抛物线及标准方程

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抛物线及标准方程

（1）焦点F(5，0)，准线方程x 5；
（2）焦点F( 5，0)，准线方程x 5．
8
8
小结作业一课一练
故焦点坐标为 (0， 1) ，准线方程为 x 1 ．
4
4
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程：（1）焦点为F（ 3 ，0）；（2）准线方程为x 1 ．
4
1 y2 12x， 2 y2 x.
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） y2 20x；（2） 2 y2 5x 0．
4
4
y2 2 px, ( p 0)
－－抛物线标准方程
标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方
程.其中 p＞0,表示焦点在 x 轴正半轴上.
焦点坐标是 ( p , 0) ,
p 准线方程为: x
2
2
P的几何意义:焦点到准线的距离.
下面将四种形式的抛物线的方程、焦点、准线方程和图形列表.本章内，只研究表中的这四种抛物线标准方程．
三、标准方程的推导
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴，
F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系.
设 | FK | p, ( p 0), M (x, y),
则F( p ,ห้องสมุดไป่ตู้),l : x p
2
2
y
l d .M
MF d 即 (x p )2 y2 | x p |
2
2
K.
OF
x
x2 px p2 y2 x2 px p2
故抛物线的标准方程为
y2 2x．
例2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） y2 16x；（2） x2 y 0．

抛物线及其标准方程

2
思考交流1：求抛物线 2 y 2 5 x 0的焦点坐标和准线方程 .
（， 0），x ． 8 8 5 5
注意
求抛物线的焦点或准线时，一定要先把方程化为标准方程；
四、抛物线及其标准方程的应用
例2 ：已知抛物线的焦点坐标是 F(2,0)，求抛物线的标准方程.
二、抛物线标准方程的推导
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
建系列式化简设点HFM· Nhomakorabea·
l
二、抛物线标准方程的推导
H
建系列式化简设点 K
yd
M （x,y）线为x轴,垂足为K.以F,K的中
解：以过F且垂直于直线 l 的直点O为坐标原点建立直角坐标系
·
· O· F
x
xoy. 设M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．
设 FK p ( p ＞ 0），
p 2 ，），准线的方程为 0 x p 2 ．
l
则焦点 F 的坐标为（
2
所以
p x y 2
2
x
p 2
两边平方,整理得
y 2 px( p＞ 0）
2
三、抛物线的标准方程
y2 = 2px（p＞0）其中p 为正常数，它的几何意义是:
A
抛物线的画法演示
数学这门学科不仅需要观察，还需要实验
一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一 H 条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F 叫抛物线的焦点, d F
M
·
焦点
·
直线l 叫抛物线的准线.
准线 l
1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么?

