人教A版高中数学选修1-1课时自测 当堂达标：1.1.3 四种命题间的相互关系 精讲优练课型 Wor
人教A版高中数学选修1-1课堂10分钟达标练 1.1.3 四种命题间的相互关系Word版含答案
课堂10分钟达标练
1.命题“若a>-1，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A.1
B. 2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题为真，则其逆否命题为真，而逆命题为假，则其否命题为假，故选B.
2.如果命题“若p ，则q ”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是
( )
A.若p ，则q
B.若p ，则q
C.若q ，则p
D.以上都不对
【解析】选B.逆命题与否命题互为逆否命题，为等价命题，它们同真同假，故选B.
3.命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”与“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”的关系是________.
【解析】命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”.
答案：互为逆命题
4.命题“圆内接四边形是等腰梯形”的等价命题是________________.
【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”. 答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆
5.判断命题“若m>0，则方程x 2+2x-3m=0有实数根”的逆命题的真假.
【解析】原命题的逆命题为“若方程x 2+2x-3m=0有实数根，则m>0”，若方程x 2+2x-3m=0
有实数根，则Δ=12m+4≥0，解得m ≥-，所以原命题的逆命题为假命题. 13。
人教版高中数学选修1-1教案：1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系
2
让学生结合所举例子，思考： 若原命题为“若 P，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命 题应分别写成什么形式？ 学生通过思考、分析、比较，总结如下： 原命题：若 P，则 q．则： 逆命题：若 q，则 P． 否命题：若￢P，则￢q． （说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定 符号． “￢p”表示 p 的否定；即不是 p；非 p） 逆否命题：若￢q，则￢P． ６．巩固练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假： （１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除； （３） 若 x =1,则 x=1； （４） 若整数 a 是素数，则是 a 奇数。 ７．思考、分析 结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？ 通过此问，学生将发现： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。 结合以上练习完成下列表格： 原 真 命 题 逆 真 假 假 假 真 假 真 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
＝
1 1 1 2 2 2 ２ ［ （p －q） ＋（p ＋q） ］≥ （p ＋q） ＞ ×２ 2 2 2
高二年级数学（文科） 集 体 备 课 教 案
项目
内容
1.1.2 四种命题
课题
1.1.3 四种命题的相互关系
修改与创新 （1 课时）
1.知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概 念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四 种命题的真假． 2.过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现 教学 问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象 目标 概括能力和思维能力． 3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积 极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
人教A版高中数学选修一1.1.3四种命题间的相互关系.docx
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知能巩固提升(三)/课后巩固作业(三)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是( )（A）若m∉M,则n∉M（B）若n∉M,则m∈M（C）若m∉M,则n∈M（D）若n∈M,则m∉M2.下列说法中正确的是( )（A）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真（B）“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价（C）“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3.（2012·乌鲁木齐高二检测）给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b 且c≠d，则a+c≠b+d”；对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）44.（2012·宿州高二检测）命题“若c<0，则方程x2+x+c＝0有实数解”，则( ) （A）该命题的逆命题为真，逆否命题也为真（B）该命题的逆命题为真，逆否命题为假（C）该命题的逆命题为假，逆否命题为真（D）该命题的逆命题为假，逆否命题也为假二、填空题（每小题4分，共8分）5.“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．6.（易错题）下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若1a>1b，则a<b”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________．三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．8.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【挑战能力】(10分)证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．答案解析1.【解析】选D.与原命题等价的命题是其逆否命题.2.【解析】选D．因为否命题和逆命题是互为逆否命题,互为逆否命题的两命题真假性相同.3.【解析】选A.因为原命题为假，故逆否命题为假，逆命题为假，故否命题为假，所以选A.4.【解析】选C．因为c<0⇒-4c>0⇒Δ=1-4c>0,所以方程x2+x+c＝0有实数解，即原命题为真.因为原命题与其逆否命题具有相同真假性，所以逆否命题为真.而方程x2+x+c＝0有实数解⇒1-4c≥0⇒c≤14,此时推不出c<0，所以逆命题为假.5.【解析】因为原命题为假，所以其逆否命题为假命题.答案：假6.【解析】因为方程x2＋2x＋k＝0没有实根⇔Δ=4-4k<0⇔k>1,推不出k≤0,所以“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为假；“若1a>1b，则a<b”的逆命题为“若a<b,则1a>1b”.因为1a>1b⇔b aab>0⇔b a 0,b a 0b a b a ab 0ab 0ab 0ab 0->-<><⎧⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨⎨><><⎩⎩⎩⎩，，，或或，所以逆命题显然为假;“梯形不是平行四边形”的逆否命题为真.所以是假命题的是①②.答案：①②【误区警示】在判断②时，易由a<b 得a b 11,ab ab b a<<，即从而得出逆命题为真的错误.其错误的原因是忽视了不等式性质成立的条件.7.【解析】(1)命题p 的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c>0有解”.