【精编】数学选修22人教A讲义:模块综合试卷

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【人教A版数学选修2-2】模块综合测试

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RJA·数学·选修2-2
第19页
系列丛书
15.已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx+1 有两个极值点 x1,x2,
且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则 f(-1)的取值范围是 [3,12] .
RJA·数学·选修2-2
第20页
系列丛书
解析:因为 f(x)有两个极值点 x1,x2,所以 f′(x)=3x2+4bx +c=0 有两个根 x1,x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],
A.0 个根
B.1 个根
C.2 个根
D.3 个根
解析:设 f(x)=13x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a), 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数, 又 f(0)f(2)=1×(83-4a+1)=131-4a<0, 所以 f(x)=0 在(0,2)上恰好有 1 个根,故选 B.
RJA·数学·选修2-2
第16页
系列丛书
解析:函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),则 f′(x)=lnx-2ax+1 有两个零点,即方程 lnx=2ax-1 有两个根, 由数形结合易知 0<a<12且 0<x1<1<x2.因为在(x1,x2)上 f(x)递增, 所以 f(x1)<f(1)<f(x2),即 f(x1)<-a<f(x2),所以 f(x1)<0,f(x2)>-12. 故选 D.
得- 2<a< 2.
RJA·数学·选修2-2
第18页
系列丛书
14.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,

数学选修2-2人教A讲义:模块综合试卷

数学选修2-2人教A讲义:模块综合试卷

x),令 F( x)= xf(x),则满足 F(3)> F (2x- 1)的实数 x 的取值范围为 ( )
A . (- 1,2)
B.
-1, 1 2
C. 12, 2
D. (-2,1)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 已知函数值大小求未知数
答案 A
解析 ∵ f(x)是奇函数, ∴不等式 xf′ (x)<f(- x)等价于 xf′ (x)<- f (x)即 xf′ (x)+ f(x)<0,
② a=b 与 b= c 及 a= c 中至少有一个成立;
③ a≠ c, b≠ c,a≠ b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为 ( )
A.0
B. 1
C.2 考点 演绎推理的综合应用
D.3
题点 演绎推理在其他方面的应用
答案 B 解析 若 (a- b)2+ (b- c)2+ (c- a)2=0,则 a= b= c,与 “ a,b,c 是不全相等的正数 ” 矛盾,
ABC 中,若 D 是 BC 边的中点, G 是三角形
ABC 的重心Leabharlann 则AG GD=2.若把
该结论推广到空间,则有:在棱长都相等的四面体
ABCD 中,若三角形 BCD 的重心为 M ,
四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等,则
AO OM
等于
(
)
A.1
B. 2
C.3 考点 类比推理的应用
D.4
题点 平面几何与立体几何之间的类比
令 l ′ = 0,解得 x=4 或 x=- 4(舍去 ).
当 0<x<4 时, l′ <0 ;当 x>4 时, l′ >0.
故当 x= 4 时, l 有最小值 816.

2017-2018学年人教A版数学选修2-2模块综合检测(一)含解析

2017-2018学年人教A版数学选修2-2模块综合检测(一)含解析

模块综合检测(一)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.设z=错误!,则z的共轭复数为()A.-1+3i B.-1-3iC.1+3i D.1-3i解析:选D ∵z=错误!=错误!=1+3i,∴错误!=1-3i.2.若函数f(x)=e x cos x,则此函数的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )A.0 B.锐角C。

错误!D.钝角解析:选D f′(x)=e x·cos x+e x·(-sin x)=e x(cos x-sin x).当x=1时,cos x-sin x<0,故f′(1)<0,所以倾斜角为钝角.3.用反证法证明命题“若函数f(x)=x2+px+q,那么|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于错误!”时,反设正确的是()A.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于错误!B.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于错误!C.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有两个小于错误!D.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一个小于错误!解析:选B “|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于错误!"的反设为“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于错误!”.4.设a=错误!x13 d x,b=1-错误!x12d x,c=错误!x3d x,则a,b,c的大小关系( )A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.b>c>a解析:选A 由题意可得a=错误!x-错误!d x=错误!10=错误!x231=错误!;b=1-错误!x 12d x=1-错误!10=1-错误!=错误!;c=错误!x3d x=错误!10=错误!.综上,a>b>c。

5.由①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是( ) A.②①③ B.③①②C.①②③D.②③①解析:选B该“三段论”应为:一次函数的图象是一条直线(大前提),y=2x+5是一次函数(小前提),y=2x+5的图象是一条直线(结论).6.如下图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×错误!.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB 的中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×错误!为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M=错误!(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( )A.2πr2d B.2π2r2dC.2πrd2D.2π2rd2解析:选B 平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.7.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…,则52 015的末四位数字为( )A.3 125 B.5 625C.0 625 D.8 125解析:选D ∵55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,…,∴5n(n∈Z,且n≥5)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4。

