四阶变系数线性微分方程的不变量解法

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两类四阶非线性微分方程的解法

第３１卷第４期
２０１５年８月
山西大同大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉｌ）ａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｔｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
变量替换，使得原方程变为相对易求解的类型。本文将通过变量变换求解两类四阶非线性微分方程。
定理１四阶微分方程
ｄ＇ｚ＋ ∽ ＋０ｌｚ …＋（３ｐ（＋ａＩｐ ∽＋ａ２）
ｄｃｌｘ
再由常数变易法求出
例２求方程
… 一
从而由常数变易法可得
＋ｚ＝ｃ３ｅ＋ｃ２ｅ＋ＣｌＸ一２ｃ的通解为
＝ｅ－ｃ
３
＋ｚ一
＋：的通解。
。
＋Ｃ２；２＋ｅｌ（ｘｅ一３ｅ）＋ｃ４），
口ｐ（＋ｒ上２）＋（ｐ）＋ａ２ｐ∽ ＋ａ２ｐ（））｝
通过变量替换可求出通解，其中ａ，，ａ，为常量，Ｐ，
厂是连续函数。证明原方程可变形为
ｄ［＋ｐ）ｚ）＋ａｌ（ｚ＋ｐ（ｚ）】．ａ［ａ＋ｐ（ Байду номын сангаас］
Ｔ
：
，
（５）
，［
＋
＋
】。（１）
令＋ｐ＝ｙ，则（１）式转化为＝厂（再令Ｙ＋ａｌＹ＋ａ２ｙ＝Ｍ，则（２）式转化为

应用李群求微分不变量及变系数方程的分类

【主题】应用李群求微分不变量及变系数方程的分类一、引言李群理论是数学领域中的重要分支，它主要研究的是具有运算结构的空间。

李群的概念最早是由数学家李雅可夫勇提出的，它在很多领域都有广泛的应用，其中就包括微分几何和微分方程的研究。

本文将探讨在微分方程中应用李群求微分不变量及变系数方程的分类。

二、李群与微分不变量1. 李群的基本概念在数学中，李群是指既是光滑流形又是群的数学对象。

它是一个拓扑群，并且具有平滑流形的结构，因此可以进行微分几何的相关运算。

在微分方程的研究中，李群的概念可以帮助我们研究变换对微分方程的不变性，从而得到微分不变量。

2. 应用李群求微分不变量对于给定的微分方程，我们可以通过李群的变换来求取其微分不变量。

这些不变量可以帮助我们理解微分方程的性质，并为解微分方程提供更多的线索。

通过李群求微分不变量，我们可以将原本复杂的微分方程简化为更易于处理的形式，从而更好地理解方程的性质。

三、变系数方程的分类1. 变系数方程的性质在实际问题中，很多微分方程的系数是随着自变量或者因变量的变化而变化的，这样的微分方程被称为变系数方程。

变系数方程在物理、生物和工程等领域都有着广泛的应用，但由于其特殊的性质，在求解和分析时往往会遇到更多的困难。

2. 应用李群对变系数方程进行分类通过李群的方法，我们可以对变系数方程进行分类，这有助于我们更好地理解这些方程的性质。

不同类型的变系数方程可能会有不同的特点和求解方法，因此将它们分类可以帮助我们更好地处理和理解这些方程。

四、个人观点和总结通过本文的探讨，我们可以看到李群在微分方程中的重要应用。

利用李群的方法，我们能够求取微分不变量，这有助于我们更好地理解微分方程的性质。

李群也可以帮助我们对变系数方程进行分类，从而更好地处理和理解这些特殊类型的微分方程。

李群在微分方程的研究中发挥着重要的作用，它为我们提供了一种全新的思路和方法。

通过深入学习和应用李群理论，我们可以更好地理解微分方程的性质和求解方法，为实际问题的分析和解决提供更多的工具和思路。

应用李群求微分不变量及变系数方程的分类

应用李群求微分不变量及变系数方程的分类摘要：1.引言2.李群求微分不变量的基本概念3.变系数方程的分类4.李群求微分不变量在变系数方程中的应用5.结论正文：【引言】微分方程在数学和物理学等领域具有广泛的应用，而求解微分方程的过程中，常常涉及到微分不变量的概念。

