广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科)

惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数313i i - 的共轭复数是（ ）A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q 的值为（ ）ABC ．5D ．13 3．已知集合{}11A =-，，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A ．{}1-B ．{}1 C ．{}11-， D ．{}101-，，4．已知幂函数()y f x =的图象过点1()22，，则4log (2)f 的值为（ ）A ． 14B ． －14 C ．2 D ．－25．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ） A ．19、13 B ．13、19 C ．20、18 D ．18、207．已知x y ，满足约束条件50240x y x y z x y y ++≥⎧⎪-≤=+⎨⎪≤⎩，则的最小值为（ ）A ．14-B ．15-C ．16-D ．17- 8．数列{na } 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{n a }前12项和等于（ ） A ．76 B ．78 C ． 80 D ．82二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答） 9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．10．阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 的值为________．11．已知双曲线22221x y a b -=的一个焦点与抛线线2y =的焦点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的方程为 ．12．已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题 中正确的有 ．①m n m n αα若，，则‖‖‖；②αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； ③m m αβαβ若，，则‖‖‖；④m n m n αα⊥⊥若，，则‖． 13．已知函数()212121x x a x f x a a x ⎧+-⎪=⎨⎪->⎩≤，，，．若()f x 在()0+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则PD 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则△AOB（其中O为极点）的面积为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos cos sinf x x xϕϕ=+（其中x∈R，0ϕπ<<），且函数24y f xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于直线6xπ=对称．（1）求ϕ的值；（2）若2()34fπα-=，求sin2α的值。

17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 点为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离；（3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π？19．（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(， 数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足:n S －1n S -=n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 的通项1()3nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n R ； （3）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()32()ln 2123x f x ax x ax =++--()a ∈R． （1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；（2）若)(x f y =在[)3+∞，上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()()311+3x bf x x --=有实根，求实数b 的最大值。