模块综合测评 人教A版数学选修2-2 全册测评

模块综合测评 人教A版数学选修2-2  全册测评

模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内,复数5i2-i的对应点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:5i2-i=5i(2+i)(2-i)(2+i)=5i(2+i)5=-1+2i,其对应的点的坐标为(-1,2),位于第二象限,故选B.答案:B2.用反证法证明命题:“如果a>b,那么3a>3b”时,假设的内容应是()A.3a=3b成立B.3a<3b成立C.3a=3b或3a<3b成立D.3a=3b且3a<3b成立解析:用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”,故选C. 答案:C3.曲线y =13x 3-2在点⎝⎛⎭⎫1,-53处切线的倾斜角为( ) A .1 B.π4C.5π4 D .-π4解析:∵y =13x 3-2,∴y ′=x 2,∴曲线y =13x 3-2在点⎝⎛⎭⎫1,-53处切线的斜率k =y ′|x =1=1,∴切线的倾斜角为π4,故选B. 答案:B4.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A .定值B .变数C .有时为定值、有时为变数D .与正四面体无关的常数解析:设正四面体S -ABC 的棱长为a ,正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1,h 2,h 3,h 4,由体积关系得V S -ABC =13×24a 2·(h 1+h 2+h 3+h 4)=13×34a 2×63a .∴h 1+h 2+h 3+h 4=63a (63a 为正四面体的高),∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值,故选A.答案:A5.设函数f (x )=2x +ln x ,则( )A .x =12是f (x )的极小值点B .x =2是f (x )的极小值点C .x =12是f (x )的极大值点D .x =2是f (x )的极大值点解析:f (x )=2x +ln x 的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=-2x 2+1x =x -2x 2,由f ′(x )=0得x=2,当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,∴x =2是函数f (x )的极小值点,故选B.答案:B6.已知z 1,z 2是复数,定义复数的一种运算“”为:z 1z 2=⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1+z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1=2+i 且z 1z 2=3+4i ,则复数z 2=( )A .2+iB .1+3iC .2+i 或1+3iD .条件不够,无法求出 解析:z 1=2+i ,且z 1z 2=3+4i ,若|z 1|>|z 2|,则z 1z 2=z 1z 2=(2+i)z 2=3+4i ,∴z 2=3+4i 2+i =(3+4i )(2-i )(2+i )(2-i )=10+5i5=2+i ,此时|z 1|=5,|z 2|=5,不满足|z 1|>|z 2|,舍;若|z 1|≤|z 2|,则z 1z 2=z 1+z 2=(2+i)+z 2=3+4i ,∴z 2=(3+4i)-(2+i)=1+3i ,此时|z 1|=5,|z 2|=10,满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2=1+3i ,故选B. 答案:B7.如图阴影部分面积是( )A .e +1eB .e +1e -1C .e +1e -2D .e -1e解析:函数y =e x 与y =e -x 的图象都过点(0,1),所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x -e -x )d x =(e x +e -x )10=(e +e -1)-(1+1)=e +1e-2,故选C . 答案:C8.已知函数f(x)的导函数为f ′(x),f(x)=2x 2-3xf ′(2)+ln x ,则f ′(2)=( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析:由f(x)=2x 2-3xf ′(2)+ln x ,∴f ′(x)=4x -3f ′(2)+1x ,令x =2,得f ′(2)=8-3f ′(2)+12,解得f ′(2)=178,故选D .答案:D9.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n =(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x +3)+(-2)×(y -4)=0,化简得x -2y +11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A (1,2,3),且法向量为m =(-1,-2,1)的平面的方程为( )A .x +2y +z -2=0B .x -2y -z -2=0C .x +2y -z -2=0D .x +2y +z +2=0解析:由类比的方法,得此时平面的方程应为:(-1)×(x -1)+(-2)×(y -2)+1×(z -3)=0,整理得x +2y -z -2=0,故选C.答案:C10.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B .2 C.83 D.1623解析:因为抛物线方程为x 2=4y ,所以其焦点坐标为F (0,1),故直线l 的方程为y =1.如图所示,可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y =14x 2的图象和x轴正半轴及直线x =2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍),即S =4-2⎠⎛02x 24d x =4-2·x 31220=4-43=83.故选C .答案:C11.已知直线y =kx -2与曲线y =x ln x 相切,则实数k 的值为( ) A .ln 2 B .1C .1-ln 2D .1+ln 2解析:设切点为(x 0,x 0ln x 0),由y =x ln x ,得y ′=ln x +1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0+1=k ,kx 0-2=x 0ln x 0.∴(ln x 0+1)·x 0-2=x 0ln x 0,解得x 0=2,∴k =ln 2+1,故选D . 答案:D12.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f ′(x),且满足xf ′(x)+2f(x)>0,则不等式(x +2 019)f (x +2 019)5<5f (5)x +2 019的解集为( )A .{x|x>-2 014}B .{x|-2 019<x<-2 014}C .{x|0<x<2 014}D .{x|x<-2 014}解析:构造函数F(x)=x 2·f(x),依题意可知,当x>0时,F ′(x)=x[xf ′(x)+2f(x)]>0,故函数F(x)在(0,+∞)上为增函数.由于x>0,故所求不等式可化为(x +2 019)2·f(x +2 019)<52·f(5),所以0<x +2 019<5,解得-2 019<x<-2 014.故选B .答案:B第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln (-x)+3x ,则曲线y =f(x)在点(1,-3)处的切线方程是______________.解析:因为f(x)为偶函数,所以当x>0时,f(x)=f(-x)=ln x -3x ,所以f ′(x)=1x -3,则f ′(1)=-2.所以y =f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y +3=-2(x -1),即y =-2x -1.答案:y =-2x -114.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,根据以上式子可以猜想:1+122+132+142+…+120192<________.解析:根据不等式的左边规律是n +1个自然数倒数的平方和,右边分母的规律是以2为首项,1为公差的等差数列,分子是以3为首项,2为公差的等差数列,所以第n 个不等式应为:1+122+132+…+1(n +1)2<2n +1n +1,∴1+122+132+142+…+120192<40372019.答案:4037201915.若函数f(x)=x 3+ax 2+x -7在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是________. 解析:若函数f (x )=x 3+ax 2+x -7在R 上单调递增,则f ′(x )≥0在R 上恒成立,又f ′(x )=3x 2+2ax +1,∴3x 2+2ax +1≥0,恒成立,∴Δ=(2a )2-4×3×1≤0,解得-3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[-3,3]. 答案:[-3,3]16.下列四个命题中,正确的为________(填上所有正确命题的序号). ①若实数a ,b ,c 满足a +b +c =3,则a ,b ,c 中至少有一个不小于1; ②若z 为复数,且|z |=1,则|z -i|的最大值等于2; ③对任意x ∈(0,+∞),都有x >sin x ; ④定积分∫ππ-x 2d x =π24. 解析:①若实数a ,b ,c 满足a +b +c =3,则用反证法证明,假设a ,b ,c 都小于1,则a +b +c<3,与已知矛盾,故可得a ,b ,c 中至少有一个不小于1,故①正确;②若z 为复数,且|z|=1,则由|z -i |≤|z|+|-i |=2,可得|z -i |的最大值等于2,故②正确;③令y =x -sin x ,其导数为y ′=1-cos x ,y ′≥0,所以y =x -sin x 在R 上为增函数,当x =0时,x -sin x =0,所以对任意x ∈(0,+∞),都有x -sin x >0,故③正确.④定积分∫ππ-x 2d x 表示以原点为圆心,π为半径的圆的面积的四分之一,故④正确.答案:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知复数z =(1+2m)+(3+m)i (m ∈R ),i 为虚数单位. (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限,求m 的取值范围; (2)当m 为何值时,|z |最小,并求|z |的最小值.解析:(1)因为复数z =(1+2m )+(3+m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧1+2m <03+m >0,解得-3<m <-12,所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-3,-12. (2)因为|z |2=(1+2m )2+(3+m )2=5m 2+10m +10=5(m +1)2+5, 所以当m =-1时,|z |min = 5.18.(12分)已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a . (1)求f (x )在区间[-2,2]上的最值;(2)若f (x )有且只有两个零点,求实数a 的值. 解析:(1)f ′(x )=3x 2-12x +9, 令f ′(x )=0,得x =1或x =3(舍去),∴f (x )在[-2,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减, ∵f (1)=4+a ,f (-2)=-50+a ,f (2)=2+a , ∴在区间[-2,2]上,f (x )min =-50+a ,f (x )max =4+a .(2)令f(x)=x3-6x2+9x+a=0,可得a=-x3+6x2-9x,设g(x)=-x3+6x2-9x,则g′(x)=-3x2+12x-9,令g′(x)=0,得x=1或x=3,列表如下:x (-∞,1)1(1,3)3(3,+∞) g′(x)-0+0-g(x)递减有极小值-4递增有极大值0递减∴g(x)的大致图象如下:要使a=-x3+6x2-9x有且只有两个零点,只需直线y=a与g(x)的图象有两个不同的交点,∴实数a的值为-4或0.19.(12分)(1)当a>2时,求证:a+2+a-2<2a;(2)证明:2,3,5不可能是同一个等差数列中的三项.证明:(1)由题意得(a+2+a-2)2=2a+2a+2·a-2,∵a-2>0,a+2>0,且a+2≠a-2,∴要证a+2+a-2<2a,即证2a+2a+2·a-2<4a,即证a+2·a-2<a,即证a2-4<a2,即证-4<0,而-4<0显然成立,所以a +2+a -2<2a 得证.(2)假设2,3,5是同一个等差数列中的三项,分别设为a m ,a n ,a p , 则d =a m -a n m -n =2-3m -n为无理数,又d =a m -a p m -p =2-5m -p =-3m -p为有理数,矛盾.所以假设不成立,即2,3,5不可能是同一个等差数列中的三项.20.(12分)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y (单位:千套)与销售价格x (单位:元/套)满足的关系式y =mx -2+4(x -6)2,其中2<x <6,m 为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m 的值;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数).解析:(1)因为x =4时,y =21,代入关系式y =m x -2+4(x -6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知,套题每日的销售量为y =10x -2+4(x -6)2,所以每日销售套题所获得的利润f (x )=(x -2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x -2+4(x -6)2=10+4(x -6)2(x -2)=4x 3-56x 2+240x -278(2<x <6),从而f ′(x )=12x 2-112x +240=4(3x -10)(x -6)(2<x <6).令f ′(x )=0,得x =103,且在⎝⎛⎭⎫2,103上,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;在⎝⎛⎭⎫103,6上,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,所以x =103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x =103≈3.3时,函数f (x )取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.21.(12分)已知函数f (x )=12x 2-a ln x (a ∈R ). (1)若f (x )在x =2处取得极值,求a 的值;(2)求f (x )的单调区间;(3)求证:当x >1时,12x 2+ln x <23x 3. 解析:(1)f ′(x )=x -a x,因为x =2是一个极值点, 所以2-a 2=0,所以a =4. (2)因为f ′(x )=x -a x,f (x )的定义域为x >0, 所以当a ≤0,f (x )的单调递增区间为(0,+∞).当a >0时,f ′(x )=x -a x =x 2-a x =(x -a )(x +a )x, 令f ′(x )>0,得x >a ,所以函数f (x )的单调递增区间为(a ,+∞);令f ′(x )<0,得0<x <a ,所以函数f (x )的单调递减区间为(0,a ).(3)证明:设g (x )=23x 3-12x 2-ln x , 则g ′(x )=2x 2-x -1x, 因为当x >1时,g ′(x )=(x -1)(2x 2+x +1)x>0, 所以g (x )在(1,+∞)上是增函数.所以g (x )>g (1)=16>0. 所以当x >1时,12x 2+ln x <23x 3. 22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n 2a n (n ∈N *).(1)试求出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式.(2)用数学归纳法证明你的猜想,求并出a n 的表达式. 解析:(1)因为a n =S n -S n -1(n ≥2) 所以S n =n 2(S n -S n -1),所以S n =n 2n 2-1S n -1(n ≥2) 因为a 1=1,所以S 1=a 1=1.所以S 2=43,S 3=32=64,S 4=85, 猜想S n =2n n +1(n ∈N *). (2)证明:①当n =1时,S 1=1成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,等式成立, 即S k =2k k +1,当n =k +1时,S k +1=(k +1)2·a k +1=a k +1+S k =a k +1+2k k +1, 所以a k +1=2(k +2)(k +1), 所以S k +1=(k +1)2·a k +1=2(k +1)k +2=2(k +1)(k +1)+1, 所以n =k +1时等式也成立,得证. 所以根据①、②可知,对于任意n ∈N *,等式均成立.又因为a k +1=2(k +2)(k +1), 所以a n =2n (n +1).。

