第19讲立体图形(一)

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二年级思维第19讲简单操作讲义

第19讲：巧填数阵姓名：知识要点动手操作就是通过移、换、拼等一系列活动来完成一些有趣的数学问题。

解决此类问题时，切不可盲目操作，一定要在认真思考的基础上理清思路，才能又快又好地完成任务。

例1、如图，左边是3只空杯子，右边是3只装有水的杯子，摆成一横排。

请你改变其中两个杯子的位置，使空杯子和有水的杯子间隔排列，试试看。

练习1、学校开庆祝会，大门的一边插了8面彩旗，左边4面是红色的，右边4面是黄色的。

最少要把几面旗子交换位置，才能使红旗和黄旗间隔排列？例2、小芳把6枚棋子在桌上摆成一个尖角朝下的三角形（如下图）。

请你移动2枚棋子，使三角形颠倒过来，让它尖角朝上，试试看。

练习2、李勤用6枚组扣摆了一个尖角朝左的三角形（如图），最少移动几枚纽扣，就可使三角形的尖角朝右？例3、移动一根火柴棒，使等式成立。

练习3、移动一根火柴，使等式成立。

例4、你能用12根火柴棒拼成4个大小完全相同的正方形吗？练习4、你能用13根火柴棒拼出4个完全相同的正方形吗？例5、将下列图形分割成形状完全相同的四个图形，使每个图中含有半个圆，请你试着剪剪看。

练习5、把下面的正方形分割成完全一样的4个图形，使每个图形中都含有一个“兔子”的字样，你能做到吗？总结归纳1、在操作之前，我们可根据题目要求先想出移动后图形的形状，然后再比较图形变化前后的不同，通过最简单的操作来完成任务。

2、有关火柴棒算式问题，一般可从原来的算式出发，先比较等号两边的大小，偏大的设法变小，偏小的设法变大，有时还可两边同时变化。

奥赛题桌上有5只倒着放（口朝下）的杯子，如果一次只翻动3只，只允许翻3次，使5只杯子全部口朝上，应该怎么翻？自我检测得分：。

1、下面的6只杯子中3只有水，3只是空杯。

要使有水的杯子和空杯间隔放，只要把号（）和（）号交换位置即可。

2、3枚纽扣摆成一个箭头朝左的三角形，最少需要移动（）枚纽扣，就可使它成为一个箭头朝右的三角形。

3、小方把9枚棋子摆成了如下的平行四边形，最少移动（）枚棋子，就能使它变成一个方向相反的平行四边形。

第19讲第5章走进图形世界单元综合检测(解析版)

