2012-2013年下学期盐城市高二数学调研试卷(文)及答案

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江苏省盐城市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)苏教版

江苏省盐城市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)苏教版

2012-2013学年某某省某某市高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)命题p“∀x∈R,sinx≤1”的否定是∃x∈R,sinx>1 .考点:命题的否定.专题:综合题.分析:直接把语句进行否定即可,注意否定时∀对应∃,≤对应>.解答:解:根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R,sinx≤1”的否定是:∃x∈R,sinx>1.故答案为:∃x∈R,sinx>1.点评:本题考查了命题的否定,注意一些否定符号和词语的对应.2.(5分)已知复数z满足z=i(2﹣i)(其中i为虚数单位),则|z|=.考点:复数代数形式的乘除运算;复数求模.专题:计算题.分析:先由复数的乘法运算对z进行化简,再代入公式求出复数的模.解答:解:由题意得z=i(2﹣i)=2i﹣i2=1+2i,则|z|==,故答案为:.点评:本题考查了复数的乘法运算,以及复数模的公式,属于基础题.3.(5分)某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查,采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,已知女生抽了80人,则该校的男生数为600 .考点:分层抽样方法.专题:概率与统计.分析:先求出样本中的男生数目,然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生数.解答:解:在样本中,由于女生抽了80人,所以男生为120,所以男生在样本中的比例为,所以该校的男生数为人.故答案为:600.点评:本题的考点是分层抽样的应用.4.(5分)集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={1},则A∪B={1,2,3} .考点:交集及其运算.专题:计算题.分析:由题意A∩B={1},得,集合A,B中必定含有元素1,即log2a=1,可求得a=2,最后求并集即可.解答:解:∵由题意A∩B={1},∴得集合A和B中必定含有元素1,即log2a=1,∴a=2,∴A={3,1},B={1,2},∴则A∪B={1,2,3}.故答案为:{1,2,3,}.点评:本题考查了集合的确定性、互异性、无序性、交集和并集运算,属于基础题.5.(5分)有4件产品,其中有2件次品,从中任选2件,恰有1件次品的概率为.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:所有的选法有种,恰有一件次品的取法有2×2种,由此求得恰有1件次品的概率.解答:解:所有的选法有=6种,恰有一件次品的取法有2×2=4种,由此求得恰有1件次品的概率为=,故答案为.点评:本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题.6.(5分)甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下:品种第1年第2年第3年第4年甲9.8 9.9 10.2 10.1乙9.7 10 10 10.3其中产量比较稳定的水稻品种是甲.考点:极差、方差与标准差.专题:计算题.分析:首先做出两个品种的平均产量,结果平均数相同,再分别求出两个品种的产量的方差,得到甲的方差小于乙的方差,得到结论.解答:解:甲的平均数是=10乙的平均数是=10,两个品种的平均数相同,甲的方差是乙的方差是=0.045∴甲的方差小于乙的方差,即甲的产量比较稳定.故答案为:甲点评:本题考查方差和平均数,对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差,以观察两组数据的性质特点.7.(5分)若双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于a,则该双曲线的离心率为.考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,通过渐近线、离心率等几何元素,沟通a,b,c的关系,即可求出该双曲线的离心率.解答:解:∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长,∴∴b=a,∴e=.故答案为:.点评:本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过a,b,c的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程.8.(5分)(2013•黄埔区一模)执行如图的程序框图,若p=15,则输出的n= 5 .考点:程序框图.专题:计算题.分析:由已知可得循环变量n的初值为1,循环结束时S≥p,循环步长为1,由此模拟循环执行过程,即可得到答案.解答:解:当n=1时,S=2,n=2;当n=2时,S=6,n=3;当n=3时,S=14,n=4;当n=4时,S=30,n=5;故最后输出的n值为5故答案为:5点评:本题考查的知识点是程序框图,处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行,其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键.9.(5分)(2008•某某二模)观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,…,由此猜测第n个不等式为1+++…+>(n∈N*).考点:归纳推理.专题:规律型;探究型.分析:根据所给的五个式子,看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和,观察最后一项的特点,3=22﹣1,7=23﹣1,15=24﹣1,和右边数字的特点,得到第n格不等式的形式.解答:解:∵3=22﹣1,7=23﹣1,15=24﹣1,∴可猜测:1+++…+>(n∈N*).故答案为:1+++…+>点评:本题考查归纳推理,是由某类事物的部分对象所具有的某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,它的特点是有个别到一般的推理,本题是一个不完全归纳.10.(5分)若关于x的方程x2+4=ax有正实根,则实数a的取值X围是a≥4.考点:函数的零点.专题:函数的性质及应用.分析:将方程x2+4=ax转化为函数f(x)=x2﹣ax+4,利用函数求解X围.解答:解:由x2+4=ax得x2﹣ax+4=0,设函数f(x)=x2﹣ax+4,所以要使方程x2+4=ax有正实根,则函数f(x)=x2﹣ax+4与x轴的正半轴有交点.因为f(0)=4>0,所以要使函数f(x)=x2﹣ax+4与x轴的正半轴有交点,则必有,即.所以a≥4.故答案为:a≥4.点评:本题考查函数与方程的关系以及二次函数的图象和性质.将方程转化为函数,是解决本题的关键.11.(5分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为.考点:余弦定理;正弦定理.专题:计算题;转化思想.分析:题设条件中只给出,a=2,,欲求b的值,可由这些条件建立关于b的方程,根据所得方程进行研究,判断出解出其值的方法解答:解:∵∴bcsinA=,即bc×=,∴bc=3 ①又,a=2,锐角△ABC,可得cosA=由余弦定理得4=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2×3×,解得b2+c2=6 ②由①②解得b=c,代入①得b=c=故答案为点评:本题考查余弦定理,解题的关键是熟练掌握余弦定理与三角形的面积公式,解题过程中对所得出的数据进行分析也很重要,通过对解出的数据进行分析判明转化的方向,本题考查了分析判断的能力,是一道能力型题,探究型题12.(5分)若函数f(x)=ln(ae x﹣x﹣3)的定义域为R,则实数a的取值X围是(e2,+∞).考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:f(x)=ln(ae x﹣x﹣3)的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3>0的解集是R,由此能求出实数a的X围.解答:解:∵f(x)=ln(ae x﹣x﹣3)的定义域为R,∴ae x﹣x﹣3>0的解集是R,即a>恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当x<﹣2时g'(x)>0,当x>﹣2时g'(x)<0,故g(x)在(﹣∞,﹣2)是增函数,在(﹣2,+∞)上是减函数,故当x=﹣2时,g(x)取得最大值g(﹣2)=e2,∴a>e2.故答案为:(e2,+∞).点评:本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.13.(5分)已知Rt△AB C的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,且斜边AB∥y轴,则斜边上的高等于2p .考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由斜边AB∥y轴及抛物线的对称性可知△ABC为等腰直角三角形,高CD为AB一半,求出点A坐标即可.解答:解:由题意,斜边平行y轴,即垂直对称轴x轴,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,所以斜边上的高CD是AB的一半,假设斜边是x=a,则有A(,),代入y2=2px得a=4p,所以CD==2p,故答案为:2p.点评:本题的考点是抛物线的应用,主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.14.(5分)已知曲线C:f(x)=x+(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O 是坐标原点.则△OMN与△ABP的面积之比为8 .考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:由题意易得B的坐标,写出垂线的方程联立y=x可得A坐标,进而可得△ABP的面积,然后可写出切线的方程,进而可得M、N的坐标,可表示出△OMN的面积,从而求出△OMN与△ABP的面积之比.解答:解:由题意设点P(x0,x0+),则B(0,x0+),又与直线l垂直的直线向斜率为﹣1,故方程为y﹣(x0+)=﹣(x﹣x0)和方程y=x联立可得x=y=x0+,故点A(x0+,x0+),故△ABP的面积S=|x0||x0+﹣(x0+)|=|x0|||=a,解得a=2,又因为f(x)=x+,所以f′(x)=1﹣,故切线率为k=1﹣,故切线的方程为y﹣(x0+)=(1﹣)(x﹣x0),令x=0,可得y=,故点N(0,),联立方程y=x可解得x=y=2x0,即点M(2x0,2x0),故△OMN的面积为•|||2x0|=2a,则△OMN与△ABP的面积之比为 8.故答案为:8.点评:本题考查利用导数研究曲线的切线方程,涉及三角形的面积和方程组的求解,属中档题.二、解答题:本大题共8小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)记关于x的不等式(x﹣a)(x+1)≤0的解集为P,不等式|x﹣1|≤1的解集为Q.(1)若a=3,求集合P;(2)若Q⊆P,求正数a的取值X围.考点:绝对值不等式的解法;一元二次不等式的解法.专题:不等式的解法及应用.分析:(1)当a=3时,不等式即(x﹣3)(x+1)≤0,求得此不等式的解集P.(2)先求得Q={x|0≤x≤2},经过检验,当a=﹣1,或a<﹣1时,分别求得P,都不满足Q⊆P.当a>﹣1时,求出P,由Q⊆P可得a≥2,即得所求a的X围.解答:解:(1)当a=3时,不等式即(x﹣3)(x+1)≤0,解得﹣1≤x≤3,故此不等式的解集P={x|﹣1≤x≤3}.(2)解不不等式|x﹣1|≤1可得﹣1≤x﹣1≤1,即0≤x≤2,故Q={x|0≤x≤2}.由不等式(x﹣a)(x+1)≤0,可得当a=﹣1时,P=∅,不满足Q⊆P;当a<﹣1时,求得P={x|a≤x≤﹣1},由Q={x|0≤x≤2},可得不满足Q⊆P;当a>﹣1时,P={x|a≥x≥﹣1},由Q⊆P,可得a≥2,故a的X围是[2,+∞).点评:本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,集合间的包含关系,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.16.(14分)已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若,且,求sin2α的值.考点:二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)利用二倍角、辅助角公式,化简函数,即可求函数f(x)的最小正周期;(2)整体思维,结合角的变换,可求sin2α的值.解答:解:(1).所以函数f(x)的最小正周期.…(6分)(2)由题,得,因为,则,则,…(9分)所以.…(14分)点评:本题考查三角函数的化简,考查角的变换,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17.(14分)已知函数(其中a>0).求证:(1)用反证法证明函数f(x)不能为偶函数;(2)函数f(x)为奇函数的充要条件是a=1.考点:反证法与放缩法;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:函数的性质及应用.分析:(1)假设函数f(x)为偶函数,则f(﹣x)=f(x),代入利用对数的性质,可得矛盾,即可得证;(2)分充分性、必要性进行论证,即可得到结论.解答:证明:(1)假设函数f(x)为偶函数,则f(﹣x)=f(x),∴=,即=,化简得:,∴a=0,与条件a>0矛盾,∴函数f(x)不能为偶函数.…(7分)(2)充分性:由a=1,函数=,∵>0,∴﹣1<x<1,又f(x)+f(﹣x)=+=lg1=0,∴当a=1时,函数f(x)为奇函数.…(10分)必要性:由函数f(x)为奇函数,即f(x)+f(﹣x)=0,∴f(x)+f(﹣x)=+=0,化简得(2a﹣1)2=1,∵a>0,∴a=1,∴当函数f(x)为奇函数时,a=1.…(14分)(注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到a=1)点评:本题考查反证法,考查充要性的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.18.(16分)为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为米,,AE,EG,HF,FC的造价均为每米1万元,GH的造价为每米2万元,设MN与AB所成的角为α(α∈[0,]),天桥的总造价(由AE,EG,GH,HF,FC五段构成,GM与HN忽略不计)为W万元.(1)试用α表示GH的长;(2)求W关于α的函数关系式;(3)求W的最小值及相应的角α.考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法.专题:导数的综合应用.分析:(1)先确定MP的值,再在Rt△NMT中,即可用α表示GH的长;(2)利用AE,EG,HF,FC的造价均为每米1万元,GH的造价为每米2万元,即可求出W关于α的函数关系式;(3)求导函数,确定函数的单调性,即可求出W的最小值及相应的角α.解答:解:(1)由题意可知∠MNP=α,故有MP=60tanα,所以在Rt△NMT中,…(6分)(2)==.…(11分)(3)设(其中,则.令f'(α)=0得1﹣2sinα=0,即,得.列表αf'(α)+ 0 ﹣f(α)单调递增极大值单调递减所以当时有,此时有.答:排管的最小费用为万元,相应的角.…(16分)点评:本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生的计算能力,属于中档题.19.(16分)已知椭圆E:=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点P是右准线上任意一点,过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;(3)点P的纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点H,满足,试证明点H恒在一定直线上.考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)由题意可得,解出即可;(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为,设P(3,y0),Q(x1,y1),由PF2⊥F2Q,可得,利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.(3)设过P(3,3)的直线l与椭圆交于两个不同点M(x1,y1),N(x2,y2),点H(x,y),由点M,N在椭圆上可得,.设,则,可得(3﹣x1,3﹣y1)=﹣λ(x2﹣3,y2﹣3),(x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y),即可证明6x+9y为定值.解答:解:(1)由题意可得,解得,c=1,所以椭圆E:.(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为,设P(3,y0),Q(x1,y1),因为PF2⊥F2Q,所以,所以﹣y1y0=2(x1﹣1)又因为且代入化简得.即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.(3)设过P(3,3)的直线l与椭圆交于两个不同点M(x1,y1),N(x2,y2),点H(x,y),则,.设,则,∴(3﹣x1,3﹣y1)=﹣λ(x2﹣3,y2﹣3),(x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y)整理得,,∴从而,由于,,∴我们知道与的系数之比为2:3,与的系数之比为2:3.∴,所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上.点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.20.已知椭圆E:=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点P是右准线上任意一点,过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;(3)证明:直线PQ与椭圆E只有一个公共点.考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)由题意可得,解出即可;(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为,设P(3,y0),Q(x1,y1),由PF2⊥F2Q,可得,利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.(3)由(2)知,直线PQ的方程为,即,与椭圆的方程联立,消去一个未知数得到关于x的一元二次方程,只要证明△=0即可.解答:解::(1)由题意可得,解得,c=1,所以椭圆E:.(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为,设P(3,y0),Q(x1,y1),因为PF2⊥F2Q,所以,所以﹣y1y0=2(x1﹣1)又因为且代入化简得.即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.(3)由(2)知,,,∴.∴直线PQ的方程为,即,联立得,∵,.∴化简得:,又△=0,解得x=x1,所以直线PQ与椭圆C相切,只有一个交点.点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.21.(16分)设函数f(x)=alnx,.(1)记h(x)=f(x)﹣g(x),若a=4,求h(x)的单调递增区间;(2)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)在x∈[1,e]上有解,某某数a的取值X围;(3)若在[1,e]上存在一点x0,使得成立,求a的取值X围.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.专题:计算题;导数的综合应用.分析:(1)当a=4时,可得,利用导数公式算出,再解关于x的不等式并结合函数h(x)的定义域,即可得到函数h(x)的单调递增区间;(2)通过移项合并同类项,化简不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)得,再进行变量分离得,由此设并讨论其单调性得到,结合原不等式有解即可算出实数a的取值X围;(3)原不等式等价于,整理得,设右边对应的函数为m(x),求得它的导数m'(x)=,然后分a≤0、0<a≤e﹣1和a>e﹣1三种情况加以讨论,分别解关于a的不等式得到a的取值,最后综上所述可得实数a的取值X围是(﹣∞,﹣2)∪(,+∞).解答:解:(1)当a=4时,可得f(x)=4lnx,此时,由得﹣2<x<2,结合x>0,可得0<x<2.所以h(x)的单调递增区间为(0,2).…(4分)(2)不等式f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x),即为,化简得:,由x∈[1,e]知x﹣lnx>0,因而,设,由=,∵当x∈(1,e)时x﹣1>0,,∴y′>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得知,即实数a的取值X围是[﹣,+∞)…(10分)(3)不等式等价于,整理得,设,则由题意可知只需在[1,e]上存在一点x0,使得m(x0)<0.对m(x)求导数,得,因为x>0,所以x+1>0,令x﹣1﹣a=0,得x=1+a.…(12分)①若1+a≤1,即a≤0时,令m(1)=2+a<0,解得a<﹣2.②若1<1+a≤e,即0<a≤e﹣1时,m(x)在1+a处取得最小值,令m(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,即1+a+1<aln(1+a),可得考察式子,因为1<t≤e,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不能成立③当1+a>e,即a>e﹣1时,m(x)在[1,e]上单调递减,只需m(e)<0,得,又因为,所以.综上所述,实数a的取值X围是(﹣∞,﹣2)∪(,+∞).…(16分)点评:本题给出含有分式和对数符号的函数,求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题,着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识,属于中档题.22.设函数f(x)=alnx,g(x)=x2.(1)记h(x)=f(x)﹣g(x),若a=4,求h(x)的单调递增区间;(2)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)在x∈[1,e]上有解,某某数a的取值X围;(3)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.考点:利用导数研究函数的单调性;函数的零点;导数在最大值、最小值问题中的应用.专题:计算题;导数的综合应用.分析:(1)当a=4时,可得,利用导数公式算出,再解关于x的不等式并结合函数h(x)的定义域,即可得到函数h(x)的单调递增区间;(2)通过移项合并同类项,化简不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)得,再进行变量分离得,由此设并讨论其单调性得到,结合原不等式有解即可算出实数a的取值X围;(3)当a=1时原不等式恒成立,即mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2)﹣x2f(x2)恒成立,因此设,结合题意当x∈(0,+∞)时t(x)为增函数,得t′(x)≥0恒成立,解出恒成立.再研究不等式右边对应函数h(x)的单调性得到h(x)max=1,从而得到m≥1,结合已知条件可得m=1.解答:解:(1)当a=4时,可得f(x)=4lnx,此时,由得﹣2<x<2,结合x>0,可得0<x<2.所以h(x)的单调递增区间为(0,2).…(4分)(2)不等式f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x),即为,化简得:,由x∈[1,e]知x﹣lnx>0,因而,设,由=,∵当x∈(1,e)时x﹣1>0,,∴y′>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得知,即实数a的取值X围是[﹣,+∞)…(10分)(3)当a=1,f(x)=lnx.由m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立,得mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2)﹣x2f(x2)恒成立,设.由题意知x1>x2>0,故当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t′(x)=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立,即恒成立,因此,记,得,∵函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1时取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.…(16分)点评:本题给出含有分式和对数符号的函数,求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题,着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识,属于中档题.。

盐城数学二调试卷

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盐城市2013年单招第二次调研考试数学试卷姓名一、选择题:(本大题共12小题,每小题4分,共48分)1.设全集}4,3,2,1{=U ,}3,2{=A ,}1{=B ,则A ∩B C U =( )A . {2}B .{3}C . φD .{2,3} 2.若复数)(213R a iia z ∈++=是纯虚数,则的值为( ) A .-6 B .-2 C .4 D .6 3.a >1是a a >2的( )A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充要条件D . 既不充分也不必要条件4.已知α是第四象限角,且53)sin(=+απ,则)2cos(πα-=( ) A . 54B . 54-C .54± D .535.幂函数ax y =经过点(4 , 2 ) ,则函数|log |x y a =在),0(+∞上是( )A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增 6.若x )4,1(∈,则函数245y x x =-++的值域为( )A .[]5,9B .(5,9]C . []5,8D .[]8,97.已知函数()y f x =的定义域为(,0]-∞,且2()1f x x =-,则1(2)f -=( )A .3BC .D . 8.下列函数中,在其定义域内最大值为1的函数是( )A .x x y cos sin ⋅=B .x x y cos sin +=C .x y tan =D .2sin 2cos22x x y -= 9.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是( ) A .5 B ..4 C .3 D .2 10.过点(4,1)且截距相等的直线方程为( ) A .x y 50+-=B .y 4x =C .x y 50+-=或y 4x =D .x 4y =或x y 50+-=11.设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么这个双曲线的离心率e 等于 ( )A .43 B .53C .2D . 3 12.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调增加,且0)1(=f ,则0)(<∙x f x 的解集为( )A .()11,- B .()()∞+⋃-∞-,,11 C .()()101,,⋃-∞- D .()()∞+⋃-,,101二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.已知a =(1,k ),b =(-1,k -2),若a ∥b ,则k =________. 14.已知不等式b a x <+||的解集为(-2,3),则b a += .15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,2b =,sin cos B B += 角A 的大小为 . 16.251()x x-展开式中x 4的系数是________(用数字作答). 17. 用1、2、3、4、5作成无重复数字的五位数,这些数能被2整除的概率为 .18.以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心,且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程 为______________________.三、解答题:(本大题共7题,共78分) 19.(本题满分6分)解不等式:22531649x x --⎛⎫<⎪⎝⎭20.(本题满分10分)已知向量)1,1cos 21(2+=x a ,)cos sin 23,1(x x b ⋅= . (1)若b a y ⋅=,求y 的周期;(2)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,6ππx ,求y 的最值,并求出y 取得最值时x 的值.21.(12分)已知函数)1,0(log )(≠>+=a a b x x f a ,对定义域内的任意y x ,都满足)()()(y f x f yxf -=.(1)求)1(f ;(2)若3)8(=f ,求)(x f ;(3)当]4,22[∈x 时,求函数)(x f 的值域.22.(本题满分12分)已知函数()2f x ax bx c =++的图像经过点(1,0),且()f 22=,()f 36=,数列的前n 项和()n S f n =. (1)求()f x 的表达式;(2)求数列{}n a 的通项公式; (3)若n an b 2=,求数列{}n b 的前n 项和n T .23.(本题满分12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