(2)命题p 的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b 2－4ac>0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c>0有解,所以该命题是真命题．8.【解题指南】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性,所以可以正确写出原命题的逆否命题，判断逆否命题或直接判断原命题的真假即可.【解析】原命题的逆否命题为“已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a<1，所以4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图象与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．【一题多解】先判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0.解得a ≥74. 因为a ≥74， 所以a ≥1，所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真命题．【挑战能力】【证明】若p ＋q ＞2，则222222111p q p q p q p q 22222≥⨯＋＝［（－）＋（＋）］（＋）＞＝， 所以p 2＋q 2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.。
2020秋高中数学人教A版选修1-1：第一章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系
(4)若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题必 为真命题．( )
解析：(1)原命题和逆命题的真假性无关，则不正确．(2) 否命题是“若¬p，则¬q”，则不正确．(3)由于原命题与 其逆否命题为等价命题；原命题的逆命题与原命题的否命 题也为等价命题，故四种命题中正确的个数不可能为奇 数，只能为 0 或 2 或 4，则正确 .(4)原命题的逆命题与原 命题的否命题互为逆否命题，真假性相同，故正确．
归纳升华 1．写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和 结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根 据四种命题的结构写出所求命题． 2．在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添 加一些词语，但不能改变条件和结论．
[变式训练] 判断下列命题的真假，并写出它们的逆 命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的 弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．
(3)逆命题：若 m＋n≤0，则 m≤0 或 n≤0，真命题． 否命题：若 m>0 且 n>0，则 m＋n>0，真命题． 逆否命题：若 m＋n>0，则 m>0 且 n>0，假命题． (4)逆命题：在△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b，真命题． 否命题：在△ABC 中，若 a≤b，则∠A≤∠B，真命题． 逆否命题：在△ABC 中，若∠A≤∠B，则 a≤b，真命 题．
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1．1.2 四种命题 1．1.3 四种命题间的相互关系
[学习目标] 1.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆 命题、否命题与逆否命题(难点)． 2.理解四种命题之间 的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假 (重点、难点)．
湖北省丹江口市第一中学人教A版高中数学选修1-1学案：1.1.3四种命题间的相互关系 Word版缺答案
第一章常用逻辑用语1.1.3 四种命题间的相互关系【学习目标】1. 进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.2. 会分析四种命题的相互关系.重点难点重点：四种命题的概念及相互关系.难点：四种命题的相互关系.【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P6-8内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1．命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d 的关系是怎样的？2.四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们________的真假性3．如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？4．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？【合作探究】问题1：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)无理数的平方是有理数；(2)当x2＋x－6＝0时，x＝2或x＝－3.问题2：在命题“若a>－3，则a>－6” 的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．问题3：已知,a b是实数，若20-≥，写出该命题的逆命a bx ax b++≤有非空解集，则240题、否命题、逆否命题并判断其真假.【深化提高】证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【学习小结】1.本节知识点：2.你的收获【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）A 组（你一定行）：1．命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ）A.如果22x a b <+，那么2x ab <B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+C.如果2x ab <，那么22x a b <+D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中( )A ．真命题的个数一定是奇数B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D ．以上判断均不正确B 组（你坚信你能行）：3.命题“若m ＝10，则m 2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是_ _____________4.判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；（2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题；（3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题；（4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.C 组（我对你很有吸引力哟）：5.已知a ，b ，c ∈R，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13. 【教学反思】（学案检查）。
人教A版选修1-1教案：1.1.2四种命题间的相互关系(含答案)
轴有公共
11．反证法证明：若
，则 、 、
中至少有一个不等于 0．
12．若 a，b， c 均为实数，且 a=x2-2y+ ， b=y2-2z+ ， c=z-2x+ ，求证： a， b， c 中至少有一个大于
2
3
6
0．
参考答案 ： 1． C 2． B
3．D
4． C
5． B
6． C
7， B
8．在整数范围内，若 a b 不是偶数则 a , b 不都是偶数。
5．用反证法证明命题“ a、 b∈N ， ab 可被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除”，那么假设内容
是（ ）
A． a、b 都能被 5 整除
B． a、b 都不能被 5 整除
