2020年高考数学(理)《三角恒等变换》专题练习(含答案解析)
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习 三角恒等变换(理)(含解析)新人教A版
核心素养提升练二十二三角恒等变换(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=( )A. B.- C.- D.【解析】选D.原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin 2θ=( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cosθ)=,两边平方得(1+sin 2θ)=,解得sin 2θ=-.3.已知锐角θ满足sin=,则cos的值为( )A.-B.C. D.-【解析】选D.由sin=,得1-2sin2=1-=,即cos=,由θ为锐角且cos=>0,所以θ+为锐角,所以sin>0,cos=cos=-sin=-=-.4.已知sin=,那么cos 2α+ sin 2α=( )A. B.- C.- D.【解析】选A.因为cos 2α+sin 2α=2sin,故cos 2α+sin 2α=2sin=2cos=2-4sin2=.5.(2019·莆田模拟)已知sin α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则角β等于( )A. B. C. D.【解析】选C.因为sin α=,sin(β-α)=-,结合α,β均为锐角,可以求得cosα=,cos(β-α)=,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cosαsin(β-α)=×+×==,所以β=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.2sin2-1=________.【解析】由题得2sin2-1=2×-1=-.答案:-7.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan(π-2α)=________.【解析】因为sin 2α=-sin α,α∈,所以cos α=-,α=,因此tan(π-2α)=tan=tan=-.答案:-8.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________. 【解析】由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=sin cos-sin2.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.【解析】(1)f(x)=sin cos-sin2=sin x-·=sin x+cos x-=sin-.由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤,当x+=-,x=-时,f(x)min=-1-.10.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.(1)求cos 2α的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)因为点P的横坐标为,P在单位圆上,α为锐角,所以cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=.(2)因为点Q的纵坐标为,所以sin β=.又因为β为锐角,所以cos β=.因为cos α=,且α为锐角,所以sin α=,因此sin 2α=2sinαcosα=,所以sin(2α-β) =×-×=.因为α为锐角,所以0<2α<π.又cos 2α>0,所以0<2α<,又β为锐角,所以-<2α-β<,所以2α-β=.(20分钟40分)1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sin αcosβ+cosαsinβ=.①因为sin(α-β)=,所以sin αcosβ-cos αsinβ=.②①+②得sin αcosβ=.②-①得cos αsinβ=.==5.2.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos= ________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α =cos 2α=, 又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin 2α==,所以原式=cos 2αcos-sin 2αsin=×-×=-.答案:-3.(5分)已知sin cos+cos sin=,x∈,则tan 2x= ________.【解析】sin cos+cos sin=sin=-cos x=,故cos x=-,因为x∈,故sin x=-,故tan x=,故tan 2x=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cos β的值.【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-, 解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sin α=,所以cos α=.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.5.(13分)(2019·宁波模拟)已知函数f(x)=4cos x·sin-1.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足f(B)=0,a=2,且D是BC的中点,P是直线AB上的动点,求CP+PD的最小值.【解析】(1)f(x)=4cos x-1=sin 2x-cos 2x-2=2sin-2,由-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,得kπ-<x<kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由f(B)=2sin-2=0,得2B-=,所以B=.作C关于AB的对称点C′,连接C′D,C′P,C′B,由余弦定理得(C′D)2=BD2+(BC′)2-2·BD·BC′·cos 120°=7.CP+PD=C′P+PD≥C′D=,所以当C′,P,D共线时,CP+PD取最小值.。
高考数学专题复习四-4.2三角恒等变换-高考真题练习(附答案)
4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
2020年高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)
三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ.【考点讲解】两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()sin cos a x b x x +=+ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15BCD【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）【真题分析】A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B．5 C．5D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即a =所以2a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】1010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x取得最小值，此时sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是2-.【答案】2-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=--+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -==-+=-+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C．4D．4-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 【模拟考场】3tan2α－2=0，解得tan 2α=－2，或tan 2α=12（舍去），故选A ． 【答案】A 4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13，∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A．10 B．10- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ43cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ，因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56. 【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ） A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0），∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解.法一、sin15sin 75sin15cos1545)+=+=+=o o o o o o .法二、sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==o o o o o o o o .法三、sin15sin 75+==o o .【答案】214.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+= （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数，11(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为4，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max ()4f x =,min 1()2f x =-.。
专题03 三角恒等变换-直击2020新高考数学多选题
专题03 三角恒等变换一、知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α.4.降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x2.5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β ＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).二、跟踪检测1.下列四个选项，化简正确的是（ ） A.cos(－15°)=426 B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)=0C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12.【答案】B ，C ，D【解析】对于A ：方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24，A 错误 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对于B ：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确 对于C ：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.对于D ：原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.故选B ，C ，D.2.下列说法中错误的是A ．存在这样的α和β的值,使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+B ．不存在无穷多个α和β的值,使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+C ．对任意的α和β,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+D ．存在这样的α和β的值,使得βαβαsin sin )sin(+=+ 【答案】A ，C ，D【解析】对于A ，当0==βα时，10sin 0sin 0cos 0cos )00cos(=+=+，故正确 对于B ，当)(2z k k ∈==πβα时，1)cos(,1cos cos ,0sin sin =+====βαβαβα 则βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，故错误对于C ，对任意的α和β，有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，这是两角和的余弦公式，故正确 对于D ，当0=α，当2πβ=时使得βαβαsin sin )sin(+=+，故正确，故选A ，C ，D3.对于函数x x x f cos 3sin )(+=，给出下列选项其中不正确的是（ ） A ．函数)(x f 的图象关于点)0,6(π对称 B ．存在)3,0(πα∈，使1)(=αfC ．存在)3,0(πα∈，使函数)(α+x f 的图象关于y 轴对称 D ．存在)3,0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 恒成立【答案】A ，B ，D【解析】函数=+=x x x f cos 3sin )(2sin （x 3π+）， 对于A ：函数f （x ）＝2sin （x 3π+）,当x=6π时，2sin （36ππ+）＝2，不能得到函数)(x f 的图象关于点)0,6(π对称．∴A不对． 对于B ：)3,0(πα∈，可得α3π+∈（323ππ，），]2,3()(∈αf ，不存在1)(=αf ；∴B 不对．对于C ：函数)(α+x f 的对称轴方程为：πππαk x +=++23x ，可得αππ-+=6k x ，当k ＝0,6πα=时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f （x +α）＝f （x +3α）说明2α是函数的周期，函数f （x ）的周期为2π，故α＝π，∴不存在)3,0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D ．4.下列计算正确的选项有（ ）．A.148sin 22cos 48cos 158sin 0=+ B .170sin 160cos 110cos 20sin 0=+C.315tan 115tan 100=-+ D.2314cos 74sin 14sin 74cos 0000-=-.． 【答案】C,D【解析】对于A ：048sin 22cos 48cos 158sin +170sin )4822sin(48sin 22cos 48cos 22sin 0000000≠=+=+=，所以A 错误对于B ：000070sin 160cos 110cos 20sin +000070sin )20cos ()70cos 20sin -+-=（1)7020sin()70sin 20cos 70cos 20sin 000000-=+-=+-=（，所以B 错误对于C ： 根据正切函数和角公式，化简得00000015tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1⋅-+=-+=)1545tan(00+=3)60tan(0=所以C 正确对于D ：000014cos 74sin 14sin 74cos -=2360sin -7414sin-==-）（，所以D 正确，故选C ，D. 5.函数x x x f cos sin )(=的单调递减区间可以是（ ） A ．)](4,43[z k k k ∈--ππππ B ．)](43,4[z k k k ∈++ππππ C ．)](22,42[z k k k ∈++ππππ D ．)](2,4[z k k k ∈++ππππ 【答案】A ，B【解析】x x x x f 2sin 21cos sin )(==，由+2π2k π≤2x ≤2k π23π+， 即+4πk π≤x ≤k π43π+，k ∈Z ，所以函数x x x f cos sin )(=的单调递减区间是)](43,4[z k k k ∈++ππππ，因为函数的周期是k π，故A 正确，故选A ，B.6.已知函数x x x x f 2sin 2cos sin 2)(-=，给出下列四个选项，正确的有（ ）A.函数)(x f 的最小正周期是π；B.函数)(x f 在区间]858[ππ，上是减函数；C. 函数)(x f 的图像关于点)0,8(π-对称；D.函数)(x f 的图像可由函数x y 2sin 2=的图像向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到. 【答案】A ，B【解析】f （x ）＝sin2x ﹣2sin 2x +1﹣1＝sin 2x +cos 2x ﹣12=sin （2x 4π+）﹣1． 对于A ：因为ω＝2，则f （x ）的最小正周期T ＝π，结论正确． 对于B ：当x ∈[858ππ，]时，2x 4π+∈[232ππ，]，则sin x 在[858ππ，]上是减函数，结论正确． 对于C ：因为f （8π-）＝﹣1，得到函数f （x ）图象的一个对称中心为（8π-，﹣1），结论不正确． 对于D ：函数f （x ）的图象可由函数y 2=sin2x 的图象向左平移8π个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有A ，B ，故选A ，B ． 7.下列选下选项中，值为41的是（ ） A ．2cos 72°cos 36° B ．sin π12sin 5π12 C ．1sin 50°＋3cos 50°. D ．13－23cos 215°；【答案】A ，B【解析】对于A 中cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.对于B 中sin π12sin 5π12＝sin π12cos π12＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.对于C 中原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.对于D 中13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故选A ，B.8.下列函数f (x )与g (x )中，能表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x g (x )＝2sin x cos x B ．f (x )＝cos 2x g (x )＝cos 2x －sin 2x C ．f (x )＝2cos 2x －1 g (x )＝1－2sin 2x D ．f (x )＝tan 2x g (x )＝2tan x1－tan 2x【答案】A 、B 、C【解析】显然选项A 、B 、C 均正确，对于D ，函数f (x )与g (x )的定义域不同，所以二者表示的函数不同．9.已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ不能能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.12 【答案】B ，C ，D【解析】∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈)43,4(ππ，又sin θ＋cos θ＝2sin )4(πθ+，∴22<sin )4(πθ+≤1， ∴1<sin θ＋cos θ≤ 2.故选B ，C ，D. 10.下列说法正确的是（ ） A ．存在x 0∈R ，使得B ．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期为C ．函数的一个对称中心为D ．角α的终边经过点（cos （﹣3），sin （﹣3）），则角α是第三象限角 【答案】B ，D【解析】在A 中，∵cos x 0∈[﹣1，1]，∴1﹣cos 3x 0＝（1﹣cos x 0）（1+cos x 0+cos 2x 0）≥0， ∵log 2＜log 21＝0，∴不存在x 0∈R ，使得，故A 错误；在B 中，函数y ＝sin2x cos2x ＝的最小正周期为，故B 正确； 在C 中，由2（x +）＝+k π，k ∈Z ，得x ＝﹣，k ∈Z ，∴函数的对称中心为（﹣，0），k ∈Z ，故C 错误；在D 中，∵cos （﹣3）＝cos3＜0，sin （﹣3）＝﹣sin3＜0，∴角α的终边经过点（cos （﹣3），sin （﹣3）），则角α是第三象限角，故D 正确．故选B ，D ．。
高考数学 分类题库考点8 三角恒等变换理
考点8 三角恒等变换1.（2020·福建高考文科·Ｔ2）计算212sin 22.5-︒的结果等于（ ） (A)12(B)22 (C)33 (D)32【命题立意】此题考查余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角函数的化简求值. 【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可.【标准解答】选B..【方式技术】关于三角公式的学习，要注意灵活把握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换.如倍角公式：sin 2x 2sin x cos x =⋅，2222cos 2x 12sin x 2cos x 1cos x sin x =-=-=-的逆用公式为“降幂公式”，即为1sin x cos x sin 2x 2⋅=，221cos 2x 1cos 2xsin x ,cos x 22-+==，在三角函数的恒等变形中，降幂公式起着重要的作用.2.（2020·福建高考理科·Ｔ1）计算sin43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的结果等于（ ） (A)12(B)33 (C)22 (D)32【命题立意】此题考查学生关于三角函数两角差公式的运用和常见三角函数值的经历. 【思路点拨】 由正弦两角差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-可得. 【标准解答】选A.2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==- . 3.（2020 ·海南宁夏高考·理科T9）假设4cos 5α=-，α是第三象限的角，那么1tan21tan 2αα+=-( ) （A ）12-（B ）12（C ）2 （D ）2- 【命题立意】此题要紧考查了三角函数的恒等变换公式及同角三角函数的大体关系式. 【思路点拨】依照余弦值求出正弦值，然后化简表达式进行求解. 【标准解答】选Ａ.由4cos 5α=-，α是第三象限的角，可得3sin 5α=-，sin211tancoscossin22221tan sin cos sin 22221cos2αααααααααα+++==---22231(cossin )1sin 15224cos 2cos sin 225αααααα-++====---，应选Ａ. 4.（2020·浙江高考理科·Ｔ11）函数2()sin(2)22sin 4f x x x π=--的最小正周期是__________ .【命题立意】此题考查三角函数、三角变换，关键是熟练把握三角函数式变换的相关技术. 【思路点拨】把()f x 先统一角，再利用化一公式化成正弦型函数. 【标准解答】22()sin 2cos 22(1cos 2)22f x x x x =--- 22sin 2cos 2222x x =+-sin(2)24x π=+-，2T ππ2==. 【答案】π 【方式技术】（1）三角函数式化简时经常使用的技术有：统一角、降幂扩角、化一公式等.（2）求三角函数式的最小正周期时，一样先把函数化为sin()y A x ωϕ=+的正弦型函数，再求周期. 5.（2020 ·海南宁夏高考·理科T16）在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，BD=12DC,ADB ∠=120°，AD=2，假设ADC ∆的面积为33-，那么BAC ∠= . 【命题立意】此题要紧考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极为推论，列出边与角知足的关系式求解. 【标准解答】设BD x =，那么2CD x =，由ADC ∆的面积为33-可知1sin 60332CD AD =31x =，由余弦定理可知 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠6=，因此6AB =.2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠24123=-6(31)AC =. 由222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=，及6,6(31),3(31)AB AC BC ==-=，可求得60BAC ∠= 【答案】60°【方式技术】找出三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.6.（2020·天津高考理科·Ｔ17）已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈，（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （Ⅱ）假设006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值. 【命题立意】此题要紧考查正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质、同角三角函数的大体关系、两角差的余弦公式等基础知识，考查考生大体运算能力. 【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式，变角002266x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 【标准解答】（Ⅰ）由2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，得2()3(2sin cos )(2cos 1)3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+,因此函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又 (0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,又因为06()5f x =，因此03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,从而2004cos 21sin 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此0000343cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 7.（2020·山东高考文科·Ｔ17）已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π，（1）求ω的值.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原先的12，纵坐标不变，取得函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.【命题立意】此题要紧考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求值的能力，考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】（1）先利用二倍角公式将()f x 化简，再依照周期求出ω的值.（2）先依照()y f x =的图象与()y g x =图象的关系，求出()y g x =的解析式，再依照x 的范围求()y g x =的最小值.【标准解答】（1）因为()()2sin cos cos f x x x x πωωω=-+,因此1cos 211121()sin cos sin 2cos 2sin(2)2222242x f x x x x x x ωπωωωωω+=+=++=++，由于0ω>，依题意得22ππω=，因此1ω=. （2）由（1）知()21sin 2242f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因此()()212sin 4242g x f x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 当016x π≤≤时，4442x πππ≤+≤, 因此2sin 4124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭. 因此()1212g x +≤≤,故()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1. 8.（2020·山东高考理科·Ｔ17）已知函数()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＜＜，其图象过点（π6,12）． （1）求ϕ的值.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原先的12，纵坐标不变，取得函数()g y x =的图象，求函数()g x 在[0,π4]上的最大值和最小值． 【命题立意】此题考查三角函数的诱导公式及二倍角等大体公式的灵活应用，图象变换和三角函数的最值问题，考查了考生的分析问题与解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】(1)依照图象过点（π6,12）,代入()y f x =化简可求ϕ值，同时应注意ϕ的取值范围.(2)利用(1)的结果，将()y f x =的解析式进行化简，再利用图象变换求出()g y x =的 解析式，最后依照()g x 的范围求出最值. 【标准解答】（1）因为已知函数图象过点（π6,12），因此有 1122=sin(2)6π⨯()21sin 2sin cos cos sin 06622πππϕϕϕϕπ⎛⎫⨯+-+ ⎪⎝⎭＜＜，即有331sin cos cos 22ϕϕϕ=+-=sin (+)6πϕ，又，因此+62ππϕ=，解得3πϕ=.（2）由（1）知3πϕ=，因此()()211sin 2sin cos cos sin 0233223f x x x ππππϕπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＜＜ =2311sin2x+cos x-424=311+cos 2x 1sin2x+-=4224⨯1sin (2x+)26π， 因此()g x =1sin (4x+)26π，因为x ∈[0, π4]，因此4x+6π∈7[,]66ππ， 因此当4x+62ππ=时，()g x 取最大值12；当4x+6π=76π时，()g x 取最小值14-.。
