辽宁省沈阳市沈河区九年级(上)期末数学试卷
2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末数学试卷与答案
2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（2分）如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（2分）若反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2≤y1＜y3 4．（2分）如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3B．6C．D．105．（2分）下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击中9环的概率约是（）6．（2分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．7．（2分）下列命题正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形89A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm10．（2分）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：cos230°+|1﹣|﹣2sin45°+（π﹣3.14）0＝．12．（3分）如图，已知路灯离的面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．13．（3分）在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是．15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝9，tan∠ADB＝，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF的长为．三、解答题17．（6分）解方程：（x﹣3）2＝7x﹣21．18．（8分）节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD＝30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是菱形；（2）填空：若AC＝8，则线段CF的长为．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房的产的新政策出台后，购房者持币观望，房的产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）21．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC 的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到的面的距离．（结果保留根号）五、（本题10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．六、（本题10分）23．（10分）一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．八、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．25．（12分）如图，直线y＝x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．【解答】解：因为，所以b＝，把b＝代入则＝，故选：B．2．【解答】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．3．【解答】解：∵y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），∴点（﹣1，y1）和（﹣，y2）在第二象限，点（，y3）在第四象限，﹣1＜﹣，∴0＜y1＜y2，y3＜0，即y3＜y1＜y2，故选：C．4．【解答】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，∵CD＝16．CE+ED＝CD，∴DE＝，故选：D．5．【解答】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.7附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.7，故选：C．6．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：D．7．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：A．8．【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．9．【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，∴AB＝＝10（cm），故选：B．10．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，∴CD＝＝，∵AC＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【解答】解：原式＝（）2+﹣1﹣2×+1＝+﹣1﹣+1＝．故答案为：．12．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴CB＝6，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4（m）．故答案为4．13．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率＝＝．故答案为．14．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2×，4×）或[﹣2×（﹣），4×（﹣）]，即点A′的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．15．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．16．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝9，tan∠ADB＝，∴AD＝12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB＝，∴设DH＝4x，FH＝3x，∴DF＝5x，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠ABE＝∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF（AAS），∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，∴AE+DH＝AD﹣EH＝3x+4x＝12﹣9＝3，∴x＝，∴DF＝5x＝；如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝9，tan∠ADB＝，∴AD＝12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB＝，∴设DH＝4x，FH＝3x，∴DF＝5x，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠ABE＝∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF，∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，∴DH﹣AE＝AD+EH＝4x﹣3x＝12+9＝21，∴x＝21，∴DF＝5x＝105，综上所述，线段DF的长为或105．故答案为：或105．三、解答题17．【解答】解：∵（x﹣3）2﹣7（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣10）＝0，则x﹣3＝0或x﹣10＝0，解得：x1＝3，x2＝10．18．【解答】解：（1）∵有三位孩子，分别是a，b，c，∴家长A恰好选中孩子的概率是；故答案为：．（2）画树状图如下：∵共有9种等情况数，恰好是同一家庭成员的有3种情况数，∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是＝．19．【解答】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴平行四边形OBEC是菱形；（2）∵BE∥AC，∴∠OAF＝∠BEF，∵AO＝BO＝BE，在△AOF与△EBF中，，∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF＝BF，∵AC＝8，∴BD＝8，∴OC＝OB＝4，∵∠ABD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF＝OC＝2．故答案为：2．四、（每小题8分，共16分）20．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．21．【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，∴∠FHE＝45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC tan60°＝1×＝，∴GM＝AB＝，在Rt△ANH中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝×＝，∴EM＝EG+GM＝+，答：篮板底部点E到的面的距离是（+）米．五、（本题10分）22．【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得n＝2，∴A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，﹣2）．（2）∵A（﹣1，2），∴y≤2的取值范围是x＜﹣1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，设P（m，﹣），则（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m+1＝0，解得m＝或m＝，∴P点的横坐标为．六、（本题10分）23．【解答】解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y＝kx+b，则，解得：，即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y＝﹣x+50；故答案为：y＝﹣x+50；（2）设公司获得的日收益为w，则w＝（x﹣30）（﹣x+50）＝﹣x2+60x﹣1500；（3）z＝w﹣12（10﹣y）＝﹣x2+56x﹣1020＝﹣（x﹣84）2+1332（x≥120），∵当x＞84时，z随x的增大而减小，∴当x＝120时，z取得最大值，最大值＝﹣（120﹣84）2+1332＝900，答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．八、（本题12分）24．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．25．【解答】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝x+a，解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═x﹣3，令x＝0，则：y＝﹣3，则点B坐标为（0，﹣3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b﹣3＝0，解得：b＝﹣，故：抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，故：答案为：（0，﹣3），y＝x2﹣x﹣3；（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，m﹣3），N（m，m2﹣m﹣3），∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣（m﹣2）2+3，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝2时，PN有最大值是3，②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝m2﹣m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），∴m＝3；当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，设：直线BN的表达式为：y＝﹣x+n，把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣x﹣3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝或0（舍去m＝0），当∠BPN＝90°时，不合题意舍去，故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；（3）∵OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tanα＝，则：cosα＝，sinα＝，∵PM∥y轴，∴∠BPN＝∠ABO＝α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB 上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n＝m2﹣m﹣3，过点N作AB的平行线，则点N所在的直线表达式为：y＝x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y＝x+（n﹣m），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，△＝144﹣3×4×（0＝﹣12+3m﹣4n）＝0，将n＝m2﹣m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣），则：点P坐标为（2，﹣），则：PN＝3，∵OB＝3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y ＝x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±2，则点N′、N″的横坐标分别为2，2﹣2，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h＝NH＝NP sinα＝，作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON ′＝＝（2+2），S四边形OBPN＝BP•h ＝×＝6，则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+6，同理：S四边形OBN″P″＝6﹣6，故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6﹣6．surferteacherdiver writerinspector（检查员）wash——washingpack——packing（包装）hikingShopping第页（共22页）21第页（共22页）22。
沈河区初三数学期末考试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 若方程x² - 5x + 6 = 0 的解为 x₁和 x₂，则 x₁ + x₂的值为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标为：A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）3. 若 a、b、c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 12，a² + b² + c² = 42，则等差数列的公差为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，y = kx + b（k ≠ 0）为一次函数的是：A. y = x² - 2B. y = 2x + 1C. y = 3x³ + 4D. y = 4/x5. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 60°，则∠B = ∠C = °。
二、填空题（每题5分，共20分）6. 若 a、b、c、d 是等比数列的前四项，且 a = 2，b + c = 10，则 d =________。
7. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则△AB C的内角∠C = ________°。
8. 若x² - 5x + 6 = 0，则x² + 2x + 1 = ________。
9. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若底边BC = 8，腰长为6，则三角形ABC的周长为 ________。
三、解答题（共100分）10. （15分）已知函数 f(x) = 2x - 3，求证：对于任意实数 x₁和 x₂，都有f(x₁) + f(x₂) ≥ 2f(√(x₁x₂))。
11. （15分）已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a₁ = 2，S₃ = 18，求公差 d 和第5项 a₅。
12. （15分）在直角坐标系中，已知点P（-1，2）和点Q（3，4），求过点P和Q 的直线方程。
_ 2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题2分，共20分）1．若＝，则的值为（）A．B．C．D．2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等4．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 6．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，﹣1）8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x（x+3）＝0的解是．12．（3分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为m．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是．14．（3分）如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是km．15．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0有一个根是0，那么m 的值为．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝30°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍（即CE＝CD），过点E作EF⊥AB于点F，当AD＝6，BF＝3，EF＝时，边BC的长是．三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：4sin260°+cos45°﹣2tan60°•tan30°．18．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）19．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F（点E，F在正方形ABCD的外部），满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，sin∠AFE＝，则四边形AECF的面积是．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2880万元．（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．21．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B 点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）五、（本题10分）22．（10分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）（1）点A的坐标为；（2）求双曲线y＝的解析式；（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx＜0的解集．六、（本题10分)23．（10分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．七、（本题12分)24．（12分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．（1）当BE＝EF时．①求证：FH＝AE；②当△DEF的面积是时，求线段DE的长；（2）如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON 上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题2分，共20分）1．若＝，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设＝＝t，则可用t表示a、b得到a＝3t，b＝2t，然后把它们代入分式中约分即可．【解答】解：设＝＝t，则a＝3t，b＝2t，所以＝＝．故选：C．2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，故选：C．3．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选：B．4．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，A的概率为1÷6×100%≈16.67%，B的概率为3÷6×100%＝50%，C的概率为4÷6×100%≈66.67%，D的概率为2÷6×100%≈33.33%，即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，故选：D．5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，逐一分析四个选项方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【解答】解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴该方程没有实数根；B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：A．6．