二次函数压轴题四边形面积
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四边形面积最值
除了关于三角形的各种面积问题之外,四边形问题也是中考题中常见的一种问法,鉴于四边形一般是普普通通的四边形,因此问题一般也是普普通通的问题,本文分享一点关于四边形面积的题目.
思考:如何求一个普通的四边形的面积?
解法也很普通,连对角线分割为两个三角形即可求得面积,至于三角形面积参考铅垂法.
就是这么的简单粗暴,甚至还有一点无聊~
搞定了四边形的面积,就可以看看四边形面积的最值了,还是来看点例子吧:
已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -,与y 轴交于点C . (1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,点P 是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC 的面积最大时,求点P 的坐标.
【分析】 (1)2
142
y x x =
+-; (2)此处四边形ABPC 并非特殊四边形,所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角
形求面积.
若连接AP ,则△ABP 和△APC 均为动三角形,非最佳选择;
若连接BC ,可得定△ABC 和动△BPC ,只要△BPC 面积最大,四边形ABPC 的面积便最大.
考虑A (2,0)、B (-4,0)、C (0,-4),故1
64122
ABC
S
=⨯⨯=, 接下来求△BPC 的面积,设P 点坐标为21,42m m m ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
,
连接BC ,则直线BC 的解析式为:y =-x -4
过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ,则Q 点坐标为(m ,-m -4), 故221144222PQ m m m m m ⎛⎫
=---+-=-- ⎪⎝⎭
,
当m =-2时,PQ 取到最大值2,此时△BPC 面积最大,四边形ABPC 面积最大. 此时P 点坐标为(-2,-4).
已知抛物线23
4 2
y ax x
=++的对称轴是直线3
x=,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;
(2)如图,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
【分析】
(1)抛物线:213
442
y x x =-++
点A 坐标为(-2,0),点B 坐标为(8,0).
(2)显然将四边形PBOC 拆为△BOC 和△PBC ,点C 坐标为(0,4),
故1
84162
BOC
S
=⨯⨯=, 设P 点坐标为213,442m m m ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭,
根据B 、C 坐标可得BC 的解析式为1
42
y x =-+
过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ,则Q 点坐标为1,42m m ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
,
故2213114424224PQ m m m m m ⎛⎫
=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
,
当m =4时,PQ 取到最大值4,
1
84162
BPC
S
=⨯⨯=, 故四边形PBOC 的最大面积为32,此时P 点坐标为(4,6).
这个题目四边形已拆好,只要负责计算就可以了,而计算的内容,与三角形无异.
【2019日照中考】
如图1,在平面直角坐标系中,直线55
y x
=-+与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线2
y x bx c
=++经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若P点是半径为2的B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置
时,
1
2
PC PA
+的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
图1
图2
【分析】
(1)由题意得:A (1,0)、C (0,5),代入可解抛物线解析式为:265y x x =-+,点B 坐标
为(5,0).
(2)显然四边形AMBC 可拆为△ABC 和△AMB ,
11
451022
ABC
S
AB OC =
⋅=⨯⨯=, 显然,当M 点在抛物线顶点时,△AMB 面积最大,
此时M 点坐标为(3,-4),
1
4482
AMB
S
=⨯⨯=, 故四边形AMBC 面积最大值为10+8=18,此时M 点坐标为(3,-4).
(3)这才是本题重点啊!这个重点掩藏得很不认真.
显然是个“阿氏圆”问题,构造1
2PA 即可,参考阿氏圆解决方法,
取点D (4,0),连接PD ,任意时刻,均有1
2
PD PA =,问题易解.
【2019相城区一模】
如图,抛物线234(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A ,B 两点,直线11
22
y x =
+经过点A ,与抛物线的另一个交点为点C ,点C 的横坐标为3,线段PQ 在线段AB 上移动,1PQ =,分别过点P 、Q 作x 轴的垂线,交抛物线于E 、F ,交直线于D ,G . (1)求抛物线的解析式;
(2)在线段PQ 的移动过程中,以D 、E 、F 、G 为顶点的四边形面积是否有最大值,若有求出最大值,若没有请说明理由.