李群作为微分方程的一种求解方法，其求微分不变量的理论得到了广泛的研究。

同时，变系数方程作为微分方程的一种类型，在实际应用中也占有重要地位。

本文将从李群求微分不变量及变系数方程的分类的角度，探讨李群求微分不变量在变系数方程中的应用。

【李群求微分不变量的基本概念】李群求微分不变量，是指在李群作用下，满足某种不变性质的微分方程解。

它的求解过程主要包括以下几个步骤：首先，确定李群的结构和作用；其次，根据李群作用下的不变性质，建立微分方程；最后，求解微分方程，得到李群求微分不变量。

【变系数方程的分类】变系数方程是指方程中某些系数随着自变量或时间变化的一类微分方程。

根据系数的变化规律和方程的性质，变系数方程可以分为以下几类：1.线性变系数方程：系数随着自变量线性变化的微分方程。

2.非线性变系数方程：系数随着自变量非线性变化的微分方程。

3.时变系数方程：系数随着时间变化的微分方程。

【李群求微分不变量在变系数方程中的应用】李群求微分不变量在变系数方程中的应用主要体现在以下几个方面：1.求解变系数方程：通过李群求微分不变量的方法，可以简化变系数方程的求解过程，降低问题的复杂度。

2.分析变系数方程的性质：利用李群求微分不变量，可以更好地分析变系数方程的稳定性、周期性等性质。

3.建立变系数方程的模型：在实际应用中，通过引入李群求微分不变量，可以建立更加精确的变系数方程模型，以描述实际问题。

【结论】李群求微分不变量及变系数方程的分类为微分方程的研究和应用提供了有力的理论支持。

在实际问题中，通过运用李群求微分不变量的方法，可以更好地理解和解决变系数方程问题。

6习题课高等数学微积分课件

2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程形如 dy f ( y) dx x
解法作变量代换 u y x
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)Leabharlann 定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
(1) y(n) f ( x) 型
解法接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点不显含未知函数 y. 解法令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
(3) y f ( y, y) 型
特点不显含自变量 x. 解法令 y P( x), y P dp ,
形如
x yn (n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常
数)，
叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换
x et 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 常用幂级数解法.
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.

关于变系数线性微分方程组基解矩阵的一点注记

关于变系数线性微分方程组基解矩阵的一点注记变系数线性微分方程组基解矩阵(Coefficient Matrix of the General Solution)是一种表示一个变系数线性微分方程组基解的矩阵，它是两个集合的合并结果：特殊解的矩阵和一组通用解构成的基础矩阵。

这里，特殊解是该线性微分方程组的求解所需要的特定输入。

一组“基础矩阵”是该线性微分方程组的特定系数的函数，它们构成了求解这个方程组所需要的通用解。

对于变系数线性微分方程组基解矩阵，它可以用来解线性微分方程组的标准形式，如偏微分方程组，初值问题。

通过将特殊解和基础矩阵集合起来，可以求解变系数线性微分方程组的基本解。

在使用变系数线性微分方程组基解矩阵时，应注意一些问题：1）如果特殊解是中心，则基础矩阵应该与特殊解匹配；2）基于系数的函数应该与特殊解的情况相对应，而不是一般的情况；3）变系数线性微分方程组基解矩阵不能用于解决非常量的方程组；4）应尽量保证基解矩阵的精度，而不是让矩阵数值趋向0化；5）如果基解矩阵需要计算敏感性，那么应该考虑特征根的影响；6）基解矩阵可以帮助我们分析系统的演化，即系统的多样性；7）当求解系数发生变化时，所得的解也会发生变化，因此，需要考虑如何在存在变系数的情况下求得系统的稳定解；8）在确定变系数线性微分方程组基解矩阵后，还需要分析其解的可视化特性；9）在处理变系数线性微分方程组时，应当分析其解的结构，比如它是可解的，稳定的，奇异的等，这将会影响到解的结果。

总的来说，变系数线性微分方程组基解矩阵是一种强大的工具，用于求解变系数线性微分方程组，然而应当遵循上述原则，以确保求解的正确性。

非齐次线性微分方程的几种解法

摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。

非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。

这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。

下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。

方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。

下面我们研究几个例子。

例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。

四阶微分方程奇异边值问题的正解

四阶微分方程奇异边值问题的正解【引言】四阶微分方程奇异边值问题的正解是数学领域中的一个有趣而重要的课题。

我们知道，微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，而四阶微分方程则更加复杂，涉及到更高阶的导数。

