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二次函数压轴题四边形面积

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二次函数压轴题一题多问

二次函数压轴题一题多问

二次函数压轴题一题多问如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积．（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN 的长度最大? 最大是多少?（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。

求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

（10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

（11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=S△ABC，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。

(12) 在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

(13) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积, 若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分△AFM的面积？（15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。

（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。

（17）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（18）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（19）点P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在点P，使得△PAH与△OBC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（20）若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

中考压轴题二次函数与周长、面积综合题(解析版)

中考压轴题二次函数与周长、面积综合题(解析版)

专题05 二次函数与周长、面积综合题1.（2019年湖北省黄石市中考数学试题）如图，已知抛物线经过点、.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）【答案】（1），;（2）36;（3）【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；（2）S四边形AMBC=AB（y C-y D），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．【详解】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，点M坐标为（2，-3）；（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），S四边形AMBC=AB（y C-y D）=×6×（9+3）=36；（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y=x2，则定点D 与动点P 之间距离PD =，∵＞0，PD 有最小值，当x 2=3m -时， PD 最小值d =．2.（2019年湖南省常德市中考数学试题）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG 周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或或． 【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解． 【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+， 将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，的故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，∵20-<，故当22bx a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNCS MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，2711sin45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==，则292334PH x x x =-+++-=，解得：32x =，故点315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②，联立①②并解得：32x ±=即点'P 、''P 的坐标分别为⎝⎭、⎝⎭；故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3324⎛+-- ⎝⎭或3324⎛--+ ⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．（2019年山东省烟台市中考）如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，作DE x ⊥轴，垂足为点E .双曲线6(0)y x x=>经过点D ，连接MD ，BD .(1)求抛物线的表达式；(2)点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；【答案】(1)2y x 2x 3=-++；(2)N 5,07⎛⎫ ⎪⎝⎭；F 50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【解析】 【分析】（1）先求D 的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点M ，D 关于y 轴，x 轴的对称点M '，'D ，连接MD '交x 轴，y 轴于点N ，F .即M '，F ,N ，'D 在同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线MD '的表达式，再求N,F 的坐标； 【详解】解：(1)由题意，得点C 的坐标(0,3)，3OC =. ∵6k OC CD =⋅=， ∴2CD =.∴点D 的坐标(2,3).将点(1,0)A -，(2,3)D 分别代人抛物线23y ax bx =++，得30,423 3.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++.(2)分别作点M ，D 关于y 轴，x 轴的对称点M '，'D ， 连接MD '交x 轴，y 轴于点N ，F .由抛物线的表达式可知，顶点M 的坐标(1,4)， ∴点M 的坐标(1,4)-. 设直线MD '为y kx b =+， ∵点'D 的坐标(2,3)-， ∴4,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得7,35.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线MD '的表达式为7533y x =-+. 令0y =，则75033x -+=，解得57x =，∴点N 的坐标5,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.令0x =，则53y =，∴点F 的坐标50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．（广东省深圳市2019年中考数学试题）如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 1；（3）12(4,5),(8,45)P P -- 【解析】 【分析】（1）OB =OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ，即可求解；（2）CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，即可求解； （3）S △PCB ：S △PCA =12EB ×（y C -y P ）：12AE ×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB =OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ， 故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3…①； 对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC 、DE =1是常数， 故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD =C ′D ， 取点A ′（-1，1），则A ′D =AE ，故：CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE +1+A ′D +DC +1+A ′C （3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分， 又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×（y C -y P ）：12AE ×（y C -y P ）=BE ：AE ， 则BE ：AE ，=3：5或5：3， 则AE =52或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +3， 解得：k =-6或-2，故直线CP 的表达式为：y =-2x +3或y =-6x +3…② 联立①②并解得：x =4或8（不合题意值已舍去）， 故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A ′点来求最小值，是本题的难点．5.（湖南省益阳市2019年中考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A (1，4)，B (3，0)． (1)求抛物线对应二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P (m ，n )是抛物线在第四象限的图象上的点，且m +n ＝﹣1，连接P A 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122y y +)．的【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(43，﹣73)．【解析】【分析】(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．【详解】(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由(2)知：点N 是PQ 的中点， 设直线PC 的解析式为y =kx +b ，将点C (﹣1，0)、P (4，﹣5)的坐标代入得：045k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k b =-⎧⎨=-⎩，所以直线PC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y ＝2x +2， 直线DQ ∥CA ，且直线DQ 经过点D (0，3)， 同理可得直线DQ 的表达式为：y ＝2x +3…②， 联立①②并解得：x ＝﹣43，即点Q (﹣43，13)， ∵点N 是PQ 的中点， 由中点公式得：点N (43，﹣73)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N 是PQ 的中点，是本题解题的突破点． 最新模拟试题6.（2020年安徽省阜阳市太和县九年级第二次调研模拟预测试题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =-(0a ＜)经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S △；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E F 、(点E 在点F 的左侧)，如果△MBF 与AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．【答案】（1）2y x =+；（23）抛物线2C 为：2y x =++或23327y x x =-++ 【解析】【分析】（1）根据题意，可以写出点B 和点A 的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M 的坐标，从而可以求得直线AM 的函数解析式，从而可以求得S △AOM ；（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F 的坐标，从而可以求得抛物线C 2的表达式．【详解】解：（1）过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，∵2OB =，∴0(2)B ，∵120AOB ∠=︒∴60AOH ∠=︒，30HAO ∠=︒．∵2OA =， ∴112OH OA ==． 在Rt AHO 中，222OH AH OA +=，∴AH ==∴(1A --，∵抛物线1C ：2y ax bx =+经过点A B 、，∴可得：420a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴这条抛物线的表达式为2y x x =；（2）过M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，∵2y x x =+=21)x -∴顶点M是1,3⎛ ⎝⎭，得3MG =设直线AM 为y =kx +b ，把(A -，1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入得k b k b =-+=+，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线AM为y x =-令y =0，解得x =12∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭∴111111×××22223223AOM S ON MG ON AH =⋅-⋅=+ （3）∵0(2)B ，、M ⎛ ⎝⎭，∴在Rt △BGM中，tan 3MG MBG BG ∠==， ∴30MBG ∠=︒．∴150MBF ∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO MB =，∴150MBO MOB ∠=∠=︒．∵120AOB ∠=︒，∴150AOM ∠=︒∴AOM MBF ∠=∠．∴当△MBF 与AOM 相似时，有：=OM BM OA BF 或=OM BF OA BM即332BF =或32=， ∴2BF =或23BF =． ∴0(4)F ，或803⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设向上平移后的抛物线2C为：2y x x k =++， 当0(4)F ，时，3k =， ∴抛物线2C为：2y =+当803F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，k =，∴抛物线2C 为：23327y x x =-++综上：抛物线2C 为：2y x =++或2y x x =++ 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．7.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，C 两点，已知点D 的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）点M ，N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标，并写出△DMN 周长的最小值；（3）点P 是抛物线上一动点，在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使∠PBA ＝∠ODN ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+4x +5；（2）点M 、N 的坐标分别为（85，175）、（34，0），△DMN 周长的最小；（3）点P （﹣23，73）． 【解析】（1）求出点B 、C 的坐标、将点B 、C 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）过点D 分别作x 轴和直线BC 的对称点D ′（0，-3）、D ″，连接D ′D ″交x 轴、直线BC 于点N 、M ，此时△DMN 的周长最小，即可求解；（3）tan∠ODN=13ONOD==tan∠PBA，确定直线BP的表达式，即可求解．【详解】（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，故点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或5，故点A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°；（2）过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，则CD″∥x轴，则点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，将点D′、D″的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线D′D″的坐标代入一次函数表达式为：y＝4x﹣3，则点M、N的坐标分别为（85，175）、（34，0），△DMN周长的最小值＝DM+DN+MN；（3）如图2，tan∠ODN＝13ONOD=＝tan∠PBA，则直线BP 的表达式为：y ＝﹣13x +s ，将点B 的坐标代入上式并解得： 直线BP 的表达式为：y ＝﹣13x +53…②， 联立①②并解得：x ＝5或﹣23（舍去5） 故：点P （﹣23，73）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性等知识点，其中（2），通过点的对称性确定点M 、N 的位置，是此类题目的基本方法．8.(2019年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷)如图，直线y ＝-12x -3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B (2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，D C ．设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m +3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D (﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F .设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D (﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠AB C ． ②作点D (﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D ′(﹣4，3)，直线AD ′的解析式为y ＝32x +9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A (﹣6，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F .∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF •AE +12•DF •OE ＝12DF •OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m )×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m +3)2+274， ∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D (﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D (﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠AB C ．②作点D (﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D ′(﹣4，3)，直线AD ′的解析式为y ＝32x +9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD ′与抛物线交于D (8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．. 9.（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点0()3,A ﹣、()9,0B 和()0,4C ，CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直于x 轴，垂足为E ，直线l 是该抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．(1)求出该二次函数的表达式及点D 的坐标；(2)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移，使其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到11Rt AO F △，求此时11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分图形的面积；(3)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度(06t <≤)得到222Rt A O C △，222Rt A O C △与Rt OED △重叠部分图形的面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为2484279y x x =-++，点D 的坐标为()6,4；(2) 163；(3)221(03)3146(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩. 【解析】【分析】（1）将点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）代入y =ax 2+bx +c 即可求出该二次函数表达式，因为CD 垂直于y 轴，所以令y =4，求出x 的值，即可写出点D 坐标；（2）设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，求出顶点坐标，证△FGH ∽△F A 1O 1，求出GH 的长，因为Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，所以S 重叠部分=11A O F S ∆-S △FGH ，即可求出结果； （3）当0＜t ≤3时，设O 2C 2交OD 于点M ，证△OO 2M ∽△OED ，求出O 2M =23t ，可直接求出S =2OO M S ∆=12OO 2×O 2M =13t 2；当3＜t ≤6时，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，分别求出直线OD 与直线A 2C 2的解析式，再求出其交点M 的坐标，证△DC 2N ∽△DCO ，求出C 2N =23（6-t ），由S =S 四边形A 2Q 2NM =2222A O C C MN S S ∆∆-，可求出S 与t 的函数表达式．【详解】(1)∵抛抛线2y ax bx c =++经过点()30A -,、()9,0B 和()0,4C ，∴抛物线的解析式为()()39y a x x =+-，∵点()0,4C 在抛物线上，∴427a =-， ∴427a =-， ∴抛物线的解析式为：2448(3)(9)427279y x x x x =-+-=-++， ∵CD 垂直于y 轴，()0,4C， 令24844279x x -++=， 解得，0x =或6x =，∴点D 的坐标为()6,4；(2)如图1所示，设1A F 交CD 于点G ，1O F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线2484279y x x =-++的顶点， ∴163,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴164433FH =-=， ∵11GH AO ，∴11FGH FAO △△∽， ∴111GH FH A O FO =， ∴4334GH =， 解得，1GH = ，∵11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形11A O HG ， ∴11A O F FGH S S S =-△△重叠部分 1111122AO O F GH FH =⋅-⋅ 114341223=⨯⨯-⨯⨯ 163=；(3)①当03t <≤时，如图2所示，设22O C 交OD 于点M ， ∵22C O DE ，∴2OO M OED △△∽， ∴22O DE EOO M O =， ∴246O M t =， ∴223O M t =， ∴22221121S 2233OO M S OO O M t t t ==⨯=⨯=△；②当36t <≤时，如图3所示，设22A C 交OD 于点M ，22O C 交OD 于点N ，将点()6,4D 代入y kx =， 得，23k =， ∴23OD y x =， 将点()3,0t -，(),4t 代入y kx b =+，得，(3)04k t b kt b -+=⎧⎨+=⎩， 解得，43k =，443b t =-+， ∴直线22A C 的解析式为：44433y x t =-+， 联立23OD y x =与44433y x t =-+， 得，2444333x x t =-+， 解得，62x t =-+，∴两直线交点M 坐标为462,43t t ⎛⎫-+-+⎪⎝⎭， 故点M 到2O C 2的距离为6t -，∵2C N OC ，∴2DC N DCO △△∽， ∴22DC C N CD OC=， ∴2664C N t -=， ∴22(6)3C N t =-， ∴222222A O C C MN A O NM S S S S ==-△△四边形211(6)22OA OC C N t =⋅-- 11234(6)(6)223t t =⨯⨯-⨯-- 21463t t =-+-； ∴S 与t 的函数关系式为：221(03)3146(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。