C． a 不能被 5 整除
D ． a、 b 有一个不能被 5 整除
6．下列 4 个命题是真命题的是（
）
①“若 x2 y 2 0 则 x 、 y 均为零”的逆命题
课堂小结
1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的
关键是分清楚原命题的条件和结论
,一般大前提不
变．
2．在命题真假性的判断中 , 要借助原命题与逆否 命题同真同假 , 逆命题与否命题同真同假 , 学会利用 互为逆否命题的等价性 , 通过“正难则反”培养自己
的逆向思维能力． 这也是反证明法证明问题的理论依
则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．
【教学目标】：
（ 1） 知识目标：
理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出 其他三种形式；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。
人教A版选修1-1教案：四种命题间的相互关系(含答案)
§1．1.2 四種命題間的相互關係【學情分析】：四種命題的關係是命題這一節的核心內容，由原命題寫出其他三種形式且引導學生探究四種命題相互間的內在的聯繫,從而引導學生探究出互為逆否命題的真假性一致.利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據．【教學目標】：（1）知識目標：理解四種命題之間的相互關係，能由原命題寫出其他三種形式；理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關係；初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟。
（2）過程與方法目標：讓學生初步學會運用邏輯知識整理客觀素材，合理進行思維的方法，初步形成運用邏輯知識準確地表述數學問題的數學意識。
（3）情感與能力目標：通過對四種命題之間關係的學習，培養學生邏輯推理能力。
【教學重點】：四種命題之間的關係；【教學難點】：利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力。
四、知識建構結論：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．(2)兩個命題為互逆或互否命題,它們的真假性沒有關係.在命題真假性的判斷中,要借助原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,學會利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．五．體驗與運用例1:設原命題是“當c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，並分別判斷它們的真假解：逆命題“當時，若，則”．否命題“當時，若，則”．否命題為真．逆否命題“當時，若，則”．逆否命題為真．課堂練習寫出命題：“若xy = 6則x = 3且y = 2”的逆命題否命題逆否命題，並判斷它們的真假例2：證明：若022=+yx，則0==yx。
練習：已知a,b兩直線是異面直線,且點A與B,C與D分別是直線a,b 上的相異點求證:直線AC與BD必異面通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據六、小結與反思課堂小結1．寫一個命題的逆命題、否命題、逆否命題的關鍵是分清楚原命題的條件和結論,一般大前提不變．2．在命題真假性的判斷中,要借助原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,學會利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據．通過學生自己的小結，將新知識系統化、重點化。
课时讲练通2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练 1-1-3四种命题间的相互关系 含解析 精品
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课时达标训练1.命题“若¬p,则q”为真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则¬qB.若q,则¬pC.若¬q,则pD.若¬q,则¬p【解析】选C.若“¬p,则q”的逆否命题是“若¬q,则p”,又因为互为逆否命题的真假性相同,所以“若¬q,则p”一定是真命题.2.下列说法中正确的是( )A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真【解析】选D.互为逆否关系的命题具有相同的真假性.3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.命题“若a>-3,则a>-6”的逆命题为“若a>-6,则a>-3”,为假命题,则它的否命题“若a≤-3,则a≤-6”也必为假命题;它的逆否命题“若a≤-6,则a≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.4.若ax2-2ax-3≤0恒成立,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,由错误！未找到引用源。
解得-3≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是-3≤a≤0.答案:[-3,0]5.设命题p:若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m<0.p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0. (2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.关闭Word文档返回原板块。
高中人教A版数学选修1-1测评1-1-2四种命题1-1-3四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若a n =2n 1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( )A.若a n ≠2n 1,则数列{a n }不是等差数列B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n 1C.若a n =2n 1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n }是等差数列,则a n ≠2n 12.“若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是( )A.若sin x<12,则x<π6B.若x ≥π6,则sin x ≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x ≤12,则x ≤π6若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是“若sin x<12,则x<π6”.故选A .3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.4.若命题r :“若p ,则 q ”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是( )A.若 p ,则qB.若q ,则 pC.若 p ,则 qD.若q ,则p“若p,则 q”的否命题“若 p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠π2,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与其逆命题同为假命题B.与其否命题同为假命题C.与其否命题同为真命题D.与其逆否命题同为假命题“若sinα=cosβ,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=π2,则sinα=cosβ”,显然是真命题,故D项正确.6.有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.7.原命题:若x2+y2=0,x,y∈R,则x=0,y=0,则原命题的逆否命题为.x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠08.