2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业:模块综合评估2

2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业:模块综合评估2

模块综合评估(二)时间:120分钟 满分:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.1+3i 1-i=( B ) A .1+2i B .-1+2i C .1-2i D .-1-2i解析:1+3i 1-i =(1+3i )(1+i )(1-i )(1+i )=-2+4i 2=-1+2i.故选B. 2.下列说法正确的是( B )A .2>2iB .2>(3i)2C .2+3i<3+3iD .2+2i>2+i解析:本题主要考查复数的性质.不全为实数的两个复数不能比较大小,故排除A ,C ,D ;而B 中(3i)2=-9<2,故选B.3.若复数z 满足z (1+i)=1-i(i 是虚数单位),则z 的共轭复数z =( C )A .-iB .-2iC .i D.2i解析:本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念.因为z (1+i)=1-i ,所以z =1-i 1+i=-2i 2=-i ,所以z =i.故选C. 4.函数f (x )=e x sin x 的图象在点(0,f (0))处的切线的倾斜角α=( B )A .0 B.π4 C .1 D.3π2解析:本题主要考查导数的几何意义.函数f (x )=e x sin x 的图象在点(0,f (0))处的切线的斜率k =f ′(0)=e x(sin x +cos x )x =0=1,所以倾斜角α=π4.故选B.5.函数f (x )=cos x 2x 的导函数f ′(x )=( B )A.sin x -cos x 2xB .-sin x +ln2·cos x 2x C.sin x -ln2·cos x 2x D .-sin x +cos x 4x解析:f′(x)=(cos x)′·2x-cos x·(2x)′(2x)2=-sin x·2x-cos x·2x ln24x=-sin x+ln2·cos x2x.6.用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD 也是异面直线”的过程分为三步:①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC,BD是共面直线.则正确的顺序为(B)A.①→②→③B.③→①→②C.①→③→②D.②→③→①解析:本题主要考查反证法的步骤.反证法的步骤是:反设→归谬→结论.结合本题,知选B.7.由“边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为32a”可类比猜想:棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)A.43a B.63a C.54a D.64a解析:将正三角形分割成以三条边为底的三个三角形,利用三个三角形面积的和等于正三角形的面积即可求得正三角形内任一点到三边的距离之和.类比可知,将正四面体分割成以各面为底的四个三棱锥,则四个三棱锥体积之和等于正四面体的体积,即可求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为63a.故选B.8.设复数z满足|z-3+4i|=|z+3-4i|,则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(C)A.圆B.半圆C.直线D.射线解析:复数z满足|z-3+4i|=|z+3-4i|,则复数z在复平面内对应的点是复平面内到点(3,-4),(-3,4)的距离相等的点,其轨迹为(3,-4),(-3,4)两点连线的中垂线.故选C.9.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列各点一定在y 轴上的是( A )A .(b ,a )B .(a ,c )C .(c ,b )D .(a +b ,c )解析:本题主要考查导数的应用.f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,由题意知1,-1是方程3ax 2+2bx +c =0的两根,则1-1=-2b 3a =0,所以b =0.故选A.10.欧拉公式e i x =cos x +isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( B )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:e 2i =cos2+isin2,它在复平面内对应的点为(cos2,sin2),由于π2<2<π,因此cos2<0,sin2>0,故点(cos2,sin2)在第二象限.11.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)=3,且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )-1<0,则不等式f (x 2)<x 2+1的解集为( C )A .(-∞,-2)B .(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,2)解析:本题主要考查导数的应用.令g (x )=f (x )-x ,则g ′(x )=f ′(x )-1<0,∴g (x )在R 上单调递减.由f (x 2)<x 2+1,得f (x 2)-x 2<1,即g (x 2)<1.又g (2)=f (2)-2=1,∴g (x 2)<g (2),∴x 2>2,解得x >2或x <- 2.故选C.12.已知函数y =f (x )对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2满足f ′(x )cos x +f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式中成立的是( A ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C .f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D .f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析:令g (x )=f (x )cos x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,则g ′(x )=f ′(x )cos x +f (x )sin x cos 2x .因为f ′(x )cos x +f (x )sin x >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上恒成立,所以g ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上恒成立,所以g (x )=f (x )cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上单调递增,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π312<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π422,所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4.故选A. 二、填空题(每小题5分,共20分)13.曲线y =2cos x -π4在x =π4处的切线方程是x +y -1=0.解析:由题意知y ′=-2sin x ,所以切线的斜率k =y ′|x =π4=-1.易知切点为⎝⎛⎭⎪⎫π4,1-π4,所以切线方程为x +y -1=0. 14.复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称,且z 1(3-i)=z 2(1+3i),|z 1|=2,则z 1=1-i 或-1+i.解析:本题主要考查复数的运算与几何意义.设z 1=a +b i ,则z 2=-a +b i ,∵z 1(3-i)=z 2(1+3i),且|z 1|=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a +b i )(3-i )=(-a +b i )(1+3i )a 2+b 2=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =1,∴z 1=1-i 或-1+i.15.观察下列各式:(1)(x 2)′=2x ;(2)(x 4)′=4x 3;(3)(cos x )′=-sin x .根据以上事实,由归纳推理可得,若定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为g (x ),则g (0)=0.解析:在(x 2)′=2x 中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;在(x 4)′=4x 3中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;在(cos x )′=-sin x 中,原函数为偶函数,导函数为奇函数.我们可以推测,偶函数的导函数为奇函数.若定义在R 上的函数f (x )为偶函数,g (x )为f (x )的导函数,则g (x )为奇函数,故g (-x )+g (x )=0,即g (-0)=-g (0),g (0)=0.16.若函数f (x )=3a -x 2⎝⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ,e 为自然对数的底数与g (x )=2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的最小值是13.解析:由题意可得f (x )=-g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上有解,即3a -x 2=-2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上有解,整理可得a =x 2-2ln x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上有解.令h (x )=x 2-2ln x 3,则h ′(x )=13⎝⎛⎭⎪⎫2x -2x ,易知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上单调递增,又h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e -2e <0,h ′(1)=0,h ′(e)=13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e -2e >0,则h (x )min =h (1)=13,所以实数a 的最小值是13.三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知复数z 1满足z 1·i =1+i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2.(1)求z 1;(2)若z 1·z 2是纯虚数,求z 2.解:(1)因为z 1·i =1+i ,所以z 1=1+i i =-i (1+i )-i 2=1-i. (2)因为z 2的虚部为2,所以设z 2=m +2i(m ∈R ).因为z 1·z 2=(1-i)(m +2i)=(m +2)+(2-m )i 为纯虚数,所以m +2=0,且2-m ≠0,解得m =-2.所以z 2=-2+2i.18.(12分)(1)求证:当a >2时,a +2+a -2<2a ;(2)证明:2,3,5不可能是同一个等差数列中的三项.证明:(1)要证a +2+a -2<2a ,只需证(a +2+a -2)2<(2a )2,即证2a +2a +2·a -2<4a ,即证a +2·a -2<a ,只需证(a +2·a -2)2<a 2,即证a 2-4<a 2,显然成立,所以a +2+a -2<2a .(2)假设2,3,5是同一个等差数列中的三项,且该等差数列的公差为d ,显然d ≠0.令3=2+rd,5=2+sd (r ,s 为非零整数),则3-25-2=r s,等式左端为无理数,等式右端为有理数,矛盾,所以假设不成立,故2,3,5不可能是同一个等差数列中的三项.19.(12分)已知复数z 1=2+a i(其中a ∈R 且a >0,i 为虚数单位),且z 21为纯虚数.(1)求函数实数a 的值;(2)若z =z 11-i,求|z |. 解:(1)z 21=(2+a i)2=4-a 2+4a i ,因为z 21为纯虚数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4-a 2=0,a ≠0,a >0,解得a =2.(2)由(1)得z 1=2+2i ,则z =2+2i 1-i =(2+2i )(1+i )(1-i )(1+i )=4i 2=2i ,|z |=2. 20.(12分)已知函数f (x )=x ln x +x .(1)求f (x )的图象在x =1处的切线方程并求函数f (x )的单调区间;(2)求证:e x >f ′(x ).解:(1)由题得f ′(x )=ln x +2,∴f ′(1)=2,又f (1)=1,∴所求切线方程为y =2x -1.令f ′(x )>0,解得x >e -2,令f ′(x )<0,解得0<x <e -2,故函数f (x )的单调递增区间为(e -2,+∞),单调递减区间为(0,e -2).(2)证明:设g (x )=e x -f ′(x )=e x -ln x -2,x >0.g ′(x )=e x-1x ,易知g ′(x )在(0,+∞)上单调递增,且g ′(1)=e -1>0,g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12=e 12 -2<0,∴存在唯一的t ,且12<t <1,使得g ′(t )=e t -1t =0,即e t=1t ,∴g (x )在(0,t )上单调递减,在(t ,+∞)上单调递增, ∴g (x )≥g (t )=e t-ln t -2=1t -ln 1e t -2=t +1t -2≥2-2=0,当且仅当t =1时等号成立,又12<t <1,∴上式等号不成立,∴g (x )>0,即e x >f ′(x ).21.(12分)已知函数f (x )=x 2+2cos x ,x ∈[0,+∞).(1)求f (x )的最小值;(2)证明:当x ≥0时,e x -1≥sin x -cos x +1.解:(1)f ′(x )=2(x -sin x ).设g (x )=x -sin x ,则g ′(x )=1-cos x ,当x ≥0时,g ′(x )≥0,即g (x )为增函数,则f ′(x )=2g (x )≥2g (0)=0, 所以f (x )在[0,+∞)上是增函数,因此f (x )min =f (0)=2.(2)证明:由(1)得,当x ≥0时,f ′(x )≥0,即sin x ≤x .又f (x )≥2,即1-cos x ≤x 22,所以sin x -cos x +1≤x +x 22.证明x +x 22≤e x -1成立即可证明原不等式成立.令h (x )=e x-x 22-x -1,则h ′(x )=e x -x -1, 令m (x )=e x -x -1,则m ′(x )=e x -1,当x ≥0时,e x -1≥0,所以h ′(x )是增函数,即h ′(x )≥h ′(0)=0,所以h (x )是增函数,即h (x )≥h (0)=0,可得e x-x 22-x -1≥0,即e x -1≥x 22+x ,所以原不等式成立.22.(12分)已知函数f (x )=38x 2-2x +2+ln x .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在[e m ,+∞)(m ∈Z )上有零点,求m 的最大值. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).f ′(x )=34x -2+1x =(3x -2)(x -2)4x, 当f ′(x )>0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23∪(2,+∞);当f ′(x )<0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23,2, 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23和(2,+∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23,2. (2)由(1)知y 极大=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=56+ln 23>0,y 极小=f (2)=ln2-12>0.当x >0且x →0时f (x )<0,故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0,且x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,23. 若m ≥0,则e m ≥1,[e m,+∞)⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞,此区间内不存在零点,舍去,故m <0.当m =-1时,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ,+∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =1+38e 2-2e >0, 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,23上单调递增,此区间不存在零点,舍去. 当m =-2时,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2,+∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2=1e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫38e 2-2<0, 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2,23上单调递增,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0,故x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2,23. 综上,m 的最大值为-2.。

(人教版)高中数学选修2-2检测模块综合检测A Word版含答案

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模块综合检测()一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).复数=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ).第一象限.第二象限.第三象限.第四象限解析:∵====-,∴复数对应的点的坐标为,在第四象限.答案:.函数()=++的图象在=处的切线在轴上的截距为( )...-.-解析:′()=+,′()=,()=,-=(-),=时,=-.答案:.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行;②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直,则必与另一条垂直;③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必与另一条相交..①②③.①③.①.②③解析:类比①的结论为:平行于同一个平面的两个平面平行,成立;类比②的结论为:一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直,成立;类比③的结论为:如果一个平面与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交,成立.答案:.函数=--(-<<)有( ).极大值,极小值-.极大值,极小值-.极大值,无极小值.极小值-,无极大值解析:′=--=,得=-,=,当<-时,′>;当>-时,′<.当=-时,极大值=,取不到,无极小值.答案:.函数=+的单调递增区间是( ).(,+∞) .(-∞,)..(,+∞)解析:令′=-=>,即(-)(++)>,且≠,得>.答案:.下列计算错误的是( ).=.))=.=.=解析:由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果.答案:.用数学归纳法证明++…+>(∈+)时,在验证=时,左边的代数式为( ) .++.+..解析:当=时,不等式左边为++=++.答案:.函数=-在(-∞,+∞)上的减区间是[-],则( ).=.=.=.≤解析:∈[-],′=-≤,且′=±=,∴=,=.答案:.若,∈,则+是( ).纯虚数.实数.虚数.不能确定解析:设=+,=+(,,,∈),则+=(+)(-)+(-)(+)=(+)∈.答案:.设=(--)+(-)(∈),若对应的点在直线-+=上,则的值是( ) .±..-.解析:(--)-(-)+=,=-,=,=±,而>,所以=.答案:.函数()的定义域为,(-)=,对任意∈,′()>,则()>+的解集为( ) .(-) .(-,+∞).(-∞,-) .(-∞,+∞)解析:设()=()-(+),。

