高中数学课时分层作业10一般形式的柯西不等式含解析新人教A版选修45

合集下载

2019-2020高中北师版数学选修4-5课时分层作业10 简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式

课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q[解析] 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n| ＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . [答案] A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.[答案] B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36D ．48[解析] (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. [答案] C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 B ．m C ．nD ．(m ＋n )2[解析] 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立，这时u 取最小值为(m ＋n )2. [答案] A5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________． [解析] 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤ 2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6. [答案]67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y 的最小值为__________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. [答案]2588．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”，由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56.[答案] 56 三、解答题9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[能力提升练]1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4. [答案] A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.即P ≥Q . [答案] B3．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，则函数的定义域为__________，最大值为__________．[解析] 函数的定义域为[5,6]，且y ＞0， y ＝3x －5＋46－x≤32＋42×(x －5)2＋(6－x )2＝5，当且仅当36－x ＝4x －5，即x ＝13425时取等号． ∴y max ＝5. [答案] [5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.[证明] 由三角形中的正弦定理得： sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2，所以原不等式得证．。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修45

且 x＋y＋z＝xyz.
∴y1z＋x1z＋x1y＝1.
又x＋1 y＋y＋1 z＋1＋ yz
1 zx
＝121· 1xy＋1· 1yz＋1· 1zx
≤1212＋12＋12x1y＋y1z＋z1x12＝ 23，当且仅当 x＝y＝z，即 x＝y＝z＝ 3时等号成立．
已知 a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则 a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是( )
A．1
B．2
C．3
D.4
【解析】 (a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1 ＝1，当且仅当ax11＝ax22＝…＝axnn＝1 时取等号，
1a＋2b＋3c
·(a
＋
2b
＋
3c)
＝
[

1 a
2
＋

( 3c)2]
≥
1 a·
a＋
2 b·
2b＋
3 c·
3c2
＝(1＋2＋3)2＝36.
2 b
2
＋

又1a＋2b＋3c＝2，
3 c
2
][(
a )2 ＋ (
2b )2 ＋
∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立，综上，当 a＝b＝c＝3 时， a＋2b＋3c 取得最小值 18.
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是 1.
【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-5《32一般形式的柯西不等式》

第二节一般形式的柯西不等式
【课标要求】 1．理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西
不等式的一般形式． 2．会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等
式和求函数的最值．【核心扫描】 1．一般形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点． 2．常与不等式、最值等问题综合考查．(难点)
课前自主学习
或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n) 时，等号成立．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
想一想：在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为
ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．
b＋1 c＋
c＋a·
1
2
c＋a
＝(1＋1＋1)2＝9.
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
∴a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a≥a＋9b＋c. ∵a，b，c 互不相等， ∴等号不可能成立，从而原不等式成立．
规律方法有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的．
课堂讲练互动
知能达标演练
自学导引
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2
.当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在
一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 时，等号成
立．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练

解 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1 ＝ 4a＋1·1＋ 4b＋1·1＋ 4c＋1·1 ≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)12(12＋12＋12)12 ＝ 7× 3＝ 21. 当且仅当 4a1＋1＝ 4b1＋1＝ 4c1＋1时取等号．即 a＝b＝c＝13时，所求的最大值为 21.

北师大数学选修45课时分层作业10 简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式含解析

课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q[解析] 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n| ＝ (ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2 ＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . [答案] A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.[答案] B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36D ．48[解析] (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. [答案] C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 B ．m C ．nD ．(m ＋n )2[解析] 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立，这时u 取最小值为(m ＋n )2. [答案] A5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________． [解析] 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤ 2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6. [答案]67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y 的最小值为__________． [解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. [答案] 2588．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”，由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.[答案] 56 三、解答题9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[能力提升练]1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4. [答案] A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n .即P ≥Q . [答案] B3．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，则函数的定义域为__________，最大值为__________．[解析] 函数的定义域为[5,6]，且y ＞0， y ＝3x －5＋46－x ≤32＋42×(x －5)2＋(6－x )2＝5，当且仅当36－x ＝4x －5，即x ＝13425时取等号． ∴y max ＝5. [答案] [5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.[证明] 由三角形中的正弦定理得：sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2，所以原不等式得证．。

