二次函数压轴题四边形面积

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2021中考数学压轴题专题6.二次函数与四边形

第六讲二次函数与四边形

【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边长,OA OC 分别为12cm 和6cm ，点,A C 分

别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2

y ax bx c =++经过点,A B ，180a c +=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P 由点A 开始沿AB 边以1/cm s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以

2/cm s 的速度向终点C 移动：

①移动开始后第t 秒时，设PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；

②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以,,,P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()()()4,00,42,0A B C --、、三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，MAB 的面积为S ，求S 关于m 的

函数关系式，并求出S 的最大值；

（3）若P 是抛物线上的动点，Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能使以点P Q B O 、、、为

顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点()()()1,03,03,4B C D 、、．以A 为

顶点的抛物线2

y ax bx c =++过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P Q 、的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ．

中考二次函数压轴题(含答案)

的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，
并指出t的取值范围；当t为何值时，
S有最大值或最小值．
13．（2010山东莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
22．（2010山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是，以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？
23．（2010湖北荆门）已知一次函数y＝的图象与x轴交于点A．与轴交于点；二次函数图象与一次函数y＝的图象交于、两点，与轴交于、两点且点的坐标为
25．（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．
（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点 ,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

二次函数中考压轴题(平行四边形)精选

二次函数中考压轴题（平行四边形）解析精选【例一】（2013•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，

与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x 轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

=，即：=

﹣m

【例二】已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四

边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，

求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

【例三】（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），

B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

×．

y=﹣

AB=

﹣

x．

（﹣x+2）﹣（﹣﹣S

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——

二次函数压轴题（特殊四边形）

()1求该抛物线的表达式；

()2点P在该抛物线上，点Q在y轴上，要使以点

形，求所有满足条件的点P的坐标．

2．如图，已知抛物线223

=--+

y x x

的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：

(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠(2)若点P 在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 求出点P 的坐标；

(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55

AE DE +取得最小值，连接限抛物线为点M ，从请直接写出AM 的长度．

3．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0A -(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D 是抛物线上的一点，当ABD △的面积为(3)点P 是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q

(1)求出抛物线与直线的解析式；

(2)已知点K为线段AD上一动点，过点K作

AH，求AHD

的最大面积；

(3)若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P 是抛物线第四象限上的一个动点，过点P 作PQ AC ∥交BC 于点Q ．①如图1，记APQ △面积为1,S BPQ 面积为2S ，求12S S +的面积最大值及此时点P 的坐标．

②如图2，若将QP 沿直线BC 翻折得到QE ，且点E 落在线段AC 上，求此时点P 的坐标．

6．如图，抛物线y ＝﹣54

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问

题）

1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．

(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；

(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线21

2y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶

点为C ．

(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．

(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．

4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．

2023年九年级中考数学：二次函数综合题压轴题(特殊四边形问题)(含答案)

(3)将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，求以、、、为顶点的四边形面积的最大值．
15．综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
(4) ，
11．(1) ；
(2) ；最大值为
(3) 、、
12．(1)
(2) 或
(3)点在抛物线上，
13．(1)抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
(2)①点C的坐标为(m，-m-5)；点D的坐标为(m+5，-m)；②-7≤m≤3且m 0．
14．(1)
(2) ，
(3)
15．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4 )或(0，-4 )．
5．(1)B（2，0），a＝；
(2)E（，0）；
(3)E（，0）．
6．(1)
(2)n＝2
7．(1)
(2)
(3)
8．(1)
(2)（3，1）
(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)
9．(1)抛物线解析式为
(2)
(3) ，，
(4)正方形MNED的边长为或

二次函数压轴题(含答案)

二次函数压轴题

一．解答题（共20小题）

1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．

2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

中考复习之二次函数压轴40个问题

主要题型：

1.二次函数之面积问题

2.二次函数之特殊三角形的存在性问题

3.二次函数之特殊四边形的存在性问题

4.二次函数之线段最值问题

5.二次函数之角度问题

题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D

第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.

求二次函数的解析式；

解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3

第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D

1.判断∆BCD的形状；

解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是

直角三角形；方法二:K

CD =1,K

=-1,K

CD∙

=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；

第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积

解:BC:y =-x +3,

铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=2

∙2∙3=3 S ABDC 四=

∙4∙3+3=9

第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；

中考压轴题二次函数与周长、面积综合题(解析版)

专题05 二次函数与周长、面积综合题

1.（2019年湖北省黄石市中考数学试题）如图，已知抛物线经过点、.