2019秋新版高中数学人教A版选修2-2习题:模块综合检测 Word版含解析.docx

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模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a<0,-1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析∵-1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D3若复数2a+2i1+i(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析2a+2i1+i =(2a+2i)(1-i)2=(a+1)+(1-a)i,由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于() A.-4 B.-1C.3D.-2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,a-b=-2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2√解析由m>n,m>p可能有m-n<m-p,例如2-1<2-(-1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lg m,lg n不一定为正数,所以lg m+lg n≥2√不一定成立,故选项D不正确.答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取2的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2 016到2 018,箭头的方向依次为()A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由得从2 016到2 018的方向为选项A中所示.答案A9给出以下命题:(1)若∫baf(x)d x>0,则f(x)>0;(2)∫2π|sin x|d x=4;(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则∫a0f(x)d x=∫a+TTf(x)d x.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0解析(1)错误.如∫2-1x d x=12x2|-12=32>0,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.∫2π0|sin x|d x=∫πsin x d x+∫2ππ(-sin x)d x=4.(3)正确.∫a 0f(x)d x=F(x)|a=F(a)-F(0),∫a+T T f(x)d x=F(x)|Ta+T=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时() A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是( ) A.①③B.②④C.②③D.①④解析②中|z|2∈R ,而z 2不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用b 2-4ac 来确定根的个数.答案D12如图,设T 是直线x=-1,x=2,y=0以及过x=-1,x=2与y=x 2交点的直线围成的直角梯形区域,S 是T 内函数y=x 2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T 中随机投一点,则该点落入S 中的概率为( ) A.15B.25C.13D.12解析解方程组{y =x 2,x =-1,得曲线y=x 2与直线x=-1交点的纵坐标y 1=1;解方程组{y =x 2,x =2,得曲线y=x 2与直线x=2交点的纵坐标y 2=4.所以直角梯形区域T 的面积为1+42×[2-(-1)]=152.又因为阴影部分S 的面积为∫ 2-1x 2d x=13x 3|-12=3,所以向T 中随机投一点, 则该点落入S 中的概率为3152=25.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a 的值为 . 答案-214已知函数f (x )={ax 2+bx +c (x ≥-1),f (-x -2)(x <-1),在其图象上点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+1,则f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 . 解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f (1)=3, 所以a+b+c=3.对函数f (x )=ax 2+bx+c 求导得f'(x )=2ax+b ,则f'(1)=2a+b=2.由已知得f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数f (x )=f (-x-2)求导得f'(x )=-f'(-x-2), 所以f'(-3)=-f'(3-2)=-2,所以f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3. 答案y=-2x-315设等边三角形ABC 的边长为a ,P 是△ABC 内的任意一点,且P 到三边AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有d 1+d 2+d 3为定值√32a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD 的棱长均为a ,P 是四面体ABCD 内的任意一点,且点P 到平面ABC ,平面ABD ,平面ACD ,平面BCD 的距离分别为d 1,d 2,d 3,d 4,则有d 1+d 2+d 3+d 4为定值 .解析在等边三角形ABC 中,d 1+d 2+d 3=√32a 为△ABC 的高,类比四面体中,d 1+d 2+d 3+d 4也应为四面体的高√63a. 答案√63a16若偶函数f (x )在x ∈(0,+∞)时满足f'(x )>f (x )x ,且f (1)=0,则不等式f (x )x ≥0的解集是 . 解析设g (x )=f (x )x (x>0),则g'(x )=f '(x )·x -f (x )x 2>0, 所以g (x )在(0,+∞)内是增函数. 当x>0时,由f (x )x ≥0=f (1)1,得x ≥1;当x<0时,-x>0,f (x )x ≥0⇔f (x )-x ≤0⇔f (-x )-x ≤0⇔-x ≤1,所以-1≤x<0. 答案[-1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)若复数z 1满足z 1=i(2-z 1)(i 为虚数单位). (1)求z 1; (2)求|z 1|;(3)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.分析先由已知条件求出复数z 1,再利用复数模的定义及其几何意义求解. 解(1)由z 1=i(2-z 1),得z 1=2i1+i =1+i .(2)|z 1|=|z 1|=√2.(3)|z-z 1|表示复数z 与z 1分别对应的点Z 与Z 1间的距离,Z 在圆x 2+y 2=1上,Z 1(1,1),显然Z ,Z 1间的最大距离为√2+1,即|z-z 1|的最大值为√2+1.18(12分)设两抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求M 的面积. 分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解. 解解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).函数y=-x 2+2x 与y=x 2在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形M 的面积为∫ 10(-x 2+2x-x 2)d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-23x 3+x 2)|01=13. 所以M 的面积为13.19(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等.若1a ,1b ,1c 成等差数列,比较√ba 与√cb 的大小,并证明你的结论. 解大小关系为√ba <√cb ,证明如下:要证√ba <√cb ,只需证ba <cb , 因为a ,b ,c>0,所以只需证b 2<ac. 因为1a ,1b ,1c成等差数列,所以2b =1a +1c ≥2√1ac .所以b 2≤ac.又a ,b ,c 任意两边均不相等,所以b 2<ac 成立. 故所得大小关系正确.20(12分)设△ABC 的两个内角A ,B 所对的边分别为a ,b ,复数z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,若复数z 1·z 2为纯虚数,试判断△ABC 的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解. 解△ABC 为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,所以z 1·z 2=(a cos A-b cos B )+i(a cos B+b cos A ). 又z 1·z 2为纯虚数,所以{acosA =bcosB ,acosB +bcosA ≠0,①②由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B , 即sin 2A=sin 2B. 因为A ,B 为△ABC 的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π. 所以2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2.也就是A=B 或C=π2. 由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A ≠0, 即sin(A+B )≠0.因为A ,B 是△ABC 的内角,所以0<A+B<π. 所以sin(A+B )≠0成立. 综上所述,知A=B 或C=π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 21(12分)已知函数f (x )=e x (ax 2+a+1)(a ∈R ). (1)若a=-1,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )≥2e 2对任意x ∈[-2,-1]恒成立,求实数a 的取值范围. 解(1)当a=-1时,f (x )=-x 2e x ,f (1)=-e .f'(x )=-2x e x -x 2e x .因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f (x )在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e . (2)由题意得,f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e2, 解得a ≥15.f'(x )=e x (ax 2+2ax+a+1)=e x [a (x+1)2+1]. 因为a ≥15,所以f'(x )>0恒成立, 所以f (x )在[-2,-1]上单调递增. 要使f (x )≥2e 2恒成立,则f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e 2,即a ≥15. 故实数a 的取值范围是[15,+∞).22(14分)设函数f (x )=(x-1)3-ax-b ,x ∈R ,其中a ,b ∈R .(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )存在极值点x 0,且f (x 1)=f (x 0),其中x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3; (3)设a>0,函数g (x )=|f (x )|,求证:g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14. (1)解由f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:①当a ≤0时,有f'(x )=3(x-1)2-a ≥0恒成立,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x )=0,解得x=1+√3a3,或x=1-√3a3. 当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的单调递减区间为(1-√3a3,1+√3a3),单调递增区间为(-∞,1-√3a3),(1+√3a3,+∞).(2)证明因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a>0,且x 0≠1.由题意,得f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2=a3,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=-2a x 0-a -b.又f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b=8a (1-x 0)+2ax 0-3a-b=-2a x 0-a -b=f (x 0),且3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=3-2x 0.所以x 1+2x 0=3.(3)证明设g (x )在区间[0,2]上的最大值为M ,max{x ,y }表示x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a ≥3时,1-√3a3≤0<2≤1+√3a3,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此M=max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b )|,|a-1-(a+b )|}={a -1+(a +b ),a +b ≥0,a -1-(a +b ),a +b <0.所以M=a-1+|a+b|≥2.②当34≤a<3时,1-2√3a 3≤0<1-√3a 3<1+√3a 3<2≤1+2√3a3,由(1)和(2)知f (0)≥f (1-2√3a3)=f (1+√3a3),f (2)≤f (1+2√3a3)=f (1-√3a3),所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (1+√3a 3),f (1-√3a3)],因此 M=max {|f (1+√3a3)|,|f (1-√3a3)|} =max {|-2a9√3a -a -b|,|2a9√3a -a -b|} =max {|2a9√3a +(a +b )|,|2a9√3a -(a +b )|} =2a 9√3a +|a+b|≥29×34×√3×34=14.③当0<a<34时,0<1-2√3a 3<1+2√3a3<2, 由(1)和(2)知f (0)<f (1-2√3a 3)=f (1+√3a 3),f (2)>f (1+2√3a 3)=f (1-√3a3), 所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (0),f (2)],因此M=max{|f (0)|,|f (2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b )|,|1-a-(a+b )|} =1-a+|a+b|>14.综上所述,当a>0时,g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14.。