奇异边值问题是在给定一组边界条件的情况下，寻找四阶微分方程的满足条件的解。

在本文中，我们将全面评估和讨论四阶微分方程奇异边值问题的正解，并分享个人观点和理解。

【正文】1. 什么是四阶微分方程奇异边值问题？四阶微分方程奇异边值问题是指在给定的区间上，满足四阶微分方程和一组边界条件的情况下，求解方程的满足条件的解。

这些边界条件可能包括函数值、导数值以及二阶导数值等信息。

奇异边值问题的难点在于，边界条件的组合可能导致问题的奇异性，使得传统方法难以直接求解。

研究四阶微分方程奇异边值问题的正解对于深入理解微分方程在实际问题中的应用至关重要。

2. 解四阶微分方程奇异边值问题的方法解决四阶微分方程奇异边值问题需要结合数值方法和分析方法，以下是一些常用的方法：1) 分离变量法：将四阶微分方程拆解为一系列一阶或二阶微分方程，通过求解这些低阶方程来获得原问题的解。

2) 特征方法：对于特殊的四阶微分方程，可以使用特征方法，将其转化为一些已知的标准方程，然后进行求解。

3) 变分法：通过引入变分原理，将四阶微分方程奇异边值问题转化为极值问题，利用变分法的性质求解。

3. 四阶微分方程奇异边值问题的应用四阶微分方程奇异边值问题在各个科学领域具有广泛的应用。

以下是几个应用实例：1) 结构力学：四阶微分方程可以描述梁、板等结构的挠度分布，奇异边值问题的正解可以得到结构的稳定性和强度等信息。

2) 电磁场分析：研究电磁场分布时，涉及到Maxwell方程，其中存在四阶微分算符，解奇异边值问题可以得到电磁场的具体分布情况。

3) 物理学：四阶微分方程可以描述波动方程、量子力学中的薛定谔方程等，解奇异边值问题可以获得物理问题的精确解析解。

常微分方程常见形式及解法

常微分方程毕文彬 4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程毕文彬 5
一阶线性常微分方程
01
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值
常微分方程毕文彬 6
二阶常系数齐次常微分方程
也可能是一个向量函数
或是矩阵函数，后者可
对应一个由常微分方程
组成的系统。微分方程
的表达通式是：
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：
（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。
常见例子
以下是常微分方程的一些例
02
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程毕文彬 7
一般通解
可分离方程一般一阶微分方程一般二阶微分方程线性方程 (最高到n阶)
A
子，其中u为未知的函数，自
变数为x，c及ω均为常数。
B
非齐次一阶常系数线性微分方程：
C
齐次二阶线性微分方程：
D
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
E
非齐次一阶非线性微分方程：
F
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程毕文彬 3

变系数微分方程的解法

意＝ｇ（），）），，器（），）），＋ｇ（），））， ” ，
原方程可化为 ” ＋（一）＋ｚ＝．
收稿日期：２０１４—１２— １８
通讯作者：孙瑞，８９６７４１５３＠ｑｑ．ｃｏｎ。ｒ
（总第１０８期）（ＳｕｍＮｏ．１０８）
变系数微分方程的解法
荆、瑞
（枣庄学院山东枣庄
２７７１３２）
摘要：本文主要是通过二阶变系数线性微分方程的常系数化解法，推导出三阶变系数
ห้องสมุดไป่ตู้
线性微分方程的解法．同时对这些方法进行归纳总结，应用到高阶变系数线性微分方程的解法中，从而能够解决实际应用中的一些问题．
关键词：变系数微分方程，常系数化法，变量代换中图分类号：Ｏ１７５．１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４ — ９５４５（２０１５）ｏｌ一００５６一（０５）
推广到三阶变系数线性微分方程，并对这些方法进行归纳总结，应用到高阶变系数线性微分方程中，得到求解高阶变系数线性微分方程的一般方法．从而解决实际应用中的一些问题。
１特殊类型变系数微分方程的求解
首先，讨论如下类型的方程（，Ｙ）ｄｘ＋（，Ｙ）ｄｙ＋ｌ（，ｙ）ｘｄｙ一９（，ｙ）ｙｄｘ＝０，