盐城市2012—2013学年度高二数学文科调研测试

盐城市2012—2013学年度高二数学文科调研测试

盐城市2012—2013学年度高二调研测试 数学试题(文科) 2013.6注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 4.第19、20题,请四星高中学生选做(A ),三星高中与普通高中学生选做(B ),否则不给分.参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=(x 为样本平均数)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.x R ∀∈,sin 1x ≤的否定是 ▲ .2.已知复数z 满足i(2i)z =-(其中i 为虚数单位) 3.某校对全校1000200的样本,已知女生抽了80人,则该校的男生数为 ▲ . 4.集合}{23,log A a =,}{,B a b =,若}{1A B = ,则A B = ▲ . 5.有4件产品,其中有2件次品,从中任选2件,恰有1件次品的概率为 ▲ . 6其中产量比较稳定的水稻品种是 ▲ .7.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于a ,则该双曲线的离心率为 ▲ .8.执行右边的程序框图,若15p =,则输出的n = ▲ .9.观察下列不等式:11111131111,11,1,1222323722315>++>++++>++++> ,11151,,23312++++> 由此猜想第n 个不等式为 ▲ .10.若关于x 的方程24x ax +=有正实根,则实数a 的取值范围是▲ .11.在锐角ABC △中,角AB C ,,所对的边分别为a b c ,,,已知sin A =,2a =,ABC S =△,则b 的值为 ▲ .12.若函数()()ln 3x f x ae x =--的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知Rt ABC ∆的三个顶点都在抛物线22(0)y px p =>上,且斜边AB ∥y 轴,则斜边上的高等于 ▲ .14.已知曲线C :()(0)af x x a x=>+,直线:y x =,在曲线C 上有一个动点P ,过点P 分别作直线和y 轴的垂线,垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线,分别与直线和y 轴相交于点,M N ,O 是坐标原点.则OMN △与ABP △的面积之比为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)记关于x 的不等式()(1)0x a x -+≤的解集为P ,不等式|1|1x -≤的解集为Q . (1)若3a =,求集合P;(2)若Q P ⊆,求正数a 的取值范围. 16.(本小题满分14分)已知函数()22cos sin cos f x x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)若()1013f α=,且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求sin 2α的值.17.(本小题满分14分)已知函数2()lg(1)1af x x=-+(其中0a >). 求证:(1)用反证法证明函数()f x 不能为偶函数;(2)函数()f x 为奇函数的充要条件是1a =.18.(本小题满分16分)为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD (60AB =米,104AD =米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM 与HN 均为米,6GEM HFN π∠=∠=,,,,AE EG HF FC 的造价均为每米1万元,GH 的造价为每米2万元,设MN 与AB 所成的角为0,4παα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,天桥的总造价(由,,,,AE EG GH HF FC 五段构成,GM 与HN 忽略不计)为W 万元.(1)试用α表示GH 的长;(2)求W 关于α的函数关系式; (3)求W 的最小值及相应的角α.19.(本小题满分16分) (A )(四星高中学生做)已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点到两焦点距离之和为,左、右焦点分别为12,F F ,点P 是右准线上任意一点,过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)证明:直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值; (3)点P 的纵坐标为3,过P 作动直线与椭圆交于两个 不同点M 、N ,在线段MN 上取点H ,满足MP MHPN HN=, 试证明点H 恒在一定直线上.(B )(三星高中及普通高中学生做)第18题图第19题图已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点到两焦点距离之和为,左、右焦点分别为12,F F ,点P 是右准线上任意一点,过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)证明:直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点. 20.(本小题满分16分) (A )(四星高中学生做)设函数()x a x f ln =,()212g x x =. (1)记()()()h x f x g x =-,若4a =,求()x h 的单调递增区间;(2)记()g x '为()x g 的导函数,若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解,求实数a 的取值范围;(3)若在[]1,e 上存在一点0x ,使得()()()00001()f x f x g x g x ''->+'成立,求a 的取值范围.(B )(三星高中及普通高中学生做) 设函数()x a x f ln =,()212g x x =. (1)记()()()h x f x g x =-,若4a =,求()x h 的单调递增区间;(2)记()g x '为()x g 的导函数,若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解,求实数a 的取值范围;(3)若1a =,对任意的120x x >>,不等式()()()()121122m g x g x x f x x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立.求()1,≤∈m Z m m 的值.2012-2013学年度高二调研测试数学试题(文)答案一、填空题:每小题5分,共计70分.1.,sin 1x R x ∃∈> 2 3.600 4.}{1,2,3 5.236.甲7 8.5 9.111123212n n ++++>- 10.4a ≥ 11 12.()2,e +∞ 13.2p 14.8二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.解: (1)当3a =时,(3)(1)0x x -+≤,则解集P 为}{13x x -≤≤.……………… 7分 (2)由题意,解集为Q=}{02x x ≤≤,所以2a ≥.……………………………………… 14分16.解:(1)()22cos sin cos cos 222sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.…………………………………………………… 6分 (2)由题52sin 2613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得5sin 2613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为42ππα≤≤,则272366πππα≤+≤, 则12cos 2613πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,………………………………………………………………………… 9分所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…14分 17解:(1)假设函数()f x 为偶函数,则()f x -=()f x ,∴2lg(1)1a x --=2lg(1)1a x -+,即211a x --=211a x -+,化简得:2401axx=-, ∴0a =,与条件0a >矛盾.∴函数()f x 不能为偶函数.……………………………… 7分(2)充分性:由1a =,函数2()lg(1)1f x x =-+=1lg1x x -+, 11xx-+>0,∴11x -<<, 又()f x +()f x -=1lg1x x -++1lg 1xx+-=lg10=,∴当1a =时,函数()f x 为奇函数.…… 10分 必要性:由函数()f x 为奇函数,即()f x +()f x -=0,∴2lg(1)1a x -++2lg(1)1a x --=21lg()1a x x --++21lg()1a x x-+-=0,化简得2(21)1a -=, 0a >,∴1a =,∴当函数()f x 为奇函数时, 1a =.…………………………………… 14分(注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到1a =)18.解:(1)由题意可知MNP α∠=,故有60tan MP α=,所以在Rt NMT ∆中60cos GH MN α==……………………………………………………………………………………6分(2)60(8060tan )12cos W αα=+⨯+⨯sin 18060120cos cos ααα=+-+sin 28060cos αα-=+.………………………………………………………… 11分(3)设sin 2()cos f ααα-=(其中π0)4α≤≤,则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==. 令()0f α'=得12sin 0α-=,即1sin 2α=,得6πα=.列表所以当6α=时有max ()f α=,此时有min 8080W =++=+答:排管的最小费用为80+万元,相应的角6πα=.…………………………… 16分(A )(四星高中学生做)19.解:(1)由题,a =c a =从而得1c =,b = 所以椭圆E :22132x y +=……………………………………………………………………… 4分 (2)设()03,P y ,()11,Q x y , 因为22PF F Q ⊥,所以220011111212(1)QF PF y y y y k k x x =⋅==---, 所以1012(1)y y x -=- 又因为21011012111133PQ OQy y y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--且22112(1)3x y =-代入化简得23PQ OQ k k ⋅=-……10分 (3)设过P 的直线l 与椭圆交于两个不同点1122(,),(,)M x y N x y ,点(,)H x y ,则2211236x y +=,2222236x y +=.∵MP MH PN HN =,∴设MP MH PN HNλ==,则,MP PN MH NH λλ=-= , ∴1122(3,3)(3,3)x y x y λ--=---,1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--整理得12123,11x x x x x λλλλ-+==-+,12123,11y y y y y λλλλ-+==-+, ∴从而2222221212223,311x x y y x y λλλλ--==--,∴222222222221212112222223323(23)69611x x y y x y x y x y λλλλλ-+-+-++===--,所以点H 恒在直线2320x y +-=上.………………………………………………… 16分(B )(三星高中及普通高中学生做)解:(1)(2)同(A )(3)由(2)知,直线PQ 的方程为()111123x y y x x y -=--,即111223x y x y y =-+, 由22111132223x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得22221111(32)121890y x x x x y +-+-=,化简得:221120x x x x -+=, 解得0x x =,所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.……………………………………… 16分 (A )(四星高中学生做)20.解:(1)当4a =时,()4ln f x x =,此时()214ln 2h x x x =-, 由()'40h x x x=->得22x -<<, 又0>x ,则02x <<.所以()x h 的单调递增区间为()0,2.…………………… 4分(2)不等式()()()()x g x a x g x f -+≤+32'即为()22132ln x x a x x a -+≤+, 则()x x x x a -≥-221ln ,由[]e x ,1∈知0ln >-x x ,因而x x x x a ln 212--≥,设x x xx y ln 212--=,由()()()22'ln 2111ln 1x x x x x x x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛----=()()2ln ln 1211x x x x x -⎪⎭⎫⎝⎛-+-=,且当()e x ,1∈时01>-x ,0ln 121>-+x x ,从而,0'>y .由不等式有解,知21min -=≥y a ……………………… 10分(3)不等式()()()''000'01()f x fx g x g x ->+等价于00001ln a a x x x x ->+, 整理为0001ln 0ax a x x +-+<,设1()ln a m x x a x x +=-+,则由题意可知只需在],1[e 上存在一点0x ,使得0()0m x <.2'2221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+=--==, 因为,0>x 所以,01>+x 令,01=--a x 得a x +=1.………………………………………… 12分①若11a +≤,即0a ≤时,令(1)20m a =+<,解得2a <-. ②若e a ≤+<11,即10-≤<e a 时,()m x 在a +1处取得最小值, 令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<,即)1ln(11a a a +<++,所以)1ln(11+<++a aa 考察式子t t t ln 11<-+,因为e t ≤<1,所以左端大于1,而右端小于1,所以不成立 ③当e a >+1,即1->e a 时,()m x 在],1[e 上单调递减,只需()0m e <,得211e a e +>-,又因为0121112<--=-+--e e e e e ,所以,211e a e +>-. 综上所述,2a <-或211e a e +>-.………………………………………………………………… 16分(B )(三星高中及普通高中学生做) 解:(1)(2)同(A )(3)当1=a ,()x x f ln =.由()()()()121122m g x g x x f x x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立知,()()()()222111x f x x mg x f x x mg ->-恒成立,设()()0ln 22>-=x x x x m x t . 由题意知021>>x x ,故当0>x 时函数()x t 单调递增,则()01ln '≥--=x mx x t 恒成立,因此,x x m 1ln +≥恒成立,记x x y 1ln +=,由()2'ln x xx y -=,知函数在()1,0上单调递增,在()+∞,1上单调递减, 则()()11max ==h x h ,所以1≥m ,又1,≤∈m Z m ,所以1=m .…………… 16分。

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试数学参考答案

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试数学参考答案

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.12 2.0 3.35 4.36 5.0≤a ≤4 6.4 7.2 8.3π9.20 10.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11. 13 12. 8 13.{}|12x x ≤< 14.5 (注: 第13题讲评时可说明, 为什么1x =是不等式的解?)二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(1)证明: 过A 作AF ⊥DC 于F, 则CF=DF=AF,所以090DAC ∠=, 即AC DA ⊥…………………………… 2分又PA ⊥底面ABCD ,AC ⊂面ABCD ,所以AC PA ⊥……4分 因为,PA AD ⊂面PAD ,且PA AD A = ,所以AC ⊥底面PAD …………………………………………6分而AC ⊂面ABCD , 所以平面AEC ⊥平面PAD …………………………………………………… 8分 (2)连接BD 交AC 于点O, 连接EO, 因为PD 平面AEC ,PD ⊂面PBD ,面PBD 面AEC=EO, 所以PD//EO …………………………………………………………………11分 则:PE EB =:DO OB , 而::2DO OB DC AB ==, 所以:2PE EB =………………………… 14分16.解: (1)因为2222212cos 22a c aca cb B ac ac+-+-==……………………………………………………3分 123224ac acac -≥=, 所以3cos 4B ≥…………………………………………………………………… 6分 (2)因为cos()cos cos()cos()2sin sin 1A C B A C A C A C -+=--+==,所以1sin sin 2A C =…………9分 又由212b ac =,得211sin sin sin 24B A C ==,所以1sin 2B =………………12分 由(1),得6B π=…………………………………14分17.解: (1) 因为40FG =,100AG =,所以由GC GC AG FG AB +=,即10040GC GC x +=,解得400040GC x =-, 同理,由GD GD AG EG AB +=,即10090GD GD x +=, 解得900090GC x =-…………………………………2分 所以2941000()5000,[140,180]90401303600xy GD GC x x x x x =-=⨯-=⨯∈---+……… 5分 因为222360050000(1303600)x y x x -'=⨯<-+, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时, y 取得最大值为140㎝………………………………………………………………8分A B C D F O另法: 可得5000,[140,180]3600130y x x x=∈+-, 因为3600130x x +-在[140,180]上单调递增, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时,y 取得最大值为140㎝…………………………8分 (2)由100GC GC h x +=,得100h GC x h =-,由10050GD GD h x +=+,得100(50)50h GD x h +=--,所以由题意知1GC A G AG GD <=≤,即100100(50)10050h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立……………………12分 从而2502x h x h ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩对[140,180]x ∈恒成立,解得14070218050402h h ⎧<=⎪⎪⎨⎪≥-=⎪⎩,故h 的取值范围是[)40,70…14分(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h 的范围与AG 的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)18.解:(1)由2222211124c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得122a b c ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,所以椭圆C 的方程为2221x y +=………………………4分(2)设(,)B m n ,(,)C m n -,则12||||||||2ABC S m n m n ∆=⨯⨯=⋅………………………………………6分又2212|||m n m n =+≥=⋅,所以||||4m n ⋅≤,当且仅当|||m n =时取等号…………………………………………………………………………8分从而4ABC S ∆≤, 即ABC ∆…………………………………………………… 9分 (3)因为A(-1,0),所以12:(1),:(1)AB y k x AC y k x =+=+,由122(1)21y k x x y =+⎧⎨+=⎩,消去y,得2222111(12)4210k x k x k +++-=,解得x=-1或21211212k x k -=+, ∴点2112211122(,)1212k k B k k -++……………11分 同理,有2222222122(,)1212k k C k k -++,而122k k =,∴211221184(,)88k k C k k -++…12分 ∴直线BC 的方程为11222111122221111221142281212()8121212812k k k k k k y x k k k k k k -++--=⋅---++-++, 即21112221112312()122(2)12k k k y x k k k --=⋅-+++,即112211352(2)2(2)k k y x k k =+++………………………14分 所以2112(35)0yk x k y +++=,则由0350y x =⎧⎨+=⎩,得直线BC 恒过定点5(,0)3-…………………16分(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设1122(,),(,)D x y E x y ,然后代入找关系)19.解: (1)因为2k q =,所以21214k k a a +-=,故13521,,,,k a a a a -⋅⋅⋅是首项为1,公比为4的等比数列, 所以13521141(41)143k kk a a a a --+++⋅⋅⋅+==--…………………………………………………… 4分 (注: 讲评时可说明, 此时数列{}k a 也是等比数列, 且公比为2) (2)①因为22122,,k k k a a a ++成等差数列,所以212222k k k a a a ++=+,而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅,所以112k k q q ++=,则111kk kq q q +--=………………………… 7分 得1111111k k k k q q q q +==+---,所以111111k k q q +-=--,即11k k b b +-=, 所以{}k b 是等差数列,且公差为1………………………………………………………………………9分②因为12d =,所以322a a =+,则由223212a a a =⨯=+,解得22a =或21a =-………………10分(ⅰ)当22a =时, 12q =,所以11b =,则1(1)1k b k k =+-⨯=,即11k k q =-,得1k k q k +=,所以 221221(1)k k a k a k +-+=,则2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222222(1)21(1)(1)1k k k k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-……12分 所以2212(1)(1)1k k ka k a k k k q k++===++,则2121k k k d a a k +=-=+,故(3)2k k k D +=……………14分(ⅱ)当21a =-时, 11q =-,所以112b =-,则13(1)122k b k k =-+-⨯=-,即1312k k q =--,得1232k k q k -=-,所以2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222222131()()()122214()3512()()()222k k k k k --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----,则212(21)(23)k k kaa k k q +==--,所以21242k k k d a a k +=-=-,从而22k D k =.综上所述,(3)2k k k D +=或22k D k =…………………………………………………………………16分20.解:(1)因为2=a ,且∈x [2,3],所以3|3||2|131()2x x x xx x e e f x eeeee e e --+--=+=+=+≥=, 当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2,3]上的最小值为3e …………………………………4分 (2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立……………… 6分所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤……………………………………………9分(3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 的最小值为01(21)1f a e -==……………………11分②当a <1时,可知2a -1<a ,所以(ⅰ)当12()()h a h a ≤,得|(21)|1a a --≤,即20a -≤≤时,在∈x [1,6]上,12()()h x h x <,则12()()f x f x <,所以1()()g x f x =的最小值为221(1)a f e -=………………………………………12分 (ⅱ)当12()()h a h a >,得|(21)|1a a -->,即201a a <-<<或时,在∈x [1,6]上,12()()h x h x >, 则12()()f x f x >,所以2()()g x f x =的最小值为22(1)a f e -=………………………………………13分 ③当72a >时,因为2a -1>a ,可知216a ->,且12(6)|621|271()h a a h a =-+=->=,所以 (ⅰ)当762a <≤时,()g x 的最小值为12()f a e e ==…………………………………………………14分 (ⅱ)当6a >时,因为12()|21||1|11()h a a a a a h a =-+=-=->=,所以在∈x [1,6]上,12()()h x h x >,则12()()f x f x >,所以2()()g x f x =的最小值为52(6)a f e -=………………………………………15分综上所述, 函数()g x 在∈x [1,6]上的最小值为22257112202017626a aa a e a e a a e a ea ---⎧≤≤⎪⎪-≤≤⎪⎪<-<<⎨⎪⎪<≤⎪⎪>⎩或……………………16分数学附加题部分21.A. 证明:∵三角形ABC 内接于圆O ,且060BAC ∠=,所以0120BDC ∠=,所以060DBC DCB ∠+∠=.又060BFC DCB ∠+∠=,所以DBC BFC ∠=∠……………………5分同理, DCB CEB ∠=∠,所以CBE BFC ∆∆ ,所以BF BC BC CE=,即2BC BF CE =⋅ ……………10分 B. 解:设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 由1203a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得23a c =⎧⎨=⎩………………………………………… 5分 再由1133113abcd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得33a b c d +=⎧⎨+=⎩, ∴20b d =⎧⎨=, ∴2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………………… 10分C. 解:根据椭圆的参数方程, 可设点(4cos )P θθ(θ是参数)…………………………… 5分 则2z x =8cos 6sin 10sin()10θθθϕ=-=+≤, 即z 最大值为10………………………10分D. 证明: 因为122331111()a aa a a a +++++122331[()()()]a a a a a a ⋅+++++≥……………………………… 6分 当且仅当1233m a a a ===时等号成立, 则由122331111()a a a a a a +++++29m ⋅≥, 知12233111192a a a a a a m ++≥+++………………………………………………………………… 10分(注: 此题也可以用柯西不等式证明)22. 解:(1)当12p q ==时,ξ~13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭,故13322E np ξ==⨯=………………………………………4分 (2)ξ的可取值为0,1,2,3, 且()()()22011P q p pq ξ==--=, ()()()()2132211112P q q q C p p q p q ξ==-+--=+,12232(2)(1)(1)2P C pq p q p pq p ξ==-+-=+, ()23P qp ξ==.所以的分布列为: ……………………………8分E ξ=0×2pq +1×()322q p q ++2×()232pq p ++3×2qp =1+p ……………………………10分23.(1)解:2(!)n n n n n E A A n =⋅=………………2分 111(1)n n n F C C n n +=⋅=+………………4分(2)因为ln 2ln !n E n =,(1)n F n n =+,所以11ln 02E F =<=,22ln ln 46E F =<=,33ln ln3612E F =<=,…,由此猜想:当*n N ∈时,都有ln n n E F <,即2ln !(1)n n n <+……………6分下用数学归纳法证明*2ln !(1)()n n n n N <+∈. ① 当n=1时,该不等式显然成立.② 假设当*()n k k N =∈时,不等式成立,即2ln !(1)k k k <+,则当1n k =+时,2l n (1)!2l n (1)2l n !2l n (1)kk k k k k +=++<+++, 要证当1n k =+时不等式成立,只要证:2ln(1)(1)(1)(2)k k k k k +++≤++, 只要证: ln(1)1k k +≤+…………………………… 8分令()ln ,(1,)f x x x x =-∈+∞,因为1()0xf x x-'=<,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减, 从而()(1)10f x f <=-<, 而1(1,)k +∈+∞,所以ln(1)1k k +≤+成立, 则当1n k =+时, 不等式也成立.综合①②, 得原不等式对任意的*n N ∈均成立……………………………………………………… 10分。

