2021届辽宁省抚顺市一中高三12月月考理科数学试卷

2021年辽宁省抚顺市一中高三12月月考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}{}{}045|,2,1,4,3,2,1,02<+-∈===x x Z x B A U ，则()B A C U =（ ）A ．{}4,3,1,0B ．{}3,2,1 C ．{}4,0 D ．{}0 2．设是虚数单位，复数，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．23．已知向量b a,的夹角为︒60，且2,1==b a ，则=+b a 2（ ）A ．3B ．5C ．22D ．324．设γβα,,为不同的平面，n m ,为不同的直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ） A ．n m n ⊥=⊥,,βαβα B ．γβγαγα⊥⊥=,,mC ．αγββα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, 5．若正数，满足，则的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某四面体的三视图如图，正（主）视图、侧（左）视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）正（主）视图 侧（左）视图A ．43πB ．32πC ．πD ．π37．已知函数()()x x x x f cos cos sin +=，则下列说法正确的为（ ） A ．函数()x f 的最小正周期为π2 B ．函数()x f 的最大值为2C ．函数()x f 的图象关于直线8π-=x 对称D ．将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到一个奇函数图像8．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．23-B ．23 C ．0 D ．3 9．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线)0(:a t t x l ≤≤=从原点O 开始向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为y ，若函数()x f y =的大致图象如下图，则平面图形的形态不可能是（ ）10．在中，为的三等分点，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点的坐标为()1,3y 时，AEF ∆为正三角形，则此时OAB ∆的面积为（ ） A ．334 B ．3 C ．332 D ．335 12． 定义在()+∞,0上的单调函数()()()()3log ,,0,2=-+∞∈∀x x f f x x f ，则方程()()21=-+x f x f 的解所在的区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()3,2二、填空题 13．已知不等式，照此规律总结出第个不等式为______________；14．设,x y 满足约束条件1{10 1x y x x y +≤+≥-≤，则目标函数2yz x =-的取值范围为___________．15．在ABC ∆中，2=AB ，点D 在边BC上，552cos ,10103cos ,2==∠=C DAC DC BD ，则AC = ．16．若对()+∞∈∀,0,y x ，不等式2ln 422++≤---+y x y x e e a x 恒成立，则正实数a 的最大值是____________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．18．如图，多面体ABCDEF 中，BE BC BA ,,两两垂直，且2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC ．（1）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3=，求证：ADF CG 平面//； （2）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值． 19．（本小题满分12分）为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n 名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[)30,0，②[)60,30，③[)90,60，④[)120,90，⑤[)150,120，⑥[)180,150，⑦[)210,180，⑧[)240,210，得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人： （1）求n 的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列22⨯列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 住宿生 10 总计据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？（3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望；参考公式：()221221112211222112n n n n n n n n n k -=20．已知双曲线的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且，以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆为．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆的左顶点，为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为，问直线是否恒过定点？若横过定点，求出该点坐标；若不横过定点，说明理由． 21．已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）设，且，证明：．22．