高考数学专题《三角恒等变换》习题含答案解析
专题5.4 三角恒等变换1．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在平面直角坐标系中，已知点()2cos80,2sin 80A ︒︒，()2cos 20,2sin 20B ︒︒，那么AB =（ ）A ．2B．C．D ．4【答案】A 【解析】利用利用两点间的距离公式求得AB .【详解】AB ==2====.故选：A2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若sin α=13，则cos2α=（ ）A ．89 B ．79 C ．―79 D ．―89【答案】B 【解析】cos2α=1―2sin 2α=1―29=79故答案为B.3．（2021·商丘市第一高级中学高三月考（文））已知2sin 21sin 22πθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan θ的所有取值之和为（ ）A ．－5B ．－6C ．－3D ．2【答案】D练基础利用诱导公式和二倍角公式化简已知式，得到sin cos θθ=-或sin 3cos θθ=，即得tan θ的可能取值，求和即可.【详解】依题意得，2cos 21sin 2θθ-=+，即()()2222sincos sin cos θθθθ-=+，即()()()22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-=+，故sin cos 0θθ+=或()2sin cos sin cos θθθθ-=+，所以sin cos θθ=-或sin 3cos θθ=，可得tan 1θ=-或tan 3θ=，所以tan θ的所有取值之和为2．故选：D.4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）已知()0,απ∈，且1cos 23α=，则sin α=（ ）A B ．23C ．13D 【答案】A 【解析】由余弦的二倍角公式，先求出2sin α的值，结合角α的范围可得答案.【详解】由21cos 212sin 3αα=-=，可得21sin 3α=又()0,απ∈，则sin α=故选：A5．（2022·河南高三月考（理））若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos sin 210αα-=，则tan α=（ ）A ．-7B ．13C ．17-D ．-7或13【答案】A 【解析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可；解：因为23cos sin 210αα-=，所以2222cos sin 2cos 2sin cos 31sin cos 10ααααααα--==+，所以212tan 3tan 110αα-=+，得23tan 20tan 70αα+-=，则tan 7=-α或1tan 3α=，又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以tan 7=-α.故选：A6．（2021·江苏淮安市·高三三模）设2sin 46a =︒，22cos 35sin 35b =︒-︒，2tan 321tan 32c ︒=-︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a 的范围；利用二倍角公式化简b 、c ，结合函数单调性，可得到b 、c 的大致范围；从而，可以比较a 、b 、c 的大小.【详解】因为sin 45sin 46sin 60︒<︒<︒，所以有222sin 45sin 46sin 60︒<︒<︒，即222sin 46<︒<，所以1324a <<；因为222cos 35sin 3512sin 35︒-︒=-︒，而sin 30sin 35sin 45︒<︒<︒，所以有211sin 3542<︒<，所以21012sin 352<-︒<，即102b <<；因为22tan 3212tan 321tan 641tan 3221tan 322︒︒=⨯=︒-︒-︒，而tan 64tan 60︒>︒=所以c >显然，b a <，而22233(44c >=>，所以34c >，即c a>所以b a c <<故选：D7．（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数()22sincos f x x x x ωωω=+(0>ω)的最小正周期为π，关于函数()f x 的性质，则下列命题不正确的是（ ）A ．1ω=B ．函数()f x 在R 上的值域为[]1,3-C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图象的对称轴方程为3x k ππ=+(k ∈Z )【答案】D 【解析】首先把函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.【详解】解：函数()22sincos f x x x xωωω=+1cos 222sin 216x x x πωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，所以1ω=，故A 正确；故()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于B ：由于x ∈R ，所以函数()f x 的最小值为1-，函数的最大值为3，故函数的值域为[]1,3-，故B 正确；对于C ：当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,622πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x ，故函数在该区间上单调递增，故C 正确；对于D ：当262x k πππ-=+，()k Z ∈时，整理得23k x ππ=+(k ∈Z )为函数的对称轴，故D 错误.故选：D .8.（2020·全国高考真题（文））若，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.9．（2021·贵溪市实验中学高二期末）tan 42tan1842tan18︒+︒︒︒的值是___________.【解析】由()tan18tan 42tan 60tan 18421tan18tan 42︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒进行转化，可得答案.【详解】解：由()tan18tan 42tan 60tan 18421tan18tan 42︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒)tan18tan 421tan18tan 42∴︒+︒=-︒⋅︒tan18tan 42tan 42∴︒+︒︒⋅︒=.10．（2021·山东高三其他模拟）若tan()4πα-=，则3cos 22απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________________．【答案】﹣817【解析】先用诱导公式化简，再根据二倍角及22sin cos 1a a +=变形，再求值即可.【详解】解：因为tan （π﹣α）＝﹣tan α＝4，2sin 3x =-cos 2x =1922281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=19所以tan α＝﹣4，则cos （2α＋32π）＝sin2α＝2sin αcos α＝222sin cos sin cos a a a a +＝22tan 1tan a a+＝﹣817．故答案为：﹣817．1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）(sin 40tan10-=（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】D 【解析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】(sin 40tan10sin10=sin40(cos10sin 40sin 402(cos 60sin10sin 60cos10)sin 40cos102sin(1060)sin 40cos102sin 50sin 40cos102sin -︒︒⋅-︒==︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒︒-︒=︒⋅︒-︒=︒⋅︒-=⋅ 40cos 40cos10sin 80cos101︒⋅︒︒-︒=︒=-2．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，练提升它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）．ABCD【答案】A 【解析】分别用SA 和θ表示出AB 的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．【详解】设O 为正八棱锥S ABCDEFGH -底面内切圆的圆心，连接OA ，OB ，取AB 的中点M ，连接SM 、OM ，则OM 是底面内切圆半径R ，如图所示：设侧棱长为x ，底面边长为a ，由题意知2ASB θ∠=，ASM θ∠=，则12sin axθ=，解得2sin a x θ=；由底面为正八边形，其内切圆半径OM 是底面中心O 到各边的距离，AOB V 中，45AOB ∠=︒，所以22.5AOM ∠=︒，由22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，解得tan 22.51︒=，所以12tan 22.512aa R R==︒=-，所以2sin 12x R θ=-，解得x R =，．故选:A ．3.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若，则的值为( )3cos 22sin()4παα=-(,)2παπ∈sin 2αA ．B ．C ．D．【答案】C 【解析】因为，所以，，，因为，所以，所以所以，两边平方得，所以，故选：C4．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____..【解析】由，得，解得，或.79-793cos 22sin()4παα=-3cos 22(sincos cossin )sin )44ππααααα=-=-223(cos sin )sin )αααα--3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+--(,)2παπ∈cos sin 0αα-≠3(cos sin )αα+cos sin αα+=212cos sin 9αα+=7sin 29α=-tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=tan 2α=1tan 3α=-，当时，上式当时，上式综上，5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数2ππ()sin 6212x f x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,]m 上恰有10个零点，则m 的取值范围是________________．【答案】55π61π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再转化为图象与x 轴交点个数问题.【详解】∵()2ππππsin sin 1cos 621266x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 6x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π()02sin 06f x x ⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭，∵()f x 在[0,]m 上恰有10个零点，sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭tan 2α=22221221⎫⨯+-⎪+⎭1tan 3α=-22112133113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴πsin 06x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]m 上恰有10个解，∴π9π10π6m -<…，解得55π61π66m <…，故答案为：55π61π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭．6．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+.若存在0x R ∈，对任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥成立.给出下列两个命题：（1）对任意x ∈R ，不等式()02f x f x π⎛⎫+⎪⎝⎭≤都成立.（2）存在512πθ>-，使得()f x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.则其中真命题的序号是__________.（写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】由辅助角公式可得()5sin(2)f x x ϕ=+，由题意可得0x 是()f x 的最小值点，()f x 关于0x x =对称，由三角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论．【详解】解：函数()3sin 24cos 25sin(2)f x x x x ϕ=+=+，其中ϕ为锐角，且3cos 5ϕ=，由题意，0x 是()f x 的最小值点，所以()f x 关于0x x =对称，因为()f x 的最小正周期22T ππ==，所以0()2f x π+为最大值，所以任意x ∈R ，0()(2f x f x π+…，故（1）正确；因为函数()f x 在()00,2x k x k k Z πππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，取4πθ=-，则00005,,1242x x x x πππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ü，所以()f x 即在005,124x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，故（2）正确；故答案为：（1）（2）7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，若3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1cos 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos αβ-=___________.【答案】【解析】根据,αβ的范围确定,33ππαβ--的范围，然后求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()cos αβ-变形为cos 33ππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3312πππα-<-<-，2336πππβ-<-<-，又3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1cos 032πβ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，∴2332πππβ-<-<-∴4cos 35πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，sin 3πβ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴()cos cos 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭413525⎛⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=.故答案为：.8．（2021·江西新余市·高一期末（理））已知单位圆上第三象限内的一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，若点Q 的横坐标为35，则点P 的横坐标为___________.【答案】【解析】首先设(cos ,sin )2P πθθπθ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，根据题意得到cos ,sin 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据cos cos 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解即可.【详解】由题意设(cos ,sin )2P πθθπθ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭，从而点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，即Q 点坐标为cos ,sin 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，∵3cos 045πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴,424πππθ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，则4sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455=-=所以点P 的横坐标为故答案为：9.（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知，，，则02πα<<4sin 5α=1tan()3αβ-=-tan β=_________.【答案】3 【解析】因为，，所以，所以，因为所以，，故答案为：3；.10．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）在①6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，②12π是函数()f x 的一个零点，③函数()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为2π，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数1()2sin cos (02)62f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，__________，求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择见解析；单调递减区间为,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)6f x x πω=-，=3202πα<<4sin 5α=3cos 5α===sin 4tan cos 3ααα==1tan()3αβ-=-tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+-415()33334151()339--===+⨯-sin tan 33cos sin 1tan 132βββββ---====---32若选①，利用正弦函数的对称性可得362k πωπππ--=+，k Z ∈，得32k ω=--，k Z ∈，又02ω<<，可得ω，可求()sin(26f x x π=-；若选②，由题意可得2126k ππωπ⨯-=，可得61k ω=+，k Z ∈，又02ω<<，可得ω，可求()sin(2)6f x x π=-；若选③，可求22T ππω==，可得1ω=，可得()sin(2)6f x x π=-，利用正弦函数的单调性，结合22x ππ-……，即可求解()f x 在[2π-，]2π上的单调递减区间．【详解】解：11()2sin cos 2sin cos cos sin sin 62662f x x x x x x πππωωωωω⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 2x x x ωωω=+-12cos 22x x ωω=-sin x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭26．①若6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，则362k πωπππ--=+，k Z ∈，即233k πωππ-=+，k Z ∈，得32k ω=--，k Z ∈，又02ω<<，∴当1k =-时，1ω=，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．②若12π是函数()f x 的一个零点，则2126k ππωπ⨯-=，即66k ππωπ=+，k Z ∈，得61k ω=+，k Z ∈．又02ω<<，∴当0k =时，1ω=，所以，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．③若()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为2π．则22T ππω==，故1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得536x ππ≤≤，令1k =-，得236k ππ-≤≤-，又22x ππ-≤≤，所以()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．1．（2021·全国高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和2【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选：C ．2．（2021·北京高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】练真题由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D 【解析】=4．（2019·全国高考真题（文理））已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．BCD【答案】B 【解析】，．，又，，又，B ．5.（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-π2152sin 2cos 21α=α+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭sin 0,2sin cos α>∴α=α22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5∴α=α=sin 0α>sin α∴=【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.6．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D 【答案】B 【解析】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：B.。
2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题4.5简单的三角恒等变换(讲)【含答案】
2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题4.5 简单的三角恒等变换1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2α tan 2α＝2tan α1－tan 2α考点一 三角函数式的化简求值【典例1】（江西省临川第一中学2019届模拟）2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________ 。
【解析】原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 【答案】1 【方法技巧】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．【变式1】 (2019·辽宁抚顺一中模拟) 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________ 。
2023年高考数学真题分训练 三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)
专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
三角恒等变换专题练习(含答案)