江苏省盐城市2012-2013学年高一下学期期末数学试题 Word版含答案(苏教版)

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2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学试题注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.4.第19、20题,请四星级高中学生选做(A ),三星级高中与普通高中学生选做(B ),否则不给分.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,2,3P =,{},4Q a =,若{}1P Q =,则a = ▲ .2.函数13sin()23y x π=-的最小正周期为 ▲ .3.在等比数列{}n a 中,若251,8a a ==,则3a = ▲ . 460y +-=的倾斜角的大小为 ▲ .5.在ABC ∆中,若45,60AB B C =∠=︒∠=︒,则AC = ▲ .6.已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y +--=平行,则实数m = ▲ . 7.已知正四棱锥的底面边长是6,则该正四棱锥的侧面积为 ▲ . 8.如图,在ABC ∆中,90A ∠=︒,3AB =,4AC =,则CA CB ⋅= ▲ . 9.设2()log f x x =,则10(4)f = ▲ .10.已知,m n 是两条不重合的直线,,αβ是两个不重合的平面. ①若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥; ②若αβ⊥, n αβ=,m α⊂,则m n ⊥;③若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n ; ④若//m α,m β⊂,n αβ=,则//m n .上述命题中为真命题的是 ▲ (填写所有真命题的序号).11.若方程ln 3x x =-的解在区间(1,)()a a a Z -∈内,则a = ▲ .A B C第8题12.若函数()||f x x x a =+-的最小值为32a +,则实数a 的值为 ▲ . 13.已知数列{}n a 为等差数列,若9810a a +<,则数列{}||n a 的最小项是第 ▲ 项.14.在平面直角坐标系xOy中,若曲线x =y x b =+的距离为1,则b 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在斜三棱柱111ABC A B C -中,已知侧面11ACC A ⊥底面ABC ,11AC C C =,,E F 分别是11AC 11A B 的中点.(1)求证://EF 平面11BB C C ; (2)求证:平面ECF ⊥平面ABC . 16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,设(3,1)m =,(1cos ,sin )n A A =+. (1)当3A π=时,求||n 的值;(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时,求b .17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 经过(2,2)A -,(1,1)B 两点,且圆心在直线220x y --=上.第15题ABCE FA 1B 1C 1(1)求圆C 的标准方程;(2)设直线l 与圆C 相交于,P Q 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为15,且POQ ∆的面积为25,求直线l 的方程.18.(本小题满分16分)根据国际公法,外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域(此为我国领海,含分界线). 若外国船只进入我国领海,我方将向其发出警告令其退出. 如图,已知直线AB 为海岸线,,A B 是相距12海里的两个观测站,现发现一外国船只航行于点P 处,此时我方测得α=∠BAP ,β=∠ABP (0απ<<,0βπ<<). (1)试问当120,30==βα时,我方是否应向该外国船只发出警告? (2)若1tan 2α=,则当β在什么范围内时,我方应向该外国船只发出警告? 19.(本小题满分16分) (A )(四星级高中学生做)已知数列{}n a 是首项为1,公差为d 的等差数列;数列{}n b 是公比为2的等比数列,且{}n b 的前4项的和为152.ABPαβ 第18题·O xyA B ·第17题(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)若3d =,求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和; (3)设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅,若5c 是数列{}n c 中的最大项,求公差d 的取值范围.(B )(三星级高中及普通高中学生做)已知数列{}n a 是首项为1,公差为d 的等差数列;数列{}n b 是公比为2的等比数列,且{}n b 的前4项的和为152.(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)若3d =,求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和;(3)设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅,数列{}n c 的前n 项和为n T ,若n T 的最大值为5T ,求公差d 的取值范围.20.(本小题满分16分) (A )(四星级高中学生做)(1)求证:函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数;(2)求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域;(3)设函数1421()421x x k x x g x ++++=++,若对任意的实数123,,x x x ,都有123()()()g x g x g x +≥,求实数k 的取值范围.(B )(三星级高中及普通高中学生做)(1)求证:函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数;(2)求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域;(3)设函数()44(22)()xxx x h x a a R --=+++∈,求()h x 的最小值()a ϕ.2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题:每小题5分,共计70分.1.1 2.4π 3.2 4.120°(23π) 5 6.237.488.16 9.20 10.①④ 11.3 12. -1 13.814.(2]二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.证明:(1)在111ABC ∆中,因为,E F 分别是11AC ,11A B 的中点,所以11//EF B C , ……4分又EF ⊄面11BB C C,11B C ⊂面11BB C C ,所以//EF 平面11BB C C . …………7分(2)因为11AC C C =,且E 是11AC 的中点,所以EC ⊥11AC ,故EC ⊥AC , 又侧面11ACC A ⊥底面ABC ,且EC ⊂侧面11ACC A ,所以EC ⊥底面ABC . …………11分又EC ⊂面ECF ,所以面ECF ⊥面ABC . …………14分16.解: (1)当3A π=时,33(,2n =,…………3分所以23||()n =+= …………6分(2)因为3(1cos )sin 2sin()3m n A A A π⋅=++=++,所以当m n ⋅取最大值时,6A π=. …………10分又1,a c ==22132cos 336b b b b π=+-=+-,解之得2b =或1b =. …………14分17.解:(1)因为(2,2)A -,(1,1)B ,所以3AB k =-,AB 的中点为31(,)22-,故线段AB 的垂直平分线的方程为113()232y x +=-,即330x y --=,由330220x y x y --=⎧⎨--=⎩,解得圆心坐标为(0-. …………4分所以半径r 满足221(11)5r =+--=. …………6分故圆C 的标准方程为22(1)5x y ++=. …………7分(2)因为112255OPQ S PQ ∆=⨯⨯=,所以4PQ =.①当直线l 与x 轴垂直时,由坐标原点O 到直线l 的距离为15知,直线l 的方程为15x = 或15x =-,经验证,此时4PQ ≠,不适合题意; …………9分②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y kx b =+, 由坐标原点到直线l的距离为115d ==,得22125k b += (*), …………11分又圆心到直线l的距离为2d =,所以4PQ ==,即22(1)1b k +=+(**), …………13分由(*),(**)解得3414k b ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上所述,直线l的方程为3410x y +-=或3410x y -+=. …………14分18.解:(1)如图:过P 作PH 垂直AB 于H ,因为 120,30==βα,所以30=∠APB ,所以AB=PB=12, …………4分 所以PH=AB 123660sin <= ,所以应向该外国船只发出警告. (7)分(2)在ABP ∆中,由正弦定理得:()αβαπsin sin PBAB =--,所以()βαπα--=sin sin 12PB ,所以()()()βαβαβαπβαβπ+=--=-⋅=s s s 12sin sin sin 12sin PB PH , …………10分令12≤PH ,得()12sin sin sin 12≤+βαβα,即()βαβα+≤sin sin sin , 所以s αβ≤+, …………12分又因为1tan 2α=,所以α为锐角,且sin αα==,所以25c o s5βββ≤,即s i ββ≥-, …………14分故sin cos 0ββ+≥)04πβ+≥,解得304πβ<≤, ABPαβ H所以当304πβ<≤时,我方应向该外国船只发出警告. …………16分 19.(A )(四星级高中学生做)解:(1)因为{}n b 是公比为2的等比数列,且其前4项的和为152,所以115(1248)2b +++=,解得112b =, …………2分 所以121222n n n b --=⨯=. …………4分(2)因为数列{}n a 是首项为1,公差3d =的等差数列,所以32n a n =-,由89i b a b ≤≤,得672322i ≤-≤,解得2243i ≤≤, …………6分所以满足89i b a b ≤≤的所有项i a 为222343,,,a a a ⋅⋅⋅,这是首项为2264a =,公差为3的等差数列, 共43-22+1=22项,故其和为22216422321012⨯⨯+⨯=. …………9分 (3)由题意,得2[1(1)]2n n n n c a b n d -=⋅=+-⨯, 因为5c 是{}n c 的最大项,所以首先有54c c ≥且56c c ≥, 即32(14)2(13)2d d +⨯≥+⨯且34(14)2(15)2d d +⨯≥+⨯, 解得1156d -≤≤-. …………12分 ① 当4n ≥时,在1156d -≤≤-的条件下,35[14]20c d =+⨯>,但7n ≥时,2[1(1)]20n n c n d -=+-⨯≤,所以此时5c 是最大的; …………14分②当3n ≤时,由152535,,c c c c c c ≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,得18(14),218(14),2(12)8(14)d d d d d ⎧≤+⎪⎪+≤+⎨⎪+≤+⎪⎩,解得1564731314d d d ⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.综合①②,所求的公差d 的取值范围是1156d -≤≤-. …………16分(B )(三星级高中及普通高中学生做) 解:(1)(2)同(A )(3)因为120n n b -=>,若0d ≥,则0n a >,所以0n n n c a b =⋅>,此时n T 无最大项, 所以0d <, …………12分 此时{}n a 单调递减,欲n T 的最大项为5T ,则必有560,0c c ≥≤,即560,0a a ≥≤,…………14分又1(1)n a n d =+-,所以140,150d d +≥⎧⎨+≤⎩,解得1145d -≤≤-. …………16分20.(A )(四星级高中学生做)解:(1)证明:设12,[0,)x x ∈+∞,且12x x <,因为112212121211()()(22)(22)(22)()22xx x x x x x x f x f x ---=+-+=-+- 21121212121222(22)(21)(22)22x x x x x x x x x x x x +++---=-+=, …………3分因为12121220,220,210x x x x x x ++>-<->,所以12()()0f x f x -<,所以()2x x f x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数. …………5分(2)由(1)知,当[0,)x ∈+∞时,()[(0),)f x f ∈+∞,即()[2,)f x ∈+∞, …………7分又因为()22()x x f x f x --=+=,所以()f x 是偶函数, 所以当x R∈时,()f x 的值域为[2+∞. …………9分(3)因为对任意的实数123,,x x x ,都有123()()()g x g x g x +≥,所以min max [2()][()]g x g x ≥,…………11分由于1421()421x x k x x g x ++++=++222222x x k x x--++=++,令22x xt -+=, 则222()()1(2)22k k t g x r t t t t +-===+++≥, ①当1k =时,()1r t =,适合题意; …………12分②当1k <时,22()14k r t +<≤,由22214k +⨯≥,得1k <; …………14分③当1k >时,221()4k r t +<≤,由22214k +⨯≥,得21log 6k <≤.综上,实数k 的取值范围为2(,log 6]-∞. …………16分 (B )(三星级高中及普通高中学生做) 解:(1)(2)同(A );(3)因为2()(22)(22)2x x x x h x a --=+++-,令22x xt -+=,则2()()2,[2,)h x m t t at t ==+-∈+∞, (11)分因为函数()m t 的对称轴方程为2at =-,所以 ①当22a -≥,即4a ≤-时,2()()224a a a m ϕ=-=--, …………13分 ②当22a-<,即4a >-时,()(2)22a m a ϕ==+, …………15分综上所述,22,4()422,4a a a a a ϕ⎧--≤-⎪=⎨⎪+>-⎩. …………16分。

盐城市中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题

盐城市中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题

第Ⅰ卷(共50分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“x R ∀∈,20x ≥”的否定是 .2.抛物线24x y =的焦点坐标是 .3.若()22x x f =,则()1f '-等于 .4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为 .5.“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件.(填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个)6.函数28ln y x x =-的单调递减区间为.7.设x ,y R ∈且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值是 .8.设集合{}2230A x x x =--<,{}21xB x =>,则A B = .9.若双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离为4,则点P 到左焦点的距离是 .10.已知正数y x ,满足21x y +=,则21x y+的最小值为 .11.P 为椭圆14522=+y x 上的点,21,F F 是其两个焦点,若 3021=∠PF F ,则21PF F ∆的面积是 .12.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =-,则函数2()()g x x f x =+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为 .13.过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ,且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若12k =,则椭圆的离心率e 的值是 .14.已知函数2()(,)f x x b x c b c R =++∈,若b 、c 满足214b c ≥+,且22()()()f c f b M c b -≤-恒成立,则M 的最小值为 .第Ⅱ卷(共80分)二、解答题:(本大题共6小题,计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.已知命题p :任意x R ∈,21x a +≥,命题q :函数2()21f x x ax =-+在(,1]-∞-上单调递减.(1)若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围; (2)若p 和q 均为真命题,求实数a 的取值范围.16.已知顶点在原点O ,焦点在x轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程;(2)若抛物线与直线2y x =-交于A 、B 两点,求证:1OA OB k k ⋅=-.1212121212(4)(4)4()1644424161.4OA OB y y x x x x x x k k x x ---++⋅===-+==-17.已知函数()a x x x x f +++-=9323.(1)求()x f 的单调递减区间;(2)若()x f 在区间[]2,2-上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.18.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P 元,则销售量Q (单位:件)与零售价P (单位:元)有如下关系:28300170Q P P =--,问该商品零售价定为多少元时毛利润L 最大,并求出最大毛利润.(毛利润=销售收入-进货支出)关系为19.已知圆224O x y +=:,若焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b += 过点(01)P -,,且其长轴长等于圆O 的直径. (1)求椭圆的方程;(2)过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ,1l 与圆O 交于A 、B 两点, 2l 交椭圆于另一点C ,设直线1l 的斜率为k ,求弦AB 长; (3)求ABC ∆面积的最大值.20.设函数()ln f x x ax =-,a R ∈.(1)当1x =时,函数()f x 取得极值,求a 的值;(2)当102a <<时,求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值; (3)当1a =-时,关于x 的方程22()mf x x =(0)m >有唯一实数解,求实数m 的值.。

2012-2013学年度第二学期高二年级调研测试数学文科试卷(含答案)

2012-2013学年度第二学期高二年级调研测试数学文科试卷(含答案)

2012~2013学年度第二学期高二年级调研测试数学试题(文科)一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡...相应位置上.)1.若集合{}{}{}0,,2,3,3A m B A B ===I ,则实数=m ▲. 答案:32.已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n 是9的倍数”,根据三段论推理规则,我们可以得到的结论是 ▲ . 答案:n 是3的倍数.3.函数0y =的定义域为 ▲ .答案:{}2,x 4x x >-≠且4.用反证法证明命题“若210x -=,则1x =-或1x =”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ▲ ”. 答案:假设x ≠-1且x ≠1.5.已知复数22(815)(918)i z m m m m =-++-+为纯虚数,则实数m 的值为 ▲ . 答案: 5.6.已知函数3(0)()(0)xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则1()4f f ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦= ▲ .答案: -12.7.已知集合{}3(,)1,,,(,)2,,4y A x y x R y R B x y y ax x R y R x ⎧-⎫==∈∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭,若A B ⋂=∅,则实数a 的值为 ▲ . 答案:148.已知方程3log 5x x =-的解所在区间为(,1)()k k k N *+ ∈,则k = ▲ . 答案: 3.9.对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”,仿此,记36的“分裂”中最小的数为a ,而26的“分裂”中最大的数是b ,则a +b = ▲ . 答案:4210.在矩形ABCD 中,5AB =,2BC =,现截去一个角PCQ ∆,使P Q 、分别落在边BC CD 、上,且PCQ ∆的周长为8,设PC x =,CQ y =,则用x 表示y 的表达式为y = ▲ .答案:y=8328x x --(0<x ≤2). 11.给出下列命题:①在区间(0,)+∞上,函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数;②若log 3log 30m n <<,则01m n <<<;③若函数()f x 是奇函数,则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称;④函数()()21f x x x x =⋅+--有2个零点. 其中正确命题的序号..为 ▲ . 答案:③④A BCDPQ12.当(34)x ∈,时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 ▲ . 答案:m ≤-5.13.设1a >,若函数2()log ()a f x ax x =-在区间1,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,则a 的取值范围是▲ . 答案: a>2.14.设不等式2(1)0x px p p +--≥对任意正整数x 都成立,则实数p 的取值范围是 ▲ .答案:≤p ≤二、解答题:本大题共6小题,共90分.(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)设全集是实数集R ,22{|2730},{|0}A x x x B x x a =-+≤=+<,(1) 当4a =-时,求A B ; (2) 若()R A B B =r ð,求负数a 的取值范围.解:(1)1{|3}2A x x =≤≤ ………………………………………………4分 当4a =-时,{|22}B x x =-<< …………………………………………………4分{|23}A B x x =-<≤ ………………………………………………… 8分(2) 1{|}2R A x x =<或x>3r ð ………………………………………10分∵0a <,∴{|B x x =<, …………………… 12分当()R A B B =r ð时,有R B A ⊆r ð,要使R B A ⊆r ð,12≤成立, 解得104a -≤<………………14分 16.(本题满分14分)已知复数22(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++,其中a +∈R,),0(πθ∈,i 为虚数单位,且z 是方程2220x x ++=的一个根.(1)求θ与a 的值;(2)若w x yi =+(,x y 为实数),求满足1zw z i-≤+的点(,)x y 表示的图形的面积. 解:(1)由方程x 2+2x+2=0得x=-1±i ………………………………………2分 2(cos 1)0θ+≥∴z=-1+I ……………………………………………………………………4分又z=(a 2-42sin θ)+2(cos θ+1)i∴22a -4sin 1 2(cos 1)1θθ⎧=-⎨+=⎩ …………………………………………………………………… 6分 a ∈(0,+∞),),0(πθ∈∴θ=23π, …………………………………………………………………… 8分(2)1125z i z i i --==+-+ …………………………………………………… 10分∴1w -≤(1,0)为圆心,5为半径的圆,………………………… 12分∴面积为22(55ππ= ………………………… 14分 17.(本题满分14分)已知定义域为R 的函数2()2x x bf x a-=+是奇函数.(1)求,a b 的值;(2) 利用定义判断函数()y f x =的单调性;(3)若对任意[0,1]t ∈,不等式22(2)()0f t kt f k t ++->恒成立,求实数k 的取值范围.解: (1)1101(0)011111(1)(1)221bb a f a a b f f a a -⎧-=⎧⎪===⎧⎪⎪+∴+⎨⎨⎨=⎩⎪⎪-=-=⎩⎪++⎩得(需验证)………………4分 (其它解法酌情给分)12122(22)(21)(21)x x x x -=++(2)由(Ⅰ)知121221(),21x xf x x x R x x -=∀∈<+、,且 121212121221212(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++则 12121212,22220,210,210x x x x x x x x <∴<∴-<+>+>1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<∴<()y f x R ∴=在上为增函数………………9分(求导数方法酌情给分) (3)22(2)()0f t kt f k t ++->22(2)()f t kt f k t ∴+>--22()()()f x f k t f t k ∴--=-是奇函数22(2)()f t kt f t k ∴+>-()f x 为增函数2222(1)t kt t k k t t ∴∴+>-∴+>-…………10分 [][]220.111,211t t t t k k t t ∈∴+∈∴>-∴<++恒成立-222(1)1(1)11111220111111t t t t t t t t t t t -+-==+=-+=++-≥=++++++……12分 当且仅当0t =时等号成立。