高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析

3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值．【解】由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 2＋a 23)·(b 21＋b 2＋b 23)≥.当且仅当或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立，综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)．又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198. 题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎡⎦⎤12＋12＋12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32，当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32.故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时，应有λ≥32. 因此λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理． [再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围. 【解】由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ，由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab，a 2＝bc，a 3＝ca，b 1＝ba，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式，知⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2]≥⎝⎛⎭⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 规律总结：1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a·1a ＋2b·12b ＋3c·13c 2＝9.（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用（五）随堂检测 1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为()A ．18B ．6C ．－18D.12 【解析】 |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 2＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2，即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B.【答案】 B3．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m2＋n2的最小值为 5.【答案】5六、板书设计七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式知识导学案新人教A版选修45

二一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3是实数，则(a 12+a 22+a 32)（b 12+b 22+b 32）≥__________,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2,3)时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3, …,b n 是实数，则 (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥_______,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2, …,n)时，等号成立. 知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征.对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究.一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用. 疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题. 2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见. 典题精讲【例1】已知a,b,c∈R +，求证：（b a +c b +a c )(a b +b c +ca)≥9. 思路分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1=b a ,a 2=c b ,a 3=a c ,b 1=a b ,b 2=b c ,b 3=ca ,而a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=1，因而得证. 证明：由柯西不等式，知左边=［(b a )2+(c b )2+(a c )2］×［(a b )2+(b c )2+(ca )2］ ≥(a b ×b a +c b ×b c )+a c ×ca )2=(1+1+1)2=9.∴原不等式成立.绿色通道：由a,b,c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】已知a,b,c∈R +，且a+b+c=1，求证：cb a 111++≥9. 思路分析：利用“1”的代换来构造柯西不等式. 证法一：c b a 111++=(a+b+c)(cb a 111++) =［(a )2+(b )2+(c )2］×［(a 1)2+(b 1)2+(c1)2］ ≥(a ×a 1+b ×b 1+c ×c1)2=(1+1+1)2=9. 证法二：a 1+b 1+c 1=(a+b+c)(a 1+b 1+c 1) =1+b a +c a +a b +1+c b +a c +bc +1=3+(b a +c a +c b +a c +b c +ab)≥3+66a b b c a c c b c a b a ⨯⨯⨯⨯⨯=3+6=9.【例2】已知a 1,a 2, …,a n 都是正实数，且a 1+a 2+…+a n =1.求证：1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 思路分析：已知条件中a 1+a 2+…+a n =1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为,,322211a a a a a a ++, …,所以a 1+a 2+…+a n =1.