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．【解答】解：A．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入y＝﹣得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，﹣1）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：点A为（4，2），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故选：D．8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根【分析】利用函数图象平移即可求解．【解答】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，故选：D．9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴，A正确；∴，B错误；∴，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；②根据抛物线与x轴的交点即可判断；③根据二次函数的对称性即可判断；④由对称轴求出b＝﹣a即可判断．【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③∵对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个，故③正确；④∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故④正确；综上所述，正确的结论是②③④共3个．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x（x+3）＝0的解是0或﹣3．【分析】推出方程x＝0，x+3＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x（x+3）＝0，∴x＝0，x+3＝0，∴方程的解是x1＝0，x2＝﹣3．故答案为：0或﹣3．12．（3分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为m．【分析】利用中心投影的特点得到AB∥OP，则可判断△ABC∽△OPC，然后利用相似比求OP的长．【解答】解：∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴＝，即＝，∴OP＝（m）．故答案为．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是．【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB＝＝13，∴sin B＝＝．故答案为．14．（3分）如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是 2.3km．【分析】利用直角三角形的性质可得CM＝AB，从而可得答案．【解答】解：∵公路AC与BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M是AB中点，∴CM＝AB＝ 4.6km＝2.3km，故答案为：2.3．15．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0有一个根是0，那么m 的值为4．【分析】先把x＝0代入（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0得m2﹣7m+12＝0，再解关于m 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．【解答】解：把x＝0代入（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0得m2﹣7m+12＝0，解得m1＝4，m2＝3，∵m﹣3≠0，∴m的值为4．故答案为4．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝30°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍（即CE＝CD），过点E作EF⊥AB于点F，当AD＝6，BF＝3，EF＝时，边BC的长是．【分析】由锐角三角函数可求∠DEC＝30°，通过证明△ADE∽△BDC，可得＝，由勾股定理可求AE的长，即可求解．【解答】解：如图，连接BD，AE，DE，∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍，∴∠DCE＝90°，CD，∴tan∠DEC＝，∴∠DEC＝30°，∴cos∠DEC＝＝，sin∠DEC＝，∵AD＝AB，∴，∴，又∵∠DEC＝∠DAB＝30°，∴△DEC∽△DAB，∴∠ADB＝∠EDC，，∴∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴＝，∵AD＝AB，AD＝6，∴AB＝9，又∵BF＝3，∴AF＝6，∴AE＝＝＝，∴BC＝AE＝，故答案为：．三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：4sin260°+cos45°﹣2tan60°•tan30°．【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则即可求．【解答】解；原式＝4×+×﹣2××＝4×+1﹣2＝2．18．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．19．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F（点E，F在正方形ABCD的外部），满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，sin∠AFE＝，则四边形AECF的面积是32．【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据正方形ABCD的性质和AB＝4，sin∠AFE＝，可得AC＝4，EF＝8，进而可得菱形AECF的面积．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，AC⊥EF，∴OA＝AB＝2，∴AC＝4，∵sin∠AFE＝＝，∴＝，∴AF＝2，∴OF＝＝4，∴EF＝8，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝4×8＝32．故答案为：32．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2880万元．（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．【分析】（1）设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据该地区2018年及2020年投入教育经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该地区2021年投入教育经费＝该地区2020年投入教育经费×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，依题意得：2000（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为20%．（2）2880×（1+20%）＝3456（万元）．答：预计2021年该地区将投入教育经费3456万元．21．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B 点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH 中，求出BH，则可得出答案【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，∴EG＝＝＝7（米）．∴DH＝EG＝7米．在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，∴BH＝DH＝7米．∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．答：大楼BC的高度是（30+7）米．五、（本题10分）22．（10分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）（1）点A的坐标为（2，3）；（2）求双曲线y＝的解析式；（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx＜0的解集．【分析】（1）由OB与AB的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标；（2）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值；（3）由图象求得即可．【解答】解：（1）由题意可知A（2，3），故答案为（2，3）；（2）将A点坐标代入y＝中，得：3＝，∴k＝6，∴双曲线的解析式为y＝；（3）由图象可知，关于x的不等式mx＜0的解集是0＜x＜2或x＞4．六、（本题10分)23．（10分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；（2）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；（3）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意得出x的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；故y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（1≤x≤25，且x为正整数）；（2）w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个；（3）由题意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，由（2）得：w＝﹣20x2+300x+5000，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴需要增加的生产线x条的取值范围是：5≤x≤10（x为正整数）．七、（本题12分)24．（12分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．（1）当BE＝EF时．①求证：FH＝AE；②当△DEF的面积是时，求线段DE的长；（2）如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．【分析】（1）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②根据全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可；（3）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：（1）①∵FH⊥AE，∴∠FEH+∠HFE＝90°，∵矩形BEFG，∴∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠HFE，在△FHE与△EAB中，，∴△FHE≌△EAB（AAS），∴FH＝AE；②∵△FHE≌△EAB，∴AE＝FH，∵AD＝6，设CD＝x，AE＝6﹣x，∵△DEF的面积＝，可得：，解得：，即线段DE的长为或；（2）∵FH⊥AE，∴∠FEH+∠HFE＝90°，∵矩形BEFG，∴∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠HFE，∴△FHE∽△EAB，∴，∵AB＝6，∴，∴HE＝2，延长FE交DC于点Q，∵Q是CD的中点，∴DQ＝，设FH为x，则AE＝x，则DE＝6﹣x，∵∠DEQ＝∠FEH，∠FHE＝∠QDE＝90°，∴△EDQ∽△EHF，∴，即，解得：，，∴线段FH长为+1或﹣1．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON 上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P作PG⊥x轴，交BC与G，先求出直线BC的解析式，设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），可求PG的长，由平行线分线段成比例可得，利用二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，设点H（x，y），由“AAS”可证△FHE≌△HMQ，可得HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，由勾股定理可求y的值，可求点M坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3），∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，∵PG∥OC，∴＝＝，∴当p＝时，的值有最大值，∴点P（，）；（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，设点H（x，y），∵点A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，∴点F（2，3），CF∥x轴，∴CF∥PM，∴HK⊥CF，HK⊥PM，∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，∴∠QHM＝∠HFE，又∵FH＝HM，∴△FHE≌△HMQ（AAS），∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，∴y﹣2＝x﹣2，∴x＝y，∵FH2＝HE2+EF2，∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，∴y＝2+5，∴QM＝2+5﹣3＝2+2，∴点M的坐标（4+7，2），∵MN⊥x轴，∴ON＝7+4，当点M在点F的左侧，同理可求ON＝3+4，综上所述：线段ON的长为7+4或3+4．。
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级(上)期末数学试卷
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题2分，满分20分）1．（2分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．2．（2分）如图的一个几何体，其左视图是（）A．B．C．D．3．（2分）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（）A．0.2B．0.5C．0.6D．0.84．（2分）下列说法：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）有一个内角为直角的平行四边形是矩形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；（5）四边形各边中点连线所得的图形是平行四边形；其中正确的有（）个．A．5B．4C．3D．25．（2分）按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程（）A．100（1+x）2＝500B．100（1+x2）＝500C．100（1+x）+100（1+x）2＝500D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝5006．（2分）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头F ACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2F A，若盲区EB的长度是6米，则车宽F A的长度为（）米．A．2B．C．D．7．（2分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）A．图象经过点（﹣2，﹣3）B．图象位于第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大8．（2分）在正方形ABCD中，边，E是CD中点，则线段AB长度为（）A．B．C．D．59．（2分）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．AC2＝AP•AB10．（2分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣2），且与x轴交点横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．得出结论：①abc＜0；②2a＞b＞0；③4ac＜b2﹣8a；④a+c＞﹣1．上述结论正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2+4x＝0的实数解是．12．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（1，2）在第一象限的对应点A1的坐标是．13．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝5，则DF的长为．14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．15．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣3﹣306…则当﹣3＜x＜2时，y的取值范围为．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别在边AB、CD上，且BE＝DF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为．三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：cos230°+sin245°﹣tan60°•tan30°18．（8分）建国中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是；（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，请用“列表”或“画树状图”的方法求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，DE＝BF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）已知AB＝4cm，BC＝8 cm，则菱形AFCE的面积是．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）光明中学准备在校园里利用围墙（墙长19m）和42m长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽度EH＝1m的花池．已知CG＝2DG，劳动基地的总面积（不包含花池）为132m2，求DG的长是多少？21．（8分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA ＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．（1）如图2．若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°，求AC的长（结果保留根号）；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为124cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）五、（本题10分）22．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，请直接写出该电子玩具的销售单价的取值范围．六、解答题（本题10分）23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，n），B（﹣3，﹣1）两点．（1）点A的坐标为；一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；（2）将直线y1向下平移6个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，请直接写出满足条件的x的取值范围．七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AB边上，且AE＝1．点F是BC边上的动点．将△BEF沿EF折叠得到△GEF．直线GF与直线AB的交点为H．（1）如图2，点F与点C重合时，求△HEG与△HBC的面积比；（2）如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长．（3）在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由．八、（本题12分）25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点M是线段OB上一动点，连接CM．（1）点A坐标是；点B坐标是；抛物线的函数表达式是；（2）当CM＝2BM时，则OM：OC的值是；（3）如图2，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E．①当OM＝时，四边形ABEC的面积最大？此时四边形ABEC的最大面积是；②如图3，在①的条件下，将CM右侧的抛物线沿CM对折，交y轴于点F，请直接写出点F的坐标．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题2分，满分20分）1．C；2．D；3．A；4．C；5．D；6．D；7．D；8．C；9．C；10．C；二、填空题（每小题3分，共18分）11．x1＝0，x2＝﹣4；12．（2，4）；13．15；14．m≤7且m≠3；15．y＜6；16．；三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）17．；18．；19．20cm2；四、（每小题8分，共16分）20．DG的长是m或6m．；21．（1）80cm；（2）160cm．；五、（本题10分）22．（1）y＝﹣5x+1000；（2）当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；（3）140≤x≤160．；六、解答题（本题10分）23．（1，3）；y1＝x+2；y2＝；七、（本题12分）24．（1）；（2）4；（3）或．；八、（本题12分）25．（﹣1，0）；（3，0）；y＝﹣x2+2x+3；；；。
辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期数学期末试题及答案