第19讲第5章走进图形世界单元综合检测一、单选题1．下列几何体中，棱柱是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案．【解析】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征可得B选项为棱柱．故选：B．【点睛】本题考查的是棱柱的概念与识图，掌握棱柱的概念是解题的关键．2．如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是()A．文B．明C．城D．市【答案】D【分析】先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．【解析】将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．故选：D．【点睛】本题主要考查了将正方体表面展开图还原，确定每个字在还原后的正方体的位置是解题的关键．3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．【解析】A不能围成棱柱，B可以围成五棱柱，C可以围成三棱柱，D可以围成四棱柱．故选：A．【点睛】本题考查了立体图形的展开与折叠．熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．4．用纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，所形成的图形的正确顺序为（）A．①②③④B．③④①②C．①③②④D．④②①③【答案】B【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，这几幅图绕轴旋转一周后都会得到一个立体图形，根据平面图形的特征及立体图形的特征即可确定哪个平面图形旋转后得到立体图形．【解析】解：根据平面图形及立体图形的特征可得，正确的顺序为③④①②．故选B．【点睛】本题考查了立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，关键是要掌握基本的图形特征．5．用一个平面去截①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是椭圆的几何体是() A．②③B．①②④C．①②D．①②③【答案】C【分析】根据圆锥、圆柱、球、五棱柱的形状特点判断即可．【解析】解：圆锥，如果截面与底面不平行，那么截面就是椭圆；圆柱，如果截面与底面不平行，那么截面是椭圆；球，截面一定是圆；五棱柱，无论怎么去截，截面都不可能有弧度．∴能得到截面是椭圆的几何体是圆锥，圆柱，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查几何体的截面，关键要理解截面的形状．6．用一个平面去截一个几何体，截面可能是长方形的几何体的是（）A．①③B．②③C．①②D．②①【答案】A【分析】根据各个几何体截面的形状进行判断即可．【解析】解：用一个平面截圆柱可以得到长方形，故①符合题意；用一个平面截圆锥可以得到等腰三角形，故②不符合题意；用一个平面截四棱柱可以得到长方形，故③符合题意；用一个平面截球不能得到长方形，故④不符合题意；故选A【点睛】本题考查截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．7．如图是一个正方体被切割后留下的立体示意图，剩余的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一般指由物体左边向右做正投影得到的视图是左视图，可得答案．【解析】解：从几何体的左面看，轮廓为正方形，其中被切割的部分应该画为虚线且是一条“捺”向的虚线，故选项C符合题意．故选：C．【点睛】此题考查的是判断几何体的左视图，掌握左视图的定义是解题关键．8．下列图形不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正方体展开的11种形式对各选项分析判断即可．【解析】解：A、B、D中的平面展开图可组成正方体，C折叠后，有2个正方形重合，不是正方体的展开图形，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，解题的关键是熟知正方体的展开图的特点，考查学生的空间想象力．9．下列说法正确的有（）①n棱柱有2n个顶点，2n条棱，（n+2）个面（n为不小于3的正整数）；②点动成线，线动成面，面动成体；③圆锥的侧面展开图是一个圆；④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征，截一个几何体的方法判断即可．【解析】①n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面（n为不小于3的正整数），原来的说法错误；②点动成线，线动成面，面动成体是正确的；③圆锥的侧面展开图是一个扇形，原来的说法错误；④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形是正确的．故说法正确的有2个．故选：B．【点睛】此题主要考查立体图形的特征，熟练掌握，即可解题.10．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数能表示该几何体从左面看到的形状图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】左视图有3列，每列小正方形最大数目数目分别为2，4，3．据此可画出图形.【解析】解：左视图有3列，每列小正方形最大数目分别为2，4，3如图所示：故答案选：B【点睛】本题主要考查几何体的三视图画法的知识点，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.二、填空题【答案】三棱柱【分析】根据展开图可知该几何体侧面是三个长方形，上面和下面是三角形，由此即可得到答案．【解析】解：根据展开图可知该几何体侧面是三个长方形，上面和下面是三角形，则该几何体是三棱柱，【答案】 4 7【分析】利用从上面看到的图，分别写出最少，最多时，正方形的个数，可得结论．【解析】解：从上面看到的从上面看到的故答案为：【点睛】本题考查由从不同方向看几何体，准确把握空间几何体的几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．（1）这个长方体的表面有（2）它的表面积是平方厘米，体积是【答案】 4 256 256【分析】（1）由长方体的表面展开图可直接得出答案；三、解答题19．(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称；(2)将这些几何体分类，并写出分类的理由．【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．(2)按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体【分析】(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可；(2)按柱体、锥体、球体进行分类即可．【解析】解：(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．(2)观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体．【点睛】本题考查了立体图形的认识和几何体的分类，熟记立体图形的特征是解决本题的关键．20．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________；(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．【答案】(1)226cm (2)见解析【分析】（1）三视图面积和的2倍即可；（2）利用三视图的画法画出图形即可．【解析】（1）解：()544226++´=（2cm ），故答案为：226cm ；（2）根据三视图的画法，画出相应的图形如下：【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义是正确解答问题的关键．21．观察如图所示的直四棱柱．（1）它有几个面？几个底面？底面与侧面分别是什么图形？（2）侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系？（3）若底面的周长为20cm ，侧棱长为8cm ，则它的侧面积为多少？【答案】（1）它有6个面，2个底面，底面是梯形，侧面是长方形；（2）侧面的个数与底面多边形的边数相等都为4；（3）它的侧面积为160cm2．【解析】试题分析：（1）（2）（3）根据直四棱柱的特征直接解答即可．（4）根据棱柱的侧面积公式：底面周长×高，进行计算．试题解析：（1）它有6个面，2个底面，底面是梯形，侧面是长方形；（2）侧面的个数与底面多边形的边数相等都为4；（3）它的侧面积为20×8=160cm2．22．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．（1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是哪个；（写序号）（2）若大正方体的边长为20cm，小正方体的边长为10cm，求这个几何体的表面积．【答案】（1）③，②，①；（2）2400（cm2）．【分析】（1）由切去的小正方体位置即可分别判断其视图；（2）大正方体的表面积与该被切去一个小正方体的几何体表面积相同.【解析】（1）由题可得，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是③，②，①；（2）∵大正方体的边长为20cm，小正方体的边长为10cm，∴这个几何体的表面积为：2（400+400+400）=2×1200=2400（cm2）．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图以及几何体的表面积计算.23．一个圆柱的底面半径是10cm，高是18cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？(3)怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．【答案】(1)所得的截面是圆(2)所得的截面是长方形(3)360cm2【分析】(1)用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；(2)用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；(3)求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．【解析】（1）解：所得的截面是圆．（2）解：所得的截面是长方形．（3）解：当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，这个长方形的面积为:10×2×18=360(cm 2) ．答：这个截面面积是360 cm 2．【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．24．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：(1)填空：=a _________，b =_________；(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；(3)当1d f ==，2e =时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．【答案】(1)3；1(2)11(3)见解析【分析】（1）由该组合体的从正面、上面看到的形状图可知，a 列有3个小正方体，b 列有1个小正方体，从而判定；（2）当2d e f ===时，最多；（3）根据从上面看的图形，结合小正方体的数目画出即可.【解析】（1）解：由该组合体的主视图、俯视图可知，31a b c ===，，故答案为：3；1；（2）解：根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个数可知，需要最多小立方体时，2d e f ===，此时需要的个数为：22231111+++++=（个），答：这个几何体最多由11个小立方体搭成；（3）解：当1d f ==，2e =时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：【点睛】本题考查了从三个方向看，熟练掌握不同方向看的形状图的特点是解题的关键.25．如图所示，图（1）为一个长方体，AD =AB =10,AE =6,图2为图1的表面展开图(字在外表面上)，请根据要求回答问题：（1）面“句 ”的对面是面______；（2）如果面“居”是右面,面“宜”在后面,哪一面会在上面？（3）图（1）中，M 、N 为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M 、N 的位置；并求出图（2）中三角形ABM 的面积.【答案】（1） “爱”；（2） “句”面会在上面；（3）25或105.【分析】（1）根据长方体展开图的特征判断即可；（2）根据长方体展开图的特征和题意判断即可；（3）结合图（1）和图（2）即可判断M 、N 的位置（其中M 有两种情况），然后再计算三角形ABM 的面积即可.【解析】解：（1）根据长方体展开图的特征：面“句”的对面是面“爱”；【点睛】此题考查的是长方体的展开图，掌握长方体展开图的特征是解决此题的关键26．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题：【分析】（1）根据图形作答即可；（2）根据长方体体积公式即可解答；（3）将h=2，3分别代入体积公式，即可求出m，n的值；再根据材料一定时长方体体积最大与底面积和高都有关，进而得出答案．【解析】解：（1）由折叠可知，剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为相等，故答案为：相等；（2）这个无盖长方体盒子的容积=h（a-2h）（a-2h）=h（a-2h）2（cm3）；故答案为：h（a-2h）2；（3）当剪去的小正方形的边长取2时，m=2×（20-2×2）2=512，当剪去的小正方形的边长取3时，n=3×（20-2×3）2=588，当剪去的小正方形的边长的值逐渐增大时，所得到的无盖长方体纸盒的容积的值先增大后减小，当剪去的小正方形的边长为3cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了几何体的体积求法以及展开图问题，根据题意表示出长方体体积是解题关键．27．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______；A．B．C．D．(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）；>），若P、Q分别从(3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（AB BC(4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（开图的最大外围周长为______【答案】(1)B(2)①②③只有B 属于这11种中的一个，故选：B ．（2）解：由长方体展开图的特点可知，可能是该长方体表面展开图的有故答案为：①②③．（3）解；设运动的时间为t ，如图1所示，由题意得，43AB BC ==，，设点A 在数轴上表示的数为0，点B 在数轴上表示的数为4，点C 在数轴上表示的数为∴运动t 秒后，点P 在数轴上表示的数为t ，点Q 在数轴上表示的数为770.5t t +-如图2所示，由题意得，AB如图3所示，由题意得，AB设点A在数轴上表示的数为∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为t+当B是PQ的中点时，则2如图5所示，由题意得，AB设点A在数轴上表示的数为∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为t+当B是PQ的中点时，则t=；解得6（4）解：外围周长最大的表面展开图，如下图：观察展开图可知，外围周长为68443270故答案为：70．【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，有理数与数轴，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关键．。

