高数下册公式总结(修改版)培训讲学

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高数下册公式总结

高数下册公式总结高等数学下册是大多数理工类专业大学生必修的一门课程，难度较大且内容繁杂。

在学习高等数学下册的过程中，熟记常用的公式是非常重要的。

下面我将为大家总结高等数学下册常见的公式。

1. 极限与连续：- 函数极限的定义：设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ 时，有 |f(x) - A| < ε 成立，则称 A 是函数 f(x) 当x 趋于 x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) = A。

- 函数极限的四则运算：设函数 f(x) 和 g(x) 的极限分别为 A 和 B，若A、B 均存在，则* lim(x→x0) [f(x) ± g(x)] = A ± B* lim(x→x0) [f(x) ⋅ g(x)] = A ⋅ B* lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = A / B (B ≠ 0)- 洛必达法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某个去心邻域内有定义且 f(x0) = g(x0) = 0，若lim(x→x0) [f'(x) / g'(x)] 存在或为∞，则有lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = lim(x→x0) [f'(x) / g'(x)]。

2. 导数与微分：- 导数的定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若极限lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h 存在，则称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'(x0) 或 dy/dx∣(x=x0)。

- 基本导函数：设 u(x) = C (常数)、u(x) = x^n (n 为自然数) 和 y(x) = f(x) ± g(x) 是可导函数，C 为常数，则有以下基本导函数公式。

高等数学(下)数学公式

高等数学公式空间解析几何和向量代数：1212122Pr cos ,Pr ()Pr Pr cos ,,cos u u x x y y z z d M M j AB AB AB u ja a ja ja ab a b a b a b a b a b a b a b ϕϕθθ===⋅+=+⋅=⋅=++++=空间点的距离：向量在轴上的投影：是与轴的夹角。

是一个数量两向量之间的夹角：,sin .xy z xyzij kc a b a a a c a b b b b θ=⨯==⋅0000000000001()()()0(,,),(,,)2031,(,,);A x x B y y C z z n A B C M x y z Ax By Cz D x y za b cd x x mtx x y y z z t s m n p y y ntm n p z -+-+-==+++=++===+---=====+=平面的方程：、点法式：，其中、一般方程：、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：空间直线的方程：其中参数方程：0000'''000:(,)0)0.:;'''0,':''''0;cos z ptyoz C f y z z z x x y y z z x x y y z z l m n p m n p Ax By C D A x B y C z D L l ππϕϕπ⎧⎪⎨⎪+⎩=±=------====+++=+++=面上曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面得方程为 f(设直线L:，平面：则||直线与的夹角由平面与'cos sin L πϕϕπϕϕ||的夹角由||直线与平面的夹角由.曲线C :()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在xy 平面上的投影: 先从曲线C 的方程中消去z 得到()0,=y x H ，它表示曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程，那么 ()⎩⎨⎧==0,z y x H 就是C 在xy 平面上的投影曲线方程。

大学高数第二册公式整理

dy
hx
g
xdx
最后得 Hx Gx c
dy Pxy 0
（2）一阶线性齐次微分方程： dx y ce Pxdx
dy Pxy Qx
（3）一阶线性非齐次微分方程： dx
y
ce
P
x
d
x
Qxe Pxdxdx c
（4）齐次微分方程：代换法：如果 dy y ，则令 y u
dx x
x
求
z
的一阶偏导
f x x0 , f y x0 ,
y0 y0
0 0
f xx x0 , y0 A
令
z
的二阶偏导
f xy x0 ,
y0
B
f
yy
x0
,
y0
C
①当 AC B2 0 时，且 A 0 时，有极大值； A 0 时，极小值
②当 AC B2 0时，无极值
③当 AC B2 0时，无法判定
1. 方向导数与梯度
方向导数： f f cos f cos
l x
y
cos,cos 是l的方向余弦
梯
度
：
g r a d fx,
y
f x
,
f y
2.（1）曲线的切线与法平面
x xt
设曲
线方程：
y
yt
z zt
则切线方程：
x x0
x`t0
y y0
y`t0
z z0
z`t0
法平面方程： x`t0 x x0 y`t0 y y0 z`t0 z z0 0
（2）曲面的切平面与法线
设曲线方程为： Fx, y, z 0
则切线方程：
x x0

高数下册公式汇总(修改版)

高数下册公式汇总（修改版）作者:日期: 2第八章向量与解析几何第十章重积分第十一章曲线积分与曲面积分①定义：四步法一一分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）；②性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；第十二章级数①若级数收敛，各项同乘同一非零常数仍收敛①两个收敛级数的和差仍收敛注：一敛、一散之和必发散.①去掉、加上或改变级数有限项 ①若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