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:m是整数,若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k1(k∈Z),则m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k1)1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k1)1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题“若a,b中没有一个大于等于1,则a+b<2”,等价于“若a<1,b<1,则a+b<2”,显然这个命题是真命题,所以原命题为真命题;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,取a=5,b=5,则a,b中至少有一个不小于1,但a+b=0,所以原命题的逆命题为假命题.故选B.2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.3.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题;③“若x=1,则x2+x2=0”的否命题;④“若b≤0,则方程x22bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”正确;③“若x=1,则x 2+x 2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x 2≠0”不正确;④“若b ≤0,则方程x 22bx+b 2+b=0有实根”,由Δ=4b 24(b 2+b )=4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C .4.已知命题“若1<x<2,则m 1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.5.命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a 24b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.:已知a ,b 为实数,若a 24b ≥0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集.否命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集,则a 24b<0.逆否命题:已知a ,b 为实数,若a 24b<0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.6.(选做题)求证:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x ,y ,z 都小于或等于20,则x+y+z ≤60.由于x ≤20,y ≤20,z ≤20,由不等式的性质可得x+y+z ≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。
高中数学人教版选修1-1习题第一章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系 Word版含答案
第一章常用逻辑用语命题及其关系四种命题四种命题间的相互关系级基础巩固一、选择题．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )．否命题．逆命题．逆否命题．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命题．答案：．已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是( )．若＋＋≠，则＋＋＜．若＋＋＝，则＋＋＜．若＋＋≠，则＋＋≥．若＋＋≥，则＋＋＝解析：否定条件，得＋＋≠，否定结论，得＋＋＜.所以否命题是“若＋＋≠，则＋＋＜”．答案：．与命题“能被整除的整数，一定能被整除”等价的命题是( )．能被整除的整数，一定能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，不一定能被整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被整除的整数，一定不能被整除．答案：．下列说法：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是( )．②③．①②．②③④．③④解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性没有关系．答案：．有下列四种命题：①“若＋＝，则，互为相反数”的否命题；②“若＞，则＞”的逆否命题；③“若≤，则－－＞”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )．．．．解析：()原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若，互为相反数，则＋＝”，为真命题；()原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如＝，＝－)，故其逆否命题为假命题；()该命题的否命题为“若＞，则－－≤”，很明显为假命题；()该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：二、填空题．命题“若<，则－<<”的逆否命题为，是(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若<，则－<<”的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若≥或≤－，则≥真．命题“当＝时，△是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有个．解析：原命题“当＝时，△是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△是等腰三角形，则＝”是假命题，则否命题是假命题．则个命题中有个是真命题．答案：．设有两个命题：①不等式＋＞的解集是；②函数()＝是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．解析：①当＝时，＋＝＞恒成立，解集为.当≠时，若＋＞的解集为，必有＞. 综上知，不等式＋＞的解集为，必有≥.。
【金版优课】高中数学人教A版选修1-1课时作业：1.1.3四种命题的相互关系(含答案解析)
课时作业 3一、选择题1．命题“若 ?p，则 q”是真命题，则以下命题必定是真命题的是()A．若 p，则 ?q C．若 ?q，则 p B ．若 q，则 ?p D．若 ?q，则 ?p分析：命题“若?p，则 q”的逆否命题为“若?q，则p”．答案： C2．有以下四个命题：① “若 x2＋y2＝0，则 xy＝0”的否命题；② “若 x>y，则 x2>y2”的逆否命题；③ “若 x≤3，则 x2－x－ 6>0”的否命题；④ “对顶角相等”的抗命题此中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3分析：(1)该命题的否命题与其抗命题有同样的真假性，其抗命题为“若 xy＝0，假则 x2＋ y2＝ 0”，为假命题．该命题与其逆否命题拥有同样的真假性．而该命题为假命题(如 x＝ 0，(2)假y＝－ 1)，故其逆否命题为假命题．(3)假该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．(4)假该命题的抗命题是“相等的角是对顶角”，明显是假命题.答案： A3．以下说法中正确的选项是()A．一个命题的抗命题为真，则它的逆否命题必定为真B．“a>b”与“a＋ c>b＋ c”不等价C．“a2＋ b2＝ 0，则 a， b 全为 0”的逆否命题是“若 a， b 全不为 0，则 a2＋ b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的抗命题必定为真分析：利用四种命题真假性关系可知 D 正确．答案： D4． [2014 ·南教课质量检测济]以下相关命题的说法正确的选项是()A.命题“若 xy＝ 0，则 x＝ 0”的否命题为：“若 xy＝ 0，则 x≠ 0”B.若“ x＋ y＝ 0，则 x， y 互为相反数”的抗命题为真命题C.命题“随意的 x∈ R，都有 2x2－1<0 建立”为真命题D.