运动微分方程

运动微分方程
弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。

弹性体在t 时刻的动量P （t)
dV v dt d
dV f dS t dt
dP F f V f m F dV
f dS t F F F dV
v m v p V
i V
i s
i i
i V
i s
i i V
i i ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
+=
⨯=⨯=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面
*******************************************************************************
散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。

⎰⎰∙=∙∇s
V
S d F dV F
散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。

z
R
y Q x P R Q P z y x F ∂∂+
∂∂+∂∂=∙∂∂∂∂∂∂=∙∇),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。

散度定理的证明：S d F dV F s
V
∙=∙∇⎰⎰⎰⎰⎰。

令()R Q P F ,,=
，假设F =(0，0，R)，则需要证明
dS n R dV R s
V
z
⎰⎰
⎰⎰⎰∙=),0,0( 如下图，投影区为U。

dxdy y x z y x R y x z
y x R dxdy dz R dV R U
y x Z y x Z z
D
z ))],(,,()),(,,([)()
,()
,(底顶
顶底⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==
S=S 底+S 顶+S 侧面
令S 底=S1，S 顶=S2，S 侧面=S3. 对于顶面，则dxdy y
Z x Z dS n )1,,(2
2∂∂-∂∂-
=
Rdxdy dxdy y Z x Z R dS n R =∂∂-∂∂-=)1,,)(,0,0(),0,0(22
dxdy y x z y x R dxdy R dS n R U
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
==)),(,,(),0,0(顶顶
顶
对于底面，则dxdy y
Z x Z dS n )1,,(
1
1-∂∂∂∂=
dxdy y x z y x R dxdy R dS n R U
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=-=)),(,,(-),0,0(底底
底
对侧面，S3=0。

F 垂直于侧面。

综上所述，即证。

其他复杂情况分解为这种情况，即证。

******************************************************************************* 利用散度定理
dV
x dS n dS t V
j
ji s
j ji s
i ⎰
⎰⎰∂∂==ττ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 证明j ji i n t τ=
设在面X1X2X3上，面积为S ；面OX1X2，OX2X3，OX1X3的面积为S1、S2、S3。

S
h V S n n e S S i i ∆∙=∆∆=∙∆=∆3
1
),cos(
受力分析：
x 1x 3x 2
i i j ji i a f S S t ∙∆=∆∙+∆∙-∆∙V V ρρτ
i i j ji i a S h S h f S n S t ∙∆∙=∆∙∙+∆-∆∙31
31ρρτ
0→h ,
j ji i n t τ=
物理意义：如果已知过点P 与三个坐标轴方向相垂直的三个面元上的九个应力分量ji τ，则过该点任意面元（法线方向n
）上的应力向量i t 都可用这九个应力分量按此式表示出来。

柯西应力公式：在一点处三个与坐标轴方向相垂直的面元上的九个应力分量可以确定该点的
应力。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 由于F=ma ，即有
dV t u dV t v dV dt dv dV dt dv dV v dt d
V
i V i V
i V
i V i ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂==22
ρρρ
ρρ
由i F F F =+体面
dV t u dV f dV x V
i
V i V
j ji
⎰⎰⎰
∂∂=+∂∂22ρρτ 去掉积分号22t
u f x i i j ji
∂∂=+∂∂ρρτ
若弹性体处于静力平衡状态，a=0。

弹性体的平衡微分方程：0=+∂∂i j
ji f x ρτ
应力张量的对称性
该部分弹性体在时刻t 对坐标系原点o 的动量矩⎰⨯=V
dV v x t N
ρ)(
在i e
方向上的分量为dV v x e N k j V
ijk i ρ⎰
=
作用在弹性体上的体力与面力的力矩⎰⎰⨯+⨯=V
s
dV f x dS t x t M
ρ)(
在i e
方向上的分量为⎰
⎰+=V
k j ijk k s
j ijk i dV f x e dS t x e M ρ
由i i
M dt
dN =，即
dV v x e dt d
dV f x e dS t x e k j V
ijk V
k j ijk k s
j ijk ρρ⎰⎰⎰=
+ 运用散度定理：
dV x x e dV x x e dV
x x e dS n x e dS t x e
l
lk j V
jk ijk l lk j
V
lk jl ijk V
l
lk j ijk
l lk s
j ijk k s
j ijk
][][)(∂∂+=∂∂+=∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰τ
τττδττ
对于
dV t u
x v v e dV dt dv x v v e dV dt v x d e dV v x e dt d
k j j k V
ijk k j
j k V
ijk k j V ijk k j V
ijk ][][)(22
∂∂+=+==⎰⎰⎰⎰ρρρρ
因为0=j k ijk v v e ，j k ijk v v e 、与垂直。

dV t u x e dV v x e dt d
k j V ijk k j V
ijk 22∂∂=⎰⎰ρρ 所以，有
dV t u x e dV f x e dV x x e k j V
ijk V k j ijk l lk j V jk ijk 22][∂∂=+∂∂+⎰⎰⎰ρρττ 0][
][22
22=∂∂-+∂∂+=∂∂-+∂∂+⎰⎰⎰⎰⎰V
k k l lk j ijk V
jk ijk V k j V ijk k j ijk l lk j V jk ijk dV t
u
f x x e dV e dV t u x e dV f x e dV x x e ρρττρρττ
因为0][22=∂∂-+∂∂⎰V k
k l lk j ijk dV t u f x x e ρρτ，所以0=⎰dV e V
jk ijk τ。

所以0=jk ijk e τ
于是， i=1, 03223=-ττ i=2, 01331=-ττ i=3, 01221=-ττ 即jk kj ττ=，这就是剪应力互等定理。

应力边界条件 j ji i n t τ=
四面体的的表面元的外法线为n
，外来作用面力为t
，则弹性体的应力边界条件：j ji i n t τ=。

它表明了应力的边界值与边界面上的表面力的关系。

本构方程（应力--应变关系）
ij ij ij e μλθδτ2+=
证明：当应力小于比例极限时，应力与应变是成正比的。

将上面理论推广：线性弹性体内一点处的应力张量分量为该点应变张量分量的线性齐次函数，反之亦然。

即kl ijkl ij e C =τ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡33323123222113121133333332
3331
3323
3322
3321
3313
3312
3311
323332323231322332223221321332123211313331323131312331223121311331123111233323322331232323222321231323122311223322322231222322222221221322122211213321322131212321222121211321122111133313321331132313221321131313121311123312321231122312221221121312121211113311321131112311221121111311121111333231232221131211e e e e e e e e e C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C τττττττττ
其中，ijkl C 称为弹性系数张量，它有81个分量，它们的值由所在点处材料的弹性性质决定。

如果弹性体不是均匀的，其弹性性质随点的不同而不同，即ijkl C 是点坐标i x 的函数。

如果弹性体是均匀的，弹性体内各点的弹性性质相同，即ijkl C 是与点坐标i x 无关的函数。