应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得左边=1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- =［(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+ …+(a n-1+a n )+(a n +a 1)］× ［(211a a a +)2+(322a a a +)2+(433a a a +)2+…+(n n n a a a +--11)2+(1a a a n n +)2］×21=［(21a a +)2+(32a a +)2+…+(n n a a +-1)2+(1a a n +)2］×［(211a a a +)2+(322a a a +)2+…+（n n n a a a +--11）2+(1a a a n n +)2］×21≥［(21a a +×211a a a +)+(32a a +×322a a a +)+…+(n n a a +-1×n n n a a a +--11)+(1a a n +×1a a a n n +)］2×21=(a 1+a 2+…+a n )2×21=21=右边.∴原不等式成立.证法二：∵a∈R +,则a+a1≥2, a≥2-a1. 利用上面的结论，知4)22(22221121121112121a a a a a a a a a a a a a +-=+-≥+⨯=+ 同理，有43223222a a a a a a +-≥+,…411121n n n n n n a a a a a a +-≥+----,4121a a a a a a n n n n n +-≥+-. 以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21（a 1+a 2+…+a n ）=21. 证法三：对于不等式左边的第一个分式2121a a a +,配制辅助式k(a 1+a 2)，k 为待定的正数，这里取k=41,则412121++a a a (a 1+a 2)≥)(412212121a a a a a +⨯+=a 1. 同理，413222++a a a (a 2+a 3)≥a 2.……41121++--n n n a a a (a n-1+a n )≥a n-1，4112++a a a n n (a n +a 1)≥a n .以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21(a 1+a 2+…+a n ). ∵a 1+a 2+…+a n =1,∴1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 绿色通道：通过以上不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.【变式训练】设x 1,x 2,x 3, …,x n 都是正实数，且x 1+x 2+x 3+…+x n =S.求证：12222121-≥-++-+-n Sx S x x S x x S x n n . 思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S-x 1+S-x 2+…+S-x n .证法一：根据柯西不等式，得左边=nn x S x x S x x S x -++-+-2222121=［(S-x 1)+(S-x 2)+ …+(S-x n )］×S n x S x x S x x S x S n n n )1(1][)1(12222121-=-++-+-- nn n x S x x S x x S x x S x S x S -++-+-⨯-++-+- 221122221][])()()[(≥2222111)]()()[()1(1nn n x S x x S x S x x S x S x x S S n -⨯-++-⨯-+-⨯--=S n )1(1-(x 1+x 2+…+x n )2=S n )1(1-×S 2=1-n S =右边.∴原不等式成立. 证法二：∵a∈R +，则a+a1≥2. ∴a≥2-a1. ∴22)1(12])1(2[1)1(1----=---⨯-≥--⨯-=-n x S n x x n x S n x x S x n n x x S x i i i i i i i i i . n 个式子相加，有])1()1()1([12121222221212222121--++--+----++-+-≥-++-+-n x S n x S n x S n x n x n x x S x x S x x S x n n n n =1)1(122-=----n Sn S nS n S .∴原不等式成立. 证法三：22)1(1-+-n x S x i i (S-x i )≥ 12)()1(1222-=--∙-n x x S n x S x i ii i . ∴22)1()1(2----≥-n x S n x x S x i i i i , ∴1)1()1(12)1(12212112-=----=----≥-∑∑∑===n S n S n n S n x S n x x S x ni i n i i ni i i . ∴原不等式成立.问题探究问题：全班同学的体重与年龄有某种关系，如果让每人的体重都去乘所有人的年龄，再求其和，就可以比较得出各班之间体重间的一些问题，问这种值最小是多少？导思：设其人数及年龄，利用柯西不等式解答.探究：设全班为60人，年龄设为x 1,x 2, …,x 60,对应的体重为y 1,y 2,…,y 60.则（x 1+x 2+…+x 60）(y 1+y 2+…+y 60) ≥(60602211y x y x y x +++)2.∴最小值是(60602211y x y x y x +++ )2.。

高中数学3.3一般形式的柯西不等式教案新人教A版选修4-5

一般形式的柯西不等式
教学目标：
1. 认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.
通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法
教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程：一、复习引入：
定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 a,b, c, d 均为实数，则
例 4 已知 a， b， c ，d 是不全相等的实数，证明： a2 + b 2 + c 2 + d 2 > ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序
启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
例 5、已知
x 2 y 3z 1,求
bn 时成立（当 ai 0 时，约定 bi 0 ， i 1， 2，…， n ）。
an
如果 ai （ 1 i n ）全为 0，结论显然成立。
三、应用举例：
例3
已知 a1,a 2, … ,a n 都是实数，求证：
1 (a1 a2 n
an ) 2
2
a1
2
a2
2
an
分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
b2 a2
bn an
时成立（当
ai
0 时，
约定 bi 0 ， i 1， 2，…， n ）。
证明：构造二次函数： f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 ) 2
(an x bn ) 2
即构造了一个二次函数：