命题“若 cosx＝ cosy，则 x＝y”的逆否命题为真命题分析： A 不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；B 正确，命题“若 x＋ y＝0，则 x， y 互为相反数”的抗命题为“若 x， y 互为相反数，则x ＋ y＝ 0”，明显建立；C 不正确，当x＝ 1 时， 2x2－ 1<0 不建立；D 不正确，由于命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： B二、填空题5．在原命题“若 A∪B≠B，则 A∩B≠A”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．分析：原命题为真命题，其抗命题为“若A∩B≠A 则A∪B≠B”，否命题为“若 A∪ B＝B 则 A∩B＝ A”，逆否命题为“若 A∩B＝ A 则 A∪B＝ B”，全为真命题．答案： 46．以下命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．此中互为抗命题的有__________ ；互为否命题的有__________ ；互为逆否命题的有__________ ．分析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依照四种命题间的关系，便不难判断．答案：③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，抗命题为真命题的是__________( 把切合要求的命题序号都填上)．分析：①中的抗命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 做模型来察看：上底面 A 1B 1C 1D 1 中任何三点都不共线，但 A 1、 B 1、 C 1、 D 1 四点共面，因此①的抗命题不真；②中的抗命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点． 由异面直线的定义知， 成异面直线的两条直线不会有公共点，因此②的逆命题是真命题．答案：②三、解答题8．命题： 已知 a 、b 为实数， 若对于 x 的不等式 x 2＋ax ＋ b ≤0 有非空解集， 则 a 2－ 4b ≥0，写出该命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：抗命题：已知a 、b 为实数，若 a 2－ 4b ≥0，则对于 x 的不等式 x 2 ＋ax ＋ b ≤0有非空解集．22否命题：已知 a 、b 为实数，若对于 x 的不等式 x ＋ ax ＋b ≤0没有非空解集， 则 a －4b<0.22逆否命题：已知 a 、 b 为实数，若 a － 4b<0，则对于 x 的不等式 x ＋ ax ＋ b ≤0没有非空解集．原命题、抗命题、否命题、逆否命题均为真命题．9． [2013 ·阳模拟咸 ]给出命题 “已知 a ，x 为实数，若对于 x 的不等式 x 2＋ (2a － 1)x ＋ a 2－ 2≤0的解集不是空集，则 a ≤3”，判断其逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假：由于 a ， x 为实数，且对于x 的不等式 x 2＋ (2a － 1)x ＋ a 2－ 2≤0的解集不是空集，则22≥0，解得 9 ＝ (2a － 1) － 4(a － 2) a ≤4.9当 a ≤ 建即刻， a ≤3恒建立，因此原命题为真命题．4又由于原命题与其逆否命题等价，因此逆否命题是真命题．。
人教A版高中数学选修1-1课堂10分钟达标练 1.1.3 四种命题间的相互关系 探究导学课型 Word版含答案
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课堂10分钟达标练1.命题“若a>-1，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A.1B. 2C.3D.4【解析】选B.原命题为真，则其逆否命题为真，而逆命题为假，则其否命题为假，故选B.2.如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是( ) A.若p，则q B.若p ，则qC.若q ，则pD.以上都不对【解析】选B.逆命题与否命题互为逆否命题，为等价命题，它们同真同假，故选B.3.命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”与“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”的关系是________.【解析】命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”.答案：互为逆命题4.命题“圆内接四边形是等腰梯形”的等价命题是________________.【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”.答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆5.判断命题“若m>0，则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆命题的真假.【解析】原命题的逆命题为“若方程x2+2x-3m=0有实数根，则m>0”，若方程x2+2x-3m=0有实数根，则Δ=12m+4≥0，解得m≥-，所以原命题的逆命题为假命题.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
重视基础题和领悟数学思想方法，多做综合题目。
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秋人教A版高二数学选修1-1课件：第一章 1.1.3四种命题的相互关系 (共68张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
2019-2020学年数学人教A版选修1-1作业与测评：1.1.3 四种命题间的相互关系
课时作业3 四种命题间的相互关系知识点一 四种命题的真假关系1.一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( )A ．真命题的个数一定是奇数B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D ．上述判断都不正确答案 B解析 原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同，因此真命题个数可能为0个，2个，4个．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假答案 A解析 a n ＋a n ＋12<a n ，即a n ＋a n ＋1<2a n ，则a n ＋1<a n ，∴{a n }为递减数列，故原命题为真，则其逆否命题也为真；若{a n }是递减数列，则a n ＋1<a n ，∴a n ＋a n ＋1<2a n ，∴a n ＋a n ＋12<a n ，故其逆命题也是真命题，则其否命题也是真命题．故选A.知识点二 等价命题及应用3.判断命题“已知l ，m 为两条直线，α为平面，且l ⊂α，当m ⊥l 时，m ⊥α”的否命题的真假．并简要说明理由．解 原命题的逆命题：已知l ，m 为两条直线，α为平面，且l ⊂α，当m ⊥α时，m ⊥l .很明显这是真命题，所以原命题的否命题也是真命题．4．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．一、选择题1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案 B解析原命题的逆否命题是“不能被3整除的整数，一定不能被6整除”．故选B.2．命题“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题() A．是假命题B．与原命题真假性相同C．与原命题的逆否命题真假性相同D．与原命题的逆命题真假性相同答案 D解析原命题的否命题与原命题的逆命题互为逆否命题，真假性相同．3．已知命题p为“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”，则下列结论正确的是()A．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B都不是锐角，则∠C≠90°”，且是真命题B．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B都不是锐角，则∠C≠90°”，且是假命题C．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”，且是真命题D．