pp64解方程例1例2

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第2课时配方法解一元二次方程

【思路点拨】 (1)先移项,把常数项移到右边; (2)方程两边同时加上一次项系数的一半的平方; (3)将方程转化成(mx+n)2=p的形式,再运用直接开平方法解.
解:x2+4x=5, x2+4x+22=5+22, (x+2)2=9, x+2=±3, x1=1,x2=-5.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型二:用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例2 解方程3x2+5x-2=0.
A
(C)-6 (D)±3
3.填空:
(1)x2+10x+
=(x+
)2;
(2)x2-x+ 25=(x-
5)2;
(3)9x2+6x+
=(3x+
)2;
(4)x2- x+ =(x- )2.
1
1
4.用配方法解下列方程: (1)x2+12x+35=0; (2)x2-x- =0; (3)4x2-x-3=0.
解:(1)配方,得x2+12x+36=1, 即(x+6)2=1, 解得x1=-5,x2=-7.
第2课时配方法解一元二次方程
2020/8/15
复习填空: (1)x2+4x+ 4 =(x+ 2 )2. (2)x2-16x+64=(x- 8 )2.
(3)x2+3x+ (4)x2 x+
=(x+ =(x-
)2. )2.
类型一:用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例1 解方程x2+4x-5=0.
【思路点拨】 (1)移项,把常数项移到右边; (2)方程两边每一项都除以二次项系数,转化为二次项系数为1的一元二次方程来解.

17.2一元二次方程的解法(1)课件

开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成 x2 a(a 0) （2）x1 a,x2 a
解下列方程:
这里的x可以
是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
解：（1）移项，得 3x2 27 （2）两边都除以3，得 x2 9 2x3 7,或2x3 - 7
项系数
x2 2x 1 3 1 2
.
即( x 1 )2
5 2
.
不是1的化为1.
x 1
10 2
或 x 1
120.
解得x1 1 120, x2 1 120.
原方程的解为：x1 1
10 2
, x2
1
10 2
.
2x2 4x 3 0 步骤总结：
解：方程两边同除以 2 ,
得
x2 2x 3 0 2
定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
思考：开平方法适合解什么样的方程
练一练：
（１）方程 x2 49 的根是 x1 7,x2 ；-7 （２）方程 2x2 18 的根是 x1 3,x2 -3；
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成 x2 a(a 0) （2）x1 a,x2 a
一移，二配，三开，四求，五定
开方配:求根方移解据项:方定::平把解程解方常一两:根数写元边项意出一都移义原次加到,方方上方程程一的的两次解右边项.边开系平数方
一半的平方
课堂练习
1、用配方法解下列方程：
（1）x2+12x=－9 （2）－x2+4x－3＝0
温故知新
探究：用配方法解一元二次方程

欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学上学期第三次段考试题理试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度四中2021—2021届高三上学期第三次段考理科数学试卷考试时间是是：120分钟试卷总分：150分第一卷(选择题：一共50分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.2{|120},{|3,1}x M x x x N y y x =+-≤==≤,那么集合{|x x M∈且}x N ∉为()A.(0,3]B.[4,3]-C.[4,0)-D.[4,0]- 2.i 为虚数单位,z 为复数z 的一共轭复数,假设i z z -=+92,那么=z ()A.i +1B.i +3C.i -1D.i -3 3.0xy >>,那么()A.cos cos 0x y -<B.ln ln0x y +> C.11()()032x y -< D.23log log 0x y ->4.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11n na a +<,假设353520,64a a a a +==,那么4S =() A.120B.256C.63或者120D.63 5.给出以下四个命题： ①“假设0x 为()=y f x 的极值点，那么()0'0f x =〞的逆命题为真命题；②“平面向量a ,b 的夹角是钝角〞的充分不必要条件是•0a b <；③假设命题1:01p x >-,那么1:01p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈,使得210x x ++<〞的否认是：“x R ∀∈均有210x x ++≥〞.其中不正确．．．的个数是() A.1B.2C.3D.4()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的一条对称轴为直线12x π=，那么要得到函数()'()F x f x = ()12f x -+π的图象,只需将函数()f x 的图象()A.沿x 轴向右平移3πB.沿x 轴向左平移3πC.沿x 轴向左平移6πD.沿x 轴向右平移6π7.βα,为锐角,135)cos(-=+βα,53)3sin(=+πβ,那么=+)6cos(πα()A.6533B.6563C.6533-D.6563- 8.数列{}n a 为等差数列,且满足32015BA a OB a OC =+,假设()AB AC R λλ=∈,点O 为直线BC外一点,那么12017a a +=()A.4B.2C.1D.09.ABC ∆中,G 是ABC ∆的重心,1,2==AC AB,∠60BAC ︒=,那么=⋅BG AG ()A.89- D.109- ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设=10a b c ++,7cos 8C =,那么ABC ∆面积的最大值为()11.()1sin cos (,)4f x x x x R =->∈ωωω,假设()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ,那么ω的取值范围是() A.37711[,][,]812812 B.1553(,][,]41284 C.13511(,][,]48812 D.33917[,][,]8481212.函数2()ln (1)1f x a x x b x =+---,假设对1,,()0x f x e ⎡⎫∀∈+∞≥⎪⎢⎣⎭恒成立,那么实数a 的取值范围是()A.2a< B.12a e e ≤+- C.22a e ≤< D.2a e≤第二卷〔非选择题：一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 13.(3,4),(2,)ab t =-=,向量b 在a 方向上的投影为3-,那么t =.14.6)a x>-的展开式的常数项为15,那么sin 2)a ax dx -=⎰.15.假设函数ln y x a x =+在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,那么实数a 的取值范围为.}{n a 的前n 项和为n S ,且11=a ,21+=+n n S a ,那么满足1012<n n S S 的n 的最小值为.三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.(本小题总分值是12分) 向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=,函数()1f x m n =⋅+. (1)假设[,]2x ππ∈,求()f x 的最小值；(2)假设()11[0,],210x f x π∈=,求sin x 的值. 18.(本小题总分值是12分)各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求数列{}n a 的通项；(2)假设)12*∈=N n a b nn（,12n n T b b b =+++,求证：n T ＜3519.(此题总分值是12分) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的正整数n ,都有332nn S a n =+-成立. (1)求证：存在实数λ使得数列{}n a λ+为等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T .20.(本小题总分值是12分)某网站用“10分制〞调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)：假设幸福度不低于分，那么称该人的幸福度为“极幸福〞.(1)从这16人中随机选取3人,记X 表示抽到“极幸福〞的人数,求X的分布列及数学期望,并求出至多有1人是“极幸福〞的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,假设从该社区(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“极幸福〞的人数,求ξ的数学期望. 21.(本小题总分值是12分) 函数()(sin cos )x f x e x x a =++,2()(10)x g x a a e =-+(a R ∈且a 为常数)．(1)假设曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2),务实数a 的值；(2)判断函数222(1)()1()1(1)(10)b e g x x lnx b a a e x xϕ+=-++>-+在(0,)+∞上的零点个数,并说明理由．22.〔本小题总分值是12分〕函数()ln f x x mx =+(m 为常数).(1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)当m ≤时,设21()()2g x f x x =+的两个极值点1x ,2x (12x x <)恰为()2ln h x x ax =-2x -的零点,求1212()'()2x x y x x h +=-的最小值. 四中2021届高三上学期第三次段考理科数学试卷参考答案一、选择题〔12⨯5分=60分〕： 1-5：DBCAC ；6-10：BADBC ；11-12：AB. 二、填空题〔4⨯5分=20分〕：幸福度7 3 08 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 513.214；14.2π；15.1(,)e e--；16.4. 三、解答题〔5⨯12分+10分=70分〕： 17.解(1)()12cos 2cos 2sin 32+-=x x x x f21cos 21sin 2312cos 1sin 23+-=++-=x x x x 216sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx ,………………3分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x ,πππ6563≤-≤∴x ,ππ656=-∴x ,即π=x时,()1min =x f .………………6分(2)()1011=x f ,即1011216sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ,得536sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx . 20π≤≤x ,366πππ≤-≤-∴x ,546cos =⎪⎭⎫⎝⎛-∴πx .………………9分341552=⨯+⨯=.………………12分18.解(1)令1=n ，得1112122a S a a ==+，110,1a a >∴=.又n n nS a a 22=+①,21112n n n a a S +++∴+=.②②-①得:221112n n n n n a a a a a +++=+--,11()(1)0n n n n a a a a ++∴+--=.10,0n n n a a a +>∴+>,∴11n n a a +-=,∴n n a n =-⨯+=)1(11.………………5分(2)当1n =时,1513b =<,符合题意.………………6分当2≥n时，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n,………………8分所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk , ∴12nn T b b b =+++＜35.………………12分 19.解(1)当1n =时,113132S a =+-,可得14a =.………………2分由332nn S a n =+-得113132n n S a n ++=++-, 两式相减得1133122n n n a a a ++=-+,即132n n a a +=-,………………4分所以()1131n n a a +-=-,而113a -=,所以数列{}1n a -是首项为3,公比为3的等比数列,所以存在实数1λ=-,使得数列{}1n a -为等比数列.……………………6分(2)由(1)得11333n n n a --==,即31,3n n n n a na n n =+=+,所以()()1231323333123n n T n n =⨯+⨯+⨯++⨯+++++,………………8分令1231323333n nV n =⨯+⨯+⨯++⨯,那么234131323333n n V n +=⨯+⨯+⨯++⨯,两式相减得()2311131313233333331322n n n n n nV n n n +++-⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-- ⎪-⎝⎭,所以()11113133,T 32442442n n nn n n n n V +++⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………12分20.解(1)X 的可能取值为0,1,2,3,且2811)0(316312===C C X P ,7033)1(31614212===C C C X P , 709)2(31624112===C C C X P ,1401)3(31634===C C X P ,………………2分 X∴的分布列为数学期望431401370927033128110)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,………………4分至多有1人是“极幸福〞记为事件A ,那么14012170332811)1()0()(=+==+==X P X P A P .………………6分 (2)解法一：ξ的可能取值为0,1,2,3,随机选取1人是“极幸福〞的概率为41164==P . ∴6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP . ∴ξ的分布列为数学期望)(ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=.………………12分解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福〞的概率为41164==P ,故随机变量ξ满足二项分布)41,3(~B ξ,故数学期望43413)(=⨯=ξE .21.解(1)()(sin cos )(cos sin )x x f x e x x e x x '=++-=2cos x e x ，………………2分又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2),得(0)f '=(0)201f --,即21a =-,解得1a =-.………………4分(2)由222(1)()1()1ln 0(10)b e g x x x a a xe xϕ+=-++=-+(0)x >得22(1)e 11ln 0x b e x xe x +-++=, 即22(1)e 1ln xb e x x x e +=--,令()1ln h x x x x =--,那么()2ln h x x '=--.由()2ln 0h x x '=--=,得2x e -=,故()h x 在21(0,)e 上递增,在21(,)e +∞上递减, 2211()()1h x h e e ==+max .………………9分再令222(1)e 1()(1)x x b e t x b e e e +==+,因为1b >,所以函数21()(1)xt x b e e =+在(0,)+∞上递增, 0222111()t(0)(1)(1)1t x b e b e e e ∴>=+=+>+,故max ()()t x h x >，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上没有零点,即()x ϕ零点个数为0.………………12分22.解(1)11'()mxf x m x x+=+=,0x >,………………1分当0m <时,由10mx +>,解得1x m <-,即当10x m<<-时,'()0f x >,()f x 递增；由10mx +<解得1x m >-,即当1x m >-时,'()0f x <,()f x 递减；………………3分当0m =时,1'()0f x x=>,即()f x 在(0,)+∞上递增；………………4分当0m >时,10mx +>,故'()0f x >,即()f x 在(0,)+∞上递增．综上，当0m <时,()f x 的递增区间为1(0,)m -,递减区间为1(,)m-+∞；当0m ≥时,()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………5分(2)由21()ln 2g x x mx x =++得211'()x mx g x m x x x ++=++=,由题意知210xmx ++=有两个互异实根1x ,2x ,且12x x m +=-，121x x =,因为1x ,2x (12x x <)是()h x 的两个零点,故21111()2ln 0h x x x ax =--=①,22222()2ln 0h x x x ax =--=②.由②-①得：222212112ln ()()0x x x a x x x ----=,解得2121212ln()x x a x x x x =-+-,………………7分因为2'()2h x x a x =--,得1212124'()222x x x x h a x x ++=-⋅-+,将2121212ln()x x a x x x x =-+-代入得2221212211122111(1)2()22ln ln 21x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-⎢⎥=--=--⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦,………………8分所以21221122111()'()2ln 221x x x x x y x x h x x x ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥=-=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,设211xt x =>, 因为22221212129()22x x x x x x m +=++=≥,所以221252x x +≥, 所以221212122152x x x x x x x x +=+≥,所以152t t +≥,即2t ≥.………………10分令1()ln 21t F t t t -=-+,得22214(1)'()0(1)(1)t F t t t t t -=-=>++, 那么1()ln 21t F t t t -=-+在[2,)+∞上是增函数,所以min 2()(2)ln 23F x F ==-, 即1212()'()2x x y x x h +=-的最小值为42ln 23-.………………12分。