三角恒等变换2020.21．若α为第四象限角，则可以化简为（）A．B．C．D．﹣2tanα【解答】解：∵α为第四象限角，∴＝﹣＝﹣＝＝﹣2tanα．故选：D．2．已知cos（13°+α）＝﹣，则sin（﹣64°+2α）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（13°+α）＝﹣，则sin（﹣64°+2α）＝﹣cos[90°+（﹣64°+2α）]＝﹣cos（26°+2α）＝﹣2cos2（13°+α）+1＝﹣，故选：A．3．已知α，β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：α，β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，且α+β∈（0，π），则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，＝，则α+β＝，故选：B．4．已知cos（﹣+α）＝﹣，则cos（﹣α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：由于cos（﹣+α）＝﹣，所以cos（﹣α）＝﹣cos（﹣+α）＝，故选：B．5．已知tan（π+α）＝2，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan（π+α）＝2，∴tanα＝2，∴＝．故选：D．6．下列四个等式：①tan25°+tan35°+；②＝1；③cos2；④＝4，其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③D．③④【解答】解：对①：，故tan25°+tan35°+，故正确；对②：，故，故错误；对③：，故错误；对④：＝，故正确．故选：A．7．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：，故：，解得tanα＝2．所以＝＝．故选：D．8．已知，则2sin2α﹣sinαcosα＝（）A．B．C．D．2【解答】解：∵，∴﹣cosα﹣2cosα＝sinα，可得sinα＝﹣3cosα，∴sin2α+cos2α＝9cos2α+cos2α＝10cos2α＝1，可得cos2α＝，∴2sin2α﹣sinαcosα＝18cos2α﹣（﹣3cosα）cosα＝21cos2α＝．故选：A．9．若cos（α﹣β）＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵α+β＝2α﹣（α﹣β）∴cos（α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos（α﹣β）+sin2αsin （α﹣β），∵α，β均为锐角，α＜β，∴0＜2α＜π，﹣＜α﹣β＜0，则sin2α＝＝＝，sin（α﹣β）＝﹣，则cos（α+β）＝×﹣×＝﹣＝，则α+β＝，故选：C．10．已知函数f（x）＝sin（x+）sin x﹣（π+x）+，当0＜α＜时，f（α）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知＝＝＝，则．因为，所以，，所以由可知，则＝，则＝＝＝，故选：C．11．若sin（﹣α）＝，则sin（2α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：因为sin（﹣α）＝，所以，所以sin（2α﹣）＝＝．故选：A．12．已知角α，β∈（0，π），tan（α+β）＝，cosβ＝，则角2α+β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cosβ＝，∴sinβ＝＝，则tanβ＝，则tanα＝tan（α+β﹣β）＝＝＝，tan（2α+β）＝tan（α+β+α）＝＝＝1，∵0＜tan（α+β）＜1，0＜tanα＜1，∴0＜α+β＜，0＜α＜，则0＜2α+β＜，则2α+β＝，故选：D．13．若cosθ﹣2sinθ＝1，则tanθ＝（）A．B．C．0或D．0或【解答】解：∵cosθ﹣2sinθ＝1，且sin2θ+cos2θ＝1，∴5sin2θ+4sinθ＝0，∴，∴，则tanθ＝0或，故选：C．14．已知锐角α满足3cos2α＝1+sin2α，则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】∵3cos2α＝1+sin2α，∴3（cos2α﹣sin2α＝（cosα+sinα）2，∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα+sinα）2，∵α为锐角，可得cosα+sinα＞0，∴3（cosα﹣sinα）＝cosα+sinα，可得cosα＝2sinα，即tanα＝，∴cosα＝＝＝．故选：A．15．若，则＝（）A．1B．C．D．﹣3【解答】解：∵，∴tanαtan＝2，则＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝，故选：C．16、，则的值为（）A．﹣4B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：已知，所以＝，令g（x）＝故g（x）＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数．则═﹣1﹣1＝﹣2故选：A．17．若θ∈（0，π），且2cosθ+sinθ＝2，则tan＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵θ∈（0，π），∴∈（0，），由2cosθ+sinθ＝2，得，即，整理得，∴tan＝0（舍）或tan．故选：C．18．若sin78°＝m，则sin6°＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin78°＝m，∴cos12°＝m，即1﹣2sin26°＝m得2sin26°＝1﹣m，sin26°＝，则sin6°＝，故选：B．19．＝（）A．8B．﹣8C．D．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝＝＝＝＝﹣8，故选：C．20．化简的结果是（）A．sin 2B．﹣cos 2C．﹣cos 2D．sin 2【解答】解：＝＝．故选：D．21．已知当x＝θ时函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最小值，则＝（）A．﹣5B．5C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin x﹣2cos x＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣α），其中，cosα＝，sinα＝，故当x＝2kπ+α﹣，k∈z时，函数取得最小值为﹣，此时x＝θ＝2kπ+α﹣，k∈z，∴sinθ＝﹣cosα＝，cosθ＝sinα＝，则tanθ＝，tan2θ＝．则＝．故选：D．22．＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：＝＝＝．故选：C．23．化简＝（）A．cos4B．sin4C．sin4+cos4D．﹣sin4﹣cos4【解答】解：∵sin4＜0，cos4＜0，∴＝＝＝﹣sin4﹣cos4．故选：D．。
2020版高考数学大一轮精准复习精练---三角恒等变换Word版含解析
2020版高考数学大一轮精准复习精练4.2 三角恒等变换挖命题【考情探究】分析解读两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.破考点【考点集训】考点三角恒等变换1.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.-B.C.-D.答案D3.若tanα=2tan,则=( )A.1B.2C.3D.4答案C4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= .答案-炼技法【方法集训】方法1三角函数的化简与求值问题1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin2α=,则cos2=( )A. B. C. D.答案A2.已知tanα=2.(1)求tan的值;(2)求的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan===-3.(2)因为tanα=2,所以=====1.方法2利用辅助角公式解决问题的方法3.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .答案;14.已知函数f(x)=(1+tan x)sin2x.(1)求f(x)的定义域;(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.解析(1)因为函数y=tan x的定义域是x∈R x≠kπ+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈R x≠kπ+,k∈Z.(2)f(x)=(1+tan x)sin2x=·sin2x=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+1=sin+1.由f(α)=2,得sin=.因为0<α<π,所以-<2α-<,所以2α-=或2α-=,解得α=或α=(舍去).所以α=.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.2.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cos x·-cos2x+=sin x·cos x-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=,则cos2α=( )A. B. C.- D.-答案B2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tan=,则tanα= .答案3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα= .答案4.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知α∈,tanα=2,则cos= .答案5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .答案6.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.C组教师专用题组1.(2017山东,4,5分)已知cos x=,则cos2x=( )A.-B.C.-D.答案D2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin2α=( )A. B. C.- D.-答案D3.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为. 答案14.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案5.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f.解析(1)f=Asin=,∴A·=,解得A=.(2)f(θ)+f(-θ)=sin+sin=,∴=,∴cosθ=,∴cosθ=,又θ∈,∴sinθ==,∴f=sin(π-θ)=sinθ=.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018天津河东二模,6)已知函数f(x)=cos2-,在下列区间中f(x)单调递增的为( )A. B. C. D.答案D2.(2019届天津耀华中学第一次月考,6)已知函数f(x)=2sinωxcos2-sinωx(ω>0)的最小值在区间上至少出现两次,则ω的最小值等于( )A.6B.C.D.3答案D3.(2018天津六校联考期中,4)若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则sin2α+cos=( )A.0B.C.D.答案D二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2019届天津新华中学第一次月考,12)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos= .答案-5.(2019届天津武清杨村三中第一次月考,13)函数f(x)=cos x-sin x的单调递增区间为.答案(k∈Z)6.(2018天津南开三模,13)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω≠0)对任意实数x都有f=f,则f的值等于.答案-1三、解答题(共75分)7.(2018天津河西三模,15)已知函数f(x)=2cos2x-cos-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在上的单调性.解析(1)f(x)=2cos2x-cos-1=cos2x-cos2x+sin2x=sin,∵ω=2,∴函数f(x)的最小正周期T==π.令2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,∴f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,设A=,B=,可得A∩B=,∴当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.8.(2017天津红桥二模,15)已知函数f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-(1+cos2x)+1=2sin2x-2cos2x=2sin,∴f(x)的最小正周期T==π.(2)易知f(x)在区间上为增函数,在区间上为减函数,f(0)=-×2=-2, f=×2=2,f=2,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.9.(2019届天津一中月考,15)设函数f(x)=cos+sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cos B=,f=-,且C为锐角,求sin A.解析(1)由已知,有f(x)=cos2xcos-sin2xsin+=cos2x-sin2x+-cos 2x=-sin2x,所以f(x)的最小正周期T==π.当2x=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为.(2)由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(3)由f=-,即-sin C=-,解得sin C=,又C为锐角,所以C=.由cos B=,得sin B=.因此sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.10.(2018天津部分区县二模,15)已知函数f(x)=cos2ωx+·sin2ωx-(ω>0)的图象上相邻的两最高点间的距离是π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C满足sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B,求f(A)的取值范围.解析(1)函数f(x)=cos2ωx+sin2ωx-=(1+cos2ωx)+sin2ωx-=sin2ωx+cos2ωx=sin.∵函数f(x)图象上相邻的两最高点间的距离是π,∴T=π,由T==π,且ω>0,解得ω=1,∴f(x)=sin.(2)由sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B得ac-c2=a2-b2,即a2+c2-b2=ac,∴cos B===,又∵B∈,∴B=,在锐角三角形ABC中,A∈,∴<2A+<,∴-<sin<1,∴f(A)∈.11.(2017天津新华中学模拟,15)已知函数f(x)=2sin·sin-2sin xcos(π-x).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解析(1)函数f(x)=2sin sin-2sin x·cos(π-x)=cos2x+sin2x=2sin.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由(1)可知f(x)=2sin,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=2sin的图象,当x∈时,x+∈,故g(x)∈[-1,2].12.(2017天津和平四模,15)已知函数f(x)=(tan x+1)cos2x.(1)若α∈,且cosα=-,求f(α)的值;(2)讨论函数f(x)在内的单调性.解析(1)∵α∈,且cosα=-,∴sinα==,∴tanα==-2,∴f(α)=(-2+1)×=.(2)易知函数f(x)的定义域为x x∈R,且x≠+kπ,k∈Z.f(x)=(tan x+1)cos2x=sin xcos x+cos2x=sin2x+=sin+,当x∈时,2x+∈,此时函数f(x)单调递减;x∈时,2x+∈,此时函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.综上,函数f(x)在区间和区间上单调递减,在区间上单调递增.。
2020高考数学(理数)题海集训20 三角恒等变换(30题含答案)
2020高考数学(理数)题海集训20 三角恒等变换一、选择题1.Sin165º等于 （ ）A ．21B ．23C ．426+D ． 426-2.sin 163°sin 223°＋sin 253°·sin 313°等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．323.在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形 C ．不等边三角形D ．直角三角形4.若2cos ( θ-π3)=3cos θ，则tan θ=( )A.23B.32 C ．-33 D.2335.已知α∈R ，sin α＋2cos α=102，则tan 2α=( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－436.0000050tan 10tan 120tan 50tan 10tan ⋅++的值等于( )A.－1B.1C. 3D.－ 37.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°=( )A ．1 B.12 C.32 D ．-128.函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）A ．2-2B ．2+2C ．0D ．19.若tan α=lg(10a)，tan β=lg a ，且α－β=π4，则实数a 的值为( )A ．1B ．110C ．1或110D ．1或1010.已知tan α=m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4=2m ，则m=( ) A ．-6或1 B ．-1或6 C ．6 D ．111.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718 D ．－171812.已知5sin 2α=6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2=( )A ．－23B ．13 C.35 D ．2313.sin12π25cos 6π11－cos 12π11sin 6π5的值是( )A ．－22B ．22 C ．－sin 12πD ．sin 12π 14.函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为( )15.设当x=θ时，函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值，则cos θ=( ) A.255 B.55 C ．-255 D ．-5516.对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3=( ) A.2425 B.38 C.28 D ．-242517.若cos α＋2cos β=2，sin α=2sin β-3，则sin 2(α＋β)=( ) A ．1 B.12 C.14D ．018.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α=( ) A ．4-2 3 B ．23-4 C ．4-4 3 D ．43-419.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4=34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α=( )A.725B.925C.1625D.2425 20.若sin 2α=55，sin (β－α)=1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B ．9π4 C.5π4或7π4 D ．5π4或9π4二、填空题21.计算：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°=________.22.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3=sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α=________. 23.已知sin2α+cos 2α=－53，且2π5＜α＜3π，则cot 4α的值为____________．24.已知sin(2α-β)=35，sin β=-1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sinα值为_______．25.已知sin α=13，0<α<π，则sin α2＋cos α2=________.26.若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________ 27.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．28.已知锐角α，β满足(tan α-1)(tan β-1)=2，则α＋β的值为________．29.已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 30.A ，B 均为锐角，cos(A ＋B)=-2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3=-45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3=________.答案解析1.D2.答案为：B.3.B4.答案为：D ；5.答案为：C ；解析：因为sin α＋2cos α=102，sin 2α＋cos 2α=1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α=3或－13.所以tan 2α=2tan α1－tan 2α=2×31－32=－34或tan 2α=2tan α1－tan 2α=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132=－34.故选C. 6.D.7.答案为：B ； 8.A9.答案为：C.10.答案为：A ；11.答案为：D.12.答案为：B.13.B14.【答案】C15.答案为：C ；解析：利用辅助角公式可得f(x)=sin x-2cos x=5sin(x-φ)，其中cos φ=55，sin φ=255. 当函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值时，θ-φ=2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ=2k π＋π2＋φ(k ∈Z)，则cos θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋φ=-sin φ=-255(k ∈Z)，故选C.16.答案为：D ；解析：由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=45， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4=45×22-35×22=210， 于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102-1=-2425，故选D.17.答案为：A ；解析：由题意得(cos α＋2cos β)2=cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β=2，(sin α-2sin β)2=sin 2α＋4sin 2β-4sin αsin β=3.两式相加， 得1＋4＋4(cos αcos β-sin αsin β)=5，∴cos(α＋β)=0，∴sin 2(α＋β)=1-cos 2(α＋β)=1.18.答案为：B ；解析：由题意可得-sin α=-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12， sin ( α＋π12 )·cos π12-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12， 整理可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12=-2tan π12=-2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6=-2×tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6=23-4.故选B.19.答案为：B ；解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4=34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4=tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1=916916＋1=925.故选B.20.答案为：A.∵sin 2α=55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴cos 2α=－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 又∵sin (β－α)=1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos (β－α)=－31010.因此，cos(α＋β)=cos[(β－α)＋2α]=cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α=⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55=22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β=7π4.21.答案：1；22.答案：1;23.251- 24.答案为：3130130；解析：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.∵-π2<β<0，∴0<-β<π2，π<2α-β<5π2.∵sin(2α-β)=35>0，∴2π<2α-β<5π2，cos(2α-β)=45.∵-π2<β<0且sin β=-1213，∴cos β=513.∴cos 2α=cos[(2α-β)＋β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)·sin β =45×513-35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213=5665. ∵cos 2α=1-2sin 2α，∴sin 2α=9130.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α=3130130.25.答案为：233；解析：⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22=1＋sin α=43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2=233.26.215+． 27.41 28.答案为：3π4；解析：因为(tan α-1)(tan β-1)=2，所以tan α＋tan β=tan αtan β-1，所以tan(α＋β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=-1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β=3π4.29.－9730.答案为：117125；解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B)=-2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3=-45，所以π2<A ＋B<π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B)=1－cos2A ＋B =725，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3= 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3=35. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A ＋B －⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3=-2425×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋725×35=117125.。
高考数学专题三角恒等变换测评含解析