，故选：B ．【点睛】本题考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的定义是解答的关键．3. 下列方程没有实数解的是（ ）A. 20x = B. 2210x x -+=C. 2210x x +-= D. 2220x x ++=【答案】D【解析】【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．【详解】解：A ．方程20x =解120x x ==，故本选项不合题意；B ．2210x x -+=，224(2)4110b ac -=--⨯⨯= ，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；C ．2210x x +-=，224241(1)80b ac -=-⨯⨯-=> ，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意；D ．2220x x ++=，224241240b ac -=-⨯⨯=-< ∴此方程无解，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．4. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（ ）A. 11B. 14C. 17D. 20【答案】C【解析】【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】解：设红球的个数为x 个，根据题意得：为∴30.153x=+，解得：17x =，经检验17x =是原方程的解，则红球的个数为17个．故选：C ．【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．5. 已知二次函数2y ax bx c =++部分y 与x 的值如下表：x…1-1234…y …1203-4-3-…根据表格可知，一元二次方程20ax bx c ++=的解是（ ）A. 11x =，25x =B. 11x =-，23x =C. 12x =，27x =D. 10x =，23x =【答案】A【解析】【分析】根据二次函数对称性找到表中对称点，求出对称轴，找到0y =的点，根据对称性求出对称点即可得到答案；【详解】解：由表可得，(4,3)-、(2,3)-是二次函数2y ax bx c =++的对称点，∴2+4==32x 对，∵二次函数2y ax bx c =++与x 轴的一个交点为(1,0)，根据对称性可得，2315⨯-=，∴另一个交点为：(5,0)，∴一元二次方程20ax bx c ++=的解是：11x =，25x =，故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解与二次函数的关系，解题的关键是根据二次函数的对称性求对称轴及对称坐标．6. 两张全等的矩形纸片ABCD ，AECF 按如图所示的方式交叉叠放，AB ＝AF ，AE ＝BC ．AE 与BC 交于点G ，AD 与CF 交于点H ，且∠AGB＝30°，AB ＝2，则四边形AGCH 的周长为（ ）的A. 4B. 8C.D. 16【答案】D【解析】【分析】证明四边形AGCH 是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AG 的长，即可求解．【详解】解：∵两张全等的矩形纸片ABCD ，AECF 按如图所示的方式交叉叠放，AB ＝AF ，AE ＝BC ，∠AGB＝30°∴,AD BC FC AE ∥∥，90B F ∠=∠=︒，30HAG AGB ∴∠=∠=︒，30FHA HAG ∠=∠=︒，2,2AG AB AH AF ∴==，2AB = ，4AG AH ∴==，,AG HC AH GC ∥∥ ，∴四边形AGCH 是平行四边形，AG AH =，∴四边形AGCH 是菱形．∴四边形AGCH 周长为16．故选D ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形AGCH 是菱形是解题的关键．7. 某公司今年10月份的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额要达到9500万元，若设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x ，那么下列方程正确的是( )A. ()2200019500x += B. ()2000129500x +=C. ()()20001129500x x ++= D.()()2200020001200019500x x ++++=【答案】D 【解析】【分析】用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9500万元，即可列方程．【详解】设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x.根据题意得()()2200020001200019500x x ++++=．或()()2200011950[10]x x ++++= ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a ，变化后的量为b,平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.8. 如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，其中点A ，B ，O 均在格点上，则sin AOB ∠的值为（ ）A. 12B. 1【答案】C【解析】【分析】连接AB ，先根据网格特点和勾股定理求得OAB 的三边长，再判断OAB 的形状，然后利用正弦定义求解即可．【详解】解：连接AB ，由图知，AB ==OB ===OA ==，则222AB OA OB +=，∴OAB 是直角三角形，且90OAB ∠=︒，∴sin AB AOB OB ∠===故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理及其逆定理，熟练掌握直角三角形的判定和边角关系是解答的关键．9. 已知反比例函数21k y x+=的图像上有三点()12,A y -，()21,B y -，()31,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A 123y y y << B. 213y y y <<C. 321y y y << D. 231y y y <<【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质判断出函数图像所在的象限以及每一个象限内的增减性即可求解即可．【详解】解：∵210k +>，∴此反比例函数图像在第一、三象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，∵()12,A y -，()21,B y -，()31,C y 在此反比例函数的图像上，且2101-<-<<，∴2130y y y <<<，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟知反比例函数的增减性是解答的关键．10. 如图，已知点E ，点F 为正方形ABCD 内两点，C ，E ，F 三点共线且满足90BEC CFD ∠=∠=︒，连接DE 并延长交BC 于点G ，若EG 平分BEC ∠，AB =，则DE 的长为（ ）A. 1C. 2D. 【答案】B【解析】.的【分析】先证明(AAS)BCE CDF ≌ ，得CE DF =，再证明DEF 为等腰直角三角形，设EF DF CE x ===，在Rt CDF △中由勾股定理列出方程求得x ，进而由勾股定理求得DE ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒，∵90BEC ∠=︒，∴90CBE BCE BCE DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴CBE DCF ∠=∠，在BCE 和CDF 中，BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)BCE CDF ≌ ，∴CE DF =，∵EG 平分BEC ∠，∴1452DEF CEG BEC ∠=∠=∠︒＝，∴EF DF CE ==，设EF DF CE x ===，∵222CF DF CD +=，∴()2222x x +=，∴1x =，∴DE ==，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，关键在于证明三角形全等．二、填空题：（每小题3分，共18分）11. 如图，在ABO 中，点A 的坐标为()4,5，以原点O 为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到A B O ''△，则点A 的对应点A '的坐标是______．【答案】()8,10【解析】【分析】根据位似变换的性质求解即可．【详解】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到A B O ''△，点A 的坐标为()4,5，∴点A '的坐标为()42,52⨯⨯，即()8,10，故答案为：()8,10．【点睛】本题考查位似变换的性质，解答的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．12. 如图，反比例函数()60y x x=->的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为______．【答案】3【解析】【分析】设(),P x y ，则6xy =，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：设(),P x y ，∵点P 在反比例函数()60y x x=->的图象上，∴6xy =-，∵PA x ⊥轴，∴116322PAB S xy ==⨯= ．故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k 是解题的关键．13. 平面直角坐标系内，一点光源位于()0,5A 处，线段CD⊥x 轴，D 为垂足，点C 的坐标为()3,1，则CD 在x 轴上的影长为______．【答案】34【解析】【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：如图，连接AC 并延长，交x 轴与点E ，∵CD x ⊥轴，∴CD//OA，∴ECD EAO △∽△，∴ED CD OE OA=，∵点A （0，5），点C （3，1），∴5OA =，1CD =，3OD =，∴135ED DE OE DE ==+，解得34DE =，即CD 在x 轴上的影长为34．故答案为：34．【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的知识以及相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形的性质求解．14. 如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明()AB 站在B 点处去观测10m 外的位于D 点处的一棵大树()CD ，所用工具为一个平面镜P 和必要的长度测量工具（点B ，P ，D 在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面1.6m ，大树高6.4m ，当小明与平面镜相距______m 时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．【答案】2【解析】【分析】根据平面镜的反射原理：入射角等于入射角证明ABP CDP ∽△△，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：由题意，得AB BD ⊥，CD PD ⊥，APB CPD ∠=∠，∴ABP CDP ∽△△，∴AB BP CD DP=，∵ 1.6m AB =， 6.4m CD =，10m BD =，∴1.66.410BP BP=-，解得2m BP =，故小明与平面镜相距2m 时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．故答案为：2．【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，掌握平面镜得原理，会利用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键．15. 如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x ＝1，以下4个结论：①<0abc ；②24b ac >；③()a b m am b +<+，其中1m ≠；④420a b c ++>．其中正确结论的有______．（填序号）【答案】①②④【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，分别观察2x =，=1x -，1x =时的函数值，进而对所得结论进行判断即可．【详解】解：①由图象可知：a<0，0c >，∵02b a->，∴0b >，∴<0abc ，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，∴24b ac >，结论②正确；③当1x =时，y 的值最大．此时，y a b c =++，而当x m =时，2y am bm c =++，其中1m ≠，所以2a b c am bm c ++>++，故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故③错误．④由对称知，当2x =时，函数值大于0，即420y a b c =++>，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．16. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且3AD =，4BE =，连接AE ，BD ，交于点F ，10BD =，cos AFD ∠=，则AE 的长为______．【答案】【解析】【分析】过点A 作AG BE ∥，BG AE ∥交于点G ，连接DG ，勾股定理求得DG ，过点D 作DH BG ⊥，证明,G H 重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AG BE ∥，BG AE ∥交于点G ，连接DG ，则四边形AGBE 是平行四边形，∴4AG BE ==，∵90C ∠=︒，则BC AC⊥∴AG AC⊥∴ADG △是直角三角形，∴5DG =∵cos AFD ∠=∴30AFD ∠=︒∵AE BG∥∴30DBG ∠=︒∵5,10DG DB ==过点D 作DH BG ⊥，∵1sin 2DBG ∠=∴152DH DB ==∴,G H 重合，∴AE BG BH ===故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17.2452cos 603tan 30tan 45︒+︒-︒+︒．【答案】2【解析】【分析】利用特殊三角函数值计算即可．2452cos 603tan 30tan 45︒+︒-︒+︒212312=⨯-⨯+1111=+-+2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值并正确求解是解答的关键．18. 某剧场设置了三个入口A ，B ，C ．甲，乙两人可以随机选择一个入口入场，用画树状图或列表法求甲、乙两人选择不同入口的概率．【答案】23【解析】【分析】画出树状图，得到所有等可能的3，再找出甲、乙两人选择不同入口的结果数，利用概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：,由图可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同入口的有6种结果，∴甲、乙两人选择不同入口的概率为6293=．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．19. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，DE AC ∥，CE BD ∥，连接OE ，交CD 于点F ．（1）求证：四边形DOCE 是矩形；（2）若2EF =，120ABC ∠=︒，直接写出菱形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明四边形DOCE 为平行四边形，再根据菱形的性质得到90DOC ∠=︒，然后根据矩形的判定可证得结论；（2）根据矩形的对角线相等求得2CD =，再根据菱形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵DE AC ∥，CE BD ∥，∴四边形DOCE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，即90DOC ∠=︒，∴四边形DOCE 是矩形；【小问2详解】解：∵四边形DOCE 是矩形，2EF =，∴24CD OE EF ===，∵四边形ABCD 是菱形，∴2BD OB =，2AC OC =，AC BD ⊥，4AB BC CD ===，∴1602CBO ABC ∠=∠=︒，则9030BCO CBO ∠=︒-∠=︒，∴122OB BC ==，OC ==，∴2AC OC ==，24BD OB ==，∴四边形ABCD 的面积为11422BD AC ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30︒的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．四、（每小题8分，共16分）20. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为5元的小商品进行直播销售，如果按每件8元销售，平均每天可卖出200件，通过市场调查发现，售价每上涨1元，销售数量就减少10件，规定销售数量不得低于100件，那么每件售价定为多少元时，平均每天能获得900元的利润？【答案】每件售价定为10元时，平均每天能获得900元的利润．【解析】【分析】设定价为x 元时平均每天能获得900元的利润，根据题意表示出数量与单价之间关系，由利润900元列方程求解即可得到答案；【详解】解：设定价为x 元时平均每天能获得900元的利润，由题意可得，每天的数量为：()()20010828010x x --=-件，则有：()()528010900x x --=，解得：110x =，223x =，当110x =，28010180x -=，符合题意，当223x =，2801050100x -=<，不符合题意，舍去，答：每件售价定为10元时，平均每天能获得900元的利润．【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是根据题意表示出数量与单价之间的关系式及找到等量关系式．21. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所形成的锐角α∠一般要满足4560α︒≤∠≤︒，现有一个梯子长6m ．（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果保留根号）（2）填空：当梯子底端距离墙面时，梯子与地面所成的锐角α的度数是______°，这时人______安全使用这个梯子（填“能”或“不能”）．【答案】（1）使用这个梯子最高可以安全攀上高的墙（2）45，能【解析】【分析】（1）若使BC 最大还要安全，只需α∠最大，即60α∠=︒，利用正弦函数定义求解即可；（2）利用余弦函数定义和特殊角的三角函数值求得α∠的度数，再判断这个角度是否在安全使用范围内即可．【小问1详解】解：根据题意，当60α∠=︒时，使用这个梯子可以安全攀登到最高，在Rt ABC 中，60si n si n BC ABα∠=︒=，6m AB =，∴sin 606BC AB =⋅︒==，答：使用这个梯子最高可以安全攀上高的墙；【小问2详解】解：在Rt ABC 中，AC =，6m AB =，∴cos AC AB α∠===，∴45α∠=︒，在4560α︒≤∠≤︒安全范围内，故梯子与地面所成的锐角α的度数是45︒，这时人能安全使用这个梯子.故答案为：45，能．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数求解是解答的关键．五、（本题10分）22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y kx b =+的图像与反比例函数2m y x=的图像交于点()1,2A -和(),1B a ．（1）求一次函数1y kx b =+和反比例函数2m y x=的表达式；（2）观察图像，直接写出当12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作直线BC ，交第四象限的反比例函数图像于点C ，当线段BC 被x 轴分成1:2两部分时，直接写出BC 与x 轴所交锐角的正切值．【答案】（1）13y x =+，22y x =-（2）2<<1x --或0x >（3）BC 与x 轴所交锐角的正切值为1或14．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可；（2）根据图像，只需求得一次函数图像位于反比例函数图像上方的点的横坐标取值范围即可求解；（3）设直线AB 交x 轴于H ，设2,C m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0H t ，过B 作BE x ⊥轴于E ，过C 作CF x ⊥轴于F ，易得BEH CFH △∽△，分两种情况：当12BH HC =时或当21BH HC =时，利用相似三角形的性质可得BE EH BH CF HF HC==，列出方程，进而求得m 、t ，利用正切定义求解即可．【小问1详解】解：根据题意，将点()1,2A -代入2m y x =中，得()122m =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为22y x =-；将(),1B a 代入22y x=-中，得2a =-，则()2,1B -，将()1,2A -、()2,1B -代入1y kx b =+中，得221k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为13y x =+；【小问2详解】解：根据图像，当2<<1x --或0x >时，12y y >；【小问3详解】解：设直线AB 交x 轴于H ，设2,C m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0H t ，0m >，过B 作BE x ⊥轴于E ，过C 作CF x ⊥轴于F ，则1BE =，2EH t =+，2CF m=，HF m t =-，BE CF ∥，∴BEH CFH △∽△，当12BH HC =时，则12BE EH CF HF ===，即12122t m t m+==-，解得1m =，1t =-，经经验1m =，1t =-，是原方程的根，∴121EH =-+=，∴tan 1BE BHE EH∠==．即BC 与x 轴所交锐角的正切值为1．当21BH HC =时，则21BE EH BH CF HF HC ===，即12221t m t m+==-，解得4m =，2t =，经经验4m =，2t =，是原方程的根，∴4EH =，∴1tan 4BE BHE EH ∠==．即BC 与x 轴所交锐角的正切值为14．综上：BC 与x 轴所交锐角的正切值为1或14．