贵州大学-固体物理学教案6-2

分布函数的变化率：
df f f f dt t d t c t
漂移项
稳定时：
碰撞项 及
瞬变项
f 0 t
df 0 dt
f f 0 t d t c
m
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
me k BT V0 EF jx exp 2 3 2 k BT
2
W j AT exp k BT
2
—— Richardson定律
其中

2 mek B A 2 3 2
W V0 EF
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
2mE 1 k 2 2 2m E 1 1 1 1 dk 2m 2 E 2 dE 2
2
1 2 2E 1 2 v v E 3 3m 3 m
2 x
2 k E v m


单位时间内，在单位体积中由于碰撞进入k态的电子数

k
d 3k 2 3 f k 1 f k k , k d k 3 3 8 8


贵州大学新型光电子材料与技术研究所
在单位体积中由于碰撞k－k+dk中电子数的增加率：
2me F e A1 EF 2 3 3 1 1 1 2 0 m 2 0 2 EF mvF EF 2 vF 2
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
1 N 2m 0 0 n EF 2 EF 2 3 V 3 2 2m v F 0 EF 2 3 3
i
dT T i dx

温度梯度场 电流密度： 热流密度： Boltzmann方程
dk f f0 v r f k f dt
2e j 3 vx fd 3k 8 2 j 3 vx E EF fd 3k 8
f = f(E)，E = E(k)
有外场（如电场、磁场或温度梯度场）时，电子
的能量E = E(r, k, t)，分布函数：f(r, k, t)
f(r, k, t)的物理意义：在t时刻，电子位置处在r－r+dr体 积元内，状态处在k－k+dk范围内的电子数为
d 3r 3 dN 2 f r ,k , 3 d k t 8
mv 2 y exp 2kBT
2 mv z dv y exp 2k BT
dv z
2 k BT m
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
2 mvx vx exp 2kBT 2V0 m

V0 k BT exp dvx m k BT
2. 碰撞项 单位体积中，状态处在k－k+dk中的电子数
dn
2 8
3
f k d 3k

单位时间内，在单位体积中由于碰撞离开k态的电子数

k
d 3k 2 3 f k 1 f k k , k d k 3 3 8 8
2 x 2

1 2

1 2
8 m v k 4 k dk E dE 3 3
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
2me d EF j 2 3 e T 0 3 dT T
令
f 0 dT E dT T dx E E dE dx




t f r r , k k , t t f r , k , t t


dr dk f k f r f dt dt t d
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
t
dk e dt

用fo代左边的f ：
f f 0 E E

f 0 E f f 0 d EF T T dT T T T E
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
f 0 E f 0 f f0 d EF dT T T dT T v x dx e E v x k E



d 3k dk x dk y dk z
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
稳定时，分布函数的时间变化率来自两方面： 漂移变化：电子在外场作用下的漂移运动，
引起分布函数的变化，
是破坏平衡的因素 碰撞变化：电子碰撞而引起分布函数的变化， 是建立或恢复平衡的因素
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
E EF
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
d EF j e e T dT T
对于电导，无温度梯度:
1 dT dT A1 T dx A2 dx
j e A1
2
2 2
dT 0 dx






dk v r f k f b a dt
f ba t c
—— Boltzmann方程
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
二、弛豫时间近似
f f0 ba k
—— 弛豫时间近似
f0：平衡Fermi－Dirac分布函数，(k)：弛豫时间 在t = 0时撤去外场 t = 0时, f = f0+f(t=0)， 弛豫时间近似的假设认为，碰撞促使分布函数偏 离平衡分布的部分以指数的形式消失
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
1. 求分布函数f
r f
k f
f T
f T T 2 f f k E k v k E v m E E f f f0 v T e v E k
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
f f0 f t
积分：
f t f f 0 t
t f t 0 exp
弛豫时间基本上是系统恢复平衡所用的时间 Boltzmann方程可简化为
dk f f0 v r f k f dt
不同的金属有不同的功函数，由于热膨胀，W是温
度的函数
几种金属功函数的平均值（eV）
Li
2.48
Na
2.28
K
2.22
Mg
3.67
Al
4.20
Cu
Ag
Au
Pt
4.45 4.46 4.89 5.36
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
二、接触电势 W1
(EF)1 (EF)2 eV12
W2
W1
EF
W2
金属1 金属2 金属1
热电子发射电流密度
k dk xdk ydk z jx ev x dn ev x 2 f k V 3 m 2e 3 v x f v dv xdv ydv z k mv 8





m 3e 3 3 dv y dv z 4
金属2
金属1：带正电，V1 > 0，静电势能－eV1 < 0 金属2：带负电，V2 < 0，静电势能－eV2 > 0 接触电势差:
1 V12 V1 V2 W2 W1 e
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
§6.4 自由电子的输运问题
一、Boltzmann方程 平衡时，电子的分布遵从Fermi－Dirac统计，
3 2
3 2 3 0 EF EF n 2 2m v F
2me2F ne2F EF 2 3 3 mvF
导电率
F
F
vF
ne2 F m
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
3. 求热导率K
j
2 8
vx E EF fd 3k 3
f 0 d EF dT E f f0 v x k e T E dT T dx T
2. 求电导
2e j 3 vx fd 3k 8
f 0 2 d EF E 3 v x k e T 4 E dT T T e dT 4 k 2 dk dx
§6.3 功函数和接触电势
一、热电子发射和功函数 热电子发射的电流密度为 V
W j AT exp k BT
2
—— Richardson定律 A：常数
W EF
V0 真空
W：功函数（或脱出功）
W V0 EF
W：几个eV
金属
0
x
V0：真空能级（即势阱的深度）
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
n f 2 3 2 3 3 d k b a 3 d k t c t c 8 8
a
k
b
碰撞项
k
d 3k f k 1 f k k , f k k , k 3 8
贵州大学新型光电子材料与技术研究所
1. 漂移项

r, k
t r , k t t
r r , k k

f lim t 0 t d
lim
漂移项
t 0
f r, k, t f r, k, t t