2022年部分省地市中考《二次函数》压轴题

2022年部分省地市中考《二次函数》压轴题

2022年部分省地市中考《二次函数》压轴题2022年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年长沙中考）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M Nh -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”． （1）①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；①若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数2y x=（1x ≥），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； （3）若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

2．（2022年湘潭中考）已知抛物线y ＝x 2+bx +c ．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交点B （0，﹣3），连接AB ． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y ＝x +n 与y 轴交于点C ，同时与抛物线y ＝x 2+bx +c 交于点D （﹣3，0），以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．3．（2022年邵阳中考）如图，已知直线y ＝2x +2与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ 所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．4．（2022年娄底中考）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022年衡阳中考）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y 轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022年株洲中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．7.．（2022年怀化中考）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．8.（2022年张家界中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段上的动点．若过点Q的直线l：y=kx+m(|k|<94GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．2022年浙江省省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年浙江省湖州中考）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D.（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值.（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示），当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值.2.（2022年浙江省丽水市中考）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y ＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）.①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.3.（2022年浙江省宁波市中考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克.（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？4.（2022年浙江省温州市中考）根据以下素材，探索完成任务．中有一座拱桥，．据调查，该河桥洞前面的桥为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且5.（2022年浙江嘉兴中考）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．6．（2022年浙江杭州中考）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．7.（2022年浙江金华中考）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：… 2.53 3.54…售价x（元/千克）…7.757.2 6.55 5.8…需求量y需求（吨）②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．Array2022年山东省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年山东省烟台市中考）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2022年山东省威海市中考）探索发现（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B （1，0），写y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；归纳概括（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），．3.（2022年山东省临沂市中考）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？4.（2022年山东省泰安市中考）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0)，B(0,−4)，其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标．5.（2022年山东省聊城市中考）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．6.（2022年山东省滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．2022年四川省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年四川省成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．2.（2022年四川省德阳中考）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．3.（2022年四川省雅安市中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足P A⊥PD，求线段PB的最小值．4.（2022年四川省南充市中考）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P 有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN 并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB ＝2tan∠DBE，求点M的坐标．5.（2022年四川省自贡市中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．6.（2022年四川省遂宁市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．经过A （﹣2，0），B （0，4）两点，直线x ＝3与x 轴交于点C ．（1）求a ，c 的值；（2）经过点O 的直线分别与线段AB ，直线x=3交于点D ，E ，且△BDO 与△OCE 的面积相等，求直线DE 的解析式；（3）P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线x=3上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

精选中考二次函数压轴题(含答案)

精选中考二次函数压轴题(含答案)

精选中考二次函数压轴题（含答案）1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=AC 与直线x =4(第2(图1) (图交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。

二次函数压轴题(带详细答案)

二次函数压轴题(带详细答案)

二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A （﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．24．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．25．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．26．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？27．（2006•重庆）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE=h=y P﹣y E=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y=x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似，情况：①P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②P点在F下，PF=4﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣m若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2﹣m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=（不合题意舍去）．∵∠CFP=90°，∴∠CPM=∠CFP+FCM＞90°，∴△CPM为钝角三角形；③若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0=9a+3，∴a=﹣（1分）∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+；（3分）（2）①∵D为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°．（4分）∵OM∥AD，①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，∴OP=6，∴t=6（s）．（5分）②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA （求AH=1）∴OP=DH=5，t=5（s）（6分）③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，则PE=t（8分）∴S BCPQ=×6×3×（6﹣2t）×t=（t﹣）2+（9分）当t=时，四边形BCPQ的面积最小值为．（10分）∴此时OQ=3，OP=，OE=；。

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1.已知：如图一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两1212点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．第1题图2．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B 点，3-223y x bx c =++且顶点在直线上．52x =（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，并求l 取最大值时，点M 的坐标．3.如图是二次函数k m x y ++=2)(（1）求出图象与轴的交点A,B 的坐标；x （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使,若存在，求出P 点的坐标；MAB PAB S S ∆∆=45若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一x x 个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点)1(<+=b b x y 时，的取值范围.b图9图14．如图, 已知抛物线与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐c bx x y ++=221标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．5.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；备用图题图26(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．64与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 分别交于F、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．7．如图7，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1 ，△AOB （1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中，x 过点P 作轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段x 把△AOB 分成两个三角形.与四边形BPOD 面积比为2：3 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.8．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．5(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线(1)求抛物线解析式及B ，(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE =时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．∠的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以Q15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC标及PDDB的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．33(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．(1)请求出抛物线1Q 的表达式．(2)如图1，在y 轴上有一点()0,1D -，点E 在抛物线1Q 上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点,E F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线1Q 向右平移2个单位，得到抛物线2Q ，抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标．31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点交x轴于点D，求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证：23DO EO =．②当点E 在线段OB 上，且BE =35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △(3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点若不存在，请说明理由．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若32m<<，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若32m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD 好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG +(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与△为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线23y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．(1)求a 的值．(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点请说明理由．(3)抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当⊥交BP于连接PB，过C作CE BC∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，由勾股定理得：52CB =，∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．A7．【答案】(1)()2,0,y=【分析】（1）令0（2）由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，=．∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。