2012-2013学年度第二学期高二年级调研测试数学理科试卷(含答案)-推荐下载

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8.设
a

0且a
1,若函数
f
(x)

loga
(ax2
范围是 ▲ .
9. (1 mx)6 a0 a1x a2 x2 a6 x6 且 a1 a2 a3 a4 a5 a6 63 ,则实数 m
的值为 ▲ .
10.整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),
x
时,生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润
高二数学(理科) 第 3 页 (共 4 页)
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电通,力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置,机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2,荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷,管调需路控要习试在题验最到;大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资,常料要工试加况卷强下安看与全22过,22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资;中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整,高核或中对者资定对料值某试,些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位,卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置,地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中,案资要,料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气,设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术,技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式;资,对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资,件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调,并试合且技理进术利行,用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活:。。在对对分于于线调差盒试动处过保,程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试,题技应,术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进,变行需压隔要器开在组处事在理前发;掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时,、,强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试,卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用,关高要技中进术资行资料检料试查,卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

江苏省盐城市高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

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四星高中使用2013/2014学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题【试卷综评】本试卷无论是试题的类型,还是试题的表达方式,都可以看出出题者的别具匠心。

试卷从检测学生的学习能力入手,细致、灵活地来考查基本的数学知识。

打破了学生的习惯思维,能测试学生思维的多角度性和灵活性。

试卷体现了以下特点。

选择现实鲜活的素材。

将一些与生活实际息息相关的素材改编成有新意的试题,引发学生发现并解决实际问题。

创设自主选择的平台。

命题时不仅选择新的背景材料,又适当改变题目结构的程式化,为学生提供更多的自主探究的机会。

感受时代跳动的脉搏。

有些题目素材来源于生活实际的真实数据,让学生体会到数学在生活中的应用。

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.命题“x R ∃∈,022≤--x x ”的否定是 ▲ . 【知识点】命题的否定’【答案解析】2,20x R x x ∀∈-->解析 :解:∵命题“x R ∃∈,022≤--x x ”是特称命题,∴否定命题为:2,20x R x x ∀∈-->. 故答案为:2,20x R x x ∀∈-->.【思路点拨】由于命题是一个特称命题,故其否定是全称命题,根据特称命题的否定的格式即可.2.设复数z 满足(为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .13i =+,则z 的实部为1.故答案为:1.【思路点拨】由3iz i =-+,两边除以i ,按照复数除法运算法则化简计算. 3.某校高一年级有400人,高二年级有600人,高三年级有500人,现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查,那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ .4.“2>x ”是“042>-x ”的 ▲ 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空).【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【答案解析】充分不必要解析 :解:由042>-x ,得x >2或x <-2.即q :x >2或x <-2.∴2>x 是042>-x 的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要.【思路点拨】求出042>-x 成立的条件,根据充分条件和必要条件的定义进行判断.5.一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为 ▲ .的值为 ▲ .【知识点】伪代码.【答案解析】21解析 :解:由题意,第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环 故答案为:21【思路点拨】第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环,故可得结论.7.在平面直角坐标系xOy 中,已知中心在坐标原点的双曲线C 经过点(1,0),且它的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同,则该双曲线的标准方程为 ▲ .【知识点】抛物线、双曲线方程.第6题【答案解析】2213y x -=解析 :解:抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0),则双曲线C 的右焦点F (2,0),所以224a b +=,221y b =1,即21a =,23b =.∴双曲线的方程为2213y x -=. 故答案为:2213y x -=. 【思路点拨】求出抛物线28y x =的焦点坐标,可得双曲线的一个顶点,设出双曲线方程,代入点的坐标,即可求出双曲线的方程.8.已知点(),P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域内,则y x z +=2 的最大值为▲ .【知识点】简单线性规划.【答案解析】6解析:解:P (x ,y )在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内,如图:所以z=2x+y 的经过A 即y xx 2ìïíïî==的交点(2,2)时取得最大值:2×2+2=6.故答案为:6.【思路点拨】画出约束条件表示的可行域,确定目标函数经过的位置,求出最大值即可.9.已知322322=+,833833=+,15441544=+,….,类比这些等式,若=,a b 均为正实数),则a b += ▲ .322=,833833=+,15441544=+()1n +则第5个等式中:a=6,b=a 2-1=35,a+b=41. 故答案为:41.【思路点拨】根据观察所给的等式,归纳出第n 个式子,即可写出结果. 10.(理科学生做)已知nxx )2(3-展开式中所有项的二项式系数和为32,则其展开式中的常数项为 ▲ .【知识点】二项式定理.【答案解析】80-解析 :解:因为展开式中所有项的二项式系数和为:012...232n nn n n nC C C C ++++==,解得5n =,由二项式展开式515rrr r T C-+骣=-整理得:()52352r rrr C x---,所以5023r r--=,故3r =,则其展开式中的常数项为:()335280C -=-.故答案为:80-.【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出n ,然后欲求展开式中的常数项,则令x 的指数5023r r--=可求得结果. (文科学生做)已知平面向量,a b 满足||2=a ,||2=b ,|2|5+=a b ,则向量,a b 夹角的余弦值为 ▲ .夹角. ,a b 的夹角为;因为|2|5+=a b ,平方变形得:224425a b a b ++?,解得:54a b?,所以5cos 16a b a b q ×==×.故答案为:516. 【思路点拨】先设出其夹角,根据已知条件整理出关于夹角的等式,解方程即可. 11.(理科学生做)现从8名学生中选出4人去参加一项活动,若甲、乙两名同学不能同时入选,则共有 ▲ 种不同的选派方案.(用数字作答) 【知识点】排列组合及简单计数问题.【答案解析】55 解析 :解:从8名学生中选出4人,共有4870C =种选法, 其中甲乙同时参加的有2615C =种选法,所以从8名学生中选出4人,甲乙不同时参加的选法有70-15=55种, 故答案为55.【思路点拨】所有选法共有48C 种,减去甲乙同时参加的情况26C 种即可.(文科学生做)设函数2()x xe aef x x -+=是奇函数,则实数a 的值为 ▲ .【知识点】奇函数的定义.【答案解析】1-解析 :解:因为函数2()x xe aef x x -+=,所以2()()x x e ae f x x -+-=-,又因为函数是奇函数,所以()()0f x f x +-=,即220()x x x xe ae e ae x x --+++=-,解得1a =-, 故答案为:1-.【思路点拨】利用奇函数的定义()()0f x f x +-=解方程即可.12.设正实数,,x y z 满足22390x xy y z -+-=,则当xyz取得最大值时,x y 的值为▲ .【知识点】基本不等式.【答案解析】3解析 :解:因为,,x y z 为正实数,且22390x xy y z -+-=,则2239z x xy y =-+,所以221193933xy xy x y z x xy y y x==≤=-++-,当且仅当3x y =时等号成立,此时xy=3. 故答案为3.【思路点拨】把原式整理代入xyz并判断出等号成立的条件即可.13.若函数()(1)xf x mx e =-在(0,)+∞上单调递增,则实数m 的取值范围是 ▲ . 【知识点】函数的单调性;不等式恒成立问题.【答案解析】[)1,+∞解析 :解:因为()(1)xf x mx e =-在(0,)+∞上单调递增,即()()10x f x e mx m ¢=+->在(0,)+∞上恒成立,令()1g x mx m =+-,即()10g x mx m =+->在(0,)+∞上恒成立,故(0)0g ³,则1m ³.故答案为:[)1,+∞.【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题,然后求解即可. 14.设点P 为函数ax x x f 221)(2+=与2()3ln 2g x a x b =+)0(>a 图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为 ▲ .【知识点】导数的几何意义;利用导数求最大值.【答案解析】3243e 解析 :解:设点P 坐标为()00,x y ,则有20002001223ln 2y x ax y a x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩,因为以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,所以00()()k f x g x ''==,即20032,a x a x +=0,x a ∴=或03x a =-由)0(>a ,故0x a =,此时2052a y =;所以点P 坐标为25,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入2()3ln 2g x a x b =+整理得:2253ln 42a ab a =-,()532ln 3ln 22b a a a a a a a '∴=-+=-,令0b '=,即3ln 0a a a -=,得13a e =,可判断当13a e =时有极大值也是最大值,2211331233533ln 424e e b e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=-=, 故答案为:3243e .【思路点拨】设点P 坐标为()00,x y 满足两个函数解析式成立,再借助于斜率相同可解得a ,代入函数()g x ,最后利用导数求最大值即可.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)(理科学生做)设某地区O 型血的人数占总人口数的比为12,现从中随机抽取3人. (1)求3人中恰有2人为O 型血的概率;(2)记O 型血的人数为ξ,求ξ的概率分布与数学期望.【知识点】n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率;分布列;期望. 【答案解析】(1)38(2)32解析 :解:(1)由题意,随机抽取一人,是O 型血的概率为12, …………2分 ∴3人中有2人为O 型血的概率为23313()28P C ==. …………6分(2)ξ的可能取值为0,1,2,3, …………8分∴03311(0)()28P C ξ===, 13313(1)()28P C ξ===, 23313(2)()28P C ξ===,33311(3)()28P C ξ===, …………12分∴3()2E ξ=. …………14分【思路点拨】(1)代入n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式即可;(2)根据n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式依次求出ξ为0,1,2,3,时的概率,最后求出期望值.(文科学生做)设函数22()28(0)f x x ax a a =-->,记不等式()0f x ≤的解集为A .(1)当1a =时,求集合A ;(2)若(1,1)A -⊆,求实数a 的取值范围. 【知识点】一元二次不等式的解法;集合间的关系.【答案解析】(1){}|24x x-#(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析 :解:(1)当1=a 时,82)(2--=x x x f ,解不等式0822≤--x x ,得42≤≤-x , ……5分{}42|≤≤-=∴x x A 集合. …………6 分(2) 08222≤--a ax x ,∴0)2)(4(≤+-a x a x ,又0>a ,a x a 42≤≤-∴,∴[]2,4A a a =-. …………9分又()1,1A -⊆,⎩⎨⎧≤-≥-∴aa 4121,解得21≥a ,∴实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. …14分【思路点拨】(1)当1=a 时直接解不等式0822≤--x x 即可;(2)利用已知条件(1,1)A -⊆列不等式组即可解出范围.16.(本小题满分14分)(理科学生做)设数列{}n a 满足13a =,2122n nn a a na +=-+.(1)求234,,a a a ;(2)先猜想出{}n a 的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想. 【知识点】数学归纳法;归纳推理.【答案解析】(1)2345,7,a a a ===9;(2)21n a n =+,证明见解析.解析 :解:(1)由条件2122n nn a a na +=-+,依次得2211225a a a =-+=, 2322427a a a =-+=,2433629a a a =-+=, …………6分 (2)由(1),猜想21n a n =+. …………7分 下用数学归纳法证明之:①当1n =时,13211a ==⨯+,猜想成立; ………8分 ②假设当n k =时,猜想成立,即有21k a k =+, …………9分 则当1n k =+时,有2122(2)2(21)122(1)1k kk k k a a ka a a k k k +=-+=-+=+⋅+=++, 即当1n k =+时猜想也成立, …………13分 综合①②知,数列{}n a 通项公式为21n a n =+. …………14分【思路点拨】(1)直接利用已知关系式,通过n=1,2,3,4,求出a 2,a 3,a 4; (2)利用(1)猜想数列{}n a 的通项公式,利用数学归纳法证明的步骤证明即可.(文科学生做)在Rt ABC ∆中,2BAC π∠=,6AB AC ==,设(0)BD BC λλ=>uu u r uu u r.(1)当2λ=时,求AB AD ⋅uu u r uuu r的值;(2)若18AC AD ⋅=uuu r uuu r,求λ的值.【知识点】向量的数量积;向量的数量积运算.【答案解析】(1)-36(2)21=λ 解析 :解:(1)当2=λ时,2=,所以-=-+=+=+=2)(22, …………3分∴363602)2(2-=-=-⋅=-⋅=⋅. …………7分(2)因为()()()[]AC AD AC AB BD AC AB BC AC AB AC AB λλ⋅=⋅+=⋅+=⋅+- ()λλλλλ36)1()1(2=⋅-+=-+⋅=AB AC ACAB AC AC , …………12分∴1836=λ,解得21=λ. …………14分 【思路点拨】(1)当2=λ时,2=,利用向量的数量积公式计算即可;(2)先计算出AC AD ⋅uuu r uuu r ,然后解方程即可.17.(本小题满分14分)(理科学生做)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2ACB π∠=,,D E 分别是1,AB BB 的中点,且AC BC ==12AA =.(1)求直线1BC 与1A D 所成角的大小; (2)求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值. 【知识点】异面直线所成的角;直线与平面所成的角.ABCA 1B 1C 1E D 第17题【答案解析】(1)6π(2)33解析 :解:分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则由题意可得:(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点,∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分(1)因为1(0,2,2)BC =-, 1(1,1,2)A D =--,所以111111cos ,2BC A D BC A D BC A D⋅===⋅, …………7分∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6π. …………8分 (2)设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由10CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩,∴可取(1,1,1)e =--, …………10分又 1(2,2,1)A E =--,所以111cos ,3||.||3A E e AE e A E e ⋅===-, ……13分 ∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为33. …………14分 【思路点拨】(1)分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则由题意可得1(0,2,2)BC =-, 1(1,1,2)A D =--,然后利用向量的夹角公式计算可得结果;(2)找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.(文科学生做)设函数2()(2)1x af x a x +=≠+. (1)用反证法证明:函数()f x 不可能为偶函数;(2)求证:函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减的充要条件是2a >.【知识点】反证法与放缩法;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【答案解析】(1)见解析(2)见解析解析 :解:(1)假设函数()f x 是偶函数, …………2分则(2)(2)f f -=,即4413a a-++=-,解得2a =, …………4分 这与2a ≠矛盾,所以函数()f x 不可能是偶函数. …………6分(2)因为2()1x a f x x +=+,所以22()(1)a f x x -'=+. …………8分 ①充分性:当2a >时,22()0(1)af x x -'=<+, 所以函数()f x 在(,1)-∞-单调递减; …………10分 ②必要性:当函数()f x 在(,1)-∞-单调递减时,有22()0(1)af x x -'=≤+,即2a ≥,又2a ≠,所以2a >. …………13分 综合①②知,原命题成立. …………14分【思路点拨】(1)假设函数f (x )为偶函数,则f (-x )=f (x ),代入利用对数的性质,可得矛盾,即可得证;(2)分充分性、必要性进行论证,即可得到结论. 18又若点,P H 重合,则tan θ=,即3πθ=,所以(0,)3πθ∈,从而93tan cos L θθ=+,(0,)3πθ∈. …………7分 (2)由(1)知93sin 3tan 3cos cos L θθθθ-=+=⋅, 所以23sin 13cos L θθ-'=⋅,当0L '=时,1sin 3θ=, …………11分 令01sin 3θ=,0(0,)3πθ∈,当0(,)3πθθ∈时,0L '>;当0(0,)θθ∈时,0L '<;所以函数L 在0(0,)θ上单调递减,在0(,)3πθ上单调递增, …………15分所以当0θθ=,即1sin 3θ=时,L 有最小值,此时用料最省. …………16分 【思路点拨】(1)通过图形分别求出的值,,,?PH HA HB HC ,然后写出解析式并注明定义域即可;(2)利用导数结合单调性即可求出最值. 19.(本小题满分16分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,其中2b a =,过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D BP PD λ=,其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时,对应的λ=(1)求椭圆E 的离心率; (2)求a 与b 的值; B第18题(3)当λ变化时,AB k 是否为定值?若是,请求出此定值; 若不是,请说明理由.【知识点】椭圆的性质;椭圆的标准方程;根与系数的关系.【答案解析】(1)1 2(2)2,a b ==(3)34AB k =-为定值. 解析 :解:(1)因为b =,所以2234b a =,得22234a c a -=,即2214a c =, 所以离心率12c e a ==. ………4分(2)因为(,0)C a ,57λ=,所以由AP PC λ=,得12512(,)77a A -, ………7分将它代入到椭圆方程中,得2222(125)121349494a a a -+=⨯,解得2a =,所以2,a b ==. ………10分 (3)法一:设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ,由AP PC λ=,得13131111x x y y λλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩, ………12分又椭圆的方程为22143x y +=,所以由222233111,14343x y x y +=+=, 得22113412x y += ①, 且2211113(1)4(1)12x y λλ--+++= ②,由②得,221111212[3(1)4(1)][3(1)4(1)]5x y x y λλ-+-+-+-=, 即22111111212[(34)72(34)][7(34)]5x y x y x y λλ++-++-+=, 结合①,得211191453422x y λλλ+-+=+, ………14分同理,有222191453422x y λλλ+-+=+,所以11223434x y x y +=+,从而121234y y x x -=--,即34AB k =-为定值. ………16分 法二:设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ,由AP PC λ=,得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩,同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩,……12分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,两式相减得 121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=,即12123()4()0AB x x y y k +++=, ……14分同理,34343()4()0CD x x y y k +++=,而AB CD k k =,所以34343()4()0AB x x y y k +++=, 所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=,所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=,即6(1)8(1)0k λλ+++=,所以34AB k =-为定值. ………16分 【思路点拨】(1)根据椭圆的性质求出a ,c 的关系式即可;(2)由AP PC λ=得12512(,)77a A -代入到椭圆方程中即可得结果;(3)设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ,由AP PC λ=,得到点坐标间的关系,再将将,A B坐标代入椭圆方程后两式相减,再利用AB CD k k =即可.20.(本小题满分16分) 设函数32()3f x x x ax =-+()a R ∈. (1)当9-=a 时,求函数()f x 的极大值;(2)若函数()f x 的图象与函数x x x ln )(-=ϕ的图象有三个不同的交点,求a 的取值范围; (3)设()|()|g x f x =,当0a >时,求函数()g x 的单调减区间. 【知识点】利用导数求极值;借助导数求范围;利用导数求单调区间. 【答案解析】(1)极大值为5.(2)5(ln 2,2)4+;(3)①当3a ≥时,函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞;②当934a <≤时,函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(1+;③当904a <<时,函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(12,(1+.解当9a =-时,由2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+=0,得3x =或x =列表如下:所以当1x =-时,函数()f x 取得极大值为5. ………4分(2)由()ln f x x x =-,得323ln x x ax x x -+=-,即23ln a x x x =-+-, ………6分令2()3ln h x x x x =-+-,则12(1)(21)()23x x h x x x x---'=-+-=,x (,1)-∞- -1 (1,3)- 3 (3,)+∞()f x '+ 0 - 0 +()f x 递增 极大 递减 极小 递增列表,得x1(0,)2121(,1)21(1,)+∞ ()f x '-0 +-()f x递减极小值5ln 24+递增极大值2递减………8分 由题意知,方程()a h x =有三个不同的根,故a 的取值范围是5(ln 2,2)4+. ………10分(3)因为()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-, 所以当3a ≥时,()f x 在R 上单调递增; 当03a <<时,()0f x '=的两根为1±0111<< 所以此时()f x在(,1-∞上递增,在(1+上递减,在(1)++∞上递增; ………12分 令()0f x =,得0x =,或230x x a -+= (),当94a ≥时,方程()无实根或有相等实根;当904a <<时,方程()有两根32±………13分 从而①当3a ≥时,函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞; ………14分②当934a <≤时,函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(1-+; ……15分③当904a <<时,函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(12,3(12++. ………16分【思路点拨】(1)当9a =-时,求出原函数的导数,找到极值点列表求出极大值;(2)原式变型为23ln a x x x =-+-,令2()3ln h x x x x =-+-,然后通过列表找到a 的取值范围;(3)对a 进行分类讨论即可.。