选修4—1：几何证明选讲． 如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点，过点作圆的切线，切点为．（1）求证：四点共圆； （2）若，求的长．23．选修4—4：坐标系与参数方程选讲．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=ty t x 213231（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 4πθρ． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若()y x P ,是直线l 与圆面⎪⎭⎫⎝⎛-≤6sin 4πθρ的公共点，求y x +3的取值范围． 24．选修4—5：不等式选讲． 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围．参考答案1．C 【解析】试题分析：因为{}{}2|540|14{2,3}B x Z x x x Z x =∈-+<=∈<<=，所以{1,2,3}A B =，所以(){0,4}U C A B =，故应选C ．考点：１、集合间的基本运算． 2．B【解析】试题分析：∵z =2i 1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i,∴|z|=√2,故选B.考点：复数的概念与运算. 3．D 【解析】试题分析：因为222024444412cos 6012a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯=，所以223a b +=D ．考点：1、平面向量的数量积的应用． 4．D 【解析】试题分析：对于选项A ，n m n ⊥=⊥,,βαβα ，不能推出β⊥m ，可能有m β⊂，即选项A 是错误的；对于选项B ，因为m αγ=，所以,m m αγ⊂⊂，而βγ⊥，所以β并不垂直γ内所有直线，所以β和m 可能不垂直，即得不出β⊥m ，即选项B 是错误的；对于选项C ，,αββγ⊥⊥得不出αβ，所以由m α⊥得不到β⊥m ，即选项C 是错误的；对于选项D ，由αβα⊥⊥⊥m n n ,,可得，m n ，又由n β⊥可得β⊥m ，即选项D 是正确的．考点：1、线面垂直的判定定理；2、线面的位置关系． 5．D【解析】试题分析：，当且仅当时取等号，即的最小值是5.考点：基本不等式求最值6．B【解析】试题分析：由正视图、侧视图和俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体，如下图所示．四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球．由题意可知，该正方体的棱长为1，所以其外接球的半径为3 R=，所以此四面体的外接球的体积为34333Vππ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，故应选B．考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．【思路点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．其解题的一般步骤为：首先由题意所给的正视图、侧视图和俯视图都是边长为1的正方形得到，此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，即建立起空间几何体模型，然后在正方体中对其进行求解即可得出所求的答案．7．D【解析】试题分析：因为()()211cos2sin cos cos sin cos cos sin222xf x x x x x x x x+=+=+=+11(sin 2cos 2)22x x =++1)242x π=++，所以其周期为22T ππ==，即选项A 不正确；函数()x f 的最大值为12，即选项B 不正确；因为11()sin[2()]828422f πππ-=⨯-++=，所以直线8π-=x 不是函数()x f 的对称轴，即选项C 不正确；又因为将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后得到函数为11()sin[2()]2284222f x x x ππ=-++-=，显然是奇函数，即选项D 正确；故应选D ．考点：1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像的变换；2、三角函数的图像及其性质． 8．B 【解析】试题分析：当1,0n S ==时，sin3S π==，执行第一次循环可得：22,sin 3n S π==+=3,sin n S π===；执行第三次循环可得：44,sin3n S π===；执行第四次循环可得：55,sin 023n S π==+=；执行第五次循环可得：66,sin 03n S π===；执行第六次循环可得：6,0n S ==；……，归纳可知，其周期为6，所以2014633544S S S ⨯+===以当2015n =时，2S =，故应选B ．考点：1、算法与程序框图． 9．C 【解析】试题分析：由函数的图像可知，该几何体具有对称性，对于选项,,A B D ，直线l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y ，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反，符合对称性；而选项C ，后面是直线增加，不满足题意，故应选C ． 考点：1、函数的图像及其性质． 10．B【解析】试题分析：因为AB AC AB AC +=-，所以22AB AC AB AC +=-，即AB AC ⋅=，即90A ∠=．所以()][()2221111110333399AE AF AB AC AB AC AC AB AB AC BC ⎡⎤⋅=+-⋅--=+-=⎢⎥⎣⎦，故应选B ．考点：1、平面向量的数量积的应用． 11．A 【解析】试题分析：如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点．因为A 点的坐标为()1,3y ，所以32p AE =+，EH p =，所以232pp =+，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =，此时(3,23)A ，3AF k =，所以直线AF 的方程为3(1)y x =-，将其代入抛物线方程可得，23(1)4x x -=，解得3x =或13x =，所以23y =或23y =-，所以OAB ∆的面积为123431(23)2⨯⨯+=，故应选A ．