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”，且是假命题答案 C解析原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°；结论：∠A，∠B 都是锐角．所以它的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”．由于命题p是真命题，因此它的逆否命题是真命题．故选C.4．证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明() A．若x＋y≤2，则x2＋y2＝2B．若x＋y＞2，则x2＋y2≠2C．若x2＋y2≠2，则x＋y＞2D．若x＋y≤2，则x2＋y2≤2答案 B解析由于原命题与逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若x＋y＞2，则x2＋y2≠2”，故选B.5．有下列4个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①若x＋y＝0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确．②“若a>b，则a2>b2”的逆命题为：若a2>b2，则a>b.若a＝－2，b＝0，满足a2>b2，但a>b不成立，故②为假命题．③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题为：若x>－3，则x2－x －6≤0.当x＝4时，x2－x－6≤0不成立，故③为假命题．④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则a b是无理数．该命题是假命题，取a＝(2)2，b＝2，则a b＝[(2)2]2＝(2)2·2＝(2)2＝2为有理数，所以该命题是假命题．故真命题的个数为1个．二、填空题6．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为_______________________________________，是________(填“真”或“假”)命题．答案已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0真解析原命题的等价命题为其逆否命题．7．关于原命题“在△ABC中，若cos A＝2sin B sin C，则△ABC是钝角三角形”的叙述：①原命题是假命题；②逆命题为假命题；③否命题是假命题；④逆否命题为真命题．其中正确叙述的序号为________．答案②③④解析在△ABC中，若cos A＝2sin B sin C，则－cos(B＋C)＝2sin B sin C，得cos B cos C＋sin B sin C＝0，得cos(B－C)＝0，故B－C＝90°或B－C＝－90°，即B＝C＋90°或C＝B＋90°，故△ABC是钝角三角形，原命题与逆否命题为真命题．逆命题和否命题互为逆否命题，是假命题，如在钝角△ABC中，A＝15°，B＝15°，C＝150°，cos A＝cos15°6－24≠cos A .8．若命题“对于任意实数a ∈R ，不等式(a －1)x 2＋(a －1)x ＋4>0恒成立”的逆否命题为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [1,17)解析 由题意可知原命题为真命题．当a ＝1时，不等式化为4>0，显然恒成立；当a －1≠0时，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，Δ＝(a －1)2－16(a －1)<0， 得1<a <17.综上得a 的取值范围是1≤a <17.三、解答题9．写出命题“若直线l 的斜率为－1，则直线l 在两坐标轴上的截距相等”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这三个命题的真假．解 逆命题：若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的斜率为－1.显然该命题是假命题．否命题：若直线l 的斜率不为－1，则直线l 在两坐标轴上的截距不相等．显然该命题是假命题．逆否命题：若直线l 在两坐标轴上的截距不相等，则直线l 的斜率不为－1.显然原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．10．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确．。
人教a版数学【选修1-1】作业：1.1.3四种命题间的相互关系(含答案)
1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．2．会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是( )A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是( )A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b， 则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m n －m ≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．313．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1．1.3 四种命题间的相互关系 答案知识梳理1．若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p2．(2)①相同 ②没有关系作业设计1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]2．D 3.D4．D [a ＝b ＝0的否定为a ，b 至少有一个不为0.]5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a ∈U (U 为全集)，若a ∈A ，则a ∉∁U A 真解析 “已知a ∈U (U 为全集)”是大前提，条件是“a ∉∁U A ”，结论是“a ∈A ”，所以原命题的逆命题为“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∈A ，则a ∉∁U A ”．它为真命题．8．假 9.①②10．解 逆命题：若方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，则m >2，假命题．否命题：若m ≤2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋3m ＝0有实根，则m ≤2，真命题．11．证明 假设a ＋b <0，即a <－b ，∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )<f (－b )．又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )，∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a ＋b ≥0.12．B [①用“分部分式”判断，具体：a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真．③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]13．解 能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .从而可知，b >a >c .所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
高中数学人教A版选修1-1课件：1.1.2+1.1.3+四种命题+四种命题间的相互关系
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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做一做3 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命
(方法二)命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,
则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命
题是假命题.
