抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质(位置)
7
(2) PM + PF 的最小值为____2____，此时P点
坐标标为 ___（__2，_2）___ .
整理ppt
8
练习：斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入抛物线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),
则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的几何性质
整理ppt
1
一、温故知新
一、抛物线的定义
l
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N
定点F叫做抛物线的焦点.
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即: 若︳︳MMNF ︳︳ 1,则点M的轨迹是抛物线。
注意整：理pp定t 点不在定直线上2 。
一.抛物线的简单性质
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
整理ppt
13
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 二：抛物线的几何性质 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．1.直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系的判定： 联立直线:l y k xm =+和抛物线22(0)y p x p =>消y 整理得：2222()0k x k m p x m +-+= 当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点 0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点 0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点 当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切（2）若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB =，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题1. BM 1⊥AM 1（以抛物线的焦点弦为直径的圆，切于准线）2. B 1F ⊥A 1F(以A1B1为直径的圆，切于焦点弦)3.令过F直线斜率为k，F（p／2,0）A(X1，Y1) B(X2，Y2) 令∠BFX=θ则直线AB:y=k(x-p／2) ①y2=2px ②联立①②：k2x2-(pk2+2p)+k2p2／4=0由上式：⑴x1x2=p2／4 y1y2=-p2⑵1／AF+1／BF=2／P⑶AB=AF+BF=2P／(sinθ)2⑷S△AOB=p2／（2sinθ）。
抛物线的简单几何性质
F
x 2 py ( p 0)
2
y
O F
l
x l
y0 y0
x
2、抛物线的焦半径公式：
| PF | d
点P ( x0 , y0 )在对应抛物线上 , p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2
2
3、若A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )是y 2 px( p 0)的
y A
E
O D
M
F
B
x
对这个结论的再发现: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
|y1|· |y2|=p2
几何解释,就是
M
2
MK NK KF
K
N
3、若点A、B在此抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1 , 则A1 FB1
y A
E
O D
M F
B x
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物 线的几何性质，可作为一个研究性学 习课题，其中焦点弦性质中的有些结 论会对解题有一定的帮助. 2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x 轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴 上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
小结： 抛物线的焦点 弦有及其丰富的内涵， 有如下的一些结论： 2p (1) AB x1 x2 p sin 2 (为直线AB的倾斜角 ). 2 p 2 (2) y1 y2 p ; x1 x2 . 4
2
p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 . 2
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
抛物线的简单几何性质
顶点
焦半径
焦
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
当 α＝90°时，∣AB∣叫做抛物线的通径，
是所有焦点弦中最短的，长度为 2p。 (5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2.
知识点三 直线与抛物线的位置关系 思考 直线与抛物线的位置关系有哪些？ 答案 相交 ﹑相切﹑相离
思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交.
示，由抛物线的定义可知，e=1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
2.3.2 抛物线的简单几何性质
知识点一
类比探索
抛物线的几何性质
y
F
.
o
x
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 只有一个顶点
抛物线的简单几何性质
课堂达标训练
【方法总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的 位置或开口方向. (2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未 能确定则要分情况讨论.
课堂达标训练
(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程, 确定p的值. (4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛 物线方程.
课堂达标训练
【跟踪训练】
(2019·葫芦岛高二检测)已知点A(0,2),抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,
与其准线相交于点N,若 FM 5 ,则p的值等于( )
MN 5
8
4
课堂达标训练
【解析】选C.设F
p 2
,
0
,|MK|是点M到准线的距离,
p 2
,0
,直线AB的
方程为y=2
x
p 2
,联立
y
2
x
p 2
y2 2px
,
得4x2-6px+p2=0,所以x1+x2= 3p ,x1·x2= p2 ,
2
4
课堂达标训练
则|x1-x2|=
x1 x2 2 4x1 x2 =
5 2
p,
所以|y1-y2|= 5 p,
所以S梯形ABCD=
1 (AD+BC)·CD=
2, 3
x
可得A点坐标为
2
(-2,4 3 ),因为PA⊥l,A为垂足,所以P点纵坐标为4 3 ,
代入抛物线方程,得P点坐标为(6,4 3 ),所以
|PF|=|PA|=6-(-2)=8.
课堂达标训练
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的简单几何性质
y
1 y2
k
(x 4x
2)
Y
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0 (1)当k 0时，由方程得 y 1.
P·
把y 1代入y2 4x,得x 1 .