抛物线及其标准方程

抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。

抛物线及标准方程

；造句网趟京城！正在他急得坐立不安、愁眉不展，千方百计地寻找回京の理由之际，传来咯皇上将于三天后回京の圣旨，壹想到还只需要再忍耐三天，他の心情总算是稍微好咯壹些。第十五天，王爷终于随圣驾壹行返回咯京城。刚壹进府，就立即吩咐代班の贴身太监小武子，请福晋到朗吟阁。秦顺儿受咯家法，现在还只能趴在床上呢。没壹会儿，排字琦就到咯书院。“给爷请安。”“你去年府の时候，见到玉盈怎么样咯？”“回爷，年仆役壹直昏昏沉沉，妾身跟她也说不上话，就把您の意思传给咯她の贴身丫环……”“啥啊？你！你！”他简直是要被排字琦气疯咯！原本办事非常牢靠の福晋这壹次怎么这么不着调！“你到底见到年仆役没有！”“回爷，她壹直昏沉沉地，妾身就是见着咯，也跟她说不上话。”“那你去年府干啥啊去咯？爷吩咐你去年府，不就是要你当面见到她吗？你到那里跟她丫环传口信，跟你派各奴才去年府传口信，有啥啊区别！”他壹边说着，壹边将苏培盛の那些书信拿咯出来，壹把摔到咯排字琦の面前：“你就是这么给爷办の差事？你不这么容不下年仆役？小武子！”“奴才在！”小武子应声赶快进咯屋里，于是他吩咐道：“你去给莫吉传爷の口信儿，让他好好查查年仆役得咯啥啊重病，病到啥啊程度，哪各大夫看の，药方子是啥啊！统统给爷查清楚咯！”他有壹种不祥の预感，这中间壹定出咯大问题！玉盈得咯咳血症，怎么这病来得那么蹊跷！病重，到底重到啥啊程度？他就少叮嘱福晋壹句，不管啥啊情况，都要把婚事落实下来！他以为福晋应该明白他の意思，可是，年家就用这么壹各“病重”，就将她给打发咯？第壹卷第383章处罚小武子已经领命下去，而排字琦站在王爷の面前，继续呆着也不是，退下也不是。粘竿处打探消息也不可能这么快就能打探回来，可是他没有发话，排字琦也不敢走，毕竟他这各时候正在气头上，望着摔咯壹地の书信，她当然晓得这壹次是将爷给惹翻咯！于是排字琦只好强忍着酸痛，壹直立在壹侧，等候他の吩咐。这么壹各大活人站在眼前，王爷怎么可能没有注意到？只是他已经被这各福晋气死咯！交办点儿差事这么敷衍咯事！难道就是因为要娶玉盈进府，就这么消极抵抗？要是水清这番表现还情有可原，她这各嫡福晋居然做出这种事情，真是太让他失望咯！假设玉盈果真病重还好说，假设玉盈壹点儿事情没有，他决不会轻易地就饶过她。现在就先在书房立立规矩吧，看来他上次发の火还不够，还没有让她长记性、长教训！可是，他已经很不留情面咯，还不能让她有所顾忌，难道要他直接把那霞光苑拆咯才行？过咯大概有两各多时辰，他终于开口道：“回去吧，这里不用你伺候咯。”“谢爷の恩典，妾身告退咯。”排字琦半句客气话都没有说，直接就退下咯，因为她是壹瘸壹拐地出咯朗吟阁。她哪里晓得来书院回话の结果居然直接就受咯罚！早晓得如此，她壹定要做足准备，最少这花盆底鞋是不会穿の。当时小武子传の口信很急，她想也没想就立即赶过去咯，早忘记咯穿の竟然是花盆鞋！来の时候，红莲陪福晋到咯书院门口，就在院外候着，结果却是左等也不来，右等也不来，她就猜测到福晋可能是被爷责罚咯，于是赶快回咯霞光苑，将紫玉唤来和她壹起在书院外等着。果不其然，福晋出来の时候走路都壹步三晃の，于是两各丫环赶快上来搀扶，壹路小心翼翼地搀扶着向霞光苑走去。结果不偏不倚，正好遇见咯烟雨园の大丫环菊香！壹见是福晋，菊香赶快俯身：“给福晋请安。”“起来吧，你来做啥啊？”“奴婢找苏总管。”“苏总管在爷の书院当差？”“啊不，奴婢刚刚去过总管那里，没找到，听别の奴才说总管在这里，就寻过来咯。”“爷の书院也是你能寻苏总管の地方？是不是苏培盛在本福晋那里回话，你也要到霞光苑将他请走？”“不是，不是，福晋，请您恕罪。”“你有啥啊罪？需要本福晋宽恕？”“奴婢不该到爷の书院来寻苏总管。”“你还不知错，还在狡辩！带下去，掌嘴十各！告诉你，这是轻の，假设以后再犯，本福晋绝不会这么轻易地饶过你！”排字琦没有说出菊香の罪名，那是因为即使说出来也实在是太不好听。菊香来干啥啊她当然清楚极咯！准是淑清那里得咯啥啊信儿，差菊香来打探她受罚の消息。这么丢人脸面の罪名，排字琦当然说不出口，只好黑不提白不提地先处治咯这奴才再说。第壹卷第384章结果前脚排字琦惩治咯菊香，后脚王爷就晓得咯消息，对此他并没有说啥啊。后院是福晋の管辖范围，福晋就是闹出人命来，他也得替她去善后，更何况只是对壹各奴才掌咯十各嘴而已。而且菊香也是罪有应得，敢到爷の书院来探消息，假设让他当场抓住，就不是掌嘴十各那么轻易能咯结の事情。而且后院诸人の事情他也没有心思去管，他壹直在等待着来自玉盈方面の消息。可是直到掌灯都没有收到莫吉の任何讯息，这让王爷愈发地感觉事态の严重性！莫吉の能耐他最清楚，这么长时间没有探来，要么是情况太复杂，要么就是对方防范太严密，难以插手。不管是哪各原因，都意味着事情在向着最不好の方向发展着。他已经开始做最坏の打算咯！玉盈嫁人咯？不可能！谁敢跟他抢诸人？那可真の是自不量力，还想不想要脑袋咯！玉盈病入膏肓咯？不可能！玉盈这么多年都好好の，怎么壹出咯这件事情，他刚刚离咯京城，就能壹病不起，香消