考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点，然后利用A 点的坐标为()1,3y ，可求出p ，进而得出抛物线的方程，从而得出直线AF 的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点,A B 的坐标，即可求出OAB ∆的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线AF 的方程． 12．A 【解析】 试题分析：因为()()()20,,log 3x f f x x ∀∈+∞-=，且函数()f x 在()+∞,0上的单调函数，所以()2log f x x-必为定值．设()2log t f x x =-，则()2log f x t x=+，又因为()3f t =，即2log 3t t +=，解之得2t =，所以()2log 2f x x =+．所以方程()()21=-+x f x f 即为22log (1)log 2x x +-=，所以14x x +=，即13x =，故应选A ． 考点：1、函数与方程；2、对数函数；3、函数的基本性质．【思路点睛】本题主要考查了函数与方程、对数函数和函数的基本性质，考查学生综合应用知识的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件得出其隐藏的条件，即()2log f x x-必为定值；然后将其进行换元并结合已知条件可解出函数()f x 的解析式；再将其解析式代入所求方程，并运用对数及其对数的运算即可求出其方程的根，进而得出结论． 13．22211121123n n n-++++<． 【解析】试题分析：由已知条件，可归纳猜想得出其第个不等式为：22211121123n n n -++++<．故应填22211121123n n n-++++<． 考点：1、类比推理． 14．．【解析】试题分析：画出满足条件的平面区域, 如图所示: 目标函数2yz x =-几何意义为区域的点与()2,0D 的钭率, 过()1,2-与()2,0时钭率最小, 过()1,2--与()2,0时钭率最大,所以2222,123123Z Z -==-==----最小值最大值，故答案为22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．5． 【解析】试题分析：因为2BD DC =，设CD x =，AD y =，则2BD x =，因为cos DAC C ∠==，所以sin DAC C ∠==，在由正弦定理可得sin sin AD CD C DAC=∠，即=，即y =．所以sin sin()2ADB DAC C ∠=∠+∠=+=，则4ADB π∠=．在ABD ∆中，2222cos4AB BD AD BD AD π=+-⨯，即222422cos4x x BD AD π=+-⨯，即21x =，所以1x =，即2,1,BD DC AD ===，在ACD ∆中，2223 2cos54AC CD AD CD ADπ=+-⨯=，所以5AC=，故应填5．考点：1、正弦定理；2、余弦定理．【思路点睛】本题主要考查了解三角形，涉及特殊角的三角函数值和正弦定理、余弦定理的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知并运用正弦定理得出已知边长之间的等式关系，进而得出三角形中角和边的关系；然后运用余弦定理即可求出未知边的边长，最后运用余弦定理求出边长即可得出所求的结果．其解题的关键是熟练掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用．16．e．【解析】试题分析：因为2222222x y x y x y x y xe e e e e+---+----+≥⋅=，所以“对()+∞∈∀,0,yx，不等式2ln422++≤---+yxyx eeax恒成立”转化为“对()0,x∀∈+∞，不等式24ln22xx a e-≤+恒成立”，进而转化为“22221ln42x xe eax x--++≤=”，于是构造函数()21(),0,2xef x xx-+=∀∈+∞，所以2'22'22(1)22(1)(1)1()42x x xe x e e xf xx x---+⨯-+⋅--==，令'()0f x=可得，2x=，易知()f x的最小值为111(2)42f+==，所以1ln2a≤，即12a e e≤=e．考点：1、恒成立问题；2、导数在研究函数的极值中的应用．【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的极值中的应用和恒成立问题，具有较强的综合性和应用性，属中高档题．其解题的一般思路为：首先将已知两个变量恒成立问题转化为一个变量恒成立问题，即“对()+∞∈∀,0,yx，不等式2ln422++≤---+yxyx eeax恒成立”转化为“对()0,x∀∈+∞，不等式24ln 22x x a e -≤+恒成立”；然后构造函数()21(),0,2x e f x x x -+=∀∈+∞，通过导数求出其最小值，进而得出所求的结果．17．（1）4-3n a n =；（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+14n 1-3-4141143-4111n n n a a n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=∴141-3-41.........131-9191-5151-141n n M n 41141-141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n ，当1≥n 时，易知nM 为递增数列，51≥∴n M ，即4151<≤n M ．【解析】试题分析：（1）首先根据已知条件5352b T T +=可求出数列{}n a 的首项，然后运用递推关系()1-2-n n na S n n =并结合1n n n a S S -=-，即可得出求出的结果；（2）根据（1）可知数列()()1114-341n n a a n n +=+，将其变形可得111-44-34n 1n ⎛⎫⎪+⎝⎭，然后将其进行求和即可得出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M，进而即可得出证明的结果．