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。

考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。

第19讲-表面积和体积(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)

小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
课后反击
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？
2、有一个长方体如下图18-10所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？
3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？
7、如右图18-9所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。
本节课我学到了
我需要努力的地方是
解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。

中考一轮复习《第19讲直角三角形》课件

3
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时经过边 AB ， AD( 包括端点 ) ，设 BA′=x ，则 x 的取值范围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8；当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角用勾股定理解展开与折叠问题
【例】(2013· 山西中考 ) 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

中考数学第19讲等腰三角形与等边三角形

由(1)知 BA＝BC＝BE，
∴∠EAB＝∠AEB.
∴∠BAG＝∠BEF＝∠BCF.
课堂精讲
又∵BA＝BC， ∴△GAB≌△FCB(SAS)． ∴∠GBA＝∠FBC，BG＝BF. ∴∠GBF＝∠GBA＋∠ABF＝∠FBC＋∠ABF＝∠ABC＝120°.
GF ∴BF＝ 3. ∵AE＝5，EF＝CE＝CF＝2，∴GF＝9. ∴BF＝ GF3＝ 93＝3 3.
答案图 ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD.∴BDDC＝AEBC. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠E.∴AC＝CE.∴BDDC＝AACB.
课堂精讲
例 8 下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究 1：如图 1，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋12∠A.理由如下： ∵BO 和 CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB. ∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A. ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－90°－12∠A＝90°＋12∠A.
课堂精讲
考点一等腰三角形的性质和判定例1 (1)(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．【答案】80°
课堂精讲
(2)(2018·湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝ AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )
知识回顾
二、线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线叫作线段的垂直平分线． 2．性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 3．判定：到一条线段两端点距离相等的点在__这__条__线__段__的___

【易错题精析】第19讲数学广角—集合小学数学三年级上册易错专项练(知识梳理易错汇总易错精讲易错

第19讲数学广角—集合（讲义）小学数学三年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）解决重叠问题时，可以从已知条件入手进行分析，画出集合图，借助集合图进行思考。

为了不重复地计数，应从它们的和中减去重叠部分；也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。

解决重叠问题时，一定要减去重复的部分。

【易错一】李老师对一些同学进行才艺小调查，调查的结果是：会吹竖笛的有22人，会拉小提琴的有8人，其中既会吹竖笛又会拉小提琴的有4人。

被调查的同学至少会其中一种乐器，李老师调查了（）名同学。

【解题思路】会吹竖笛的人数加会拉小提琴的人数，再减去两种都会的人数，即等于李老师调查的学生数，据此即可解答。

【完整解答】22＋8－4＝30－4＝26（名）故答案为：A【易错点】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。

【易错二】看图，参与捐口罩的一共有( )人。

【解题思路】根据题意可知，参与捐口罩的人数＝只参与捐口罩的人数＋参与捐口罩和洗手液的人数，依此计算即可。

【完整解答】25＋18＝43（人）【易错点】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。

【易错三】下图是三（1）班参加学校歌舞小组的情况，请你根据图意解决数学问题。

①三（1）班参加学校舞蹈小组的有（）人，参加唱歌小组的有（）人。

②三（1）班参加学校歌舞小组的一共有多少人？【解题思路】①观察图可知参加唱歌的在右侧椭圆中，参加跳舞的在左侧椭圆中，分别数出舞蹈小组和唱歌小组的人数即可。

②用参加唱歌的人数加上舞蹈小组的人数，减去既参加唱歌小组又参加舞蹈小组的人数。

【完整解答】①三（1）班参加学校舞蹈小组的有6人，参加唱歌小组的有8人。

②6＋8－3＝14－3＝11（人）答：三（1）班参加学校歌舞小组的一共有11人。

【易错点】本题考查集合问题，关键理解3人既是参加舞蹈小组又参加唱歌小组的学生重叠部分，总人数＝（A＋B）－既A又B。

【易错四】参加绘画小组学生名单参加书法小组学生名单（1）既参加绘画小组又参加书法小组的有（）人。

第19讲—单张像片测图与立体测图

输出 x、y
X
Z
Y
模拟、解析摄影测量－－恢复摄影光线的方位；而同名点是通过目视实现的数字摄影测量则实现了自动(半)识别同名点
正射纠正
②
纠正仪与正射投影仪
纠正仪用于将平坦地区的影像纠正为影像图正射投影仪将起伏地区的影像纠正为影像图
纠正仪
正射投影仪
(2) 立体摄影测量立体摄影测量是摄影测量的主要方法它是利用相邻的两张影像
建立立体模型
然后在立体模型上进行测量
④ 在模型上进行测绘量测数字地面采集 DEM 内插
地形图等高线编辑扫描数字化矢量化采集定向
数字微分纠正
编辑与接边
绘图仪
输出入数据库 ……
单片测图－数字转绘技术（Digital transfer)

