第2章作业 计算题

2－54

T2 a1 T1
A
B
a2 mg
mg

mg T2 ma2 T1 mg sin ma1 T2 r2 T1r1 J r1 a1 r2 a2
mgr (r2 r1 sin ) 1 a1 m(r12 r22 ) J mr2 (r1 r2 sin ) J sin T1 mg 2 2 m(r1 r2 ) J
0
v0 R v R v0 t
（2）
v0 v0 R 2 R v0 t R t v0
v2 dv dv v R dt ds

ds R
0 v0
s
v0 / 2
dv v
s
R

ln 2
2－45
y

N
N cos mg N sin m 2 x
N m g 2 2 g 2 y m g 2 4 x 2
2－46
h
Mg
T
(M m) g
t
dvM m T ( M m) g ( M m) dt dvM T Mg M dt dvM m dvM mg ( M m) M dt dt
vM m
t 9.06rad s
2－52 （1）
1
A
T1
B
M
T2
Mf
2
1 T1 R1 M T2 R1 m1 R12 1 2 1 2 T2 R2 M f T1 R2 m2 R2 2 2
R11 R2 2
1
2( R2 M R1M f ) R12 R2 (m1 m2 )
mg

x
y
O
dy tan x g dx
2
dy
0

2 x
g
xdx
0
y
钢丝的形状为抛物线。
2
2g
x
2
平衡时钢丝对小环的作用力：
2 N m xi mgj
式中“＋”号代表小环在钢丝的左半部分； “－”号代 表小环在钢丝的右半部分。 作用力大小有两种表示：
2－56 角动量守恒：
mR(v R ) J 0
mRv 20 3 2 2 mR J 20 9 450 21 2 0.095rad / s 21
2－57 （1）
（2） 应用机械能守恒、角动量守恒：
1 GmM 1 GmM 2 2 mv1 mv2 2 h1 R 2 h2 R
2－53
m1 g T1 m1a1
T1r M f J1
m2 g T2 m2 a2
T2 r M f J 2
r1 a1
r 2 a2
J J (m1 m2 ) g (m1 2 )a1 (m2 2 )a2 r r 2h 4 2h 4 a1 2 , a2 2 2 t1 1.6 t2 2.52 a1 a2 4 g (8a1 4a2 ) J 2 r
（3）
dv x dv x kv m mvx dt dx
2 x
dvx dvx dvx k 2 kvx m mvx dx dt dx v0 vx m0
v
x
vx k ln x vx 0 m
vx vx 0e

k x m
vx 0e
k x
（4）
1 1 k t k t v0 x v x m
2－42 （1）
dv x kv m dt
2 x
dvx k vx2 m dt vx 0 0
vx
t

1 1 k t v0 x vx m
mvx 0 vx m kvx 0t
（2）
mvx 0 dx m kvx 0t dt 0 0
x
t
m m kvx0t x ln k m

T1 mg ma1 mg T2 ma2 9 2 2rT2 rT1 mr 2 r a1 2r a2
mg
mg
2g 10.3rad s 2 19r
（2）
a1 r 1.03m s 2
1 2 h a1t 2 t
1
2h 0.88s a1
mg dt ( M m)
0
dv
0
M m
M dvM
0
vM
dxM m dxM mgt ( M m) M dt dt
mg tdt ( M m)
0 t xM m
dx
0
M m
M dxM
0
h
1 mgt 2 Mh ( M m) xM m 2 Mh mgt 2 xM m M m 2( M m)
Eg 0
mg
mgR (1 cos )
yd
mgR

sin d
0
落下部分末态的重力势能为：
R mgR 2 Eg g 2 2
m
应用机械能守恒：
mgR
1 2 mgR 2 (1 cos ) mv 2 2
v gR
3l 2 1 3 2 mvl m Ml 4 3 4
3 8 103 200 9 8 103 0.4 0.4 4 16 3
1.2 0.0018 0.1333
1.2 8.89rad / s 0.135
39.2 (12.5 2.56) (6.25 2.56) J
39.2 9.94 2 J 7.93kg m 3.69
由此可估算出飞轮质量：
2J m 2 63kg r
而按原题给定那两个时间，可算得：
J 1060kg m2

m 8480kg
这大约有八吨半重，似乎有些不现实！
mr (r1 r2 sin ) J T2 1 mg 2 2 m(r1 r2 ) J mgr2 (r2 r1 sin ) a2 2 2 m(r1 r2 ) J mg (r2 r1 sin ) 2 2 m(r1 r2 ) J
2－55 角动量守恒：

( 2 2 cos )
2
2－50 （1）
z 0 t 0
1 rad s 2 t 2
（2）
z 0
1 M J N m 4
（3）
t 10s
1 2 z 0t t 75rad 2
2－51 （1）

T1 a1 T2 a2
mv1 (h1 R) mv2 (h2 R)
2R 2 g 2R 2 g 2 v12 v2 h1 R h2 R
v1 (h1 R) v2 (h2 R)
2 g (h2 R) v1 R 8108m / s (h1 R)( h1 h2 2 R) 2 g (h1 R) v2 R 6307m / s (h2 R)( h1 h2 2 R)
（3）
Ek max
1 mv12 5.69 109 J 2
2－58 应用机械能守恒、角动量守恒：
1 1 2 mv0 mv2 mgr cos 0 2 2
mv0 r sin 0 mvr
2 v0 v 2 2 gr cos0
v0 sin 0 v
v0 2 gr cos 0
v 3Ct 2
f kv2 9kC2t 4
A fdx 27 kC
0 l ( l / c )1 / 3 3 6
t
0
dt
27 kC 2 / 3l 7 / 3 7
整理成更好看的形式：
27 2 l A kCl 7 C
1/ 3
2－49
y

v
x
此题的关键是计算落下那部分重 力势能的变化。选 y ＝ 0 处为重力 势能零点，落下部分初始的重力势 能为：
m 2 gR 2 f max f f 2 2 2 4 f g R 2 2 m gR gR 2
由此得到：
min
根据：
g 2 R 2 4 gR 2
( A B) 2 0
可知：

A2 B 2 2 AB
min 2
2－44 （1）
v2 dv fn m , f m fn R dt 2 v v dv t dv dt v v 2 R dt R0
1 1 15k 20 10 1 1 k s 300
2－43

f
f cos mg,
f sin mR 2
f m g 2 R 2 4
锥面所能提供的最大静摩擦力为：

mg
f max
m 2 gR 2 mg sin f
要使物体与锥面相对静止，必须满足：
h xM m 2mMh m 2 gt 2 2M ( M m)
重要结果：若两人质量相同（m＝0），则两人必然同时 到达滑轮上端，与两人向上爬的速度无关。 即使一人只是 拉住绳子而不向上爬，也是同时到达。 如果开始使用动量定理，则可大大简化计算步骤。
2－47
dx 3Ct 2 dt ,