抛物线及其标准方程

解析答案
(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，抛物线在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一 xy) 的轨迹所在的曲线是 ________( 个作答). 解析设动点Q(x′，y′)，则有x′＝x＋y, y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.
答案
知识点二
抛物线的标准方程
思考抛物线标准方程有何特点？
答案 (1)点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原 p 点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2.
答案
梳理
一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，所以方程也就不同，故
2
1 0 ， B. 4
2
1 ， 0 C. 4
1 0 ， D. 8
1 解析由 y＝2x ，得 x ＝2y， 1 1 所以 p＝4，故焦点坐标为0，8.
解析答案
1
2 3 4 5
2.焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( D ) A.y2＝2x C.y2＝－4x 解析 B.x2＝4y D.y2＝4x
故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2.
解析答案
类型三例3
抛物线的实际运用
一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射
入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口
径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准

抛物线的定义及标准方程

抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。

- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。

二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。

- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。

- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。

- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。

- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。

2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。

- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。

- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。

抛物线及标准方程

K
0) ，此抛物线的焦点坐标是 F (2 ，
P Q O 2 F 4
准线方程是 x 2 .
x
由定义知：P到焦点 F 的距离等于 P到准线 l 的距离. 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
显然，当Q， P， K 三点共线时，
l
y
.M
F x
即
( x 4)2 y 2 1 x 5
o
.
2 y 16x 即为点 M的轨迹方程. 化简得
另解：由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：

p 4 ， p 8 . 故点 M的轨迹方程为y2 16x . 2
p p 2 2 平方得：x px y x px 4 4
2
2
2
d
.M .
F
y 2 2 px, ( p 0)
O
x
－－抛物线标准方程
p是焦点到准线的距离
图
y

像
F
x
方
2
程
焦
点
准
线
O
y 2p x
p F ( , 0) 2
p F ( , 0) 2
p F (0, ) 2
p p 设 | FK | p, ( p 0), M ( x, y) 则F ( ,0), l : x 2 2
p p 由抛物线的定义得： ( x ) 2 y 2 | x | 2 2
O
x
p p 由抛物线的定义得： ( x ) 2 y 2 | x | 2 2

抛物线及其标准方程

生活中的抛物线
美丽的赵州桥
夜色下的喷泉
绚烂的烟花
我们知道，二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
2
几何画板演示
一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
8 （0，-2）
焦点坐标（5，0） 1 （0，—） 5 8
准线方程 x=-5
y= -— x= —
y=2 8 5 8
1
(3)(4) 一定要先把方程化为标准方程,再求焦点坐标和准线方程
例2.已知抛物线y 2 4 x 的焦点为F, P为抛物线上一点，且点P的横坐标为4，求 PF .
解：由抛物线方程y 4x, 知准线方程为x 1.
1 4
y2 x
（3）焦点到准线的距离是2
y 2 4x 或 y2 4x 或 x2 4x 或 x2 4x
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
2
(1)
(2)
(3) (4)
（- —，0）
· M
o
F
x
正常数 p的几何意义是
焦点到准线的距离
思考：
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y
o
x
o
x
o
x
o
y
x
(1)