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，涉及待定系数法求函数表达式、函数与不等式的关系、相似三角形的判定及性质、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．六、（本题10分）23. 如图，为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，且不超过墙的长度，另三边用总长为40米的栅栏围住，设AB 边长为x 米，绿化带的面积为2y 米．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）当AB 边的长度为多少米时，绿化带的面积最大？最大面积是多少米2？【答案】（1）()22401120y x x x =-+≤<；（2）当AB 边的长度为11米时，绿化带的面积最大，是198米2．【解析】【分析】（1）设AB 边长为x 米，则CD AB x ==米，()402BC x =-米，利用矩形面积公式即可得到y 与x 之间的函数关系式，又因为墙长18米，得到018BC <≤，求解即可得到自变量x 的取值范围；（2）将二次函数化为顶点式()2210200y x =--+，根据二次函数性质可知，图象开口向下，当10x >时，y 随x 的增大而增大，根据自变量x 的取值范围得到当11x =时有最大值，代入即可求出最大值．【小问1详解】解： 四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，设AB 边长为x 米，则CD AB x ==米，()402BC x =-米，()2402240y x x x x ∴=-=-+，墙长18米，040218x ∴<-≤，1120x ∴≤<，即自变量x 的取值范围为1120x ≤<，y ∴与x 之间的函数关系式为()22401120y x x x =-+≤<；【小问2详解】解：()22240210200y x x x =-+=--+Q ，20-< ，∴函数图象开口向下，10x >时，y 随x 的增大而增大，1120x ≤<Q ，∴当11x =时，y 有最大值，最大值为198，即当AB 边的长度为11198米2．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．七、（本题12分）24. 如图，在矩形ABCD 中，AD =，在Rt CEF △中（点C ，E ，F 按顺时针方向排列），90ECF ∠=︒，tan EFC ∠=CEF △绕点C 旋转，连接BE 和DF ，所在直线交于点G ．（1）如图1，①填空：BCE ∠与DCF ∠的大小关系是______；②求证：BG DF ⊥；（2）如图2，过点A 作AH BG ⊥于点H ，请直接写出H G 与AH 的数量关系；（3）如图3，连接AG ，AB =，CF =，当AG 最小时，直接写出BE 的长．【答案】（1）①BCE DCF ∠=∠，②见解析；（2）HG =；（3）BE =．【解析】【分析】（1）①由BCD ECD ECF ECD ∠-∠=∠-∠可得到；②由已知可得EC BC FC DC=，结合①易证BCE DCF ，得到CBE CDF ∠=∠，可证明90BGD ∠=︒即可解决；（2）如图，过H 作HN AD ∥交DF 的延长线于N ，易证AHND 是平行四边形，得到HNG HAD ∠=∠，AD HN =再证HNG ABH 即可；（3）如图，过点A 作AH BG ⊥于点H ，由（2）可求得AG =，AG 最小，即AH 最小， 即ABH ∠最小， 即CBE ∠最大，当CE BG ⊥时CBE ∠最大，运用勾股定理即可求解．【小问1详解】解：①90BCD ECF ∠=∠=︒ ，BCD ECD ECF ECD ∠-∠=∠-∠，BCE DCF ∴∠=∠，故答案为：BCE DCF ∠=∠；②证明：tan EC EFC CF∠== 在BCE 与DCF 中，BC AD CD AB==EC CF=EC BC FC DC∴=，BCE DCF ∠=∠，BCE DCF ∴ ，CBE CDF ∴∠=∠，CMB DMG ∠=∠ ，90CBE CMB CDF CMB ∴∠+∠=∠+∠=︒90BGD ∴∠=︒，BG DF ∴⊥；【小问2详解】如图，过H 作HN AD ∥交DF 的延长线于N ，AH BG ⊥ ，BG DF ⊥，90AHB HGN ∴∠=∠=︒，AH DN ∥，AHND ∴是平行四边形，HNG HAD ∴∠=∠，AD HN =，90BAH HAD BAH ABH ∠+∠=∠+∠=︒ ，HAD ABH ∴∠=∠，HNG ABH ∴∠=∠，HNG ABH ∴ ，HG HN AD AH AB AB∴===HG ∴=；【小问3详解】如图，过点A 作AH BG ⊥于点H ，AB = ，CF =AD BC ∴===，3CE ==，由（2）可知HG =，AG ==，AG 最小，即AH 最小，sin AH ABH AB=∠ ，sin AH AB ABH ABH ∴=∠=∠ ，即ABH ∠最小，90ABH CBE ∠=︒-∠ ，即CBE ∠最大，当CE BG ⊥时CBE ∠最大，此时BE ===，故答案为：BE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形；解题的关键是证明三角形的相似，并灵活运用性质求解．八、（本题12分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x c =-+与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(C ，P 是抛物线上一动点（不与点C 重合），过点P 作PD y ∥轴，交过点C 与x 轴平行的直线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）当CDP △为等腰直角三角形时，求点D 的坐标；（3）将CDP △绕点C 顺时针旋转45︒，得到CD P ''△（点D 和P 分别对应点D ¢和P '），若点P '恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P 的坐标．【答案】（1）22y x x =-+；（2）(D 或(D ；（3）(1,3P --+或(3,3P -+．【解析】【分析】（1）由抛物线与y 轴交于点(C ，求出c 的值，即可得到解析式；（2）设(),P x y ，则(D x ，由（1）可知(2,2P x x x -++，得到CD x =，2222PD x x x =-++，由题意可知90CDP ∠=︒故CDP △为等腰直角三角形时，有PD CD =即22x x x -+=，当22x x x -+=或22x x x -+=-时，分别求解方程即可；（3）当P 在y 轴右侧时，如图，点P '恰好落在y 轴上时，45PCP ∠='︒，易证PD CD =，可知(D ，当3x =时可求得(2,3P -+；当P 在y 轴左侧时，如图，点P '恰好落在x 轴上时，易证OC OM ==P D MD '''=，即x x x -=-222解得x代入即可．【小问1详解】解：由题意可知，2y x c =-+与y 轴交于点(C ，c ∴=，故抛物线的解析式为：22y x x =-+；【小问2详解】设(),P x y ，CD x ∥Q 轴，(D x ∴，由（1）可知(2,2P x x x -++，CD x ∴=，2222PD x x x =-+++，PD y 轴，90CDP ∴∠=︒，故CDP △为等腰直角三角形时，PD CD =，即22x x x -+=，22x x x -+=或22x x x -+=-，当22x x x -+=时，即20x x -=，解得：1x =，或0x =（不合题意，舍去），(D ∴，当22x x x -+=-时，即230x x -=，解得：3x =，或0x =（不合题意，舍去），(D ∴，综上所述：(D 或(D ；【小问3详解】如图将CDP △绕点C 顺时针旋转45︒，得到CD P ''△，当P 在y 轴右侧时，如图，若点P '恰好落在y 轴上时，45PCP ∠='︒，45PCD ∴∠=︒，PD CD =，由（2）可知(D ，当3x =时，23233y =-+⨯+=-+即(2,3P -，当P 在y 轴左侧时，如图，若点P '恰好落在x 轴上时，延长D C '交x 轴于点M ，45DCD '∠=︒，90DCO ∠=︒，45OCM ∴∠=︒，45OMC ∠=︒，OC OM ∴==，P D MD '''=，2CM ∴=，由（2）可知，CD CD x '==-，222x x x ∴-=-，解得：=1x -或2x =（不合题意，舍去），当=1x -时，()()21213y =--+⨯-=-加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
辽宁省沈阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝33．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．15．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5187．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝98．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝5079．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k＝6，∴反比例解析式为y＝，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率不同，错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.482，错误；故选：A．【点评】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C ＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．【点评】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2＝507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AD＝BC＝8，∵OM∥AB∴OM∥CD∴，且AO＝AC，OM＝3∴CD＝6，在Rt△ADC中，AC＝＝10∵点O是斜边AC上的中点，∴BO＝AC＝5故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号，即可解答．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为：k＞2．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，∴m2﹣2m＝0且m≠0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2+4．【分析】先把y＝x2﹣2x+3配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，此抛物线的顶点坐标为（1，2），把点（1，2）向上平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4．故答案为：y＝（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，由题意知DE∥BC且DE＝BC，从而△ADE得＝（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，△ADE∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，则＝（）2，即＝，解得：x＝9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△AOD中，AD＝1，OD＝2，则tan∠AOB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+6x+24＝0，△＝62﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】解：原式＝×+4×﹣（）2+1＝+2﹣+1＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．【分析】列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【解答】解：画出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y＝，可求出k 的值；（Ⅱ）先分别求出x＝1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，∴，即可得：k＝x A•y A＝﹣8，令x＝2，得：m＝4；（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，令x＝1，得：y＝﹣8；令x＝4，得：y＝﹣2，所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）先根据勾股定理计算BP，再求t的值．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理是解题的关键．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）【分析】（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN＝xm．想办法构建方程即可解决问题．（2）求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．【解答】解：（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN ＝xm．在Rt△PCM中，PM＝x•tan32.3°＝0.63x（m），在Rt△PDN中，PN＝x•tan55.7°＝1.47x（m），∵CD＝MN＝42m，∴1.47x﹣0.63x＝42，∴x＝50，∴AB的长为50m．（2）由（1）可知：PM＝31.5m，∴AD＝90﹣42﹣31.5＝16.5（m），AC＝90﹣31.5＝58.5，∵16.5÷3＝5.5，58.5÷3＝19.5，∴冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．六、（本题10分）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？【分析】（1）根据题意，设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，所以商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，即y＝（40﹣x）（20+2x）；（2）用“配方法”求出y的最大值，并求出每件衬衫的降价钱数．【解答】解：（1）设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800；（2）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x+225）+800+450＝﹣2（x﹣15）2+1250所以当x＝15时，y的最大值为1250，答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，是1250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出每件衬衫的利润以及销量是解题关键．七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4﹣x，＝•x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+2，∴S△BMN∵﹣＜0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．∴EG＝m+m＝（1+）m，∵S＝•EG•BN＝•BG•EH，△BEG∴EH＝＝m，在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式，然后把解析式（2）把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），利用题意得到|x2﹣3x|＝1，然后•解绝对值方程即可；（4）若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图，证明∠DBH＝∠MBG，再计算出tan∠MBG＝＝tan∠DBH＝，则BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），所以t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，然后解t的方程得到此时D点的横坐标．若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，则GB′＝1，所以G（2，4），接着求出直线BG的解析式为y＝x+3，然后解方程组得D点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把B（0，3）代入得a•（0﹣3）•（0+1）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），即y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）∵DE＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|x2﹣3x|∴|x2﹣3x|＝1，解方程x2﹣3x＝1得x1＝，x2＝；解方程x2﹣3x＝﹣1得x1＝，x2＝，∴D点的横坐标为或或或；（4）存在．抛物线的对称轴为直线x＝1，则M（1，0），若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图2，∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，AB＝3，∴∠HBA＝45°，∴∠DBH＝∠MBG，在Rt△AMG中，AG＝MG＝AM＝，∴BG＝2，在Rt△MBG中，tan∠MBG＝＝＝，在Rt△DBH中，tan∠DBH＝＝，∴BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），∴t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，整理得2t2﹣5t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D点坐标为（，），若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，∴tan∠GBB′＝＝，∴GB′＝1，∴G（2，4），易得直线BG的解析式为y＝x+3，解方程组得或，∴D点坐标为（，），综上所述，D点的横坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知ab =32，那么下列等式中正确的是( )A. a+bb =53B. a−bb=13C. 2a=3bD. a2=b32.如图所示的几何体的俯视图是( )A.B.C.D.3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明每次摸一个后放回再摸，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )A. 8B. 5C. 12D. 154.下列命题中，真命题是( )A. 所有的平行四边形都相似B. 所有的矩形都相似C. 所有的菱形都相似D. 所有的正方形都相似5.在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛45场，设共有x个队参赛、根据题意可列方程为( )A. x(x−1)2=45 B. x(x−1)=45 C. x(x+1)2=45 D. x(x+1)=456.若两个相似三角形的周长比为1：3，则它们的面积比为( )A. 1：9B. 1：6C. 1：3D. 6：17.对于反比例函数y=−2021x，下列说法正确的是( )A. 图象分布在第一、三象限内B. 图象经过点(1,2021)C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 若点A(x1、y1)，B(x2,y2)都在该函数的图象上，且x1<x2，则y1>y28.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )A. 当▱ABCD是矩形时，∠ABC=90°B. 当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC. 当▱ABCD是正方形时，AC=BDD. 当▱ABCD是菱形时，AB=AC9.如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A. B.C. D.10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(−1,0).则下面的四个结论：①4a−2b+c>0；②2a+b=0；③当y<0时，−1<x<3；④若m是实数，且m≠1，则a(m2−1)+bm<b.其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程x(x−3)=0的解为______．12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,3)，B(−6,3)，以原点O为位似中心，在同一象限，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为内把线段AB缩短为原来的13______．13.如图，直线a//b//c，直线AC，DF被直线a，b，c所截，若AB=6，BC=2，DF=10，则EF的长为______．14.某校准备从A，B两名女生和C，D两名男生中任选2人代表学校参加沈阳市初中生辩论赛，则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是______．15.关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是______．16.如图，在矩形ABCD中，AD=3，点E在AB边上，AE=4，BE=2，点F是AC上的一个动点．连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG，当tan∠GEA=1时，点G到CD的距离是______．5三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。
2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级(上)期末数学试卷-普通用卷
