当x>-1时，g(x)min=g(0)=0，即当-1<x<0时，g(x)=ln(x+1)+1x+1-1≥0，所以1-1x+1≤ln(x+1).综合可得证：1-1x+1≤ln(x+1)≤x.例2.已知f(x)=ln(x+1)+x+1-1，证明：当0<x<2时，f(x)<9x x+6.证明：令g(x)=f(x)-9x x+6=ln(x+1)+x+1-1-9xx+6，∴g′(x)x+1)54(x+6)2，∵x+1+x+1，∴x+1≤x2+1，∴g′(x)=-54(x+6)2<x+64(x+1)-54(x+6)2=(x+6)3-216(x+1)4(x+1)(x+6)2，∴g″(x)=3(x+6)2-216，在0<x<2时，g″(x)=3(x+6)2-216<0,∴g′(x)=(x+6)3-216(x+1)4(x+1)(x+6)2在定义域内单调递减,又g′(0)=0，∴g′(x)<0，∴在0<x<2上，函数g(x)单调递减，即g(x)max=g(0)=0，∴g(x)=f(x)-9x x+6<0,∴f(x)<9x x+6.本题直接运用了构造函数法进行求解，首先将不等式变形，构造函数g(x)=f(x)-9x x+6，从而问题转化为证明g(x)max<0.由于在对g(x)求导后，无法直接探究其导函数的零点和在区间上的正负符号，所以需要对其导函数再次求导，求其零点和在区间上的正负符号，进而确定函数g(x)的单调性、最值，证明不等式成立.通过上述分析，我们可以发现，运用构造函数法解答不等式证明问题的关键是求新函数的最值.上述两个例题在求函数的最值时都用到了导数法，其基本思路是：第一步，将不等式变形，构造合适的函数；第二步，对函数求导；第三步，求导函数的零点，研究导函数在区间上的正负符号，判断函数的单调性；第四步，求函数的极值、最值，证明不等式成立.在运用上述思路解题时，同学们要灵活运用函数求导的基本技巧，从而顺利解题.（作者单位：山东省北镇中学）王妍37。

学法指导—构造函数证明不等式

构造函数证明不等式一、引例1．证明：)1(0)1ln(->≤-+x x x 证明：设xxx k x x x k +-=-+=1)(,)1ln()(')0()(,)(0)(,0)(),0()(,0)()0,1(''=≤∴=∴∴<+∞∈∴∴>-∈∴k x k x k x x k x k x x k x k x 的极大值点为为单调递减函数时为单调递增函数时即x x x x ≤+∴≤-+)1ln(,0)1ln(思考1：证明：).2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n nn 思考1证明：由1知,01,)1ln(>+≤+x x x 又设1ln 0,1-≤∴>+=t t t x t 则22*2222222222222222ln 11,2,ln 1,1,ln 11(1),2ln 2ln 3ln 1111...(11...1)2322311111111[(1)(...)][(1)...]22322334(1)1111111[1(...]223341n n n N n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n -∈≥≤-∴≤=-∴≤-∴+++≤-+-++-=--+++<--+++⨯⨯+=---+-++-+ 211121[1()]2214(1)n n n n n --=---=++2 当1t >时，证明：11ln 1t t t-<<-。

2证明：令()1ln g t t t =--，1()1g t t'=- 由(1,)t ∈+∞知()0g t '>∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于是ln 1t t <- 令1()ln 1h t t t =-+，22111()t h t t t t-'=-= 由(1,)t ∈+∞知()0h t '> ∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是1ln 1t t >-∴11ln 1t t t-<<-思考2：已知函数2()(1)2(1)x f x x x =≠-，各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =，（1）求证：1111ln n nn a n a ++-<<-；（2）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<。

(no.1)2013年高中数学教学论文合理构造函数解导数问题

例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题）已知函数()()ax x x ax x f --++=231ln . (1) 若32为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()xbx x f =---311有实根，求实数b 的取值范围。

解：（1）因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)32(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a（2）显然(),2312a x x ax ax f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。

同时a x x --232此函数是31<x 时递减，31>x 时递增，故此我们只需要保证()02311≥--++='a a af ，解得：.2510+≤≤a （3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于0>x ，所以：()2ln x x x x b -+=32ln x x x x -+=()2321ln x x x x g -++=' ()xx x x x x g 1266212---=-+='' 当6710+<<x 时，(),0>''x g 所以()x g '在6710+<<x 上递增；当671+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+>x 上递减；又(),01='g ().6710,000+<<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减；当10<<x x 时，(),0>'x g 所以10<<x x 上递增；2当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减；又当+∞→x 时，(),-∞→x g()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g当0→x 时，,041ln <+x 则(),0<x g 且()01=g ∴b 的取值范围为(].0,∞-()xx x x x x g 1266212---=-+=''，()2321ln x x x x g -++='，()32ln x x x x x g -+=方法二、构造：()2ln x x x x G -+=()()()xx x x x x x x x x x x G 112121221122-+-=---=++-=-+=' 0>x 10<<∴x ()0>'x G 从而()x G 在()1,0上为增函数；(),0,1<'>x G x 从而()x G 在()+∞,1上为减函数()()01=≤∴G x G 而0>x ()0≤⋅=∴x G x b 0≤∴b分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