高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课后练习新人教A版选修4-5(

西不等式课后练习新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式2 一般形式的柯西不等式课后练习新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式2 一般形式的柯西不等式课后练习新人教A版选修4-5的全部内容。

的柯西不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．已知a＋b＋c＝1，且a，b，c∈R＋，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为( ）A．1 B．3C．6 D．9解析:∵a＋b＋c＝1，∴错误!＋错误!＋错误!＝2(a＋b＋c）·错误!＝[（a＋b)＋(b＋c)＋（c＋a)］·错误!≥（1＋1＋1)2＝9。

答案：D2．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为（）A．1 B．6C．11 D.错误!解析：∵(2x2＋y2＋3z2)错误!≥(错误!x·错误!＋y·1＋错误!z·错误!）2＝（x＋y＋z）2＝1，∴2x2＋y2＋3z2≥错误!＝错误!。

即F≥错误!。

答案：D3．已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e 的最大值为（）A．3 B．4C．5 D.错误!解析：∵(a＋b＋c＋d)2≤4（a2＋b2＋c2＋d2），∴(8－e）2≤4（16－e2），∴0≤e≤错误!.答案：D4．求函数y＝5错误!＋错误!的最大值（)A．6错误!B．3错误!C．6 D．6错误!解析：函数的定义域为（1，5）,且y〉0，y＝5×错误!＋错误!×错误!≤错误!×错误!＝错误!＝6错误!.当且仅当错误!×错误!＝5×错误!时，等号成立,即x＝错误!时，函数取最大值6错误!。

2022版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5

1
2
2
3
-1
1
1
1
(1
+
2
+
⋯+a
)=
, 当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立.
n
2
2
≥
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思通过此题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其
他重要不等式来证明,构造出所需要的某种构造是证题的难点,因
此,对柯西不等式及其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变
A.1
B.-1
C.2
答案：C
)
D.-2
目标导航
1
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
1.一般形式的柯西不等式的应用
剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,
但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进展变化,拼凑出与
一般形式的柯西不等式相似的构造,才能应用,因而适当变形是我
们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应
2
(1+2 +3 +…+ )2
.
1 +2 +3 +…+
21
1
22
2
+ +…+

2
+…+

·

2
(1 + 2 +
= (1 + 2 +
⋯+an)2.
∵b1,b2,…,bn 为正数,∴b1+b2+…+bn>0.

人教A版选修4-5 一般形式的柯西不等式教案

章节：4.53 课时： 4 备课人；二次备课人课题名称第三讲一般形式的柯西不等式三维目标学习目标：1、认识一般柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、初步掌握二维形式的柯西不等式的证明，会用一般柯西不等式解决一些简单问题；3、体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系。

重点目标认识一般柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义难点目标初步掌握二维形式的柯西不等式的证明，会用一般柯西不等式解决一些简单问导入示标目标三导学做思一：自学探究问题1：推导柯西不等式的代数形式:设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。

学做思二问题2：推导柯西不等式的向量形式:设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

问题3：推导三角形不等式:设为任意实数，则：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|思考: 根据对比二维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？问题4：讨论一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：即:，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。

学做思三技能提炼例1、设，试求之最小值。

例2、设x, y, z R，若，则之最小值为________，又此时________。

例3、设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为达标检测变式反馈1、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。

2、设空间向量的方向为α，β，γ，0 <α，β，γ<π，csc2α+ 9 csc2β+ 25 csc2γ的最小值为3、设x，y，z ∈ R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2+ (y + 2)2+ (z - 3)2之最小值为4、设x, y, z R，若，（1）求之范围为何？（2）当取最小值时，求x反思总结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验。