3、DT的基本原理
将数字调绘片上采集到的地物数据（中心投影、扫描坐标系），经过内定向、空间后交，再利用DEM进行数字微分纠正等过程，变换为地面坐标的正射投影数据。 C2 其核心技术是单片定位技术算法（迭代解算）。 B 图形接边问题：AC1与BC2在边界上错开。 C 1、依边线截取，可得AC1、BC2各点坐标； A C1 i 2、设C1（XC1 ,YC1)、C2（XC2 ,YC2),则中点C坐标： XC=(XC1 +XC2）/2, YC=(YC1 +YC2）/2 3、设C1 与的C2闭合差：△XC＝ XC－XC1 ， △YC＝YC－YC1 则AC1上任意点i的改正数：△Xi＝△XC*Si/S ， △Yi＝△YC*Si/S ，其中， Si为A到I的弧长， S为A到C1的全长。 4、同理，改正BC2上的逐点。
测绘地图

第4单元第19讲图形的相似(原卷版)

《中考数学总复习指导》第四单元三角形第19讲图形的相似一、考纲解读本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。

图形的相似。

包括我们需要①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。

③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。

④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。

二、命题规律本部分主要考查相似三角形的判定和性质，分值在4~14分，近五年主要以解答题的形式进行考查，且题目综合性强，有时结合图形的旋转、存在性等问题来考查，如2013年与新定义“准等腰梯形”结合考查，2012年与四边形结合考查，2011年与旋转结合考查，2010年与存在性问题结合考查，且大都是解答题的最后两题为常见。

预测2014年本部分内容考查仍旧会与其它知识相结合，考查相似三角形的性质与判定为主，综合性比较强，分值会增加是必然，在复习中要对几何知识熟练掌握。

三、知识梳理1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；④如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；3.直角三角形相似判定定理:①斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

第四单元第十九讲等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方

【详解】三年级(下)第19讲几何图形剪拼

第十九讲几何图形剪拼1. 例题 1 答案：答案不唯一，下面是两种分割方式．详解：由 4 个小正方形组成的图形只有下图中的五种．可以分割成第三种“T”字型或第四种“L” 字型，“T”字型分割方法唯一，“L”字型分割方法不唯一．①②2. 例题 2 答案：答案不唯一．详解：例 2 只有 5 个大小形同的正方形，将这 5 个分割成 4 个大小相同的图形，图形本身是分割不出来的，那么就应该看正方形有什么特点，正方形在前面讲解可分割成四个相同形状的，但是分割的图形是不规则在本题里是不可以的，要分成规则的图形，所以只能是将每个正方形分割成 4 个形状、大小相同的正方形，那么本题中就有 20 个小正方形了，每组由 5 个小正方形，如下图：3. 例题 3 答案：12．详解：根据面积关系，最多也只能裁出 12 个长方形．事实上，12 个长方形确实可以裁出来，如下图．4. 例题 4答案：如下面的右图．详解：先如左图中画出相邻的两个相同字母之间的分割线，再在中间的图中画出这些分割线绕中心依次旋转 90 度之后的分割线，最后在右边的图中画出整个图形的分割线．CDDB CDAAABBBACCDCDD B CDAAABBBACCDCDDB CDAAABBBACCD5. 例题 5答案：如下面右图．详解：先用虚线画出网格线，如下面的左图，一共 25 个小格，所以右边的正方形可以分割成 5 行5 列的 25 个小格．在长为 7 的边上靠上或者靠下截下宽为 5 的部分，把剩余的部分分成两块再拼即可，如下面右图．6. 例题 6 答案：详解：与例题 5 方法类似． 7. 练习 1答案：简答：与例题 1 方法类似． 8. 练习 2答案：简答：与例题 2 方法类似． 9. 练习 3答案：10810. 练习 4答案：有两种分割方法．CDCBBBAAAABCDCDDCDCBBBAAAABCDCDD简答：与例题 4 方法类似，先画出相邻的两个相同字母之间的分割线，再把分割线依次旋转 90度得到新的分割线．11. 作业 1答案：简答：与例题 1 方法类似． 12. 作业 2答案：○○○○○简答：与例题 2 方法类似． 13. 作业 3答案：简答：与例题 3 方法相同，先根据面积算出最多有 12 个，再分割． 14. 作业 4答案：简答：与例题 4 方法类似，先画出相邻的同色棋子之间的分割线，再把这些分割线绕中心依次旋转 90 度得到更多的分割线． 15. 作业 5答案：简答：与例题 5 方法类似，先用虚线画出网格线，再截出最长边为 6 的一部分．。

沪教版5年级数学下-第19讲-图形与几何

1．复习几何的各种概念，角度、面积的计算方法；2．复习基本的统计知识，图表的使用和平均数的应用．（此环节设计时间在10—15分钟）线可以分成三种：________、________和________。

我们学了5种不同的角，它们分别是：________、________、________、________和________。

在图形中，三角形可以按边分类，除了普通的三角形外，还有________________和________________；如果按角分类，可以分成________________、_______________和________________。

学过的四边形有________________、________________、________________和________________。

回顾上次课的预习思考内容：1．小亚画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角（如图）。

(1)请你把平行四边形补完整；(2)过A点画这个平行四边形的高。

A2．利用一副三角尺能够拼出多个大于0°小于180°的角，其中最大角是多少度？请你在右面的方格图中画出这个角。

3．在右边的方格纸中作一个梯形。

已知：图中每个小方格的边长为1cm，线段AB是梯形的一条高，梯形的面积是12cm2。

A B（此环节设计时间在20—30分钟）例1：填空与选择(1) 如图，有________对平行线。

(2) 如图，平行四边形中阴影部分面积__________(填“>”“<”“=”)空白部分面积。

(3) 用60分米的铁丝焊成一个正方体，它的体积是________________。

(4) 一个三角形与一个平行四边形等底等高，那么三角形的面积 ( )A．等于平行四边形面积B．等于平行四边形面积的一半C．是平行四边形面积的两倍D．大于平行四边形面积(5) 下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．等腰三角形B．直角梯形C．长方形D．正方形(6) 一个平行四边形和一个长方形面积相等，那么它们的周长( )此环节设计时间在80分钟左右（60分钟练习＋20分钟互动讲解）。