常微分方程常见形式及解法

()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
常微分方程毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程毕文彬
5
01一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程毕文彬
6
02二阶常系数齐次常微分方程
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程毕文彬
3
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx，的解是 y=-cosx+C，其中C是待定常数；例如，如果知道 y=f(π)=2，则可推出 C=1，而可知 y=-cosx+1，
出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事
业是
()
A．电报业
B．大众报业
C．铁路交通业 D．轮船航运业
[解析] 材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。
[答案]A
[题组冲关]

Co2O3掺杂对ZnO压敏电阻性能的影响

越来越小，射角变大，面间距减小；敏电压升高，线性指数变大．衍晶压非关键词：化锌；描电镜；射线衍射仪；敏电阻；观结构氧扫Ｘ压微中图分类号：Ｎ０．４Ｔ３４２文献标识码：Ａ文章编号：６２— ９６２ｌ）３— ３７— ４１７０４（０１００２０
一
特性被认为是在晶界产生的．当外加电压低于击
本文主要对不同摩尔分数Ｃｏ０掺杂ＺＯ压ｎ敏电阻片的微观结构进行了研究分析，讨论了ｃｏ
收稿日期：００— ５—１．２１０２
基金项目：哈尔滨市科技创新人才专项基金（０９ＦＸ２５．２０ＲＸＧ０）作者简介：陈春天（９４，，１６一）男教授，研究方向：材料性能检测及电流体力学
图４不同摩尔分数Ｃ：杂ＺＯ压敏０ｏ掺ｎ
分数的变化关系如图３所示．
电阻片的ＸＤ图Ｒ
从四图中比较可以看出所有的试样在２角为
３．３附近都出现了（０）４４。０２晶面的衍射峰，可见在
掺Ｃｏ前后ＺＯ压敏片都具有很好的ｃ轴择优取ｎ向，随着Ｃ，杂量的增加，ｏＯ掺Ｃ轴择优取向逐渐
第３期
陈春天，：ｏＯ掺杂对ＺＯ压敏电阻性能的影响等Ｃ：，ｎ
（：Ｕ：ｆｌ１，ＮｏＤＪＬｃ
可以看出，当晶粒的直径减小时，晶粒数增大，对应的压敏电压变大；晶粒的直径增大时，粒当晶数减少，应的压敏电压变小，以，对所晶粒直径的大小对压敏电压的变化起决定性的作用．图１中已从

一类特殊形式的四阶常微分方程法

毕业论文题目：一类特殊形式的四阶常微分方程法姓名：专业：信息与计算科学班级：院（系）：指导教师：一类特殊形式的四阶常微分方程的解法摘要：本文利用斯-刘定理正交性方法讨论一类特殊形式的四阶常系数常微分方程的解法。