材料表面与界面-4

= γ SV − γ SL
发生条件：
Wi > 0
体现固体和液体间的粘附能力
Wi
也称为粘附张力A
铺展 spreading
∆G = γ SL + γ LV − γ SV
铺展系数
Si = −∆G = γ SV − γ SL − γ LV
发生条件：
S >0
粘附过程
Wa = γ LV + γ SV − γ SL = A + γ LV
小于γc的液体能够在固体表面上铺展， γc称为临界表面张力
γc
γLV
非同系物液体
cosθ=1 cosθ
γc
γLV
2）临界表面张力规律 polymer PTFE 甲基硅树脂 PE PP PMMA PET PA66 脲醛树脂 γc 18 20 31 29 39 43 46 61
① 固体表面润湿性与固体极性有关，极性大，润湿性好
5.4.4 高能表面的自憎现象
S = γ SV − γ SL − γ LV
γ SV > 100mN / m
高能表面吸附液体形成单分子层，使固体的临界表面张力小于液体本身的表面张力，使液体无法在固体表面铺展的现象，称为表面自憎现象，液体称为自憎液体
1－辛醇 γ 27.8
－CH3 γc 22 非极性液体可铺展，极性液体取决于它们的表面张力和临界表面张力
Wi = A
S = γ SV − γ LV − γ SL = A − γ LV
Wa > Wi > S
若S > 0，一切形式的润湿类型均可发生
S 为体系的润湿指标
S = A − γ LV
物理意义：固体和液体间粘附张力克服液体的表面张力，铺展才可以进行

用配方法求解一元二次方程ppt课件

［解题思路］观察各个方程，通过变形，把方程转化为
考
点适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型

2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般

人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第二章本章总结提升

-1
所以
-1
=1,即 x-y+y1-x1=0.②
联立①②解得
1 =
1 =
3

2
1

2
1
+ 2 -1,
3
+ 2 -1.④
③
又点Q在双曲线x2-y2=1上,
所以12 − 12 =1.⑤
将③④代入⑤,得
动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
专题五
离心率问题
【例6】 (1)已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同
(1)求圆C的半径;
(2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求直线PQ的方程;
(3)直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时,求m的值.
解(1)由题知圆心 C

- 2 ,3
所以圆 C 的半径为
1
r=2
在直线 x-y+4=0
4 + 36-4=3.

上,所以- 2 -3+4=0,所以
变式训练1
求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,
(-2)2 + (-4)2 + (-2) × + (-4) × + = 0,
82 + 62 + 8 + 6 + = 0,
)
答案 (1)B (2)D
所以
- -6

2.6第2课时利用一元二次方程解决变化率问题、销售问题-北师大版九年级数学上册习题课件(共16张PP

第二章一元二次方程
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数学·九年级（上）·配北师
能力提升
6．与去年同期相比我国石油进口量增长了 a%，而单价增长了a2%，总费用增长
了 15.5%，则 a＝( B )
A．5
B．10
C．15
D．20
7．一批上衣，每件原件 500 元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅
降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的 2 倍，结果这批上衣以每件 240
第二章一元二次方程
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数学·九年级（上）·配北师
5．【教材P55习题2.10T1变式】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
【典例】某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价____元．分析：设每件服装应降价x元．根据题意，得 ∴x＝32不合题意舍去， (1)求y与x之间的函数表达式；即每件服装应降价4元． (1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？解：(1)农场在第二季度的产值为50×(1＋20%)＝60(万元)．
项目步数(步) 平均步长(米/步) 距离(米) (1)根据题意完成表格填空；
第一次锻炼 10 000 0.6 6000
第二次锻炼 ① ②
7020
(2)求 x；
(3)王老师发现好友中步数排名第一为 24 000 步，因此在两次锻炼结束后又走了