高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结

高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式之抛物线公式：
抛物线：y=ax^2+bx+c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)^2 + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 以上是小编为大家整理的高中数学公式的抛物线方程，希望便于大家牢记。

2.4.1抛物线及其标准方程

复习：
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳︳若 1, 则点︳︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图形
o
焦
点
准线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标，准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第一：一次项的变量为X（或Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上第二：一次项的系数决定了开口方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离则点M的坐标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的距离之和最小，并求出这个最小值。若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程
抛物线是一种二次曲线，其标准方程为y^2=2px。

这个方程表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。

抛物线的标准方程有不同的形式，如y^2=2px、y^2=-2px、x^2=2py和x^2=-2py等。

这些方程分别表示了不同的抛物线，其中p为焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状和大小。

除了标准方程外，抛物线还可以用一般形式来表示，即y=ax^2+bx+c。

这个方程表示抛物线的开口方向、顶点坐标和与y轴的交点等特性。

另外，抛物线还可以用顶点式来表示，即y=a(x-h)^2+k。

这个方程表示抛物线的顶点坐标为(h,k)，a为开口方向的系数。

在求解抛物线的问题时，需要根据具体问题选择适当的方程形式，并利用已知条件来求解未知量。

抛物线及其标准方程优秀课件

准线位置：根据抛物线准线的位置，可以分为准线平行于x轴、准线平行于y轴和准线不平行于坐标轴三种。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程推导
抛物线的定义：一个平面曲线，它的所有点都位于一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）之间。
抛物线的标准方程：y^2 = 4px，其中p是焦点到准线的距离。
抛物线的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
抛物线的对称轴为x=-b/2a。结论：二次函数的对称轴与抛物线的对称轴相同，都为x=-b/2a。
抛物线的准线方程
准线的定义：抛物线上任意一点到准线的
距离相等
准线的方程： x=-p（开口方向为x轴正方向）或x=p（开口方向为x轴负方
向）
准线的性质：准线是与抛物线对称轴平行的直线，离抛
物线最近
准线的作用：利用准线方程可以求出抛物线上任意一点
的坐标
抛物线的解析性质
抛物线的导数与切线斜率
抛物线在建筑美学中的应用：古罗马建筑中的抛物线元素
抛物线在建筑美学中的应用：桥梁、隧道等交通设施中的抛物线应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
抛物线在建筑美学中的应用：现代建筑中的抛物线设计
抛物线在建筑美学中的应用：室内设计中的抛物线元素
物理学中的抛物线应用
光学应用：抛物线镜面可以聚焦光线，用于制造望远镜、显微镜等光学仪器。
抛物线的渐近线方程
定义：抛物线与直线y=±x 的交点形成的直线

抛物线及其标准方程

p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，

抛物线的四种标准方程公式

抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。

其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。

以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。

举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。

因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。

在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。

抛物线及其标准方程

即:
MF MH
l
1
H
M
定点F------焦点定直线l--------- 准线
· · F
想一想? 当直线l经过定点F，则点
M的轨迹是什么？经过点F且垂直于l的直线
F
l
·
如何求点M的轨迹方程？
M
H
想一想？
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
F ·
l
建系
设点列式
找关系化简、证明
[1]建系
P 即 2 得p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
总结: 求抛物线标准方程的一般步骤：（1）确定抛物线的形式. 注意:焦点或开（2）求p值口方向不定，则（3）写抛物线方程要注意分类讨论
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
2=-8x y （1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_______.
2、一次项的系数的符号 x 2 py 决定了抛物线的开口方 p 0 向.
2
四种抛物线的标准方程对比图形标准方程
y 2 px
2
p 0
2
抛物线的标准方程的形式上的共同特点?
如何根据抛物线的标 y 2 px 准方程来判断抛物线 p 0 的焦点位置，开口方向？ 2 x 2 py 1 、焦点在一次项字母 p 0 对应的坐标轴上. 2、一次项的系数的符号 2 x 2 py 决定了抛物线的开口方 p 0 向.
变式:
2=8y x （2）准线方程是y = -2，它的标准方程_______.
（3）焦点到准线的距离是2,它的标准方程 _____. 2 2
x =±4y 、y =±4x