中考数学第一轮系统复习夯实基础第五章基本图形(一)第19讲等腰三角形

解：连结 PQ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵
线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ，∴AP＝PQ＝6，∠PAQ
＝60°，∴△APQ 为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP＋∠BAP＝
60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC 和△AQB
9．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是 ∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D. (1)写出图中所有的等腰三角形，不需证明； (2)请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由； (3)如果BC＝12，求AB＋AE的长．
解：(1)△ABD，△EAD，△CDE，△ABC (2)∵∠BAE＝∠BDE ，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，AB＝DB，又 ∵∠ABE＝∠DBE，∴AD⊥BE (3)∵∠C＝∠DEC＝45°， ∴CD＝DE，∴AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝12
4．(2017·预测)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上， DC＝4 cm，将线段DC沿BC方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长是____13cm. 【解析】∵CD沿CB平移7 cm至EF，∴EF∥CD，CF＝7，∴BF＝BC－ CF＝5，EF＝CD＝4，∠EFB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴EB ＝EF＝4，∴C△EBF＝EB＋EF＋BF＝4＋4＋5＝13. 5．已知等腰三角形的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 __2_._5_＜__x_＜__5____．【解析】等腰三角形周长为10，腰长为x，则2x＞5且2x＜10，即2.5 ＜x＜5.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC. 求∠B的度数．解析：第1题由于未说明两边哪个是腰，哪个是底，故需分两种情况讨论：(1)当等腰三角形的腰为2；(2)当等腰三角形的腰为4，从而得到其周长；第2题设∠B为x°，分别表示出∠ADC，∠CAD，依据三角形内角和定理列出方程求解．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.同理：∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA.设 ∠B为x°，则∠C＝x°，∠BAD＝x°，∴∠ADC＝2x°，∠CAD＝ 2x°.在△ADC中，∵∠C＋∠CAD＋∠ADC＝180°，∴x°＋2x°＋ 2x°＝180°，∴x°＝36°，∴∠B＝36°

第一轮第二单元第四章第19讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形

△ABC 中，AB＝13，AC＝20，BC 边上的高 AD 为 12，则△ABC 的面积为________．
精准备考· 数学
【易错点分析】此题容易漏解，由于三角形的形状未知，需要分类讨论，当 AB 和 AC 在高的两边时，可利用两次勾股定理，分别计算 BD 和 CD 的长为 5 和 16，进而求得三角形的底 BC 为 21；当 AB 和 AC 在高的同一侧时，底 BC 为 11，所以面积为 66 或 126.
精准备考· 数学
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴EB∥CD，∴∠E＝∠2. ∵CE 平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∴BE＝BC. 又∵BH⊥EC，∴CH＝EH (三线合一)．
典型错题及分析
精准备考· 数学
例 1 (2017 武汉)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( )
.
精准备考· 数学
4．勾股定理及其逆定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的 ________．勾股定理逆定理：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形．
考点精练
精准备考· 数学
【考点一】勾股定理的应用；等腰三角形的性质例 1 (2014 扬州)如图，已知∠AOB＝60° ，点 P 在边 OA 上，OP ＝12，点 M，N 在边 OB 上，PM＝PN，若 MN＝2，则 OM ＝( )
2 2 2 2 2 2
精准备考· 数学
【考点四】等边三角形的性质例 4 (2015 甘孜)边长为 2 的正三角形的面积是________．

圆柱和圆锥练习2

第19讲圆柱和圆锥例题1、如图，有甲、乙两个容器，甲容器注满水后倒入乙容器中，乙容器里水深是多少厘米？【练习1】1.小明星期天请6位同学来家做客，他选用一盒采用长方体（如图1）包装的饮料招待同学们，给每个同学倒上一满杯（如图2）后，他自己还有饮料喝吗？2、有甲、乙两个圆柱形容器，它们的底面直径分别为4厘米和8厘米，高分别为36厘米和10厘米，我们先向甲容器中倒满水，然后将甲容器中的水全部倒入乙容器中。

问乙容器中的水面离容器口还有多少厘米？3、一个底面半径为10cm，高为12cm的圆锥体铁块，可铸成完整的长方体（长5cm、宽4cm、高4cm）铁块多少块？例题2、如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水。

先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米。

圆锥形铁块的高为多少厘米？【练习2】1、一个直径是20cm的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放有一个底面直径是6cm，高是10cm的圆锥形铁块。

当把圆锥形铁块取出来后，玻璃杯中的水面会下降多少厘米？2、一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃容器里装有一部分水，水中浸没着一个高为12厘米的圆锥铅锤。

当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。

这个圆锥体的底面积是多少平方厘米？3、如图所示，一个底面半径为5厘米，高为28厘米的圆柱形水桶装满水，另一个圆锥形空水桶，它的上口周长为56.52厘米，现在把圆柱形水桶里的水往圆锥形水桶里倒，当圆锥形水桶装满时，圆柱形水桶里还剩下13厘米高的水，求圆锥形水桶的高。

（结果保留两位小数）例题3、一个圆柱和一个圆锥的体积比是3：4，底面半径比是2：3，求圆柱和圆锥的高之比。

【练习3】1、用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组合成如下图所示竖放的密闭容器。

在这个容器内注入一些水，能填满圆锥，还能填部分的圆柱，经测量，圆柱部分的水高5cm。

若将这个容器倒立，则水的高度是多少厘米？2、一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积的比是1：2。

(基础版)第19讲组合图形的认识、表面积与体积(通用版,含详解)

基础版（通用）2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第19讲组合图形的认识、表面积与体积小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。

知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式：立体图形表面积体积长方体S=2)(bhahab++a：长 b:宽 h：高 S：表面积V abh=V Sh=正方体S=26aa：棱长 S：表面积3V a=V Sh=圆柱hr222π2πS rh r=+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h=圆柱圆锥hr22ππ360nS l r=+=+圆锥侧面积底面积注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长21π3V r h=圆锥体知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项知识精讲（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。

如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。

第19讲椭圆中的蝴蝶模型(解析几何)(解析版)