2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.若，则的值为（）A. B. C. D.2.如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A.B.C.D.3.若反比例函数y=-的图象上有三个点（-1，y1），（-，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A. B. C. D.4.如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD=16，则DE的长为（）A. 3B. 6C.D. 105.下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击中9环的概率约是（）6.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A. B. C. D.7.下列命题正确的是（）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8.2A. 图象开口向下B. 抛物线的对称轴是直线C. D. 当时，9.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（）A. B. 10cm C. 20cm D. 12cm10.如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：cos230°+|1-|-2sin45°+（π-3.14）0=______．12.如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为______m．13.在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为______．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，4），B（-4，-2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是______．15.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．16.在矩形ABCD中，AB=9，tan∠ADB=，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解方程：（x-3）2=7x-21．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18.节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是______．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．19.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD=30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是茭形；（2）填空：若AC=8，则线段CF的长为______．20.我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）21.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1=-2x的图象与反比例函数y2=的图象交于A（-1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．23.一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为______．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入=租出收入-租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．24.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC______∠ACG；（填“＞”或“＜”或“=”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE=m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．25.如图，直线y=x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为______，抛物线的解析式为______；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以b=，把b=代入则=，故选：B．根据比例的性质解答即可．此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．2.【答案】C【解析】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．3.【答案】C【解析】解：∵y=-中k=-3＜0，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y=-的图象上有三个点（-1，y1），（-，y2），（，y3），∴点（-1，y1）和（-，y2）在第二象限，点（，y3）在第四象限，-1＜-，∴0＜y1＜y2，y3＜0，即y3＜y1＜y2，故选：C．根据反比例函数的图象和性质比较即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE=CE：ED=3：5，∵CD=16．CE+ED=CD，∴DE=，故选：D．根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．5.【答案】C【解析】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.7附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.7，故选：C．根据大量的试验结果稳定在0.7左右即可得出结论．本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：D．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．7.【答案】A【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：A．根据平行四边形的判定方法可得A说法正确；根据菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得B说法错误；根据对角线相等且平分的四边形是矩形可得C说法错误；根据正方形的判定方法：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可得D说法错误．此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法．8.【答案】D【解析】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x==2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】B【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10（cm），故选：B．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS推出BC=CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC=2，∴S△ABC=BC×4=4，∵AB==4，∴CD==，∵AC==2，∴sinA===，故选：A．根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．11.【答案】【解析】解：原式=（）2+-1-2×+1=+-1-+1=．故答案为：．直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.【答案】4【解析】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=，即=，∴CB=6，∴BD=BC-CD=6-2=4（m）．故答案为4．利用中心投影的性质可判断△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质求出BC的长，然后计算BC-CD即可．本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．13.【答案】【解析】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率==．故答案为．画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14.【答案】（-1，2）或（1，-2）【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即点A′的坐标为：（-1，2）或（1，-2）．故答案为：（-1，2）或（1，-2）．利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把A点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点A′的坐标．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15.【答案】k≤5且k≠1解：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．根据一元二次方程有实数根可得k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解之即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键．16.【答案】或105【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=9，tan∠ADB=，∴AD=12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB=，∴设DH=4x，FH=3x，∴DF=5x，∵∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，∴∠ABE=∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF（AAS），∴AE=HF=3x，EH=AB=9，∴AE+DH=AD-EH=3x+4x=12-9=3，∴x=，∴DF=5x=；如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AB=9，tan∠ADB=，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB=，∴设DH=4x，FH=3x，∴DF=5x，∵∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，∴∠ABE=∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF，∴AE=HF=3x，EH=AB=9，∴DH-AE=AD+EH=4x-3x=12+9=21，∴x=21，∴DF=5x=105，综上所述，线段DF的长为或105．故答案为：或105．解直角三角形得到AD=12，过F作FH⊥AD于H，设DH=4x，FH=3x，根据勾股定理得到DF=5x，根据余角的性质得到∠ABE=∠HEF，根据全等三角形的性质得到AE=HF=3x，EH=AB=9，列方程即可得到结论．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．17.【答案】解：∵（x-3）2-7（x-3）=0，∴（x-3）（x-10）=0，则x-3=0或x-10=0，解得：x1=3，x2=10．【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：（1）∵有三位孩子，分别是a，b，c，∴家长A恰好选中孩子的概率是；故答案为：．（2）画树状图如下：∵共有9种等情况数，恰好是同一家庭成员的有3种情况数，∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是=．（1）根据概率公式直接得出答案即可；（2）先画出树状图，得出所有等情况数和恰好是同一家庭成员的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，根据题意画出树状图是解题的关键．19.【答案】2【解析】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OB=BD，OC=AC，∴OB=OC，∴平行四边形OBEC是菱形；（2）∵BE∥AC，∴∠OAF=∠BEF，∵AO=BO=BE，在△AOF与△EBF中，，∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF=BF，∵AC=8，∴BD=8，∴OC=OB=4，∴∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF=OC=2．故答案为：2．（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形OBEC是平行四边形，根据矩形的性质得到AC=BD，OB=BD，OC=AC，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠OAF=∠BEF，根据全等三角形的性质得到OF=BF，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CF⊥OB，解直角三角形即可得到结论．本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题的关键．20.【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1-x）2=12150，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1-0.98）=24300，方案②可优惠：250×100=25000，25000-24300=700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【解析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．21.【答案】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE==，∴∠FHE=45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM=AB，HN=EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，∴AB=BC tan60°=1×=，∴GM=AB=，在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，∴HN=AH sin45°=×=，∴EM=EG+GM=+，答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．【解析】（1）由cos∠FHE==可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM=AB，HN=EG，Rt△ABC中，求得AB=BCtan60°=；Rt△ANH中，求得HN=AHsin45°=；根据EM=EG+GM可得答案．本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．22.【答案】解：（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得n=2，∴A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得k=-2，∴反比例函数的表达式为y=-，∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，-2）．（2）∵A（-1，2），∴y≤2的取值范围是x＜-1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN=S△POB=1，设P（m，-），则（2+）（m-1）=1或（2+）（1-m）=1整理得，m2-m-1=0或m2+m+1=0，解得m=或m=，∴P点的横坐标为．【解析】（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=-，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）观察函数图象即可求解；=S△POB=1，可得方程（2+）（m-1）=1或（3）设P（m，-），根据S梯形MBPN（2+）（1-m）=1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．23.【答案】y=-x+50【解析】解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y=kx+b，则，解得：，即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y=-x+50；故答案为：y=-x+50；（2）设公司获得的日收益为w，则w=（x-30）（-x+50）=-x2+60x-1500；（3）z=w-12（10-y）=-x2+56x-1020=-（x-84）2+1332（x≥120），∵当x＞84时，z随x的增大而减小，∴当x=120时，z取得最大值，最大值=-（120-84）2+1332=900，答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式；（2）根据租出汽车每天的实际收入=租出收入-租出汽车维护费即可得到结论；（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司月收益，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．24.【答案】=【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=CD=DA=4，∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°，∴AC==4，∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，∴∠AHC=∠ACG．故答案为=．理由：∵∠AHC=∠ACG，∠CAH=∠CAG=135°，∴△AHC∽△ACG，=，∴AC2=AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH=•AH•AG=AC2=×（4）2=16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC=GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG=BC=4，AH=BG=8，∵BC∥AH，∴==，∴AE=AB=．如图2中，当CH=HG时，易证AH=BC=4，∵BC∥AH，∴AE=BE=2．如图3中，当CG=CH时，易证∠ECB=∠DCF=22.5°．在BC上取一点M，使得BM=BE，∴∠BME=∠BEM=45°，∵∠BME=∠MCE+∠MEC，∴∠MCE=∠MEC=22.5°，∴CM=EM，设BM=BE=x，则CM=EM=x，∴x+x=4，∴m=4（-1），∴AE=4-4（-1）=8-4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8-4．（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】（0，-3）y=x2-x-3【解析】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y=x+a，解得：a=-3，则：直线表达式为：y═x-3，令x=0，则：y=-3，则点B坐标为（0，-3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c=-3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b-3=0，解得：b=-，故：抛物线的解析式为：y=x2-x-3，故：答案为：（0，-3），y=x2-x-3；（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，m-3），N（m，m2-m-3），∴PN=m-3-（m2-m-3）=-（m-2）2+3，∵a=-＜0，∴抛物线开口向下，∴当m=2时，PN有最大值是3，②当∠BNP=90°时，点N的纵坐标为-3，把y=-3代入抛物线的表达式得：-3=m2-m-3，解得：m=3或0（舍去m=0），∴m=3；当∠NBP=90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为-1，设：直线BN的表达式为：y=-x+n，把点B的坐标代入上式，解得：n=-3，则：直线BN的表达式为：y=-x-3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m=或0（舍去m=0），当∠BPN=90°时，不合题意舍去，故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；（3）∵OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tanα=，则：cosα=，sinα=，∵PM∥y轴，∴∠BPN=∠ABO=α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n=m2-m-3，过点N作AB的平行线，则点N所在的直线表达式为：y=x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y=x+（n-m），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2-12x-12+3m-4n=0，△=144-3×4×（0=-12+3m-4n）=0，将n=m2-m-3代入上式并整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2，则点N的坐标为（2，-），则：点P坐标为（2，-），则：PN=3，∵OB=3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y=x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2-4x-4=0，解得：x=2±2，则点N′、N″的横坐标分别为2，2-2，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h=NH=NPsinα=，作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′=α，ON′==（2+2），=BP•h=×=6，S四边形OBPN=S△OP′N′+S△OBP′=6+6，则：S四边形OBP′N′″=6-6，同理：S四边形OBN″P故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6-6．（1）把点A坐标代入直线表达式y=x+a，求出a=-3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，m-3），N（m，m2-m-3）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△=0，确定图中N点的坐标．。