第10章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin 140°cos 10°+cos 40°sin 350°=( ) A.12 B.-12 C.√32D.-√32,原式=sin 40°cos 10°-cos 40°·sin 10°=sin(40°-10°)=sin 30°=12,故选A. 2.函数y=sin 3x+cos 3x 的最小正周期是( ) A.6π B.2π C.2π3 D.π3解析y=sin 3x+cos 3x=√2√22sin 3x+√22cos 3x =√2sin 3x+π4,可知该函数的最小正周期T=2π3,故选C.3.(2021江苏苏州期中)sin π12-cos π12的值等于 ( )A.-√22 B.√22 C.-√62D.√62解析sin π12-cos π12=√2sinπ12−π4=-√2sin π6=-√22.故选A .4.已知sinα+2cosαsinα-2cosα=5,则cos 2α+12sin 2α=( ) A.-25B.3C.-3D.25因为sinα+2cosαsinα-2cosα=5,所以tanα+2tanα-2=5,解得tan α=3,cos 2α+12sin 2α=cos 2α+sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+tanα1+tan 2α=1+31+9=25,故选D. 5.已知sin π6-α=13+cos α,则cos 2α+π3=( )A.-79B.-4√39 C.4√39D.79解析sinπ6-α=13+cos α,整理得12cos α+√32sin α=-13,即sin α+π6=-13,故cos 2α+π3=1-2sin 2α+π6=79.故选D .6.(2021陕西渭南临渭二模)已知sin 2α=13,则cos 2α-π4=( ) A.-13 B.13 C.-23 D.23解析cos 2α-π4=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=1+132=23.故选D .7.已知sin(α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为( ) A.3√7-2√212B.3-2√1412 C.3√7+2√212D.3+2√1412sin(α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,所以0°<α+2β<180°.又cos 2β=2cos 2β-1=-79<0,所以90°<2β<180°. 所以90°<α+2β<180°.由同角三角函数关系, 可得cos(α+2β)=-√74,sin β=2√23, 所以sin(α+β)=sin [(α+2β)-β] =sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β =34×13--√74×2√23=3+2√1412,故选D.8.设sin 20°=m ,cos 20°=n ,化简tan10°+11-tan10°−11-2sin 210°=( ) A.m n B.-mn C.nm D.-nmsin 20°=m ,cos 20°=n ,所以tan10°+11-tan10°−11-2sin 210°=1+sin10°cos10°1-sin10°cos10°−1cos20°=sin10°+cos10°cos10°-sin10°−1cos20°=1+2sin10°cos10°cos 210°-sin 210°−1cos20°=1+sin20°cos20°−1cos20°=sin20°cos20°=mn .故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021江苏扬州邗江校级期中)下列各式中,值为12的是( ) A.sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42° B.cos 2π12sin 2π12 C.tan22.5°1-tan 222.5°D.2tan 15°cos 215°°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=12,故A 满足条件;cos 2π12sin 2π12=1+cos π62·1-cos π62=1-cos 2π64=1-344=116,故B 不满足条件;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故C 满足条件;2tan 15°cos 215°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故D 满足条件.故选ACD.10.(2020江苏南京期末)下列四个等式其中正确的是( ) A.tan 25°+tan 35°+√3tan 25°tan 35°=√3 B.116sin50°+√316cos50°=12C.cos 2π8-sin 2π8=12 D.1sin10°−√3cos10°=4°=tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1-tan25°tan35°=√3,故tan 25°+tan 35°+√3tan 25°tan 35°=√3,故A 正确;116sin50°+√316cos50°=(cos50°+√3sin50°)16sin50°cos50°=2sin (50°+30°)8sin100°=14,故B 错误;cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22,故C 错误;1sin10°−√3cos10°=cos10°-√3sin10°sin10°cos10°=2cos (60°+10°)12sin20°=2sin20°12sin20°=4,故D 正确.故选AD.11.(2021湖北华中师大一附中高一期中)已知向量a =sin x-π6,√3sin x ,b =cos x-π6,-sin x ,函数f (x )=a ·b +√32,x ∈R ,则下列结论正确的为( )A .f π3-x =-f π3+xB .f (x )的最小正周期为πC .f (x )的最大值为1+√32D .f (x )的图象关于直线x=π12对称解析由题意f (x )=a ·b +√32=sin x-π6cos x-π6-√3sin 2x+√32=12sin 2x-π3-√32(1-cos 2x )+√32 =12sin 2x cos π3-cos 2x sin π3+√32cos 2x =14sin 2x+√34cos 2x=12sin 2x+π3.对于A,f π3-x =12sin 2π3-x +π3=12sin(π-2x )=12sin 2x ,fπ3+x =12sin 2π3+x +π3=12sin(π+2x )=-12sin 2x , 所以f π3-x =-fπ3+x ,故A 正确;对于B,由T=2π2=π,故B 正确;对于C,由-1≤sin 2x+π3≤1,所以f (x )的最大值为12,故C 不正确; 对于D,由f (x )=12sin 2x+π3的对称轴满足2x+π3=k π+π2,k ∈Z , 即x=12k π+π12,k ∈Z .当k=0时,x=π12.所以直线x=π12为f (x )的图象的对称轴,故D 正确. 故选ABD .12.(2021江苏徐州沛县校级期末)已知α,β∈(0,π),sin α+π6=513,cos β-π3=45,则sin(α-β)的可能取值为( ) A.-3365 B.-6365 C.3365D.6365解析∵cos β-π3=45,∴cos β-π3=cos β+π6−π2=sin β+π6=45,∵α,β∈(0,π), ∴α+π6∈π6,7π6,β+π6∈π6,7π6.又sin α+π6=513∈0,12,sin β+π6=45>12, ∴α+π6∈5π6,π,β+π6∈π6,5π6,∴cos α+π6=-1213,cos β+π6=±35,∴sin(α-β)=sinα+π6-β+π6=sin α+π6cos β+π6-cos α+π6sin β+π6=513×35+1213×45=6365,或sin(α-β)=513×-35+1213×45=3365. 故选CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知cos α=35,α∈0,π2,则cos π3+α= .解析因为cos α=35,α∈0,π2,则sin α=45,所以cosπ3+α=cos π3cos α-sin π3sin α=12×35−√32×45=3-4√310. 14.如图,图象是由n (n ∈N *且n ≥2)个完全相同的正方形构成的平面几何图形,若α+β=π4,则n= .1,则tan α=1n ,tan β=1n -1, 因为α+β=π4,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=2n -1n 2-n -1=1,解得n=3或n=0(舍去),所以n=3.15.已知tan(α+β)=23,tan β-π4=-2,则tan α+π4= ,tan(α+2β)= .8 311 解析tanα+π4=tan (α+β)-β-π4=tan (α+β)-tan(β-π4)1+tan (α+β)tan(β-π4)=23+21+23×(-2)=-8. tan β-π4=tanβ-11+tanβ=-2,tan β=-13. tan(α+2β)=tan (α+β)+tanβ1-tan (α+β)tanβ=311.16.(2021江苏泰州中学高三模拟)现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为√5-12;(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形; (3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin 126°= .,等腰三角形ABC ,∠ABC=36°,设AB=BC=a ,AC=b ,取AC 中点D ,连接BD.由题意得ba=√5-12,sin ∠ABC 2=b2a=b a ·12=√5-12·12=√5-14,所以cos ∠ABC=1-2sin 2∠ABC 2=1-2×√5-142=√5+14, 所以cos 36°=√5+14,所以sin 126°=sin(90°+36°)=cos 36°=√5+14.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020贵州贵阳期末)在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x 轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A ,坐标为(1,-1). (1)求sin 2α的值.(2)若角β满足下列三个条件之一. ①锐角β满足tan β=2;②锐角β的终边在直线y=2x 上; ③角β的终边与2 0203π的终边相同. 请从上述三个条件中任选一个,求cos(α-β)的值.已知角α始边与x 轴非负半轴重合,顶点与原点重合,且角α的终边上有一点A ,坐标为(1,-1),则sin α=√2=-√22,cos α=√2=√22,可得sin 2α=2sin αcos α=2×-√22×√22=-1. (2)若选①,锐角β满足tan β=sinβcosβ=2,可得sin 2β+cos 2β=(2cos β)2+cos 2β=5cos 2β=1,解得cos β=√55,sin β=2√55,可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=√22×√55+-√22×2√55=-√1010; 若选②,锐角β的终边在直线y=2x 上, 可得tan β=2,由①可得cos(α-β)=-√1010;若选③,角β的终边与2 0203π的终边相同, 可得sin β=sin 2 0203π=sin 673π+π3=-sin π3=-√32,cos β=cos2 0203π=cos 673π+π3=-cos π3=-12,可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=√22×-12+-√22×-√32=√6-√24.18.(12分)(2021江苏泰州海陵校级期中)已知0<α<π2<β<π,tan α+π4=-2,sin β=√22. (1)求sinα+3cosα2sinα-cosα的值; (2)求sin(α+2β)的值.解(1)因为tan α+π4=tanα+11-tanα=-2,所以tan α=3. 所以sinα+3cosα2sinα-cosα=tanα+32tanα-1=65.(2)因为tan α=3,0<α<π2, 所以cos α=√1010,sin α=3√1010. 因为π2<β<π,sin β=√22, 所以β=3π4,所以sin(α+2β)=sin α+3π2=-cos α=-√1010. 19.(12分)(2021四川广安邻水校级期中)求值: (1)sin 50°(1+√3tan 10°); (2)sin5°-sin20°cos15°cos5°-sin20°sin15°.°(1+√3tan 10°)=sin 50°1+√3×sin10°cos10°=sin 50°×cos10°+√3sin10°cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10° =cos10°cos10°=1.(2)sin5°-sin20°cos15°cos5°-sin20°sin15°=sin (20°-15°)-sin20°cos15°cos (20°-15°)-sin20°sin15° =(sin20°cos15°-cos20°sin15°)-sin20°cos15°(cos20°cos15°+sin20°sin15°)-sin20°sin15° =-sin15°cos15°=-2sin 215°2sin15°cos15°=-1-cos30°sin30°=-1-√3212=√3-2.20.(12分)(2021天津河西高一期末)已知α∈π2,π,tan α=-34.(1)求tan 2α的值; (2)求sinα+2cosα5cosα-sinα的值; (3)求sin 2α-π6的值. 解(1)∵α∈π2,π,tan α=-34,∴tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247.(2)∵tan α=-34,∴sinα+2cosα5cosα-sinα=tanα+25-tanα=-34+25+34=523.(3)∵sin 2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=-2425,cos 2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2αtan 2α+1=1-916916+1=725,∴sin 2α-π6=sin 2αcos π6-cos 2αsin π6=-2425×√32−725×12=-24√3+750.21.(12分)(2021江苏南京第二十九中学高一期末)已知函数f (x )=sin x cos x-√3sin 2x+√32.(1)若x ∈-π3,π6,求函数f (x )的值域; (2)设α∈π2,π,若fα2−π12=45,求cos α的值.f (x )=sin x cos x-√3sin 2x+√32=12sin 2x-√32(1-cos 2x )+√32 =12sin 2x+√32cos 2x=sin 2x+π3, 因为x ∈-π3,π6,-π3≤2x+π3≤2π3, 则-√32≤sin 2x+π3≤1,所以函数f (x )在-π3,π6上的值域为-√32,1. (2)fα2−π12=sin 2α2−π12+π3=sin α+π6=45,因为α∈π2,π,则2π3<α+π6<7π6,所以cos α+π6=-√1-sin 2(α+π6)=-35,所以cos α=cosα+π6-π6=√32cos α+π6+12sin α+π6=4-3√310. 22.(12分)(2021江苏南京鼓楼校级期中)已知向量a =(cos α,√5sin β+2sin α),b =(sin α,√5cos β-2cos α),且a ∥b .(1)求cos(α+β)的值; (2)若α,β∈0,π2,且tan α=13,求2α+β的值.因为a ∥b ,所以cos α(√5cos β-2cos α)-sin α(√5sin β+2sin α)=0, 所以√5(cos αcos β-sin αsin β)=2(sin 2α+cos 2α)=2, 所以√5cos(α+β)=2,即cos(α+β)=2√55. (2)因为α,β∈0,π2,所以0<α+β<π.因为cos(α+β)=2√55,所以sin(α+β)=√55,所以tan(α+β)=12.因为tan α=13,所以tan (2α+β)=tanα+tan(α+β)1-tanαtan(α+β)=13+121-12×13=1.因为0<α+β<π,且cos(α+β)=2√55>0,所以0<α+β<π2.因为0<α<π2,所以0<2α+β<π.因为tan(2α+β)=1,所以2α+β=π4.。
2020新课标高考艺术生数学复习：三角恒等变换含解析
解析：D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝ ＝ ＝2＋ .]
2．(20xx·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－ 、则cos 2θ＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：D[cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ ＝ ＝ .]
3．已知sinα＋cosα＝ 、则sin2 ＝( )
tan ＝ ＝ .
[思考辨析]
判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“√”、错误的打“×”．
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)存在实数α、β、使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )
(2)公式tan(α＋β)＝ 可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)、且对任意角α、β都成立．( )
[跟踪训练]
(20xx·××市模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x＋a的最大值为 .
(1)求a的值；
(2)若方程f(x)＋m＋1＝0在 内有两个零点、求m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝sinxcosx－cos2x＋a＝ sin 2x－ ＋a＝ sin ＋a－ 、
∴f(x)max＝ ＋a－ ＝ 、∴a＝ ；
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β).
(2)升幂公式
1＋cosα＝2cos2 ；1－cosα＝2sin2 .
(3)降幂公式
sin2α＝ ；cos2α＝ .
4．辅助角公式
asinα＋bcosα＝ sin(α＋φ)、其中cosφ＝ 、sinφ＝ .
5．角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角
A. B. C. D.
解析：B[由sinα＋cosα＝ 两边平方得1＋sin 2α＝ 、解得sin 2α＝－ 、所以sin2 ＝ ＝ ＝ ＝ 、故选B.]
2020年高考数学恒等变形专题复习(后附答案)
2020年高考数学恒等变形专题复习（后附答案）1、(1)满足βαβαsin sin 23cos cos -=的一组βα,的值是（ ） A.πβπα45,1213== B.πβπα43,1213== C.πβπα61,21== D.πβπα61,41== (2)8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+=(3)化简：()()βαβαβαβα++-+cos sin sin 2cos sin 2sin2、(1) 70tan 65tan 70tan 65tan 1-++(2)()()()()A A AA -++--+ 45tan 45tan 45tan 45tan3、(1) 在△ABC 中，已知cosA =135，cosB =54，求cosC 的值(2)△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ∙∙=++5、已知434παπ<<，40πβ<<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=+βπ，求sin(α+ β)的值.6、已知sin α + sin β = 22，求cos α + cos β的范围7、已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值8、求证：cosx+sinx=2cos(x 4π-)练习1． =+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ（ ）A ．23- B ．21- C ．21 D ．232． 若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ）A ．97- B ．31- C ．31 D ．973． 已知510sin ,sin ,510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ）()4A π ()4B π或34π ()34C π()D 非以上答案4． 设0000sin15cos15,sin16cos16,a b =+=+则下列各式正确的是（ ）()()()()22222222,,2222a b a b a b a b A a b B a b C b a D b a ++++<<<<<<<<5． 已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为（）A 、725 B 、1825 C 、725- D 、1825-6． 131080sin sin -的值是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、14 7． 已知35sin ,αα=是第二象限角，且1tan()αβ+=，则tan β的值为（ ） A 、－7 B 、7 C 、34- D 、34 8． “()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）(A)充分必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件9． 函数y=sinxcosx+3cos 2x －23 的最小正周期是（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π 10． 函数f(x) = xx x cos cos 3cos -的值域为（ ） A ．[0,4] B ．[)0,4- C ．[－4,0] D ．(]0,4-11． 已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为（ ） A ．1813 B ．2313 C ．227 D ．183 12． 已知函数f(x)=2asin 2x －23sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是]2,0[π,值域为[5,1]-,则a 、b 值分别为（ ）A ．a=2, b=－5B ．a ＝－2,b=2C ．a=－2, b=1D ．a=1,b=－2一、填空题（每小题4分，计4×4=16分）13． 已知14462sin(x )sin(x ),x (,)ππππ+-=∈，则4sin x = 。
2020年高考数学一轮复习专题22简单的三角恒等变换(含解析)(最新整理)
专题22 简单的三角恒等变换一、【知识精讲】1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．（2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降"是基本的规律，根号中含有三角函数式时,一般需要升次．3。
三角恒等变换综合应用的解题思路 (1)将f (x ）化为a sin x ＋b cos x 的形式； (2）构造f （x )＝错误!错误!；(3）和角公式逆用，得f (x )＝错误!sin(x ＋φ）（其中φ为辅助角）； （4）利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ）研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 二、【典例精练】例1.（2019全国卷Ⅱ）已知a ∈（0，π2）,2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．15B ．5C ．3D ．25【答案】B【解析】 由2sin 2cos 21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=。
因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin α=。
故选B. 例2.（2019江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 。
【答案】10【解析】 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan4ααα=-π+π-， 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-． 当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+,221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+,221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=。
2020年高考数学(理)之高频考点解密08 三角恒等变换(解析版)
解密08 三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1，则sin2α的值为 ABC ．9D ．9【答案】A又sin 0α<cos α=，故选A ．调研2 若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3 B ．1 C ．1-D ．3-【答案】C【解析】由题可得5cos()cos()cos()cos()121212122ααααπππππ+-=++- cos()sin()1212ααππ=++11sin(2)264απ=+=-，即1sin(2)62απ+=-2cos 22sin(2)16αααπ+=+=-，故选C ．调研3 已知324αππ<<，若sin()4απ+=sin(2)4απ-=A ．B ．-C ．10D ．10【答案】C【解析】因为sin()4απ+=，所以sin cos αα+=， 上式两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-， 因为324αππ<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-，所以sin(2)4απ-=(sin 2cos 2)210αα-=， 故选C ．调研4 已知3π4πθ≤≤，且=，则θ=A B CD 【答案】D【解析】∵3π4πθ≤≤，∴cos 02θ>，sin 02θ<，cos sin 2θ==-，∵3π4πθ≤≤，∴ 故选D ．【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出2α的范围，确定出cos02θ>，sin02θ<，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出．☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：（1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；（2）项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研5 若,αβ∈R 且πππ,π()22k k k αβ≠+≠+∈Z ，则“2π+=3αβ”是“1)αβ--4=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1)4αβ--=，即3tan tan 14αβαβ--+=，tan tan tan αβαβ--=tan tan 1tan tan αβαβ+=-tan()αβ+=， 所以2ππ3k αβ+=+，当0k =时，2π3αβ+=， 所以“2π3αβ+=”是“1)4αβ--=”的充分不必要条件．故选A ．【名师点睛】本题考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角，属于中档题．根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：tan()αβ+=，这便可求出2ππ3k αβ+=+，这样便会得到2π3αβ+=是1)4αβ--=充分不必要条件． 调研6 若2tan 1α=，tan 2β=-，则tan()αβ+=______________． 【答案】34-【解析】121322tan 1tan tan()1241(2)2αααβ-=∴=∴+==--⨯-Q ，，． 调研7 若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为______________．【答案】247± 【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦，即3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角． 当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==-； 当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==--，24tan 27y ∴=±． 调研8 已知π(,π)2α∈，tan 2α=-．（1）求πtan()4α+的值． （2）求sin2cos2αα+的值． 【答案】（1）13-；（2）75-． 【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果；（2）根据角α的范围，由正切求出sin α=，cos α=，再利用二倍角公式即可得结果． 【解析】（1）∵tan 2α=-，所以πtan tanπtan 12114tan()π41tan 1(2)31tan tan 4ααααα++-++====-----． （2）由π(,π)2α∈，tan 2α=-，得sin α=，cos α=，所以22437sin2cos22sin cos cossin 555αααααα+=+-=--=-．☆技巧点拨☆公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-．（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=． （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-．（4）辅助角公式：sin cos a x b x+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=．