试题解析：（1）5352b T T +=，535432b T b b T +=++∴，54b b =∴ 11=∴a 因为()1-2-n n na S n n =，()()()2-1-2-1-,21-1-n n a n S n n n =≥∴，()()1-4-1--,21-n a n na a n n n n =≥∴ 即2≥n 时，有4-1-=n n a a ，{}n a ∴为等差数列，公差为4，首项为13-4n a n =∴．（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+14n 1-3-4141143-4111n n n a a n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=∴141-3-41.........131-9191-5151-141n n M n 41141-141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n当1≥n 时，易知nM 为递增数列，51≥∴n M ，即4151<≤n M ．考点：1、由数列递推公式求数列的通项公式；2、裂项相消法求和．【方法点睛】本题主要考查由数列递推公式求数列的通项公式和裂项相消法求和，考查学生对数列的基本概念和基本性质的应用，属中档题．其解题的关键有两点：其一是正确地利用递推公式1n n n a S S -=-求数列的通项公式，尤其主要首项的求解和验证；其二是合理地对通项进行变形并熟练地运用裂项求和法求出数列的前n 项和．18．（1）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =．∵AH HF =∴ 12GHMF 又∵1,2CD BE BE MF ∴CD GH ∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CGDH ，又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG平面ADF ．（2）直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77． 【解析】试题分析：（1）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，由已知条件能推导出四边形CDHG 是平行四边形，由此能证明CG平面ADF ；（2）以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，运用空间向量法首先求出平面ADF 的一个法向量，然后公式sin n DE n DEθ⋅=⋅，即可得出所求的结论．试题解析：（1）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =．∵AH HF =∴ 12GH MF 又∵1,2CD BE BE MF ∴CD GH ∴四边形CDHG 是平行四边形∴CGDH ，又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF ．（2）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩，令1y =，得(3,1,2)n = 设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有7sin 7n DE n DEθ⋅==⋅．所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77． 考点：1、线面平行的判定定理；2、直线与平面所成的角；3、空间向量法求空间的角． 【方法点睛】本题考查了线面平行的判定定理、直线与平面所成的角和空间向量法求空间的角，属中档题．对于线面平行的证明的一般思路为：第一步按照线线平行得到线面平行，进而得出面面平行的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论．对于空间法向量求直线与平面所成的角的关键是求出已知平面的法向量，并运用公式sin n DE n DEθ⋅=⋅进行计算．19．（1）100n =，详见解析；（2）没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）X 的分布列为：3()012312121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，并利用频率=频数/样本容量，求出样本容量n ，以及第④组的频率，并补全频率直方图即可；（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，然后利用列联表计算出2k 的值，即可得出正确的判断；（3）首先求出随机变量X 的所有可能取值，然后由古典概型分别计算其对应的概率，进而得出X 的分布列与数学期望即可．试题解析：（1）设第i 组的频率为(1,2,,8)i P i =,由图可知：12111430,30,3000100750100P P =⨯==⨯= ∴学习时间少于60分钟的频率为125100P P +=，由题意知：55100n ⨯=，所以100n = 又因为35678181301251151530,30,30,30,30375100100100120100200100600100P P P P P =⨯==⨯==⨯==⨯==⨯=所以435678121()100P P P P P P =-++++=，所以第④组的高度为: 121110030250h =⨯=． 频率分布直方图如图：（注：未标明高度1/250扣1分）（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而22⨯列联表如下：O将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得221122122111221221()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n k n n n n -⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030 3.841<，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关． （3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3555510()(0,1,2,3)i iC C P X i i C -===． 