沈阳市沈河区上学期期末考试初三数学试卷doc
沈阳市沈河区2006--2007学年上学期期末考试初三数学试卷（北师大版）（时间120分钟，满分150分）一. 选择题（每小题3分，共24分）1. 用配方法解方程x x 2420++=，经过配方，得到（ ） A. ()x +=222 B. ()x -=222 C. ()x -=262D. ()x +=2622. 正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线平分一组对角3. 图1是一个圆柱和一个长方体叠在一起的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）图14. 某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图2所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（ ）图25. 根据图3中的信息，经过估算，下列数值与tan α的值最接近的是（ ） A. 2.31B. 1.18C. 0.90D. 0.47图36. 如图4所示，在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=α，∠BAD=β，则AD ：BC 等于（ ）A. cos sin αβB. sin sin αβC. sin cos βαD. sin sin βαD Cβ α A B图47. 在同一平面直角坐标系中，直线y x =-+1与双曲线y x=-1的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 8. 已知函数y x x =--222的图象如图5所示，根据其中提供的信息，求得使-≤≤31y 成立的x 的取值范围是（ ） A. x ≤-1或x ≥3 B. -≤≤31xC. -≤≤13xD. x ≥-1图5二. 填空题（每小题3分，共24分）9. 用公式法解方程x x 2310++=，则b ac 24-=_________；方程的解为___________。
10. 抛物线y x =-+()162的顶点坐标是_____________。
11. 如图6所示是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m ，迎水斜坡AB=10m ，斜坡的坡角为α，则sin α的值为______________。
辽宁省沈阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜45．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）6．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2＝18．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣89．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm10．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝9两根的积为．12．（3分）若＝，则＝．13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是．14．（3分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为．15．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．（8分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，请直接写出EF的长为．20．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．21．（8分）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱AC的高为12米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为21米，从D，E两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），点A1是否在反比例函数y＝的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．23．（10分）某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x（x＞5）元，该店日销售利润为y元．（日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围．（2）该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α≤180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．25．（12分）如图①，抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式．（2）如图②，当m＝2时，连接AC，过点A做AD⊥AC交抛物线C2于点D，连接CD．①求抛物线C2的解析式．②直接写出点D的坐标为．（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出此时m的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出斜边长，再根据锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A进行计算即可，【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，∴cos A＝，故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜4【分析】由tan45°＝1，tan60°＝且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，知tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，从而得出答案．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，则1＜a＜2，故选：B．【点评】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值及tanα随∠α的增大而增大．5．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB＝2（﹣1）cm，则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．6．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）【分析】由抛物线的解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝2（x+3）2+5，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2＝1【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2﹣4ac＝4+12＝16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；B、a＝1，b＝﹣1，c＝1，b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，没有实数根，故此选项正确；C、a＝1，b＝2，c＝1，b2﹣4ac＝4﹣4＝0，有两个相等的实数根，故此选项错误；D、a＝1，b＝0，c＝﹣1，b2﹣4ac＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．8．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣8【分析】由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．【解答】解：由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，∴x3+2x2﹣7＝x3+x2+x2﹣7，＝x（x2+x）+x2﹣7，＝x+x2﹣7，＝1﹣7，＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．9．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设正方形的边长为xmm，则AK＝AD﹣x＝80﹣x，∵EFGH是正方形，∴EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48mm，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．10．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300【分析】设快递量平均每年增长率为x，根据我国2016年及2018年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：300（1+x）2＝450．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝9两根的积为﹣9．【分析】首先根据一元二次方程求出x的两个值，将他们乘积即可．【解答】解：∵x2＝9，∴x＝±3，∴两根的积﹣9．故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记解方程的方法是解答本题的关键．12．（3分）若＝，则＝﹣2．【分析】由＝可设x＝k、y＝3k，代入所求代数式消去k即可得．【解答】解：∵＝，∴设x＝k、y＝3k，则＝＝＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握设k法求比例式的值．13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是4．【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2＝4π，解得r＝2，因为圆锥的主视图是等边三角形，所以圆锥的母线长为4，所以它的左视图的高＝＝2，所以左视图的面积为×4×2＝4．故答案为4．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．（3分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（2，1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，A（6，3）、∴点C的坐标为（6×，3×），∴点C的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．15．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为．【分析】根据题意可以写出前几个三角形的周长，从而可以发现三角形周长的变化规律，进而写出第2019个三角形周长．【解答】解：由题意可得，第1个三角形的周长是1，第2个三角形的周长是，第3个三角形的周长是，第4个三角形的周长是，则第2019个三角形的周长是，故答案为：．【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形周长的变化规律．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为或5．【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB＝5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【解答】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5∵点D是AB的中点，∴BD＝BA＝∵B1D⊥BC，∠C＝90°∴B1D∥AC∴∴BE＝EC＝BC＝2，DE＝AC＝∵折叠∴B1D＝BD＝，B1P＝BP∴B1E＝B1D﹣DE＝1∴在Rt△B1PE中，B1P2＝B1E2+PE2，∴BP2＝1+（2﹣BP）2，∴BP＝如图，若点B1在BC右侧，∵B1E＝DE+B1D＝+，∴B1E＝4在Rt△EB1P中，B1P2＝B1E2+EP2，∴BP2＝16+（BP﹣2）2，故答案为：或5【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．【分析】把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）＝0，推出方程x﹣2＝0，x+1＝0，求出方程的解即可【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的选择等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，请直接写出EF的长为．【分析】（1）由矩形的性质可得∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，即可证四边形AECF是菱形；（2）由菱形的性质可得AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO，由勾股定理可求CE、EO的长，即可求【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（2）∵四边形AECF是菱形∴AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO∵AB2+BE2＝AE2，∴36+（8﹣CE）2＝CE2，∴CE＝∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10∴AO＝CO＝5∵EO＝＝∴EF＝2EO＝故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．20．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出它们总重量超过223g的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中它们总重量超过223g的结果数为8，所以它们总重量超过223g的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21．（8分）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱AC的高为12米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为21米，从D，E两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝12．设BF＝3x知EF＝4x、DF＝，由DE＝21求得x，据此知BG＝BF﹣GF，再求得∠BAG ＝∠BAC﹣∠CAG＝30°可得AB＝2BG．【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC ＝12．由题意得∠BDE＝α，tan∠β＝．设BF＝3x，则EF＝4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF＝，∴DF＝，∵DE＝21，∴x+4x＝21．∴x＝．∴BF＝14，∴BG＝BF﹣GF＝14﹣12＝2，∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2BG＝4，答：灯杆AB的长度为4米．【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），点A1是否在反比例函数y＝的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．【分析】（1）将点A代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式（2）先由射影定理求出BC＝3，那么B，计算出S＝△AOB（3）先解△AOB，得出∠ABO＝30°，再根据旋转的性质求出A1点坐标为，即可求解．【解答】解：（1）∵点A，在反比例函数的图象上，∴∴反比例函数的表达式为（2）∵点A，AB⊥x轴于点，∴OC＝，AC＝1，由射影定理得OC2＝AC•BC，可得BC＝3，点B，＝∴S△AOB故△AOB的面积为（3）点A1在该反比例函数的图象上．理由如下：∵OA⊥OB，OA＝2，OB＝，AB＝4∴sin∠ABO＝，∴∠ABO＝30°∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），如图∴△BOA≌△BO1A1，∠OBO1＝60°∴BO＝BO1＝，OA＝O1A1＝2，∠BOA＝∠BO1A1＝90°∠ABO1＝30°+60°＝90°，而BO1﹣OC＝，BC﹣O1A1＝1，∴点A1的坐标为∵∴点A1在该反比例函数的图象上【点评】此题考查的是反比例函数的图象求函数解析式，此类题型相对容易，但要注意反比例函数的性质．第（3）题中，判断点是否在函数图象上，只要该点满足该函数解析式即可．23．（10分）某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x（x＞5）元，该店日销售利润为y元．（日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围．（2）该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？【分析】（1）根据日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出，得出y与x的函数关系式；（2）分别求出当不超过10元时的最大利润和超过10元时的最大利润，再结合题意选择方案．【解答】解：（1）由题意，得当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600＝400x﹣2600；当x＞10时，y＝[400﹣40（x﹣10）]（x﹣5）﹣600＝﹣40x2+1000x﹣4600；（2）当5＜x≤10时，y＝400x﹣2600，当x＝10时，y＝1400元，最大当x＞10时y＝﹣40x2+1000x﹣4600＝﹣40（x﹣12.5）2+1650，当x＝12时，y＝1640，当x＝13时，y＝1640，∵要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，∴每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元．【点评】本题考查了一次函数的运用、二次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α≤180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为2﹣；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【分析】（1）如图①中，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可解决问题；（2）①证明：如图②中，根据HL即可证明△ACD≌△CAE；②如图②中，由△ACD≌△CAE，推出∠ACD＝∠CAE，推出AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，根据AD2+DH2＝AH2，构建方程即可解决问题；（3）存在．如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．由题意：PF＝PC＝1，由AG＝EF＝1，∠G＝∠F＝90°，推出PA＝PE＝，推出S＝•PE•BM＝BM，推出当△PBEBM的值最大时，△PBE的面积最大，求出BM的最大值即可解决问题；【解答】（1）解：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝1，∠D＝90°，∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，∴AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝，∴CE＝2﹣，故答案为2﹣．（2）①证明：如图②中，∵当点E落在线段CF上，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC和Rt△AEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；②解：如图②中，∵△ACD≌△CAE，∴∠ACD＝∠CAE，∴AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，∵AD2+DH2＝AH2，∴12+（2﹣m）2＝m2，∴m＝∴DH＝2﹣＝，故答案为．（3）解：存在．理由：如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．由题意：PF＝PC＝1，∵AG＝EF＝1，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝，∴S＝•PE•BM＝BM，△PBE∴当BM的值最大时，△PBE的面积最大，∵BM≤PB，PB≤AB+PA，∴PB≤2+，∴BM≤2+，∴BM的最大值为2+，∴△PBE的面积的最大值为+1．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（12分）如图①，抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式．（2）如图②，当m＝2时，连接AC，过点A做AD⊥AC交抛物线C2于点D，连接CD．①求抛物线C2的解析式．②直接写出点D的坐标为（5，）．（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出此时m的值．【分析】（1）把原点（0，0）与（2，0）代入抛物线C1：y＝+bx+c，解方程组求得b，c 的值，即可得出抛物线C1的解析式；（2）①根据抛物线的平移规律可得抛物线C2的解析式；②由抛物线C2的解析式，求得点C（0，4），A（2，0），B（4，0），作DH⊥x轴于点H，设点D（x，），证明△DHA∽△AOC，得，求得点D的横坐标，再代入抛物线求得纵坐标，即可得出点D的坐标；（3）设抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），可得A（m，0），B（m+2，0）．C （0，m2+m），对称轴为直线x＝m+1，延长AP至K，使PK＝AP，连接KC，作KG⊥y轴于G，证明△AOC∽△CGK，可得GK＝（m2+m），利用中点坐标公式得出点P的横坐标为：，所以＝m+1，解方程即可得出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x，（2）①∵y＝﹣x＝（x﹣1）2﹣，当m＝2时，抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣，②当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2或x＝4，∴C（0，4），A（2，0），B（4，0），如图，作DH⊥x轴于点H，设点D（x，），∵AD⊥AC，∴∠DAH＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，∵∠DHA＝∠AOC＝90°，∴△DHA∽△AOC∴，即，解得x＝5，此时y═，∴点D的坐标为（5，），故答案为：（5，），（3）由题意，抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），A（m，0），B（m+2，0）．C（0，m2+m），对称轴为直线x＝m+1，延长AP至K，使PK＝AP，连接KC，作KG⊥y轴于G，∵△PAC为等边三角形，∴∠PKC＝∠PCK＝∠APC＝30°，∴∠ACK＝60°+30°＝90°，同理可证△AOC∽△CGK，∴，∴GK＝（m2+m），即点K的横坐标为：（m2+m），∴点P的横坐标为：，∴＝m+1，化简，得，（m+2）（m﹣2）＝0，∴m＝或m＝﹣2（舍去），∴存在点P，使△PAC为等边三角形，此时m的值为，【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质．解决（3）问的关键是构造三角形相似得出点K的横坐标．。