考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合调研1 已知函数23()cos(2)sin(2)32f x x x ππ=-+-，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π【答案】A【解析】由题可得11()cos 22cos 22cos 2sin(2)226f x x x x x x x π=-+=+=+， 所以()sin[2()]sin(22)66g x x x ϕϕππ=++=++， 因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，即,62k k ϕππ=+∈Z ， 又0ϕ>，所以ϕ的最小值是6π． 故选A ．调研2 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象，则函数()y f x =+π(),[,π]2g x x ∈的最小值为______________．【答案】2【解析】由题意得π()sin(),3g x x =-∴y =()()f x g x +=πsin sin()3x x +-=ππsin sin coscos sin 33x x x +-=3sin cos 22x x -=π)6x -．π[,π]2x ∈Q ，∴ππ5π[,]636x -∈，∴当π5π66x -=时，min 2y =．调研3 已知函数2π()2(cos 4)1f x x x =-++． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间π[0,]2上的最值．【答案】（1）5ππ[π,π]()1212k k k -+∈Z ；（2）最大值为2，最小值为 【思路分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为π2sin(2)3x +，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间；（2）当π[0,]2x ∈时，ππ4π2[,]333x +∈，由正弦函数的单调性可得πsin(2)[3x +∈，从而可得结果．【解析】（1）函数2ππ()2cos ()1cos(2)42f x x x x x =-++=-+ πsin22sin(2)3x x x =+=+．令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -+∈Z ．（2）当π[0,]2x ∈时，ππ4π2[,]333x +∈，∴πsin(2)[3x +∈，∴()f x 在区间π[0,]2上的最大值为2，最小值为且π12x =时()f x 取得最大值2，π2x =时()f x 取得最小值 【名师点睛】本题主要考查辅助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题． 函数sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的单调区间的求法：把x ωϕ+看作是一个整体，由π2π2k x ωϕ+≤+≤3π2π()2k k +∈Z 求得函数的减区间；由ππ2π2π22k x k ωϕ-+≤+≤+求得函数的增区间．调研4 已知函数22()5sin cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()2y f x =-在π7π[,]66上的零点． 【答案】（1）π5π[π,π]()1212k k k -++∈Z ；（2）π2π7π,,636．【思路分析】（1）利用三角函数关系式的恒等变换得π())23f x x =-+，进而利用正弦函数的单调性，求出函数的单调递增区间；（2）将求函数()2y f x =-在π7π[,]66上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π[,]66内与x 轴的交点，再根据正弦函数的性质求解．【解析】（1）22()5sin cos f x x x x =+-51(1cos2)(1cos2)22x x x =+--+3cos22x x =-+π)23x =-+．令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]()1212k k k -++∈Z ．（2）由π()2)03f x x -=-=，得πsin(2)03x -=．∴π2π()3x k k -=∈Z ，∴1ππ()26x k k =+∈Z ，∵π7π66x ≤≤，∴π2π7π,,636x =， 即函数()2y f x =-在π7π[,]66上的零点是π2π7π,,636． 【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦型三角函数y =A sin （ωx +∅）的图象和性质，解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin （ωx +∅）+B 的形式． 题组二 与向量相结合调研5 已知向量2,1),(sin ,cos )x x x =-=m n ，函数1()2f x =⋅+m n ．若0π[0,]4x ∈，0()f x =3，则0cos2x 的值为______________．【答案】2-【解析】由题可得211π()cos cos cos2sin(2)226f x x x x x x x =-+=-=-，所以0πsin(2)6x -=．又0π[0,]4x ∈，所以0πππ2663x -≤-≤，所以0πcos(2)6x -=，所以ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=--⨯1322326=-⨯=-．调研6 已知(1cos ,1)x ω=+-a ，)x ω=b (0ω>)，函数()f x =⋅a b ，函数()f x 的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设π(0,)2θ∈，且6()5f θ=，求cos θ的值．【答案】（1）π()2sin()3f x x =-；（2．【解析】（1）π()cos )sin 2sin()3f x x x x ωωω=⋅=+-=-a b ， 因为函数()f x 的最小正周期为2π， 所以2π2πω=，解得1ω=，所以π()2sin()3f x x =-．（2）由6()5f θ=，得π3sin()35θ-=-， 因为π(0,)2θ∈，所以πππ(,)336θ-∈-，所以π4cos()35θ-=，所以cos θ=ππcos()33θ-+=ππππcos()cos sin()sin 3333θθ---=413()525⨯--．题组三 与解三角形相结合调研7 锐角ABC △的外接圆半径为1，AC BC AB =>，且满足1cos cos 4A C =，则C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．5π12【答案】C【解析】∵ππsin (0,),.2223B B B r ==∈∴=Q∵cos cos A C =2π1cos()cos ,34C C -=211cos sin cos ,224C C C ∴-+=即1πcos 22)46C C C -+=-=， ∴ππ2=63C -或π2π2=63C -，即π=4C 或5π=12C ， ∵BC AB >，∴π3C <，即π=4C ．故选C ．调研8 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C A －3πcos()4B +的取值范围是______________．【答案】 【解析】因为c sin A ＝－a cos C ，所以sin C sin A =-sin A cos C ，所以tan C =-1，即C =3π4．A －cos 3π()4B +A +cos A =2sin(A +π6)，因为π04A <<，所以ππ5π6612A <+<，所以1πsin()26A <+<所以π12sin()6A <+<A －3πcos()4B +的取值范围是(1,2． 【名师点睛】（1）本题主要考查正弦定理，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力．先利用正弦定理求出∠C ，再化简sin A －cos 3π()4B +得2sin(A +π6)，再利用三角函数的图象和性质求解．（2）对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图象一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值．调研9 在ABC △中，已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-．（1）求内角B 的大小；（2）若cos 3A =，求sin 2C 的值．【答案】（1）π3B =；（2 【思路分析】（1）由正弦定理得222a c b ac +-=，再利用余弦定理化简得π3B =；（2）先求出sin2A ，cos2A ，再求sin2C ．【解析】（1）在ABC △中，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及22sin sin (sin sin )sin A B A C C -=-， 可得222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =．（2）因为在ABC △中，cos A =，所以sin A ==，所以sin22sin cos A A A ==221cos2cos sin 3A A A =-=-，而π4π22(π)233C A A =--=-，所以4π4π4πsin2sin(2)sin cos2cos sin2333C A A A =-=-=．调研10 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos cos )a A c B b C =+．（1）求tan2A 的值；（2）若πsin()23B c +==ABC △的面积．【答案】（1）；（2）3．【思路分析】（1）由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =，故cos A =，所以sin A =，tan 2A =，由倍角公式可得tan2A =（2）由条件得cos 3B =1sin 3B =，由正弦定理得2a =，从而可得△ABC的面积1sin 23S ac B ==． 【解析】（1）由3cos cos cos )a A c B b C =+及正弦定理得3sin cos cos sin cos ))A A C B B C B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，cos 3A ∴=∵π(0,)2A ∈，sin 3A ∴=．∴tan 2A =，22tan tan21tan A A A ∴==- （2）由πsin()23B +=得cos 3B = ∵(0,π)B ∈，1sin 3B ∴=，∴()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a cA C=，∴sin 2sin c A a C ===，∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=．【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法：（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，直接求三角形的面积． （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．（3）求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围．☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意．1．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）已知cos()2απ-=2cos()απ+，且1tan()3αβ+=，则tan β的值为A ．7-B ．7C ．1D ．1-【答案】B【思路分析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α=-，再由两角和的正切公式tan tan 1tan ta )n tan(αββαβα-++=，将tan 2α=-代入运算即可．【解析】因为cos()2cos()2ααπ-=π+，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-，又1tan()3αβ+=，所以tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan 7β=， 故选B ．2．（山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中）已知1sin 23α=，则2πcos ()4α-= A ．16B ．13 C ．12D ．23【答案】D【解析】由题可得2π1π1π1cos ()[cos 2()1]cos(2)424222ααα-==-+=-+ 1π1111112cos(2)sin 2=.222222323αα=-+=+=⨯+ 故选D ．【名师点睛】本题考查三角恒等变换求值，考查二倍角余弦公式、诱导公式．把待求转化为已知需要增倍、降次，自然可以联想到二倍角公式．3．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试）已知sin()2410απ-=，则sin α=A ．1225-B ．1225C ．2425-D ．2425【答案】D【思路分析】先由题意得到1sin cos225αα-=，再两边同时平方，根据同角三角函数基本关系，即可得出结果．【解析】因为sin()2410απ-=，所以222210αα-=， 所以1sincos225αα-=，所以2(sin cos 125)22αα-=，即151sin 2α-=，所以24sin 25α=， 故选D ．4．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）若tan()26απ+=，则2tan(2)3απ-= A．2-- B．2 C ．43-D ．43【答案】C【思路分析】利用二倍角的正切公式求出tan(2)3απ+的值，然后利用正切函数的周期性可求出2tan(2)3απ-的值． 【解析】由二倍角正切公式可得222tan()2246tan(2)tan[2()]361231tan ()6ααααπ+ππ⨯+=+===-π--+，所以24tan(2)tan[(2)]tan(2)3333αααπππ-=+-π=+=-． 故选C ．【名师点睛】本题考查正切值的计算，考查二倍角正切公式以及正切函数的周期的应用，考查计算能力，属于中等题．5．（浙江省五校2019-2020学年高三上学期联考）在三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan 4A =，则tanB = AB．C ．3D ．2【答案】D【思路分析】先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到sin sin()A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成tan()A B -+，进而化简求值． 【解析】sin cos 0sin cos sin sin()2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，tan tan 2tan tan()tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=-． 故选D ．【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功．6．（河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期9月月考）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin cos()6c B b C π=-，则tan C =ABC D ．3【答案】C【思路分析】先利用两角差的余弦公式，化求得1sin cos sin 22c B C b C =+，再利用正弦定理的边角互化，求得sin sin cos C B B C =，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解．【解析】由题意知sin cos()6c B b C π=-，可得1sin cos sin 22c B C b C =+，根据正弦定理可得1sin sin cos sin sin 2C B B C B C =+，即sin sin cos C B B C =，又(0,)B ∈π，所以sin 0B >，可得sin C C =，所以sin tan cos CC C==故选C ．【名师点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式的化简和三角函数的基本关系式，以及正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点(2,)(0)P a a a ≠，则tan(2)4θπ+= A ．7- B ．17- C ．17D ．7【答案】A【思路分析】由角θ的终边经过点(2,)(0)P a a a ≠可求得tan θ值，再根据和差角公式展开tan(2)4θπ+，可知需要再求解tan 2θ，用tan θ的二倍角公式求解即可． 【解析】因为角θ的终边经过点(2,)(0)P a a a ≠，所以1tan 22a a θ==， 所以22122tan 142tan 2=131tan 31()24θθθ⨯===--，所以41tan 2tan34tan(2)7441tan 2tan 143θθθπ++π+===-π-⨯-， 故选A ．【名师点睛】求解三角函数值时，重点观察角度的关系，判断需要选取的公式，如二倍角和差角等，进行公式的选择与运算．8．（安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断）若函数2()sin f x x ω=+cos (0)x x ωωω>的最小正周期为π，则当π[0,]3x ∈时，函数()f x 的取值范围是A ．3[0,]2B ．31[,]22- C ．13[,]22-D ．1[,1]2-【答案】A【思路分析】利用二倍角公式，两角和（差）的正弦公式将函数化简为π1()sin(2)62f x x ω=-+，根据函数的最小正周期为π求得ω，即可求出函数()f x 的解析式，根据正弦函数的性质求出函数在指定区间上的值域．【解析】由题可得21cos 2()sin cos 22222x f x x x x x x ωωωωωω-=+=+=-11cos 222x ω+π1sin(2)62x ω=-+．又()f x 的最小正周期为π，0>ω，所以2ππ2ω=， 所以1ω=，所以π1()sin(2)62f x x ω=-+．又π[0,]3x ∈，所以πππ2[,]662x -∈-， 所以1πsin(2)126x -≤-≤，所以π130sin(2)622x ≤-+≤． 故选A ．9．（陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2019年高三上学期10月月考）若函数()sin cos()6f x x x π=+-，则()f x 的递增区间为A ．2[2,2]()33k k k ππ-+π+π∈Z B ．2[2,2]33()k k k ππππ-+∈+Z C ．5[2,2]()66k k k ππ-+π+π∈ZD ．5[2,2]()66k k k ππ-+π+π∈Z 【答案】B【思路分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为())6f x x π=+，然后解不等式22()262k x k k -+≤+≤+ππππ∈πZ 可得出函数()y f x =的单调递增区间．【解析】由题可得13()sin cos()sin sin sin 622f x x x x x x x x π=+-=++==1cos )cos cos sin ))2666x x x x x πππ+=+=+， 解不等式22()262k x k k -+≤+≤+ππππ∈πZ ，得222()33k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2]33()k k k ππππ-+∈+Z ， 故选B ．【名师点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并结合正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题． 10．（湖南省衡阳市雁峰区第八中学2019年高三上学期10月月考）已知角3(,)2απ∈π，(0,)2βπ∈，且满足tan cos 1sin αββ=+，则β=（用α表示） A ．122α-π B ．522απ- C ．522α-πD ．322α-π 【答案】C【思路分析】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，整理得sin()cos αβα-=，结合题意与诱导公式 可得3(,)22αβππ-∈，(,)22αππ-∈-π-，sin()sin[2()]2αβαπ-=π+-，进而得出答案． 【解析】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 即sin()cos αβα-=，结合诱导公式得sin()sin()2αβαπ-=-． 因为3(,)2απ∈π，(0,)2βπ∈，所以3(,)22αβππ-∈，(,)22αππ-∈-π-． 由诱导公式可得sin()sin[2()]2αβαπ-=π+-，易知32()(,)22αππ+-∈ππ． 因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2αβαπ-=π+-，所以522βα=-π． 故选C ．11．（广东省茂名市五校2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数2()cos (4f x x ωπ=--)(0)2xωω>在区间[0,]2π上单调递减，则ω的最大值为 A ．1 B ．65 C ．43D ．32【答案】C【思路分析】首先化简函数()2cos()3f x x ωπ=+-22T π≥，根据函数在区间[0,]2π单调递减，所以求3x ωπ+的范围，且是[0,]π的子集，最后求ω的范围．【解析】()cos cos()]cos 2cos()23f x x x x x x ωωωωωππ=+-==+()f x Q 在区间[0,]2π上单调递减，22T π∴≥，即2ωππ≥，02ω∴<≤，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ωωπππ+∈π+，∴[,][0,]323ωπππ+⊂π，∴23ωππ+≤π，403ω∴<≤． 综上可知403ω<≤．故选C ．【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如sin()y A x b ωϕ=++，cos()y A x b ωϕ=++或tan()y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解． 12．（广东省广东实验中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知,(,)22αβππ∈-，tan ,tan αβ是方程212100x x ++=的两根，则tan 2αβ+＝A ．4B ．﹣2或12C ．12D ．﹣2【答案】D【思路分析】利用韦达定理求得tan tan αβ+和tan tan αβ⋅的值，还可得到tan 02αβ+<．利用两角和的正切公式可得tan()αβ+的值，再利用二倍角的正切公式求得tan 2αβ+的值．【解析】∵,(,)22αβππ∈-，,(,)22αβππ∴∈-， tan ,tan αβQ 是方程212100x x ++=的两根，tan tan 12, tan tan 10, tan 0, tan 0αβαβαβ∴+=-⋅=<<，,(,0),(,0),tan 02222αβαβαβπ+π+∴∈-∴∈-<，tan tan 4tan()1tan tan 3αβαβαβ++==-⋅Q ．再根据22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+-，可得22tan4231tan 2a a ββ+=+-，求得1tan 22αβ+=（舍去）或tan 22αβ+=-． 故选D ．13．（重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测）已知tan()2αβ+=，1tan 3β=，则锐角α=______________． 【答案】π4【思路分析】tan tan()ααββ=+-，利用和差公式展开可得到答案．【解析】由题可得12tan()tan 3tan tan()121tan()tan 13αββααββαββ-+-=+-===+++， 又α是锐角，所以4απ=．14．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知tan()34θπ+=，则cos(2)4θπ-=______________．【思路分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得cos(2)2sin 2)422θθθπ-=+=⋅2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-++转化为1tan 2θ=的齐次式求解即可．【解析】由题可得2222cos sin 2sin cos cos(2)2sin 2)422cos sin θθθθθθθθθπ-+-=+=⋅=+221tan 2tan 1tan θθθ-+=+． 【名师点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题．15．（上海市格致中学2019-2020学年高三上学期期中）已知4sin 5x =，(,)2x π∈π，则tan()4x π+的值等于______________． 【答案】17-【思路分析】由题意结合同角基本关系式可得4tan 3x =-，进而利用两角和正切公式可得结果． 【解析】∵4sin 5x =，(,)2x π∈π，∴4cos ,tan 533x x =-=-，∴41tan tan134tan()4471tan tan 143x x x π-++π+===-π-+． 【名师点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及同角基本关系式与两角和正切公式，考查计算能力，属于常考题型．16．（江苏省南京市2020届高三9月学情调研）若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tan α＋1，则tan2α的值为______________． 【答案】34【思路分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算tan 2α的值．【解析】由题意可知1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍去），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--． 【名师点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-． 17．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模）设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4θπ+=______________．【答案】2+【思路分析】利用辅助角公式化简，求出θ的值代入即可得到答案．【解析】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，Q 当x θ=时，函数()f x 取得最大值，232k θππ∴+=+π，k ∈Z ， 26k θπ∴=+π，k ∈Z ，∴1tan()tan(2)tan()246446k θ+πππππ+=+π+=+==+．18．（2019年11月四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试）已知当x θ=且tan 2θ=时，函数()sin (cos sin )=+f x x a x x 取得最大值，则a 的值为______________．【答案】43【思路分析】根据二倍角公式化简函数()f x ，运用整体思想，当()f x 的最大值时，确定ϕ的取值，运用诱导公式计算cos 2,sin 2x x ，进而得到tan 2x ，再利用二倍角的正切公式求a 的取值即可． 【解析】由题可得2()sin (cos sin )sin sin cos f x x a x x x a x x =+=+1cos 2sin 22x a x -+==sin ϕ=cos ϕ=， 当22,2k k θϕπ-=+π∈Z 时，函数()f x取得最大值，此时sin?cos 2ϕθ=-=，所以cos sin 2ϕθ==22tan 44tan 21tan 143a θθθ=-===---，所以43a =．【名师点睛】考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．19．（福建省泉州市晋江市南侨中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知(0,)α∈π且3cos()65απ-=，则sin α=______________．【思路分析】先由题意，确定6απ-的范围，求出6sin()απ-，再由两角和的正弦公式即可求出结果． 【解析】因为(0,)α∈π，所以5(,)666απππ-∈-，当(,0]66αππ-∈-时，3cos()cos()665αππ->-=>； 当5[,)626απππ-∈时，cos()06απ-<；因为3cos()65απ-=，所以062αππ<-<，所以4sin()65απ-==；因此431sin sin()sin cos cos sin ()()666665562ααααππππππ-=-+=⨯=-+=． 