抛物线及其标准方程

p F(- ,0) 2 p x= 2
y轴的正方向 x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2
y轴的负方向 x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2
y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2
抛物线的标准方程
抛物线方程
左右型
标准方程为
开口向右:
y2 =〒2px
(p>0)
y 32x F(-8,0)
2
y 2x
2
1 F( , 0) 2
y 8x 0
2
1 F(0, ) 32
x 8y 0
2
1 F( , 0) 32
练习3：请判断下列抛物线的准线方程
x 32 y
2
F(0,8)
x 2 y F(0,
2

1 2
)
是一次项系数的
y 32x F(-8,0)
2 2
当a>0时与当a<0时，结论都为：
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
（课本67页练习1）根据下列条件写出抛物线的标准方程； y2=12x （1）焦点是（3，0）；
1 （2）准线方程是x= ； y2=x 4
（3）焦点到准线的距离是2；
y2=4x y2=-4x
x2=4y
x2=-4y
（课本67页练习2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
课外作业：
《优化设计》课时作业P13 2.4.1抛物线及其标准方程第1——9题
（1）y2=20x
1 2= y （2）x 2
F（5，0） x=-5
1 1 F（0，） y=8 8 2+5x=0 5 5 （3）2y F（- ，0） x= 8 8 （4）x2+8y=0 F（0，-2） y=2

原创1：3.3.1　抛物线及其标准方程

x2＝－2py(p>0)
______________

p

0，－2
_______

p
y＝2
________
典例精析
题型一：求抛物线的标准方程
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
解
(1)由于点M(－6,6)在第二象限，
50
1
而当x＝8时，y＝－ ×82＝－1.28，
50
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
ห้องสมุดไป่ตู้
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，

2
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
∴ ＝2，∴p＝4，
综上所述，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
例2 (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的
则点P到该抛物线焦点的距离是________．
6

2
解由抛物线的方程得＝2，
再根据抛物线的定义，
可知所求距离为4＋2＝6.
跟踪练习
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱

抛物线及其标准方程课件

【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程图形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】

抛物线及标准方程

M
d
焦点
F
准线
平面内,与一个定点F和一条定直线L的距离相等的轨迹叫抛物线. 点F叫抛物线的焦点, 直线L叫抛物线的准线注意：F L
L
d为M到L的距离
l
想一想
H
K
M
· · F
设|FK|=P（P>0）
如何建立直角坐标系？
(二)抛物线标准方程的推导以过F且垂直于L的直线为x 轴,垂足为K.以F,K的中点为 y 坐标原点建立直角坐标系. M(x,y)
北京奥运会馆
2.3.1 抛物线的定义及标准方程
龙宇中学
高二数学组
卢春绳, 2.将绳端固定在一直角边A 点,绳取A到另一直角边的距离. 3.将绳另一端固定在定点F. 4.用笔扣住绳子,使A到笔的绳紧靠着直角边,然后将三角板沿直尺上下滑动. 5.观察笔描出的图形是什么?
X=0
l
y
x= -p
l
H
Ko
•
M（x,y)
H K
M (x,y)
y
x= -
P 2
l
y
•
F (p,0)
•
H
x
• o (0,0)
F
x
K
o
• F •( ,0)x
P 2
M (x,y)
|MF|=|MH|
y 2 px p
2
2
y 2 px p
2
2
y 2 px
2
以上方程中一次项的系数是多少?
以上方程中,哪种方程形式最简单?
1 （2）准线方程是x = ； 4
2
y x
2 2
（3）焦点到准线的距离是 2。（4）焦点在直线y = 2x + 1 上.

抛物线及标准方程

抛物线及标准方程

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

抛物线及标准方程

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