高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末复习讲义-版本:人教A版高中数学选修2-2

高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末复习讲义-版本:人教A版高中数学选修2-2

第一章导数及其应用知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念,要注意结合实例理解概念的实质,利用导数的几何意义求曲线的切线方程,要注意当切线平行于y轴时,这时导数不存在,此时的切线方程为x=x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数,熟记基本求导公式,熟练运用法则是关键,有时先化简再求导,会给解题带来方便.因此观察式子的特点,对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导,关键在于选取合适的中间变量,弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆,最后要把中间变量换成自变量的函数.复合函数的导数(高考要求f(ax +b)的形式的),在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0,则函数为增函数”的逆命题不成立,当f(x)在(a,b)内为增函数时,f′(x)≥0,如f(x)=x3.由于f′(x)≥0时,f′(x)可能恒为0,f(x)也就恒为常数,所以由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调增函数.因此,课本上关于单调性的结论在解题时要注意,它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x)=0,且在x0左侧与右侧,f′(x)的符号不同,f′(x0)=0是x0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的,如函数f(x)=|x|在极小值点x0=0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时,常常把使f′(x0)=0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格,这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义区间而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型,因此要认真审题,分析各个量的关系,列出函数式y=f(x),然后利用导数求出函数f(x)的最值,求函数f(x)的最值时,若f(x)在区间(a,b)上只有一个极值点,要根据实际意义判定是最大值还是最小值,不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键是要找到被积函数的原函数.为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积;二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题.其中,应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C :y =x 3-3x 和直线x =a (a >0)的交点为P ,过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(-a ,0),求a 的值.[解] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y =x 3-3x ,x =a ,解得P(a ,a 3-3a ).y′=3x 2-3,所以过P 点斜率为3a 2-3的曲线C 的切线方程为 y -(a 3-3a )=(3a 2-3)(x -a ).令y =0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2-3,0,则有2a 33a 2-3=-a ,解得a =±155.由已知a >0,所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值,需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程,求出该切线与x 轴的交点,通过列方程求解.本题主要考查导数的几何意义,要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ,讨论定义在(-∞,0)的函数f (x )=13ax 3+⎝ ⎛⎭⎪⎫a +12x 2+(a +1)x 的单调性.[解] f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +a +1=(x +1)(ax +a +1),x <0.(1)若a =0,则f ′(x )=x +1,当x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-1,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.(2)若a ≠0时,则f ′(x )=a (x +1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +⎝⎛⎭⎪⎫1+1a .①若a >0,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-1a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-1-1a,-1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-1,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.②若-1≤a <0,则当x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-1,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.③若a <-1,则当x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-1-1a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-1-1a,0时,f ′(x )<0,f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式,对函数性质的研究涉及到方方面面,涉及方法思想较多,数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数,函数f (x )=x 3-x 2-x +a . (1)求f (x )的极值;(2)当a 在什么范围内取值时,曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )=3x 2-2x -1,若f ′(x )=0,则x =-13或x =1.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=a +527,极小值是f (1)=a -1. (2)因为函数f (x )=x 3-x 2-x +a =(x -1)2(x +1)+a -1.由此可知,x 取足够大的正数时,有f (x )趋于+∞,取足够小的负数时,有f (x )趋于-∞,所以曲线y =f (x )与x 轴至少有一个交点,从(1)中可知f (x )的单调性,可画出草图.当f (x )的极大值a +527<0,即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-527时,它的极小值也小于0,因此曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上.当f (x )的极小值a -1>0,即a ∈(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点,它在⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-13上.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-527∪(1,+∞)时,曲线y =f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地,对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数),当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时,图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )=x 3-12x 2-2x +5,当x ∈[-1,2]时,f (x )<m 恒成立,求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )=x 3-12x 2-2x +5,∴f ′(x )=3x 2-x -2.令f ′(x )=0,即3x 2-x -2=0,∴x =1或x =-23.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-1,-23时,f ′(x )>0,f (x )为增函数;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,1时,f ′(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(1,2)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数. 所以当x =-23时,f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=5+2227;当x =1时,f (x )取得极小值f (1)=72.又f (-1)=112,f (2)=7.因此,f (x )在[-1,2]上的最大值为f (2)=7. 要使f (x )<m 恒成立,须f (x )m ax <m ,即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7,+∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立,只要m 大于f (x )的最大值即可,从而求出f (x )的最大值,问题就可得到解决,若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”,则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ,b 为实数,且b >a >e ,求证:a b>b a.[证明] 因为b >a >e ,所以要证a b>b a,只需证b ln a >a ln b . 设f (x )=x ln a -a ln x (x >a ),则f ′(x )=ln a -a x. 因为x >a >e ,所以ln a >1,且a x<1. 所以f ′(x )>0,且f ′(a )>0.所以函数f (x )=x ·ln a -a ln x 在[a ,+∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )=a ln a -a ln a =0,即b ln a -a ln b >0, 所以b ln a >a ln b ,故a b>b a. 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式,应用好构造思想解题的关键是:一要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染.已知A ,B 两座烟囱相距20 km ,其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍,经环境检测表明:落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘量成正比.(比例系数为k ).若C 是AB 连线上的点,设AC =x km ,C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式;(2)是否存在这样的点C ,使该点的烟尘浓度最低?若存在,求出AC 的距离;若不存在,说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1,则B 烟囱喷出的烟尘量为8,由AC =x (0<x <20),可得BC =20-x .依题意,点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为:y =k x 2+k ·820-x2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得 y ′=-2k x3+16k 20-x3=2k 9x 3-60x 2+1200x -8000x 320-x 3.令y ′=0,得(3x -20)·(3x 2+400)=0; 又0<x <20,∴x =203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,203时,y ′<0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203,20时,y ′>0,∴当x =203时,y 取最小值.故存在点C ,当AC =203 km 时,该点的烟尘浓度最低.拓展提升在利用导数解决这类优化问题时,其一般步骤是:(1)设出恰当的未知量,并确定未知量的取值范围(即函数定义域);(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数;(3)求出函数的导数,令导数等于0,得到导数为0的点;(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (-1,2)为抛物线C :y =2x 2上的点,直线l 1过点A ,且与抛物线C 相切于A 点,直线l 2:x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ,交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程;(2)若△BAD 的面积为S 1,求|BD |及S 1的值;(3)设由抛物线C ,与直线l 1,l 2所围成图形的面积为S 2,求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y =2x 2,得y ′=4x . 当x =-1时,y ′=-4, ∴直线l 1的方程为y -2=-4(x +1),即4x +y +2=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x 2,x =a ,得B 点坐标为(a,2a 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧x =a ,4x +y +2=0得D 点坐标为(a ,-4a -2),∴点A 到直线BD 的距离为|a +1|, |BD |=2a 2+4a +2=2(a +1)2, ∴S 1=12|BD |·|a +1|=|a +1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率,再由点斜式写出直线l1的方程.(2)求出点A 到直线l2的距离以及B,D两点的坐标,从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2,注意讨论a的取值,再证明S1∶S2是常数.。

高中数学人教A版选修2-2模块综合检测(二) Word版含解析

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模块综合检测(二)(时间分钟,满分分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分).(辽宁高考)设复数满足(-)(-)=,则=( ).-.+.-.+解析:选=+=+=++=+..已知=,=,=,…,类比这些等式,若=(,均为正实数),则+=( )....解析:选观察下列等式=,=,=,…,第个应该是=(+) ,则第个等式中:=,=-=,+=..三段论:“①所有的中国人都坚强不屈;②雅安人是中国人;③雅安人一定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是( ).①②.①③.②①.②③解析:选解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”,小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”,结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”.故选..设函数()=+的导函数′()=+,则(-)的值等于( )解析:选由于()=+的导函数′()=+,所以()=+,于是(-)=(-)==..在数列{}中,=,且=(-),通过求,,,猜想的表达式为( )解析:选由=,=(-)求得==,==,==.猜想=..已知函数()=+的图象在点(,())处的切线的斜率为,则函数()=+的最大值是( )..解析:选∵′()=+,∴′()=+=,∴=.∴()=+=≤..=+,=·(、、、、、均为正数),则、的大小为( ).≥.≤.不确定.>解析:选=≥=+=..在,上,函数()=++与()=+在同一点处取得相同的最小值,那么()在,上的最大值是( )..解析:选因为()=+,且∈,,则()≥,当且仅当=时,()=.又′()=+,∴′()=,即+=,得=-,∴()=-+.又()=()=,∴-+=,∴=.∴()=-+=(-)+,∈,.∴()=()=..若函数=-+在()内有极小值没有极大值,则实数的取值范围是( ).() .(-∞,).(,+∞)解析:选′()=-,∵()在()内有极小值没有极大值,∴(\\(′((<′((>))⇒(\\(-<,->.))即<<..设()=--,若()在其定义域内为单调增函数,则的取值范围是( ).(-∞,].[,+∞).(-∞,-].[-,+∞)解析:选由′()=+-=,令()=-+,要使()在其定义域(,+∞)上单调递增,只需()在(,+∞)内满足()≥恒成立.由()≥得-+≥,即≥=在∈(,+∞)上恒成立,∵>,∴+≥.∴≤.∴≥.二、填空题(本大题共小题,每小题分,共分).设=+,=+,则,的大小关系为.解析:=+,=+两式的两边分别平方,可得=+,=+,显然,<.∴<.答案:<.复数=(其中为虚数单位)的虚部是.解析:化简得===+,则虚部为.。

最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套

最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套

最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题1.复数z=2-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限解析:∵z=2-i=(2.-1),在第四象限.∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。

答案:D2.函数f(x)=x^3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为()A。

10B。

5/3C。

-1D。

-7/3解析:f′(x)=3x^2+4,f′(1)=7,f(1)=10,y-10=7(x-1),y=7(x-1)+10时,x=7/3.答案:D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行;②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直,则必与另一条垂直;③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必与另一条相交。

A。

①②③B。

①③C。

①D。

②③解析:类比①的结论为:平行于同一个空间的两个平面平行,成立;类比②的结论为:一个空间如果与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直,成立;类比③的结论为:如果一个空间与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交,成立。

答案:A4.函数y=x^3-3x^2-9x(-2<x<2)有()A。

极大值5,极小值-27B。

极大值5,极小值-11C。

极大值5,无极小值D。

极小值-27,无极大值解析:y′=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1),得x=-1,x=3,当x0;当x>-1时,y′<0.当x=-1时,y极大值=5,x取不到3,无极小值。