【名师点睛】本题主要考查给值求值的问题，熟记两角和的正弦公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型．20．（江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高三上学期期中）已知1sin()cos 63ααπ+-=，则cos(2)3απ-的值为______________．【答案】79【思路分析】利用两角和、差的正弦可得1sin()63απ-=，再利用二倍角的余弦公式可求cos(2)3απ-的值．【解析】因为1sin()cos 63ααπ+-=， 所以1sin cos cos sin cos 663αααππ+-=，即11sin cos cos 623ααπ-=，所以1sin cos cos sin 663ααππ-=，即1sin()63απ-=．又27cos(2)cos2()12sin ()3669αααπππ-=-=--=．【名师点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角． 21．（2019年湖南省衡阳市雁峰区第八中学高三模拟检测）锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，1BC =，则ABC △面积的取值范围为______________．【答案】12+【思路分析】由正弦定理可求出,AB AC ，代入三角形面积公式化简得1sin(2)234S C π=-+，根据(,)62C ππ∈可求出ABC △面积的取值范围．【解析】∵30A ∠=︒，1BC =，∴2sin sin AB ACC B==，∴2sin AB C =，∴12sin 2sin(150)2(cos )cos 22AC B C C C C C ==︒-=+=，∴ABC 1111sin 2sin (cos )sin(2)22223S AB AC A C C C C π=⋅⋅=⨯⨯+⨯=-+△， ∵(,)62C ππ∈，∴(220,)33C ππ-∈，∴sin(2)(0,1]3C π-∈，可得11sin(2)232C π-+，∴ABC △面积的取值范围为12． 22．（重庆市涪陵实验中学校2019-2020学年高三上学期第一次月考）已知α，β为锐角，3sin 5α=，sin()αβ-=． （1）求cos2α的值； （2）求sin()αβ+的值．【答案】（1）725；（2）125． 【思路分析】（1）由二倍角直接求解即可；（2）先由两角差的正弦求得cos ,sin ββ，再求解即可．【解析】（1）由题可得27cos 212sin 25αα=-=． （2）因为α，β为锐角，所以4cos 5α=，且22αβππ-<-<，所以cos()αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()25βααβααβααβ=--=-+-=所以sin 25β=sin()sin cos cos sin 125αβαβαβ+=+=．23．（天津市和平区第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知02απ<<，cos()4απ+= （1）求tan()4απ+的值；（2）求sin(2)3απ+的值． 【答案】（1）2；（2）310+． 【思路分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin()4απ+的值，可得tan()4απ+的值；（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式结合齐次式计算求得sin 2α、cos2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2)3απ+的值． 【解析】（1）∵02απ<<，cos()4απ+=∴sin()45απ+==， ∴sin()4tan()24cos()4αααπ+π+==π+． （2）∵tan 1tan()241tan αααπ++==-，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+，sin(2)sin 2cos cos 2sin 333αααπππ+=+=【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题．24．（2019年上海市南洋中学高三上学期10月学习能力诊断测）已知αβ、为锐角，1tan22α=，cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211-． 【思路分析】（1）利用正切函数的倍角公式求得4tan 3α=，再结合平方关系求得sin α，cos α的值，最后由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan 2α，再由cos()5αβ+=-求得tan()αβ+，利用tan()tan[2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解析】（1）2tan2tan 12242tan 131214ααα⨯===--Q ，αβ、为锐角，∴由22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==可得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227cos 2cos sin 25ααα∴=-=-． （2）由（1）得24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos 27ααα==-． αQ ，β为锐角，(0,)αβ∴+∈π，sin()αβ∴+==． ∴sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，求解过程中，注意根据角的范围决定三角函数值的符号的应用．25．（安徽省示范高中名校2019-2020学年高三上学期10月月考）设(1,2)A -，(2,1)B -，,cos )C θθ，(0,0)O ．（1）若5AB BC ⋅=-u u u v u u u v，求sin(2)6θπ+的值； （2）若mOA nOB OC +=u u u ru u u r u u u r，求5m n -的最大值． 【答案】（1）19；（2） 【思路分析】（1）根据5AB BC ⋅=-u u u v u u u v计算出sin()6θπ-的值，利用角的配凑将26θπ+改写成232θππ-+，再利用二倍角的余弦公式即可完成求值；（2）由mOA nOB OC +=u u u r u u u r u u u r求解出5m n -的三角函数表示，根据三角函数的有界性确定5m n -的最大值．【解析】（1）由题可得(3,3)AB =-u u u r ，2,cos 1)BC θθ=-+u u u r ，∵5AB BC ⋅=-u u u v u u u v，∴63cos 35θθ---=-，∴1cos )42θθ-=，即6sin()46θπ-=，即2sin()63θπ-=， ∴21sin(2)sin(2)cos(2)12sin ()632369θθθθπππππ+=-+=-=--=．（2）∵mOA nOB OC +=u u u r u u u r u u u r，∴(1,2)(2,1),cos )m n θθ-+-=，∴2m n θ-+=，2cos m n θ-=，∴53(2)(2)3cos )3m n m n m n θθθπ-=-+-+==+，∴5m n -的最大值为【名师点睛】本题考查三角函数与向量的综合应用，难度一般．利用角的配凑求解三角函数值时，注意常见的配凑形式：()ααββ=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等． 26．（广东省茂名市五校2019-2020学年高三上学期10月月考）已知向量(cos ,sin )x x =m ，=n(cos )x x ，函数1()2f x =⋅-m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若,62αππ∈（），3()5f α=，求cos2α的值．【答案】（1）π；（2．【思路分析】（1）首先利用向量数量积得到21()cos cos 2f x x x x =-，利用三角函数恒等变形得到sin(2())6x f x π+=，然后利用周期公式2||T ωπ=求周期；（2）由（1）可知3sin(2)65απ+=，求cos(2)6απ+的值，然后利用cos 2cos[(26)]6ααπ=-π+求解．【解析】（1）由题可得21()cos cos 2f x x x x =-1cos 211sin 22cos 2sin(2)222226x x x x x +π=+-=+=+， ∴函数()f x 的最小正周期22T π==π． （2）由（1）可知sin(2())6x f x π+=，∴3()sin(2)65f ααπ=+=， ∵,62αππ∈（），72(,)626απππ∴+∈，4cos(2)65απ+=-∴， ∴cos(2cos 2cos[()]26)cos sin(2)sin 66666ααααππππ=+++π-π=+4313525210-=-⨯+⨯=． 27．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）在ABC △中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=． （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）44． 【思路分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（2）由三角恒等变换结合倍角公式可得22C -sincos 22A A =1cos()262C π++，再结合203C π<<求解即可． 【解析】（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=， 即2sin cos sin()A B B C =+，即2sin cos sin A B A =， 又A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∴3B π=．（221sin cos (cos 1)sin 22222C A A C A -=+-12sin()23C C π=--1sin 4C C =-+1cos(62)C π+=∵203C π<<，∴5666C πππ<+<，∴cos()6C π<+<(1cos 2)6C π+<+<2sin cos 222C A A -的取值范围为(,44．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C 3D 5【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .ααα∴⋅=(0,),cos 02ααπ∈∴>Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．2．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 3．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725 B ．15 C ．−15D ．−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos 2cos(2)sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫-=-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以7sin 225α=-，故选D ．【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________． 【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0， 所以(1−sinα)2+(−cosα)2=1，∴sinα=12，cosβ=12，因此sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12． 5．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =______________．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角， 所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是______________．【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.7．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π1)3x =+．因此，函数的值域是[122-+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.8．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c = （2）因为sin cos 2A B a b=， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.9．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）14-；（2）. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得。
2020年高考理科数学之高频考点解密08 三角恒等变换(解析版)
2020年高考理科数学之高频考点解密08 三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1，则sin2α的值为A B C ．9D ．9【答案】A又sin 0α<cos 3α=，故选A ．调研2 若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3 B ．1 C ．1-D ．3-【答案】C【解析】由题可得5cos()cos()cos()cos()121212122ααααπππππ+-=++- cos()sin()1212ααππ=++11sin(2)264απ=+=-，即1sin(2)62απ+=-2cos 22sin(2)16αααπ+=+=-，故选C ．调研3 已知324αππ<<，若sin()4απ+=，则sin(2)4απ-=A ．10-B ．10-C ．10D ．10【答案】C【解析】因为sin()4απ+=，所以sin cos αα+=， 上式两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-， 因为324αππ<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-，所以sin(2)4απ-=2cos 2)210αα-=， 故选C ．调研4 已知3π4πθ≤≤，且=，则θ=A B CD 【答案】D【解析】∵3π4πθ≤≤，∴cos 02θ>，sin 02θ<，cos sin 2θ==-，∵3π4πθ≤≤，∴ 故选D ．【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出2α的范围，确定出cos02θ>，sin02θ<，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出．☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：（1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；（2）项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研5 若,αβ∈R 且πππ,π()22k k k αβ≠+≠+∈Z ，则“2π+=3αβ”是“1)αβ--4=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1)4αβ--=，即3tan tan 14αβαβ--+=，tan tan tan αβαβ--=tan tan 1tan tan αβαβ+=-tan()αβ+=所以2ππ3k αβ+=+，当0k =时，2π3αβ+=， 所以“2π3αβ+=”是“1)4αβ--=”的充分不必要条件．故选A ．【名师点睛】本题考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角，属于中档题．根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：tan()αβ+=，这便可求出2ππ3k αβ+=+，这样便会得到2π3αβ+=是1)4αβ--=充分不必要条件． 调研6 若2tan 1α=，tan 2β=-，则tan()αβ+=______________． 【答案】34-【解析】121322tan 1tan tan()1241(2)2αααβ-=∴=∴+==--⨯-Q ，，． 调研7 若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为______________．【答案】247± 【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦，即3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角． 当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==-；当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==--， 24tan 27y ∴=±．调研8 已知π(,π)2α∈，tan 2α=-． （1）求πtan()4α+的值． （2）求sin2cos2αα+的值． 【答案】（1）13-；（2）75-． 【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果；（2）根据角α的范围，由正切求出sin α=，cos α=，再利用二倍角公式即可得结果． 【解析】（1）∵tan 2α=-，所以πtan tanπtan 12114tan()π41tan 1(2)31tan tan 4ααααα++-++====-----． （2）由π(,π)2α∈，tan 2α=-，得sin α=，cos α=， 所以22437sin2cos22sin cos cossin 555αααααα+=+-=--=-．☆技巧点拨☆公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-．（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=． （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-．（4）辅助角公式：sin cos a x b x+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=．考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合 调研1 已知函数23()cos(2)sin(2)32f x x x ππ=-+-，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π【答案】A【解析】由题可得11()cos 22cos 22cos 2sin(2)22226f x x x x x x x π=-++=+=+， 所以()sin[2()]sin(22)66g x x x ϕϕππ=++=++， 因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，即,62k k ϕππ=+∈Z ， 又0ϕ>，所以ϕ的最小值是6π． 故选A ．调研2 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象，则函数()y f x =+π(),[,π]2g x x ∈的最小值为______________．【解析】由题意得π()sin(),3g x x =-∴y =()()f x g x +=πsin sin()3x x +-=ππsin sin coscos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π)6x -．π[,π]2x ∈Q ，∴ππ5π [,]636x -∈，∴当π5π66x -=时，min y =调研3 已知函数2π()2(cos 4)1f x x x =-++．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间π[0,]2上的最值．【答案】（1）5ππ[π,π]()1212k k k -+∈Z ；（2）最大值为2，最小值为 【思路分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为π2sin(2)3x +，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间；（2）当π[0,]2x ∈时，ππ4π2[,]333x +∈，由正弦函数的单调性可得πsin(2)[32x +∈-，从而可得结果．【解析】（1）函数2ππ()2cos ()1cos(2)42f x x x x x =-++=-+ πsin22sin(2)3x x x =+=+．令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -+∈Z ．（2）当π[0,]2x ∈时，ππ4π2[,]333x +∈，∴πsin(2)[3x +∈，∴()f x 在区间π[0,]2上的最大值为2，最小值为．且π12x =时()f x 取得最大值2，π2x =时()f x 取得最小值 【名师点睛】本题主要考查辅助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题． 函数sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的单调区间的求法：把x ωϕ+看作是一个整体，由π2π2k x ωϕ+≤+≤3π2π()2k k +∈Z 求得函数的减区间；由ππ2π2π22k x k ωϕ-+≤+≤+求得函数的增区间．调研4 已知函数22()5sin cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()2y f x =-在π7π[,]66上的零点． 【答案】（1）π5π[π,π]()1212k k k -++∈Z ；（2）π2π7π,,636．【思路分析】（1）利用三角函数关系式的恒等变换得π())23f x x =-+，进而利用正弦函数的单调性，求出函数的单调递增区间；（2）将求函数()2y f x =-在π7π[,]66上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π[,]66内与x 轴的交点，再根据正弦函数的性质求解．【解析】（1）22()5sin cos f x x x x =+-51(1cos2)(1cos2)22x x x =+--+3cos22x x =-+π)23x =-+．令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]()1212k k k -++∈Z ．（2）由π()2)03f x x -=-=，得πsin(2)03x -=．∴π2π()3x k k -=∈Z ，∴1ππ()26x k k =+∈Z ，∵π7π66x ≤≤，∴π2π7π,,636x =， 即函数()2y f x =-在π7π[,]66上的零点是π2π7π,,636． 【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦型三角函数y =A sin （ωx +∅）的图象和性质，解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin （ωx +∅）+B 的形式． 题组二 与向量相结合调研5 已知向量2,1),(sin ,cos )x x x =-=m n ，函数1()2f x =⋅+m n ．若0π[0,]4x ∈，0()f x =0cos2x 的值为______________．【答案】26-【解析】由题可得211π()cos cos cos2sin(2)2226f x x x x x x x =-+=-=-，所以0πsin(2)6x -=．又0π[0,]4x ∈，所以0πππ2663x -≤-≤，所以0πcos(2)6x -=，所以ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)666262x x x x =-+=-⨯--⨯122=-=调研6 已知(1cos ,1)x ω=+-a ，)x ω=b (0ω>)，函数()f x =⋅a b ，函数()f x 的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设π(0,)2θ∈，且6()5f θ=，求cos θ的值．【答案】（1）π()2sin()3f x x =--；（2）410+．【解析】（1）π()cos )sin 2sin()3f x x x x ωωω=⋅=+-=-a b ， 因为函数()f x 的最小正周期为2π， 所以2π2πω=，解得1ω=，所以π()2sin()3f x x =--．（2）由6()5f θ=，得π3sin()35θ-=-， 因为π(0,)2θ∈，所以πππ(,)336θ-∈-，所以π4cos()35θ-=，所以cos θ=ππcos()33θ-+=ππππcos()cos sin()sin 3333θθ---=413()5252⨯--⨯=410+．题组三 与解三角形相结合调研7 锐角ABC △的外接圆半径为1，AC BC AB =>，且满足cos cos A C =C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．5π12【答案】C【解析】∵ππsin (0,),.2223B B B r ==∈∴=Q∵1cos cos 4A C =，∴2π1cos()cos ,34C C -=21cos cos 2C C C ∴-+=即1πcos 22)46C C C -=-=， ∴ππ2=63C -或π2π2=63C -，即π=4C 或5π=12C ， ∵BC AB >，∴π3C <，即π=4C ．故选C ．调研8 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C A －3πcos()4B +的取值范围是______________．【答案】(1,)2【解析】因为c sin A ＝－a cos C ，所以sin C sin A =-sin A cos C ，所以tan C =-1，即C =3π4．A －cos 3π()4B +A +cos A =2sin(A +π6)，因为π04A <<，所以ππ5π6612A <+<，所以1πsin()26A <+<所以π12sin()62A <+<．A －3πcos()4B +的取值范围是． 【名师点睛】（1）本题主要考查正弦定理，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力．先利用正弦定理求出∠C ，再化简sin A －cos 3π()4B +得2sin(A +π6)，再利用三角函数的图象和性质求解．（2）对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图象一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值．调研9 在ABC △中，已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-．（1）求内角B 的大小；（2）若cos 3A =，求sin 2C 的值．【答案】（1）π3B =；（2）6． 【思路分析】（1）由正弦定理得222a c b ac +-=，再利用余弦定理化简得π3B =；（2）先求出sin2A ，cos2A ，再求sin2C ．【解析】（1）在ABC △中，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及22sin sin (sin sin )sin A B A C C -=-， 可得222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =．（2）因为在ABC △中，cos 3A =，所以sin A ==，所以sin22sin cos 3A A A ==，221cos2cos sin 3A A A =-=-，而π4π22(π)233C A A =--=-，所以4π4π4πsin2sin(2)sin cos2cos sin23336C A A A =-=-=．调研10 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos cos )a A c B b C =+．（1）求tan2A 的值；（2）若πsin(),23B c +==ABC △的面积．【答案】（1）（2）3．【思路分析】（1）由条件及正弦定理可得3sin cosA A A=，故cos3A=，所以sin3A=，tan2A=，由倍角公式可得tan2A=（2）由条件得cos3B=，故得1sin3B=，由正弦定理得2a=，从而可得△ABC的面积1sin23S ac B==．