专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》

专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

2022年中考数学二次函数--图形面积与最值问题压轴题专项训练

2022年中考数学二次函数--图形面积与最值问题压轴题专项训练

2022年中考数学二次函数--图形面积与最值问题压轴题专项训练1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3(1)求抛物线的解析式；(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：(3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位得新抛物线y′．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y′上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N 的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．3．如图，抛物线223=-++与x轴交于,A B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，y ax axBC，A点的坐标是（1-，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h=16时，直接写出△BCP的面积．4．在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．(2)已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．①求a：b：c的值；②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．(3)在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C 出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值．5．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．(1)求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；(2)如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE＝23S△MAE，求点D的坐标；(3)如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T 在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为，当m＝时，PSPT有最小值．6．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过()4,0A -，()0,4B -，()2,0C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与轴交于A (﹣1，0)，B (4，0)，与y 轴交于点C (0，﹣3)，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD ，点E 是AD 的中点，连接BE 、CE ，求△BCE 面积的最小值；(3)如图2，点P 是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q 在y 轴上，∠PBQ ＝∠OBC ，是否存在这样的点P 、Q 使BP ＝BQ ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线BC向右平移74个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BG ，求△BGD 的面积最大值；(3)如图2，在点P 运动的同时，点Q 从点B 出发，沿BA 边以每秒1个单位的速度向点A 运动．动点P 、Q 运动的过程中，在矩形ABCD 内（包括其边界）是否存在点H ，使以B ，Q ，E ，H 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t 的值：t ＝ ．10．如图，抛物线26y ax bx =++与直线2y x =+相交于15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()4,6B 两点，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 两点重合），过点P 作PC x ⊥轴于点D ，交抛物线于点C ，点E 是直线AB 与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点C 是抛物线的顶点时，求BCE 的面积；(3)是否存在点P ，使得BCE 的面积最大？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B （点B 在点A 右侧）．(1)求抛物线的解析式及点B 坐标；(2)设该抛物线的顶点为点H ，则S △BCH ＝ ；(3)若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线ED 平行y 轴交x 轴于点D ，交抛物线于点E ，求ME 长的最大值及点M 的坐标；(4)在（3）的条件下：当ME 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点M 、点B 、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝243x bx c -++经过点A （3，0），B （0，2），连接AB ，点P 是第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点Q ，判断是否存在点P ，使得以P 、Q 、B 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点C与点B关于x轴对称，连接AC，AP，PC，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求△ACP 面积的最大值及此时点P的坐标．13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F 在抛物线的对称轴上，且EF ∥x 轴，若以点D ，E ，F 为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为坐标平面内一动点，满足tan ∠APB ＝3，请直接写出△P AB 面积最大时点P 的坐标及该三角形面积的最大值．15．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的横坐标为4．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD ∆面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是抛物线上的点，且45ADQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．16．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2交x 轴于点A （﹣3，0）和点B （1，0），交y 轴于点C ．已知点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP 、PC 、CD ．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)①点M 在平面内，当△CDM 是以CM 为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M 的坐标； ②在①的条件下，点N 在抛物线对称轴上，当∠MNC ＝45°时，求出满足条件的所有点N 的坐标．17．如图，已知抛物线212y x bx c =-++的顶点C 的坐标为()3,2-，此抛物线交x 轴于点A ，B 两点，点P 为直线AD 上方抛物线上一点，过点P 作PE x ⊥轴垂足为E ，连接AP ，PD ．(1)求抛物线和直线AD 的解析式；(2)求线段PN 的最大值；(3)当APD △的面积是ABC 的面积的54时，求点P 的坐标．18．如图，直线y 12=x +2与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，抛物线y 12=-x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ，点D 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在直线AC 上方时，连接BC ，CD ，BD ，BD 交AC 于点E ，令△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； (3)点F 是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B ，C ，D ，F 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为C （3，6），并与y 轴交于点B （0，3），点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP ，AP ，求△ABP 的面积的最大值；(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作∠ACD ＝30°交抛物线于点D ，求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q ，使∠CQD ＝60°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B，C两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；(3)若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．解：把点A （﹣1，0），点C （0，﹣3）代入抛物线的解析式为y ＝x 2+bx +c 中得：103b c c -+=⎧⎨=-⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4∴顶点的坐标为（1，﹣4）(2)如图1，设直线BC 的解析式为y ＝kx +d （k ≠0）当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0解得：x 1＝3，x 2＝﹣1∴B （3，0）将B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝kx +d 中得：303k d d +=⎧⎨=-⎩，解得：13k d =⎧⎨=-⎩ ∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3∵OP ＝t设点P 的坐标为（t ，0），则点N 的坐标为（t ，t ﹣3），H （t ，t 2﹣2t ﹣3） ∴NH ＝t ﹣3﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+3t ∴223327()22813(3)22BCH S t t S NH OB t ===-+=--+△∵0≤t≤3，32-＜，∴当t32=时，S取最大值，最大值为278；(3)分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3解得：x1＝1x2＝1∴P（20）或（20）②当Q在x轴的下方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3）∴P （1，0）综上，P 点的坐标为（2，0）或（20）或（1，0）2．∵抛物线解析式为23y ax bx =++，令x ＝0，得y ＝3，∴点C 坐标为（0，3），∴OC=OB ＝3，∴B 坐标为（3，0）．∵tan ∠CAO ＝3，即3OC OA=， ∴OA ＝1，∴点A 坐标为（-1，0），∴可设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），代入C 点坐标得：y ＝a （0+1）（0﹣3）解得：a ＝-1，∴22(1)(3)23(1)4y x x x x x =-+-=-++=--+，∴抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；(2)∵Q 为线段PB 中点，∴S △CPQ ＝12S △CPB ，当S △CPB 面积最大时，△CPQ 面积最大．设P 坐标（a ，223a a -++），如图，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，∴H 坐标为（a ，-a +3），∴223(23)(3)PH a a a a a =-++-=-+-+ ∴22113327()(3)3()22228PB B C C PH x x a S a a =⋅-=-+⨯=--+， ∴当32a =时，即P 坐标为(32，154)时，CPB S 面积最大，最大值为278， ∴127216CPQ CPB S S ==； (3)沿CB 方向平移2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为2(3)2y x =--+，∴M （3，2），C 坐标为（0，3），设N 点坐标为（n ，0），根据平行四边形的性质，分类讨论①当22C N M D y y y y ++=时，即23022D y ++=， 解得：1=D y ．∴21(3)2x =--+解得：1242x x ==，∴xD ＝4或xD ＝2，当xD ＝4时，22C N M D x x x x ++=，即03422N x ++=， 解得：7N x =；当xD ＝2时，22C N M D x x x x ++=，即03222N x ++=， 解得：5N x =；∴N 坐标为（7，0）或（5，0）；①当 22C D M N y y y y ++=时，即32022D y ++=， 解得：1D y =-．∴21(3)2x -=--+解得：1233x x ==∴3D x =3D x =当3D x =22C D M N x x x x ++=32N x +=，解得：N x当3D x =22C D M N x x x x ++=32N x +=，解得：N x =∴N 0）或（0）；综上，可知N 点坐标为（7，0）或（5，00）或（0）； 3．解：∵抛物线223y ax ax =-++与x 轴交于,A B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，A 点的坐标是（1-，0），∴令0x =，则3y =，()0,3C ∴将点()1,0A -代入得023a a =--+解得1a =则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++ (2)点P 是抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，且m >0．点Q 是直线AC 上的一个动点，且位于x 轴的上方，PQ ∥y 轴Q ∴点在P 点上方，()1,0A -,()0,3C ，设直线AC 的解析式为y kx b =+30b k b =⎧⎨-+=⎩解得33k b =⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为33y x =+设()2,23P m m m -++，则(),33Q m m +()223323PQ m m m m m ∴=+--++=+抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++()214x =--+对称轴为1x =，顶点坐标为()1,4， PM PQ ⊥P M y y ∴= 根据对称性可得21P PM x =-21m =-设矩形PQNM 的周长为l ，①当1m =时，0PM =，不能构成矩形，②当01m <<时， 22PM m =-则()22222224l m m m m m =++-=-+ 当21222x -=-=⨯时，2min 1117224142222l ⎛⎫=⨯-⨯+=-+= ⎪⎝⎭ ③当1m 时，22PM m =-则()22222264l m m m m m =++-=+- 对称轴为63222x =-=-⨯ 则当1m 时，不存在最小值综上所述，矩形PQNM 的周长的最小值为72(3)当0＜0m≤1时，h=-m 2+2m+3-3=-m 2+2m ；当1＜m≤2时，h=4-3=1；当m ＞2时，h=4-（-m 2+2m+3）=m 2-2m+1；②当h=16时，m 2-2m+1=16，解得m=5或m=-3（舍），∴P （5，-12），过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 与点Q ，令y=0，则-x 2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，∴B （3，0），设直线BC 的解析式为y=k'x+b'，3,30b k b =⎧∴⎨+=''⎩' 3,1b k =⎧∴⎨=-'⎩' ∴y=-x+3，∴Q （5，-2），∴PQ=10，∴S △PCB =S △CPQ -S △BPQ =12×5×10-12×10×2=25-10=15． 4． 解：“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍， ∴①当462(1)m +=-时， 解得6m =，②当1426m -+=⨯时，解得9m =，③当6124m +-=⨯时，解得3m =（不合题意舍去），综上，m 的值为6或9；(2)解：①Rt ABC 是“调和三角形”，且a b c <<， 222a b c ∴+=，①2a c b +=，②由②，得2a c b +=，代入①， 得222()2a c a c ++=， 整理得(53)()0a c a c -+=， a ，b ，c 为三角形三边，0a b c ∴<<<，530a c ∴-=，故:3:5a c =，同理可得，:3:4a b =，::3:4:5a b c ∴=；②若ABC ∆周长的数值与面积的数值相等， 即12a b c ab ++=， ::3:4:5a b c =，43b a ∴=，53c a =， 12a b c ab ∴++=， 即45143323a a a a a ++=⨯，解得6a =或0a =（舍去）， 6a ∴=，8b =，10c =；(3)解：①（Ⅰ）当P 点在AB 上时，即05t 时， 过P 作PD AC ⊥于D ，则有2AP t =，CQ t =，A A ∠=∠，90PDA BCA ∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，::3:4:5PD AD AP ∴=，65PD t ∴=，85AD t =， 8138855DQ t t t ∴=--=-， 222PQ PD DQ =+，222261341208()(8)645555PQ t t t t ∴=+-=-+； （Ⅱ）当P 在BC 上时，即58t <时，此时，6102162PC t t =+-=-，CQ t =，222222(162)564256PQ PD DQ t t t t ∴=+=-+=-+，综上，y 关于t 的函数关系式：()22412086405{55564256(58)t t t y t t t -+=-+<；②由y 关于t 的函数关系式可知当P 在AB 上时有最小值， 224120841104230464()55541205y t t t =-+=-+， ∴当10441t =，y 有最小值为2304205．5．解：如图1，∵直线y＝kx+2经过A（﹣1，0），∴﹣k+2＝0，解得k＝2，∴直线AC的表达式为y＝2x+2；由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，得抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝2×1+2＝4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，4）；设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线C1的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3．(2)解：如图2，作DQ⊥x轴于点Q，EF⊥DQ于点F，设抛物线C2的顶点D的横坐标为t.∵抛物线C 2由抛物线C 1沿射线AC 方向平移得到，∴D （t ，2t +2），∴抛物线C 2的表达式可表示为y ＝﹣（x ﹣t ）2+2t +2，由222()22y x y x t t =+⎧⎨=--++⎩，得2x +2＝﹣（x ﹣t ）2+2t +2， 解关于x 的方程，得x 1＝t ﹣2，x 2＝t ，则点E 、F 的横坐标分别为t ﹣2、t ，∴EF ＝t ﹣（t ﹣2）＝2，∵S △MDE ＝23S △MAE ， ∴DE AE ＝23 ， ∴DE DA ＝25； ∵EF ∥AQ ，∴△DEF ∽△DAQ ， ∴25EF DE AQ DA ==， ∴2＝25AQ ， ∴AQ ＝5，∴OQ ＝5﹣1＝4；当x ＝4时，y ＝2×4+2＝10， ∴D （4，10）．(3)解：由（1）得，抛物线C 1的表达式为y ＝﹣（x ﹣1）2+4，将抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+4向上平移4个单位得到的抛物线为y ＝﹣（x ﹣1）2+8，即y ＝﹣x 2+2x +7，∴抛物线C 3的表达式为y ＝﹣x 2+2x +7．由题意可知，正方形GHST 与抛物线C 3有相同的对称轴直线x ＝1，如图3，设H （t ，0），则S （t ，2t ﹣2），∴﹣t 2+2t +7＝2t ﹣2，解得t 1＝3，t 2＝﹣3（不符合题意，舍去），∴H （3，0）．∴SH ＝2（t ﹣1）＝2×（3﹣1）＝4，∴正方形的边长为4；将△PSH 绕点S 顺时针90°得到△KST ，取SK 的中点R ，连结TR 、PR ，则点K 在GT 上， 设PS ＝KS ＝t （t ＞0），则TR ＝SR ＝12KS ＝12t ，由旋转得，∠PSR ＝90°，∴PR t ， ∵PR +TR ≥PT ，t +12t ≥PT ， ∴t PT ≥即PS PT ≥∴PS PT ； 如图4，当PS PT时，则点R 落在PT 上. 设PT 交SH 于点L ．∵∠PSL ＝∠TSR ＝∠PTS ，∠SPL ＝∠TPS （公共角），∴△PLS ∽△PST ， ∴SL PS TS PT =， ∴SL ＝＝2； ∵∠KTS ＝∠LST ＝90°，ST ＝TS （公共边），∠TSK ＝∠STL ，∴△KST ≌△LTS （ASA ），∴PH ＝KT ＝SL ＝2，∴OP ＝2＝，∴P （，0），∴m ＝．故答案为：4，． 6．解：把A （-4，0），C （2，0）代入y =12x 2+bx +c 得， 11640214202b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得14b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-4；(2)解：如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，抛物线y=12x2+x-4与y轴的交点B坐标为（0，-4），即OB=4，又∵M（m，12m2+m-4），∴ON=-m，MN=-12m2-m+4，AN=4-（-m）=4+m，∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB=12（4+m）（-12m2-m+4）+12（-12m2-m+4+4）（-m）-12×4×4=-m2-4m=-（m+2）2+4，∴当m=-2时，S最大=4，答：S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．7．