第4章根轨迹
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第四章 根轨迹
求得
s 1 = − 0 . 422 , s 2 = − 1 . 578
法2： D ( s ) N ′( s ) − D ′( s ) N ( s ) = 0 可得 3 s 2 + 6 s + 2 = 0
s1 = −0.422, s2 = −1.578
§4-2根轨迹的绘制法则
验证：由于 s 2 ∈ [ − 2 , − 1] ，不存在根轨迹，故不 是分离点。而 s1不仅属于[-1，0]且能使 K g > 0 ，s2 使 Kg < 0 注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有 效。 5、根轨迹的渐近线
§4-2根轨迹的绘制法则
２.根轨迹数（分支数）和它的对称数 根轨迹数（分支数） 分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共 轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。 ３.实轴上的根轨迹 由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总 数 为奇数，则该区段为一根轨迹分支 由辐角条件可知：
K g → ∞时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处
，成为一条直线，即根轨迹渐近线。
§4-2根轨迹的绘制法则
（1）倾角：开环有限零点极点到无穷远特征 根矢量辐角都相等 α i = β i = ϕ ，即由辐角条件
∑α − ∑ β
i =1 i j =1
m
n
j
= m ϕ − n ϕ = ( 2 k + 1)π , k ∈ Z
§4-2根轨迹的绘制法则
设闭环系统特征方程为：F(s) = Kg (s)N(s) + D(s) = 0
Kg > 0 若有重根将使 F ′ ( s ) = 0 ∴ K g N ′( s ) + D ′( s ) = 0
自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
第4章 根轨迹法
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
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自动控制原理
实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
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根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
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例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K＊ s2 K＊=0 1 -1 -2 K＊ ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
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第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自动控制原理第4章根轨迹法精
上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图 时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
第4章 根轨迹
3
例：
R(S) -
K S ( 0 . 5 S + 1)
C(S)
K →∞
2K 闭环传递函数 Φ ( s ) = 2 S + 2S + 2K
特征方程式
K＝0.5 K＝0
S + 2 S + 2 K ＝0
2
×
-1
× 0
K＝0
S 1，＝－ 1 ± 1－ 2 K 2
K＝0 → ∞
解析法 全部闭环极点，标注在S 全部闭环极点，标注在S 平面上， 平面上，连成光滑的曲线
1+ K
∏（ ∏（
j =1 i=1 n
m
s z i） s p j）
= 0
11
法则1 根轨迹起于开环极点， 法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明
（ s－ p j） K ∏ s－ z i） 0 + （ = ∏
j =1 i =1
n
m
K ＝0
s = pj
K ＝∞
s = zi
大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认 大部分开环传递函数的极点多于零点， n>m， 为在s平面的无限远处有（ 个零点。 n， 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m > n，必 个极点在s平面的无限远处。 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。
4
θ
2
×
θ
×
2 s0
× 0
1
1
σ
由图可见, 点左边开环实数零极点到s 由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, 点右边开环实数零极点到s 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为π 量相角均为π, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立: 相角条件成立:
例：
R(S) -
K S ( 0 . 5 S + 1)
C(S)
K →∞
2K 闭环传递函数 Φ ( s ) = 2 S + 2S + 2K
特征方程式
K＝0.5 K＝0
S + 2 S + 2 K ＝0
2
×
-1
× 0
K＝0
S 1，＝－ 1 ± 1－ 2 K 2
K＝0 → ∞
解析法 全部闭环极点，标注在S 全部闭环极点，标注在S 平面上， 平面上，连成光滑的曲线
1+ K
∏（ ∏（
j =1 i=1 n
m
s z i） s p j）
= 0
11
法则1 根轨迹起于开环极点， 法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明
（ s－ p j） K ∏ s－ z i） 0 + （ = ∏
j =1 i =1
n
m
K ＝0
s = pj
K ＝∞
s = zi
大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认 大部分开环传递函数的极点多于零点， n>m， 为在s平面的无限远处有（ 个零点。 n， 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m > n，必 个极点在s平面的无限远处。 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。
4
θ
2
×
θ
×
2 s0
× 0
1
1
σ
由图可见, 点左边开环实数零极点到s 由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, 点右边开环实数零极点到s 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为π 量相角均为π, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立: 相角条件成立:
第四章根轨迹分析法
若G(s)为闭环传函，则-z和-p为闭环零、极点; 若G(s)为开环传函，则-z和-p为开环零、极点。 必须指出：a 闭环极点就是特征根。
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
第4章根轨迹
试绘制系统的根轨迹图
20
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为