5、P64简易方程等式的性质

�� + 2�� =2 �� + 2�� + �� =2 �� + ��
等式的两边同时加上一个相同的数，等式仍然成立。
��
��
��+ �� =4��
��+ �� =4��
作业布置
• 2、你能根据等式的基本性质判断x的值吗？ 3 �� =12 (�� =4 �� =6) 3.5- �� =2.1 (�� =3.8 �� =1.4) 0.7(�� -2)=5.6 (�� =8 �� =10) (�� +0.4)÷2.5=1 (�� =2 �� =2.1)
=
1个排球和几个皮球重量相等？
等式两边同时乘或除以
一个相同的数（0除外），等式仍然成立。
等式的基本性质2
巩固练习
1、我会填。 ��＋4=48 ��＋4 ○ □ =48 ○ □ ��－4=48 ��－4 ○ □ =48 ○ □
巩固练习
2、填空并说明理由。 ��÷4=48 ��÷4 ○ □ =48 ○ □ �� × 4=48 �� × 4 ○ □ =48 ○ □ 5 �� =20 5 ��÷5=20 ○ □
你在这节课有那些收获？评价一下自己或者其他同学的表现。
作业布置
• 1、联系等式：（1）a+30=c+50 你能变出几个等式？（2）判断：已知�� =b，c=d �� -2=b-3 ( ) �� +c=b+d ( ) �� -b=c-d （） �� +5=c+5 （）

一元二次方程的四种解法

三.分解进步题
1.a知足什么前提时,关于x的方程a（x2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？
2.关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么前提下此方程为一元二次方程？在什么前提下此方程为一元一次方程？
4.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程
（三）公式法
由上例4可知,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a.b.c而定,是以：
（1）解一元二次方程时,可以先将方程化为一般情势ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a.b.c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所消失的运算,正好包含了所学过的六中运算,加.减.乘.除.乘方.开方,这表现了公式的同一性与协调性.)
Eg3. Eg4.
Eg5. Eg6
Ex1.(1－ )x2=(1+ )xex2.
ex3. ex4.2x2+7x=4
五.选用恰当的办法:
龙文教导共性化指点教案提纲
教师:陈燕玲学生: 年级九日期:礼拜: 时段:
课题
一元二次方程的概念及解法
学情剖析
教授教养目标与
考点剖析
1.控制一元二次方程的概念及其一般情势,能指出一元二次方程的各项及其系数.2能依据具体一元二次方程的特点,灵巧选择方程的解法.领会解决问题办法的多样性.
教授教养重点
难点
教授教养重点:控制经常运用四种一元二次方程的解法.
演习:关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值

64常数变易法

这是组合数学与概率论史
此外, 他对
双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.
方法2 用通解公式
化为线性方程求解.
2. 伯努利方程
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
可分离变量方程
齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利方程
习题6.1 3; 习题6.2 1 (1); 2 (3); 3 (2); 4(2)
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程
分离变量
两边积分得
故通解为
称为齐次方程 ;
对应齐次方程通解
齐次方程通解
非齐次方程特解
2. 解非齐次方程
用常数变易法:
则
故原方程的通解
即
即
作变换
两端积分得
例1. 解方程
解: 先解
书中给出的伯努利数在很多地方有用,
伯努利(1654 – 1705)
瑞士数学家,
位数学家.
标和极坐标下的曲率半径公式,
1695年
版了他的巨著《猜度术》,
上的一件大事,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式.
年提出了著名的伯努利方程,
他家祖孙三代出过十多
1694年他首次给出了直角坐
1713年出
作业
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
提示:
令
则有
利用公式可求出
2. 设有微分方程
其中

3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)

基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2

y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程椭圆关于原点对称
P1(x, y)

动量牛顿运动定律动量守恒定律正式版

=1.6m.为简单起见，设转椅静止于大圆盘.设椅座光滑，侧向力全来自扶手. 又设两游客质量均为 m =60 kg .求游客处于最高点B和较低点A处时受座椅的力.
FNA
et
FNB
en
FPA A
B
FPB
W
W
[解] 游客作圆周运动. A、B二人受力分析如上右图
根据牛顿第二、三定律，得
F N A F P A W m a A F N B F P B W m a B
Fin
m
v2
Fit mta
Fin——法向力(各力在法线方向投影的代数和)
Fit——切向力(各力在切线方向投影的代数和)
——曲率半径
[例题4] 北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大意如图所
示.设大圆盘转轴OO´ 与铅直方向成 =18°，匀速转动，角速度为0= 0.84 rad/s. 离该轴 R ＝2.0 m 处又有与 OO´平行的PP´，绕 PP´ 转动的座椅与 PP´ 轴距离为 r
1.两质点在气桌上碰撞
两滑块相碰，改变滑块1、2
1
初速度,反复实验，发现滑块1、
2速度改变量各次虽然不同，但
2
总有
Δ v 2 Δ v 1 或 Δv 2/Δv 1
为常量，与二滑块有关.
2. 惯性质量取巴黎国际计量局中铂铱合金国际千克原器
为标准物体，规定其质量为 m0=1kg(千克)，此即国际单位质量的基本单位.
3. 定义了惯性系
(1)惯性定律成立的参考系称之为惯性参考系，简称惯性系.
惯性系是相对整个宇宙的平均加速度为零的参照系.
§3.2 惯性质量和动量
§3.2.1 惯性质量 §3.2.2 动量·动量变化率和力 §3.2.3 牛顿运动定律 §3.2.4 伽利略的相对性原理