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣1，0），B（4，0），∴设该抛物线的函数表达式为y＝a(x+1)(x﹣4)，将C（0，﹣3）代入，得：﹣4a＝﹣3，解得：a＝34，∴y＝34(x+1)(x﹣4)＝34x2﹣94x﹣3，∴该抛物线的函数表达式为y＝34x2﹣94x﹣3；(2)（2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +n ，∵B （4，0），C （0，﹣3），∴403k n n +=⎧⎨=-⎩， 解得：343k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝34x ﹣3， 过点E 作EM ∥y 轴，交BC 于M ，设D (t ，34t 2﹣94t ﹣3)， ∵点E 是AD 的中点，∴E (12t -，38t 2﹣98x ﹣32)， ∴M (12t -，3278t -)， ∴EM ＝38t 2﹣98x ﹣32﹣3278t -＝38t 2﹣32x +158， ∴S △BCE ＝12EM •OB ＝2(38t 2﹣32x +158)＝34 (t ﹣2)2+34， ∵34＞0， ∴当t ＝2时，S △BCE 取得最小值34；(3)解：存在，P 20116927⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Q (0，-6427)． 如图2，在BC 上截取BE ＝BO ＝4，过点E 作EG ∥OC 交x 轴于G ，作EF ⊥BC 交y 轴于F，交抛物线于P ，∵B （4，0），C （0，﹣3），∴OB ＝4，OC ＝3，CE ＝BC ﹣BE ＝1，∵∠BOC ＝90°，∴BC5=，∵EG ∥OC ，∴△BEG ∽△BCO ， ∴EG BG BE OC OB BC ==， ∴4345EG BG ==， ∴EG ＝125，BG ＝165， ∴OG ＝OB ﹣BG ＝4﹣16455=， ∴E (45，﹣125)， ∵EF ⊥BC ，∴∠CEF ＝∠COB ＝90°，∵∠ECF ＝∠OCB ，∴△ECF ∽△OCB ， ∴CE OC CF BC =，即135CF =， ∴CF ＝53， OF ＝OC ﹣CF ＝3﹣5433=， ∴F (0，﹣43)， 设直线EF 的解析式为y ＝k 1x +n 1，∵E (45，﹣125)，F (0，﹣43)， ∴1114125543k n n ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：114343k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y ＝43-x 43-， 联立方程组，得：2443349334y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得：1110x y =-⎧⎨=⎩（舍去），2220911627x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴P 20116927⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 在Rt △BPE 中，PE6427=， ∵∠PBQ ＝∠OBC ，∴∠PBE +∠CBQ ＝∠CBQ +∠QBO ，∴∠PBE ＝∠QBO ，在△PEB 和△QOB 中，PBE QBO BE BOPEB QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PEB ≌△QOB （ASA ），∴BP ＝BQ ，OQ ＝PE ＝6427， ∴Q (0，-6427)， ∴存在，P 20116927⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Q (0，-6427)．8．解：将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式，如下：0401644a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 求得13a b =-⎧⎨=⎩． 抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+3x +4．(2)解：设P 到直线BC 的距离为d ，P 点坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）（0＜x ＜4），∵y ＝﹣x 2+3x +4交y 轴于点C ，令x ＝0，∴y ＝4，∴C （0，4），由B （4，0），C （0，4）两点求得直线BC 的解析式为：y +x ﹣4＝0．做直线BC 的平行线K ：y ＝﹣x +m ，因为K 与BC 平行，我们将K 平移，根据题意，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴随着K 平行移动，以BC 为底的△PBC 的高d 在逐渐增大，当K 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4恰有一个交点时，此时以BC 为底的△PBC 的高d 最大，即此时△PBC 面积最大． ∵此时K ：y ＝﹣x +m 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4相交，且仅有一个交点，∴﹣x +m ＝﹣x 2+3x +4，m ＝8．∴直线K ：y ＝﹣x +8．此时求K 和抛物线的交点为：﹣x +8＝﹣x 2+3x +4，解得x ＝2，将x ＝2代入直线K ：y ＝﹣x +8，解得y ＝6．因此P （2，6）．现在我们来求P 到直线BC 的距离，即△PBC 的高d ：过P 作垂直于BC 的直线k ：y ＝x +m ．∵P 在直线k 上，∴6＝2+m ，∴m ＝4，直线k ＝x +4．直线K 与直线k 的交点为：44y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得交点坐标（0，4），即交点为C 点．因此的△PBC 的高d 即为B 点和C 点两点之间的距离，∴d ＝|BC|=在△PBC 中，∵|BC |＝△PBC 的面积的最大值S △PBC 12=|BC |•d 12=⨯=8． (3) 解：存在．直线BC 向右平移74个单位得到直线l ， ∴l ：y ＝﹣（x 74-）+4＝﹣x 234+． 223434y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得127212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 二次函数y ＝﹣x 2+3x +4对称轴为x 32=， ∵直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，∴x 72=，代入y ＝﹣x 23944+=． ∴Q （7924，）． 设T （a ，b ）．∵R 为直线BC 上的一动点，∴设R（x，﹣x+4）．（Ⅰ）假设T在Q点左侧：∴72a<．此时P（2，6），T（a，b）为菱形对称顶点，Q（7924，），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．在菱形中PTQR中，|PR|＝|QT|，=①又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：72222946422xaxb⎧+⎪+=⎪⎪⎨⎪-++⎪=⎪⎩，②由①，②解得113.53871.7887ab=⎧⎨=-⎩，220.53872.2887ab=-⎧⎨=⎩，又∵a72＜，∴此时T点坐标为：T（﹣0.5387，2.2887）．（Ⅱ）假设T在Q点右侧：∴a72＞．此时P（2，6），Q（7924，）为菱形对称顶点，T（a，b），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．在菱形PTQR中，|PR|＝|PT|，③又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：96442722b xa x⎧+⎪=-+⎪⎨⎪+=+⎪⎩，④由③，④解得a2697562=＞，符号题意．此时b27756=．此时T点坐标为：T（26956，27756）．综上所述：T存在两点，分别为：T（﹣0.5387，2.2887）和T（26956，27756）．9．（1）∵矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0），∴D（﹣1，4），由抛物线的顶点为D（﹣1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，∵抛物线经过点B（﹣3，0），∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；(2)如图1，设直线BD的解析式为y＝kx+d，则304k dk d-+=⎧⎨-+=⎩，解得，∴y＝2x+6，设G（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜﹣1），则E（x，2x+6），∴GE＝﹣x2﹣2x+3﹣（2x+6）＝﹣x2﹣4x﹣3，∵AD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴S△BGD＝12GE•AF+12GE•DF＝12GE•AD＝12×2（﹣x2﹣4x﹣3）＝﹣（x+2）2+1，∴当x＝﹣2时，S△BGD最大＝1，∴△BGD面积的最大值为1．(3)存在．理由如下：如图2，菱形BQHE 以BE 为一边.由题意，得BQ ＝PD ＝EF ＝t ，∵PQ ∥EF ，∴四边形BQFE 是平行四边形，∴当BQ ＝QF ＝t 时，四边形BQFE 是菱形，此时点H 与点F 重合．∵QF ∥BD ，∴∠AQF ＝∠QBD ，∵AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝90°，∴BD =∴AQ AB QF BD ===，∴AQ BQ =，∴4t +=，解得20t =-如图3，菱形BQEH 以BE 为对角线，连结QH 交BE 于点R ，则QH ⊥BE ，BR ＝ER ， ∴∠BRQ ＝90°，∴BR AB BQ BD ==∴BR =， 同理，PD CD DE BD ===∴DE ==，∴2= 解得2013t =，综上所述，20t =-2013t =，故答案为：20-2013．10．解：把15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()4,6B 代入抛物线26y ax bx =++中得：115642216466a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 解得：28a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：2286y x x =-+．(2)解：如图1，∵()22286222y x x x =-+=--∴顶点()2,2C -对于直线2y x =+，当2x =时，224y =+=∴()426PC =--=当0y =时，20x +=，解得2x =-∴()2,0E -∴PC BCE B E P C S S S =+△△()1122B D PC ED PC x x =⨯+⨯- ()()1122D E B D PC x x PC x x =⨯-+⨯- ()12B E PC x x =⨯- ()16422=⨯⨯+ 18=∴△BCE 的面积为18．(3)解：存在设点P 的坐标为(),2m m +，则()2,286C m m m -+∴()222286294PC m m m m =+--+=-+-∴BCE S ()12B E PC x x =⨯- ()()21294422m m =⨯-+-⨯+ 29147648m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∵60-<∴当94m =时，BCE S 最大，这个最大值是1478． 11．解：∵直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ， ∴A （﹣1，0），C （0，﹣3），∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），C （0，﹣3）， ∴ 103b c c -+=⎧⎨=-⎩， 解得 23b c =-⎧⎨=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．当y ＝0时，由x 2﹣2x ﹣3＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （3，0）．(2)解：如图1，设抛物线的对称轴交BC 于点F ，交x 轴于点G ．设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，∴y＝x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点H（1，﹣4），当x＝1时，y＝x﹣3=1﹣3＝﹣2，∴F（1，﹣2），∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，∴S△BCH＝12FH•OG+12FH•BG＝12FH•OB＝12×2×3＝3．故答案为：3．(3)解：设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣32）2+94，∴当x＝32时，ME最大＝94，此时M（32，-32）．(4)解：存在．如图2，由（3）得，当ME 最大时，则D （32，0），M （32，-32）， ∴DO ＝DB ＝DM ＝32； ∵∠BDM ＝90°，∴DE 垂直平分OB∴OM =BM∵OM 2=BM 2= DB 2 +DM 2 =(32)2+(32)2=92∴OM ＝BM ＝ 当点P 与原点O 重合时，则PM ＝BM ， △PBM 是等腰三角形，此时点P 的坐标是（0，0）,即P 1（0，0）；当BP ＝BM P 在点B 的左侧时， △PBM 是等腰三角形，则OP ＝3∴点P 0），即P 20）； 当点P 与点D 重合时，则PM ＝PB ＝32， 此时△PBM 是等腰三角形，∴点P 的坐标为（32，0），即P 3（32，0）；当BP ＝BM P 在点B 的右侧时， △PBM 是等腰三角形，则OP ＝∴点P 0），即P 40）．综上所述，P 1（0，0），P 2，0），P 3（32，0），P 40）． 12．解：∵抛物线y ＝﹣43x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （0，2）， 把点A （3，0），B （0，2）代入解析式得：493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩， 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴二次函数的解析式为：241033y x =-+x +2； (2)解：设P （m ，﹣43m 2+103m +2）， 当∠BPQ ＝90°时，则有BP ∥x 轴，如图，∴点P 的纵坐标为2，∴﹣43x 2+103x +2＝2， 解得：x 1＝0（舍去）或x 2＝52， ∴P 1（52，2）； 当∠PBQ ＝90°时，过点P 作PM ⊥y 轴，垂足为M ，如图，则∠PBM +∠BPM ＝90°，PM ＝m ，BM ＝﹣43m 2+103m +2﹣2=﹣43m 2+103m ， ∵∠PBQ ＝90°，∴∠PBM +∠OBA ＝90°，∴∠OBA ＝∠BPM ，∴△PMB ∽△BOA ， ∴PM BO ＝MB OA ， 即2m ＝2410333m m +， 解得：m ＝0（舍）或m ＝118， ∴P 2（118，6516）， 综上所述，当以PQB 为顶点的三角形是直角三角形时，点P 的坐标为（52，2）或（1165,816）；(3)解：设PQ 的延长线交AC 与点N ，∵B （0，2），点C 与点B 关于x 轴对称，∴C （0，﹣2），设直线AC 的表达式为：y ＝k 1x +a 1，把A ，C 代入得：111302k a a +=⎧⎨=-⎩，解得11232k a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AC 的表达式为：223y x =-， 设点P （n ，241033n -+n +2），则N （n ，223n -）， ∴PN ＝241033n -+n +2﹣（223n -）＝24833n -+n +4， ∴S △APC ＝12PN ×OA ＝12（24833n -+n +4）×3＝﹣2n 2+4n +6＝﹣2（n ﹣1）2+8， ∵a ＝﹣2＜0，S △APC 有最大值，且0＜n ＜3，∴当n ＝1时，△APC 的面积最大，最大面积是8，此时，P （1，4），综上所述，△APC 面积的最大值是8，点P 的坐标是（1，4）．13．设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点C （0，﹣3）代入得：4a ﹣4＝0，解得a ＝1，∴抛物线表达式为：y ＝（x ﹣1）2﹣4；(2)连接BC ，作MN ∥y 轴交BC 于点N ，交AB 于点E ，作CF ⊥MN 于点F ，如图，由（1）知，抛物线表达式为y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，可解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点A 坐标（﹣1，0），点B 坐标（3，0），设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，将点B （3，0），C （0，﹣3）代入得：303k b b +=⎧⎨=-⎩， ∴13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 表达式为y ＝x ﹣3，设M 点（m ，m 2﹣2m ﹣3），则点N （m ，m ﹣3），222393(23)3()24M N MN y y m m m m m m =-=----=-+=--+ ∴S 四边形ABMC ＝S △ABC +S △BCM＝S △ABC +S △CMN +S △BMN ＝1122AB OC MN CF ⨯⨯+⨯⨯+12MN BE ⨯⨯ ＝1143()22MN CF BE ⨯⨯+⨯⨯+ ＝6+132MN ⨯⨯ ＝23375()228m --+ 当32m =时，即点M 坐标315(,)24-时，四边形ABMC 面积的最大值758； (3) 如图，作PQ 垂直x 轴，设直线CD ：y ＝px +q ，将点C ，D 分别代入得，43p q q +=-⎧⎨=-⎩，解得13p q =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC ：y ＝﹣x ﹣3，当y ＝0时，解得x ＝﹣3，∴点E 坐标为（﹣3，0），∵OE ＝OC ＝OB ＝3，∴∠OEC ＝∠OBC ＝45°，在Rt △OBC 中，BC①当△BAC ∽△EPO 时，AB EPBC EO =3EP =，解得EP ＝在Rt △EPQ 中，∠OEC ＝45°，∴sin 45°＝PQ EP， 解得PQ ＝2，∴EQ ＝PQ ＝2，此时点P 坐标（﹣1，﹣2）；②当△BAC ∽△EOP 时，BA EOBC EP =3EP=，解得EP 在Rt △EPQ 中，∠OEC ＝45°，∴sin 45°＝PQ EP ， 解得94PQ = ∴94EQ PQ ==，此时点P 坐标39(,)44--； 综上所述，当点P 坐标为（﹣1，﹣2）或39(,)44--时，点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC相似．14．∵直线y＝﹣x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点、∴A（0，3），B（3，0），将A（0，3）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：3093cb c=⎧⎨=++⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1）．(2)∵A（0，3），B（3，0），D（2，﹣1），∴AB2＝32+32＝18，AD2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，BD2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，设点E（m，m2﹣4m+3）（m＞2）．∵EF∥x轴，∴DF＝m2﹣4m+3+1＝m2﹣4m+4，FE＝m﹣2，∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABD＝90°，∴如图1，以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，且∠FDE＝∠BAD，则DF FE AB BD=，由AB2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，得AB＝，BD= 2=解得m1＝5，m2＝2（不符合题意，舍去）．∴E（5，8）；如图2，以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，且∠FDE＝∠BDA，则DF FE BD AB=，2=解得m173=，m2＝2（不符合题意，舍去），∴E（73，89-）．综上所述，点E的坐标为（5，8）或（73，89-）．(3)由（2）得，tan∠ADB==3，∵tan∠APB＝3，∴∠APB＝∠ADB，∴点P在过A、B、D三点，即以AD为直径的圆上．如图3，取AD的中点Q，以点Q为圆心，以QA为半径作圆，连接QB，∵QB12=AD＝QA，∴点B在⊙Q上；连接并延长OQ、QO分别交AB于点G、⊙Q于点H，作PR⊥AB于点R，连接PG、PQ．∵QB＝P A，OB＝OA，∴HG垂直平分AB，由PG≤QG+PQ，得PG≤GH，∵PR≤PG，∴PR≤GH；∵S △P AB 12=AB •PR ， ∴当点P 与点H 重合时，△P AB 的面积最大，此时S △P AB 12=AB •GH ．由AD 2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，得AD ＝∵∠ABQ ＝90°，AQ 12=AD =AG 12=AB =，∴QG =∵HQ ＝AQ =∴GH =∴S △P AB 最大12=⨯= 过点H 作HL ⊥x 轴于点L ，∵∠OHL ＝90°﹣∠HOL ＝90°﹣∠BOG ＝∠OBA ＝45°，∴OL ＝OH •tan45°=；∵OG 12=AB =，∴OH ＝GH ﹣OG ==，∴HL ＝OL ==∴H ． ∵此时点P 与点H 重合，∴P ．综上所述，△P AB P ）． 15． 解：抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点， ∴设抛物线的解析式为2(2)(6)412y a x x ax ax a =+-=--， ∴123a -=， 解得14a =-，∴抛物线的解析式为211(2)(6)344y x x x x =-+-=-++， ∵点D 在抛物线上，当x =4时2144334y =-⨯++=，∴点D （4，3），直线l 经过(2,0)A -、(4,3)D ，设直线l 的解析式为(0)y kx m k =+≠，代入坐标得： 2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩， 解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的解析式为112y x =+； (2)解：如图1中，过点P 作//PF y 轴交AD 于点F ．设点P 的横坐标为m ， ∴21(,3)4P m m m -++，则112，F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．()132PAD D A S x x PF PF ∆=⋅-⋅=， ()2221111193121424244PF m m m m m m =-++--=-++=--+， ∴()2Δ3273144PAD S PF m ==--+， 304-<，抛物线开口向下，函数有最大值， 1m ∴=时， PAD S ∆最大=274，当m =1, 211151134444y =-⨯++=-+=， ∴15(1,)4P ． (3) （3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AT ， ∴y =4-(-2)=6，-2-x =3-0,解得x =-5 则(5,6)T -，设DT 交抛物线于点Q ，则45ADQ ∠=︒， (4,3)D ，∴直线DT 的解析式为11333y x =-+， ∴213411333y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 43359x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43x y =⎧⎨=⎩， 4(,9)335Q ∴， 作点T 关于AD 的对称点(),T x y '，。