直接展开：泰勒级数间接展开：六个常用展开式敛定理 -----------------------f （x ）为奇函数，正弦级数，奇延拓；f （x ）为偶函数，余弦级数、偶延拓常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛①（必要条件）如果级数收敛则|i m U n 0------------------------------------------------------------------ n 0 ---------------莱布尼茨判别法比较判别法比较判别法的极限形式比值判别法根值判别法若 U n U n 1 且lim U n 0，则 (1)n 1U n 收敛nn 1u n 和 v n 都是正项级数，且 u nv n .若 v n 收敛，则-H-*u n 也收敛；若 u n 发散，则 V n 也发散.v n 都是正项级数，且|imUn nv nU n 与v n 同敛或同散；①若lU n 也收敛；①如果lv n 发散,U n 是正项级数，limU n 1，lim 『u nn U nn）时发散；时收敛;1(U n 则①若也发散。

1时可能收敛也可能na n X ，limn 0n,R 10; R0； R 0 ,缺项级数用比值审敛法求收敛半径s （x ）的性质①在收敛域I 上连续；①在收敛域（R , R ）内可导，且可逐项求.().用收敛定义，lim s n 存在n不改变其收敛性f (x)x n( 1 x 1)n 1+疋(n 1n!傅 \T 21a na 。

高数下册公式汇总(修改版)

高数下册公式汇总(修改版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a或ABu u u r a(,,)x y z x y za i a j a k a a a=++=,,x x y y z za prj a a prj a a prj a===r r r模向量a的模记作a a222x y za a a=++和差c a b=+c a b=－=±c a b{},,=±±±x x y y z za b a b a b单位向量0a≠，则与a同向的单位向量为aaea=ae222(,,)=++x y zx y za a aa a a方向余弦设a与,,x y z轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cosαβγ，cos，coscos yx zaa aa a aαβγ===r r r，cos，coscosaeαβγ=(，cos，cos)222cos1αβγ+=+cos cos点乘（数量积）θcosbaba=⋅，θ为向量a与b的夹角zzyyxxbababa++=⋅ba叉乘（向量积）bac⨯=θsinbac=θ为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直且右手系zyxzyxbbbaaakjiba=⨯定理与公式垂直0a b a b⊥⇔⋅=0x x y y z za b a b a b a b⊥⇔++=平行//0a b a b⇔⨯=//y zxx y za aaa bb b b⇔==交角余弦两向量夹角余弦baba⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a ba a ab b bθ++=++⋅++投影向量a在非零向量b上的投影cos()ba bprj a a a bb∧⋅==222x x y y z zbx y za b a b a bprj ab b b++=++平面直线法向量{,,}n A B C=点),,(zyxM方向向量{,,}T m n p=点),,(zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0=+++DCzByAx一般式⎩⎨⎧=+++=+++22221111DzCyBxADzCyBxA点法式0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A点向式pz z n y y m x x 000-=-=- 三点式1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 截距式 1x y za b c++= 两点式 000101010---==---x x y y z z x x y y z z面面垂直 0212121=++C C B B A A线线垂直 0212121=++p p n n m m面面平行 212121C C B B A A == 线线平行 212121p p n n m m == 线面垂直pC n B m A == 线面平行 0=++Cp Bn Am点面距离),,(0000z y x M 0=+++D Cz By Ax 面面距离10Ax By Cz D +++= 20+++=Ax By Cz D222000CB A DCz By Ax d +++++=12222D D d A B C-=++面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111C B A n =ρ},,{2222C B A n =ρ },,{1111p n m =s },,{2222p n m =s},,{p n m =s },,{C B A =n222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ 222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ 222222sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ空间曲线Γ：()() ()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，)(βα≤≤t 切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=ρ切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：0))(()()()()(000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩切向量:(,,)x y zx y zPT F F F G G G m n p ==i jk r切“线”方程：P P Px x y y z z m n p---== 法平“面”方程：()()()0P P P m x x n y y p z z -+-+-=空间曲面 ∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z =r切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1）利用直角坐标系X —型 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+, α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域三重积分(,,)I f x y z dVΩ=⎰⎰⎰(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影法：21(,)(,)(,,)d (,,)xyz x y D z x y f x y z V dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰截面法：(,,)d (,,)zdcD f x y z V dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）利用柱面坐标 cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如22()f x y +空间立体物的质量质量=密度⨯面积（3）利用球面坐标cos sin cossin sin sincosx ry rz rρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩2sindV r drd dϕϕθ=适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()f x y z++222111(,)2(,)d d(sin cos,sin sin,cos)sin drrI f r r r r rαβθϕαβθϕϕθϕθϕθϕϕ=⎰⎰⎰考试不作要求，考研重点掌握第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分⎰=L ds y x fI),(曲形构件的质量质量=线密度⨯弧长参数法（转化为定积分）（1）:(),L y y x a x b=≤≤dxxyxyxfI ba⎰+=)('1))(,(2（2）():()()x tL ty tϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩22((),())()()I f t t t t dtβαϕψϕψ''=+⎰平面第二类曲线积分⎰+ =L QdyPdxI变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）():()()x tL ty tϕαβψ=⎧→⎨=⎩:ttttQtttPyQxPLd)}()](),([)()](),([{ddψψϕϕψϕβα'+'=+⎰⎰三维情形：():()()()x ty t tz tϕψαβω=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩:dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'=++⎰⎰Γ（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yP x Q ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系⎰⎰+=+=LLds Q P Qdy Pdx I )cos cos (βα第一类曲面积分(,,)I f x y z dS ∑=⎰⎰曲面薄片的质量质量=面密度⨯面积投影法∑：),(y x z z = 投影到xoy 面22(,,)(,,(,))1xyx y D I f x y z dS f x y z x y z z dxdy ∑==++⎰⎰⎰⎰类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式第二类曲面积分I Pdydz Qdzdx Rdxd y ∑=++⎰⎰流体流向曲面一侧的流量（1）投影法○1((,),,)yzD Pdydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰ ∑：(,)x x y z =，α为∑的法向量与x 轴的夹角前侧取“+”，cos 0α>；后侧取“-”，cos 0α< ○2(,(,),)zxD Qdzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰ ∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<○3(,,(,))xyD Rdxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰ ∑：(,)z z x y =，γ为∑的法向量与z 轴的夹角上侧取“+”， cos 0γ>；下侧取“-”，cos 0γ<（2）高斯公式条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧 ②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：()P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dV x y z∑Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用（3）两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxd y P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂所有类型的积分：○1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；第十二章级数无穷级数常数项傅立叶幂级一般项正项级用收敛定义，nns∞→lim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○1若级数收敛,各项同乘同一非零常数仍收敛.○2两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散.○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