O
X
4
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点(2,2 2),求它的标准方程。
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
课堂小结
（1）抛物线的简单几何性质 （2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 （3）应用性质求标准方程的方法和步骤
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p
第12讲：抛物线的简单几何性质
第12讲：抛物线的简单几何性质基本知识点1 抛物线的简单几何性质以抛物线22(0)y px p=>①为例探究其性质．(1)范围：因为p>0, 由方程①可知，对于抛物线①上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴右侧，开口方向与x轴正向相同；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：以－y代换y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由定义可知，e=1．对于抛物线其他三种标准形式也可得到上述类似性质，现将这四种抛物线标准方程的几何性质总结如下表：例 1.已知A ，B 是抛物线22(0)x px p =>上两点，O 为原点．若||||OA OB =,①AOB的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x p =B ．3x p =C ．32x p =D ．52x p =2． 焦半径公式与焦点弦问题 （1）．焦半径公式设抛物线上一点P 的坐标为(x 0，y 0)，焦点为F ．① 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =>=+=+. ② 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =->=-=-+.③ 抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =>=+=+.④抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =->=-=-+例2. 已知点A ，B 为抛物线214y x =上的动点，且||(AB a a =为常数，且a ≥4)，求AB 的中点P 到x 轴的最小距离．(2)．焦点弦问题如图，AB 是抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点111,,,A M B根据抛物线的定义，有11||||,||||,AF AA BF BB == 故11||||||||||AB AF BF AA BB =+=+. 又因为MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以111||||||2||AB AA BB MM =+=，从而有下列结论： (1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (2)0||2()2pAB x =+(焦点弦长与中点关系)．以上结论是抛物线特有的性质，要注意灵活运用．你能发现其他性质吗？例3. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果221224y y +=，那么||AB = .3． 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点)；下面对抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系进行讨论： (1)直线的斜率k 不存在．设直线方程为x a =.若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若0a <，直线与抛物线没有交点． (2)直线的斜率k 存在．设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p => ，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩的解的个数. 也等于方程2222()0k x kb p x b +-+=(或2220ky py bp -+=)的解的个数．① 若k≠0，则当∆>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当∆=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当∆＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．② 若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．例4 过抛物线24y x =的焦点F ，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，求FM ． 综合应用应用点一 由抛物线的几何性质求标准方程例5. (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的方程．(2)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．应用点二 直线与抛物线的位置关系的判断例6. 设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切?相交?相离?应用点三 弦长问题例7.（1） 设直线y =2x +b 与抛物线24y x =交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为b 的值．（2）. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A (11,x y )，B (22,x y )两点，请判断： ①12,x x 是否为定值?②11FA FB+是否为定值?应用点四 弦中点问题例8．已知抛物线22y x =，过点(2,1)Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，（1）弦AB 恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． (2)试求弦AB 的中点的轨迹方程． 应用点五 抛物线有关的最值 例9. 已知抛物线22.y x =(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离||PA ；(2)设点A 的坐标为(a ，0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出()d f a =的函数表达式．课后练习1．若抛物线24(0)y px p =->的焦点为F ，准线为l ，则P 表示 ( )A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离2．