【解析】（1）由3cos cos cos)a A c Bb C=+及正弦定理得3sin cos cos sin cos))A A CB BC B C A=+=+=，∵sin0A≠，cos A∴=∵π(0,)2A∈，sin A∴=∴tan A=，22tantan21tanAAA∴==-（2）由πsin()2B+=得cos B=∵(0,π)B∈，1sin3B∴=，∴()sin sin sin cos cos sin3C A B A B A B=+=+=．由正弦定理得sin sina cA C=，∴sin2sinc AaC===，∴△ABC的面积111sin22233S ac B==⨯⨯=．【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法：（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，直接求三角形的面积．（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．（3）求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围．☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意．1．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）已知cos()2απ-=2cos()απ+，且1tan()3αβ+=，则tan β的值为A ．7-B ．7C ．1D ．1-【答案】B【思路分析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α=-，再由两角和的正切公式tan tan 1tan ta )n tan(αββαβα-++=，将tan 2α=-代入运算即可．【解析】因为cos()2cos()2ααπ-=π+，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-，又1tan()3αβ+=，所以tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan 7β=， 故选B ．2．（山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中）已知1sin 23α=，则2πcos ()4α-= A ．16B ．13 C ．12D ．23【答案】D【解析】由题可得2π1π1π1cos ()[cos 2()1]cos(2)424222ααα-==-+=-+ 1π1111112cos(2)sin 2=.222222323αα=-+=+=⨯+ 故选D ．【名师点睛】本题考查三角恒等变换求值，考查二倍角余弦公式、诱导公式．把待求转化为已知需要增倍、降次，自然可以联想到二倍角公式．3．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试）已知sin()2410απ-=，则sin α= A ．1225-B ．1225C ．2425-D ．2425【答案】D【思路分析】先由题意得到1sin cos225αα-=，再两边同时平方，根据同角三角函数基本关系，即可得出结果．【解析】因为sin()2410απ-=，所以222210αα-=， 所以1sincos225αα-=，所以2(sin cos 125)22αα-=，即151sin 2α-=，所以24sin 25α=， 故选D ．4．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）若tan()26απ+=，则2tan(2)3απ-= A．2- B．2 C ．43-D ．43【答案】C【思路分析】利用二倍角的正切公式求出tan(2)3απ+的值，然后利用正切函数的周期性可求出2tan(2)3απ-的值． 【解析】由二倍角正切公式可得222tan()2246tan(2)tan[2()]361231tan ()6ααααπ+ππ⨯+=+===-π--+，所以24tan(2)tan[(2)]tan(2)3333αααπππ-=+-π=+=-． 故选C ．【名师点睛】本题考查正切值的计算，考查二倍角正切公式以及正切函数的周期的应用，考查计算能力，属于中等题．5．（浙江省五校2019-2020学年高三上学期联考）在三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan 4A =，则tanB =AB ．C ．3D ．2【答案】D 【思路分析】先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到sin sin()A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成tan()A B -+，进而化简求值． 【解析】sin cos 0sin cos sin sin()2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，tan tan 2tan tan()tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=-． 故选D ．【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功．6．（河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期9月月考）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin cos()6c B b C π=-，则tan C =A ．2BC D ．3【答案】C【思路分析】先利用两角差的余弦公式，化求得1sin cos sin 2c B C b C =+，再利用正弦定理的边角互化，求得sin sin cos C B B C =，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解．【解析】由题意知sin cos()6c B b C π=-，可得1sin cos sin 22c B C b C =+，根据正弦定理可得1sin sin cos sin sin 22C B B C B C =+，即sin sin cos C B B C =， 又(0,)B ∈π，所以sin 0B >，可得sin C C =，所以sin tan cos CC C== 故选C ．【名师点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式的化简和三角函数的基本关系式，以及正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点(2,)(0)P a a a ≠，则tan(2)4θπ+= A ．7- B ．17- C ．17D ．7【答案】A【思路分析】由角θ的终边经过点(2,)(0)P a a a ≠可求得tan θ值，再根据和差角公式展开tan(2)4θπ+，可知需要再求解tan 2θ，用tan θ的二倍角公式求解即可． 【解析】因为角θ的终边经过点(2,)(0)P a a a ≠，所以1tan 22a a θ==， 所以22122tan 142tan 2=131tan 31()24θθθ⨯===--，所以41tan 2tan34tan(2)7441tan 2tan 143θθθπ++π+===-π-⨯-， 故选A ．【名师点睛】求解三角函数值时，重点观察角度的关系，判断需要选取的公式，如二倍角和差角等，进行公式的选择与运算．8．（安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断）若函数2()sin f x x ω=+cos (0)x x ωωω>的最小正周期为π，则当π[0,]3x ∈时，函数()f x 的取值范围是A ．3[0,]2B ．31[,]22- C ．13[,]22-D ．1[,1]2-【答案】A【思路分析】利用二倍角公式，两角和（差）的正弦公式将函数化简为π1()sin(2)62f x x ω=-+，根据函数的最小正周期为π求得ω，即可求出函数()f x 的解析式，根据正弦函数的性质求出函数在指定区间上的值域．【解析】由题可得21cos 2()sin cos 22222x f x x x x x x ωωωωωω-=+=+=-11cos 222x ω+π1sin(2)62x ω=-+．又()f x 的最小正周期为π，0>ω，所以2ππ2ω=， 所以1ω=，所以π1()sin(2)62f x x ω=-+．又π[0,]3x ∈，所以πππ2[,]662x -∈-， 所以1πsin(2)126x -≤-≤，所以π130sin(2)622x ≤-+≤． 故选A ．9．（陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2019年高三上学期10月月考）若函数()sin cos()6f x x x π=+-，则()f x 的递增区间为A ．2[2,2]()33k k k ππ-+π+π∈Z B ．2[2,2]33()k k k ππππ-+∈+Z C ．5[2,2]()66k k k ππ-+π+π∈ZD ．5[2,2]()66k k k ππ-+π+π∈Z【答案】B【思路分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为())6f x x π=+，然后解不等式22()262k x k k -+≤+≤+ππππ∈πZ 可得出函数()y f x =的单调递增区间．【解析】由题可得13()sin cos()sin cos sin sin 62222f x x x x x x x x π=+-=++=+=1cos )cos cos sin ))22666x x x x x πππ+=+=+， 解不等式22()262k x k k -+≤+≤+ππππ∈πZ ，得222()33k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2]33()k k k ππππ-+∈+Z ， 故选B ．【名师点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并结合正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题． 10．（湖南省衡阳市雁峰区第八中学2019年高三上学期10月月考）已知角3(,)2απ∈π，(0,)2βπ∈，且满足tan cos 1sin αββ=+，则β=（用α表示） A ．122α-π B ．522απ- C ．522α-πD ．322α-π 【答案】C【思路分析】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，整理得sin()cos αβα-=，结合题意与诱导公式 可得3(,)22αβππ-∈，(,)22αππ-∈-π-，sin()sin[2()]2αβαπ-=π+-，进而得出答案． 【解析】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 即sin()cos αβα-=，结合诱导公式得sin()sin()2αβαπ-=-． 因为3(,)2απ∈π，(0,)2βπ∈，所以3(,)22αβππ-∈，(,)22αππ-∈-π-． 由诱导公式可得sin()sin[2()]2αβαπ-=π+-，易知32()(,)22αππ+-∈ππ． 因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2αβαπ-=π+-，所以522βα=-π． 故选C ．11．（广东省茂名市五校2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数2()cos (4f x x ωπ=--)(0)2xωω>在区间[0,]2π上单调递减，则ω的最大值为A ．1B ．65 C ．43D ．32【答案】C【思路分析】首先化简函数()2cos()3f x x ωπ=+-22T π≥，根据函数在区间[0,]2π单调递减，所以求3x ωπ+的范围，且是[0,]π的子集，最后求ω的范围．【解析】()cos cos()]cos 2cos()23f x x x x x x ωωωωωππ=+-==+()f x Q 在区间[0,]2π上单调递减，22T π∴≥，即2ωππ≥，02ω∴<≤，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ωωπππ+∈π+，∴[,][0,]323ωπππ+⊂π，∴23ωππ+≤π，403ω∴<≤． 综上可知403ω<≤．故选C ．【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如sin()y A x b ωϕ=++，cos()y A x b ωϕ=++或tan()y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解． 12．（广东省广东实验中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知,(,)22αβππ∈-，tan ,tan αβ是方程212100x x ++=的两根，则tan 2αβ+＝A ．4B ．﹣2或12C ．12D ．﹣2【答案】D【思路分析】利用韦达定理求得tan tan αβ+和tan tan αβ⋅的值，还可得到tan 02αβ+<．利用两角和的正切公式可得tan()αβ+的值，再利用二倍角的正切公式求得tan 2αβ+的值．【解析】∵,(,)22αβππ∈-，,(,)22αβππ∴∈-， tan ,tan αβQ 是方程212100x x ++=的两根，tan tan 12, tan tan 10, tan 0, tan 0αβαβαβ∴+=-⋅=<<，,(,0),(,0),tan 02222αβαβαβπ+π+∴∈-∴∈-<，tan tan 4tan()1tan tan 3αβαβαβ++==-⋅Q ．再根据22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+-，可得22tan4231tan 2a a ββ+=+-，求得1tan 22αβ+=（舍去）或tan 22αβ+=-． 故选D ．13．（重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测）已知tan()2αβ+=，1tan 3β=，则锐角α=______________． 【答案】π4【思路分析】tan tan()ααββ=+-，利用和差公式展开可得到答案．【解析】由题可得12tan()tan 3tan tan()121tan()tan 13αββααββαββ-+-=+-===+++， 又α是锐角，所以4απ=．14．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知tan()34θπ+=，则cos(2)4θπ-=______________．【答案】10【思路分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得cos(2)2sin 2)422θθθπ-=+=⋅2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-++转化为1tan 2θ=的齐次式求解即可．【解析】由题可得2222cos sin 2sin cos cos(2)2sin 2)4cos sin θθθθθθθθθπ-+-=+==+221tan 2tan 21tan 10θθθ-+=+． 【名师点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题．15．（上海市格致中学2019-2020学年高三上学期期中）已知4sin 5x =，(,)2x π∈π，则tan()4x π+的值等于______________． 【答案】17-【思路分析】由题意结合同角基本关系式可得4tan 3x =-，进而利用两角和正切公式可得结果． 【解析】∵4sin 5x =，(,)2x π∈π，∴4cos ,tan 533x x =-=-，∴41tan tan134tan()4471tan tan 143x x x π-++π+===-π-+． 【名师点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及同角基本关系式与两角和正切公式，考查计算能力，属于常考题型．16．（江苏省南京市2020届高三9月学情调研）若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tan α＋1，则tan2α的值为______________． 【答案】34【思路分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算tan 2α的值．【解析】由题意可知1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍去），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--． 【名师点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-．17．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模）设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4θπ+=______________．【答案】2+【思路分析】利用辅助角公式化简，求出θ的值代入即可得到答案．【解析】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，Q 当x θ=时，函数()f x 取得最大值，232k θππ∴+=+π，k ∈Z ，26k θπ∴=+π，k ∈Z ，∴1tan()tan(2)tan()246446k θ+πππππ+=+π+=+==+．18．（2019年11月四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试）已知当x θ=且tan 2θ=时，函数()sin (cos sin )=+f x x a x x 取得最大值，则a 的值为______________．【答案】43【思路分析】根据二倍角公式化简函数()f x ，运用整体思想，当()f x 的最大值时，确定ϕ的取值，运用诱导公式计算cos 2,sin 2x x ，进而得到tan 2x ，再利用二倍角的正切公式求a 的取值即可． 【解析】由题可得2()sin (cos sin )sin sin cos f x x a x x x a x x =+=+1cos 2sin 22x a x -+==sin ϕ=cos ϕ= 当22,2k k θϕπ-=+π∈Z 时，函数()f x取得最大值，此时sin?cos 2ϕθ=-=，所以cos sin 2ϕθ==22tan 44tan 21tan 143a θθθ=-===---，所以43a =．【名师点睛】考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．19．（福建省泉州市晋江市南侨中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知(0,)α∈π且3cos()65απ-=，则sin α=______________．【思路分析】先由题意，确定6απ-的范围，求出6sin()απ-，再由两角和的正弦公式即可求出结果．【解析】因为(0,)α∈π，所以5(,)666απππ-∈-，当(,0]66αππ-∈-时，3cos()cos()665αππ->-=>； 当5[,)626απππ-∈时，cos()06απ-<；因为3cos()65απ-=，所以062αππ<-<，所以4sin()65απ-==；因此431sin sin()sin cos cos sin ()()6310666652562ααααππππππ-=-+=⨯+⨯=-+=． 【名师点睛】本题主要考查给值求值的问题，熟记两角和的正弦公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型．20．（江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高三上学期期中）已知1sin()cos 63ααπ+-=，则cos(2)3απ-的值为______________．【答案】79【思路分析】利用两角和、差的正弦可得1sin()63απ-=，再利用二倍角的余弦公式可求cos(2)3απ-的值．【解析】因为1sin()cos 63ααπ+-=， 所以1sin cos cos sin cos 663αααππ+-=，即11sin cos cos 623ααπ-=，所以1sin cos cos sin 663ααππ-=，即1sin()63απ-=．又27cos(2)cos2()12sin ()3669αααπππ-=-=--=．【名师点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角． 21．（2019年湖南省衡阳市雁峰区第八中学高三模拟检测）锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，1BC =，则ABC △面积的取值范围为______________．【答案】12【思路分析】由正弦定理可求出,AB AC ，代入三角形面积公式化简得1sin(2)234S C π=-+，根据(,)62C ππ∈可求出ABC △面积的取值范围．【解析】∵30A ∠=︒，1BC =，∴2sin sin AB ACC B==，∴2sin AB C =，∴12sin 2sin(150)2(cos )cos 2AC B C C C C C ==︒-==，∴ABC 1111sin 2sin (cos )sin(2)222234S AB AC A C C C C π=⋅⋅=⨯⨯+⨯=-+△， ∵(,)62C ππ∈，∴(220,)33C ππ-∈，∴sin(2)(0,1]3C π-∈，可得11sin(2)(,]234424C π-++，∴ABC △面积的取值范围为1,424+． 22．（重庆市涪陵实验中学校2019-2020学年高三上学期第一次月考）已知α，β为锐角，3sin 5α=，sin()αβ-=． （1）求cos2α的值； （2）求sin()αβ+的值．【答案】（1）725；（2 【思路分析】（1）由二倍角直接求解即可；（2）先由两角差的正弦求得cos ,sin ββ，再求解即可．【解析】（1）由题可得27cos 212sin 25αα=-=． （2）因为α，β为锐角，所以4cos 5α=，且22αβππ-<-<，所以cos()5αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()25βααβααβααβ=--=-+-=所以sin 25β=，所以sin()sin cos cos sin 125αβαβαβ+=+=． 23．（天津市和平区第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知02απ<<，cos()45απ+=．（1）求tan()4απ+的值； （2）求sin(2)3απ+的值．【答案】（1）2；（2）310+． 【思路分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin()4απ+的值，可得tan()4απ+的值；（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式结合齐次式计算求得sin 2α、cos2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2)3απ+的值． 【解析】（1）∵02απ<<，cos()45απ+=，∴sin()4απ+==， ∴sin()4tan()24cos()4αααπ+π+==π+． （2）∵tan 1tan()241tan αααπ++==-，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+，3sin(2)sin 2cos cos 2sin 33310αααπππ++=+=． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题．24．（2019年上海市南洋中学高三上学期10月学习能力诊断测）已知αβ、为锐角，1tan22α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211-． 【思路分析】（1）利用正切函数的倍角公式求得4tan 3α=，再结合平方关系求得sin α，cos α的值，最后由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan 2α，再由cos()5αβ+=-求得tan()αβ+，利用tan()tan[2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解析】（1）2tan2tan 12242tan 131214ααα⨯===--Q ，αβ、为锐角， ∴由22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==可得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227cos 2cos sin 25ααα∴=-=-． （2）由（1）得24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos 27ααα==-． αQ ，β为锐角，(0,)αβ∴+∈π，sin()5αβ∴+==． ∴sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，求解过程中，注意根据角的范围决定三角函数值的符号的应用．25．（安徽省示范高中名校2019-2020学年高三上学期10月月考）设(1,2)A -，(2,1)B -，,cos )C θθ，(0,0)O ．（1）若5AB BC ⋅=-u u u v u u u v，求sin(2)6θπ+的值； （2）若mOA nOB OC +=u u u ru u u r u u u r，求5m n -的最大值．【答案】（1）19；（2） 【思路分析】（1）根据5AB BC ⋅=-u u u v u u u v计算出sin()6θπ-的值，利用角的配凑将26θπ+改写成232θππ-+，再利用二倍角的余弦公式即可完成求值；（2）由mOA nOB OC +=u u u r u u u r u u u r求解出5m n -的三角函数表示，根据三角函数的有界性确定5m n -的最大值．【解析】（1）由题可得(3,3)AB =-u u u r ，2,cos 1)BC θθ=-+u u u r，∵5AB BC ⋅=-u u u v u u u v，∴63cos 35θθ---=-，∴16(cos )422θθ-=，即6sin()46θπ-=，即2sin()63θπ-=，∴21sin(2)sin(2)cos(2)12sin ()632369θθθθπππππ+=-+=-=--=．（2）∵mOA nOB OC +=u u u r u u u r u u u r，∴(1,2)(2,1),cos )m n θθ-+-=，∴2m n θ-+=，2cos m n θ-=，∴53(2)(2)3cos )3m n m n m n θθθπ-=-+-+==+，∴5m n -的最大值为【名师点睛】本题考查三角函数与向量的综合应用，难度一般．利用角的配凑求解三角函数值时，注意常见的配凑形式：()ααββ=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等． 26．（广东省茂名市五校2019-2020学年高三上学期10月月考）已知向量(cos ,sin )x x =m ，=n(cos )x x ，函数1()2f x =⋅-m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若,62αππ∈（），3()5f α=，求cos2α的值．【答案】（1）π；（2．【思路分析】（1）首先利用向量数量积得到21()cos cos 2f x x x x =-，利用三角函数恒等变形得到sin(2())6x f x π+=，然后利用周期公式2||T ωπ=求周期；（2）由（1）可知3sin(2)65απ+=，求cos(2)6απ+的值，然后利用cos 2cos[(26)]6ααπ=-π+求解．【解析】（1）由题可得21()cos cos 2f x x x x =-1cos 21122cos 2sin(2)2226x x x x x +π=+-=+=+， ∴函数()f x 的最小正周期22T π==π． （2）由（1）可知sin(2())6x f x π+=，∴3()sin(2)65f ααπ=+=， ∵,62αππ∈（），72(,)626απππ∴+∈，4cos(2)65απ+=-∴， ∴cos(2cos 2cos[()]26)cos sin(2)sin 66666ααααππππ=+++π-π=+431552=-⨯=． 27．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）在ABC △中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=． （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）44． 【思路分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（2）由三角恒等变换结合倍角公式可得22C -sincos 22A A =1cos()26C π++，再结合203C π<<求解即可．【解析】（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=， 即2sin cos sin()A B B C =+，即2sin cos sin A B A =， 又A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∴3B π=．（221sin cos 1)sin 2222C A A C A -=+-12sin()23C C π=--1sin 4C C =-+1cos(62)C π+=， ∵203C π<<，∴5666C πππ<+<，∴cos()6C π<+<(1cos 2)6C π+<+<2sin cos 222C A A -的取值范围为(44．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C 3D 5【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .ααα∴⋅=(0,),cos 02ααπ∈∴>Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin α∴=，故选B ． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．2．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 3．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725 B ．15 C ．−15D ．−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos 2cos(2)sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫-=-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以7sin 225α=-，故选D ．【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________． 【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，所以(1−sinα)2+(−cosα)2=1，∴sinα=12，cosβ=12，因此sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12．5．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =______________． 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角， 所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是______________．【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.7．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π1)3x =+．因此，函数的值域是[1+．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.8．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c = （2）因为sin cos 2A B a b=， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.9．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
