【考点59】坐标系与参数方程
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
(完整版)坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;(ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ:222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r=2sin (0)r ρθθπ≤<的圆圆心为(),r π,半径为r的圆32cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π-,半径为r 的圆=2sin (2)r ρθπθπ-≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.5.极坐标方程与直角坐标方程之间的互化（1）直角坐标方程 极坐标方程 : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）极坐标方程 直角坐标方程：222cos sin tan x y x y y x ρθρθρθ→⎧⎪→⎪⎪→+⎨⎪⎪→⎪⎩二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学坐标系与参数方程
高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。
坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。
本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。
一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。
其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。
通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。
其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。
3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。
最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。
二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。
通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。
平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。
通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。
通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。
三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。
以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。
1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。
坐标系与参数方程知识点归纳
坐标系与参数方程知识点一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y xy =θtan 二、参数方程1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角)t t y y t x x (,sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .2.圆222)()(:r b y a x C =-+-(圆心为),(b a C 半径为r )的参数方程为ααα(,sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数) 3.椭圆1:2222=+by a x C 的参数方程为ϕϕϕ(,sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为参数) 4.抛物线)0(2:2>=p px y C 的参数方程为t pt y pt x (,222⎩⎨⎧==为参数)三、直线l 与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A 问题 ①将直线l 化为参数方程的标准型(过定点0M 和倾斜角);②曲线C 使用普通方程;③将直线l 的参数方程带入曲线C 的普通方程,得到关于t 的一元二次方程02=++c bt at ;④设),(),,(2211y x B y x A 对应的参数分别为21,t t ,由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c t t ab t t 2121 (021>⋅t t ,21,t t 同号,021<⋅t t ,21,t t 异号,再根据21t t +的正负性来判断) (1)若求||||00BM AM +,则求出21,t t ,则||||||||2100t t BM AM +=+ (根据21,t t 的正负性去掉绝对值即可)(2)若求||||00BM AM ⋅,则||||||2100t t BM AM ⋅=⋅ (3)若求弦长||AB ,则21221214)(||||t t t t t t AB ⋅-+=-=(4)若0M 为线段AB 的中点,求直线l 方程令021=+t t ,即可求出直线l 的斜率,带入直线l 的点斜式方程)(tan 00x x y y -=-α,化简记得直线l 方程.四、有关距离问题1.常规方法(化为普通方程,利用两点的距离公式或者弦长公式求解):212212)()(||y y x x AB -+-=, )4)(1||212212x x x x k AB -++=2.极径思想:当直线通过原点时,直线的倾斜角即为极角,带入极坐标方程即可求出极径.3.直线参数方法思想(要注意直线参数方程必须是通过倾斜角和定点所得): ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
完整版坐标系与参数方程知识点
完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。
二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。
在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。
点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。
三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。
四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。
五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。
2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。
将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。
2.求解得到与x和y的关系式。
六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。
2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。
3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。
七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。
2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。
3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。
八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程一、 考点：1。
考查参数方程与普通方程的互化；2。
考查用参数法解决有关直线与直线、直线与圆锥曲线的相关问题。
二、 知识点：01．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数，并且对于t 的每一个允许值，由该函数中所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么该函数所确定的两个方程就叫做这条曲线的 ，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间的方程0),(=y x f 叫 。
2．常用的曲线的参数方程（1）过点),(00y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ，其中参数t 的几何意义为 。
(2)圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程为 。
（3）椭圆12222=+by a x 的参数方程为 。
3．参数方程化为普通方程常用的方法有：三、考点演练1. 圆为参数）的圆心到直线（t 为参数）的距离是（ ）A 1BCD 3[解析] 1. 圆的普通方程为, 圆心为(1, －2). 直线的普通方程为, 所以点(1, －2) 到直线的距离为.2.在直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。