过点(2，4)作直线与抛物线28y x=只有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知直线(y kx k k=-为实数)及抛物线22(0)y px p=>，则A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点4．过抛物线24y x=的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30︒的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则①OAB的面积为( )A B C. 6332D. 946．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(,2)M m-到焦点的距离为4，则m=( )A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－27．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 ．8．抛物线的顶点在原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为 ． 9．抛物线22(0)xpy p => 的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点．若①ABF 为等边三角形，则P = ．10．已知点A (－2，3)在抛物线C 2:2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ．11．如图，已知抛物线211:4C y x =，圆222:(1)1C x y +-=，过点(,0)(0)P t t >作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求①P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．12．如图，已知λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．。
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
抛物线的简单几何性质
抛物线与其他图形位置关系探讨
与坐标轴交点
与其他二次曲线关系
抛物线可以与坐标轴交于一点、两点 或不相交，这取决于抛物线的方程和 系数。
抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线可 以有不同的位置关系，如相切、相交 或相离。
与直线交点
抛物线与直线的交点个数可以是0个 、1个或2个，具体情况需要联立方程 求解。
位置关系在解题中应用举例
准线
抛物线的准线是一条与对称轴平行的直线，且到焦点的距离等于焦距。对于标准 方程 $y^2 = 4px$，准线的方程为 $x = -p$。
开口方向与对称轴
开口方向
抛物线的开口方向由标准方程中的 $x$ 或 $y$ 的系数决定。对于标准方程 $y^2 = 4px$，抛物线开口向右；对于 $x^2 = 4py$，抛物线开口向上；以 此类推。
对于开口向上的抛物 线 y = ax^2 (a > 0) ，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
对于一般形式的抛物 线，焦点坐标可以通 过配方和平移等方法 求得。
对于开口向下的抛物 线 y = -ax^2 (a > 0)，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
顶点和焦点关系探讨
抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是抛物线的对称中心。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，可以 通过完成平方等方法，将其转化为标准形式，进而求得准线 方程。
对称轴方程求法
对于标准形式的抛物线 y^2 = 2px (p > 0)，其对称轴方程为 x = 0，即 y轴。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，其对称轴方程为 x = -B/2A。
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的简单几何性质(位置)
抛物线与双曲线的位置关系
将抛物线和双曲线的方程联立，求解得到交点。根据交点 的个数和性质，可以判断抛物线与双曲线的位置关系。
03 抛物线对称性质
对称轴与对称中心
对称轴
对于一般的抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其对称轴为直线 x = b/2a。特别地，当抛物线方程为 y = ax^2 时，对称轴为 y 轴。
已知焦点和准线求方程
01
根据抛物线的定义，已知焦点和准线可以唯一确定一条抛物线，
进而求出其方程。
已知焦点和曲线上一点求方程
02
通过设点法或待定系数法，可以求出抛物线的方程。
应用场景
03
在解决与抛物线相关的问题时，经常需要利用焦点来求解抛物
线的方程。
焦点在解决实际问题中应用
光学应用
在光学中，抛物线的焦点 性质被广泛应用于凸透镜、 凹透镜等光学器件的设计 和分析。
在解决与抛物线相关的距离问题时，可以利用准线的这一性质，通过计算点到直线的距离来间接求得点到焦点的 距离。
利用准线求曲线方程问题
性质描述
已知抛物线的准线方程和焦点坐标，可以推导出抛物线的标准方程。
应用场景
在求解与抛物线相关的曲线方程时，可以通过分析准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义和性质， 构建出抛物线的方程。
抛物线的顶点位于其对称 轴上，对于标准方程y^2 = 2px，顶点为(0,0)。
抛物线是轴对称图形，其 对称轴为通过顶点且垂直 于x轴的直线。对于标准 方程y^2 = 2px，对称轴 为y轴。
对于标准方程y^2 = 2px， 焦点为(p,0)，准线方程为 x = -p。
3.3.2抛物线的简单几何性质
2 （舍）故选：D
例题分析2
已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 的直线l 与抛物线相交于 A, B 两
4 点， AB ＝8 ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，交于点 Q .下列说法不正确的是（ ）
A． QA QB
B． AOB ( O 为坐标原点)的面积为 2 2
【答案】D 【解析】由题设，令 AB 为 x ky p ，联立抛物线方程并整理得 y2 2kpy p2 0 ，
2
∴若 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 y1 y2 2kp ， y1 y2 p2 ，又 AF 2 BF 易得| y1 | 2 | y2 | ，
∴
y1
4kp,
a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 与抛物线
y2
4cx
（其中 c
a2 b2 ）交于 A，B 两点，若
AB 4c ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B．B．2 C． 5 D． 2 1
【答案】D 【分析】
由 AB 4c ，求得 yA yB 2c ，代入抛物线方程求得 xA xB c ，然后把点的坐标代入双 曲线方程，即可解得离心率.