惠州市2013届高三第三次调研考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．1．【解析】()313i13i i =3+i i -=-．故选D ．2．【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，B ．3．【解析】01a =或或1-．故选D ．4．【解析】由设()f x x α=，图象过点1(2得12111()()222αα==⇒=， 12441log (2)log 24f ==．故选A ．5．【解析】22221111x y mx ny m n +=⇒+=，1100m n m n >>⇔<<，即p q ⇔．故选C ． 6．【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A ． 7．【解析】最优解为min ( 2.5 2.5)15z --⇒=-，．故选B ．8．【解析】2(1)(21)(21)nn n a a n n ++=--++， 取19n =，5，及2610n =，，， 结果相加可得121234111278S a a a a a a =++++++= ．故选B ．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题， 每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．7 10．3 11．2219x y -= 12．④ 13．(]12， 14 15．39．【解析】1212721712nn n S n -===-⇒=-．答案：7．10．【解析】511614921483n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==，，，，．答案：3． 11．【解析】抛线线2y =的焦点22)10a b ⇒+=0．31e a b ==⇒=⇒=．答案：2219x y -=．12．【解析】m n ，均为直线，其中m n ，平行α，m n ，可以相交也可以异面，故①不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确 ．答案④．13．【解析】2112022a a +-≤⇒≤，xa a -是增函数，所以1a > 12a ⇒<≤．答案：12a <≤．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．【解析】∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA ， ∴60AOB ∠=，∴120POD ∠=，在△POD 中由余弦定理， 得：2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=．解析2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=，∴60DOB ∠=，可得12OE =，2DE =，在Rt PED ∆中，∴PD ===15．【解析】A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则12ABC S OA OBsin AOB =∠=134326sin π⨯⨯⨯=（其中O 为极点）．答案3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，……………………………………2分∴函数()f x 的最小正周期为2π．……………………………………3分∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………5分 又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），………………………………6分令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=．……………………………………7分（2）解：2211()sin()sin()cos )3431242f ππππααααα-==-+=+=+，…9分113sin cos 1sin 2sin 2244αααα+=⇒+=⇒=-………12分17．（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．…………………………1分 解得0.03a =．………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．……3分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人．………………………………………5分（3）解：成绩在[)4050，分数段内的人数为400.052⨯=人，……………… 6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人， ……………………………………7分若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有2615C = ………………… 9分 如果两名学生的数学成绩都在[)4050，分数段内或都在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)4050，分数段内，另一个成绩在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………………… 10分则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为22247C C += ……11分 所以所求概率为()715P M =．……………………………………………………………………13分18．（本小题满分14分） （1）证明：如图，连接1D B ，依题意有：在长方形11A ADD 中，11AD AA ==，1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D ED E AD B AD AB A ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭ 四边形平面又平面平面．……… 4分（2）解：AC ==/21AE AB ==，EC =cos 2AEC ∠==-，sin AEC ⇒∠=．∴111222AEC S ∆=⨯=，…………… 6分 11111326D AEC V -=⨯⨯=．1AD ==1D C ==1sin D AC ⇒∠==．∴11322A DC S ∆==．设点E 到平面1ACD 的距离为d ，∴11131326D AEC E AD C V V d --==⨯=13d ⇒=． ∴点E 到平面1ACD 的距离为13． ………………………………………………… 8分（3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角．∴14DFD π∠=，12D DF π∠=，111D D DF =⇒=． ……………………… 10分1sin 26DF DCF DCF DC π∠==⇒∠=，∴3BCF π∠=．…………………… 12分∴tan3BEBE BC π=⇒=2AE AB BE =-=．故2AE =1D EC D --的平面角为4π．…………………………… 14分19．（本小题满分14分）解：（1）()113f a ==Q ，()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ()1113a f c c =-=- ，()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-， ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a ca ===-=-- ，所以 1c =；又公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ *n N ∈ ；……………………2分1n n S S --==Q ()2n ≥又0n b >0>，1=；数列构成一个首相为1公差为1()111n n+-⨯= ， 2n S n =当2n ≥，()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；又其满足11b c ==，21n b n ∴=-(*n N ∈)； ……………………………… 5分（2）11(21)33n nn n c b n ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以123n n R c c c c =++++L 12331111135(21)3333n R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ① 2341111111135(23)(21)333333n n n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②①式减②式得：234121111112(21)3333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L …… 7分化简：2111113321122(1)12(21)133333313n n n n n R n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-…… 9分所以所求113n n n R +=-………………………………………… 10分（3）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K …… 12分11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； …… 13分 由1000212009n n T n =>+得10009n >，满足10002009n T >的最小正整数为112. ………… 14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，20)A，)1F ，………………………………1分由112OF AF +=0 ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ，…………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．……………………………4分（2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ， 则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………6分()()NF NP NF NP=--⋅- …………………………………………7分2221NP NF NP =-=- ．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．……………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00P x y ，，………………………………………10分所以1262020=+yx ，即202036y x -=．………………………………………………11分 因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．…………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．…………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．…………………………………………………………14分 方法2：设点112200()(),()E x y F x y P x y ，，，，，因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--…………………………………7分10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．………………………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………10分 因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………11分所以PE PF⋅ 200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min 11PE PF ⋅= ．………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．……………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，所以1262020=+yx ，即202036y x -=．……………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=--⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………………………………9分所以11)1(21)2(1)2(112020202220220++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x PF PE ．……………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()03E ，，()01F ，． …………………………………………12分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，所以1262020=+yx ，即202036y x -=．所以()003PE x y =-- ，，()001PF x y =-- ，．所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++ ．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………13分综上可知，⋅的最大值为11．…………………………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221a f x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……1分因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．…………………………………2分即22041aa a -=+，解得0a =． …………………………………………3分又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立． ……………4分（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．………5分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3)f x +∞在，上为增函数，故0=a 符合题意．…………………………………………6分②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，所以222(14)(42)0[3)ax a x a x +--+≥∈+∞对，上恒成立． ……………………7分 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a =-， …………8分因为0a >所以1114a -<，从而()0[3)g x ≥+∞在，上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =2461a a -++≥，解得a ≤≤． ……………………………………9分因为0a >，所以304a <≤．综上所述，a的取值范围为304⎡+⎢⎣⎦，． ……………………………10分 （3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x --=可化为，x bx x x =-+--)1()1(ln 2． 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0+∞，上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域． ………………………………11分以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x x x =+->， 则x x x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ， ………………………………12分所以当01,()0x h x '<<>时，从而()(01)h x 在，上为增函数， 当1()0x h x '><时，，从而),1()(+∞在x h 上为减函数， ………………13分因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x=时，b取得最大值0．………………………………………14分方法2：因为()()2lng x x x x x=+-，所以2321ln)(xxxxg-++='．设2()ln123p x x x x=++-，则21621()26x xp x xx x--'=+-=-．当0x<<时，()0p x'>，所以()p x在(0上单调递增；当x>时，()0p x'<，所以()p x在)+∞上单调递减；因为()10p=，故必有p>⎝⎭，又22441233210pe e e e⎛⎫=-++-<-<⎪⎝⎭，因此必存在实数02116xe+∈(，)使得0'()0g x=，0()0x x g x'∴<<<当时，，所以()()0g x x在，上单调递减；当01()0x x g x'<<>时，，所以()(),1g x x在上单调递增；当()1'()0()1x g x g x><+∞时，，所以在，上单调递减；又因为)41(ln)(lnln)(232+≤-+=-+=xxxxxxxxxxxg，当10ln04x x→+<时，，则()0g x<，又(1)0g=．因此当1x=时，b取得最大值0．…………………………………………14分。