辽宁省沈阳市沈河区九年级数学上学期期末试卷
辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（2分）如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（2分）若反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2≤y1＜y34．（2分）如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3 B．6 C．D．105．（2分）下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击中9环的概率约是（）A．0.6 B．0.8 C．0.7 D．0.96．（2分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．7．（2分）下列命题正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示下列说法错误的是（）A．图象开口向下B．抛物线的对称轴是直线x＝2C．b2﹣4ac＞0D．当1＜x＜3时，y＜69．（2分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（）A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm10．（2分）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：cos230°+|1﹣|﹣2sin45°+（π﹣3.14）0＝．12．（3分）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．13．（3分）在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．15．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝9，tan∠ADB＝，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF 的长为．三、解答题17．（6分）解方程：（x﹣3）2＝7x﹣21．18．（8分）节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD＝30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是菱形；（2）填空：若AC＝8，则线段CF的长为．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）21．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC 的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）五、（本题10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P 的横坐标．六、（本题10分）23．（10分）一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．八、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．（12分）如图，直线y＝x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c 25．经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）若，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：因为，所以b＝，把b＝代入则＝，故选：B．【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．2．（2分）如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．【点评】此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．3．（2分）若反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2≤y1＜y3【分析】根据反比例函数的图象和性质比较即可．【解答】解：∵y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），∴点（﹣1，y1）和（﹣，y2）在第二象限，点（，y3）在第四象限，﹣1＜﹣，∴0＜y1＜y2，y3＜0，即y3＜y1＜y2，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4．（2分）如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3 B．6 C．D．10【分析】根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长．【解答】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，∵CD＝16．CE+ED＝CD，∴DE＝，故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．5．（2分）下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击中9环的概率约是（）A．0.6 B．0.8 C．0.7 D．0.9【分析】根据大量的试验结果稳定在0.7左右即可得出结论．【解答】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.7附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.7，故选：C．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．6．（2分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．7．（2分）下列命题正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定方法可得A说法正确；根据菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得B说法错误；根据对角线相等且平分的四边形是矩形可得C说法错误；根据正方形的判定方法：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可得D说法错误．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法．8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示下列说法错误的是（）A．图象开口向下B．抛物线的对称轴是直线x＝2C．b2﹣4ac＞0D．当1＜x＜3时，y＜6【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．（2分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（）A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，∴AB＝＝10（cm），故选：B．【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．10．（2分）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，∴CD＝＝，∵AC＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：cos230°+|1﹣|﹣2sin45°+（π﹣3.14）0＝．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝（）2+﹣1﹣2×+1＝+﹣1﹣+1＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（3分）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为 4 m．【分析】利用中心投影的性质可判断△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质求出BC的长，然后计算BC﹣CD即可．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴CB＝6，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4（m）．故答案为4．【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．13．（3分）在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把A点的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2×，4×）或[﹣2×（﹣），4×（﹣）]，即点A′的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k ≤5且k≠1 ．【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝9，tan∠ADB＝，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF的长为或105 ．【分析】解直角三角形得到AD＝12，过F作FH⊥AD于H，设DH＝4x，FH＝3x，根据勾股定理得到DF＝5x，根据余角的性质得到∠ABE＝∠HEF，根据全等三角形的性质得到AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，列方程即可得到结论．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝9，tan∠ADB＝，∴AD＝12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB＝，∴设DH＝4x，FH＝3x，∴DF＝5x，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠ABE＝∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF（AAS），∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，∴AE+DH＝AD﹣EH＝3x+4x＝12﹣9＝3，∴x＝，∴DF＝5x＝；如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝9，tan∠ADB＝，∴AD＝12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB＝，∴设DH＝4x，FH＝3x，∴DF＝5x，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠ABE＝∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF，∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，∴DH﹣AE＝AD+EH＝4x﹣3x＝12+9＝21，∴x＝21，∴DF＝5x＝105，综上所述，线段DF的长为或105．故答案为：或105．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题17．（6分）解方程：（x﹣3）2＝7x﹣21．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵（x﹣3）2﹣7（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣10）＝0，则x﹣3＝0或x﹣10＝0，解得：x1＝3，x2＝10．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．【分析】（1）根据概率公式直接得出答案即可；（2）先画出树状图，得出所有等情况数和恰好是同一家庭成员的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵有三位孩子，分别是a，b，c，∴家长A恰好选中孩子的概率是；故答案为：．（2）画树状图如下：∵共有9种等情况数，恰好是同一家庭成员的有3种情况数，∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是＝．【点评】主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，根据题意画出树状图是解题的关键．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD＝30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是菱形；（2）填空：若AC＝8，则线段CF的长为2．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形OBEC是平行四边形，根据矩形的性质得到AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠OAF＝∠BEF，根据全等三角形的性质得到OF＝BF，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CF⊥OB，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴平行四边形OBEC是菱形；（2）∵BE∥AC，∴∠OAF＝∠BEF，∵AO＝BO＝BE，在△AOF与△EBF中，，∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF＝BF，∵AC＝8，∴BD＝8，∴OC＝OB＝4，∵∠ABD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF＝OC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．21．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC 的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°＝；根据EM＝EG+GM可得答案．【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，∴∠FHE＝45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC tan60°＝1×＝，∴GM＝AB＝，在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝×＝，∴EM＝EG+GM＝+，答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．五、（本题10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P 的横坐标．【分析】（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝，可得反比例函数的表达式为y＝﹣，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）观察函数图象即可求解；（3）设P（m，﹣），根据S梯形MBPN＝S△POB＝1，可得方程（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得n＝2，∴A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，﹣2）．（2）∵A（﹣1，2），∴y≤2的取值范围是x＜﹣1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，设P（m，﹣），则（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m+1＝0，解得m＝或m＝，∴P点的横坐标为．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．六、（本题10分）23．（10分）一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为y ＝﹣x+50 ．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．【分析】（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式；（2）根据租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费即可得到结论；（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司月收益，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y＝kx+b，则，解得：，即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y＝﹣x+50；故答案为：y＝﹣x+50；（2）设公司获得的日收益为w，则w＝（x﹣30）（﹣x+50）＝﹣x2+60x﹣1500；（3）z＝w﹣12（10﹣y）＝﹣x2+56x﹣1020＝﹣（x﹣84）2+1332（x≥120），∵当x＞84时，z随x的增大而减小，∴当x＝120时，z取得最大值，最大值＝﹣（120﹣84）2+1332＝900，答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．八、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC＝∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝＝，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴m＝4（﹣1），∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（12分）如图，直线y＝x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c 25．经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为（0，﹣3），抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3 ；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．。