关键词：特殊形式的四阶方程，斯-刘定理正交性方法。

问题的提出：解固有解问题0))(22)4(=-''+y b y a y λ ),0,0,0(22>><<b a l λ （1）0)()0()()0(='=''==l y y l y y （2）要解此方程，我们利用斯-刘定理正交性的方法分析固有值λ.方程（1）乘以)(x y 后，从0到l 积分，得 ⎰⎰-=llydx y a y b ydx y 04220)4()(λ. （3）对于⎰''lydx y 0用分部积分及用条件（2），得⎰''=lydx y I 01.)0()0()()(0020202⎰⎰⎰'-='-'-'='-'=lll dx y dx y y y l y l y dx y ly y同样：⎰=lydx y I 042.)]([)(0)0()0()()(00202)2(0)3(0)3(330)3()3(dx x y dxy ly y dxy y dxy y y y l y l y dx y y lyyll lll ⎰⎰⎰⎰⎰''=+'''-='-='--='-=把1I 和2I 代入（3）式,得.)]([00222220⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=''⎰⎰⎰l l ldx y b dx y a dx x y λ 由得,0)(≠x y.0≥λ(1) 设0=λ方程成为0)4(=y , 取四次积分后，得.)(432231c x c x c x c x y +++=由边值条件，即可推得04321====c c c c ，因此 0)(=x y .（2）当0>λ时，方程的特征方程为.02224=-+b k a k λλ或 .042242222=--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a k λλλ解,得]4[2122222b a a k λλλ+±-=.4112422⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-=a b a λλ 因为 0,022>>b a ，故14142>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b λ. 于是若记2212a k λ=,041142>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-a b λ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=42224112a b k λλ, =-2k 04112422>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a λλ. 就求得特征根21,ik k k k ±=±= ()2121,k k k k ≠均大于零且.当 1k k ±= 时，x k x k e c e c y 11211-+=.因为 x shk c x chk c e xk 12111+= , =-x k e 2x shk c x chk c 1413-.故有 x shk c c x chk c c y 2421311)()(-++=. 令 D c c C c c =-=+4231,, 得x Dshk x Cchk y 211+=.当 2ik k ±=时，x k B x k A y 222cos sin +=.那么所求的通解为x Dchk x Cchk x k B x k A y 1122cos sin +++=.而)()cos sin ()(11212222x Dchk x Cchk k x k B x k A k x y +++-=''.由边界条件，有0)0(,0)0(2122=+-=''=+=Dk Bk y D B y .因而B=D=0 . 再有另外两个边界条件（0)(,0)(=''=l y l y ）,有⎩⎨⎧=+-=''=+=.0sin )(,0sin )(12122212l shk Ck l k Ak l y l Cchk l k A l y 把0sin 222412=-+-=+b k a k l Cshk l k A λλ代入式,求得固有解⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2224l n a b l n n ππλ , (),...3,2,1=n .相应固有函数为应用：（解定解问题弯剪杆的自由震动）()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======><<>>=∂∂+∂∂∂-∂∂,,0),(),0(,0),()0,(),()0,(,0,0,0,00222424244x x u x x u l t u t u l t u t u t l x b a t u b t x u a x u txx xx φϕ 解：设)()(t T x X u =,把它代入泛定方程，再除以)()(t T x X u =，得0.22)4(=''+''''-TT b T T X X a X X . 令λ-=''TT ，得到两个常微分方程 ,0=+''T T λ0)(22)4(=-''+X b X a X λ.再由变易条件，得固有值问题⎩⎨⎧=''=''==<<=-''+.0)()0()()0(),0(0)(22)4(l X X l X X l X X b X a X λ 应用上面的特殊方程求得固有值⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2224l n a b l n n ππλ, (),...3,2,1=n .相应固有函数 x ln x X n πsin )(=记)0(2>=n n n ωλω由T 的方程求得，().sin cos )(t D t C t T n n n n n ωω+=这就求得满足泛定方程和变易条件的特殊解).()(t T x X u n n n =将各特解叠加，得到()∑∞=+=1sin cos ),(n n n n n t D t C x t u ωωx ln πsin，（5）由初始条件，有);(sin),0(1x x ln C x u n n ϕπ==∑∞= ⎰=l n xdx ln x l C 0.sin )(2πϕ );(sin),0(1x x l n D x u n n n t φπω==∑∞= ⎰=ln n xdx ln x l D 0.sin)(2πφω 把定出的系数n n D C ,代入（5）式，即得所求解.参考文献[1] 常微分方程，东北师范大学微分方程教研室，第二版；[2] 应用微分方程，华东理工大学出版社，2005年7月第一版； [3] 数学物理方程，中国科学院指定考研参考书，第二版；。

四阶变系数微分方程的可解条件

四阶变系数微分方程的可解条件
四阶变系数微分方程是指求解形式为P(D)y=Q(x)的常微分方程，其中P(D)为D的任意阶次多项式，Q(x)为任意函数。

四阶变系数微分方程的可解条件就是满足四个基本要素：
1、给定的四阶变系数微分方程必须是一维的。

2、微分方程的解必须是存在的。

3、求解过程中的方程的变数必须是一致的。

4、方程的系数函数必须满足条件P(D)y=Q(x)。

四阶变系数微分方程的可解条件涉及到精密的数学概念，如常微分方程等，这就要求我们在解答四阶变系数微分方程之前，首先要对上述基本要素有良好的理解，以便有效的解决问题。

首先，我们要明确的是求解的四阶变系数微分方程必须是一维的，这就是指方程求解的空间维数为一维，而非二维或三维。

其次，微分方程的解必须是存在的，这不仅仅是理论上的存在，而是指解应该是可以计算出来的，而不可能是任意虚空的。

另外，解方程时变量必须是一致的，也就是指变量的定义不能随时变化，最后，系数函数必须满足条件
P(D)y=Q(x)，也就是多项式、常数项和变量项的比例应该是一致的。