最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案

最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是线段 上的动点（除 、 外），过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ．
①当点 的横坐标为2时，求四边形 的面积；
②如图2，直线 ， 分别与抛物线对称轴交于 、 两点．试问， 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线 经过A，B两点，其对称轴交x轴于点M．P是线段AM上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．
(2)如图 ，点 在 轴的负半轴上，且 ，连接 ，并延长交抛物线于点 ，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积最大时，请求出 的最大值及点 的坐标；
(3)如图 ，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位到新抛物线 ，此时新抛物线顶点记为 ， 为新抛物线 上一点，若 是以 为直角边的直角三角形，请直接写出满足条件的点 的横坐标．
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，直线 交 轴于点 和 轴于 点．
①连接 ，当 的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得 为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图 ，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，且顶点为 ，直线 经过 ， 两点．
(1)求直线 的表达式与抛物线 的表达式；
(2)如图 ，将抛物线 沿射线 方向平移一定距离后，得到抛物线为 ，其顶点为 ，抛物线 与直线 的另一交点为 ，与 轴交于 ， 两点 点在 点右边 ，若 ，求点 的坐标；

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，点D的坐标；（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．3．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F 的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC 周长最小，直接写出P，Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？8．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；（3）点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．10．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段EM的最大值；（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求出该抛物线的解析式；（2）点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x，四边形ABDC的面积为y1．①求四边形ABDC的面积y1关于x的解析式；②求出使得四边形ABDC的面积y1最大的点D的坐标；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）13．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．14．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．17．如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．19．如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P 的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE 面积S的最大值；（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，，得，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），＝＝﹣（p+）2+，∴S△P AE∵﹣3＜p＜﹣1，取得最大值，此时S△P AE＝，∴当p＝﹣时，S△P AE即△PAE面积S的最大值是；（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，∵点A（﹣3，0），∴OA＝3，∴PQ＝3，∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），∴，解得，或（舍去），当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．2．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，得，即可求解；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m ﹣2），求直线AC的关系式为：y＝x﹣2，利用平行的性质点E的坐标可表示为（m，m﹣2），用m的代数式表示出DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，△DCA面积＝×4（﹣m2+2m），利用函数来讨论最值问题，即可求解；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，利用平行知识表示出P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，解得m＝1或3（1舍去），即可求解；②如图，点Q在x 轴下方，利用平行知识表示出P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，解得m＝2±，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式：y＝﹣x2+x﹣2；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m﹣2），设直线AC关系式为：y＝px+q，把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，得，∴，直线AC的关系式为：y＝x﹣2，∴点E的坐标可表示为（m，m﹣2），∴DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，+S△CDE∴△DCA面积S＝S△ADE＝DE•AF+DE•OF＝ED•AO＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，△DCA的面积最大，最大面积为4，此时点D坐标为（2，1）；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得B点向左平移个单位，再向下平移2个单位得到点C，∴点Q向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，∴m＝1或3（1舍去），此时点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）；②如图，点Q在x轴下方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得C点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C，∴点Q向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，∴m＝2±，此时点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．∴点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）或点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．3．【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a （x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF∴当m＝﹣时，S＝×（）2＝；△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．4．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m ﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；（3）分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC•DF＝OA•OF，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．5．【分析】（1）求出B （2，﹣1），A （4，0），再将点O 、点A 、点B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +c ，即可求解解析式；（2）①设F （2，m ），G （x ，x 2﹣x ），由已知可得（x ﹣2）2+＝，整理得到m （m ﹣x 2+2x ）＝0，因为任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线y ＝﹣2的距离总相等，所以m ＝0，即可求F 坐标；②设过点F 的直线解析式为y ＝kx ﹣2k ，M （x M ，y M ），N （x N ，y N ），联立直线与抛物线解析式得x 2﹣（4+4k ）x +8k＝0，则有x M +x N ＝4+4k ，x M •x N ＝8k ，y M +y N ＝4k 2，y M •y N ＝﹣4k 2，由①可得+＝+＝1；（3）作B 点关于y 轴的对称点B '，作C 点关于x 轴的对称点C '，连接C 'B '交x 轴、y 轴分别于点P、Q，四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，求出B'（﹣2，﹣1），C'（3，），可得直线B'C'的解析为y＝x﹣，则可求Q（0，﹣），P（，0）．【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），∴B（2，﹣1），∴A（4，0），将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；（2）①设F（2，m），G（x，y），∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，∴（y+2）2＝y2+4y+4，∵y＝x2﹣x，∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，∴（x﹣2）2+＝，整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，∵距离总相等，∴m＝0，∴F（2，0）；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（x M，y M），N（x N，y N），联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，∴x M+x N＝4+4k，x M•x N＝8k，∴y M+y N＝4k2，y M•y N＝﹣4k2，∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，∴+＝+＝＝＝1，∴+＝1是定值；（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，∵点C（3，m）是该抛物线上的一点∴C（3，﹣），∵B（2，﹣1），∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，∴Q（0，﹣），P（，0）．6．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等，进而求解；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，即可求解．【解答】解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，则，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点A（1，4）；（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∵MN＝MH，∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，解得：或（舍去），∴；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．7．【分析】（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；＝S△ABO （2）当运动时间为t时，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM 可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可﹣S△POM解决最值问题；（3）当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形①当∠OPM＝90°时，由∠BOA＝60°，∠PMO＝30°，则OM＝2OP，即t＝6﹣2t，即可求解②当∠OMP＝90°时同理可解．【解答】解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，∴顶点B的坐标为（3，3）．（2）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，OM＝6﹣2t．∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，∴0≤t≤3．＝S△ABO﹣S△PO＝•OA•y B﹣•OM•PC＝×6×3﹣×（6﹣2t）×则S四边形ABPMt＝（t﹣）2+．∵＞0，∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为；（3）设直线OB的解析式为y＝kx，将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，解得：k＝，∴直线OB的解析式为y＝x．过点P作PC⊥x轴于点C，如图所示．设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．∵tan∠POC＝＝，∴∠POC＝60°．当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，∴OP＝3．∵OP＝1×t＝3，∴t＝3．当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形，①当∠OPM＝90°时，①当∠OPM＝90°时，∵OM＝2OP，即2t＝6﹣2t，t＝1.5；②当∠OMP＝90°时，∵∠BOA＝60°，∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，即t＝2（6﹣2t），∴t＝．8．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．9．【分析】（1）先求出直线BC与x轴交点的坐标，再将其和A（﹣1，0）代入函数解析式，求出待定系数的值即可；（2）画出图形，根据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，列出方程求得结果；（3）利用相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质列方程解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3过点B和点C，∴B（3，0）、C（0，3），OB＝OC＝3，把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点M的坐标为（1，4）．（2）对于直线y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴N（1，2）．设P（m，﹣m2+2m+3）．若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不符合题意，舍去），∴Q（2，1）若MN是平行四边形的对角线，如图2，∵线段MN的中点为坐标为（1，3），且点Q与点P关于点（1，3）成中心对称，∴Q（2﹣m，m2﹣2m+3），∵点Q在直线y＝﹣x+3上，∴m2﹣2m+3＝﹣（2﹣m）+3，解得m1＝0，m2＝2（不符合题意，舍去），∴Q（0，3）．综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（0，3）．（3）如图3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x轴于点G，则FG＝A'G，设F（m，﹣m+3），则﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，∴F（2，1）；如图4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x轴于点G，则∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，∴＝＝tan＝∠A'CO＝，∴FG＝A'G，∴﹣m+3＝（m﹣1），解得m＝，∴F（，）．综上所述，点F的坐标为（2，1）或（，）．故答案为：（2，1），（，）．10．【分析】（1）点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，将点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝﹣2x2+12x，即可求解；（3）分AM是边、AM是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值为18，此时x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，则点M（3，6），设点P的横坐标为：m，点Q的坐标为：（，s），①当AM是边时，当点A向右平移4个单位向上平移6个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点Q（P），即m±4＝，解得：m＝﹣或，故点P（﹣，﹣）或（，﹣）；②当AM是对角线时，由中点公式得：﹣1+3＝m+，解得：m＝﹣，故点P（﹣，）；综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．11．【分析】（1）用待定系数法即可求解；＝S△AOC△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3），即可求解；（2）由y＝S四边形ABDC（3）分∠QBC、∠QCB为直角两种情况，利用函数的性质分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①如图，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD、AC．则0＜x＜3，x2﹣2x﹣3＜0则△AOC的面积＝，△DOC的面积＝x，△DOB的面积＝﹣（x2﹣2x﹣3），＝S△AOC+S△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3）；∴y＝S四边形ABDC②∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y的最大值为，此时，点D（，﹣）；（3）有两种情况：如图2，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点F，连接Q1C．∵∠CBO＝45°，∴∠FBO＝45°，BO＝OF＝3．∴点F的坐标为（0，3）．∴直线BF的解析式为y＝﹣x+3．则，解得，∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．如图（3），过点C作CG⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点G，连接BQ2．∵∠CBO＝45°，∴∠CGB＝45°，OG＝OC＝3．∴点G的坐标为（﹣3，0）．∴直线CG的解析式为y＝﹣x﹣3．由，解得，∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．12．【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解；＝AB（y C﹣y D），即可求解；（2）S四边形AMBC（3）抛物线的表达式为：y＝x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x ﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC＝AB（y C﹣y M）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，令t＝，则x2＝3t，可得PD＝，当t＝﹣＝﹣时，PD有最小值，∵t≥0，∴3﹣2m≤0，即m≥时，PD的最小值d＝；当m＜时，3﹣2m＞0，t≥0，∴t2+（3﹣2m）t+m2≥0，故当PD最小时，t＝0，即x＝0，∴当点P与点O重合时，PD最小，即PD的最小值d＝|m|∴d＝．13．【分析】（1）将A、D的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．（2）根据抛物线的解析式即可得到其对称轴及B点的坐标，由于A、B关于抛物线对称轴对称，连接BD，BD与抛物线对称轴的交点即为所求的P点，那么PA+PD的最小值即为BD的长，根据B、D的坐标，即可用勾股定理（或坐标系两点间的距离公式）求出BD的长，也就求得了PA+PD的最小值．（3）此题可分作两种情况考虑：①BE∥DG；根据抛物线的解析式可求得C点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知BE＝CD，由此可得到BE的长，将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；②BD∥EG；根据平行四边形的性质知，此时G、D的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（B、D横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；综上所述，符合条件的E点坐标应该有4个．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（2）由：y＝x2+2x﹣3得：对称轴为：，令y＝0，则：x2+2x﹣3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点B坐标为（1，0），而点A与点B关于x＝﹣1对称，∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF＝3，BF＝1﹣（﹣2）＝3，在Rt△BDF中，BD＝，∵PA＝PB，∴PA+PD＝PB+PD＝BD＝，即PA+PD的最小值为．（3）存在符合条件的点E，①在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则有：y＝﹣3，故点C坐标为（0，﹣3），∴CD∥x轴，∴在x轴上截取BE1＝BE2＝CD＝2，得BCDE1和BDCE2，此时：点C与点G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．②∵BF＝DF＝3，∠DFB＝90°，∴∠FBD＝45°，当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，∵∠G3E3B＝∠FBD＝45°，∠G3NE3＝90°，G3E3＝BD＝，∴G3N＝E3N＝3；将y＝3代入y＝x2+2x﹣3得：，∴E3的坐标为：，即，同理可得：，综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：E1（﹣1，0），E2（3，0），E 3，．14．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设P（m，﹣m2+4m），C（m，m）可得PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由（2）可知，由AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．推出点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC 和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，利用方程组即可解决问题；【解答】（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，∵B（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（，0）时，PC max＝，答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．∴点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，∵直线OA的解析式为y＝x，∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴m的值为．15．【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点代入求出a、b、c的值即可；（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，。