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积

（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）

【答案】（1），;（2）36;（3）

【解析】

【分析】

（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；

（2）S四边形AMBC=AB（y C-y D），即可求解；

（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．

【详解】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，

点M坐标为（2，-3）；

（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），

S四边形AMBC=AB（y C-y D）=×6×（9+3）=36；

（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，

抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，

则新抛物线表达式为：y=x2，

则定点D 与动点P 之间距离PD =，

∵＞0，PD 有最小值，当x 2=3m -时， PD 最小值d =

．

2.（2019年湖南省常德市中考数学试题）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M

中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专

题训练-附答案

学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．

（1）求证：△BCQ△△ODQ；

（2）求点P的坐标；

（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．

2．如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且△ACB=900，抛物线2

=++

y ax bx c

经过A 、B 、C 三点，其顶点为M.

（1）求抛物线2y ax bx c =++的解析式；

（2）试判断直线CM 与以AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明；

（3）在抛物线上是否存在点N ，使得BCN S 4∆=如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．

3．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求PAC

△面积的最大值及此时点P的坐标；

压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全

2023年中考数学压轴题专项训练

压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）

题型一：二次函数与平行四边形存在性问题

例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．

（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．

（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：二次函数与矩形存在性问题

例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

题型三: 二次函数与菱形存在性问题

例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；

（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，点D的坐标；

（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；

若不存在，请说明理由．

3．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点

P是抛物线H上的一个动点．

（1）求抛物线H的表达式；

（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；

（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数压轴题四边形面积

四边形面积最值

除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．

思考：如何求一个普通的四边形的面积？

解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．

就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~

搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：

已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标．

【分析】（1）2

142

y x x =

+-；（2）此处四边形ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角

形求面积．

若连接AP ，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择；

若连接BC ，可得定△ABC 和动△BPC ，只要△BPC 面积最大，四边形ABPC 的面积便最大．

考虑A （2,0）、B （-4,0）、C （0，-4），故1

64122

ABC

=⨯⨯=，接下来求△BPC 的面积，设P 点坐标为21,42m m m ⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

，

连接BC ，则直线BC 的解析式为：y =-x -4

过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为（m ，-m -4），故221144222PQ m m m m m ⎛⎫

=---+-=-- ⎪⎝⎭

二次函数压轴题专题突破练专题04 二次函数背景下的图形面积的探究(学生版)

备战2019年中考数学压轴题之二次函数

专题04 二次函数背景下的图形面积的探究

【方法综述】

面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下：方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积；方法二：同底等高类的三角形面积：

当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个三角形面积之比等于高（底）之比

方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决；

坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法

例如：求抛物线在直线AC 上方一点，使得△PAC 面积最大，当把直线AC 向上平移时，与抛物线的切点即为满足条件的P 点，因此，若直线AC 斜率为k ，则可以设一条直线解析式为y=kx+b ，该直线与抛物线联立的方程有两个相等实数根时，可求得b ，进而求得P 点坐标。

另外，用铅垂高法解决面积最值问题基本模型如下：

S △PAB ＝1

2·PQ·||x B －x A .根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐

标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅

垂线段PQ最大时，S△PAB取得最大值，此时点Q为线段AB的中点.

【典例示范】

类型一实际问题的面积探究

例1：用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．

（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成

①设DE等于xm，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

中考二次函数压轴试题十大模型归纳

二次函数压轴题的十大类型

（一）二次函数中的面积与特殊四边形

（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．

（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），

∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），

∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），

∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），

∴a＝2，

∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；

（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，

∴顶点M的坐标为（2，﹣2），

∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，

∴点N（2，2），

设直线AN解析式为：y＝kx+b，

由题意可得：，

解得：，

∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，

联立方程组得：，解得：，，

∴点D （4，6），

∴S △ABD ＝×2×6＝6，

设点E （m ，2m ﹣2），

∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，

∴S △ABE ＝S △ABD ＝2或S △ABE ＝S △ABD ＝4， ∴×2×（2m ﹣2）＝2或×2×（2m ﹣2）＝4，

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略(学生版+解析版)

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略

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【典型例题】1

【考点一利用二次函数求面积最大值问题】

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【考点四利用二次函数求周长最小值问题】

【典型例题】

【考点一利用二次函数求面积最大值问题】

1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0

．

，点B的坐标为3,0

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；

(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．

【变式训练】

1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0

点，点P是直线BC

，与y轴交于C0,-4下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．

2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y =-x 2+bx +c 经过B 3,0 、C 0,3 两点，点P 是抛物线上一点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；