二次函数压轴题四边形面积

四边形面积最值

除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．

思考：如何求一个普通的四边形的面积？

解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．

就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~

搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：

已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标．

【分析】 （1）2

142

y x x =

+-； （2）此处四边形ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角

形求面积．

若连接AP ，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择；

若连接BC ，可得定△ABC 和动△BPC ，只要△BPC 面积最大，四边形ABPC 的面积便最大．

考虑A （2,0）、B （-4,0）、C （0，-4），故1

64122

ABC

S

=⨯⨯=， 接下来求△BPC 的面积，设P 点坐标为21,42m m m ⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

，

连接BC ，则直线BC 的解析式为：y =-x -4

过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为（m ，-m -4）， 故221144222PQ m m m m m ⎛⎫

=---+-=-- ⎪⎝⎭

，

当m =-2时，PQ 取到最大值2，此时△BPC 面积最大，四边形ABPC 面积最大． 此时P 点坐标为（-2，-4）．

已知抛物线23

4 2

y ax x

=++的对称轴是直线3

x=，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

【分析】

（1）抛物线：213

442

y x x =-++

点A 坐标为（-2,0），点B 坐标为（8,0）．

（2）显然将四边形PBOC 拆为△BOC 和△PBC ，点C 坐标为（0,4），

故1

84162

BOC

S

=⨯⨯=， 设P 点坐标为213,442m m m ⎛⎫

-++ ⎪⎝⎭，

根据B 、C 坐标可得BC 的解析式为1

42

y x =-+

过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为1,42m m ⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭

，

故2213114424224PQ m m m m m ⎛⎫

=-++--+=-+ ⎪⎝⎭

，

当m =4时，PQ 取到最大值4，

1

84162

BPC

S

=⨯⨯=， 故四边形PBOC 的最大面积为32，此时P 点坐标为（4,6）．

这个题目四边形已拆好，只要负责计算就可以了，而计算的内容，与三角形无异．

【2019日照中考】

如图1，在平面直角坐标系中，直线55

y x

=-+与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线2

y x bx c

=++经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置

时，

1

2

PC PA

+的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

图1

图2

【分析】

（1）由题意得：A （1,0）、C （0,5），代入可解抛物线解析式为：265y x x =-+，点B 坐标

为（5,0）．

（2）显然四边形AMBC 可拆为△ABC 和△AMB ，

11

451022

ABC

S

AB OC =

⋅=⨯⨯=， 显然，当M 点在抛物线顶点时，△AMB 面积最大，

此时M 点坐标为（3，-4），

1

4482

AMB

S

=⨯⨯=， 故四边形AMBC 面积最大值为10+8=18，此时M 点坐标为（3，-4）．

（3）这才是本题重点啊！这个重点掩藏得很不认真．

显然是个“阿氏圆”问题，构造1

2PA 即可，参考阿氏圆解决方法，

取点D （4,0），连接PD ，任意时刻，均有1

2

PD PA =，问题易解．

【2019相城区一模】

如图，抛物线234(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A ，B 两点，直线11

22

y x =

+经过点A ，与抛物线的另一个交点为点C ，点C 的横坐标为3，线段PQ 在线段AB 上移动，1PQ =，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交抛物线于E 、F ，交直线于D ，G ． （1）求抛物线的解析式；

（2）在线段PQ 的移动过程中，以D 、E 、F 、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．