答案:C5.函数y=4x^2+1/x的单调递增区间是()A。

(0,+∞)B。

(-∞,1)C。

(1,2)D。

(2,+∞)解析:令y′=8x-1/x^2=0,即x=1/2,y′(x)=8x-1/x^2>0,所以y=4x^2+1/x在(0,+∞)上单调递增。

人教A高中数学选修22新课改地区模块综合检测 含解析

人教A高中数学选修22新课改地区模块综合检测 含解析

模块综合检测一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数i2+i (i 为虚数单位)的虚部是( )A.15B.15iC.25i D.25解析:选D 因为i 2+i =i (2-i )(2+i )(2-i )=15+25i ,所以复数i 2+i的虚部为25,故选D.2.已知复数z =(2+i)(a +2i 3)在复平面内对应的点在第四象限,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1) B .(4,+∞) C .(-1,4)D .(-4,-1)解析:选C 复数z =(2+i)(a +2i 3)=(2+i)(a -2i)=2a +2+(a -4)i ,其在复平面内对应的点(2a +2,a -4)在第四象限,则2a +2>0,且a -4<0,解得-1<a <4,则实数a 的取值范围是(-1,4).故选C.3.函数f (x )=ln x -x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A .1-e B .-1 C .-eD .0解析:选B 因为f ′(x )=1x -1=1-x x ,当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,e]时,f ′(x )<0,所以f (x )的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x =1时,f (x )取得最大值ln 1-1=-1.4.若复数z =a1+i+1为纯虚数,则实数a =( ) A .-2 B .-1 C .1D .2解析:选A 因为复数z =a 1+i +1=a (1-i )(1+i )(1-i )+1=a 2+1-a 2i 为纯虚数,所以a2+1=0,且-a2≠0,解得a =-2.故选A.5.曲线y =x 3-2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A .30°B .45°C .60°D .120°解析:选B 由题意知点(1,3)在曲线y =x 3-2x +4上.∵y =x 3-2x +4,∴y ′=3x 2-2,根据导数的几何意义,可知曲线y =x 3-2x +4在点(1,3)处的切线的斜率k =y ′|x =1=1,∴曲线y =x 3-2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.6.已知i 是虚数单位,复数z 满足z2+z=i ,则复数z 在复平面内对应的点是( ) A.⎝⎛⎭⎫-12,12 B .(-1,1) C.⎝⎛⎭⎫12,-12 D .(1,-1)解析:选B 法一:因为z 2+z =i ,所以z =2i1-i =2i (1+i )2=-1+i ,所以复数z 在复平面内对应的点是(-1,1),故选B.法二:因为z 2+z =i ,所以z =2i1-i =-(1-i )21-i =-1+i ,所以复数z 在复平面内对应的点是(-1,1),故选B.7.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图,则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( ) A .(-∞,-2] B.⎣⎡⎭⎫12,+∞ C .[-2,3]D.⎣⎡⎭⎫98,+∞解析:选D 由题图可知d =0.不妨取a =1,∵f (x )=x 3+bx 2+cx ,∴f ′(x )=3x 2+2bx +c .由图可知f ′(-2)=0,f ′(3)=0,∴12-4b +c =0,27+6b +c =0,∴b =-32,c =-18.∴y =x 2-94x -6,y ′=2x -94. 当x >98时,y ′>0,∴y =x 2-94x -6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98,+∞.故选D. 8.已知函数f (x )=x 3-ax 在(-1,1)上单调递减,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,+∞) B .[3,+∞) C .(-∞,1]D .(-∞,3]解析:选B ∵f (x )=x 3-ax ,∴f ′(x )=3x 2-a .又f (x )在(-1,1)上单调递减,∴3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立,∴a ≥3,故选B.9.设函数f (x )在R 上可导,f (x )=x 2f ′(2)-3x ,则f (-1)与f (1)的大小关系是( ) A .f (-1)=f (1) B .f (-1)>f (1) C .f (-1)<f (1)D .不确定解析:选B 因为f (x )=x 2f ′(2)-3x ,所以f ′(x )=2xf ′(2)-3,则f ′(2)=4f ′(2)-3,解得f ′(2)=1,所以f (x )=x 2-3x ,所以f (1)=-2,f (-1)=4,故f (-1)>f (1).10.若不等式2x ln x ≥-x 2+ax -3对x ∈(0,+∞)恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0) B .(-∞,4] C .(0,+∞)D .[4,+∞)解析:选B 由2x ln x ≥-x 2+ax -3,得a ≤2ln x +x +3x ,设h (x )=2ln x +x +3x (x>0),则h ′(x )=(x +3)(x -1)x 2.当x ∈(0,1)时,h ′(x )<0,函数h (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )>0,函数h (x )单调递增,所以h (x )min =h (1)=4.所以a ≤h (x )min =4.故a 的取值范围是(-∞,4].11.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx 的大致图象如图所示,则x 21+x 22等于( ) A.23 B.43 C.83D.163解析:选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0),x 1,x 2是函数f (x )的极值点,因此1+b +c =0,8+4b +2c =0,解得b =-3,c =2,所以f (x )=x 3-3x 2+2x ,所以f ′(x )=3x 2-6x +2,则x 1,x 2是方程f ′(x )=3x 2-6x +2=0的两个不同的实数根,因此x 1+x 2=2,x 1x 2=23,所以x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4-43=83. 12.定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x ),若对任意的实数x ,都有2f (x )+xf ′(x )<2恒成立,则使x 2f (x )-f (1)<x 2-1成立的实数x 的取值范围为( ) A .{x |x ≠±1} B .(-∞,-1)∪(1,+∞) C .(-1,1)D .(-1,0)∪(0,1)解析:选B 构造函数g (x )=x 2f (x )-x 2,x ∈R ,则g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )-2x =x [2f (x )+xf ′(x )-2].由题意得2f (x )+xf ′(x )-2<0恒成立,故当x <0时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增;当x >0时,g ′(x )<0,函数g (x )单调递减.因为x 2f (x )-f (1)<x 2-1,所以x 2f (x )-x 2<f (1)-1,即g (x )<g (1),当x >0时,解得x >1; 当x <0时,因为f (x )是偶函数,所以g (x )是偶函数,同理解得x <-1.故实数x 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上) 13.已知复数z =(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是________. 解析:∵z =(1+i)(1+2i)=1+2i +i +2i 2=3i -1, ∴|z |=32+(-1)2=10.答案:1014.已知f (x )=xx 2+1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是________.解析:f (x )=xx 2+1的导数为f ′(x )=1-x 2(1+x 2)2,在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ′(1)=0,切点为⎝⎛⎭⎫1,12,所以在点(1,f (1))处的切线方程为y =12.答案:y =1215.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p 元,销量Q (单位:件)与零售价p (单位:元)有如下关系:Q =8 300-170p -p 2,则该商品零售价定为______元时利润最大,利润的最大值为______元. 解析:设商场销售该商品所获利润为y 元,则 y =(p -20)(8 300-170p -p 2)=-p 3-150p 2+11 700p -166 000(p ≥20), 则y ′=-3p 2-300p +11 700. 令y ′=0得p 2+100p -3 900=0, 解得p =30或p =-130(舍去).则p ,y ,y ′变化关系如下表:故当p =30时,y 取极大值为23 000元.又y =-p 3-150p 2+11 700p -166 000在[20,+∞)上只有一个极值,故也是最值.所以该商品零售价定为每件30元,所获利润最大为23 000元.答案:30 23 00016.已知函数g (x )满足g (x )=g ′(1)e x -1-g (0)x +12x 2,且存在实数x 0,使得不等式2m -1≥g (x 0)成立,则实数m 的取值范围为________. 解析:g ′(x )=g ′(1)e x -1-g (0)+x , 令x =1,得g ′(1)=g ′(1)-g (0)+1, ∴g (0)=1,g (0)=g ′(1)e 0-1=1,∴g ′(1)=e , ∴g (x )=e x -x +12x 2,g ′(x )=e x -1+x ,当x <0时,g ′(x )<0,当x >0时,g ′(x )>0, ∴当x =0时,函数g (x )取得最小值g (0)=1. 根据题意得2m -1≥g (x )min =1,∴m ≥1.答案:[1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题10分)(1)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 22+5i 3+4i ;(2)复数z =x +y i(x ,y ∈R)满足z +2i z =3+i ,求复数z .解:(1)原式=2i2+5i (3-4i )(3+4i )(3-4i )=i +5i (3-4i )32+42=i +4+3i 5=45+85i.(2)(x +y i)+2i(x -y i)=3+i ,即(x +2y )+(2x +y )i =3+i ,即⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =3,2x +y =1,解得⎩⎨⎧x =-13,y =53.∴z =-13+53i.18.(本小题12分)已知函数f (x )=13x 3-ax +b 在y 轴上的截距为1,且曲线上一点P ⎝⎛⎭⎫22,y 0处的切线斜率为13.(1)求曲线在P 点处的切线方程; (2)求函数f (x )的极大值和极小值.解:(1)因为函数f (x )=13x 3-ax +b 在y 轴上的截距为1,所以b =1.又y ′=x 2-a ,所以⎝⎛⎭⎫222-a =13,所以a =16,所以f (x )=13x 3-16x +1,所以y 0=f⎝⎛⎭⎫22=1,故点P ⎝⎛⎭⎫22,1,所以切线方程为 y -1=13⎝⎛⎭⎫x -22,即2x -6y +6-2=0.(2)由(1)可得f ′(x )=x 2-16,令f ′(x )=0,得x =±66.当x 变化时,f (x ),f ′(x )变化情况如下表:极小值为f⎝⎛⎭⎫66=1-654.19.(本小题12分)已知函数f (x )=ln x +1ax -1a(a ∈R 且a ≠0),讨论函数f (x )的单调性. 解:f ′(x )=ax -1ax 2(x >0),①当a <0时,f ′(x )>0恒成立,∴函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.②当a >0时,由f ′(x )=ax -1ax2>0,得x >1a ;由f ′(x )=ax -1ax 2<0,得0<x <1a ,∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ,+∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫0,1a 上单调递减. 综上所述,当a <0时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ,+∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫0,1a 上单调递减. 20.(本小题12分)已知函数f (x )=x 2-m ln x ,h (x )=x 2-x +a . (1)当a =0时,f (x )≥h (x )在(1,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(2)当m =2时,若函数k (x )=f (x )-h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a 的取值范围. 解:(1)由f (x )≥h (x ),得m ≤xln x在(1,+∞)上恒成立. 令g (x )=xln x ,则g ′(x )=ln x -1(ln x )2,当x ∈(1,e)时,g ′(x )<0; 当x ∈(e ,+∞)时,g ′(x )>0,所以g (x )在(1,e)上递减,在(e ,+∞)上递增. 故当x =e 时,g (x )的最小值为g (e)=e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(-∞,e]. (2)由已知可得k (x )=x -2ln x -a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x )=x -2ln x 与直线y =a 有两个不同的交点. φ′(x )=1-2x =x -2x,当x ∈(1,2)时,φ′(x )<0,φ(x )递减, 当x ∈(2,3)时,φ′(x )>0,φ(x )递增. 又φ(1)=1,φ(2)=2-2ln 2,φ(3)=3-2ln 3,要使直线y =a 与函数φ(x )=x -2ln x 有两个交点,则2-2ln 2<a <3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3).21.(本小题12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=(x -1)ln x -x -1.证明: (1)f (x )存在唯一的极值点;(2)f (x )=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 证明:(1)f (x )的定义域为(0,+∞), f ′(x )=x -1x +ln x -1=ln x -1x .因为y =ln x 在(0,+∞)上单调递增,y =1x 在(0,+∞)上单调递减,所以f ′(x )在(0,+∞)上单调递增.又f ′(1)=-1<0,f ′(2)=ln 2-12=ln 4-12>0,故存在唯一x 0∈(1,2),使得f ′(x 0)=0. 又当x <x 0时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >x 0时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )存在唯一的极值点. (2)由(1)知f (x 0)<f (1)=-2, 又f (e 2)=e 2-3>0,所以f (x )=0在(x 0,+∞)内存在唯一根x =α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝⎛⎭⎫1α=⎝⎛⎭⎫1α-1ln 1α-1α-1=f (α)α=0, 故1α是f (x )=0在(0,x 0)内的唯一根.所以f (x )=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.22.(本小题12分)两县城A 和B 相距20 km ,现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB上选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065. (1)将y 表示成x 的函数f (x );(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响最小?若存在,求出该点到城A 的距离;若不存在,说明理由.解:(1)根据题意∠ACB =90°,|AC |=x km ,|BC |=400-x 2 km ,且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2,对城B 的影响度为k 400-x 2,因此,总影响度y =4x 2+k 400-x 2(0<x <20). 又垃圾处理厂建在的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065,故有4(102+102)2+k400-(102+102)2=0.065,解得k =9,故y =f (x )=4x 2+9400-x 2(0<x <20).(2)f ′(x )=-8x 3+18x (400-x 2)2=18x 4-8×(400-x 2)2x 3(400-x 2)2=(x 3+800)(10x 2-1 600)x 3(400-x 2)2.令f ′(x )=0,解得x =410或x =-410(舍去). 所以当x ∈(0,410)时,f ′(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(410,20)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数.故在x =410处,函数f (x )取得极小值,也是最小值.即垃圾场离城A 的距离为410 m 时,对城A 和城B 的总影响最小.。