选修4 5 一般形式的柯西不等式

欧氏空间形式：对于任意的向量x和y，有|x*y| ≤ ||x|| * ||y||
概率形式：对于任意的概率分布P(x)和Q(y)，有∑P(x)Q(y) ≥ ∑min(P(x), Q(y))
柯西不等式的应用场景
数学分析：用于证明不等式和求极值
线性代数：用于判断向量线性相关性和矩阵特征值
概率论与数理统计：用于估计概率分布和统计推断
添加标题
证明方法：利用向量的点积性质和向量模长的性质进行证明。
添加标题
应用场景：在数学、物理、工程等领域中，高维形式的柯西不等式有着广泛的应用。
添加标题
注意事项：在使用高维形式的柯西不等式时，需要注意其适用条件和限制，避免出现错误的应用。
柯西不等式的应用
05
举例
在数学领域的应用
线性代数：柯西不等式在向量和矩阵运算中的应用概率论：在估计概率分布和计算期望值中的应用微积分：在求函数极值和积分运算中的应用复变函数：在处理复数域中的问题时可以发挥重要作用
概率证明方法
柯西不等式的概率证明方法是通过构造概率空间和随机变量实现的。概率证明方法利用了数学期望和方差的性质，以及概率的归一化性质。概率证明方法的关键在于构造合适的概率空间和随机变量，使得不等式的两边达到最优。概率证明方法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，是解决优化问题的一种重要工具。
01
添加章节标题
02
柯西不等式的定义
柯西不等式的数学表达
\((\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i b_i)^2\)
其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 是实数序列
序列的长度必须相等
柯西不等式的形式分类

5.4一般形式的柯西不等式课件(人教A版选修4-5)(2)

3

1 b (a c )
3

1 c (a b )
3

3 2
附：介绍平均数不等式
问题：已知 a 1 ,a 2 , a n ∈ R + ，求证 n 1 a1 + 1 a2 + + 1 an ≤ a1 + a 2 + + a n n ≤ a1 + a 2 + + a n n
2 2 2
当且仅当 a 1 = a 2 = = a n时取等号。
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数
定理 ( 一般形式的柯西不等式
)
设 a 1 , a 2 , a 3 , , a n , b 1 , b 2 , b 3 , , b n 是实数 , 则
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2 anbb )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2
a b b c cd d a
继续 2答案
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2 2
a b b c cd d a
a 1 b 2 a 2 b1
时,等号成立 . 类似地,从空间向量的几何
≥
背景也能得到
2 2 2 2
,将空间向量的坐标代入,
2
化简后得三维形式的柯西不等式:
( a 1 a 2 a 3 )( b1 b 2 b 3 ) ≥ ( a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) , 当且仅当 , 共线时,等号成立. 即 0 ,

高中数学课时分层作业9二维形式的柯西不等式含解析新人教A版选修451017330

高中数学课时分层作业9二维形式的柯西不等式含解析新人教A 版选修451017330课时分层作业(九) 二维形式的柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4C [∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2.]2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2.]3．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P <Q C ．P ≥QD ．P >QA [设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n | ＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .]4．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．(－5，5)A [(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2. ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.]5．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．252D ．72C [⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b2＋4. ∵a ＋b ＝1，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42＝17，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥172＋4＝252.]二、填空题6．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．[解析] 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，于是2x ＋y ≤11.[答案]117．设xy ＞0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x2的最小值为________．[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9(当且仅当xy ＝2时取等号)． [答案] 98．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y ＝[(x )2＋(2y )2]⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3x＋2y ·2y 2＝25，当且仅当x ·2y＝2y ·3x，即x ＝245，y ＝85时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8，∴9x ＋2y ≥258.[答案]258三、解答题9．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. [证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bsin θ2· 1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 10．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.[证明] 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，当且仅当b ＝2a 时，等号成立，即5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.[能力提升练]1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5B [根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝265时取等号.] 2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2 B ．1 C ．3D ．9A [∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤(2x )2＋(5y )2·12＋12＝1·2＝ 2. ∴2x ＋5y 的最大值为 2.]3．函数f (x )＝2－x 2＋2x 2－1的最大值为______． [解析] 设函数有意义时x 满足12≤x 2≤2，由柯西不等式得[f (x )]2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122 ≤(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x 2－12＝92，∴f (x )≤322，当且仅当2－x 2＝x 2－122，即x 2＝32时取等号．[答案]3224．在半径为R 的圆内，求内接长方形的最大周长．[解] 如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2)．由柯西不等式l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R＝42R ，当且仅当x1＝4R 2－x21，即x ＝2R 时，等号成立．此时，宽＝4R 2－(2R )2＝2R ，即ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为42R .。