x ，因为 y
1 ，所以 kQA x
1
x1 ， B x2, y2 在
y 2
x ，因为 y
1 ，所以 kQB x
1 x2 ，
所以 kQA kQB
1 x2
1 x1
1 x1 x2
1，QA QB
，故 A
正确；
由 y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 4x1 x2 4 2 ，得
错误；
由 y2 41 得 y 2 ，所以 M 在抛物线内部，抛物线的准线方程为l : x 1，
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抛物线的简单几何性质
尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的内容是人教A版数学第二册·上第八章第6节《抛物线的简单几何性质》.新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系.本节课的教学中，我将尝试这种理念.下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程及教学评价四个方面进行说明
一教材分析
1.1 教材地位与作用
本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
本课时的主要内容是：探究抛物线的简单几何性质及应用。
1.2 教学目标
1、知识与技能
■探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
■掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2、过程与方法
■通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
■通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观
通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
1.3教学重难点
得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法．
二教法学法分析
2.1 学情分析
由于学生智力水平参差不齐，基础和发展不平衡，呈现两头尖中间大的趋势。
学生已熟悉和掌握抛物线定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
2.2 教法分析
本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提
高。
2.3 学法分析
根据本节课特点，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心。
三教学过程
一、复习引入
1.抛物线的定义；
2.抛物线的标准方程及主要参数
二类比
通过前面学习的椭圆、双曲线的几何性质，揭发学生积极探究抛物线的几何性质
第一环节：提出问题（引出问题、发现问题，激疑导入）
我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方面研究的？这一环节我通过复习椭圆及双曲线的几何性质，从而引出课题抛物线的几何性质
（爱因斯坦说：“提出一个问题比解决一个问题更重要。
”老师经常问学生“你还能提出哪些数学问题”，有助于培养学生从数学角度提出问题的意识与习惯，从而促使学生在下面的环节中进行研讨、探究、思考，也为以下解决问题的环节做好铺垫。
）
三探索
提示学生观察抛物线的曲线，类比椭圆及双曲线的几何性质，依次给出抛物线的几何性质，进入新课的学习，引入抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的定义
抛物线的标准方程y 2=2px 的顶点都在坐标原点，一次项的变量如为x(或y)，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项的系数的符号决定抛物线的开口方向，正号决定开口方向和对称轴所在坐标轴的方向相同，负号决定开口方向和对称轴所在坐标轴方向相反．
然后引导学生观察其它标准方程y 2=-2px ，x 2=2py ，x 2=-2py ，是学生得出其他标准方程也有类似的结论。
继续引导学生思考在抛物线方程中，参数p 对图象的影响，给
学生提供不同抛物线的曲线，诱导学生积极观察思考。
学生可直观看到p 值越大，抛物线开口也越大．理由，对于同一个x 值，它们对应的y 值不同，p 值大，|y|也大．
这样的设计，以提高学生解决问题的能力为落脚点，让学生从事主动的观察，猜测，推理，实验，交流等活动，鼓励学生提出多种解决问题的方法，使学生在解决问题的活动中不知不觉的受到数学思想方法的熏陶和感染，从而进一步体验到解决问题策略的多样性，培养实践能力和创新精神，并在分析比较中，感悟和寻找解决
问题的最佳策略。
第四环节：实践应用，巩固深化
结合书中练习，分四个层次进行巩固所学知识
例1 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A 、B 两点,求AB 的长.
解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A 、B 坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|.
解法二：(数形结合)：由右图集抛物线的定义可知：|AF|=|AA ’|，|BF|=|BB ’|，所以|AB|=|AA ’|+|BB ’|
=x 1+1+x 2+1 =x 1+x 2+2
即只要求出x 1+x 2即可求出|AB|
解：∵p=2，∴焦点F(1,0)，准线l ：x=-1，则直线l 的方程为：y=x-1，代入y 2=4x 化简得：x 2-6x+1=0∴x 1+x 2=6所以
|AB|=|AA’|+|BB’|=x 1+x 2+2=8
∴ 线段|AB|的长为8。
设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)则有
|AB|=x 1+x 2+p ．
特别地：当AB ⊥x 轴，抛物线的通径|AB|=2p
例2直线l 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点,求证：
1) x 1+x 2 =
4
2p 2) y 1y 2=-p 2.
解：∵焦点F(2p ，0)，∴l AB ：y=k(x- 2
p
)
代入y 2=2px 化简得：
（变式训练）例3 过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点,过点A 和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.
分析：根据已知条件写出AB 所在的直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A 、B 坐标，进而写出AO 的直线方程，求出它与准线的交点D ，观察B 、D 坐标，判断结果。
（能力提升）
例4已知抛物线关于x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-22) ,求它的标准方程. 例5 过定点P(0,1)且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线方程. 例6 过抛物线y 2=2x 的顶点做互相垂直的二弦OA 、OB.
（1）求AB 中点的轨迹方程； （2）证明：AB 与x 轴的交点为定点。
四 总结评价
小结：求抛物线的问题要紧扣定义，注意过焦点的直线问题 布置作业
五 板书设计
§8.8.6 抛物线的简单几何性质
简单几何性质
例1 例4 例2 例5
例3 例6
4
P k x )2p p k (x k 222
2=+--4
p x x 2
2
1=⋅∴。