2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试卷(带解析)

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一、填空题(题型注释)1、命题“”的否定是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)2、抛物线的焦点坐标是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)3、“”是“”条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”之一)来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)4、函数的导数是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)5、在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)6、曲线在点处的切线斜率为.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)7、函数,若,则 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)8、若双曲线上一点到左焦点的距离为4,则点到右焦点的距离是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)9、已知、是椭圆的左、右焦点,弦过,则的周长为 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)10、设函数的单调增区间为 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)11、在平面直角坐标系中,“直线,与曲线相切”的充要条件是.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)12、已知函数在定义域内可导,其图象如图所示,记的导函数为,则满足的实数的范围是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)13、已知点分别是椭圆:()的左顶点和上顶点,椭圆的左右焦点分别是和,点是线段上的动点,如果的最大值是,最小值是,那么,椭圆的的标准方程是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)14、已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则再扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作,若,对数和数经过10次操作后,扩充所得的数为,其中是正整数,则的值是 .来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)二、解答题(题型注释)15、(本小题满分14分)命题:函数在上是增函数;命题:,使得.(1)若命题“且”为真,求实数的取值范围;(2)若命题“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)16、(本小题满分14分)已知椭圆,其左准线为,右准线为,抛物线以坐标原点为顶点,为准线,交于两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求线段的长度.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)17、(本小题满分15分)若函数在时取得极值,且当时,恒成立.(1)求实数的值;(2)求实数的取值范围.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)18、(本小题满分15分)如图,在半径为的圆形(为圆心)铝皮上截取一块矩形材料,其中点在圆上,点、在两半径上,现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长,圆柱的体积为.(1)写出体积关于的函数关系式,并指出定义域;(2)当为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?最大体积是多少?来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)19、(本小题满分16分)椭圆:的左、右顶点分别、,椭圆过点且离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆上异于、两点的任意一点作轴,为垂足,延长到点,且,过点作直线轴,连结并延长交直线于点,线段的中点记为点.①求点所在曲线的方程;②试判断直线与以为直径的圆的位置关系,并证明.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)20、(本小题满分16分)已知函数,,.(1)当时,若函数在区间上是单调增函数,试求的取值范围;(2)当时,直接写出(不需给出演算步骤)函数()的单调增区间;(3)如果存在实数,使函数,()在处取得最小值,试求实数的最大值.来源:2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试题(带解析)参考答案1、2、3、充分不必要4、5、6、17、38、109、810、11、12、13、14、14415、(1)(2)或16、(1)(2)1617、(1)(2)18、(1)(2)当时,V有最大值19、(1)(2)①②直线与圆相切,证明:AQ的方程为, ,,,,∴,∴直线QN与圆O相切20、(1)(2)时,增区间,时,减区间(3)【解析】1、试题分析:对于全称命题的否名:改为,并对满足的条件加以否定考点:全称命题的否定点评:的否定为2、试题分析:一次项系数除以4得焦点横坐标或纵坐标,所以焦点考点:抛物线焦点点评:的焦点3、试题分析:要判断两个范围间是哪种条件关系,需看是否有包含关系,若则A 是B的充分条件,B是A的必要条件考点:充分条件必要条件点评:若则是的充分条件,是的必要条件4、试题分析:考点:导数公式点评:用到的导数公式5、试题分析:由方程可知,考点:求离心率点评:求离心率问题首先由方程找到6、试题分析:,考点:导数的几何意义点评:函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率7、试题分析:考点:求函数导数点评:各类基本函数的导数公式要熟记8、试题分析:由双曲线方程可知,由定义得考点:双曲线定义点评:双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于9、试题分析:的周长为考点:椭圆的定义点评:椭圆上的点到两焦点的距离之和等于10、试题分析:,令得,增区间为考点:求函数单调区间点评:函数求导,导数大于零得增区间,导数小于零得减区间11、试题分析:曲线化简得,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径1可得考点:直线与圆相切的位置关系点评:本题结合图形求解12、试题分析:时对应的原函数为增函数,观察图像可知x的范围是考点:函数导数求单调区间点评:得函数增区间,得函数减区间13、试题分析:当在A点时最大,此时,设直线AD与圆交于M,N两点,P在MN中点时最小,设中点为C,直线为直线为,联立方程的最小值为,椭圆的的标准方程考点:直线和椭圆的位置关系点评:本题关键是找到取得最大值最小值的点的位置14、试题分析:由得,设第n次扩充后得到的数为,,,,,,,,,考点:信息题点评:信息题的主要解题思路是把握住信息的实质联系,在解题中带入应用15、试题分析:(1)命题为真:;命题为真:,命题“且”为真,则(2)命题“或”为真,“且”为假,则命题,命题一真一假,命题为真,命题为假时;命题为假,命题为真时或考点:复合命题真假的判定点评:命题“且”为真,则,需同时为真,命题“或”为真,则至少一个为真16、试题分析:(1)椭圆中,左准线为:,右准线为:,抛物线准线为方程为(2)方程中令得考点:椭圆性质抛物线方程点评:圆锥曲线的几何性质是常出的考点17、试题分析:(1)由题意,是方程的一个根,设另一个根是,则,所有(2)所以,,+极小值极大值又,所以,当时,。

江苏省盐城市数学高二下学期文数期末考试试卷

江苏省盐城市数学高二下学期文数期末考试试卷

江苏省盐城市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2019高三上·广东月考) 复数满足(其中是虚数单位),则的虚部为()A . 2B .C . 3D .2. (2分) (2018高一上·民乐期中) 如果集合,,,那么()A .B .C .D .3. (2分)已知锐角的终边上一点,则锐角=()A .B .C .D .4. (2分) (2016高三上·绍兴期末) 命题“∀x∈R,sinx>1”的否定是()A . ∀x∈R,sinx≤1B . ∀x∈R,sinx>1C . ∃x0∈R,sinx0≤1D . ∃x0∈R,sinx0>15. (2分)下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是()A .B .C .D .6. (2分)的展开式的常数项是()A .B .C . 2D . 37. (2分)(2018·台州模拟) 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为()A .B .C .D .8. (2分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A . 1B .C .D .9. (2分)在等比数列{an}中,若a1=2,a3=4,则a7等于()A . 8B . 16C . 32D . 6410. (2分)已知实数满足,则目标函数的最小值为()A .B . 5C . 6D . 711. (2分) (2017高二上·安平期末) 设F1 , F2分别为椭圆C1: + =1(a>b>0)与双曲线C2:﹣ =1(a1>0,b1>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e= ,则双曲线C2的离心率e1为()A .B .C .D .12. (2分)已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若曲线y=xa过点P(,),则a的值为()A . -1B .C . 2D . 3二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)(2017·东北三省模拟) 两个单位向量,满足⊥ ,且⊥(x + ),则|2﹣(x+1) |=________.14. (1分)如果f[f(x)]=2x﹣1,则一次函数f(x)=________.15. (1分) (2018高二上·江苏月考) 椭圆的焦距是________.16. (1分)如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据:x3 3.5 4.5my234n根据上表提供的数据,已知m+n=9求出y关于x的线性回归方程为 =x﹣0.75,则n的值为________.三、解答题 (共7题;共70分)17. (10分)(2018·商丘模拟) 在中,内角所对的边分别为,若,且 .(1)求证:成等比数列;(2)若的面积是2,求边的长.18. (15分)(2020·随县模拟) 某大学为了调查该校学生性别与身高的关系,对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查,得到身高频数分布表如下:男生身高频率分布表男生身高(单位:厘米)频数710191842女生身高频数分布表女生身高(单位:厘米)频数31015633(1)估计这1000名学生中女生的人数;(2)估计这1000名学生中身高在的概率;(3)在样本中,从身高在的女生中任取2名女生进行调查,求这2名学生身高在的概率.(身高单位:厘米)19. (15分)如图,边长为5的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=4.(1)求证:DA⊥平面ABEF;(2)求证:MN∥平面CDEF;(3)在线段FE上是否存在一点P,使得AP⊥MN?若存在,求出FP的长;若不存在,请说明理由.20. (10分) (2016高一下·昆明期中) 设函数(1)求函数f(x)的单调减区间;(2)若,求函数f(x)的值域.21. (5分)(2017·嘉兴模拟) 已知函数 .(I)若在处的切线方程为,求的值;(II)若在上为增函数,求得取值范围.22. (10分) (2018高三上·三明期末) 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,,,以为直径的圆记为圆,圆过原点的切线记为,若以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆的极坐标方程;(2)若过点,且与直线垂直的直线与圆交于,两点,求.23. (5分) (2017高二下·沈阳期末) 已知函数 .(Ⅰ)当a=1时,求的解集;(Ⅱ)若的解集包含集合,求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题;共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。

江苏省盐城中学2012-2013学年高二12月阶段性测试数学试题

江苏省盐城中学2012-2013学年高二12月阶段性测试数学试题

命题人:杨生涛 朱立标 审题人:徐文 陈健一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分) 1.命题“∀x ∈R ,sinx>0”的否定是___▲______ 2.复数2i1iz =-(i 为虚数单位)的虚部是 ▲ 3.已知m x q x p <<:,1:,若p 是q 的必要不充分条件,则m 的取值范围是 ▲ 4.执行右图语句后,打印纸上打印出的结果应是____▲______.5.观察下列等式照此规律,第n 个等式为 ▲ 。

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……6.若双曲线2221613x y m -=的右焦点在抛物线22y mx =的准线上,则实数m 的值为___▲.7.执行右边的程序框图,若4=p ,,则输出的=S ▲8.设定义在R 上的函数x x x f sin 5)(+=, 则 不等式f (x −1)+f (1−x 2)<0的解集为 _ ▲____9.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点,则OB OA ⋅= ▲ . 10.命题p :()f x =在(]0,∞-∈x 上有意义,命题q :函数2lg()y ax x a =-+ 的定义域为R .如果p 且q 为真命题,则a 的取值范围为 ▲ .11. 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为y =2x -1,则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为 ▲ .12.对于函数()x f y =,若存在区间[]b a ,,当∈x []b a ,时,()x f 的值域为[]kb ka ,(k >0),则称()x f y =为k 倍值函数。

若()x x x f +=ln 是k 倍值函数,则实数k 的取值范围是 ▲13.已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ,点F A ,分别是椭圆C 的左顶点和左焦点,点P是圆222:b y x O =+上的动点.若PFPA是常数,则椭圆C 的离心率是 ▲ 14.已知函数23221()1(0)()31,()2(3)1(0)x x f x x x g x x x ⎧-+>⎪=-+=⎨⎪-++≤⎩,则方程[()]0g f x a -=(a 为正实数)的实数根最多有 ▲ 个二、解答题(本大题共6小题,计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(文)已知.22:,0)6)(2(:,0m x m q x x p m +≤≤-≤-+> (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;(2)若p m “,5=或”q 为真命题,“p 且”q 为假命题,求实数x 的取值范围.15.(理)如图,在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中,11A E CF ==.⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值;⑵求平面1BED F 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.16.已知x x b ax x f ln 42)(+-=在311==x x 与处都取得极值. (1)求a 、b 的值;(2)若对],1[e ex ∈时,c x f ≥)(恒成立,求实数c 的取值范围.17.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系t x 2000=.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量;(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额2002.0t y =(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少?18.已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左,右焦点分别为12,F F ,其中2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点,M 是1C 与2C 在第一象限的交点,且25.3MF =(1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,)(0)A m m >是椭圆1C 上一点,,E F 是椭圆1C 上的两个动点,若直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,探求直线EF 的斜率是否为定值?如果是,求出定值;反之,请说明理由.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,且经过点P ,若A B ,分别是椭圆C 的右顶点和上顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若6ED DF =,求k 的值; (3)求四边形AEBF 面积的最大值.20.若函数()f x 在0x x =处的导数为0,则称点00(,())x f x 为函数()f x 的驻点,若点(1,1)为函数f (x )的驻点,则称f (x )具有“1—1驻点性”.(1)设函数f (x )=ln x a x -++,其中0a <.①求证:函数f (x )不具有“1—1驻点性”;②求函数f (x )的单调区间.(2)已知函数g (x )=bx 3+3x 2+cx +2具有“1—1驻点性”,给定x 1,x 2∈R ,x 1<x 2,设λ为实数,且λ≠1-,α=x 1+λx 21+λ,β=x 2+λx 11+λ,若|g (α)-g (β)|>|g (x 1)-g (x 2)|,求λ的取值范围.江苏省盐城中学高二年级第二次随堂测验数 学 试题(2012.12)(答案)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分) 1.0sin ,≤∈∃x R x 2. 1 3.1≤m 4. 28_. 5.2)12()23()2()1(-=-++++++n n n n n6. _-4_. 7. 16158.{}10|><x x x 或 9. -3. 10.⎥⎦⎤⎝⎛1,21.11.56-=x y . 12.)11,1(e +14. 6 个 二、解答题(本大题共6小题,计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(文)已知.22:,0)6)(2(:,0m x m q x x p m +≤≤-≤-+> (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;(2)若p m “,5=或”q 为真命题,“p 且”q 为假命题,求实数x 的取值范围. 解: .62:≤≤-x p(I)∵p 是q 的充分条件,∴[-2,6]是]2,2[m m +-的子集∴462220≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤->m m m m ∴实数m 的取值范围是).,4[+∞ (Ⅱ)当5=m 时,73:≤≤-x q . 据题意有,p 与q 一真一假.p 真q 假时,由φ∈⇒⎩⎨⎧>-<≤≤-x x x x 7362或p 假q 真时,由.76237362≤<-<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤->-<x x x x x 或或∴实数x 的取值范围为].7,6()2,3[⋃--15.(理)如图,在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中,11A E CF ==.⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值;⑵求平面1BED F 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值. (1)以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -, 如图所示,则()()()113,0,0,0,3,3,3,3,3A C AC =-,()()()110,0,3,3,0,2,3,0,1.D E D E =-所以111111cos ,3AC D E AC D E AC D E⋅<>===即两条异面直线1AC 与1D E (2) ()()()13,3,0,0,3,2,3,0,1.B BE D E =-=- 设平面1BED F 的一个法向量为(),,,n x y z = 由100n D E n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30320x z y z -=⎧⎨-+=⎩,所以23yxz x =⎧⎨=⎩,则(),2,3,n x x x =不妨取()1,2,3,n = 则cos α=16.已知x x b ax x f ln 42)(+-=在311==x x 与处都取得极值. (1)求a 、b 的值;(2)若对],1[e ex ∈时,c x f ≥)(恒成立,求实数c 的取值范围.解:(1)x x b a x f 42)(2/++= x x b ax x f ln 42)(+-= 在311==x x 与处都取得极值0)31(,0)1(//==∴f f ,⎩⎨⎧=++=++∴01292042b a b a 即1,23-=-=b a 经检验符合 (2)由(1)可知x xx x f ln 413)(++-=, 22/)1)(13(413)(x x x x x x f ---=+--= 由0)(/≥x f ,得()f x 的单调增区间为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由0)(/≤x f ,得()f x 的单调减区间为10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞,当],1[e e x ∈时,e ee f e e e f 341)(,34)1(-+=--=, 而0484)()1(>--=-ee ef ef 所以)()1(e f e f >,即)(x f 在],1[e e 上的最小值为e e341-+,要使对],1[e e x ∈时,c x f ≥)(恒成立,必须e ex f c 341)(min -+=≤17.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系t x 2000=.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量;(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额2002.0t y =(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少?解:(Ⅰ)工厂的实际年利润为:st t w -=2000(0≥t ).ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=, 当21000⎪⎭⎫⎝⎛=s t 时,w 取得最大值. 所以工厂取得最大年利润的年产量21000⎪⎭⎫⎝⎛=s t (吨). (Ⅱ)设农场净收入为v 元,则2002.0t st v -=.将21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式,得:432100021000s s v ⨯-=. 又令0='v ,得20=s . 当20<s 时,0>'v ;当20>s 时,0<'v ,所以20=s 时,v 取得最大值.18.已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左,右焦点分别为12,F F ,其中2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点,M 是1C 与2C 在第一象限的交点,且25.3MF =(1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,)(0)A m m >是椭圆1C 上一点,,E F 是椭圆1C 上的两个动点,若直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,直线EF 的斜率是否为定值?如果是,求出定值;反之,请说明理由.5325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='解:(I )设.35||),0,1(),,(2211=MF F y x M 由抛物线定义,,32,35111=∴=+x x .362,41121=∴=y x y),362,32(M ∴M 点C 1上,1,138942222-==+∴a b ba 又 0437922=+-∴a a222914c a a >==∴或舍去. 3,422==∴b a∴椭圆C 1的方程为.13422=+y x(II )设直线AE 的方程为3(1)2y k x =-+代人椭圆方程得 2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=设1122(,),(,)E x y F x y ,可得2111234()1232,342k x y kx k k --==+-+ 2211234()1232,342k x y kx k k +-==-+++,故1221()21.2EF k x x k k x x -++==-19.在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,且经过点P ,若A B ,分别是椭圆C 的右顶点和上顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若6ED DF =,求k 的值; (3)求四边形AEBF 面积的最大值.19.解:(1)2214x y +=,(2)直线AB EF ,的方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>. 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ,,,,,,其中12x x <, 且12x x ,满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=………①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==; 由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k =+.所以212k =+, 化简得2242560k k -+=,解得23k =或38k =. (3)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ,到AB 的距离分别为1h ,2h .又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12=== k kk k 41412414122++=++≤ 当且仅当)0(41>=k k k 即当12k =时,上式取等号.所以S的最大值为. 解法二:由题设,1BO =,2AO =.设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->,故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+===222x y =时,上式取等号.所以S 的最大值为.20.若函数()f x 在0x x =处的导数为0,则称点00(,())x f x 称为函数()f x 的驻点,若点(1,1)为函数f (x )的驻点,则称f (x )具有“1—1驻点性”.(1)设函数f (x )=ln x a x -++,其中0a <.①求证:函数f (x )不具有“1—1驻点性”;②求函数f (x )的单调区间.(2)已知函数g (x )=bx 3+3x 2+cx +2具有“1—1驻点性”,给定x 1,x 2∈R ,x 1<x 2,设λ为实数,且λ≠1-,α=x 1+λx 21+λ,β=x 2+λx 11+λ,若|g (α) -g (β)|>|g (x 1)-g (x 2)|,求λ的取值范围.解:(Ⅰ)①)(x f '=-1+1x +a x∵)1(f '=-1+1+a≠0, ∴函数f (x )不具有“1—1驻点性”②由)(x f '=-x+x+a x = -(x-12)2+a+14x(ⅰ)当a+14<0,即a <-14时,)(x f '<0.∴f (x )是(0,+∞)上的减函数; (ⅱ)当a+14=0,即a =-14时,显然)(x f '≤0.∴f (x )是(0,+∞)上的减函数; (ⅲ)当a+14>0,即a >-14时,由)(x f '=0得x=12±a+14 当-14<a <0时,12-a+14>0∴x ∈(0, a+12-a+14)时,)(x f '<0; x ∈( a+12-a+14, a+12+a+14)时,)(x f '>0; x ∈( a+12+a+14, +∞)时,)(x f '<0; 综上所述:当a ≤-14时,函数f (x )的单调递减区间为(0,+∞);当-14<a <0时,函数f (x )的单调递减区间为(0, a+12-a+14)和( a+12+a+14,+∞), 函数f (x )的单调递增区间为( a+12-a+14, a+12+a+14);(Ⅱ)由题设得:)(x g '=3bx 2+6x+c,∵g (x )具有“1—1驻点性”∴1)1(=g 且0)1(='g即⎩⎨⎧b+3+c+2=13b+6+c=0解得⎩⎨⎧b=-1c=-3∴)(x g '=-3x 2+6x-3=-3(x-1)2≤0,故g (x )在定义域R 上单调递减. ①当λ≥0时,α=x 1+λx 21+λ≥x 1+λx 11+λ=x 1,α=x 1+λx 21+λ<x 2+λx 21+λ=x 2,即α∈[x 1,x 2),同理β∈(x 1,x 2] 11分由g (x )的单调性可知:g (α),g (β)∈[ g (x 2),g (x 1)]∴|g (α)-g (β)|≤|g (x 1)-g (x 2)|与题设|g (α)-g (β)|>|g (x 1)-g (x 2)|不符.②当-1<λ<0时,α=x 1+λx 21+λ<x 1+λx 11+λ=x 1,β=x 2+λx 11+λ>x 2+λx 21+λ=x 2即α<x 1<x 2<β∴g (β)<g (x 2)<g (x 1)<g (α)∴|g (α)- g (β)|>|g (x 1)-g (x 2)|,符合题设③当λ<-1时,α=x 1+λx 21+λ>x 2+λx 21+λ=x 2, β=x 2+λx 11+λ<x 1+λx 11+λ=x 1,即β<x 1<x 2<α∴g (α)<g (x 2)<g (x 1)<g (β)∴|g (α)-g (β)|>|g (x 1)-g (x 2)|也符合题设 由此,综合①②③得所求的λ的取值范围是λ<0且λ≠-1。