人教A版数学选修2-2习题 模块综合评价(二) Word版含答案

人教A版数学选修2-2习题 模块综合评价(二) Word版含答案

模块综合评价(二)(时间:分钟满分:分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求).(·课标全国Ⅰ卷)设复数满足=,则=( )..解析:由=得===,所以=.答案:.若=θ-θ,则使=-的θ值可能是( )..π.π解析:=( θ-θ)=θ-θ,又=-,所以θ=-,θ=,检验知θ=.答案:.设()=+,则′()等于( )..+)+.解析:′()=+),所以′()=+)=+ .答案:.用数学归纳法证明“+++…+<(∈*,>)”时,由=(>)不等式成立,推证=+时,左边应增加的项数是( ).-.-..+解析:左边的特点是分母逐渐增加,末项为;由=时,末项为到=+时末项为=,所以应增加的项数为.答案:.用反证法证明命题:“若,∈,能被整除,那么,中至少有一个能被整除”时,假设应为( ).,都能被整除.,都不能被整除.不能被整除.,不都能被整除解析:因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”.答案:.若>,>,且函数()=--+在=处有极值,则的最大值等于( )....解析:因为′()=--,又因为在=处有极值,所以+=,因为>,>,所以≤=,当且仅当==时取等号,所以的最大值等于.答案:.观察数列,,,,,,,,,,…的特点,按此规律,则第项为( )....解析:设∈*,则数字共有个,所以≤,即(+)≤,又因为∈*,所以=,到第个时共有=项,从第项开始为,故第项为.答案:.已知函数()=-+--在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数的取值范围是( ).(-∞,-)∪(,+∞).(-,).(-∞,-)∪[,+∞).解析:′()=-+-,因为()在(-∞,+∞)上是单调函数,且′()的图象是开口向下的抛物线,所以′()≤恒成立,所以Δ=-≤,所以-≤≤.答案:.若()=+(),则()=( ).-.-.解析:设()=,则()=+,=()=(+)==+,解得=-.答案:.已知函数()的导函数′()=(-)+的图象如图所示,则函数()的图象可能是( )解析:由导函数图象可知,当<时,函数()递减,排除,;当<<时,′()>,函数()递增.因此,当=时,()取得极小值,所以选项正确.答案:.已知函数()满足()=,导函数′()的图象如图所示,则()的图象与轴围成的封闭图形的面积为( )。

高中数学人教A版选修2-2习题 模块综合检测(能力卷) Word版含答案

高中数学人教A版选修2-2习题 模块综合检测(能力卷) Word版含答案

模块综合检测(能力卷)时间分钟,满分分.一、选择题(本大题共个小题,每小题分,共分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的).曲线=-在点(-,-)处的切线方程是( ).=-.=+.=-.=+[答案][解析]′=-=(-)=-=,∴切线方程为+=+,即=-..设=+,则复数=--(-)在复平面上的对应点在( ).第一象限.第二象限.第四象限.第三象限[答案][解析]∵=+,∴==,∴=+--(-)=(--)+(+)=-+.∴复数在复平面上的对应点在第二象限,故应选..若函数()=++的图象的顶点在第四象限,则函数′()的图象是( )[答案][解析]∵′()=+为增函数,∴排除、;又()的顶点在第四象限,∴->,∴<,排除,故选..定义复数的一种运算*(等式右边为普通运算),若复数=+,为的共轭复数,且正实数,满足+=,则*的最小值为( ).[答案][解析]由题意可得*===,∵正实数,满足+=,∴=-,∴==,由二次函数可知当=时,上式取最小值.故选..(·宜春高二检测)已知函数()=++,令()=′(),()=′(),()=′(),…,+()=′(),则()=( ).+.+.-+.-+[答案] [解析]()=′()=++,()=′()=-++×,()=′()=-++××,…,∴()=+..函数()=-(∈[])的最大值是( ).-..[答案][解析]由′()=-=得,=±,∵∈[],∴=,∵当∈[,],′()>,当∈[,]时,′()<,∴()在[,]上单调递增,在[,]上单调递减,故=时,()取到极大值也是最大值,()=×-×()=,故选..(·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数图象恰好经过个格点,则称函数为阶格点函数.已知函数:①=; ②=(+);③=-; ④=.其中为一阶格点函数的序号为( ).①②.②③.①③.②④[答案][解析]对于①,注意到=的值域是[-];当=时,=π(∈),此时相应的整数=;当=±时,=π+(∈),此时没有相应的整数,因此函数=仅过唯一的整点(),该函数是一阶格点函数.同理可知,对于②,函数=(+)不是一阶格点函数.对于③,令=-=(∈)得=+>,=(+),仅当=时,=∈,因此函数=-是一阶格点函数.对于④,注意到函数=的图象经过多个整点,如点(),(),因此函数=不是一阶格点函数.综上所述知选..(·淄博高二检测)下列求导运算正确的是( ).()′=·-.()′=.(-)′=-.()′=[答案][解析]对于,()′=;对于,()′=;对于,(-)′=+;对于,()′=;综上可知选..古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷A(含答案)

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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修2-2综合测试卷A (含答案)考试范围:xxx ;考试时间:100分钟;命题人:xxx 题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、选择题(题型注释)1.若函数2()cos f x x x =-,则'()f α等于( ) A.sin α B.cos αC.2sin αα+D. 2sin αα-2.在平面几何里,有勾股定理:“设A B C ∆的两边AC AB ,互相垂直,则222BC AC AB =+”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直”,则可得 ( ) A 、222222BD CD BC AD AC AB ++=++B 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯ C 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++D 、222222BD CD BC AD AC AB ⨯⨯=⨯⨯3.已知数列:,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11…,依前10项的规律,这个数列的第200项200a 满足( )A .20001a <<B .2001 1.5a ≤<C .2001.52a ≤<D .20015a >4.已知a b c ++>0,ab bc ac ++>0,abc >0,用反证法求证a >0, b >0,c>0的假设为 A.,,a b c 不全是正数 B.a<0,b<0,c<0 C.a ≤0,b>0,c>0 D.abc<0 5.用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是A .0a b 、至少有一个为 B .0a b 、至少有一个不为C .0a b 、全不为D .0a b 、中只有一个为 6.下列求导运算正确的是(A )22[(3)(1)]326x x x x '-+=-+ (B )(sin cos )cos sin x x x x '-=- (C )3()2x x x x e x e '-=- (D )212()1(1)x x x -'=-++ 7.用反证法证明:某方程“至多有一个解”中,假设正确的是:该方程 ( )A .无解B .有一个解C .有两个解D .至少有两个解8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n 个 图案中有白色地面砖的块数是 ( )A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9.已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点(1,2)处的切线与()f x 的图像有三个公共点,则a 的取值范围是( ) A .[8,425)--+ B .(425,425)---+ C .(425,8]-+ D .(425,8]---10.若函数)(log )(3ax x x f a -=)1,0(≠>a a 在区间21(-,0)内单调递增,则a 取值范围是( )A.[41,1)B.[43,1)C.49(,)+∞D.(1,49)第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题(题型注释)11.函数xxy 2sin=的导数为________.12.如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为1n(2n ≥),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如111122=+,111236=+,1113412=+,…,则第8行第4个数(从左往右数)为 .13.复数(2)i i +的虚部是 .14.已知)1(3)1()(//23-++=xf f x x x f ,则)1()1(//-+ff 的值为 15.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集。