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九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.若ba=25，则a−ba+b的值为（）A. 14B. 37C. 35D. 732.如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A.B.C.D.3.若反比例函数y=-3x的图象上有三个点（-1，y1），（-14，y2），（14，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2≤y1<y34.如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，BEAE=35，CD=16，则DE的长为（）A. 3B. 6C. 485D. 105.下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，90.6 0.8 0.7 0.96.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是94，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A. 23B. 8116C. 94D. 327.下列命题正确的是（）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8.2下列说法错误的是（）A. 图象开口向下B. 抛物线的对称轴是直线x=2C. b2−4ac>0D. 当1<x<3时，y<69.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（）A. 9.6cmB. 10cmC. 20cmD. 12cm10.如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A. 1010B. 13C. 55D. 510二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：cos230°+|1-2|-2sin45°+（π-3.14）0=______．12.如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为______m．13.在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为______．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，4），B（-4，-2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是______．15.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．16.在矩形ABCD中，AB=9，tan∠ADB=34，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解方程：（x-3）2=7x-21．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18.节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是______．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．19.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD=30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是菱形；（2）填空：若AC=8，则线段CF的长为______．20.我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）21.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长122米，HF长2米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1=-2x的图象与反比例函数y2=kx的图象交于A（-1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．23.一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为______．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入=租出收入-租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．24.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC______∠ACG；（填“＞”或“＜”或“=”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE=m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．25.如图，直线y=34x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y=34x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为______，抛物线的解析式为______；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以b=，把b=代入则=，故选：B．根据比例的性质解答即可．此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．2.【答案】C【解析】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．3.【答案】C【解析】解：∵y=-中k=-3＜0，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y=-的图象上有三个点（-1，y1），（-，y2），（，y3），∴点（-1，y1）和（-，y2）在第二象限，点（，y3）在第四象限，-1＜-，∴0＜y1＜y2，y3＜0，即y3＜y1＜y2，故选：C．根据反比例函数的图象和性质比较即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE=CE：ED=3：5，∵CD=16．CE+ED=CD，∴DE=，故选：D．根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．5.【答案】C【解析】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.7附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.7，故选：C．根据大量的试验结果稳定在0.7左右即可得出结论．本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：D．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．7.【答案】A【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：A．根据平行四边形的判定方法可得A说法正确；根据菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得B说法错误；根据对角线相等且平分的四边形是矩形可得C说法错误；根据正方形的判定方法：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可得D说法错误．此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法．8.【答案】D【解析】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x==2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】B【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10（cm），故选：B．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS推出BC=CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC=2，∴S△ABC=BC×4=4，∵AB==4，∴CD==，∵AC==2，∴sinA===，故选：A．根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．11.【答案】34【解析】解：原式=（）2+-1-2×+1=+-1-+1=．故答案为：．直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.【答案】4【解析】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=，即=，∴CB=6，∴BD=BC-CD=6-2=4（m）．故答案为4．利用中心投影的性质可判断△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质求出BC的长，然后计算BC-CD即可．本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．13.【答案】23【解析】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率==．故答案为．画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14.【答案】（-1，2）或（1，-2）【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即点A′的坐标为：（-1，2）或（1，-2）．故答案为：（-1，2）或（1，-2）．利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把A点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点A′的坐标．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15.【答案】k≤5且k≠1【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键.根据一元二次方程有实数根可得k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解之即可.【解答】解：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为k≤5且k≠1.16.【答案】157或105【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=9，tan∠ADB=，∴AD=12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB=，∴设DH=4x，FH=3x，∴DF=5x，∵∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，∴∠ABE=∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF（AAS），∴AE=HF=3x，EH=AB=9，∴AE+DH=AD-EH=3x+4x=12-9=3，∴x=，∴DF=5x=；如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AB=9，tan∠ADB=，∴AD=12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB=，∴设DH=4x，FH=3x，∴DF=5x，∵∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，∴∠ABE=∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF，∴AE=HF=3x，EH=AB=9，∴DH-AE=AD+EH=4x-3x=12+9=21，∴x=21，∴DF=5x=105，综上所述，线段DF的长为或105．故答案为：或105．解直角三角形得到AD=12，过F作FH⊥AD于H，设DH=4x，FH=3x，根据勾股定理得到DF=5x，根据余角的性质得到∠ABE=∠HEF，根据全等三角形的性质得到AE=HF=3x，EH=AB=9，列方程即可得到结论．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．17.【答案】解：∵（x-3）2-7（x-3）=0，∴（x-3）（x-10）=0，则x-3=0或x-10=0，解得：x1=3，x2=10．【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】13【解析】解：（1）∵有三位孩子，分别是a，b，c，∴家长A恰好选中孩子的概率是；故答案为：．（2）画树状图如下：∵共有9种等情况数，恰好是同一家庭成员的有3种情况数，∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是=．（1）根据概率公式直接得出答案即可；（2）先画出树状图，得出所有等情况数和恰好是同一家庭成员的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，根据题意画出树状图是解题的关键．19.【答案】23【解析】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OB=BD，OC=AC，∴OB=OC，∴平行四边形OBEC是菱形；（2）∵BE∥AC，∴∠OAF=∠BEF，∵AO=BO=BE，在△AOF与△EBF中，，∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF=BF，∵AC=8，∴BD=8，∴OC=OB=4，∵∠ABD=30°，∴∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF=OC=2．故答案为：2．（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形OBEC是平行四边形，根据矩形的性质得到AC=BD，OB=BD，OC=AC，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠OAF=∠BEF，根据全等三角形的性质得到OF=BF，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CF⊥OB，解直角三角形即可得到结论．本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题的关键．20.【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1-x）2=12150，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1-0.98）=24300，方案②可优惠：250×100=25000，25000-24300=700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【解析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．21.【答案】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE=HEHF12=22，∴∠FHE=45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM=AB，HN=EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABBC，∴AB=BC tan60°=1×3=3，∴GM=AB=3，在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，∴HN=AH sin45°=22×22=12，∴EM=EG+GM=12+3，答：篮板底部点E到地面的距离是（12+3）米．【解析】（1）由cos∠FHE==可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG 于N，据此知GM=AB，HN=EG，Rt△ABC中，求得AB=BCtan60°=；Rt△ANH中，求得HN=AHsin45°=；根据EM=EG+GM可得答案．本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．22.【答案】解：（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得n=2，∴A（-1，2），把A（-1，2）代入y=kx，可得k=-2，∴反比例函数的表达式为y=-2x，∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，-2）．（2）∵A（-1，2），∴y≤2的取值范围是x＜-1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN=S△POB=1，设P（m，-2m），则12（2+2m）（m-1）=1或12（2+2m）（1-m）=1整理得，m2-m-1=0或m2+m+1=0，解得m=1+52或m=5−12，∴P点的横坐标为5±12．【解析】（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=-，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）观察函数图象即可求解；=S△POB=1，可得方程（2+）（m-1）=1或（3）设P（m，-），根据S梯形MBPN（2+）（1-m）=1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．23.【答案】y=-13x+50【解析】解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y=kx+b，则，解得：，即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y=-x+50；故答案为：y=-x+50；（2）设公司获得的日收益为w，则w=（x-30）（-x+50）=-x2+60x-1500；（3）z=w-12（10-y）=-x2+56x-1020=-（x-84）2+1332（x≥120），∵当x＞84时，z随x的增大而减小，∴当x=120时，z取得最大值，最大值=-（120-84）2+1332=900，答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式；（2）根据租出汽车每天的实际收入=租出收入-租出汽车维护费即可得到结论；（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司月收益，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．24.【答案】=【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=CD=DA=4，∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°，∴AC==4，∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，∴∠AHC=∠ACG．故答案为=．（2）结论：AC2=AG•AH．理由：∵∠AHC=∠ACG，∠CAH=∠CAG=135°，∴△AHC∽△ACG，=，∴AC2=AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH=•AH•AG=AC2=×（4）2=16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC=GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG=BC=4，AH=BG=8，∵BC∥AH，∴==，∴AE=AB=．如图2中，当CH=HG时，易证AH=BC=4（可以证明△GAH≌△HDC得到）∵BC∥AH，∴==1，∴AE=BE=2．如图3中，当CG=CH时，易证∠ECB=∠DCF=22.5°．在BC上取一点M，使得BM=BE，∴∠BME=∠BEM=45°，∵∠BME=∠MCE+∠MEC，∴∠MCE=∠MEC=22.5°，∴CM=EM，设BM=BE=x，则CM=EM=x，∴x+x=4，∴m=4（-1），∴AE=4-4（-1）=8-4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8-4．（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】（0，-3）y=34x2-94x-3【解析】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y=x+a，解得：a=-3，则：直线表达式为：y═x-3，令x=0，则：y=-3，则点B坐标为（0，-3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c=-3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b-3=0，解得：b=-，故：抛物线的解析式为：y=x2-x-3，故：答案为：（0，-3），y=x2-x-3；（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，m-3），N（m，m2-m-3），∴PN=m-3-（m2-m-3）=-（m-2）2+3，∵a=-＜0，∴抛物线开口向下，∴当m=2时，PN有最大值是3，②当∠BNP=90°时，点N的纵坐标为-3，把y=-3代入抛物线的表达式得：-3=m2-m-3，解得：m=3或0（舍去m=0），∴m=3；当∠NBP=90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为-1，设：直线BN的表达式为：y=-x+n，把点B的坐标代入上式，解得：n=-3，则：直线BN的表达式为：y=-x-3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m=或0（舍去m=0），当∠BPN=90°时，不合题意舍去，故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；（3）∵OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tanα=，则：cosα=，sinα=，∵PM∥y轴，∴∠BPN=∠ABO=α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n=m2-m-3，过点N作AB的平行线，则点N所在的直线表达式为：y=x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y=x+（n-m），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2-12x-12+3m-4n=0，△=144-3×4×（0=-12+3m-4n）=0，将n=m2-m-3代入上式并整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2，则点N的坐标为（2，-），则：点P坐标为（2，-），则：PN=3，∵OB=3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y=x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2-4x-4=0，解得：x=2±2，则点N′、N″的横坐标分别为2，2-2，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h=NH=NPsinα=，作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′=α，ON′==（2+2），=BP•h=×=6，S四边形OBPN=S△OP′N′+S△OBP′=6+6，则：S四边形OBP′N′″=6-6，同理：S四边形OBN″P故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6-6．（1）把点A坐标代入直线表达式y=x+a，求出a=-3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，m-3），N（m，m2-m-3）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△=0，确定图中N点的坐标．。