2012-2013第一学期高二期末考试文科数学试题及答案

2012-2013第一学期高二期末考试文科数学试题及答案

2012学年度第一学期高二年级期末教学质量检测文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。

2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.“0x >”是320x >”成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .非充分非必要条件D .充要条件 2.抛物线24x y =的焦点坐标是A .(1,0)B .(0,1)C .1(,0)16 D .1(0,)163.圆8)3()3(22=-+-y x 与直线3460x y ++=的位置关系是A .相交B .相切C .相离D .无法确定4.设l 是直线,,αβ是两个不同的平面,则下列结论正确的是A .若l ∥α,l ∥β,则//αβB .若//l α,l ⊥β,则α⊥βC .若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥βD .若α⊥β, //l α,则l ⊥β 5.已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是A .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为A .2πB .33πC .22πD .4π7.已知椭圆2215x y m+=的离心率10e =,则m 的值为A .3B 51515C 5D .253或3 8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,直线1C B 与1D C 所成角为A .030B .045C .0609A8C . 10y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近A. B. C. 3 D. 5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分 11.若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a =12.z 轴上一点M 到点(1,0,2)A 与(1,3,1)B -的距离相等,则M 的坐标为13.设M 是圆012222=+--+y x y x 上的点,则M 到直线34220x y +-=的最长距离是,最短距离是14.已知点()()2,1,3,2P Q -,直线l 过点(0,1)M -且与线段..PQ 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是__________;三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省盐城市高二下册第二学期期末考试数学-含答案【精选】.doc

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第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位1.设11iz i+=-(i 为虚数单位),则 z = ▲ . 2.已知命题p :“n N *∃∈,使得 22n n <”,则命题p ⌝的真假为 ▲ .3.设R θ∈,则“sin 0θ=”是“sin20θ=”的 ▲ 条件.(选填: 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)4.如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图,则通过该测速点的300辆汽车中时速在[)60,80的汽车大约有 ▲ 辆.5.某程序框图如图所示,则输出的结果为 ▲ .6.在区间()0,5上随机取一个实数x ,则x 满足220x x -<的概率为 ▲ .7.已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的渐近线方程是43y x =±,则其准线方程为 ▲ . 8.若函数()x x af x e-=在区间()0,2上有极值,则a 的取值范围是 ▲ . 9.(理科学生做)从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队,则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种.(用数字作答)(第4题图)开始 结束S ←1 n ←7S >15S ←S +n n ←n -2否 是输出n (第5题图)(文科学生做)已知函数()3f x x =,则不等式()()210f x f x +-<的解集是 ▲ .10.的展开式中的常数项是 ▲ .(文科学生做)m 个单位(0m >),若所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是 ▲ .11.已知圆222(0)x y r r +=>的内接四边形的面积的最大值为22r ,类比可得椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接四边形的面积的最大值为 ▲ . 12.已知集合()2,20y x M x y x y a ⎧⎫≥--⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-+≤⎩⎪⎪⎩⎭和集合(){},|sin ,0N x y y x x ==≥,若M N ≠∅I ,则实数a 的最大值为 ▲ .13.已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点,若椭圆C 上存在两点P 、Q 满足2PF FQ =u u u r u u u r,则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .14.已知0a >,0b >,02c <<,20ac b c +-=,则11a b+的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)(理科学生做)现有一只不透明的袋子里面装有6个小球,其中3个为红球,3个为黑球,这些小球除颜色外无任何差异,现从袋中一次性地随机摸出2个小球. (1)求这两个小球都是红球的概率;(2)记摸出的小球中红球的个数为,求随机变量的概率分布及其均值E ( ).(文科学生做)已知关于x 的不等式2(2)20ax a x +--≥,其中R a ∈.(1)若不等式的解集为(,1][4,)-∞-+∞U ,求实数a 的值;(2)若不等式22(2)225ax a x x +--≥-对任意实数恒成立,求实数a 的取值范围. 16.(本小题满分14分)(理科学生做)观察下列等式,猜想一个一般性的结论,并用数学归纳法证明.21(1)(1)x x x -=-+,321(1)(1)x x x x -=-++, 4231(1)(1)x x x x x -=-+++.(文科学生做)已知函数()sin f x x x =+,(,)22x ππ∈-,函数()g x 的定义域为实数集R ,函数()()+()h x f x g x =.(1)若函数()g x 是奇函数,判断并证明函数()h x 的奇偶性;(2)若函数()g x 是单调增函数,用反证法证明函数()h x 的图象与x 轴至多有一个交点.17.(本小题满分14分)(理科学生做)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,2AB =,4AC PA ==.(1)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值; (2)求二面角A PC B --的余弦值.(文科学生做)已知函数()cos cos()3f x x x π=+.(1)求()f x 在区间[0,]2π上的值域;(2)若13()20f θ=,66ππθ-<<,求cos2θ的值.ACP(第17题图理)18.(本小题满分16分)如图所示,矩形ABCD 为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线AC 是以AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中AB =1 m ,BC =2 m ,现准备开发一个面积为0.6 m 2的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在AB 边上取点E 、在BC 边上取点F ,使得△BEF 区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点E 、F 的选址方案;若不能,请说明理由.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 内,椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>,离心率为2,右焦点F 到右准线的距离为2,直线l 过右焦点F 且与椭圆E 交于A 、B 两点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线l 与轴垂直,C 为椭圆E 上的动点,求CA 2+CB 2的取值范围;(3)若动直线l 与轴不重合,在轴上是否存在定点P ,使得PF 始终平分∠APB ?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()xe xf =和函数()m kx xg +=(k 、m 为实数,e 为自然对数的底数,2.71828e ≈). (1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间;(2)当2=k ,1=m 时,判断方程()()x g x f =的实数根的个数并证明;(3)已知1≠m ,不等式()()()[]01≤--x g x f m 对任意实数x 恒成立,求km 的最大值.F(第18题图)第二学期高二年级期终考试数学试题参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1. 12. 假3. 充分不必要4.1505. 16. 257.95x=±8.() 1,1 -9. (理)65 (文)1(,)3-∞10. (理)12 (文)512π11. 2ab12. 3π13. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.[)4,+∞二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(理科)解:⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A , 则23261()5C P A C == ……………………………………………………………………4分 ⑵随机变量的可能取值为:0、1、2 , ……………………………………………………………6分{}0=X 表示取得两个球都为黑球,23261(0)5C P X C ===,{}1=X 表示取得一个红球一个黑球,1133263(1)5C C P X C ===, {}2=X 表示取得两个球都为红球,23261(2)5C P X C ===,…………………………12分=)(X E 131012555⨯+⨯+⨯=1 ………………………………………………………………14分(注:三个概率每个2分)(文科)解:⑴由题意知方程02)2(2=--+x a ax 的解为4,1-,且0>a , ………………2分所以42-=-a,解得21=a . ……………………………4分⑵问题可化为03)2()2(2≥+-+-x a x a 对任意实数x 恒成立, ①当2=a 时,03≥恒成立; ……………………………………6分 ②当2≠a 时,⎩⎨⎧≤--->0)2(12)2(22a a a ,解得142≤<a ; ………………………………12分综上①②得142≤≤a .…………………………………………………14分16.(理科)解:归纳猜想得:)1)(1(1132-+++++-=-n nxx x x x x Λ,*N n ∈. ……………4分(注:如答成2,n n N ≥∈一样给分)证明如下:①当1=n 时,左边1x =-,右边1x =-,猜想成立; ……………………………6分②假设k n =(1≥k )时猜想成立,即2311(1)(1)kk x x x x x x--=-+++++L 成立,当1+=k n 时,右边)1)(1(132k k x xx x x x ++++++-=-Λk k x x xx x x x )1()1)(1(132-++++++-=-Λk k x x x )1(1-+-=11+-+-=k k k x x x 11+-=k x =左边 所以1+=k n 时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分 由①②可得,)1)(1(1132-+++++-=-n n x x x x x x Λ,*N n ∈成立. ………………………14分 (文科)解:⑴由题意知)(x h 的定义域为)2,2(ππ-, ……………………………………………2分 又)(x g 是奇函数 ,所以)()(x g x g -=-, ……………………………………………4分∴)(sin )()sin()(x g x x x g x x x h ---=-+-+-=-)())(sin (x h x g x x -=++-= ∴)(x h 为奇函数. ……………………………………7分⑵假设函数)(x h 的图象与x 轴有两个交点,不妨设其横坐标为21,x x ,且21x x <, 则0)()(21==x h x h , ………………………………………8分 又()1cos 0f x x '=+≥,所以)(x f 为单调增函数, ………………………………10分所以)()(21x f x f <,又因为)(x g 为单调增函数,所以)()(21x g x g <, 所以)()()()(2211x g x f x g x f +<+,即)()(21x h x h <,这与0)()(21==x h x h 矛盾, ………………………………………………………12分所以假设不成立,所以函数)(x h 的图象与x 轴至多有一个交点. ………………………14分 17.(理科)解:⑴如图,以A 为原点,在平面ABC 内作垂直于AC 的射线为轴,以射线AC 为y 轴, 射线AP 为轴建立如图所示空间直角坐标系, ……………………………………………………………2分则P (0,0,4),B,(0,4,0)C,故4)PB =-u u u r,由轴⊥平面P AC 得平面P AC 的一个法向量为()1,0,0n =r, ……………………………………………5分 设直线PB 与平面PAC 所成角为α,则||sin |cos ,|10||||n PB n PB n PB α⋅=<>===r u u u rr u u u r r u u u r , 即直线PB 与平面PAC.……………8分 ⑵(0,4,4)PC =-u u u r,(BC =u u u r,设(),,m x y z =u r为平面PBC 的一个法向量, 则440m PC m PC y z ⊥⇒⋅=-=u r u u u r u r u u u r,30m BC m BC y ⊥⇒⋅=+=u r u u u r u r u u u r,取1z =得1y =,x =,即)m =u r为平面PBC 的一个法向量,………………………………11分 平面P AC 的一个法向量为()1,0,0n =r,设二面角A PCB --的平面角为β,则β为锐角,则||cos |cos ,|||||n m n m n m β⋅=<>===r u rr u r r u r 即二面角A PCB --的余弦值为.……………………………………………………………………14分 (文科)解:⑴211()cos (cos )cos cos 2222f x x x x x x x =-=-2111cos 2cos cos 2222x x x x x +==⨯1111cos 22cos(2)444234x x x π=-+=++ …………………………………………………………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦,1cos(2)1,32x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………………7分 ⑵1311()cos(2)20234f πθθ==++Q ,4cos(2)35πθ∴+=, …………………………………………9分3sin(2)35πθ∴+===±,又66ππθ-<<Q ,20233ππθ<+<,sin(2)03πθ∴+>,3sin(2)35πθ∴+= ……………………11分1cos 2cos (2)cos(2))33233ππππθθθθ⎡⎤∴=+-=++⎢⎥⎣⎦1434252510+=⨯+=. ………………………………………………………………14分 18.解:(法一)△BEF 区域满足该项目的用地要求等价于△BEF 面积的最大值不小于0.6 m 2,……2分以A 为原点,AB 所在直线为轴,AD 所在直线为y 轴,建立如图所示平面直角坐标系, 则(0,0)A ,(1,0)B ,(1,2)C ,(0,2)D ,设曲线AC 所在的抛物线的方程为22(0)x py p =>,代入点(1,2)C 得14p =, 得曲线AC的方程为22(01)y x x =≤≤,……………………………………………………………………4分欲使得△BEF 的面积最大,必有EF 与抛物线弧AC 相切,设切点为2(,2)P t t ,01t ≤≤, 由22y x =得4y x '=,故点2(,2)P t t 处切线的斜率为4t ,切线的方程为224()y t t x t -=-,即242y tx t =-,…………6分当0t =时显然不合题意,故01t <≤,令1x =得242F y t t =-,令0y =得12E x t =, 则232111(1)(42)222222BEF t S BE BF t t t t t ∆=⨯=--=-+,设321()222f t t t t =-+,01t <≤,…………………………………9(注:学生写成01t ≤≤不扣分)则()()1()3222f t t t '=--,令()0f t '>得203t <<,令()0f t '<得213t <≤,故()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,在2,13⎛⎤⎥⎝⎦上递减,故max 216()()327f t f ==,…………………………………14分 而160.627<,故该方案所得△BEF 区域不能满足该项目的用地要求. …………………………………16分(法二)转化为当0.6BEF S ∆=时,直线EF 的方程与抛物线弧AC 的方程联列所得方程组至多有一个解.(法三) 转化为当0.6BEF S ∆=时,抛物线弧AC 上所有的点都在直线EF 上方的区域,进一步转化为不等式恒成立问题.19.解:⑴由题意得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==2222c ca a c e ,得22=a ,2=c , ……………………………2分∵222c b a +=,∴42=b ,∴椭圆的标准方程为:14822=+y x . ……………………………4分 ⑵当直线AB 与x 轴垂直时,)2,2(),2,2(-B A ,设点),(00y x C ,则2020202022)2()2()2()2(++-+-+-=+y x y x CB CA1282202020+-+=x y x ,又点C 在椭圆上,∴1482020=+y x ,消去0y 得20802022+-=+x x CB CA,0[x ∈-,∴22CB CA +得取值范围为[2828-+. ……………………………………………8分⑶假设在x 轴上存在点P 满足题意,不妨设)0,(t P ,设),(),,(2211y x B y x A ,设直线AB 的方程为:2+=my x ,联列14822=+y x ,消去x 得044)2(22=-++my y m , 则24221+-=+m my y ,24221+-=m y y , ………………………………………………………………12分 由PF平分∠APB知:0=+BP AP k k , …………………………………………13分又0))(()()(2112212211=---+-=-+-=+t x t x t x y t x y t x y t x y k k BP AP , 又211+=my x ,222+=my x ,得02))(2(2121=++-y my y y t ,即024224)2(22=+-++--m m m m t ,得4=t ,所以存在点P (4,0)满足题意. ………………………………………………………………16分20.解:⑴()xh x e k '=-,①当0k ≤时,()0h x '>恒成立,()h x 的单调递增区间为(,)-∞+∞,无单调递减区间;……………2分②当0k >时,由()0h x '>得ln x k >,由()0h x '<得ln x k <, 故()h x 的单调递减区间为(,ln )k -∞,单调递增区间为(ln ,)k +∞.………………………………………4分 ⑵当2=k ,1=m 时,方程()()x g x f =即为()210x h x e x =--=,由(1)知()h x 在(,ln 2)-∞上递减,而()00h =,故()h x 在(,ln 2)-∞上有且仅有1个零点,………6分由⑴知()h x 在[ln 2,)+∞上递增,而()130h e =-<,()2250h e =->,且()h x 的图像在[1,2]上是连续不间断的,故()h x 在[1,2]上有且仅有1个零点,所以()h x 在[ln 2,)+∞上也有且仅有1个零点,综上,方程()()x g x f =有且仅有两个实数根. ………………………………………………………………8分⑶设()()()h x f x g x =-,①当1m >时,()()0f x g x -≤恒成立,则()0h x ≤恒成立, 而 0m k m h e k -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭,与()0h x ≤恒成立矛盾,故1m >不合题意;…………………………………10分②当1m <时,()()0f x g x -≥恒成立,则()0h x ≥恒成立,1°当0k =时,由()0x h x e m =-≥恒成立可得(,0]m ∈-∞,0km =; ……………………………11分2°当0k <时,111m k m h e k --⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而10m k -<,故11m k e -<, 故10m h k -⎛⎫< ⎪⎝⎭,与()0h x ≥恒成立矛盾,故0k <不合题意;………………………………………13分 3°当0k >时,由(1)可知()()min ln ln h x h k k k k m ==--⎡⎤⎣⎦,而()0h x ≥恒成立, 故ln 0k k k m --≥,得ln m k k k ≤-,故(ln )km k k k k ≤-,记()(ln )k k k k k ϕ=-,(0,)k ∈+∞,则()(12ln )k k k ϕ'=-,由()0k ϕ'>得0k <<()0k ϕ'<得k >故()k ϕ在(上单调递增,在)+∞上单调递减,()max 2e k ϕϕ∴==,2e km ∴≤,当且仅当k =2m =时取等号; 综上①②两种情况得km 的最大值为2e .……………………………………………………………………16分。