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是第一象限内抛物线上一点，当△BCF面积最大时，求此时点F点到直线BC 的距离；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）求CD的长及抛物线的函数关系式；（2）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，△PCD 的面积最大？（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F 分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；（3）在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形P1F1D1E1．将四边形P1F1D1E1沿直线BC平移，点P1，E1关于直线BC的对称点分别是点P2，E2．在平移过程中，当点P2，E2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点P2，E2的坐标．4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第三象限抛物线上的点，设点P的横坐标为t，△P AC面积为S，求S与t的函数解析式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，Q为CA延长线上的一点，若P到x轴的距离为d，△PQB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y ＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．6．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y ＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；（3）若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．7．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在y轴右侧是否存在这样的点P，Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．（1）若l：y＝﹣2x+2，则求它的纠缠抛物线的函数解析式；（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”；（3）在（1）中，P是l的纠缠抛物线在第二象限上的一个动点，求△PCD的最大面积．10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）．解答下列问题．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，求线段BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F使△F AB的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．11．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD ⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；（3）如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．12．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，且与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD 是平行四边形．（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝；（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．16．已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．经过A，B两点的抛物线y ＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为D（D在A的左侧），点P为y轴右侧抛物线上的一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若Q为OA的中点，当PQ∥y轴时，求点P的坐标；（3）当点P位于直线AB上方的抛物线上时，求四边形P ADB面积的最大值．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．18．若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x 轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M 的坐标．19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P 为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，P A，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△P AQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E 的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵OC＝2OA，∴CO＝4，∴C（0，4），将点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得，∴，∴y＝﹣x2+x+4；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点F作FH⊥x轴交BC于点G，F点到直线BC的距离为h，设F（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），∴FG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，∴S△BCF＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，△BCF的面积有最大值4，∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝4，∴4＝×BC×h，∴h＝，∴点F点到直线BC的距离为；（3）存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA，理由如下：∵A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∴tan∠OCA＝，∵tan∠EQP＝tan∠OCA，∴tan∠EQP＝，∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴D（1，5），E（1，0），当P点在Q点左侧时，如图2，过点P作PM⊥DE交于M，过点Q作QN⊥DE交于N，∵∠PEQ＝90°，∴∠MEP+∠NEQ＝90°，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∴∠NEQ＝∠MPE，∴△MEP∽△NQE，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，设P（m，﹣m2+m+4），∴PM＝m﹣1，EM＝﹣m2+m+4，∴EN＝2m﹣2，NQ＝﹣m2+2m+8，∴Q（﹣m2+2m+9，2﹣2m），∴2﹣2m＝﹣（﹣m2+2m+9）+4，解得m＝，∵点P是抛物线上对称轴右侧，∴m＝，∴P（，+）；当点P在点Q的右侧时，同理可得P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（，+）或（，﹣）．2．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，∴C（0，3），D（4，0），∴CD＝，∵抛物线的顶点坐标为（2，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，将C（0，3）代入，得3＝a（0﹣2）2+4，得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+x+3，（2）过点P作一条关于CD的平行线，当该直线与抛物线只有一个交点时，该交点即为P，此时△PCD的面积最大，∵直线CD的解析式为y＝﹣x+3，∴设过P点且与直线CD平行的直线解析式为y＝，∵直线y＝与抛物线y＝﹣x2+x+3，有且只有一个交点，∴当﹣x+b＝﹣x2+x+3时，△＝0，解得b＝，∴该直线的解析式为y＝﹣x+，∴﹣x+＝﹣+x+3，解得x＝，∴﹣×+＝，∴P（，）时，有△PCD的面积最大值，（3）如图，以CD为底，向上作等腰直角三角形CDE，则ED与抛物线的交点即为点P，过点E作EM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥ME的延长线于N，∵△ECD为等腰直角三角形，∴EC＝ED，∠CED＝90°，∴∠MEC+∠DEN＝180°﹣90°＝90°，∵△EMC中，∠EMC＝90°，∴∠MEC+∠MCE＝90°，∴∠MCE＝∠NED，在△MCE和△NED中，，∴△MCE≌△NED（AAS），∴MC＝EN，ME＝ND，设MC＝EN＝x，ME＝ND＝y，则x+y表示D点和C点横坐标的差的绝对值，y﹣x表示D点和C点纵坐标的差的绝对值，∴x+y＝4，y﹣x＝3解得x＝，y＝，∴E点是由C向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，∴E（，），∴设DE解析式为y＝mx+n，得，解得，∴DE的解析式为y＝﹣7x+28，∴﹣7x+28＝﹣x2+x+3，解得x＝16±2，此时取x＝16﹣2，∴﹣7x+28＝14﹣84，∴当∠PDC＝45°时，P点的坐标为（16﹣2.14﹣84）．3．【解答】解：（1）对，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，∴点B（4，0），点C（0，2），将点B和点C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，化简得：，∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，即有b＝﹣3a，∴﹣4a﹣＝﹣3a，∴a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点M的坐标（，）．（2）如图2，过点F作FQ⊥PF于点Q，过点P作PN⊥DE于点N，∵PF⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，∴△DQF∽△BOC，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵DF＝，∴，即，∴DQ＝PN＝2，FQ＝1，设点D的坐标为（x，﹣x+2），则点E（x，﹣x2+x+2），F（x+2，﹣x+1），P （x+2，﹣x2﹣x+3），∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，∴S四边形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x2+2﹣x2+2x＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，四边形PFDE面积的最大值为3，此时，点E的坐标为（1，3），点P坐标为（3，2）．（3）由（2）得到点P1（3，2），E1（1，3），D1（1，），F1（3，），∴E1D1＝，P1F1＝，∴E1D1＝P1F1，∵E1D1∥P1F1，∴四边形E1D1F1P1是平行四边形，∴直线P1E1与直线BC平行，∴直线P2E2与直线BC平行，如图3，记直线P1E1和直线P2E2与y轴的交点分别为G、H，则CG＝CH，设直线P1E1的解析式为y＝﹣x+m，则﹣×1+m＝3，解得：m＝，∴直线P1E1的解析式为y＝﹣x+，∴点G（0，），∴CG＝CH＝，∴点H（0，），∴直线P2E2的解析式为y＝﹣x+，由，解得：或，当点P2落在抛物线上时，点P2（2﹣，﹣），E2（﹣，+）或点P2（2+，﹣﹣），E2（，﹣+）；当点E2落在抛物线上时，点E2（2﹣，﹣），P2（4﹣，﹣）或点E2（2+，﹣﹣），P2（4+，﹣﹣）；综上所述：点P2（2﹣，﹣），E2（﹣，+）或点P2（2+，﹣﹣），E2（，﹣+）或P2（4﹣，﹣），点E2（2﹣，﹣）或P2（4+，﹣﹣），点E2（2+，﹣﹣）．4．【解答】解：（1）对y＝ax2+bx+3，当x＝0时，y＝3，∴点C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），OB＝1，∴B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），代入点C（0，3）得，﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过P作PM⊥x轴交直线AC于点M，设直线CA的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则M的坐标为（t，3+t），∴PM＝t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+3t，∴S△P AC＝S△PMC﹣S△PMA＝PM•（x C﹣x P）﹣PM•（x A﹣x P）＝PM•（x C﹣x A）＝PM，∴S＝（t2+3t）＝t2+t（t＜﹣3）．（3）如图2，过A作AE⊥PB于点E，过Q作QF⊥PB于点F，则QF∥AE，∵AB＝4，点P到x轴的距离为d，∴S△APB＝AB•d＝2d，∴S△P AB＝S△PBQ，又∵S△P AB＝PB•AE，S△PBQ＝PB•QF，∴AE＝QF，∵AE∥QF，∴四边形AEFQ为平行四边形，∴AQ∥PB，设直线PB的解析式为y＝x+b，则1+b＝0，∴b＝﹣1，∴直线PB的解析式为y＝x﹣1，∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴x﹣1＝﹣x2﹣2x+3，解得：x＝﹣4或x＝1（舍去），∴P的坐标为（﹣4，﹣5）．5．【解答】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，则2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，4），∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），∴c＝4，把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，抛物线y＝﹣x2+x+4，当y＝0时，则﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴C（4，0），OC＝4，设直线BC的解析式为y＝kx+4，把C（4，0）代入y＝kx+4，得4k+4＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），∴MF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵S△MBC＝OG•MF+CG•MF＝OC•MF，∴S△MBC＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，∴点M标为（2，4）．（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，∴∠OBA＝∠OBP，∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，解得n＝﹣2，∴y＝﹣2x+4，由得，，∴P（6，﹣8）；如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，∴∠BCE＝∠BCD＝45°，∵BC＝BC，∴△BCE≌△BCD（SAS），∴∠P′BC＝∠PBC，∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，设直线BP′的解析式为y＝rx+4，则4r+4＝2，解得r＝﹣，∴y＝﹣x+4，由得，，∴P′（3，），综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，）．6．【解答】解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝x2+1；（2）BF＝BC．理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2＝x2+（x2+1﹣2）2＝x2+（x2﹣1）2＝（x2+1）2，∴BF＝x2+1，∵BC⊥x轴，∴BC＝x2+1，∴BF＝BC；（3）作QE∥y轴交AB于E，如图，当k＝1时，一次函数解析式为y＝x+2，解方程组得或，∴B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），∴EQ＝t+2﹣（t2+1）＝﹣t2+t+1，∴S△QBF＝S△EQF+S△EQB＝•（2+2）•EQ＝（+1）（﹣t2+t+1）＝﹣（t ﹣2）2+2+2，当t＝2时，S△QBF的最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）．7．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝h＝﹣1，∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．∴A（﹣4，0），∴直线AC：y＝x+4，过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，∴x2+4x+4＝0，∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，∵A（﹣4，0），∴A′（4，0），∴A′P＝＝2，AP＝＝2，∴△APM周长的最小值为：2+2．（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；设点Q的坐标为（﹣7，t），若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：①当AC＝AQ时，如图2；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；②当CA＝CQ时；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；③当QA＝QC时，如图3，∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）．综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．8．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴，∴＝＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．∴＝＝＝．∴当m＝2时，有最大值，最大值是，此时D（2，﹣3）；（3）存在．理由如下：∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（n，n），∵P，Q在y轴右侧，∴n＞0①当AB为边时，则PQ∥AB，PQ＝AB＝5，若点Q在点P左侧时，∴点Q（n﹣5，n），∴n＝（n﹣5）2﹣（n﹣5）﹣2，∴n＝+7或﹣+7，∴点P（+7，）或（﹣+7，）若点Q在点P右侧时，∴点Q（n+5，n），∴n＝（n+5）2﹣（5+n）﹣2，∴n＝﹣﹣3（舍去）或﹣+3∴点P（﹣+3，），②当AB为对角线时，∵AB与PQ互相平分，∴点Q（3﹣n，﹣n）∴﹣n＝（3﹣n）2﹣（3﹣n）﹣2，∴n＝+1或﹣+1（舍去），∴点P（+1，），此时点P的坐标为（+1，）或（﹣1，）综上所述，点P的坐标为（+1，）或（﹣+3，）或（+7，）或（﹣+7，）9．