第19讲椭圆中的蝴蝶模型知识与方法蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年,由W.G.霍纳提出证明.【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中点,过点M的两条弦CD,EF,连接DE,CF交AB于P,Q两点,则M是线段PQ 的中点.问题中的图形酷似圆中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".蝴蝶定理还可以推广到椭圆,甚至双曲线与抛物线中.高考中,直接考查圆锥曲线中的蝴蝶定理很少见，大多考查蝴蝶模型背景下的直线与椭圆的位置关系问题.此类问题的本质是研究椭圆的内接四边形, 其形如“蝴蝶”的四边形通常可以由椭圆的两条相交弦确定,在具体的问题中,此两弦要么过定点,要么某线斜率特定，由此便会呈现兼具一般解法又别具一格的定点、定值等问题,下面略举几例予以说明.典型例题类型 1：蝴蝶模型中的定点问题【例1】在平面直角坐标系中,已知圆O:x 2+y 2=9,Q 是圆O 上任意一点,Q 在x 轴上的射影是点D , 点P 满足DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√53DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)若A(−3,0),B(3,0),过直线x =9上任意一点T (不在x 轴上）作两条直线TA,TB 与曲线E 分别交于点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)(异于A,B ),求证：直线CD 过定点. 【答案】(1)x 29+y 25=1; (2)见解析.【解析】(1) 设 P(x,y),Q (x 0,y 0), 因为: DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√53DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 x 0=x,y 0=√5, 代入圆 O:x 2+y 2=9 中,得x 29+y 25=1, 所以曲线 E 的方程为: x 29+y 25=1.(2)由对称性,定点在x 轴上. 解法1：设点表点设点T 的坐标为(9,m) 直线TA 方程为:y−0m−0=x+39+3,即y =m 12(x +3), 直线TB 方程为: y−0m−0=x−39−3,即y =m 6(x −3).分别与椭圆x 29+y 25=1联立方程组,同时考虑到x 1≠−3,x 2≠3,解得:C (3(80−m 2)80+m 2,40m80+m 2),D (3(m 2−20)20+m 2,−20m20+m 2) 当x 1≠x 2时,直线CD 方程为:y+20m20+m 240m 80+m 2+20m20+m 2=x−3(m 2−20)20+m 23(80−m 2)80+m 2−3(m 2−20)20+m 2令y =0,解得:x =1.此时必过点K(1,0);当x 1=x 2时,直线CD 方程为: x =1,与x 轴交点为 K(1,0).所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 K(1,0).解法 2：设线表点显然AC 斜率存在,设AC 斜率为k ,则BD 斜率为2k ,直线TA 方程为:y =k(x +3),与椭圆 x 29+y 25=1联立方程组得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0,由韦达定理,x A ⋅x c =81k 2−459k 2+5,得x C =15−27k 29k 2+5,y C=30k9k 2+5; 直线TB 方程为:y =2k(x −3),与椭圆x 29+y 25=1联立方程组得(5+36k 2)x 2+216k 2x +324k 2−45=0，由韦达定理,x B ⋅x D =324k 2−4536k 2+5,得x D =108k 2−1536k 2+5,y D =−60k 36k 2+5;(1)当x C =x D ,易得直线CD 为x =1,(2)当x C ≠x D ,k CD =y D −y C x D −x C =−15k 18k 2−5,所以直线CD 的方程为y −y C=−15k18k 2−5(x −x c ), 由对称性定点在x 轴上,方程中令y =0,化简得x =1, 所以直线MN 必过x 轴上的一定点K(1,0).【注】上述两种解法的关键是通过设点或设线，利用韦达定理表示出点C 和点D : C (3(80−m 2)80+m 2,40m80+m 2),D (3(m 2−20)20+m 2,−20m20+m 2)或C (15−27k 29k 2+5,30k9k 2+5),D (108k 2−1536k 2+5,−60k36k 2+5)在此条件下研究直线CD 过定点,研究的思路可以先由对称性,推断其在x 轴上，写出直线CD 的方程，令y =0,求出x 的值得定点,另一种更一般的思路是先设出定点,再转为多项式恒等解出定点.其过程如下: 设直线CD 经过定点(s,t).k CD =−10mm 2−40,直线CD 的方程为y −40m m 2+80=−10m m 2−40(x −3(80−m 2)m 2+80),也可表示为y −t =−10mm 2−40(x −s),则10mm 2−40⋅3(80−m 2)m 2+80+40mm 2+80=10mm 2−40s +t ，则10m ⋅3(80−m 2)+40m (m 2−40)=10ms (m 2+80)+t (m 2−40)(m 2+80)对m 恒成立， ∴s =1,t =0,定点为(1,0). 解法 3:韦达代换直线CD方程为:x=my+t(t≠0),与椭圆x29+y25=1联立方程组得(5m2+9)y2+10mty+5t2−45=0,由韦达定理,y1+y2=−10mt5m2+9,y1y2=5t2−455m2+9,Δ=180(5m2+9−t2)>0,AC:y=y1x1+3(x+3),x=9,y T=12y1x1+3,BD:y=y2x2−3(x−3),x=9,y T=6y2x2−3,所以:12y1x1+3=6y2x2−3,化简得:2x2y1−x1y2=3y2+6y1 ⋯(1)又x2y1+x1y2=2my1y2+t(y1+y2)=−90m5m2+9=9(y1+y2)t⋯(2)由(1)(2)可知:{x2y1=(3t+2)y1+(3t+1)y2x1y2=(6t−2)y1+(6t−1)y2在直线CD方程y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)中,令y=0则x=x1y2−x2y1y2−y1=(3t−4)y1+(3t−2)y2y2−y1当(3t−4)+(3t−2)=0,即t=1时,定点为(1,0).【注】在此解法中关键是处理非对称式: 2x2y1−x1y2=3y2+6y1.常见的处理解法是构造对称式x2y1+x1y2=9(y1+y2)t,再与2x2y1−x1y2=3y2+6y1构造方程组,解出x2y1,x1y2,从而化解式子x1y2−x2y1y2−y1.这种处理手法在《非对称韦达定理》章节有详细说明.类型2：蝴蝶模型中的斜率定比问题【例2】已知椭圆C:x 216+y212=1的左、右顶点分别为P,Q,过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,且直线l的斜率不为0.分别记直线AP和BQ的斜率为k1与k2,问是否存在常数λ,使得在直线l转动过程中,有k1=λk2恒成立?【答案】见解析.【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l:x =my +2, k 1=y 1x 1+4,k 2=y 2x 2−4,λ=k 1k 2=y 1(x 2−4)y 2(x 1+4)=x 2y 1−4y 1x 1y 2+4y 2用x =my +2消去y,得到λ=y 1(my 2−2)y 2(my 1+6)=my 1y 2−2y 1my 1y 2+6y 2(∗)联立{x =my +2x 216+y 212=1⇒(3m 2+4)y 2+12my −36=0由韦达定理得:y 1+y 2=−12m3m 2+4,y 1y 2=−363m 2+4,可得my 1y 2=3(y 1+y 2),代入(∗)式, 得到:λ=y 1+3y 23y 1+9y 2=13.解法2：设点解点F(2,0), 设A (x 0,y 0)(y 0≠0),则AB:x =x 0−2y 0+2,由直线AB 与椭圆方程联立,{ x =x 0−2y 0+2x 216+y 212=1⇒B (5x 0−16x 0−5,3y 0x 0−5) 所以k 1=k AP =y 0x 0+4,k 2=k BQ =3y 0x 0−55x 0−16x 0−5−4=3y 0x 0+4，从而k 1k 2=13. 解法3:三点共线+对偶式因为A,F,B 三点共线,故有y 1x 1−2=y 2x 2−2,整理可得x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1), 又由{x 1y 2+x 2y 1=−963m 2+4y 1+y 2=−12m3m 2+4,可得x 1y 2+x 2y 1=8(y 1+y 2) 所以由{x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1)x 1y 2+x 2y 1=8(y 1+y 2),解得{x 1y 2=3y 1+5y 2x 2y 1=5y 1+3y 2从而λ=x 2y 1−4y 1x 1y 2+4y 2=y 1+3y 23y 1+9y2=13类型3: 蝴蝶模型中的弦长关系问题【例3】已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P (√3,12)在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程;(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B ,线段AB 中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C,D ,求证:|MA||MB|=|MC ∥MD|. 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)见解析.