2012年江苏省盐城市高考数学二模试卷

2012年江苏省盐城市高考数学二模试卷

2012年江苏省盐城市高考数学二模试卷一、填空题.本大题共14小题,每小题5分,共50分.把正确答案填在相应位置.1.(5分)若直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直,则k= .解:直线y=kx+1的斜率是k,直线2x+y﹣4=0的斜率是﹣2,∵直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直,∴﹣2k=﹣1,k=.2.(5分)已知集合P={﹣1,m},,若P∩Q≠∅,则整数m= 0 .解:根据由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的交集,由于集合Q中只包含一个整数0,要使P∩Q≠∅,所以显然m=03.(5分)一根绳子长为6米,绳上有5个节点将绳子6等分,现从5个节点中随机选一个将绳子剪断,则所得的两段绳长均不小于2米的概率为.解:从5个节点中随机选一个将绳子剪断,有5种剪法,所得的两段绳长均不小于2米的剪法有3种,∴所得的两段绳长均不小于2米的概率为P=.4.(5分)某校共有学生2000名,各年级人数如下表所示:年级高一高二高三人数800 600 600现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为36 .解:每个个体被抽到的概率等于=,由于高三年级的学生人数为600,故应在高三年级抽取的学生人数为600×=365.(5分)若命题“∀x∈R,x2﹣ax+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是[0,4] .解:命题“∀x∈R,x2﹣ax+a≥0”为真命题,所以△=a2﹣4a≤0,所以0≤a≤4.所以a的取值范围是[0,4].6.(5分)某程序框图如图所示,若输出的S=10,则自然数a= 4 .解:根据题意,对于自然数a,当k≤a时,S=1+2+…+k要计算下去,直到k>a时,结束计算,并输出S的值①S=0,k=1,以S+k代替S,得S=1,并以k+1代替k,此时还没有得到S=10,故循环体要继续;②S=1,k=2,以S+k代替S,得S=3,并以k+1代替k,此时还没有得到S=10,故循环体要继续;③S=3,k=3,以S+k代替S,得S=6,并以k+1代替k,此时还没有得到S=10,故循环体要继续;④S=6,k=4,以S+k代替S,得S=10,此时刚好得到S=10,故结束循环体并输出S的值.由以上的分析,可得最后一个加数a应该是47.(5分)若|z﹣i|=1,则|z|最大值为 2 .解:|z﹣i|=1,表示复数复平面内的点到(0,1)的距离为1的轨迹.所以|z|最大值为2;8.(5分)已知向量的模为2,向量为单位向量,,则向量与的夹角大小为.解:设向量与的夹角为θ,∴•=•cosθ=1×2×cosθ=2cosθ∵,∴=•﹣2=0,得2cosθ﹣1=0,所以cosθ=,∵θ∈[0,π],∴θ=9.(5分)在等比数列{an }中,已知a1a2a3=5,a7a8a9=40,则a5a6a7= 20 .解:∵在等比数列{an }中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)•(a7a8a9),又a1a2a3=5,a7a8a9=40,∴(a4a5a6)2=5×40=200,∴a4a5a6=10,∴q9===2,∴q3=,则a5a6a7=(a4a5a6)•q3=10×=20.10.(5分)函数在上的单调递增区间为[﹣,] .解:∵cos=﹣cos∴==cos()令﹣π+2kπ≤≤2kπ,得﹣+kπ≤x≤+kπ,(k∈Z)∴函数的单调递增区间为[﹣+kπ,+kπ],(k∈Z)取k=0,得函数在上的单调递增区间为[﹣,]11.(5分)过圆x2+y2=9内一点P(1,2)作两条相互垂直的弦AC,BD,当AC=BD时,四边形ABCD的面积为13 .解:根据题意画出相应的图形,连接OP,OA,过O作OE⊥AC,OF⊥BD,∴E为AC的中点,F为BD的中点,又AC⊥BD,AC=BD,∴四边形EPOF为正方形,由圆的方程得到圆心O(0,0),半径r=3,又P(1,2),∴|OP|==,∴OE=×=,又OA=r=3,∴根据勾股定理得:AE==,∴AC=BD=2AE=,则S四边形ABCD=AC•BD=13.12.(5分)若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=f(x)﹣log3|x|的零点个数为 4 .解:若函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则函数是以2为周期的周期函数,又由函数是定义在R上的偶函数,结合当x∈[0,1]时,f(x)=x,我们可以在同一坐标系中画出函数y=f(x)与函数y=log3|x|的图象如下图所示:由图可知函数y=f(x)与函数y=log3|x|的图象共有4个交点,即函数y=f(x)﹣log3|x|的零点个数是4个13.(5分)设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0.则不等式的解集为{x|1<x<2} .解:∵f(x)+xf′(x)>0,∴( x•f(x))′>0,故函数y=x•f(x)在R上是增函数.∴•=•f(),∴>,解得 1<x<2,14.(5分)在等差数列{an }中,a2=5,a6=21,记数列的前n项和为Sn,若对n∈N+恒成立,则正整数m的最小值为 5 .解:在等差数列{an }中,∵a2=5,a6=21,∴,解得a1=1,d=4,∴==,∵(S2n+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1)=(++…+)﹣(++…+)=﹣﹣=﹣﹣=(﹣)+(﹣)>0,∴数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N*)是递减数列,数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N*)的最大项为S3﹣S1=+=,∵≤,∴m≥,又∵m是正整数,∴m的最小值为5.二、解答题.本大题共6小题,共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.15.(14分)在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,DC=2,点E在PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PAD;(2)当PD∥平面AEC时,求PE:EB的值.(1)证明:过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF,所以∠DAC=90°,即AC⊥DA …2分又PA⊥底面ABCD,AC⊂面ABCD,所以AC⊥PA …4分因为PA、AD⊂面PAD,且PA∩AD=A,所以AC⊥底面PAD …6分而AC⊂面ABCD,所以平面AEC⊥平面PAD …8分(2)解:连接BD交AC于点O,连接EO,因为PD∥平面AEC,PD⊂面PBD,面PBD∩面AEC=EO,所以PD∥EO则PE:EB=DO:OB,而DO:OB=DC:AB=2,所以PE:EB=2 …14分16.(14分)设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且.(1)求证:;(2)若cos(A﹣C)+cosB=1,求角B的大小.解:(1)∵由条件可得 cosB==≥=,故成立.(2)∵cos(A﹣C)+cosB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAcosC=1,∴sinAcosC=.再由可得 sin2B=sinA•sinC=,∴sinB=,故B=.17.(14分)因客流量临时增大,某鞋店拟用一个高为50cm(即EF=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间[140,180]内.设支架FG高为h(0<h<90)cm,AG=100cm,顾客可视的镜像范围为CD(如图所示),记CD的长度为y(y=GD﹣GC).(1)当h=40cm时,试求y关于x的函数关系式和y的最大值;(2)当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC<GA1≤GD(不计鞋长)时,称顾客可在镜中看到自己的鞋,若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋,试求h的取值范围.解:(1)因为FG=40,AG=100,所以由,即,解得,同理,由,即,解得所以因为,所以y在[140,180]上单调递减,故当x=140cm时,y取得最大值为140cm(2)由,得,由,得,所以由题意知GC<A1G=AG≤GD,即对x∈[140,180]恒成立从而对x∈[140,180]恒成立,∴40≤h<70,18.(16分)已知椭圆的离心率为,且过点,记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程;(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点,试求△ABC面积的最大值;(3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.(1)解:∵椭圆的离心率为,且过点,∴,解得,所以椭圆C的方程为x2+2y2=1…4分(2)解:设B(m,n),C(﹣m,n),则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|,…6分又|m|•|n|,所以|m|•|n|,当且仅当时取等号…8分从而S△ABC≤,即△ABC面积的最大值为…9分(3)证明:因为A(﹣1,0),所以AB:y=k1(x+1),AC:y=k2(x+1),由,消去y,得,解得x=﹣1或x=,∴同理C()∵k1k2=2,∴…12分∴直线BC的方程为,即y﹣,即y=…14分所以,则由,得直线BC恒过定点…16分.19.(16分)在数列{an }中,a1=1,且对任意的k∈N*,a2k﹣1,a2k,a2k+1成等比数列,其公比为qk.(1)若qk =2(k∈N*),求a1+a3+a5+…+a2k﹣1;(2)若对任意的k∈N*,a2k ,a2k+1,a2k+2成等差数列,其公差为dk,设.①求证:{bk}成等差数列,并指出其公差;②若d1=2,试求数列{dk}的前k项的和Dk.解:(1)∵数列{an }中,a1=1,且对任意的k∈N*,a2k﹣1,a2k,a2k+1成等比数列,公比qk=2(k∈N*),∴,∴a1+a3+a5+…+a2k﹣1==.(2)①∵a2k ,a2k+1,a2k+2成等差数列,其公差为dk,∴2a2k+1=a2k+a2k+2,而,a2k+2=a2k+1•qk+1,∴,则,得,∴,即bk+1﹣bk=1,∴{bk}是等差数列,且公差为1.②∵d1=2,∴a3=a2+2,则有,解得a2=2,或a2=﹣1.(i)当a2=2时,q1=2,∴b1=1,则bk=1+(k﹣1)×1=k,即,得,∴=,则==(k+1)2,∴,则dk =a2k+1﹣a2k=k+1,故.(ii)当a2=﹣1时,qk=﹣1,∴,则=k﹣.即,得,∴a2k+1==××…××1=(k﹣)2.则=(2k﹣1)(2k﹣3),∴dk =a2k+1﹣a2k=4k﹣2,从而Dk=2k2,综上所述,Dk=,或20.(16分)已知函数,.(1)若a=2,求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值;(2)若x∈[a,+∞)时,f2(x)≥f1(x),求a的取值范围;(3)求函数在x∈[1,6]上的最小值.解:(1)因为a=2,且x∈[2,3],所以f(x)=e|x﹣3|+e|x﹣2|+1=e3﹣x+e x﹣1==2e,当且仅当x=2时取等号,所以f(x)在x∈[2,3]上的最小值为3e …4分(2)由题意知,当x∈[a,+∞)时,e|x﹣2a+1|≤e|x﹣a|+1,即|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1 恒成立…6分所以|x﹣2a+1|≤x﹣a+1,即2ax≥3a2﹣2a 对x∈[a,+∞)恒成立,则由,得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分(3)记h1(x)=|x﹣(2a﹣1)|,h2(x)=|x﹣a|+1,则h1(x),h2(x)的图象分别是以(2a﹣1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为±1.①当1≤2a﹣1≤6,即1≤a≤时,∴g(x)在x∈[1,6]上的最小值为f1(2a﹣1)=e0=1…10分②当a<1时,可知2a﹣1<a,所以(ⅰ)当h 1(a )≤h 2(a ),得|a ﹣(2a ﹣1)|≤1,即﹣2≤a ≤0时,在x ∈[1,6]上,h 1(x )<h 2(x ),即f 1(x )>f 2(x ),所以g (x )=f 2(x )的最小值为f 2(1)=e 2﹣a; (ii )当h 1(a )>h 2(a ),得|a ﹣(2a ﹣1)|>1,即a <﹣2或0<a <1时,在x ∈[1,6]上,h 1(x )>h 2(x ),即f 1(x )<f 2(x ),所以g (x )=f 1(x )的最小值为f 1(1)=e 3﹣2a; ③当a >时,因为2a ﹣1>a ,可知2a ﹣1>6,且h 1(6)=2a ﹣7>a ﹣5=h 2(6),所以 (ⅰ)当时,g (x )的最小值为f 2(a )=e(ii )当a >6时,因为h 1(a )=a ﹣1>1=h 2(a ),∴在x ∈[1,6]上,h 1(x )>h 2(x ),即f 1(x )<f 2(x ),所以g (x )在x ∈[1,6]上的最小值为f 2(6)=e a ﹣5…15分综上所述,函数g (x )在x ∈[1,6]上的最小值为…16分三、选做题(附加题) 21.(10分)如图,等边三角形ABC 内接于圆O ,D 为劣弧BC 上一点,连接BD ,CD 并延长分别交AC ,AB 的延长线于点E ,F .求证:CE •BF=BC 2.证明:因为三角形ABC 内接于圆O ,且∠BAC=60°,所以∠BDC=120°, ∴∠DBC+∠DCB=60°又∠BFC+∠DCB=60°,所以∠DBC=∠BFC 同理,∠DCB=∠CEB , 所以△CBE ∽△BFC 所以,即BC 2=BF •CE22.已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是,求矩阵A .解:设,由得,,…(5分)由得,,所以所以.23.坐标系与参数方程:已知点P (x ,y )在椭圆上,试求的最大值.解:由题意可得,可设点P 的坐标为(4cos θ,2sin θ),θ为参数.则=8cos θ﹣6sin θ=10sin (θ+∅),cos ∅=,sin ∅=﹣,故 z=10sin (θ+∅)≤10,即z 的最大值为10.24.设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=m.求证:.证明:因为•[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a1)]•=9…6分当且仅当时等号成立,则由•2m≥9,知…10分四、解答题25.(10分)甲,乙,丙三人投篮,甲的命中率为p,乙,丙的命中率均为q(p,q∈(0,1)).现每人独立投篮一次,记命中的总次数为随机变量ξ.(1)当时,求数学期望E(ξ);(2)当p+q=1时,试用p表示ξ的数学期望E(ξ).解:(1)当时,ξ~,故数学期望E(ξ)=np=3×=;(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=(1﹣q)(1﹣p)2=pq2,P(ξ=1)=q(1﹣q)2=pq2+(1﹣q)p(1﹣p)=q2+2p2q,P(ξ=2)=pq(1﹣p)+(1﹣q)p2=2pq2+p3,P(ξ=3)=qp2,∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P pq2 q2+2p2q 2pq2+p3 qp2∴Eξ=0×pq2+1×(q2+2p2q)+2×(2pq2+p3)+3×(qp2)=1+p.26.(10分)某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生甲为领队.入场时,领队男生甲必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,共有En种排法;入场后,又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务,共有Fn种选法.(1)试求En 和Fn;(2)判断lnEn 和Fn的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明.解:(1)根据领队男生甲必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,可得;根据从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务,可得…4分(2)因为lnEn =2lnn!,Fn=n(n+1),所以lnE1=0<F1=2,lnE2=ln4<F2=6,lnE3=ln36<F3=12,…,由此猜想:当n∈N*时,都有lnEn <Fn,即2lnn!<n(n+1)…6分下用数学归纳法证明2lnn!<n(n+1)(n∈N*).①当n=1时,该不等式显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即2lnk!<k(k+1),则当n=k+1时,2ln(k+1)!=2ln(k+1)+2lnk!<2ln(k+1)+k(k+1),要证当n=k+1时不等式成立,只要证:2ln(k+1)+k(k+1)≤(k+1)(k+2),只要证:ln(k+1)≤k+1…8分令f(x)=lnx﹣x,x∈(1,+∞),因为,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,从而f(x)<f(1)=﹣1<0,而k+1∈(1,+∞),所以ln(k+1)≤k+1成立,则当n=k+1时,不等式也成立.综合①②,得原不等式对任意的n∈N*均成立…10分。

