第二章 随机变量及其分布1

离散型随机变量及其概率分布
2013-8-7
回忆：袋子中装有3个红球，7个白球，有放 回的随机抽取5次，5次中白球的个数X 是一 个随机变量，X可取0，1，2，3，4，5。
P( X k ) C
k n
0.7 0.3
k
n k
(2) 二项分布 若随机变量 X的所有可能取值为 0，1，2 …，n， 且分布律为 0 p 1, p q 1
(0.001) (0.999)
5
4995
0.1756
29
§2.2
离散型随机变量及其概率分布
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(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
1 C
0 5000 0 5000
(0.001) (0.999)
§2.2
• 0
24
离散型随机变量及其概率分布
• 7
• 8
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x
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8
25
§2.2
离散型随机变量及其概率分布
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设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20
.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
R
上的映射,
此映射具有如下特点 定义域 事件域
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性 X 以一定的概率取某个值
6
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随机变量举例
（1）一个射手对目标进行射击，击中目标记 为1分，未中目标记0分。如果用X表示射手在 一次射击中的得分，则它是一个随机变量，可 以取0和1两个可能值。
随机变量ξ的 分布律如右表
21
X p
0 0.1
1 0.6
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2 0.3
常见离散r.v.的分布
(1) 0 – 1 分布
X P
应用 场合
1 p
0 1-p
0<p<1
凡试验只有两个结果, 常用0 – 1
分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗
是否超标等等.
22
§2.2
28
§2.2
离散型随机变量及其概率分布
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例4 独立射击5000次, 命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000 (5) C
5 5000
12
] （ a
] b §2.1 随机变量及其分布函数
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分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
0 F ( x) 1
x
且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
t x
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§2.1 随机变量及其分布函数
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用分布函数表示概率
P(a X b) F (b) F (a)
P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a )
14
§2.1 随机变量及其分布函数
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 且有
X ( )
X 4 表示掷出的点数不超过 4 这一事件； X 2 表示掷出2点这一事件。
4
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1 P{ X i } , ( i 1,2,3,4,5,6). 6
§2.1 随机变量及其分布函数 随机变量 ( random variable )
0.9934.
本例 小概率事件虽不易发生，但重 启示 复次数多了，就成大概率事件.
30
§2.2
离散型随机变量及其概率分布
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由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 防盗”的重要性. 由于时间无限, 自然界发生地震、海 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 事，不用奇怪，不用惊慌.
同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 现象, 大可不必怨天尤人，要正确对待。
3 13
17
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X 1 P 16
•
2 12
•
3 13
•
-1
0,
F ( x)
2
x 1
3
x
P( X x)
1 x 2 P( X x) P ( X 1) P( X x) 1 6 1 2 2 x 3 P( X 1) P ( X 2) 1 6 1 2 1 3 x 3
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§2.2离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量。 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 即 或
15
P( X xk ) pk , k 1,2,
X P
x1 p1
§2.2
x2 xk p2 pk
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§2.1 随机变量及其分布函数
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x 一般地，如果X是随机变量， , x1 , x2 是实数，
那么可用下列几种常见形式表示事件:
◎
X x ; X x ; X x ; X x ; X x ; X x ;
◎
x1 X x2 ; x1 X x2 ; x1 X x2 ; x1 X x2 .
（2）某段时间内候车室的旅客数目记为ξ， 它是一个随机变量，可以取0及一切不大于M的 自然数，M为候车室的最大容量。
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（3）单位面积上某农作物的产量X是一个 随机变量。它可以取一个区间内的一切实 数值。即X∈[0，T]，T为某一个常数。 （4）袋子中装有3个红球，7个白球，有放 回的随机抽取5次，5次中白球的个数X 是一 个随机变量，X可取0，1，2，3，4，5。
k P( X k ) Cn pk qnk
k 0,1, 2, , n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B( n, p)
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二项分布的取值情况 设 X ~ B( 8, 13 )
P8 (k ) P( X k ) C ( ) (1 3 )
§2.2
离散型随机变量及其概率分布
例1袋子中装有6个球，编号为{-1，2，2， 2，3，3}，从袋子中任取一球，求取到 的球的号码X的分布律及分布函数。 解：X可取-1，2，3，且
P( X 1) 1 6, P( X 2) 1 2, P( X 3) 1 3,
故X的分布律为
X 1 P 16 2 12
用随机变量表示事件往往比较简洁．
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随机变量的分布函数
定义 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数
F ( x) P( X x), x
为 X 的分布函数. 用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
P ( a X b ) P ( X b) P ( X a ) F (b) F (a)
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§2.2
离散型随机变量及其概率分布
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问题 如何计算 P ( X 2500)？
Possion定理 设 npn 0 , 则对固定的 k
lim C p (1 pn )
第二章 随机变量及其分布
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.
随机变量是将随机事件数量化的工具。
1
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随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中 任摸一个球,观察摸出球的颜色.
S={红色、白色} 非数量 可采用下列方法
5
10
15
20
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§2.2Βιβλιοθήκη 离散型随机变量及其概率分布
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二项分布中最可能出现次数
(n 1) p 1 k (n 1) p
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值
k 1 k 3 8 1 8 k
, k 0,1,,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P
0.273•
由图表可见 , 当 k 2或 3 时， 分布取得最大值 P8 (2) P8 (3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6
红色 白色
?
将 S 数量化
X ( )
S 0
1
R
2
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即有
X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, X ( ) 0,