所以05142332555555555555101010101551(0),(1),(2),(3)12121212C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============．所以X 的分布列为：所以1551183()012312121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的分布列． 20．（1）；（2）直线恒过点．【解析】试题分析：（1）首先根据双曲线的定义知c 的值，然后由已知条件可列出关于,,a b c 方程组，最后解之即可得出所求的椭圆的方程；（2）分两种情况进行讨论：当直线斜率存在时，设出直线方程为，然后联立椭圆的方程和直线的方程，并设出，根据14AP AQ k k ⋅=-即可找出,k m 的等式关系，从而得出定点；当直线斜率不存在时，单独验证即可．试题解析：（1）双曲线的焦距，则，，①分渐近线方程，由题知，① 由①①解得，①椭圆的方程为．（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去得：，设，则．又，由题知，则，则==．则．①．当时，直线的方程为，此时直线过点，显然不适合题意．当时，直线的方程为，此时直线过点．当直线的斜率不存在时，若直线过点，点的坐标分别是,，满足，综上，直线恒过点．考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆与直线相交的综合问题．21．（1）的单调增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭极小值1111f ln e e ee ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，无极大值．（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）首先求出函数的定义域，然后对其进行求导()f x '，再分别令()0f x '>和()0f x '<，即可求出函数的单调递增区间和单调递减区间，进而得出其极值；（2）不妨设，将问题“122AB x x k f +⎛<'⎫⎪⎝⎭”转化为“22111221ln ln ln 12x x x x x xx x -+<+-”，进而转化为“2212221111122ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++”，于是构造函数()22lnln 111t g t t t t t=--+++，然后对其进行求导()g t '，根据函数的单调性()g t 判断其函数的最值，进而得出证明的结论．试题解析：（1）定义域为()0,+∞， ()1ln 1ln f x x x x x=+⋅=+'，令()0f x '>，则1ln 1ln x e >-=∴1x e >；令()0f x '<则1ln 1ln x e <-=∴10x e<<，∴的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭极小值1111f ln e e ee ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，无极大值．（2）证明：不妨设， 122AB x x k f +⎛<'⎫⎪⎝⎭⇔ 22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln lnln 22x x x xx x x x x x x x ++-<-+-， 212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++ 两边同除以1x 得， 2212221111122lnln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++，令21xx t =，则1t >，即证： 22lnln 111t t t t t<+-++令()22ln ln 111t g t t t t t=--+++， ()()()2221212ln 112211t t t g t t t t t t ++=+⋅⋅+⋅++'-+ 2111lnln 11111t t t t t t t t ---⎛⎫=+=+- ⎪++++⎝⎭ 令1(0)1t x x t -=>+， ()()ln 1h x x x =+-， ()11011x h x x x-=-=+'<+， ()h x 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h x h <=，即()ln 1x x +<，即()g t ' 11ln 1011t t t t --⎛⎫=+-< ⎪++⎝⎭恒成立． ∴()g t 在()1,+∞上是减函数，所以，∴22ln ln 111t t t t t <+-++得证，所以122AB x x k f +⎛<'⎫ ⎪⎝⎭成立． 考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、导数在证明不等式中的应用．22．（1）证明：连结DB ，∵AB 是圆O 的直径，∴90ADB ∠=，在Rt ABD ∆和Rt AFG ∆中， ABD AFE ∠=∠，又∵ABD ACD ∠=∠∴ACD ∠ AFE =∠∴,,,C D E F 四点共圆；（2）5EF GF GE =-=．【解析】试题分析：（1）首先连结DB ，然后根据AB 是圆O 的直径可得出90ADB ∠=，进而由已知Rt ABD ∆和Rt AFG ∆易得出所证的结果；（2）由相交弦定理可得，GE GF GC GD ⋅=⋅，然后由切割线定理可得2GH GC GD =⋅，进而得到2GH GE GF =⋅，最后由已知边长即可求出所求的边长．试题解析：（1）证明：连结DB ，∵AB 是圆O 的直径，∴90ADB ∠=，在Rt ABD ∆和Rt AFG ∆中，ABD AFE ∠=∠，又∵ABD ACD ∠=∠∴ACD ∠ AFE =∠∴,,,C D E F 四点共圆。