已知点，若极坐标方程为的曲线与直线（为参数）相交于、两点，则。
[解析] 2. 曲线的直角坐标系方程为，圆心在（3，－3），半径为；直线的普通方程为，该直线过圆心，且|OP|=5，所以过点P且垂直于直线的直线被圆截得的弦长为，根据相交弦定理可得.3. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以为极点，射线为极轴的极坐标系中，曲线的方程为，曲线与交于两点，则线段的长度为___________.[解析] 4.因为曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为，又因为曲线的极坐标方成为，所以，所以普通方程为，即，所以圆心到直线的距离为，弦长.4．已知曲线的极坐标方程为，则曲线上点到直线（为参数）距离的最大值为.[解析] 6. 因为，所以，所以，即，其参数方程为（为参数），又因为，所以，所以点到直线的距离为，（为参数），故曲线上点到直线（为参数）距离的最大值为.5．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与交点个数为___________.[解析] 7. 曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.6．若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是______________.7．在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．当圆上的点到直线的最大距离为时，圆的半径．8．圆C的普通方程为，因为，所以直线的直角坐标方程为，圆心C到直线的距离为2，所以圆上的点到直线的最大距离为2+2r=4，解得r =1. 10.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，设线段的中点为，则点的直角坐标为．[解析] 12. 消去参数t可得曲线C1的普通方程为，曲线，根据可得曲线C2的直角方程为. 设点，联立消x得，则，所以的中点为的纵坐标为，又因为点M在直线上，代入解得，所以中点M的坐标为.9. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若点为直线上一点，点为曲线为参数）上一点，则的最小值为.[解析] 13. 点在直线：上，点在曲线：上. 由得：. 由得. 两直线，间的距离即为的最小值，所以其最小值为.10．已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .[解析] 15. 消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为. 另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极轴）中曲线的方程为，则与的交点的距离为____________.[解析] 17. 由得，即为曲线的普通方程，由，，即为曲线的普通方程.由于圆圆心为，又圆心到直线的距离为，圆的半径，弦长，即为曲线与的交点的距离.12．若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是．[解析] 18. 把化为普通方程为，令，则，由于圆心到直线的距离为，又点时圆上任意一点，则，解得，即的取值范围是.13．在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数，）. 在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为，若直线与轴、轴的交点分别是椭圆的右焦点、短轴端点，则.[解析] 19.依题意，椭圆的普通方程为，直线的普通方程为，令，则，令，则，，，，.14．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. [解析] 20.（1）由曲线：得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：由曲线：得：即，所以即曲线的直角坐标方程为:(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为，此时点的坐标为15．在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．[解析] 22.(Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分）(Ⅱ) 直线的参数方程为(为参数),代入, 得到, 设, 对应的参数分别为, ，则所以. （7分）16．已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.[解析] 23.（Ⅰ）由，可得所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, . 17．以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.[解析] 24.（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. （5分）（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. （10分）18．已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.[解析] 25.（Ⅰ）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为. （4分）（Ⅱ）设点，则，所以的取值范围是. (10分）19．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．[解析] 26.20．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数) ．(I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(Ⅱ) 若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．[解析] 27.21．已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．[解析] 28. （1）因为圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程（2）『解法1』：设由圆的方程所以圆的圆心是，半径是将代入得又直线过，圆的半径是，所以所以即的取值范围是『解法2』：直线的参数方程化成普通方程为：…………6分由，解得，…………8分∵是直线与圆面的公共点，∴点在线段上，∴的最大值是，最小值是∴的取值范围是…………10分22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.[解析] 30.因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. （10分）23．已知曲线(t为参数) ，(为参数).（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.[解析] 31. 解析（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （4分）（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. （10分）24．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；(Ⅱ) 设直线与直线的两个交点为、，求的值.[解析] 32.（Ⅰ）直线即，直线的直角坐标方程为，点在直线上. （5分）(Ⅱ) 直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，. （10分）25．在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.[解析] 33. （Ⅰ）由得，则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为. （5分）（Ⅱ）在上任取一点，则点到直线的距离为，当，即时，，此时点. （10分)真题选编1．【2012高考广东文14】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .【答案】(2,1)2．（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.【答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)3．（2013年高考湖南（文））在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____【答案】44．（2013年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t 为参数)的焦点坐标是____________ .【答案】(1, 0)5．（２０１１年）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x -y+4=0，曲线C 的参数方程为．（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．（2）选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。
这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。
坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。