江苏省盐城市高二下册第二学期期末考试数学-含答案【精校】.doc

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第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位1.设11iz i+=-(i 为虚数单位),则 z = ▲ . 2.已知命题p :“n N *∃∈,使得 22n n <”,则命题p ⌝的真假为 ▲ .3.设R θ∈,则“sin 0θ=”是“sin20θ=”的 ▲ 条件.(选填: 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)4.如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图,则通过该测速点的300辆汽车中时速在[)60,80的汽车大约有 ▲ 辆.5.某程序框图如图所示,则输出的结果为 ▲ .6.在区间()0,5上随机取一个实数x ,则x 满足220x x -<的概率为 ▲ .7.已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的渐近线方程是43y x =±,则其准线方程为 ▲ . 8.若函数()x x af x e-=在区间()0,2上有极值,则a 的取值范围是 ▲ . 9.(理科学生做)从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队,则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种.(用数字作答)(第4题图)开始 结束S ←1 n ←7S >15S ←S +n n ←n -2否 是输出n (第5题图)(文科学生做)已知函数()3f x x =,则不等式()()210f x f x +-<的解集是 ▲ .10.的展开式中的常数项是 ▲ .(文科学生做)m 个单位(0m >),若所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是 ▲ .11.已知圆222(0)x y r r +=>的内接四边形的面积的最大值为22r ,类比可得椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接四边形的面积的最大值为 ▲ . 12.已知集合()2,20y x M x y x y a ⎧⎫≥--⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-+≤⎩⎪⎪⎩⎭和集合(){},|sin ,0N x y y x x ==≥,若M N ≠∅I ,则实数a 的最大值为 ▲ .13.已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点,若椭圆C 上存在两点P 、Q 满足2PF FQ =u u u r u u u r,则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .14.已知0a >,0b >,02c <<,20ac b c +-=,则11a b+的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)(理科学生做)现有一只不透明的袋子里面装有6个小球,其中3个为红球,3个为黑球,这些小球除颜色外无任何差异,现从袋中一次性地随机摸出2个小球. (1)求这两个小球都是红球的概率;(2)记摸出的小球中红球的个数为,求随机变量的概率分布及其均值E ( ).(文科学生做)已知关于x 的不等式2(2)20ax a x +--≥,其中R a ∈.(1)若不等式的解集为(,1][4,)-∞-+∞U ,求实数a 的值;(2)若不等式22(2)225ax a x x +--≥-对任意实数恒成立,求实数a 的取值范围. 16.(本小题满分14分)(理科学生做)观察下列等式,猜想一个一般性的结论,并用数学归纳法证明.21(1)(1)x x x -=-+,321(1)(1)x x x x -=-++, 4231(1)(1)x x x x x -=-+++.(文科学生做)已知函数()sin f x x x =+,(,)22x ππ∈-,函数()g x 的定义域为实数集R ,函数()()+()h x f x g x =.(1)若函数()g x 是奇函数,判断并证明函数()h x 的奇偶性;(2)若函数()g x 是单调增函数,用反证法证明函数()h x 的图象与x 轴至多有一个交点.17.(本小题满分14分)(理科学生做)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,2AB =,4AC PA ==.(1)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值; (2)求二面角A PC B --的余弦值.(文科学生做)已知函数()cos cos()3f x x x π=+.(1)求()f x 在区间[0,]2π上的值域;(2)若13()20f θ=,66ππθ-<<,求cos2θ的值.ACP(第17题图理)18.(本小题满分16分)如图所示,矩形ABCD 为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线AC 是以AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中AB =1 m ,BC =2 m ,现准备开发一个面积为0.6 m 2的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在AB 边上取点E 、在BC 边上取点F ,使得△BEF 区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点E 、F 的选址方案;若不能,请说明理由.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 内,椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>,离心率为2,右焦点F 到右准线的距离为2,直线l 过右焦点F 且与椭圆E 交于A 、B 两点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线l 与轴垂直,C 为椭圆E 上的动点,求CA 2+CB 2的取值范围;(3)若动直线l 与轴不重合,在轴上是否存在定点P ,使得PF 始终平分∠APB ?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()xe xf =和函数()m kx xg +=(k 、m 为实数,e 为自然对数的底数,2.71828e ≈). (1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间;(2)当2=k ,1=m 时,判断方程()()x g x f =的实数根的个数并证明;(3)已知1≠m ,不等式()()()[]01≤--x g x f m 对任意实数x 恒成立,求km 的最大值.F(第18题图)第二学期高二年级期终考试数学试题参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1. 12. 假3. 充分不必要4.1505. 16. 257.95x=±8.() 1,1 -9. (理)65 (文)1(,)3-∞10. (理)12 (文)512π11. 2ab12. 3π13. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.[)4,+∞二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(理科)解:⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A , 则23261()5C P A C == ……………………………………………………………………4分 ⑵随机变量的可能取值为:0、1、2 , ……………………………………………………………6分{}0=X 表示取得两个球都为黑球,23261(0)5C P X C ===,{}1=X 表示取得一个红球一个黑球,1133263(1)5C C P X C ===, {}2=X 表示取得两个球都为红球,23261(2)5C P X C ===,…………………………12分=)(X E 131012555⨯+⨯+⨯=1 ………………………………………………………………14分(注:三个概率每个2分)(文科)解:⑴由题意知方程02)2(2=--+x a ax 的解为4,1-,且0>a , ………………2分所以42-=-a,解得21=a . ……………………………4分⑵问题可化为03)2()2(2≥+-+-x a x a 对任意实数x 恒成立, ①当2=a 时,03≥恒成立; ……………………………………6分 ②当2≠a 时,⎩⎨⎧≤--->0)2(12)2(22a a a ,解得142≤<a ; ………………………………12分综上①②得142≤≤a .…………………………………………………14分16.(理科)解:归纳猜想得:)1)(1(1132-+++++-=-n nxx x x x x Λ,*N n ∈. ……………4分(注:如答成2,n n N ≥∈一样给分)证明如下:①当1=n 时,左边1x =-,右边1x =-,猜想成立; ……………………………6分②假设k n =(1≥k )时猜想成立,即2311(1)(1)kk x x x x x x--=-+++++L 成立,当1+=k n 时,右边)1)(1(132k k x xx x x x ++++++-=-Λk k x x xx x x x )1()1)(1(132-++++++-=-Λk k x x x )1(1-+-=11+-+-=k k k x x x 11+-=k x =左边 所以1+=k n 时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分 由①②可得,)1)(1(1132-+++++-=-n n x x x x x x Λ,*N n ∈成立. ………………………14分 (文科)解:⑴由题意知)(x h 的定义域为)2,2(ππ-, ……………………………………………2分 又)(x g 是奇函数 ,所以)()(x g x g -=-, ……………………………………………4分∴)(sin )()sin()(x g x x x g x x x h ---=-+-+-=-)())(sin (x h x g x x -=++-= ∴)(x h 为奇函数. ……………………………………7分⑵假设函数)(x h 的图象与x 轴有两个交点,不妨设其横坐标为21,x x ,且21x x <, 则0)()(21==x h x h , ………………………………………8分 又()1cos 0f x x '=+≥,所以)(x f 为单调增函数, ………………………………10分所以)()(21x f x f <,又因为)(x g 为单调增函数,所以)()(21x g x g <, 所以)()()()(2211x g x f x g x f +<+,即)()(21x h x h <,这与0)()(21==x h x h 矛盾, ………………………………………………………12分所以假设不成立,所以函数)(x h 的图象与x 轴至多有一个交点. ………………………14分 17.(理科)解:⑴如图,以A 为原点,在平面ABC 内作垂直于AC 的射线为轴,以射线AC 为y 轴, 射线AP 为轴建立如图所示空间直角坐标系, ……………………………………………………………2分则P (0,0,4),B,(0,4,0)C,故4)PB =-u u u r,由轴⊥平面P AC 得平面P AC 的一个法向量为()1,0,0n =r, ……………………………………………5分 设直线PB 与平面PAC 所成角为α,则||sin |cos ,|10||||n PB n PB n PB α⋅=<>===r u u u rr u u u r r u u u r , 即直线PB 与平面PAC.……………8分 ⑵(0,4,4)PC =-u u u r,(BC =u u u r,设(),,m x y z =u r为平面PBC 的一个法向量, 则440m PC m PC y z ⊥⇒⋅=-=u r u u u r u r u u u r,30m BC m BC y ⊥⇒⋅=+=u r u u u r u r u u u r,取1z =得1y =,x =,即)m =u r为平面PBC 的一个法向量,………………………………11分 平面P AC 的一个法向量为()1,0,0n =r,设二面角A PCB --的平面角为β,则β为锐角,则||cos |cos ,|||||n m n m n m β⋅=<>===r u rr u r r u r 即二面角A PCB --的余弦值为.……………………………………………………………………14分 (文科)解:⑴211()cos (cos )cos cos 2222f x x x x x x x =-=-2111cos 2cos cos 2222x x x x x +==⨯1111cos 22cos(2)444234x x x π=-+=++ …………………………………………………………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦,1cos(2)1,32x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………………7分 ⑵1311()cos(2)20234f πθθ==++Q ,4cos(2)35πθ∴+=, …………………………………………9分3sin(2)35πθ∴+===±,又66ππθ-<<Q ,20233ππθ<+<,sin(2)03πθ∴+>,3sin(2)35πθ∴+= ……………………11分1cos 2cos (2)cos(2))33233ππππθθθθ⎡⎤∴=+-=++⎢⎥⎣⎦1434252510+=⨯+=. ………………………………………………………………14分 18.解:(法一)△BEF 区域满足该项目的用地要求等价于△BEF 面积的最大值不小于0.6 m 2,……2分以A 为原点,AB 所在直线为轴,AD 所在直线为y 轴,建立如图所示平面直角坐标系, 则(0,0)A ,(1,0)B ,(1,2)C ,(0,2)D ,设曲线AC 所在的抛物线的方程为22(0)x py p =>,代入点(1,2)C 得14p =, 得曲线AC的方程为22(01)y x x =≤≤,……………………………………………………………………4分欲使得△BEF 的面积最大,必有EF 与抛物线弧AC 相切,设切点为2(,2)P t t ,01t ≤≤, 由22y x =得4y x '=,故点2(,2)P t t 处切线的斜率为4t ,切线的方程为224()y t t x t -=-,即242y tx t =-,…………6分当0t =时显然不合题意,故01t <≤,令1x =得242F y t t =-,令0y =得12E x t =, 则232111(1)(42)222222BEF t S BE BF t t t t t ∆=⨯=--=-+,设321()222f t t t t =-+,01t <≤,…………………………………9(注:学生写成01t ≤≤不扣分)则()()1()3222f t t t '=--,令()0f t '>得203t <<,令()0f t '<得213t <≤,故()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,在2,13⎛⎤⎥⎝⎦上递减,故max 216()()327f t f ==,…………………………………14分 而160.627<,故该方案所得△BEF 区域不能满足该项目的用地要求. …………………………………16分(法二)转化为当0.6BEF S ∆=时,直线EF 的方程与抛物线弧AC 的方程联列所得方程组至多有一个解.(法三) 转化为当0.6BEF S ∆=时,抛物线弧AC 上所有的点都在直线EF 上方的区域,进一步转化为不等式恒成立问题.19.解:⑴由题意得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==2222c ca a c e ,得22=a ,2=c , ……………………………2分∵222c b a +=,∴42=b ,∴椭圆的标准方程为:14822=+y x . ……………………………4分 ⑵当直线AB 与x 轴垂直时,)2,2(),2,2(-B A ,设点),(00y x C ,则2020202022)2()2()2()2(++-+-+-=+y x y x CB CA1282202020+-+=x y x ,又点C 在椭圆上,∴1482020=+y x ,消去0y 得20802022+-=+x x CB CA,0[x ∈-,∴22CB CA +得取值范围为[2828-+. ……………………………………………8分⑶假设在x 轴上存在点P 满足题意,不妨设)0,(t P ,设),(),,(2211y x B y x A ,设直线AB 的方程为:2+=my x ,联列14822=+y x ,消去x 得044)2(22=-++my y m , 则24221+-=+m my y ,24221+-=m y y , ………………………………………………………………12分 由PF平分∠APB知:0=+BP AP k k , …………………………………………13分又0))(()()(2112212211=---+-=-+-=+t x t x t x y t x y t x y t x y k k BP AP , 又211+=my x ,222+=my x ,得02))(2(2121=++-y my y y t ,即024224)2(22=+-++--m m m m t ,得4=t ,所以存在点P (4,0)满足题意. ………………………………………………………………16分20.解:⑴()xh x e k '=-,①当0k ≤时,()0h x '>恒成立,()h x 的单调递增区间为(,)-∞+∞,无单调递减区间;……………2分②当0k >时,由()0h x '>得ln x k >,由()0h x '<得ln x k <, 故()h x 的单调递减区间为(,ln )k -∞,单调递增区间为(ln ,)k +∞.………………………………………4分 ⑵当2=k ,1=m 时,方程()()x g x f =即为()210x h x e x =--=,由(1)知()h x 在(,ln 2)-∞上递减,而()00h =,故()h x 在(,ln 2)-∞上有且仅有1个零点,………6分由⑴知()h x 在[ln 2,)+∞上递增,而()130h e =-<,()2250h e =->,且()h x 的图像在[1,2]上是连续不间断的,故()h x 在[1,2]上有且仅有1个零点,所以()h x 在[ln 2,)+∞上也有且仅有1个零点,综上,方程()()x g x f =有且仅有两个实数根. ………………………………………………………………8分⑶设()()()h x f x g x =-,①当1m >时,()()0f x g x -≤恒成立,则()0h x ≤恒成立, 而 0m k m h e k -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭,与()0h x ≤恒成立矛盾,故1m >不合题意;…………………………………10分②当1m <时,()()0f x g x -≥恒成立,则()0h x ≥恒成立,1°当0k =时,由()0x h x e m =-≥恒成立可得(,0]m ∈-∞,0km =; ……………………………11分2°当0k <时,111m k m h e k --⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而10m k -<,故11m k e -<, 故10m h k -⎛⎫< ⎪⎝⎭,与()0h x ≥恒成立矛盾,故0k <不合题意;………………………………………13分 3°当0k >时,由(1)可知()()min ln ln h x h k k k k m ==--⎡⎤⎣⎦,而()0h x ≥恒成立, 故ln 0k k k m --≥,得ln m k k k ≤-,故(ln )km k k k k ≤-,记()(ln )k k k k k ϕ=-,(0,)k ∈+∞,则()(12ln )k k k ϕ'=-,由()0k ϕ'>得0k <<()0k ϕ'<得k >故()k ϕ在(上单调递增,在)+∞上单调递减, ()max 2e k ϕϕ∴==,2e km ∴≤,当且仅当k =2m =时取等号; 综上①②两种情况得km 的最大值为2e .……………………………………………………………………16分。

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试题

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试题

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分。

不需写出解题过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。

⒈若集合}2,1{-=m A ,且}2{=B A ,则实数m 的值为 。

⒉若复数z 满足2)1(=-z i (i 为虚数单位),则=z 。

⒊现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为 。

⒋已知正六棱锥的底面边长是3,侧棱长为5,则该正六棱锥的体积是 。

⒌若1e ,2e 是两个单位向量,212e e a -=,2145e e b +=,且a ⊥b ,则1e ,2e 的夹角为 。

⒍如图,该程序运行后输出的结果为 。

⒎函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2)(πx x f ,[]0,π-∈x 的单调递增区间为 。

⒏若等比数列{}n a 满足43=-m a 且244a a a m m =-(*N m ∈且4>m ),则51a a 的值为 。

⒐过点)3,2(且与直线1l :0=y 和2l :x y 43=都相切的所有圆的半径之和为 。

⒑设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈,0)(≥x f 且9)()1(22=++x f x f 。

已知当]1,0[∈x 时,有242)(--=x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛62013f 的值为 。

⒒椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左焦点为F ,直线m x =与椭圆相交于A ,B 两点,若FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积为ab ,则椭圆的离心率为 。

⒓定义运算,则关于非零实数x 的不等式的解集为 。

⒔若点G 为ABC ∆的重心,且AG ⊥BG ,则C sin 的最大值为 。

⒕若实数a 、b 、c 、d 满足143ln 22=-=-dc b a a ,则22)()(d b c a -+-的最小值为 。

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盐城室2012—2013学年度高二调研测试 数学试题(文科) 2013.6注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 4.第19、20题,请四星高中学生选做(A ),三星高中与普通高中学生选做(B ),否则不给分.参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=(x 为样本平均数)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.x R ∀∈,sin 1x ≤的否定是 ▲ .2.已知复数z 满足i(2i)z =-(其中i 为虚数单位) 3.某校对全校1000200的样本,已知女生抽了80人,则该校的男生数为 ▲ . 4.集合}{23,log A a =,}{,B a b =,若}{1A B = ,则A B = ▲ . 5.有4件产品,其中有2件次品,从中任选2件,恰有1件次品的概率为 ▲ . 6其中产量比较稳定的水稻品种是 ▲ .7.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于a ,则该双曲线的离心率为 ▲ .8.执行右边的程序框图,若15p =,则输出的n = ▲ .9.观察下列不等式:11111131111,11,1,1222323722315>++>++++>++++> ,11151,,23312++++> 由此猜想第n 个不等式为 ▲ .10.若关于x 的方程24x ax +=有正实根,则实数a 的取值范围是▲ .11.在锐角ABC △中,角AB C ,,所对的边分别为a b c ,,,已知sin A =,2a =,ABC S =△,则b 的值为 ▲ .12.若函数()()ln 3x f x ae x =--的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知Rt ABC ∆的三个顶点都在抛物线22(0)y px p =>上,且斜边AB ∥y 轴,则斜边上的高等于 ▲ .14.已知曲线C :()(0)af x x a x=>+,直线:y x =,在曲线C 上有一个动点P ,过点P 分别作直线和y 轴的垂线,垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线,分别与直线和y 轴相交于点,M N ,O 是坐标原点.则OMN △与ABP △的面积之比为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)记关于x 的不等式()(1)0x a x -+≤的解集为P ,不等式|1|1x -≤的解集为Q . (1)若3a =,求集合P;(2)若Q P ⊆,求正数a 的取值范围. 16.(本小题满分14分)已知函数()22cos sin cos f x x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)若()1013f α=,且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求sin 2α的值.17.(本小题满分14分)已知函数2()lg(1)1af x x=-+(其中0a >). 求证:(1)用反证法证明函数()f x 不能为偶函数;(2)函数()f x 为奇函数的充要条件是1a =.18.(本小题满分16分)为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD (60AB =米,104AD =米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM 与HN 均为米,6GEM HFN π∠=∠=,,,,AE EG HF FC 的造价均为每米1万元,GH 的造价为每米2万元,设MN 与AB 所成的角为0,4παα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,天桥的总造价(由,,,,AE EG GH HF FC 五段构成,GM 与HN 忽略不计)为W 万元.(1)试用α表示GH 的长;(2)求W 关于α的函数关系式; (3)求W 的最小值及相应的角α.19.(本小题满分16分) (A )(四星高中学生做)已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点到两焦点距离之和为,左、右焦点分别为12,F F ,点P 是右准线上任意一点,过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)证明:直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值; (3)点P 的纵坐标为3,过P 作动直线与椭圆交于两个 不同点M 、N ,在线段MN 上取点H ,满足MP MHPN HN=, 试证明点H 恒在一定直线上.(B )(三星高中及普通高中学生做)第18题图第19题图已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点到两焦点距离之和为,左、右焦点分别为12,F F ,点P 是右准线上任意一点,过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)证明:直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点. 20.(本小题满分16分) (A )(四星高中学生做)设函数()x a x f ln =,()212g x x =. (1)记()()()h x f x g x =-,若4a =,求()x h 的单调递增区间;(2)记()g x '为()x g 的导函数,若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解,求实数a 的取值范围;(3)若在[]1,e 上存在一点0x ,使得()()()00001()f x f x g x g x ''->+'成立,求a 的取值范围.(B )(三星高中及普通高中学生做) 设函数()x a x f ln =,()212g x x =. (1)记()()()h x f x g x =-,若4a =,求()x h 的单调递增区间;(2)记()g x '为()x g 的导函数,若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解,求实数a 的取值范围;(3)若1a =,对任意的120x x >>,不等式()()()()121122m g x g x x f x x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立.求()1,≤∈m Z m m 的值.2012-2013学年度高二调研测试数学试题(文)答案一、填空题:每小题5分,共计70分.1.,sin 1x R x ∃∈> 2 3.600 4.}{1,2,3 5.236.甲7 8.5 9.111123212n n ++++>- 10.4a ≥ 11 12.()2,e +∞ 13.2p 14.8二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.解: (1)当3a =时,(3)(1)0x x -+≤,则解集P 为}{13x x -≤≤.……………… 7分 (2)由题意,解集为Q=}{02x x ≤≤,所以2a ≥.……………………………………… 14分16.解:(1)()22cos sin cos cos 222sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.…………………………………………………… 6分 (2)由题52sin 2613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得5sin 2613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为42ππα≤≤,则272366πππα≤+≤, 则12cos 2613πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,………………………………………………………………………… 9分所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…14分 17解:(1)假设函数()f x 为偶函数,则()f x -=()f x ,∴2lg(1)1a x --=2lg(1)1a x -+,即211a x --=211a x -+,化简得:2401axx=-, ∴0a =,与条件0a >矛盾.∴函数()f x 不能为偶函数.……………………………… 7分(2)充分性:由1a =,函数2()lg(1)1f x x =-+=1lg1x x -+, 11xx-+>0,∴11x -<<, 又()f x +()f x -=1lg1x x -++1lg 1xx+-=lg10=,∴当1a =时,函数()f x 为奇函数.…… 10分 必要性:由函数()f x 为奇函数,即()f x +()f x -=0,∴2lg(1)1a x -++2lg(1)1a x --=21lg()1a x x --++21lg()1a x x-+-=0,化简得2(21)1a -=, 0a >,∴1a =,∴当函数()f x 为奇函数时, 1a =.…………………………………… 14分(注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到1a =)18.解:(1)由题意可知MNP α∠=,故有60tan MP α=,所以在Rt NMT ∆中60cos GH MN α==……………………………………………………………………………………6分(2)60(8060tan )12cos W αα=+⨯+⨯sin 18060120cos cos ααα=+-+sin 28060cos αα-=+.………………………………………………………… 11分(3)设sin 2()cos f ααα-=(其中π0)4α≤≤,则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==. 令()0f α'=得12sin 0α-=,即1sin 2α=,得6πα=.列表所以当6α=时有max ()f α=,此时有min 8080W =++=+.答:排管的最小费用为80+万元,相应的角6πα=.…………………………… 16分(A )(四星高中学生做)19.解:(1)由题,a =c a =从而得1c =,b = 所以椭圆E :22132x y +=……………………………………………………………………… 4分 (2)设()03,P y ,()11,Q x y , 因为22PF F Q ⊥,所以220011111212(1)QF PF y y y y k k x x =⋅==---, 所以1012(1)y y x -=- 又因为21011012111133PQ OQy y y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--且22112(1)3x y =-代入化简得23PQ OQ k k ⋅=-……10分 (3)设过P 的直线l 与椭圆交于两个不同点1122(,),(,)M x y N x y ,点(,)H x y ,则2211236x y +=,2222236x y +=.∵MP MH PN HN =,∴设MP MH PN HNλ==,则,MP PN MH NH λλ=-= , ∴1122(3,3)(3,3)x y x y λ--=---,1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--整理得12123,11x x x x x λλλλ-+==-+,12123,11y y y y y λλλλ-+==-+, ∴从而2222221212223,311x x y y x y λλλλ--==--,∴222222222221212112222223323(23)69611x x y y x y x y x y λλλλλ-+-+-++===--,所以点H 恒在直线2320x y +-=上.………………………………………………… 16分(B )(三星高中及普通高中学生做)解:(1)(2)同(A )(3)由(2)知,直线PQ 的方程为()111123x y y x x y -=--,即111223x y x y y =-+, 由22111132223x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得22221111(32)121890y x x x x y +-+-=,化简得:221120x x x x -+=, 解得0x x =,所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.……………………………………… 16分 (A )(四星高中学生做)20.解:(1)当4a =时,()4ln f x x =,此时()214ln 2h x x x =-, 由()'40h x x x=->得22x -<<, 又0>x ,则02x <<.所以()x h 的单调递增区间为()0,2.…………………… 4分(2)不等式()()()()x g x a x g x f -+≤+32'即为()22132ln x x a x x a -+≤+, 则()x x x x a -≥-221ln ,由[]e x ,1∈知0ln >-x x ,因而x x x x a ln 212--≥,设x x xx y ln 212--=,由()()()22'ln 2111ln 1x x x x x x x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛----=()()2ln ln 1211x x x x x -⎪⎭⎫⎝⎛-+-=,且当()e x ,1∈时01>-x ,0ln 121>-+x x ,从而,0'>y .由不等式有解,知21min -=≥y a ……………………… 10分(3)不等式()()()''000'01()f x fx g x g x ->+等价于00001ln a a x x x x ->+, 整理为0001ln 0ax a x x +-+<,设1()ln a m x x a x x +=-+,则由题意可知只需在],1[e 上存在一点0x ,使得0()0m x <.2'2221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+=--==, 因为,0>x 所以,01>+x 令,01=--a x 得a x +=1.………………………………………… 12分①若11a +≤,即0a ≤时,令(1)20m a =+<,解得2a <-. ②若e a ≤+<11,即10-≤<e a 时,()m x 在a +1处取得最小值, 令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<,即)1ln(11a a a +<++,所以)1ln(11+<++a aa 考察式子t t t ln 11<-+,因为e t ≤<1,所以左端大于1,而右端小于1,所以不成立 ③当e a >+1,即1->e a 时,()m x 在],1[e 上单调递减,只需()0m e <,得211e a e +>-,又因为0121112<--=-+--e e e e e ,所以,211e a e +>-. 综上所述,2a <-或211e a e +>-.………………………………………………………………… 16分(B )(三星高中及普通高中学生做) 解:(1)(2)同(A )(3)当1=a ,()x x f ln =.由()()()()121122m g x g x x f x x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立知,()()()()222111x f x x mg x f x x mg ->-恒成立,设()()0ln 22>-=x x x x m x t . 由题意知021>>x x ,故当0>x 时函数()x t 单调递增,则()01ln '≥--=x mx x t 恒成立,因此,x x m 1ln +≥恒成立,记x x y 1ln +=,由()2'ln x xx y -=,知函数在()1,0上单调递增,在()+∞,1上单调递减, 则()()11max ==h x h ,所以1≥m ,又1,≤∈m Z m ,所以1=m .…………… 16分。

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