新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1 (2)

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为22()2S a b a a b b =+=++ 所以22a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长cbaHG F ED CBAbacbac ca bcab a bc cbaED CB A边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

《二次根式》实数PPT课件(第1课时)

（来自《点拨》）
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点导讲练
下载
/shiti
/
教案
下载
/jiao
an/
PPT
论坛
二次：根式的定义
www
二次.1p根pt 式的性质

2021完整版《一元一次方程的应用》PPT课件9

17人。现调20人去支援，使在甲处植
树的人数是乙处植树人数的 32 倍，应调
往甲、乙两处各多少人？
在解决实际问题时,我们一般可以通过分析实际问题, 抽象出数学问题, 然后运用数学思想方法解决问题.用列表分析数量关系是常用的方法.
看谁算得快
①已知一批零件250个，要求5小时完成，每小时加工
__5__0__个。
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
甲处
原有人数 23 增加人数 x 增加后人数 23+x
乙处
17 -x 17-x
甲处增加后人数=3×乙处增加后人数
解：设应调往甲处 x 人，根据题意，得
23+ x =3（17- x ）. 解这个方程，得 x =7.
答：应从乙处调出7人去甲处.
变式训练1.学校组织植树活动，已知
在甲处植树的有23人，在乙处植树的有 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛：语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
69.任何业绩的质变都来自于量变的积累。 20.外在压力增加时，就应增强内在的动力。 87.成功是什么？就是走过了所有通向失败的路，只剩下一条路，那就是成功的路。 6.人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。 48.摔倒了十次就再也不愿爬起来，他就永远是失败，但是他哪怕是摔倒了一百次次，他一百次零一次继续站起来，往前走实在站不起来了，我爬也要爬着往前走，这就叫成功。这个世界上失去什么东西都不可怕，惟一可怕的是失去你的心，失去你的勇气，只要你坚韧不拔地奋斗，只要你眼睛看向未来，生命就永远属于你，生命的辉煌也一定永远属于你。

解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)(人教版)(解析版)

解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-． (2)原方程可化为(4-3n)2=64， ±+=±a ab b a b 2()222所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=．【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴12x x == ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】用配方法解方程（1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1）()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解，；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明：代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于．【答案】解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ；【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）；所以2x 2+6x −3的最小值是（2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（）A ．6−B ．3−C ．0D ．2 【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n −=−，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（）A ．8B ．8−C ．9−D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∵2240y x −+=， ∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++2448x x +=+−()228x =+−，∵()220x +≥，2x ≥ ∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键． 6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A 【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =− ∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+>∴P Q −的值大于0，故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+= 二次项化系数为1得：21602x x −+= 移项得：2162x x −=− 配方得：216992x x −+=− 整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____．【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454x x −+=+，即()229x −=， ∴2m =，9n =，∴11+=m n ，故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________．【答案】4−【详解】解：248a a −+− ()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥， ∴()2244a −+≥，∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16；（2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小．11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x += 【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______．【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解．【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−，2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键． 14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________．【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥，∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=， ∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =，故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________．【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ．故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键． 17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______．【答案】1【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上， ∴21b a =− ∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=， ∴()22226x y x x +=−+， ∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=， 22362x x y −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤∴当2x =时22x y +的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键．三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−，22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414x x ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=． 2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ．【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=， ()()2244210x x y y +++−+=，即()()22210x y ++−=， ∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=， ∴()220x +=且()210y −=， 2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=， ∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =， ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+ 2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值；（2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论；（3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论．【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②b a −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +==，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键．时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=；（2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=，故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下， ∵2222()0x xy y x y −+=−≥， ∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥， ∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8．【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=，故答案为：()515123452⨯++++=；（2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=，整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。