【解答】解：（1）在y＝﹣2x+2中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝2，∴A（1，0），B（0，2），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OD＝OB，∴D（﹣2，0），∵直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线过A（1，0），D（﹣2，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，2）代入得：2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，答：直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线的函数解析式是y＝﹣x2﹣x+2；（2）y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”，理由如下：在y＝﹣2x+2k中，令x＝0得y＝2k，令y＝0得x＝k，∴A（k，0），B（0，2k），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴D（﹣2k，0），∵直线y＝﹣2x+2k的纠缠抛物线过A（k，0），D（﹣2k，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x﹣k）（x+2k），将B（0，2k）代入得：2k＝﹣2k2a，解得a＝﹣，∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x﹣k）（x+2k）＝﹣x2﹣x+2k，∴y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”；（3）过点P作y轴的平行线交DC于E，如图：由（1）知A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OC＝OA＝1，∴C（0，1），设直线CD为y＝tx+1，将D（﹣2，0）代入得：0＝﹣2t+1，解得t＝，∴直线CD为y＝x+1，设P（x，﹣x2﹣x+2），则E（x，x+1），∴PE＝﹣x2﹣x+2﹣（x+1）＝﹣x2﹣x+1，∴△PCD的面积＝PE•|x C﹣x D|＝×（﹣x2﹣x+1）×2＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x+）2+，∵﹣1＜0，∴x＝﹣时，△PCD的面积最大为，答：△PCD的最大面积是．10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴9﹣3b+c＝0，0+0+c＝﹣3，即得b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4；∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，顶点D（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴B（1，0），∴BD＝＝2；（3）存在，理由：△BF A的面积＝×BA×|y F|＝2|y F|＝6，解得：y F＝±3，故：x2+2x﹣3＝±3，解得：x＝0或﹣2或﹣1±，故点F的坐标为：（0，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣1﹣，3）或（﹣1+，3）．11．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，∴S四边形ABPC＝S△OAC+S△OPB+S△OPC＝×2×1+×4（﹣m2+m+2）+×2m＝﹣m2+4m+5＝﹣（m﹣2）2+9，∴当m＝2时，S最大是9，∴点P的坐标为（2，﹣3）；（3）设P（x，x2﹣x﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），∴BC＝＝2，PC＝，AC＝，∵S△PCB＝S四边形ABPC﹣S△ABC＝﹣x2+4x+5﹣×5×2＝﹣x2+4x＝BC•PF＝PF，∴PF＝，∵PF⊥BC于点F，∴∠PFC＝∠AOC＝90°，①△PCF∽△CAO时，∴，∴，解得：x1＝0（与点C重合，舍去），x2＝，∴点P的坐标为（，﹣）；②△PCF∽△ACO时，∴，∴，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，﹣2）；综上，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．12．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4，∴C（4，0），令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），将点B、点C代入y＝ax2+x+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝4，∴C（4，0），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，∴x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），如图：过点E作EF⊥x轴交BC于点F，设E（t，﹣t2+t+3），则F（t，﹣t+3），∴EF＝﹣t2+t，∴S△BCE＝×4×（﹣t2+t）＝﹣（t﹣2）2+3，∴当t＝2时，△BCE面积的最大值为3，此时E（2，3）；（3）存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵E（2，3），∴M（2，），设Q（1，n），P（m，﹣m2+m+3），①当AM为平行四边形的对角线时，1+m＝0，∴m＝﹣1，∴P（﹣1，）；②当AQ为平行四边形的对角线时，2+m＝﹣1，∴m＝﹣3，∴P（﹣3，﹣）；③当AP为平行四边形的对角线时，1+2＝﹣2+m，∴m＝5，∴P（5，﹣）；综上所述：P点坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）或（5，﹣）．13．【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图1，延长DE交x轴于点K，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣2），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为，设，其中﹣3＜t＜0，∴，K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣2t，∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，＝（t+2）＝t+3，∴S1﹣S2＝﹣t2﹣3t﹣t﹣3＝﹣t2﹣4t﹣3＝﹣（t+2）2+1，∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）∵C（0，﹣2），B（1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+1﹣）2﹣+3＝（x﹣）2+，当x＝0时，y＝，∴M（0，），∵原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设N（﹣1，n），①当AM＝AN时，9+＝4+n2，∴n＝±，∴N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+＝1+（﹣n）2，∴n＝或n＝，∴N（﹣1，）或N（﹣1，）；综上所述：N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，）．14．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：∴，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）在y＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），设直线BC为y＝kx﹣4，将B（4，0）代入得：0＝4k﹣4，解得k＝1，∴直线BC为y＝x﹣4，∵B（4，0），C（0，﹣4），D是BC中点，∴D（2，﹣2），过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，如图：设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），∴PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，∴S△BDP＝PQ•|x B﹣x D|＝×（﹣t2+2t）×（4﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∵﹣＜0，0＜t＜4，∴t＝2时，S△PBD有最大值为2；答：△BDP面积的最大值是2；（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，设M（1，m），N（n，n2﹣n﹣4），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，∴，解得n＝﹣1，∴N（﹣1，﹣），②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，∴，解得n＝﹣3，∴N（﹣3，），③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，∴，解得n＝5，∴N（5，），综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，）或（5，）．15．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y＝0，得：﹣x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴A（2，0）；∵x＝﹣＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）如图1，连接BD，∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3，∴B（1，﹣3），∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是，∴D（，），设直线OD的解析式为y＝kx，则：＝k，解得：k＝﹣，∴直线OD的解析式为y＝x，设抛物线的对称轴交OD于点H，∴H（1，），∴BH＝﹣﹣（﹣3）＝，∴S▱OBCD＝2S△OBD＝2××BH×|x D﹣x O|＝2×××＝，故答案为：；（3）如图2，设B（1，b），C（c，﹣c2+2c），设抛物线的对称轴交x轴于点G，交OD于点H，过点D作DK∥x轴，过点C作CK∥y 轴，连接BD，则∠CKD＝∠BGO＝90°，∵四边形OBCD是平行四边形，∴OB∥CD，OB＝CD，∵BG∥CK，且∠OBG与∠DCK均为锐角，∴∠OBG＝∠DCK，∴△BOG≌△CDK（AAS），∴DK＝OG＝1，CK＝BG＝﹣b，∴D（c﹣1，﹣c2+4c﹣3），设直线OD的解析式为y＝ax，则：﹣c2+4c﹣3＝a（c﹣1），∴a＝3﹣c，∴直线OD的解析式为y＝（3﹣c）x，∴H（1，3﹣c），∴BH＝3﹣c﹣b，∵▱OBCD的面积是12，∴S△OBD＝6，∴×（3﹣c﹣b）×（c﹣1）＝6，即（3﹣c﹣b）（c﹣1）＝12①，∵CK＝BG＝﹣b，∴﹣c2+4c﹣3﹣（﹣c2+2c）＝﹣b，即b+2c﹣3＝0②，由①②组成方程组，解得：（舍去），，∴点C的坐标为C（4，﹣8）．16．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝0，即0＝﹣x+3，解得x＝3；令x＝0，得y ＝3；∴A（3，0），B（0，3），∵抛物线y＝ax²+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，且对称轴为直线x＝1，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x²+2x+3；（2）∵A（3，0），∴OA＝3，∵Q为OA的中点，∴OQ＝OA＝×3＝，∴Q（，0），∵PQ∥y轴，∴点P的横坐标为，当x＝时，y＝﹣x²+2x+3＝﹣+2×+3＝，∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作PN∥y轴交直线AB于N，如图：对于y＝﹣x²+2x+3，令y＝0，即0＝﹣x²+2x+3，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（3，0），D（﹣1，0），∴AD＝3﹣（﹣1）＝4，∵B（0，3），∴OB＝3，∴S△ADB＝AD•OB＝×4×3＝6，设P（m，﹣m²+2m+3），则N（m，﹣m+3），∴PN＝﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m²+3m，∴S△P AB＝S△PNB+S△PNA＝PN•m+PN•（3﹣m）＝PN＝（﹣m²+3m），∴S四边形P ADB＝S△P AB+S△ABD＝（﹣m²+3m）+6＝﹣+，∵﹣＜0，∴当m＝时，S四边形P ADB有最大值，最大值为，∴四边形P ADB面积的最大值为．17．【解答】解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，∴B（8，0），∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，∴﹣16＝﹣，＝6，∴a＝，b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣4；（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，∴直线AD的解析式为y＝x+1，过点B作BG⊥AD交点G，∵QR⊥BC，∴QR＝BG，在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，∴BG＝2，设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），∵QR＝2，∴20＝（m﹣n）2+，∴n﹣m＝2，∴R（m+2，m﹣3），S△PQR＝×（m+1﹣m2+m+4）×2＝﹣m2+2m+5＝﹣（m﹣4）2+9，∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，∴P（4，﹣6）；（3）∵点C关于x轴的对称点为点C′，∴C'（0，﹣4），∴直线AC的解析式为y＝2x+4，∵抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度，∴抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，∴y'＝（x﹣1）2﹣，联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣，解得x＝6，∴M（6，﹣4），联立x+1＝x2﹣x﹣4，解得x＝10或x＝﹣2，∵D异于点A，∴D（10，6），∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴为直线x＝3，设N（3，t），K（x，y），①当DM与KN为矩形对角线时，DM的中点与KN的中点重合，∴8＝，1＝，∴x＝13，t＝2﹣y，∵DM＝KN，∴16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，∴y＝﹣1或y＝3，∴K（13，﹣1）或K（13，3）；②当DN与MK为矩形对角线时，DN的中点与MK的中点重合，∴＝，＝，∴x＝7，t＝y﹣10，∵DN＝MK，∴49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，∴y＝，∴K（7，）；③当KD与MN为矩形对角线时，KD的中点与MN的中点重合∴＝，＝，∴x＝﹣1，t＝10+y，∵KD＝MN，∴（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，∴y＝﹣，∴K（﹣1，﹣）；综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（﹣1，﹣）或（7，）或（13，﹣1）或（13，3）．18．【解答】解：（1）由直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，得A（0，4），又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝，则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N．设点Q（x，﹣x2+3x+4），则F（x，﹣2x+4）；当y＝0时，由﹣x2+3x+4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4，∴C（﹣1，0），D（4，0）；由﹣2x+4＝0，得x＝2，∴B（2，0），∴AB＝．∵∠HNQ＝∠OAB，∴，∴HQ＝QN＝（﹣x2+3x+4+2x﹣4）＝（﹣x2+5x），由CE∥AB，可得，∴S四边形APBQ＝S△ABQ+S△ABP＝（﹣x2+5x）+6＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q（，）．（3）存在．如图2，由y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，得E（，），又Q（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴F（，0），GF＝＝＝GE，∴△EGF是等腰直角三角形．若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO，∴∠MFQ+∠CAO＝45°，此时MG＝×＝，∴M（，）．若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形，∴EJ∥x轴．∵EJ＝EM＝，∴J（，）．设直线FJ的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣4x+31，当x＝时，y＝﹣4×+31＝25，此时，M（，25）．综上所述，点M的坐标为（，）或（，25）19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，∴．解得．∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；（2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4，∴B（0，4）．∵S1﹣S2＝5，∴S1＝S2+5．∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．∴＝+5．∴y＝6．∴﹣x2+3x+4＝6．解得x1＝1，x2＝2．∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）．（3）存在，点P的坐标是（3，4）或（，1）．理由：若∠AQP＝90°时，即AB⊥CP．由A（4，0），B（0，4）知，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∴∠PCA＝45°．∴设直线PC解析式为：y＝x+t．把C（﹣1，0）代入，得﹣1+t＝0．解得t＝1．故直线PC的解析式为y＝x+1．联立，解得（舍去）或．∴P（3，4）；若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形，设P（m，n），则n＝﹣m2+3m+4．则由AP2+CP2＝AC2，即（m+1）2+n2+（m﹣4）2+n2＝（4+1）2．整理，得m2﹣3m﹣4+n2＝0．∴﹣n+n2＝0．解得n1＝0，n2＝1．当n＝0时，﹣m2+3m+4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0．解得m1＝﹣1，m2＝4．当n＝1时，﹣m2+3m+4＝1，即m2﹣3m﹣3＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）．此时点P的坐标分别是（﹣1，0）（舍去），（4，0）（舍去），（，1）．若∠QAP＝90°时，该种情况不存在．综上所述，符合条件的点P的坐标是（3，4）或（，1）．20．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（8，0），设抛物线解析式为：y＝ax2+c，则，解得：．故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8；（2）正确，理由如下：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD＝＝＝a2+2，PF＝8﹣（a2+8）＝a2，∴PD﹣PF＝2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF＝2，∴PD＝PF+2，∴PE+PD＝PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，将x＝4代入y＝﹣x2+8，得y＝6，∴P（4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），①当0≤a≤4时，S△PDE＝×（a+4）×（﹣a2+8）﹣×4×6﹣a（﹣a2+8﹣6）＝﹣a2+3a+4；∴4＜S△PDE≤12，②当4＜a≤8时，S△PDE＝a（﹣a2+8﹣6）﹣×（a﹣4）×（﹣a2+8）﹣×4×6+＝﹣a2+3a+4；∴4＜S△PDE≤12，∴12≤S△PDE≤13，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（4，6）．。