参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。
参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。
通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。
下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。
1.坐标系：在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。
其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。
这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。
例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。
通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。
此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。
在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。
类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。
2.参数方程：参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。
它通常以参数t 的形式表示。
例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。
我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。
与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。
例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。
参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。
然而，参数方程也有一些缺点。
比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。
此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;(ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ:222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆=2sin (0)r ρθθπ≤<圆心为(),r π,半径为r 的圆32cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π-,半径为r 的圆=2sin (2)r ρθπθπ-≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和 过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.5.极坐标方程与直角坐标方程之间的互化（1）直角坐标方程 极坐标方程 : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）极坐标方程 直角坐标方程：222cos sin tan x y x y y x ρθρθρθ→⎧⎪→⎪⎪→+⎨⎪⎪→⎪⎩二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系和参数方程
坐标系和参数方程介绍坐标系和参数方程是数学中常用的工具，它们用来描述和分析平面和空间中的几何问题。
坐标系是一种用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。
在本文中，我们将深入探讨这两个概念的原理、应用以及它们在几何问题中的作用。
坐标系：呈现空间位置坐标系是描述平面或空间中点的位置的一种方法。
它由一组坐标轴以及原点组成。
在平面坐标系中，通常有两条垂直的轴，分别称为x轴和y轴。
在三维空间中，可以有三条互相垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最常见的坐标系之一。
在二维平面中，它由x轴和y轴组成，原点为坐标轴的交点。
在三维空间中，笛卡尔坐标系由x轴、y轴和z轴组成，原点为坐标轴的交点。
我们可以使用有序对或三元组来表示点的位置。
极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系，它用来描述平面上的点。
在极坐标系中，一个点的位置由它到原点的距离（称为极径）和与x轴的夹角（称为极角）来表示。
极径通常用正实数表示，极角可以使用度或弧度来度量。
其他坐标系除了笛卡尔坐标系和极坐标系，还有其他一些坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。
不同的坐标系适用于不同的问题和计算方法。
理解这些坐标系及其转换关系对于解决几何问题非常有帮助。
参数方程：描述曲线和曲面参数方程是一种用参数表示几何对象坐标的方式。
它通常用于描述曲线和曲面。
一个参数方程可以由参数的函数构成，每个参数对应一个坐标。
曲线的参数方程对于平面曲线，参数方程可以用参数t表示曲线上的点。
例如，对于直线y = 2x + 3，可以将x表示为t，然后通过参数方程x = t，y = 2t + 3来描述直线上的点。
通过改变参数t的值，我们可以获得直线上的所有点。
曲面的参数方程对于曲面，参数方程可以用两个参数u和v表示曲面上的点。
例如，球体可以使用参数方程x = r * sin(u) * cos(v)，y = r * sin(u) * sin(v)，z = r * cos(u)来表示，其中r是球的半径，u和v是参数的取值范围。
坐标系与参数方程(知识总结)
坐标系与参数方程【要点知识】一、坐标系1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系〔1〕极坐标系的概念如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样我们就建立了一个极坐标系.〔2〕极坐标设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. 〔3〕极径、极角的取值范围一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈.3.极坐标与直角坐标之间的互化如下图，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：〔ⅰ〕直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； 〔ⅱ〕极坐标化直角坐标：222x y ρ=+，tan yxθ=〔0x ≠〕.【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程〔1〕圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a 〔0a >〕，半径为a 的圆的极坐标方程为2cos a ρθ=；〔2〕直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是4π的直线l 的极坐标方程为4πθ=和54πθ=.5.柱坐标系与球坐标系 〔1〕柱坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ〔0ρ≥，02θπ≤<〕表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ〔z R ∈〕表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标，记作(,,)P z ρθ，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式： 〔2〕球坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，连结OP ，记OPr =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系〔或空间极坐标系〕；相应地，把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，记作(,,)P r ϕθ，其中0r ≥，0ϕπ≤≤，02θπ≤<.【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：cos cos cos sin sin x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在这条曲线上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，那么我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，由此得到的方程组()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是该曲线的参数方程.【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x ，y 的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程〔1〕圆的参数方程：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕；〔2〕椭圆的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕；〔3〕双曲线的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕，这里，sec ϕ是ϕ的正割函数，并且1sec cos ϕϕ=； 〔4〕抛物线的参数方程：以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛物线22y px =〔0p >〕〔不包括原点〕的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔α为参数〕；〔5〕直线的参数方程：过点000(,)M x y ，倾斜角为α〔2πα≠〕的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕；〔6〕渐开线的参数方程：(cos sin )(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕；〔7〕摆线的参数方程：(sin )(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕.。