四阶变系数微分方程的可解条件对求解工作的成功起到了至关重要的作用，因而，在求解这类方程前，应首先根据上述要素进行充分的检查，以保证有效的解决问题。

《微分方程的数值解法maab四阶龙格—库塔法》PPT模板课件

k1 f (tn , yn )
k2
f (tn
1 2
h,
yn
h 2 k1)
k3
f (tn
1 2
h,
yn
h 2
k2
)
k 4 f (tn h , y n hk 3 )
四阶 Runge-Kutta 法计算流程图
开始
h 初始条件：t
迭代次数：
；y
0
N
0
积分步长：
tn t0
for i = 1 : N
解析解： x x x1 3 2(((ttt))) 0 .0 8 1 1 2 P 8 k 0siw n t) (2 .6 3 0 3 3 P k 0siw n t) (0 .2 12 2 2 P k 0siw n t)(
第一个质量的位移响应时程
各种solver 解算指令的特点
解法指令解题类型
特点
ode45 非刚性采用4、5阶Runge－Kutta法
适合场合大多数场合的首选算法
ode23 非刚性采用Adams算法
较低精度（10－3）场合
ode113 非刚性
ode23t ode15s
适度刚性
刚性
ode23s 刚性 ode23tb 刚性
y2
(0)
(2.2) (2.3)
例：著名的Van der Pol方程
y (y21)y y0
令
y1y,y2y
Y
y y
1 2
降为一阶 Yyy12(y12y12)y2y1
初始条件
Y0
y1(0) y2(0)
y10 y20
3. 根据式(2.2)编写计算导数的M函数文件ODE文件

常微分方程的常见解法

求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程求解。
可化为齐次方程的方程
形如其中 1. 当 2. 当
(1)
的方程可化为齐次方程. 都是常数. 时, 此方程就是齐次方程. 时, 并且
此时二元方程组
有惟一解引入新变量此时, 方程可化为齐次方程:
(2) 若
则存在实数使得:
或者有
不妨是前者, 则方程可变为
点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。
例1.3.1 在区域
内画出方程
的向量场和几条积分曲线。
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
# 画向量场及积分曲线
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
的解为
x
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
dy
p( x) y
g(x)
初值问题 dx
y(x0 ) y0
的解为
x
x
s
y y0 exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
令
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。

微分方程的基本解法

微分方程的基本解法及其应用微分方程是数学学科中的一个重要分支，主要研究函数及其导数之间的关系。

通过微分方程，我们可以描述许多自然现象的变化规律，如物体的运动、流体的流动、电路的分析等。

因此，掌握微分方程的解法对于解决实际问题具有重要意义。

一、微分方程的分类微分方程按照其含有的未知函数的最高阶导数的次数可以分为线性微分方程和非线性微分方程。

线性微分方程中的未知函数及其导数的次数都是一次，而非线性微分方程中至少有一个未知函数或其导数的次数是二次或更高。

二、微分方程的基本解法1. 分离变量法分离变量法是求解一阶线性微分方程的一种常用方法。

其基本思想是通过将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两边，然后对方程进行积分，从而求出未知函数。

这种方法的优点是步骤简单，易于操作。

2. 变量代换法对于某些非线性微分方程，我们可以通过变量代换将其转化为线性微分方程，从而简化求解过程。

变量代换法的关键在于选择合适的代换变量，使得原方程在新的变量下呈现出线性关系。

3. 常数变易法常数变易法是一种求解一阶非齐次线性微分方程的方法。

其基本思想是将非齐次项看作一个已知的函数，然后将原方程转化为一个关于未知函数的线性微分方程。

这种方法的关键在于利用线性微分方程的叠加原理，将非齐次项的影响分离出来。

4. 积分因子法积分因子法是一种求解一阶线性微分方程的方法，特别适用于当方程中的系数不是常数而是关于x的函数时的情况。

其基本思想是通过引入一个积分因子，使得原方程的系数变为常数，从而简化求解过程。

积分因子的选择依赖于原方程的系数。

5. 特征线法（对于一阶偏微分方程）特征线法是一种求解一阶偏微分方程的方法。

它基于物理直觉，将偏微分方程视为描述某种物理过程的数学模型。

通过找到这些过程的“特征线”，即满足方程的一组曲线，我们可以简化问题并找到解。

6.幂级数法（对于高阶微分方程）幂级数法是一种求解高阶微分方程的方法，特别适用于当方程的解在某一点附近可以表示为一个幂级数时的情况。