高数下册公式

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y mtx x p n m s t pz z ny y mx x CB A DCz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00002220000000000};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dyF F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy yu dx x u du y x v v y x u u x vv z x u u z x z y x v y x u f z t vv z t u u z dt dz t v t u f z dzz u dy y u dx x u du dy yz dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([22微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x -=-=-=-+-+-===-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

高等数学下册必背公式

高等数学公式空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u KK K KK K K K K K K K K K K K KK KK K K K K K K ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A K K多元函数微分法及应用z y z x y x y x y x y x F F yzF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx xudu y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x zdz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线KK ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

高数下册公式总结(修改版)

2 2 2/2 2 2xmi +ni+pi斗m2+n2+p2
JA2+B2+C2fm2+n2+p2
空间曲线r：
'x=®(t),W=屮(t)，z“(t)，(a兰t兰P)
切向量
T=(『(to),屮化)，『(to))
切“线”方程：x^X。=y—yo=Z—Zo
jto)『(to) E(to)
法平“面”方程：
x —Xoy —yoZ —o
Fx(Xo, yo, Zo)Fy(xo, yo, Zo)Fz(x°, y°,z°)
第十章重积分
重积分
积分类型
计算方法
典型例题
(1)利用直角坐标系
X—型
b0(x)
”f(x,y)dxdy=[dx£x)f(x, y)dy
Y—型
D
dQ(y)
JJf(x, y)dxdy =[dy]f (x, y)dx
Z2(x,y)
Vxydxdy.y)f(x,y,z)dz
截面法：川f (x, y, z)dV =
d
=fdzJJDf (x, y,z)dxdy
Q
cDz
1
X =Pcos9
二重积分
(2)利用柱面坐标』
y = Psi n日
I =
z = z
Mf(x,y,z)dV
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用范围：
线面夹角
m ={Al, B Q}n2={A2, B2,C2}
Si={mi,ni, Pi}S2={m)2,n?, P2}
s= {m,n, p} n={A,B,C}
QIAA+BB2+GC2I
COSn—

高三数学下册重要公式讲解

高三数学下册重要公式讲解高三数学下册重要公式讲解a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列通项公式：a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a +(n-1)r.可用归纳法证明。

n=1时，a(1)=a+(1-1)r=a。

成立。

假设n=k时，等差数列的通项公式成立。

a(k)=a+(k-1)r则，n=k+1时，a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r.通项公式也成立。

因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。

求和公式：S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=a+(a+r)+...+[a+(n-1)r]=na+r[1+2+...+(n-1)]=na+n(n-1)r/2同样，可用归纳法证明求和公式。

a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列通项公式：a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar ^(n-1).可用归纳法证明等比数列的通项公式。

求和公式：S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=a+ar+...+ar^(n-1)=a[1+r+...+r^(n-1)]r不等于1时，S(n)=a[1-r^n]/[1-r]r=1时，S(n)=na.同样，可用归纳法证明求和公式。

