北师大版高中数学选修1-1：必要条件与性质定理_课件2

答案： 一个方程是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 它有两个 不相等的实数根 假
4．把下列命题改写成“若p，则q的形式”，并判断命题的真 假：
(1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 解析： (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题； (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题； (3)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，是假命题.
【错因】 (1)分不清命题的条件和结论．在原命题中，把 “负数的平方”这个结论当成条件．一个数是负数，这是所给 实数的属性，应该是条件，平方运算后所得数的属性应该是结 论．
(2)对于(2)的否命题，把“四条边相等”的否定误写成了“四 条边都不相等”．实际上“四条边相等”是“四条边都相等” 的意思．它的否定应该是“四条边不都相等”．
命题
1.通过实例了解命题的概念，会判断命题的真假． 2.了解四种命题的形式，能正确判断四种命题之间的关系． 3.会应用命题的等价性来判断命题的真假.
1.利用四种命题的关系判断四种命题的真假．(重点) 2.会写命题的逆命题、否命题、逆否命题． 3.判断一个语句是否是命题．(易混点)
2．四种命题的关系 (1)四种命题以及它们之间的关系
在判断它们之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论， 再比较每个命题的条件与结论之间的关系．
(2)四种命题的真假性
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假 性之间有如下关系：
2．四种命题的真假判断 (1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假． (2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假． (3)原命题为真：它的逆否命题一定为真． (4)互为逆否的命题是等价命题，它们的真假性相同，同一个
命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们的真 假性也相同．
②对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命 题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互 否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做 原命题的否命题．
③对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫 做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一 个叫做原命题的逆否命题．

判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由，若是，
判断其真假．
(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x－2>0；
(3)集合{a，b，c}有3个子集；
(4)这盆花长得太好了！
(5)x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．
由命题的概念判断是否是命题．再由命题的正确或错误判 断真假．
假命题．

指出下列命题的条件与结论．
(1)负数的平方是正数.
(2)正方形的四条边相等．
(3)质数是奇数．
(4)矩形是两条对角线相等的四边形．
先正确调整命题的表述形式，再确定其条件和 结论
[解题过程] (1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方 是正数”．
条件为：“一个数是负数”； 结论为：“这个数的平方是正数”．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四 边形；真命题.3分
逆否命题：若一个四边形不是圆的内接四边形， 则这个四边形的对角不互补；真命题.4分
(2)原命题：若x>8，则x>0；真命题.5分 逆命题：若x>0，则x>8；假命题.6分 否命题：若x≤8，则x≤0；假命题.7分 逆否命题：若x≤0，则x≤8；真命题.8分 (3)原命题：若x＝－1，则x2－x－2＝0；真命题.9分 逆命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1；假命题.10分 否命题：若x≠－1，则x2－x－2≠0；假命题.11分 逆否命题：若x2－x－2≠0，则x≠－1；真命题.12分
3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并 判断它们的真假．
(1)当 c＜0 时，若 ac＞bc，则 a＜b； (2)若 x－2＋(y＋1)2＝0，x＝2 且 y＝－1； (3)若四边形是矩形，则其对角线相等．
解析： (1)逆命题：当 c＜0 时，若 a＜b，则 ac＞bc， 真命题；否命题：当 c＜0 时，若 ac≤bc，则 a≥b，真命题；
明确的关系 ．
1．下列命题是真命题的为( ) A．若1x＝1y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1 C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x＜y，则 x2＜y2 解析： 由1x＝1y得 x＝y，A 正确，B、C、D 错误． 答案： A
2．若x2＝1，则x＝1的否命题为( )
A．若x2≠1，则x＝1
(2)要判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合“可以判 断真假”这个条件．
2．命题的结构
在数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的．我们 把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是 把它的表述作适当的改变，也可以写成“若p，则q”，“如果p， 那么q”，“只要p，就有q”等形式．
否命题：若四边形不是矩形，其对角线不相等，假命题．
逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形， 真命题．
1．定义
我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做 命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做 假命题．
可以判断真假的语句，叫做命题．
[注意] (1)并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的 语句才是命题．一般来说，开语句、一般疑问句、祈使句、感 叹句都不是命题．
数.
1.判断下列语句是不是命题： (1) 2是无限循环小数； (2)x2－3x＋2＝0； (3)当 x＝4 时，2x>0； (4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (5)一个数不是合数就是质数； (6)作△ABC≌△A′B′C′； (7)二次函数的抛物线太美了！ (8)4 是集合{1,2,3}的元素．
[解题过程]
序号 结论
理由
(1) 是真命题 满足指数函数定义
(2) 不是命题 因为不能判断“x－2>0”的真假
(3)
是假命题
因为集合{a，b，c}有∅，{a}，{b}，{c}， {a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
(4) 不是命题 因为是感叹句
因为当x，y为无理数，且互为相反数时，x (5) 是假命题 ＋y＝0，x＋y是有理数，而x，y不是有理
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有明确的 关系．
1．一个命题真假的判断
一个命题要么真，要么假，二者必具其一．当一个命题改写成 “若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法是：若由 “p”经过逻辑推理得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判 断“若p，则q”是假且只需举出一个反例即可．
解析： (1)是命题，能判断真假． (2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我
们无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)． (3)是命题，能作出判断的语句，是一个真命题． (4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是
否平行作出判断． (5)是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数． (6)祈使句，不是命题． (7)感叹句，不是命题． (8)是命题，由于4∉{1,2,3}，所以“4是集合{1,2,3}的元素”为
逆否命题：当 c＜0 时，若 a≥b，则 ac≤bc，真命题． (2)逆命题：若 x＝2 且 y＝－1，则 x－2＋(y＋1)2＝0， 真命题． 否命题：若 x－2＋(y＋1)2≠0，则 x≠2 或 y≠－1，真 命题．逆否命题：若 x≠2 或 y≠－1，则 x－2＋(y＋1)2≠0， 真命题．
(3) 逆 命 题 ： 若 四 边 形 的 对 角 线 相 等 ， 则 这 个 四 边 形 是 矩 形．假命题．
判断真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
(2)如果x>8，那么x>0.
(3)当x＝－1时，x2－x－2＝0.
[解题过程] (1)原命题：若四边形的对角互补，则该四边形是 圆的内接四边形；真命题．逆命题：若一个四边形是圆的内接 四边形，则这个四边形的对角互补；真命题.1分
综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个 数要么是0个，要么是2个，要么是4个．
◎用“若p，则q”的形式写出(1)的原命题，(2)的否命题． (1)负数的平方是正数． (2)正方形的四条边相等． 【错解】 (1)原命题：若一个数是负数的平方，则这个数是
正数．
(2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边都不相 等．
边形是矩形．” 条件为：“四边形的两条对角线相等”； 结论为：“这个四边形是矩形”．
2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式： (1)各数位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除； (2)斜率相等的两条直线平行； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (4)钝角的余弦值是负数．
(2)命题的数学形式：若p则q，其中p叫做命题的 条件，q叫做 命题的 结论 ．
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
表述形式 若p则q
若q则p