构造函数法证明不等式的八种方法.doc

构造函数法证明不等式的八种方法.doc构造函数法是一种证明不等式的有效方法。

构造函数法是通过构造函数来证明不等式的真实性。

构造函数是函数的一种特殊形式，它是根据不等式中的条件和限制而构造出来的函数。

构造函数法的基本思路是，通过构造函数将原不等式转化为更容易证明的形式，进而通过对构造函数的研究来证明原不等式的真实性。

本文将介绍构造函数法证明不等式的八种方法。

一、线性函数法线性函数法是基于线性函数的构造函数法，它是构造函数法中最简单的方法之一。

线性函数法的思路是，构造一个线性函数，使得该函数在不等式限制下达到最大值或最小值。

例如，证明如下不等式：$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq\frac{3}{2}$$将不等式两边都乘以$2(b+1)(c+1)(a+1)$得：$$2a(c+1)(b+1)+2b(a+1)(c+1)+2c(b+1)(a+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)$$此时，可以构造如下的线性函数$f(x,y,z)$:容易发现，$f(x,y,z)$在限制条件$x,y,z\geq 0$，$xy+yz+zx=3$下，达到最大值$\frac{3}{2}$。

因此，原不等式成立。

二、对数函数法对数函数法是基于对数函数的构造函数法，它常用于证明形如$a^x+b^y+c^z\geq k$的不等式，其中$a,b,c,x,y,z,k$均为正实数。

对数函数法的思路是，构造一个对数函数，使得该函数满足$g(x,y,z)\leq\ln(a^x+b^y+c^z)$，进而证明$g(x,y,z)\leq\ln k$，从而得到原不等式的证明。

例如，证明如下不等式：考虑构造如下的对数函数：$$g(x)=\ln\left(\frac{4a^3x+6}{5a^2x+2ax+5}\right)-\frac{3}{4}\ln x$$不难证明，$g(x)$在$x\geq 1$时单调递减且$g(1)=0$，因此$g(x)\leq 0$。

第3节微课1 构造函数证明不等式

索引
只要需证证x11x＋1x＋1x1x22x＞2＞4－2(22a－，a)＝－x12－lnxxx221(*)，不妨设x2＞x1＞0. 要即证证(2*l)n式xx21成＋立xx12，－只xx21＜要0证. xx12－xx21＜－2lnxx21，令 t＝xx21(t＞1)，则 h(t)＝2ln t－t＋1t . ∵h′(t)＝2t －1－t12＝－1t －12＜0，
因为 x≥1，所以 h′(x)＝lnx2x＋eex＋1>0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以 h(x)≥h(1)＝0，即 1－lnxx－eex－1x＋x≥0.
故当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥2x.
01 02 03 04 05 06
索引
2.(2021·武汉模拟)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
索引
感悟升华
某些不等式，直接构造不易求最值，可利用条件与不等式性质，适当放缩后，再构造函数进行证明.
索引
【训练 2】已知函数 f(x)＝ln x－alxn2 x.
()＝ln x－lnx2x，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝x1－1－x23ln x＝x2－1x＋3 2ln x
证∵明当x∈当(0a，＝10)时，，x∈ex(∈0，(11，)时e)，，x－2－ln1xx<>f（0，exx）等价于－elnx x＋x2－x1<0，
∴∴只－e需lnx 要x<证－－lnlxn，x＋x2－1x<0 在(0，1)上恒成立. 令 g(x)＝－ln x＋x2－1x，x∈(0，1)， ∴g′(x)＝－1x＋2x＋x12＝2x3－x2x＋1>0，

构造函数法证明不等式

构造函数法证明不等式要证明一个不等式，一种常见的方法是使用构造函数法。

构造函数法是通过构造一个满足不等式的函数来证明不等式的正确性。

下面我们来具体说明如何使用构造函数证明一个不等式。

首先，我们需要明确待证明的不等式是什么。

假设我们需要证明的不等式是:f(x) \leq g(x)\]其中，f(x)和g(x)是关于x的函数。

接下来，我们需要构造一个满足不等式的函数h(x)。

我们的目标是证明h(x)满足:f(x) \leq h(x) \leq g(x)\]通过这个中间函数h(x)，我们可以将不等式分解成两个更简单的不等式。

为了构造适当的函数h(x)，我们可以考虑函数的性质，例如导数、零点、拐点等。

以下是几种常见的构造函数的方法:1. 加减常数法: 可以通过给f(x)或g(x)加减一个适当的常数来构造函数h(x)，使得f(x) \leq h(x) \leq g(x)。

例如，如果我们想证明 x^2 \leq x^3，我们可以通过构造一个函数h(x) = x^2 + 1来证明。

显然，对于任意的x，x^2 + 1 \geq x^2，并且x^2 + 1 \leq x^3（因为x^2 \leq x^3对于所有的x成立）。

2. 乘除法: 可以通过乘以或者除以一个适当的函数来构造函数h(x)。

例如，如果我们想证明 x^2\leq x^4，我们可以通过构造一个函数h(x)= \frac{1}{x^2}来证明。

当 x>0时，显然x^2 \leq \frac{1}{x^2}，而当 0\leq x \leq 1时， x^4 \geq x^2、因此，对于所有的x，\frac{1}{x^2} \geq x^2\leq x^43.对函数取导数:如果我们可以找到f(x)和g(x)的导数，并证明导数的关系成立，则可以通过证明导数的关系来证明原始函数的关系。

例如，如果我们想证明 x \leq e^x，我们可以比较两个函数的斜率。

我们知道导数表达式 d/dx(x) = 1 小于 d/dx(e^x) = e^x。

构造函数证明不等式

突破疑难点1构造函数证明不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x＜x＜e x(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．突破疑难点2利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．突破疑难点3两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.突破疑难点4两法破解由零点个数确定参数问题已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．。

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