高中数学二维形式的柯西不等式教案新人教A版选修4-5

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式.2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则||m =u r ||n r∵ m n ac bd •=+u r r，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g g ，则||||||m n m n ≤u r g g . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？||ac bd + 或||||ac bd +ac bd +.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u rg . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 讨论：上面时候等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =的最大值?要点：利用变式||ac bd +二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤u r u r u r u rg ，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++L L 讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++L ，22212n C b b b =+++L ，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++L g 22212()n b b b +++L ≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+L . （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

高中数学人教A版选修4-5学业分层测评10 一般形式的柯西不等式 Word版含解析

学业分层测评（十）[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3D.9【解析】由柯西不等式得[(a )2＋(b )2＋(c )2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2≤3×1＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． ∴a ＋b ＋c 的最大值为 3.故选B. 【答案】 B2．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值为( )【导学号：32750054】A ．4B ．3C ．6D.2【解析】 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 【答案】 D3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD.不确定【解析】由柯西不等式知≥a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ，即得a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .【答案】 B4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D.611【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号．【答案】 D5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36 D ．48 【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. 【答案】 C 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．【解析】由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a－1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 【答案】 4997．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 128．设x ，y ，z ∈R ，若(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2＝4，则3x －y －2z 的取值范围是__________．又3x －y －2z 取最小值时，x 的值为__________．【解析】 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2][32＋(－1)2＋ (－2)2]≥(3x －3－y －2－2z )2,4×14≥(3x －y －2z －5)2， ∴－214≤3x －y －2z －5≤214，即5－214≤3x －y －2z ≤5＋214.若3x －y －2z ＝5－214，又x －13＝y ＋2－1＝z－2＝t ，∴3(3t ＋1)－(－t －2)－2(－2t )＝5－214， ∴t ＝－147，∴x ＝－3147＋1.【答案】 [5－214，5＋214] －3147＋1 三、解答题9．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z ·y ＋2z ＋y z ＋2x ·z ＋2x ＋zx ＋2y·x ＋2y ＝1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫x2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1，∴x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13. (2)由基本不等式，得4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2，因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a ，b ，c 大于0，∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2 ＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2 ＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.又f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1， ∴f (x 1)·f (x 2)≥1.[能力提升]1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4(2a －b )·b的最小值为( )A ．1B ．3C ．8 D.12【解析】 ∵2a ＞b ＞0，∴2a －b ＞0， ∴a ＋4(2a －b )·b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2a －b )＋b ＋8(2a －b )·b ≥12·33(2a －b )·b ·8(2a －b )·b ＝3.当且仅当2a －b ＝b ＝8(2a －b )·b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴当a ＝b ＝2时，a ＋4(2a －b )·b有最小值3.【答案】 B2．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14 B.13 C.12D.34【解析】由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.【答案】 C3．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3，即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立．又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时， 2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3.【答案】 4 34．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.【证明】由三角形中的正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2Ra ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2， ∴原不等式得证．。

高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4-5

接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立，接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏目链接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目链接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有

高中数学课时分层作业10一般形式的柯西不等式含解析新人教A版选修45

2019-2020高中北师版数学选修4-5课时分层作业10 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-5《32一般形式的柯西不等式》

北师大数学选修45课时分层作业10 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 含解析