2质点组力学

n dp d n (e) mi vi Fi dt dt i 1 i 1
n
p mi v i
i 1
—质点组的动量
e dp Fi dt i 1
质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点组上 诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质 点组上诸外力的元冲量的矢量和。
2.2 动量定理与动量守恒定律
质点组的动量定理 由n个质点所形成的质点组，每一质点的动力学方 2 程为 d ri e i
mi
dt
2
Fi
Fi
方程两侧对i求和，得
n dp d n (e) mi vi Fi dt dt i 1 i 1
n
F
i 1
(i )
i
0 —内力的性质1
n

yc

i 1 n
mi yi mi
n

i1

zc i 1 n
mi zi mi

i 1
i 1
质量连续分布时：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
对密度 为常数的物体来讲，质心和几何中 心重合。如重力加速度 g为恒矢量，则质心与重 心重合。
如 v 与水平线间夹角为 ，则
m tg 1 tg vx M
所以
vy
V
v

作业：2—1 2—3
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
一.质点组的动量矩定理 由n个质点所形成的质点组，每一质点的动力学方 程为 2
d ri mi 2 Fi e Fi i dt
n d rC dvc (e) m 2 m Fi dt dt i 1
2
对质心运动定理的理解应注意以下几点： 1）质点组的内力不能直接改变质心的动量．当 质点组所受外力的矢量和为零时，质心速度等于常 矢量．即质心静止、或作匀速直线运动． 2）由质心运动定理求积分所给出的质心运动，是 质点组总体随质心的平动，而每个质点相对质心的 运动，则不能由公式求出．
二、重点和难点
综合运用三大基本定理及其守恒定律。
2.1 基本概念
一、力学体系 彼此相互影响的若干质点的一个集合，称为力 学体系,简称质点组。
可变质点组 质点组 不变质点组（刚体）
二、内力和外力 外力 F ( e ) ：作用于组中某一质点的力，不来自 质点组中任何其他质点者。 内力 F ( i )
n d n e ri mi vi ri Fi dt i 1 i 1


二、质点组动量矩守恒定律
n
M ri Fi
i 1
(e)
0
恒矢量
n
J ri mi vi
i 1
质点组不受外力作用时，或虽受外力作用，但这些 力对某固定点的力矩的矢量和为零，则对此固定点而 言，质点组的动量矩为一恒矢量。
由于内力是作用在不同质点上，所以不能根据上 述性质将内力误解为平衡力系（只有刚体才是这样） ，换言之，内力可使质点间发生相对位移，从而改变 质点组中个别质点的运动状态。
三、质心 ——质点组的质量中心
n
m r
i 1 n
i i
rC OC
m
i 1
i
n

xc
i 1 n
mi xi mi
3) 质心运动定理与质点组动量定理，可以互相 推导得出．但在使用时，可根据不同的情况，采 用不同的公式． 4) “力的矢量和”与“合力”，是两个不同的概念， 绝不能混淆。一般的质点组，只能求力的矢量和，而 不能求合力。因为，求合力的一般方法是把力移到某 一点之后，运用平面四边形法则求解。但作用在一般 质点组上的力，如作用点发生移动，不仅影响质点相 对质心的转动状态的变化，还影响各质点间的相对位 置。所以，“力的矢量和”不能与“合力”等同。
n
dp d (e) mi vi Fi dt dt i 1 i 1
动量定理的分量形式
n n dp x d e mi vix Fix dt dt i 1 i 1 n n dp y d e mi viy Fiy dt dt i 1 i 1 n n dp z d e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
方程两侧左矢乘 ri ,并对i求和，得
d 2 ri ri mi dt 2 i 1
n
n
n n e i r F r F i i i i i 1 i 1