分离点或会合点。 例：
kr
B
kr k r 0 k r 0
z
p2
Ap 1
有开环极点 p 1 , p 2 ，零点 z ,
从点相k r遇 分0 ,离即，到pB1 ,点p 2相遇处会出合发。在当A
12
例４-１ 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s)Kr(s22s2) s(s1)s(2)
试确定系统的根轨迹图。
解 : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2， z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图４-５所示。
图中，“×”表示开环传递函 数的极点，“°”表示开环传递函 数的零点。系统的三条根轨迹起 始于三个开环传递函数的极点， 其中两条根轨迹终止于开环传递 函数的两个零点，另一条趋于无 穷远。
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常 需要求得这一交点和相应的Kr值。
设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
1G (j)H (j)0
解方程即可求得ω，Ｋｒ
例4-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s) Kr(s2) s(s3)s(22s2)
绘制系统的根轨迹图。
4
4.1.1根轨迹
设系统的结构如图所示。其中，Ｋｒ为零、极点形式下 开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为
C(s) R(s)
s2
Kr 2sKr
s1.21 1Kr
5
可得出以下几点：
1）０＜Ｋｒ＜１时，系统有 两个不相等的实数根，呈过阻尼 状态。
20
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为
分离点或会合点。 例：
kr
B
kr k r 0 k r 0
z
p2
Ap 1
有开环极点 p 1 , p 2 ，零点 z ,
从点相k r遇 分0 ,离即，到pB1 ,点p 2相遇处会出合发。在当A
12
例４-１ 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s)Kr(s22s2) s(s1)s(2)
试确定系统的根轨迹图。
解 : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2， z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图４-５所示。
图中，“×”表示开环传递函 数的极点，“°”表示开环传递函 数的零点。系统的三条根轨迹起 始于三个开环传递函数的极点， 其中两条根轨迹终止于开环传递 函数的两个零点，另一条趋于无 穷远。
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常 需要求得这一交点和相应的Kr值。
设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
1G (j)H (j)0
解方程即可求得ω，Ｋｒ
例4-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s) Kr(s2) s(s3)s(22s2)
绘制系统的根轨迹图。
4
4.1.1根轨迹
设系统的结构如图所示。其中，Ｋｒ为零、极点形式下 开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为
C(s) R(s)
s2
Kr 2sKr
s1.21 1Kr
5
可得出以下几点：
1）０＜Ｋｒ＜１时，系统有 两个不相等的实数根，呈过阻尼 状态。
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
第10讲第4章根轨迹
4.5.2 开环零极点对系统的影响
对于图4-1所描述的系统，影响系统稳定性有三 大因素：开环增益、开环极点、开环零点影响，请看图4-13所示的例子。
图4-13a,b 开环零、极点对系统的影响
第四章 根轨迹法
图4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响 第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
(b)
(c)
(d)
(e)
第四章 根轨迹法
(f)
4.5.4 闭环零极点与时间响应
系统的动态性能最终体现在时间响应，影响时间响 应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。在第三章 中已经分析：时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、 极点，时间响应的稳态分量主要取决于输入函数。 如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极 点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极 点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子 exp(sit)——称为系统的一个模态（Mode），si在S平 面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。
图4-13（a）-（d）所对应的系统开环传递函数 分别为：
a 图 : 图 : b 图 : c 图 : d
1 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s − 2) s −3 G(s)H(s) = s(s + 2)
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
j
σ
——闭环极点位置
———
的共轭
图4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式
第四章 根轨迹法
设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根 据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主 导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与 虚轴距离的2～5倍，这样系统的时间响应就主要取决 于一对主导极点。 主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于 如图4-5虚轴左边60o扇形区内，且离虚轴有一定的距 离，其理由在于： 1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态 性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性 能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应 速度。
第四章 根轨迹法
2 当 K1 a 时，则两根为实数且相等，即
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
第四章根轨迹法
s z i ( i 1, 2, , m )
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2,, n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s 2 2 s 2) k ( s 1) 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
6k 3 k
2
k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