练习题：1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间( )A．(0,1)B．(1,1.25)C．(1.25,1.75)D．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－14<0，f(2)＝lg 2="">0。

答案：D2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为( ) A．0个B．1个C．2个D．3个解析：：x≤0时由x2＋2x－3＝0⇒x＝－3；x>0时由－2＋lnx＝0⇒x ＝e2。

高数下册公式总结

高数下册公式总结1. 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，其中包括了拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个定理。

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一种形式，表述如下：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，那么在开区间 (a, b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)其中f’(c) 表示函数 f(x) 在点 c 处的导数。

柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的另一种形式，表述如下：若函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且g’(x)≠ 0，则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 c，使得[f(b) - f(a)]/[(b - a)] = [f’(c)] / [g’(c)]其中f’(c) 和g’(c) 分别表示函数 f(x) 和 g(x) 在点 c 处的导数。

2. 泰勒级数展开泰勒级数展开是一种用无穷多个项的多项式来逼近函数的方法。

泰勒级数可以用来在某一点的邻域内近似计算函数的值。

泰勒级数展开的公式如下：f(x) = f(a) + f’(a)(x - a) + f’‘(a)(x - a)^2/2! + f’’’(a)(x - a)^3/3! + …其中 f(x) 表示函数在点 x 处的函数值，f(a) 表示函数在点 a 处的函数值，f’(a)表示函数在点 a 处的导数值，以此类推。

3. 定积分计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下面积、求解弧长、质量等问题。

定积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(xi)Δx]其中 a 和 b 分别表示积分的下限和上限，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量的微小增量，Δx 表示自变量的步长。

Σ 表示求和运算，xi 表示分段点，n 表示分成的小矩形的数量。

高等数学-下(公式大整理)

高等数学（下）八、空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.向量概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模、方向角、投影8.2 数量积、向量积1.两向量的数量积2.两向量的向量积8.3 曲面及其方程1.曲面方程的概念2.旋转曲面3.柱面4.二次曲面8.4 空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在坐标面上的投影8.5平面及其方程1.平面的点法式方程2.平面的一般式方程3.两平面的夹角8.6空间直线及其方程1.空间直线的一般式方程2.空间直线的对称式方程3.空间直线的参数方程4.两直线的夹角5.直线与平面的夹角九、多元函数微分法及其应用9.1 多元函数的基本概念1.平面点集2.多元函数概念3.多元函数的极限4.多元函数的连续性9.2 偏导数与全微分1.偏导数2.全微分9.3 多元复合函数的求导法则1.一元函数与多元函数复合2.多元函数与多元函数复合9.4 隐函数的求导公式1.一个方程的情形2.方程组的情形9.5 多元函数微分学的几何应用1.一元向量值函数及其导数2.空间曲线的切线与法平面3.曲面的切平面与法线9.6 方向导数与梯度1.方向导数2.梯度9.7 多元函数的极值与求法1.极值与最大值、最小值2.条件极值与拉格朗日乘数法十、重积分10.1 二重积分的概念与性质1.二重积分的概念2.二重积分的性质10.2 二重积分的计算法1.利用直角坐标来计算2.利用极坐标来计算10.3三重积分1.三重积分的定义2.三重积分的计算10.4 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 对弧长的曲线积分1.定义2.性质3.计算11.2 对坐标的曲线积分1.定义2.性质3.计算4.两类曲线积分之间的关系11.3 格林公式及其应用1.格林公式2.曲线积分与路径无关的条件3.二元函数的全微分求积11.4 对面积的曲面积分1.定义2.计算11.5 对坐标的曲面积分1.定义2.性质3.计算4.两类曲面积分之间的关系11.6 高斯公式与斯托克斯公式1.高斯公式2.斯托克斯公式十二、无穷级数12.1 常数项级数的概念和性质1.定义2.性质12.2 常数项级数的审敛法1.正项级数及其审敛法2.交错级数及其审敛法3.绝对收敛与条件收敛12.3 幂级数1.函数项级数的概念2.幂级数及其收敛性3.幂级数的运算12.4 函数展开成幂级数1.泰勒级数2.展开步骤3.间接展开法12.5傅里叶级数1.定义2.收敛定理3.傅里叶展开4.正弦级数和余弦级数八、空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.向量概念向量（矢量），向量相等，向量的模，单位向量，零向量，向量的夹角，向量平行（共线），向量共面 2.向量的线性运算1）加减法（加）三角形法则，平行四边形法则，交换律，结合律，n 个向量相加的法则，负向量；（减）向量的差2）向量与数的乘法结合律，分配律，向量平行的充要条件 3.空间直角坐标系右手规则，坐标面，卦限，向量的坐标分解式，向径 4.利用坐标作向量的线性运算),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b =，则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=。