【解析】（1）椭圆E 的方程为x 24+y 2=1; (2)设直线l 的方程为y =12x +m(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由方程组{x 2+4y 2−4=0y =12x +m得: x 2+2mx +2m 2−2=0,则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2Δ=4(2−m 2)>0,易知−√2<m <√2,点M (−m,m 2),直线OM:y =−12x ,由方程组{x 2+4y 2−4=0y =−12x得:C (−√2,√22),D (√2,−√22). ∴|MC ∥MD|=√52(−m +√2)⋅√52(m +√2)=54(2−m 2) |MA||MB|=14|AB|2=14[(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2]=516(x 1+x 2)2−4x 1x 2=54(2−m 2) ∴|MA||MB|=|MC||MD|.【注】此问题结构漂亮，结论优美，相仿于圆中的相交线定理.一般地,|MA|⋅|MB||MC|⋅|MD|=(1+k 2)a 2b 2a 4k 2+b 4,其中k 为直线AB斜率.强化训练1.如图,O 为坐标原点,椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距等于其长半轴长,M,N 为椭圆C 的上、下顶点,且|MN|=2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(0,1)作直线l 交椭圆C 于异于M,N 的A,B 两点,直线AM,BN 交于点T .求证：点T 的纵坐标为定值3【答案】(1)x 24+y 23=1; (2)见解析.【解析】(1)由题意可知: 2c =a,2b =2√3,又a 2=b 2+c 2,有b =√3,c =1,a =2,故椭圆C 的方程为: x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设其方程为y =kx +1,联立直线方程和椭圆方程得{y =kx +13x 2+4y 2−12=0,消去y 得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1x 2≠0),则x 1+x 2=−8k 4k 2+3,x 1x 2=−84k 2+3又A,P,B 三点共线,则 y 1−1x 1=y 2−1x 2,即x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.构造式子: x 2y 1+x 1y 2=2kx 1x 2+x 1+x 2=3(x 1+x 2),则{x 2y 1=2x 2+x 1x 1y 2=2x 1+x 2.又l BN :y =y 2+√3x 2⋅x −√3,l AM :y =y 1−√3x 1⋅x +√3由{y =y 2+√3x2⋅x −√3y =y 1−√3x 1⋅x +√3,√3y +√3=y 1−√3x 1y 2+√3=√3x x 1y 2+√3x 1∴y −√3y +√3=x y −√3x x 1y 2+√3x 1=x +(2−√3)x (2+√3)x 1+x 2=(2−√3)[(2+√3)x +x ](2+√3)x 1+x 2=2−√3解之,得y =3.故点T 的纵坐标为3.【注 1】此问题是例1的逆向问题,其中也再次用到了手法:据A,P,B 三点共线,可知x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.构造式子:x 2y 1+x 1y 2=3(x 1+x 2), 则{x 2y 1=2x 2+x 1x 1y 2=2x 1+x 2. 【注 2】椭圆的内接四边形的对边交点落在定直线上等价于其对角线交点为定点.一般结论如下:结论1:椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A,B,T 为定直线x =t(t ≠0)上任意一点,直线TA,TB 分别与椭圆交于点M,N.则直线MN 恒过定点S (a 2t,0).结论2:过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 的直线交曲线于A,B,T 为定直线l:mx 0x +ny 0y =1上任意一点,直线TA,TB 分别与椭圆交于点M,N ,则直线MN 恒过定点(x 0,y 0). 2.已知椭圆C:x 26+y 24=1与定点A(0,−2),经过点E(0,1),且斜率存在的直线l 交椭圆于Q,N 两点, 点B 与点Q 关于坐标原点对称,连接AB,AN .求证：存在实数λ,使得k AN =λk AB 恒成立?【答案】见解析【解析】设l:y =kx +1,由{y =kx +12x 2+3y 2−12=0可知,(2+3k 2)x 2+6kx −9=0, 设N (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 1+x 2=−6k2+3k 2x 1x 2=−92+3k 2,∴x 1y 2+x 2y 1=4(x 1+x 2) 又N,E,Q 三点共线,则y 2−1x 2=y 1−1x 1,即x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.∴{x1y2=52x1+32x2x2y1=32x1+52x2,∵A(0,−2),B(−x2,−y2)则λ=k ANk AB =(y1+2)x2(y2+2)x1=x2y1+2x2x1y2−2x1=32x1+92x212x1+32x2=3∴存在实数λ=3,使得k AN=3k AB恒成立.【注】以上问题具有如下共同特征:(1)直线a与直线b的斜率之积为定值−b2a2;(2)直线d过坐标轴上一定点;(3)直线c与直线b的斜率之积为定值.3.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M在椭圆上,ΔMF1F2的周长为2√5+4,面积的最大值为2 .(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B连接AF2,BF2并延长交椭圆C于D,E,连接DE,探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.【答案】(1)x 25+y2=1;(2)见解析【解析】(1)|F1F2|+|MF1|+|MF2|=2a+2c=2√5+4,S=12×(2c)b=bc=2,得a=√5,c=2,b=1,所以椭圆C的方程为: x 25+y2=1.(2)设A(x0,y0),则B(−x0,−y0).直线AD:x=x0−2y0y+2，代入C:x 25+y 2=1得[(x 0−2)2+5y 02]y 2+4(x 0−2)y 0y −y 02=0 ，因为x 025+y 02=1,代入化简得(9−4x 0)y 2+4(x 0−2)y 0y −y 02=0,设D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则y 0y 1=−y 029−4x 0,所以y 1=−y 09−4x 0,x 1=x 0−2y 0y 1+2 ，直线BE:x =x 0+2y 0y +2, 同理可得y 2=y 09+4x 0,x 2=x 0+2y 0y 2+2.所以k DE =y 1−y2x 1−x 2=y 1−y 2x 0−2y 0y 1−x 0+2y 0y 2=y 1−y 2x 0y 0(y 1−y 2)−2y 1+y2y 0=1x 0y 0−2y 0⋅y 1+y2y 1−y 2=1x 0y 0−2y 0⋅4x 09=9×y0x 0=9k ,所以k DE :k =9:1【注】此问题可推广为如下一般结论:椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A,B.椭圆的弦过定点M(t,0),则k AP k AQ =(−b 2a 2)⋅a−ta+t ，k AP k BQ=a−t a+t. (定点在y 轴上时类似.)4.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左、右顶点分别为A,B ,椭圆的弦PQ 过定点M(t,0),直线PQ 斜率为k 且 k ≠0,求kAP k BQ的值.【答案】k APkBQ=a−ta+t .【解析】设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)(x 2≠±a ),因点Q 在椭圆上有 x 22a 2+y 22b 2=1 有−b 2a 2=y 22x 22−a 2=y 2x2−a ⋅y 2x2+a=k AQ ⋅k BQ ，另有k AQ ⋅k AP =y 2x2+a ⋅y 1x1+a=y 1y 2(x1+a )(x 2+a )(∗)设直线PQ:y =k(x −t)与椭圆联立消去y ,得(a2k2+b2)x2+(−2ta2k2)x+a2(t2k2−b2)=0,左边为g(x)=(a2k2+b2)x2+(−2ta2k2)x+a2(t2k2−b2)=(a2k2+b2)(x1−x)(x2−x)令x=−a,得(x1+a)(x2+a)=g(−a)a2k2+b2代入(∗)式中,得k AQ⋅k AP=b2(t2−a2)k2a4k2+2a3tk2+a2t2k2−a2b2+a2b2由于k≠0且t≠a,化简得k AQ⋅k AP=b2(t2−a2)a2(t+a)2=−b2(a−t)a2(a+t)又因k AQ⋅k BQ=−b2a2,两式作商得: k APk BQ=a−ta+t.5．已知椭圆Γ的方程为x29+y25=1,经椭圆的左焦点F(−2,0)、斜率为k1(k1;k1≠0)的直线与椭圆交于A、B两点.设R(1,0),延长AR、BR分别与椭圆交于C、D两点, 直线CD的斜率为k2.则k1k2=【答案】47.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则直线l AR:x=x1−1y1y+1.代入椭圆方程消去x得5−x1y12y2+x1−1y1y−4=0.则y3=−4y15−x1.代入直线AR的方程得x3=5x1−9x1−5.于是C(5x1−9x1−5,4y1x1−5).同理,D(5x2−9x2−5,4y2 x2−5).则k2=4y1x1−5−4y2x2−55x1−9r−5−5x2−9r−5=4(y1x2−5y1−y2x1+5y2)16(x2−x1)因为A、F、B三点共线,所以y1x1+2=y2x2+2⇒y1x2−y2x1=2(y2−y1).故k2=74⋅y2−y1x2+x1=74k1⇒k1k2=47.。