F ( s) 3s 2 kc 0
d s 2 3s 3.25 ds s 1 0
0
s=
2 2 0.25 0 解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)| k | s zi | | s pi |
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
第四章根轨迹方程
第四章根轨迹法4-1 根轨迹的基本概念一. 根轨迹概念：闭环系统的动态性能与闭环极点在s平面上的位置密切相关，系统的闭环极点也就是特征方程式的根•当系统的某一个或某些参量变化时，特征方程的根在s平面上运动的轨迹称为根轨迹•根轨迹法：直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法•例: 设控制系统如图4-1所示KG ss(0.5s +1 )2K K os s 2 s s 2 '开环极点：P i = 0 , p 2 = -2s(0.5s+1)C(s)图4-1控制系统的结构图2s式中K°=2K此系统的特征方程式可写为: A(s)=s2+2s+Kt = 0= 1±』1—K0讨论：K 0 =0时，S t = 0, s2 - -2K 0 =1 时，s’ = -1, S2 = -1K 0=2 时，s’ - -1 • j , s2- -1 - jK 0=::时，为=一1 • j ：：， s2= T _j ：：令k为0 %.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标住在S 平面上，并连成光滑的粗实线，如图 4-2所示。
图上，粗实线就称 为系统的根轨迹。
分析：1. K o变化时,根轨迹均位于左半S 平面,系统恒稳定.2. 根轨迹有两条，两个起点s 1 =0,s 2 - -23.0 :：: Ko<1时,闭环特征根为负实根，呈过阻尼状态.K o 为可变参量绘制的根轨迹，称为常规根轨迹.、根轨迹的幅值条件和相角条件设单闭环控制系统框图如图:通常有两种表示形式： A .时间常数形式：mK | ]( .jS - 1)j —G (s)H (s)二一—| ] (「s ■ 1)4. K o =1时,闭环特征根为一对重根，响应为单调上升的指 数曲线•5.Ko.1时,闭环特征根为共轭复根，响应为衰减振荡•6. 开环增益K 可有根轨迹 上对应的K o值求得.kFHI Utt 的剋亡k->w -k*2. 5-2s2^2s+2k的根轨迹图k=2.5-1图4-3控制系统的结构图i ±K o 口(s —Z j ) B •零、极点形式：G(s)H(s) 上…(s _ P i)i _L则，系统特征方程：1+G(s)H(s)=O 二G(s)H(s)= -1 二幅值条件：|G(s)H(s)|=1相角条件：J3(s)H(s)= ±2k+1) n,k=0,1,2,…考虑开环传递函数一般形式：G(s)H (s)mK o|] (s-Z j)j 二nni =1-------- ，因此(S — P i)mKoi【|S -Z j Ij二幅值条件：—nI丨丨S - P i丨i -1K°nI 丨| ^ _ p i |i -1mII |s - Z j Ij丄m n相角条件：'• •(s-Z j)—7 • (s — P j) = ±2q+1) n, q=0,1,2,…j -1 i -1说明：幅值条件与K0有关，而相角条件与K0无关。
第4章 根轨迹
第四章 根轨迹法
目
录
§4.1 根轨迹的基本概念 §4.2 绘制典型根轨迹 §4.3 特殊根轨迹图 §4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 §4.5 控制系统的根轨迹分析 小 结
第四章 根轨迹法
§4.1
根轨迹的基本概念
4.1.1 什么是根轨迹
图4-1
反馈控制系统
第四章 根轨迹法
考虑图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递 函数为： K
第四章 根轨迹法
知识要点
传递函数的零极点表示，根轨迹的概念， 根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等 效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系 统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系 统闭环零极点及系统性能指标。
第四章 根轨迹法
线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环 系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统 的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调 整开环增益是改变闭环极点的常用办法。 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的 根轨迹就是系统的某个参数连 闭环特征根。所谓根轨迹 根轨迹 续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
第四章 根轨迹法
基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离 点的座标λ，是下列代数方程的解：
m 1 1 ∑λ − p = ∑λ − z i=1 l =1 i l n
∠G(s)H(s) = ±(2k +1)1800
k = 0,1,2,L
在S平面上，给定了幅值和相角，就对应一个 固定的点，所以既满足幅值条件又满足相角条件 的S值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极 点。
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二．绘制系统§根４轨－１迹根的轨依迹据的基本概念
图示系统的特征方程 1 G(S)H(S) 0 G(S)H (S) ——开环传函
G
H
绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改 写为 G(S)H (S) 1
G(S)H (S)是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的 幅值和相角分别相等的条件，可以得到
，
S2
1 2
1 2
1 4K
§当４K=－0时１，根S轨1=迹0，的S基2=-本1 概念
令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解 析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值，将 这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的粗实 线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随 着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋势。
∞ K K=0× -1 K
∞
×
ds
上式的根
s1,2 6
36 24 0.423,1.577 6
因为分离点在０至－１之间，故 s1 0.423
为分离点的坐标，而舍弃 s2 1.577
jω
j2
K1=6
-1 60°-0.423
××
-60° σ
K1=6
j 2
用幅值条件确定分离点的增益：
k1 s 0 s 1 s 2 0.4230.5771.577 0.385
1.25
５．求根轨迹的分离点
系统的特征方程
S(S 3)(S 2 2S 2) K1 0 K1 S(S 3)(S 2 2S 2) (S 4 5S 3 8S 2 6S) dK1 4(S 3 3.75S 2 4S 1.5) 0 ds
70
2×p2
p2
105
o z
1 Z
130
0×p1 p1
90
× p4
p4
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析
例４－３ 设一反馈控制系统的开环传函