(完整)中考复习专题—二次函数压轴题

(完整)中考复习专题—二次函数压轴题

(完整)中考复习专题—二次函数压轴题中考复习专题(七)--二次函数压轴题专训题型一：面积问题【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x轴于点4(3, 0),交y轴于点8.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)求ACAB的铅垂高CD及S;△鼐，若存在，求出P点△CAB△CAB【变式练习】1。

(2009广东省深圳市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(一2, 0),连结OA,将线段OA绕原点。

顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点8的坐标；(2)求经过A、0、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使^BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么4PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及4PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.2。

(2010绵阳)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(—4, 0), B (2,0),与y 轴交（完整）中考复习专题一二次函数压轴题于点C,顶点为D. E （1, 2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与X轴、y轴分别交于F、G.3. （2012铜仁）如图，已知：直线y =-x + 3交x轴于点A，交y轴于点8,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、到1,0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1,0）,在直线y = -x + 3上有一点「，使AABO与AADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点£，使AADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点£的坐标；如果不存在，请说明理由.题型二：构造直角三角形【例2】(2010山东聊城)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a/0)的对称轴为x = 1,且抛物线经过A (―1, 0)、C (0, -3)两点，与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴x = 1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使NPCB=90 的点P的坐标.第.3题图【变式练习】1.(2012广州)如图，抛物线y二-卫丁-金丁十力与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点8 4C.(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当4ACD的面积等于4ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线I过点E(4, 0),M为直线I上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线I的解析式.2.(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=〃(x + l)2+c(” > 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y = kx-3,与x轴的交点为N,且COSNBCO3<1010（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点「的坐标：若不存在，请说明理由；⑶过点人作x轴的垂线，交直线MC于点。

2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析

2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析

2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析一、二次函数1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+52），P35+5，1+52），P4（552-，152）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或35-； P 的坐标为（3+5，15-）或（35-，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（35-，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)
12．如图，抛物线 经过 、 两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为 ，连结 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当 的面积等于 的面积的 时，求m的值．
(3)当 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点 的坐标为 ， ，
5．(1) ，
(2)2
(3) 或 或
6．(1)
(2)
(3)矩形的周长
7．(1) ， ；
(2)存在， 或 ；
(3) 或 或 或 ．
8．(1) ，
(2)当 时，
(3)存在， 或 或
9．(1)
(2) 的面积最大值为4
(3)四边形 能构成菱形，点 的坐标为 或
10．(1)
(2)
(3)存在， 或 或
15．如图所示，在矩形 中，把点 沿 对折，使点 落在 上的 点．已知 ．
(1)求 点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过 ，且直线 是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点 是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点 是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较 与 的大小(不必证明)，并写出此时点 的横坐标 的取值范围．
11．(1) ；
(2) ；
(3) 、 、 ．
12．(1)
(2)
(3)M的坐标为 或 或 或
13．(1)
(2)13.5
(3)存在， ， 或
14．(1)
(2)点 的坐标为 或 或 或
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四边形面积最值
除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．
思考：如何求一个普通的四边形的面积？
解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．
就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~
搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：
已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标．
【分析】 （1）2
142
y x x =
+-； （2）此处四边形ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角
形求面积．
若连接AP ，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择；
若连接BC ，可得定△ABC 和动△BPC ，只要△BPC 面积最大，四边形ABPC 的面积便最大．
考虑A （2,0）、B （-4,0）、C （0，-4），故1
64122
ABC
S
=⨯⨯=， 接下来求△BPC 的面积，设P 点坐标为21,42m m m ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
，
连接BC ，则直线BC 的解析式为：y =-x -4
过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为（m ，-m -4）， 故221144222PQ m m m m m ⎛⎫
=---+-=-- ⎪⎝⎭
，
当m =-2时，PQ 取到最大值2，此时△BPC 面积最大，四边形ABPC 面积最大． 此时P 点坐标为（-2，-4）．
已知抛物线23
4 2
y ax x
=++的对称轴是直线3
x=，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）抛物线：213
442
y x x =-++
点A 坐标为（-2,0），点B 坐标为（8,0）．
（2）显然将四边形PBOC 拆为△BOC 和△PBC ，点C 坐标为（0,4），
故1
84162
BOC
S
=⨯⨯=， 设P 点坐标为213,442m m m ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭，
根据B 、C 坐标可得BC 的解析式为1
42
y x =-+
过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为1,42m m ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，
故2213114424224PQ m m m m m ⎛⎫
=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
，
当m =4时，PQ 取到最大值4，
1
84162
BPC
S
=⨯⨯=， 故四边形PBOC 的最大面积为32，此时P 点坐标为（4,6）．
这个题目四边形已拆好，只要负责计算就可以了，而计算的内容，与三角形无异．
【2019日照中考】
如图1，在平面直角坐标系中，直线55
y x
=-+与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线2
y x bx c
=++经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置
时，
1
2
PC PA
+的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
图1
图2
【分析】
（1）由题意得：A （1,0）、C （0,5），代入可解抛物线解析式为：265y x x =-+，点B 坐标
为（5,0）．
（2）显然四边形AMBC 可拆为△ABC 和△AMB ，
11
451022
ABC
S
AB OC =
⋅=⨯⨯=， 显然，当M 点在抛物线顶点时，△AMB 面积最大，
此时M 点坐标为（3，-4），
1
4482
AMB
S
=⨯⨯=， 故四边形AMBC 面积最大值为10+8=18，此时M 点坐标为（3，-4）．
（3）这才是本题重点啊！这个重点掩藏得很不认真．
显然是个“阿氏圆”问题，构造1
2PA 即可，参考阿氏圆解决方法，
取点D （4,0），连接PD ，任意时刻，均有1
2
PD PA =，问题易解．
【2019相城区一模】
如图，抛物线234(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A ，B 两点，直线11
22
y x =
+经过点A ，与抛物线的另一个交点为点C ，点C 的横坐标为3，线段PQ 在线段AB 上移动，1PQ =，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交抛物线于E 、F ，交直线于D ，G ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在线段PQ 的移动过程中，以D 、E 、F 、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．
【分析】
（1）由题意得C 点坐标为（3,2），代入抛物线解析式得：1
2
a =-，
抛物线解析式为：213
222
y x x =-++．
（2）注意题目的描述：线段PQ 在线段AB 上移动，故四边形可能在C 点左侧，可能在C
点右侧，可能横跨C 点．
显然四边形面积的最大值存在于第一种情况．
当四边形在点C 左侧时，设D 11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则G 点坐标为111,22m m +⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，E 点坐
标为213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，F 点坐标为2111,322m m m ⎛⎫
+-++ ⎪⎝⎭，
故22131
1132222222DE m m m m m ⎛⎫=-++-+=-++ ⎪⎝⎭，
221111132222
22m FG m m m +⎛⎫⎛⎫
=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
27
2
FG DE m m +=-++， 当12m =
时，FG +DE 取到最大值为154
， 此时四边形面积为115151248⨯⨯=．故最大面积为158．
写在最后：特四找公式，普四化为三．。

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