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探究一
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(3)逆否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆
否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命
题的逆否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命
不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的
高中数学人教A版选修1-1第1章1-1-3四种命题间的相互关系课时测试及解析
高中数学人教A版选修1-1 第一章导数及其应用1.1.3 四种命题间的相互关系课时测试（1）1.命题“若a>0,则a>1”的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.原命题若a>0,则a>1是假命题,因此逆否命题是假命题,逆命题为若a>1,则a>0,命题为真命题,因此否命题是真命题.2.命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”的等价命题是( )A.如果ab是奇数,则a,b都是奇数B.如果ab不是奇数,则a,b不都是奇数C.如果a,b都是奇数,则ab不是奇数D.如果a,b不都是奇数,则ab不是奇数【解析】选B.因为a,b都是奇数的否定是a,b不都是奇数,“ab必为奇数”的否定为“ab不为奇数”,所以命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”,逆否命题是:若ab不是奇数,则a,b不都是奇数.3.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是( )A.真命题B.假命题C.不一定是真命题D.不一定是假命题【解析】选A.原命题的否命题和原命题的逆命题是互为逆否命题的,同真同假.4.给出以下四个命题:①若ab≤0,则a≤0或b≤0;②若a>b,则am2>bm2;③在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B;④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________.(填序号)【解析】对命题①,其原命题和逆否命题为真,但逆命题和否命题为假;对命题②,其原命题和逆否命题为假,但逆命题和否命题为真;对命题③,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真;对命题④,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假.答案:③5.写出命题“已知a,b∈R,若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:已知a,b∈R,若a>b,则a2>b2; 否命题:已知a,b∈R,若a2≤b2,则a≤b;逆否命题:已知a,b∈R,若a≤b,则a2≤b2.因为原命题是假命题,所以逆否命题也是假命题. 因为逆命题是假命题,所以否命题也是假命题.课时测试（2）一、选择题(每小题4分,共12分)1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解题指南】利用命题的等价关系判断.【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若q,则p”一定是真命题.2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是. 【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:35.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.答案:②③⑤三、解答题6.(10分)(教材P8练习改编)证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”. 因为a=2b+1,所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.p2+q2=≥(p+q)2.因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.即若p2+q2=2,则p+q≤2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A. 3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤e x在(0,+∞)上恒成立,而e x>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).【解题指南】根据四种命题间的关系确定【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.答案:①③②4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填“真”或“假”).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,因为逆命题为真,所以否命题为真;逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.课时测试（3）(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2015·杭州高二检测)命题“若m=10，则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A.原命题、否命题B.原命题、逆命题C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题【解析】选C.因为原命题为真，所以逆否命题为真.2.(2015·太原高二检测)下列结论错误的是( )A.命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B.对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C.命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真D.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真【解析】选D.命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b则am2<bm2”，显然m=0时，该命题为假.3.下列命题中正确的是( )①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；④“若x-3是无理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④【解析】选B.①中否命题为“若x2+y2=0，则x=y=0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ=1+4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确，故逆否命题正确.二、填空题(每小题4分，共8分)4.命题“若x≠1，则x2-1≠0”的真假性为________.【解题指南】可转化为判断命题的逆否命题的真假.【解析】由于原命题的逆否命题是：“若x2-1=0，则x=1”，为假命题，因此原命题是假命题. 答案：假命题5.命题“若m>n，n>k，则m>k”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________. 【解析】原命题是真命题；它的逆命题为“若m>k，则m>n，n>k”，是假命题；否命题为“若m≤n，或n≤k，则m≤k”，是假命题；逆否命题为“若m≤k，则m≤n，或n≤k”，是真命题. 答案：2【补偿训练】命题“若x=1，则x2-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是________.【解析】原命题“若x=1，则x2-3x+2=0”是真命题，它的逆否命题是真命题，它的逆命题“若x2-3x+2=0，则x=1”是假命题，它的否命题也是假命题.答案：2三、解答题6.(10分)已知a，b∈R且a2-4b>0.写出命题“若a+b+1<0，则方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【解析】逆命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，则a+b+1<0.否命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若a+b+1≥0，则方程x2+ax+b=0的两个实根不满足x1<1<x2. 逆否命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若方程x2+ax+b=0的两个实根不满足x1<1<x2，则a+b+1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)=x2+ax+b.因为f(1)=a+b+1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，所以x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题.(2)因为方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，所以(x1-1)(x2-1)<0，x1+x2=-a，x1·x2=b，所以a+b+1<0，故逆命题为真命题.由四种命题的关系可知，原命题、逆否命题、否命题和逆命题都是真命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·烟台高二检测)与命题“若x=3，则x2-2x-3=0”等价的命题是( )A.若x≠3，则x2-2x-3≠0B.若x=3，则x2-2x-3≠0C.若x2-2x-3≠0，则x≠3D.若x2-2x-3≠0，则x=3【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.2.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题，我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题：①函数y=x2(x∈R)是偶函数；②若两条直线相交，则它们的倾斜角一定不相等；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若a·c=b·c，则a=b；⑤若m+n≤2，则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是( )A.①⑤B.②③C.③④D.②④【解析】选A.①中命题是真命题，其逆命题为“若一个函数是偶函数，则这个函数是y=x2，是假命题，故它是“正向真命题”；②中命题是真命题，其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等，则它们一定相交”，也是真命题，所以②中命题不是“正向真命题”；③、④中命题都是假命题，所以它们都不是“正向真命题”；⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1，则m+n>2”是真命题，而它的否命题是“若m+n>2，则n>1且m>1”，显然不是真命题，所以这个命题是“正向真命题”.综上，是“正向真命题”的序号是①⑤.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·石家庄高二检测)设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为____________命题，逆命题为__________命题.(填“真”或“假”).【解析】逆否命题为：a，b都小于1，则a+b<2是真命题，所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，例如a=3，b=-3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题.