G(S)H (S)
K1
S (S 3)(S 2 2S 2)
绘制 K1变化时的系统根轨迹。
解：１.在Ｓ平面中标出开环极点． p1 0, p2 3, p3,4 1 j1
幅值条件改写
m
(s z j ) j 1
n
(s pi )
1 K1
i 1
jω ∞
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ pi ，即起点是开环极点。∞
当 K1 ，必有Ｓ＝ z j ，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于 无穷远处。
-2
-1 60°-0.423
×
××
-60° σ
点，使其满足相角条件。
然后连成光滑曲线，最后
K1=6
j 2
逐渐靠近渐近线。
§４－２绘制根轨迹的基本规则
八.根轨迹的出射角和入 确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根 轨迹的出射角（或入射角）．
根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方
举例如题，G(S)
K S(S 1)
，起点：０，－１，无零点，n=２，
m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞
三．根轨§迹４的－分２支绘制数根轨迹的基本规则
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
四．实轴上的根轨迹
在实轴上存在根轨迹的 条件是，其右边开环零点和 开环极点数目之和为奇数。
设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属
（２） 当Ｋ＝０.25时，两 特征根重合，均为－0.5，系 统处于临界阻尼状态。
jω ∞
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
∞
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭 复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰 减振荡过程。
由以上分析得知：
根轨迹就是控制系统特征方程的根随系统 参数变化在S平面上移动的轨迹。根轨迹表明 了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可 以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统 参数之间的关系。
q 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线
只有（n－m）条．
§４－２绘制根轨迹的基本规则
２.渐近线与实轴的交点
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
渐近线的交点总在实轴上，即 a 必为实数．在计 算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互 抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 上式的根为 S 2.3 ， S 0.725 j0.365 。只 有 S 2.3 是实际分离点。
对应分离点的 K1 值可按幅值条件确定
K1 S pi
1
K1
s s 3 s 1 j1 s 1 j1 s 2.3
2.3 0.7 1.641.64 4.33
jω K=0.×25K=0
σ
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
（１） 当０<Ｋ< ０.25时， 闭环特征根为实根，系统是过 阻尼状态，阶跃响应为非周期 过程。
第四章 根轨迹法
控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响 应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面上 分布的位置有关。
决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这 些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了 系统的基本特性。
为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹法， 令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴趣的参 数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在Ｓ平面上 描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。
§４－２绘制根轨迹的基本规则
七.根轨迹与虚轴的交点
当 K1增加到一定数值时，根轨迹可能穿过 虚轴，进入右半Ｓ平面，这表示将出现实部为 正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹 与虚轴的焦点，并计算对应的使系统处于临界 稳定状态的开环增益K1 。
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
６．求根轨迹在 p3 的出射角
p 180 (135 90 26.6) 431 .6
(减去360 ，为 71.6）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
此处利用劳斯判据，由特征方程
列劳斯表
s 4 5s 3 8s 2 6s K1 0
p5 180 z ( p1 p2 p3 p4 )
180 105 (130 70 40 90) 35
用量角器量后，得 p5， 在图上标出 。 p5 p4的出射角和 p5对称。
p5 ×
35p5
× p3 40 3.5 p3
j 1
i 1
§４－２绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
向的夹角称为出射角．出射角表示根轨迹从复数极点
出发时的走向．
开环复数极点处，根轨迹的出射角为 p 180
开环复数零点处，根轨迹的入射角为 z 180
式中
z p
即 为其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角
§４－２绘制根轨迹的基本规则 求从 p5 出发根轨迹的出射角。
于根轨迹的线段，首先在 p3
和 z1 之间任选一个试验点 s1 。
jω
×p 1
s1
o
*×
z1
p3
σ
×
p2
１．共轭复数§极４点－到２s的绘1 幅制角根之轨迹的基本规则
和为０°，相互抵消，因此开
环共轭复数极点、零点对实轴 上根轨迹的位置没有影响，仅 取决于实轴上的开环零、极点。
×p 1
２．若实轴上的某一段是根轨迹， 一定满足相角条件。试验点左 侧的开环零、极点提供的相角 为０°,而右侧的相角为180°。
§４－１根轨迹的基本概念
G(S)H (S) 1
G(S)H (S) 180(2q 1),
q 0， 1， 2，…
这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘 制系统根轨迹的重要依据。
现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件 转换成实用的形式。
将开环传递函§数４写－成１下根列轨标迹准的的基因本子概式念
m
K1
(s z j )
G(S)H (S)
j 1
n
(s pi )
i 1
z j －开环零点．
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
pi －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
m
K1
s zj
j 1 n
1
（＊）
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