七年级数学竞赛第19讲立体图形

第19讲立体图形知能概述:图形有具体的，有抽象的；有平面的，有立体的。

它既可以是艺术中的绘画和雕塑，也可以是科学上的表达或记录。

立体图形与平面图形之间的联系体现在以下方面：立体图形的展开与折叠，从不同方向看立体图形，用平面去截立体图形。

观察归纳、操作实验、展开想象、推理探索是解立体图形问题的基本方法。

折叠——平面图形立体化，展开——立体图形平面化，折与展，将我们的思维带入到更深刻的境地。

我们既要能将一个立体图形展开得到它的各个面，又要能将一个平面图形折叠起来，想象出它的立体形状。

问题解决：例1．（1）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则z +y −x 的值是。

(“希望杯”邀请赛试题) （2）设5cm ×4cm ×3cm 长方体的一个表面展开图的周长为n cm ，则n 的最小值是。

(江苏省竞赛题)解题思路：对于（1），由折叠还原成正方体，建立方程组；对于（2），把展开图的周长用相应代数式表示。

例2．如图是一个立体图的主视图、左视图和俯视图(图中单位为厘米)，则立体图形的体积为（）立方厘米。

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) 解题思路：先确定该立体图的大致形状。

例3．如图，是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？(《时代学习报》数学文化节试题)解题思路：所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是需要求的面积。

从简单入手，归纳规律。

俯视图左视图主视图例4．由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图。

（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，求n的值。

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