答案：真假【补偿训练】设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的有________.①x为直线，y，z是平面；②x，y，z均为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z均为直线.【解析】①x为直线，y，z是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，是真命题；②x，y，z均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能相交，为假命题；③x，y为直线，z为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；④x，y为平面，z为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题. 答案：①③④4.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四边条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有________.【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系判断.答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤三、解答题5.(10分)(2015·北京高二检测)a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由.【解题指南】分别考虑命题A和命题B的逆否命题，把命题A和命题B作为真命题分析，得出结论.【解析】能确定.理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑.①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A 为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a次之，c最小.【拓展延伸】感悟等价命题与反证法本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题，它们有相同的等价性”来解题的，即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性，与反证法不同，反证法是通过否定命题的结论，引出矛盾，来肯定命题的.。
人教A版高中数学高二选修1-1课后训练1.1.3四种命题间的相互关系
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课后提升训练三四种命题间的相互关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·太原检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.2.(2017·青岛高二检测)与命题“若x=1,则2x2-x-1=0”等价的命题是( )A.若x≠1,则2x2-x-1≠0B.若x=1,则2x2-x-1≠0C.若2x2-x-1≠0,则x≠1D.若2x2-x-1≠0,则x=1【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若2x2-x-1≠0,则x≠1.3.命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是( )A.原命题、否命题B.原命题、逆命题C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题【解析】选D.原命题为真,逆命题为假,逆否命题为真,否命题为假.4.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是( )A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.5.命题“若∠A=60°,则△ABC是等边三角形”的否命题“若∠A≠60°,则△ABC不是等边三角形”( )A.为假命题B.与原命题真假性相同C.与原命题的逆否命题真假性相同D.与原命题的逆命题真假性相同【解析】选D.否命题与逆命题是等价命题.6.(2017·石家庄高二检测)已知下列命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.7.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是( ) A.0 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为原命题为真,逆命题为假,故逆否命题为真,否命题为假.8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x ∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是( )A.①⑤B.②③C.③④D.②④【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”) 【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b ≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.答案:真假10.命题“若x≠1,则x2-1≠0”的真假性为________.【解析】可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是:“若x2-1=0,则x=1”,因为x2-1=0时,x=±1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题.答案:假三、解答题11.(10分)证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.【证明】将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.由于m+n>2,m2+n2≥2mn,则2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2,则m2+n2≥(m+n)2>×22=2,所以m2+n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.【能力挑战题】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.【证明】若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题.所以a,b,c不可能都是奇数.关闭Word文档返回原板块。
高中数学新课标人教A版选修1-1《1.1.3四种命题间的相互关系》课件
题型一 四种命题间的相互关系 【例1】 命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的 逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？ [思路探索] 设命题a为“若p，则q”，再根据已知各命题的关 系写出各命题．
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课堂讲练互第动八页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
解 设命题a：若p，则q， 则命题b：若綈p，则綈q，
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课堂讲练互第动十四页，编辑【例3】 (12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命 题的真假． 审题指导 本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命 题与它的逆否命题同真同假，所以，可写出原命题的逆否命 题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的 真假．
【变式2】 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数 根”的逆否命题的真假． 解 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为 真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
命题c：若q，则p， 命题d：若p，则q， ∴命题a与命题d是同一命题． 规律方法 判断两个命题的关系，从其结构上分析条件和结论 是最本质的方法，解题关键是熟练掌握四种命题的概念．
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课堂讲练互第动九页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
【变式1】 若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p
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课堂讲练互第动十一页，编辑于星活期一页：规点 十范二分训。练
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课时自测·当堂达标
1.命题“若a>0,则a>1”的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.原命题若a>0,则a>1是假命题,因此逆否命题是假命题,逆命题为若a>1,则
a>0,命题为真命题,因此否命题是真命题.
2.命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”的等价命题是( )
A.如果ab是奇数,则a,b都是奇数
B.如果ab不是奇数,则a,b不都是奇数
C.如果a,b都是奇数,则ab不是奇数
D.如果a,b不都是奇数,则ab不是奇数
【解析】选B.因为a,b都是奇数的否定是a,b不都是奇数,
“ab必为奇数”的否定为“ab不为奇数”,
所以命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”,
逆否命题是:若ab不是奇数,则a,b不都是奇数.
3.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是( )
A.真命题
B.假命题
C.不一定是真命题
D.不一定是假命题
【解析】选A.原命题的否命题和原命题的逆命题是互为逆否命题的,同真同假.
4.给出以下四个命题:
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;②若a>b,则am2>bm2;③在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B;④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________.(填序号)
1
【解析】对命题①,其原命题和逆否命题为真,但逆命题和否命题为假;对命题②,其原命题和逆否命题为假,但逆命题和否命题为真;对命题③,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真;对命题④,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假.
答案:③
5.写出命题“已知a,b∈R,若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:已知a,b∈R,若a>b,则a2>b2;
否命题:已知a,b∈R,若a2≤b2,则a≤b;
逆否命题:已知a,b∈R,若a≤b,则a2≤b2.
因为原命题是假命题,所以逆否命题也是假命题.
因为逆命题是假命题,所以否命题也是假命题.
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2。