r F 0
i
i i i 1
—内力的性质2


n d n e e mi xi y i y i xi xi Fiy y i Fix dt i 1 i 1


注意 1）公式中所包括的角动量J、外力矩的矢量 和M及冲量矩的矢量和，都是对空间同一点而 言的，而且在所研究的时间间隔内，角动量J 与力矩M始终是相对于该点的． 2）在对加速动点的角动量定理中，要出现惯 性力矩，想使惯性力矩不出现，所选取的动点 必须满足一定的要求，关于这一点，后面将加 以讨论．
注意 内力虽然可使质点组中个别质点的动量发生变化， 但却不能改变整个质点组的动量，也不能改变质点组 质心的速度。 例如，沿水平方向发射炮弹的大炮（设炮身轴线 平行x轴），在发射前沿x方向的总动量为零，当炮 弹发射后，炮身向后反冲，若不计水平方向上可能 有的外力（如地面摩擦力），那么将炮弹与炮身作 为质点组看待，因为沿x方向无外力作用，则沿x方 向总的动量仍然等于零，炮弹在这个方向上的运动 是由这个质点组的内力的作用引起的。
应用质点组的动量守恒定律，应注意以下几点 1）所谓质点组的动量守恒，是指质点组中各质 点动量的矢量和等于常矢量，即其大小不变，其方 向也不变．而不是各质点动量的代数和不变． 2）在外力的矢量和为零的情况下，质点组动量 守恒，是指质点组的总动量不变，而决不是指质 点组内各质点的动量不改变，质点组各质点的动 量，会因为质点间的相互作用而发生变化． 3）外力的冲量和为零，不是动量守恒的充要条 件。
质心运动定理 由质心的定义
n
n
m r
i 1
2
i i
mrC
m v
i i 1
i
mv C
v C质点组质心的速度
n
由动量定理得
d rC dvc (e) m 2 m Fi dt dt i 1
质点组质心的运动，就好象一个质点的运动一样， 此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点 上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和， 这就是质心运动定理。
如果作用在质点组上的诸外力在某一轴 （设为x轴）上的投影之和为零
n

i 1
Fix 0
n
e
p x mi vix mvC x 常数
i 1
在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒 矢量，但它在这一坐标轴上的投影却保持为常数。 或者说，质点组质心的速度，在这一坐标轴上的投 影为一常数.
n
n

使用动量定理要注意以下几点： 1）首先必须要划清质点组所受的力哪些属于 内力，那些属于外力，因为只有外力才能直接改 变质点组的动量． 2)动量是矢量．质点组的动量，等于各质点动量的 矢量和，而不是代数和．质点组在t1——t2的这段时间 内动量的改变，应等于在这段时间的终、初时刻质点 组动量的矢量差，而不是代数差。 3)使用动量定理时，要注意速度的时刻与所相对的 参照系．在所研究的时间间隔内，初(或终)时刻的速 度，就是指各质点在同一时刻相对于同一参照系的速 度．这一点尤其在处理相对运动的问题时需特别注意 ．这里所指的参照系，是惯性参照系，因为公式是由 只在惯性系中才成立的牛顿第二定律推导而来的．
质点组的动量守恒律
n dp d n (e) 动量定理： mi vi Fi dt dt i 1 i 1
n

i 1
Fi
n
e
0
p mi vi mvC 恒矢量
i 1
质点组不受外力作用或所受外力的矢量和为零而 运动时，质点组的动量亦即质心的动量都是一个恒 矢量。
4）在惯性系中使用动量守恒定律时，要注 意质点组内各质点的速度，都是同一时刻，对 同一个惯性系而言的。
5）动量守恒定律是物理学中一条重要而普 遍的定律，它不仅适用于宏观物体的低速运动 ，而且，也适用于宏观物体的高速运动、微观 粒子的运动以及电磁运动，等等．
例题.一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m， 炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁 轨上反冲。如炮身与地面成一角度 ，炮弹对 炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面 的速度v及炮车反冲的速度U。 解：因为火药爆炸力是内力，沿水平方向（设为x 方向）无外力作用，故沿x方向动量守恒
dJ Mdt
质点组动量矩的微分等于作用在质点组上 的诸外力的元冲量矩的矢量和。 在直角坐标系中：
n d n e e mi y i z i z i y i y i Fiz z i Fiy dt i 1 i 1


n d n e e mi z i xi xi z i z i Fix xi Fiz dt i 1 i 1
第二章 质点组力学
Chapter 2 质点组动力学
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 基本概念 动量定理与动量守恒定律 动量矩定理与动量矩守恒定律 动能定理与机械能守恒定律 两体问题 质心坐标系与实验坐标系 变质量物体的运动
Chapter 2