高考数学 《坐标系与参数方程》
坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。
坐标系与参数方程_知识点
互化公式
x cos y sin
2 x2 y2
tan y ( x 0) x
在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半 径为 r 的圆 圆心为 (r , 0) ,半 径为 r 的圆 圆 心 为 (r , ) , 2 半径为 r 的圆
x f (t ) 方程,求出另一个变数与参数的关系 y g (t ) ,那么 就是曲线的参数方程, y g (t )
在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解 轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的 参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆 O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针方向在
x r cos 圆 O 上作匀速圆周运动，设 M ( x, y ) ，则 ( 为参数) 。这就是圆心在原 y r sin
点 O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 (a, b) ，半径为 r 的圆的普通方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 ，它的参数
过点 (a, 0) ,与极 轴垂直的直线
cos a(
2
2
)
过 点 ( a, ) , 与 2 极轴平行的直线
sin a(0 )
注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即
( , ), ( , 2 ), ( , ), ( , ), 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐
坐标系和参数方程
03 参数方程与直角坐标系的 关系
参数方程转化为直角坐标系
01
参数方程中的x和y可以表示为t的 函数，通过消去参数t，可以得到 对应的直角坐标系方程。
02
例如，参数方程x=t，y=t^2可以 转化为直角坐标系方程y=x^2。
直角坐标系转化为参数方程
对于任意一个直角坐标系中的点P(x,y)， 可以通过引入参数t，得到对应的参数 方程。
化的轨迹。
参数方程中的参数t可以 表示曲线上点的位置、 方向、速度或加速度等
几何量。
参数方程的应用场景
在物理学中，参数方程常用于描述物体的运动轨 迹，例如行星的运动轨迹、摆线的轨迹等。
在工程学中，参数方程常用于描述机器零件的轮 廓线、电路板上的线路等。
在数学中，参数方程常用于解决几何、代数和微 积分等问题，例如求曲线的长度、面积等。
例如，点P(x,y)的参数方程可以表示为 x=t，y=t^2。
参数方程与直角坐标系的优缺点比较
01
参数方程的优点在于能够清晰地表示点的运动轨迹，适用于描 述具有特定规律的曲线。
02
直角坐标系的优点在于能够方便地进行几何运算和解析几何分
析，适用于解决代数问题。
参数方程和直角坐标系各有其适用场景，在解决实际问题时，
02
参数方程的一般形式为：x=f(t), y=g(t)，其中t为参数。
03
参数方程中的参数t可以看作是描述曲线上的点在某
一方向上的变化量。
参数方程的几何意义
01
02
03
在平面直角坐标系中， 参数方程表示一条曲线 ，其中x和y是参数t的函
数。
当参数t变化时，曲线上 的点会沿着曲线的轨迹 移动，形成一条连续变
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【考点59】坐标系与参数方程
1．（2008，广东，13）（坐标系参数方程选做题）
已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为
)2
0,0(cos 4,3cos π
θρθρθρ<
≤≥==，
则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 。
2．（2008福建，14）若直线043=++m y x 与圆
θθ
θ
(sin 2cos 1⎩⎨
⎧+-=+=y x 为参数）没有公共 点，则实数m 的取值范围是 。
3．（2007，广东13）（坐标系参数方程选做题）在
平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎩⎨
⎧-=+=t
y t x 33
（参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩
⎨
⎧+==2sin 2,
cos 2θθy x （参数]2,0[πθ∈）则圆C 的坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 。
4．（2008，江苏，21C ，10分）（选修4—4：坐标
与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，设P
（x,y ）是椭圆1322
=+y x 上的一个动点，求y x S +=的最大值。
5．（2008宁夏、海南，23，10分）（选修4—4：坐
标与参数方程）已知曲线θθ
θ(sin ,
cos :1⎩⎨⎧==y x C 为
参数）
曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=t y t x C 22,222
:2（t 为参数） （1）指出C 1、C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
（2）若把C 1、C 2上各点的纵坐标都压缩为原
来的一半，分别得到曲线C 1、C 2，写出C ′1、C ′2的参数方程。
C ′1与C ′2公共点的个数和C ′1与C ′2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
6．（2007，海南、宁夏，22B ，10分）（选修4—4：
坐标系与参数方程）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方
程分别为.sin 4,cos 4θρθρ-==
（1）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方
程；
（2）求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的直角坐标
方程。
7.(2009安徽理12)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，
并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为)(4
R ∈=
ρπ
θ，它与曲线
⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin 22cos 21y x （α为参数）相交于两点A 和B ，则
=||AB .
8.（2009广东13）若直线)
(,32,
21:为参数t t y t x l ⎩
⎨
⎧+=-=与直线⎩⎨
⎧-==.
21,
:2s y s x l （s 为参数）垂直，则
=k .
9.（2009海南宁夏23）
已知曲线，t t y t x C )(,sin 3,
cos 4:1为参数⎩⎨⎧+=+-=
)(sin 3cos 82为参数θθ
θ
⎩⎨⎧==y x ：C
（I ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们
分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为t=
2
π
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
)(2,233为参数t t
y t x ：C ⎩⎨⎧+-=+=距离的最小值。
10．（2009辽宁23）在直角坐标系xOy 中，以O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C 的极坐标方程为
y x C N M ,,,1)3
cos(轴与分别为=-π
θρ轴
的交点。
（I ）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极
坐标；
（II ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标
方程。
11.（2009天津13）设直线1l 的参数方程为
)(311为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧+=+=，直线2l 的方程为21,43l l x y 与则+=距离为______。