2020年高考数学(理)必刷题《15 三角恒等变换》(解析版)
专题四 三角函数15三角恒等变换1．若2cos()123απ+=，则sin(2)3απ-= A ．79- B ．59- C ．59D ．79【答案】B【解析】由题可得2225sin(2)cos(2)2cos ()12()1361239αααπππ-=+=+-=⨯-=-， 故选B ．2．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35- C ．35D ．45【答案】B【解析】由题可得222π2sin cos 2tan 63cos(2)sin22sin cos 1tan 195αααααααα+=-=-=-=-=-+++． 故选B ． 3．若π1cos()42θ-=，则sin2θ= A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】A 【解析】因为π1cos()42θ-=，所以22πππ11sin2cos(2)cos[2()]2cos 12()124422()θθθθ=-=-=--=⨯-=-． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．由三角函数的诱导公式，化简得2πππsin2cos(2)cos[2()]2cos 124()4θθθθ=-=-=--，即可求解． 4．已知点(3,4)--在角α的终边上，则cos2sin 2αα+=A ．3125- B ．1725 C ．1725-D ．3125【答案】B【解析】因为点(3,4)--在角α的终边上，所以4sin 5α=-，3cos 5α=-， 所以cos2sin 2αα+=22343172cos 12sin cos 2()12()()55525ααα-+=⨯--+⨯-⨯-=． 故选B ． 5．已知4sin 5α=-，且α是第四象限角，则πsin()4α-的值为 A ．5210B ．325 C ．7210D ．425【答案】C【解析】由同角三角函数基本关系式可得2243cos 1sin 1()55αα=-=--=， 结合两角差的正弦公式可得πππ23472sin()sin cos cos sin ()44425510ααα-=-=⨯+=． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，两角差的正弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先求得cos α的值，然后结合两角和差正余弦公式求解πsin()4α-的值即可．6．已知52cos()48απ+=-，则sin2α= A ．58- B ．916- C ．916D ．58【答案】B 【解析】因为52cos()48απ+=-，所以22529cos(2)2cos ()12()124816ααππ+=+-=⨯--=，所以9sin 216α=-．故选B ． 7．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=A ．79B ．79-C ．73D ．73-【答案】B【解析】∵ππππ1sin()cos[()]cos()62633ααα-=--=+=， ∴22ππ17cos(2)2cos ()1213399αα+=+-=⨯-=-． 故选B ．8．函数23()sin cos(2)22f x x x π=+-的最小正周期是 A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】C【解析】易得231cos 23()sin cos(2)sin 22222x f x x x x π-=+-=+ 311sin 2cos 2222x x =-+=1sin(2)62x π-+，其最小正周期22T π==π． 故选C ．9．若sin 2cos αα=，且(,)2απ∈π，则tan 2α的值是 A ．3B ．3-C ．33D ．33-【答案】B【解析】由sin 2cos αα=可得sin 22sin cos cos αααα==， 因为(,)2απ∈π，所以cos 0α≠，所以1sin 2α=，所以56απ=， 所以5tan 2tan tan()tan 3333απππ==-=-=-． 故选B ．10．函数23()sin cos(2)([0,])223f x x x x ππ=+-∈的值域是 A ．[1,1]- B ．1[,1]2-C ．3[0,]2D ．13[,]22【答案】C【解析】由题可得231cos 2331()sin cos(2)sin 2sin 2cos 2222222x f x x x x x x π-=+-=+=-+11sin(2)262x π=-+，当[0,]3x π∈时，2[,]662x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]62x π-∈-， 所以13sin(2)[0,]622x π-+∈．故选C ． 11．函数2()2coscos()122x f x x π=--+的最小值为 A ．22- B ．12- C ．22+D ．12+【答案】A【解析】由题可得()cos sin 22cos()24f x x x x π=-+=++，所以函数()f x 的最小值为22-，故选A ． 12．若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3 B ．1 C ．1-D ．3-【答案】C【解析】由题可得5cos()cos()cos()cos()cos()sin()1212121221212ααααααπππππππ+-=++-=++11sin(2)264απ=+=-，即1sin(2)62απ+=-，所以3sin 2cos 22sin(2)16αααπ+=+=-， 故选C ．13．函数1()2cos()12f x x =π+-的最小正周期为______________．【答案】2【解析】由题可得函数()f x 的最小正周期为22π=π． 14．已知cos(300)2cos αα+︒=，则tan α=______________．【答案】3【解析】由cos(300)2cos αα+︒=可得cos(60)2cos αα-︒=，所以13cos sin 22αα+=2cos α，即33sin cos 22αα=，所以tan 3α=． 15．若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+=______________． 【答案】725-【解析】由题可得2247sin(2)cos(2)cos(2)12sin ()12()6336525x x x x ππππ+=-+=-=--=-⨯=-． 16．22tan7.5tan153(sin 7.5cos 7.5)tan15tan7.5︒⋅︒+︒-︒=︒-︒______________．【答案】2- 【解析】原式tan7.5tan153cos15tan15tan7.5︒︒=-︒︒-︒sin7.5sin153cos15sin153cos15sin7.5︒︒=-︒=︒-︒︒2sin(6015)2sin 452=-︒-︒=-︒=-．【名师点睛】利用弦切互化法和两角差的正弦公式把tan7.5tan15tan15tan7.5︒︒︒-︒化为sin15︒，再利用二倍角公式把22sin 7.5cos 7.5︒-︒化为cos15-︒，最后利用辅助角求值． 利用三角变换公式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把1看成22sin cos αα+．（3）升幂降幂法：即利用二倍角公式2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂，利用221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==降幂． （4）辅助角公式：即利用22cos sin sin()a x b x a b x φ+=++来整合三角函数式． 17．已知πtan()24α+=-，则1sin2cos2αα-=______________． 【答案】12-【解析】因为2221sin2(sin cos )cos sin 1tan cos2cos sin cos sin 1tan αααααααααααα----===-++， 又因为πtan 1tan()241tan ααα++==--，所以1sin21cos22αα-=-． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．18．22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于 A ．2sin α+B ．2C ．π22sin()4α+-D ．(π22in )s 4α++【答案】B【解析】2222ππ(sincos )2sin ()sin +2sin cos cos 1cos[2()]2242222242αααααααα++-=⋅++-- π1sin 1cos()1sin 1sin 22αααα=++--=++-=．故选B ．【名师点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式化简计算，属基础题．利用二倍角公式和诱导公式化简计算即可．19．函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为A ．3B ．2C ．23D ．4【答案】C【解析】由题意可知31π()3sin 3cos 23(sin cos )23sin()226f x x x x x x =+=+=+， π1sin()16x -≤+≤，π2323sin()236x ∴-≤+≤，故函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为23． 故选C ．【名师点睛】利用该公式22()sin cos sin()f x a x b x a b x ωωωϕ=+=++可以求出： ①函数()f x 的最小正周期2π||ω；②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）； ③值域：2222[,]a b a b -++； ④对称轴及对称中心（由ππ,2x k k ωϕ+=+∈Z 可得对称轴方程，由π,x k k ωϕ+=∈Z 可得对称中心横坐标）．20．已知函数2lg(54)y x x =++的零点为1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53B ．53-C ．52D ．52-【答案】C【解析】由2lg(54)0y x x =++=可得2541x x ++=，2530x x ++=， 所以12125,3x x x x +=-=，所以121255tan()1132x x x x αβ+-+===--．故选C ．【名师点睛】本题考查两角和正切公式以及根与系数的关系，考查基本求解能力．先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果．21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角π4α+的终边经过点(1,2)-，则sin cos αα+=A ．63B ．63-C ．233D ．233-【答案】C【解析】因为πsin cos 2sin()4ααα+=+，角π4α+的终边经过点(1,2)-， 所以πsin()4α+=22263(1)(2)=-+，所以62sin cos 3323αα+=⨯=． 故选C ．22．已知向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，若∥a b ，则πtan()4α-=A ．3-B ．3C ．13D ．13-【答案】A【解析】因为向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，∥a b ，所以cos 2sin 0αα+=，所以1tan 2α=-，所以πtan tanπ4tan()3π41tan tan 4ααα--==-+⋅． 故选A ．【名师点睛】（1）由∥a b 可得两向量坐标之间的关系cos 2sin 0αα+=，化简可得1tan 2α=-，进而根据两角差的正切公式可求得πtan()4α-的值．（2）平面向量平行应注意两个结论：①数量关系（共线向量定理）：若∥a b （≠0b ），则λ=a b ；②若∥a b ，1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12210x y x y -=．23．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(4,3)P -，则2πcos(2)3α+= A ．725- B ．725 C ．825D ．825-【答案】A【解析】将角α的终边按顺时针方向旋转π6后所得的角为π6α-， 则由三角函数的定义可得22π33sin()65(4)3α-==-+，所以22πππcos(2)cos(2)[12sin ()][12336ααα+=--=---=--⨯237()]525-=-． 故选A ．24．平面直角坐标系xOy 中，角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34(,)55A ，将其终边绕O 点逆时针旋转3π4后与单位圆交于点B ，则B 的横坐标为 A ．210-B ．7210-C ．324-D ．425-【答案】B【解析】设A 点处对应的角度为α，B 点处对应的角度为β， 由题意可得3cos 5α=，4sin 5α=，且3πcos cos()4B x βα==+， 由两角和的余弦公式可得3π3π3π72cos()cos cos sin sin 44410ααα+=-=-， 即B 的横坐标为7210-．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义及其应用，两角和差正余弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意结合三角函数的定义和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果．25．若,αβ均为锐角，25sin5α=，3sin()5αβ+=，则cosβ=A．255B．2525C．255或2525D．2525-【答案】B【解析】∵α为锐角，252sin52α=＞，∴α＞45°且5cos5α=，∵3sin()5αβ+=，且132252＜＜，ππ2αβ∴+＜＜，∴4cos()5αβ+=-，则cosβ=cos[（α+β）−α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4532525555525=-⨯+⨯=．故选B．【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．利用角的等量代换，β=α+β−α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．26．已知324αππ<<，若5sin()45απ+=，则sin(2)4απ-=A．7210-B．210-C．210D．7210【答案】C【解析】因为5sin()45απ+=，所以10sin cos5αα+=，两边同时平方可得212sin cos5αα+=，所以3sin25α=-，因为324αππ<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-， 所以sin(2)4απ-=22(sin 2cos 2)210αα-=， 故选C ．27．已知(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，若cos2tan 1sin2βαβ=-，则A ．2αβπ+=B ．4αβπ+=C ．4αβπ-=D ．22αβπ+=【答案】C【解析】因为222222cos2cos sin 1tan 1tan tan()1sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1tan 4ββββββββββββββ--+π====+-+-+--，所以tan tan()4αβπ=+，又(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，所以4αβπ=+，即4αβπ-=， 故选C ．28．若ABC △的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则tan B 的最大值为 A ．33B ．32 C ．22D ．24【答案】A【解析】在ABC △中，因为sin 0,sin 0A B >>，所以sin 2cos()2cos 0sin BA B C A=+=->，即c o s 0C <， 所以角C 为钝角，且sin 2sin cos B A C =-，又由sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， 所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=-，即cos sin 3sin cos A C A C =-，所以tan 3tan C A =-，所以2tan tan 2tan tan tan()1tan tan 13tan A C AB AC A C A+=-+=-==-+213tan tan A A+23323≤=， 当且仅当13tan tan A A =，即3tan 3A =时等号成立，即tan B 的最大值为33． 故选A ．【名师点睛】本题主要靠考查了同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正弦、正切函数的公式，以及基本不等式的运用，其中熟练掌握基本关系式和三角恒等变换的公式，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．由条件求得cos 0C <，确定C 为钝角，利用诱导公式及三角函数的内角和定理、三角函数恒等变换的公式，化简求得tan 3tan C A =-，代入利用基本不等式即可求解．29．若1sin2,2θ=则2πcos ()4θ+=______________． 【答案】14 【解析】1sin 22θ=，2π1π1sin 21cos ()[1cos(2)]42224θθθ-+=++==． 【名师点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．根据二倍角公式和诱导公式化简即可． 30．若3sin25α=，(,)42αππ∈，则2sin(2)2cos cos 44ααππ++=______________． 【答案】0【解析】因为(,)42αππ∈，所以2(,)2απ∈π，所以24cos21sin 25αα=--=-， 所以sin(2)4απ++221cos 22cos cos (sin2cos 2)2422ααααπ+=++⋅ 222342sin22cos 22()0222552αα=++=⨯+⨯-+=． 31．函数2()sin(2)sin 23f x x x π=++，(0,)2x π∈的值域为______________． 【答案】3(,1]2-【解析】由题可得函数213()sin(2)sin 2sin 2cos 2sin 2322f x x x x x x π=++=-++ 31cos 2sin 2sin(2)223x x x π=+=+， 因为(0,)2x π∈，所以42333x πππ<+<， 所以3sin(2)123x π-<+≤，故函数()f x 的值域为3(,1]2-． 32．已知228x y +=，则x y +的最大值为______________．【答案】4【解析】因为228x y +=，所以设x =22sin ,22cos y αα=，所以x +y =π22(sin cos )4sin()4ααα+=+，所以x +y 的最大值为4． 故答案为4．【名师点睛】（1）本题主要考查三角换元和三角恒等变换，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）本题的解题关键是三角换元，设x =22sin ,22cos y αα=，即得x +y =22(sin cos )αα+，再利用辅助角公式化简即得最大值，大大提高了解题效率．33．当函数cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，x =______________．【答案】140︒【解析】cos(10)cos(70)cos(10)cos(1060)y x x x x =+︒++︒=+︒++︒+︒13cos(10)cos(10)sin(10)22x x x =+︒++︒-+︒33cos(10)sin(10)22x x =+︒-+︒ 3cos(1030)x =+︒+︒3cos(40)x =+︒，∴cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，140x =︒．【名师点睛】本题考查了三角函数的化简，观察两角的关系，熟练掌握三角公式是解题关键．将x +70°拆成（x +10°）+60°使用两角和的正弦公式展开合并化简即可．34．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．55C ．33D ．255【答案】B 【解析】2sin 2cos 21αα=+，24sin cos 2cos .(0,),cos 02αααααπ∴⋅=∈∴>，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 36．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】方法1：由tan α=，cos 2α+sin 2α=1，得或， 则sin 2α=2sin αcos α= ，则cos 2α+2sin 2α= +．方法2：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 64cos sin 1tan 25ααααααα++==++．故选A ． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 37．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D【解析】由题可得2237cos[2()]2cos ()12()144525ααππ-=--=⨯-=-， 又cos[2()]cos(2)sin 242αααππ-=-=，所以7sin 225α=-，故选D ． 38．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是______________．【答案】π2【解析】函数2()sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2． 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式，属于基础题．将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可． 39．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α=______________．【答案】75【解析】由题可得11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．40．【2016年高考浙江卷】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______________，b =______________． 【答案】21【解析】22cos sin 22sin(2)14x x x π+=++，所以2, 1.A b ==【名师点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照sin()Αx ωϕ+可得Α和b 的值．41．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则s i n()αβ+=______________．【答案】【解析】因为 ， ， 所以 ，，，所以． 42．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】函数23()sin 3cos 4f x x x =+-(π[0,]2x ∈)的最大值是______________． 【答案】1【解析】由题可得222313()1cos 3cos cos 3cos (cos )1442f x x x x x x =-+-=-++=--+， 因为π[0,]2x ∈，所以cos [0,1]x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1． 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．43．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________． 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以2227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z ． 44．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan()4αα=-+，则πsin(2)4α+的值是______________． 【答案】210【解析】由tan tan tan (1tan )2πtan 1tan 13tan()41tan αααααααα-===-+++-，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=或1tan 3α=-．πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444ααα+=+2222222sin cos cos sin (sin 2cos 2)()22sin cos αααααααα+-=+=+ 2222tan 1tan ()2tan 1ααα+-=+， 当tan 2α=时，上式22222122()22110⨯+-=⨯=+； 当1tan 3α=-时，上式22112()1()2233[]1210()13⨯-+--=⨯=-+. 综上，π2sin(2)410α+=．【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题．由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可．。