最新整理春高中数学人教A版选修2-2习题-模块综合测评(二) Word版含答案.doc

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模块综合测评(二) 选修2-2(B 卷)(时间:90分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=( )A .192B .202C .212D .222解析:归纳得13+23+33+43+53+63=()1+2+…+62=212. 答案:C2.复数⎝⎛⎭⎪⎫3-i 1+i 2=( ) A .-3-4i B .-3+4i C .3-4iD .3+4i解析:⎝⎛⎭⎪⎫3-i 1+i 2=8-6i2i =-3-4i. 答案:A3.函数y =(sin x 2)3的导数是( ) A .y ′=3x sin x 2·sin2x 2 B .y ′=3(sin x 2)2 C .y ′=3(sin x 2)2cos x 2 D .y ′=6sin x 2cos x 2解析:y ′=[(sin x 2)3]′=3(sin x 2)2·(sin x 2)′=3(sin x 2)2·cos x 2·2x =3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2=3x ·sin x 2·sin2x 2,故选A.答案:A4.设函数f (x )的导函数为f ′(x ),且f (x )=x 2+2x ·f ′(1).则f ′(0)等于( )A .0B .-4C .-2D .2解析:因为f (x )=x 2+2x ·f ′(1),所以f ′(x )=2x +2f ′(1),f ′(0)=2f ′(1).因为f ′(1)=2+2f ′(1),所以f ′(1)=-2,故f ′(0)=-4.答案:B5.观察下列各等式:55-4+33-4=2,22-4+66-4=2,77-4+11-4=2,1010-4+-2-2-4=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( )A.nn -4+8-n (8-n )-4=2 B.n +1(n +1)-4+(n +1)+5(n +1)-4=2 C.nn -4+n +4(n +4)-4=2 D.n +1(n +1)-4+n +5(n +5)-4=2 答案:A6.已知函数y =xf ′(x )的图象如图所示,其中f ′(x )是函数f (x )的导函数,函数y =f (x )的图象大致是图中的( )ABCD解析:由y=xf′(x)的图象可得当x<-1时,f′(x)>0,所以当x <-1时f(x)为增函数;当-1<x<0时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,0)上为减函数;当0<x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上为减函数;当x>1时,f′(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,所以选择C.答案:C7.若f (x )=ln xx ,0<a <b <e ,则有( ) A .f (a )>f (b ) B .f (a )=f (b ) C .f (a )<f (b )D .f (a )·f (b )>1解析:f ′(x )=1-ln xx 2,在(0,e)上,f ′(x )>0, ∴f (x )在(0,e)上为增函数. ∴f (a )<f (b ). 答案:C8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图,则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是( )A .(-∞,-2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ C .[-2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98,+∞ 解析:由题图可知d =0.不妨取a =1, ∵f (x )=x 3+bx 2+cx ,∴f ′(x )=3x 2+2bx +c . 由图可知f ′(-2)=0,f ′(3)=0, ∴12-4b +c =0,27+6b +c =0, ∴b =-1.5,c =-18. ∴y =x 2-94x -6,y ′=2x -94.当x >98时,y ′>0,∴y =x 2-94x -6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98,+∞.故选D. 答案:D9.已知函数f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴相切于点(1,0),则f (x )的( )A .极大值为427,极小值为0 B .极大值为0,极小值为-427 C .极小值为-527,极大值为0 D .极小值为0,极大值为527解析:由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)=0,f (1)=0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3-2p -q =0,1-p -q =0.所以⎩⎪⎨⎪⎧p =2,q =-1.所以f (x )=x 3-2x 2+x ,进而可求得f (1)是极小值,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13是极大值.答案:A10.设函数f (x )=sin θ3x 3+3cos θ2x 2+tan θ,其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,5π12,则导数f ′(1)的取值范围是( )A .[-2,2]B .[2,3]C .[3,2]D .[2,2]解析:∵f ′(x )=sin θx 2+3cos θx ,f ′(1)=sin θ+3cos θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3, ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,5π12,∴θ+π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,3π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,1.∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3∈[2,2].答案:D第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11.设f (z )=z ,且z 1=1+5i ,z 2=-3+2i ,则f (z 1-z 2)的值是__________.解析:∵z 1-z 2=(1+5i)-(-3+2i)=4+3i , ∴z 1-z 2=4-3i.∵f (z )=z ,∴f (4-3i)=4-3i =4+3i. 答案:4+3i12.设函数y =ax 2+bx +k (k >0)在x =0处取得极值,且曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线x +2y +1=0,则a +b 的值为__________.解析:函数y =ax 2+bx +k (k >0)在x =0处取得极值,得x =0是导函数2ax +b =0的解,则b =0,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线x +2y +1=0,得2a +b =2,所以a =1,a +b =1.答案:113.由曲线y =(x -2)2+1,横坐标轴及直线x =3,x =5围成的图形的面积等于__________.解析:S =⎠⎛35[(x -2)2+1]d x=⎠⎛35(x 2-4x +5)d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33-2x 2+5x |53=323. 答案:32314.观察下列等式: 1=1 13=1 1+2=3 13+23=9 1+2+3=6 13+23+33=36 1+2+3+4=10 13+23+33+43=100 1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225…可以推测:13+23+33+…+n 3=__________.(n ∈N *,用含有n 的代数式表示)解析:观察对比左右数列,可以发现右边是左边的平方,所以13+23+33+…+n 3=(1+2+…+n )2=n 2(n +1)24. 答案:n 2(n +1)24三、解答题:本大题共4小题,满分50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)设函数f (x )=-13x 3+x 2+(m 2-1)x (x ∈R ),其中m >0. (1)当m =1时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率; (2)求函数f (x )的单调区间与极值.解:(1)当m =1时,f (x )=-13x 3+x 2, f ′(x )=-x 2+2x ,2分 故f ′(1)=1.所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为1.4分 (2)f ′(x )=-x 2+2x +m 2-1.令f ′(x )=0,解得x =1-m 或x =1+m .6分 因为m >0,所以1+m >1-m .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )在(-∞,1-m ),(1+m ,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m )内是增函数.10分函数f (x )在x =1-m 处取得极小值f (1-m ),且f (1-m )=-23m 3+m 2-13.函数f (x )在x =1+m 处取得极大值f (1+m ),且 f (1+m )=23m 3+m 2-13.12分16. (12分)在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥底面ABCD ; (2)求四棱锥P -ABCD 的体积;(3)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a ×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1.试计算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的值;说明其与四棱锥P -ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的几何意义.解:(1)∵AP →·AB →=-2-2+4=0,∴AP ⊥AB . 又∵AP →·AD →=-4+4+0=0, ∴AP ⊥AD .2分∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线, ∴AP ⊥底面ABCD .4分 (2)设AB →与AD →的夹角为θ,则cos θ=AB →·AD →|AB →|·|AD →|=8-24+1+16·16+4=3105.6分V =13|AB →|·|AD →|·sin θ·|AP →|=23105·1-9105·1+4+1=16.8分(3)|(AB →×AD →)·AP →|=|-4-32-4-8|=48,它是四棱锥P -ABCD 体积的3倍.10分猜测:|(AB →×AD →)·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积).12分17. (12分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y =1128 000x 3-380x +8(0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?解:(1)当x =40时,汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时,要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403-380×40+8×2.5=17.5(升).即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.4分(2)当速度为x 千米/时,汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时,设耗油量为h (x )升,依题意得:h (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3-380x +8·100x =11 280x 2+800x -154(0<x ≤120),7分h ′(x )=x 640-800x 2=x 3-803640x 2(0<x ≤120).8分令h ′(x )=0,得x =80.当x ∈(0,80)时,h ′(x )<0,h (x )是减函数; 当x ∈(80,120)时,h ′(x )>0,h (x )是增函数.10分 ∴当x =80时,h (x )取到极小值h (80)=11.25. ∵h (x )在(0,120]上只有一个极值,∴它是最小值.即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.12分18. (14分)已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=1x2-1+a.(1)若f(x)的一个极值点到直线l:22x+y+a+5=0的距离为1,求a的值;(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数.解:(1)由f′(x)=2xx2+1=0,得x=0,1分故f(x)仅有一个极小值点M(0,0),2分根据题意得:d=|5+a|3=1.∴a=-2或a=-8.4分(2)令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x2+1)-1x2-1-a,h′(x)=2xx2+1+2x(x2-1)2=2x⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x2+1+1(x2-1)2.6分当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)≥0,当x∈(-∞,-1)∪(-1,0)时,h′(x)<0.因此,h(x)在(-∞,-1),(-1,0)上时,h(x)单调递减,在(0,1),(1,+∞)上时,h(x)单调递增.8分又h(x)为偶函数,当x∈(-1,1)时,h(x)的极小值为h(0)=1-a. 当x→-1-时,h(x)→-∞,当x→-1+时,h(x)→+∞,当x→-∞时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞.10分故f(x)=g(x)的根的情况为:当1-a>0时,即a<1时,原方程有2个根;当1-a=0时,即a=1时,原方程有3个根.当1-a<0时,即a>1时,原方程有4个根.14分。

高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

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模块综合评价(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(1+i)16-(1-i)16=() A .-256B .256i C .0 D .256解析:(1+i)16-(1-i)16=[(1+i)2]8-[(1-i)2]8=(2i)8-(-2i)8=0. 答案:C2.已知函数f (x )=ln x -x ,则函数f (x )的单调递减区间是() A .(-∞,1) B .(0,1)C .(-∞,0),(1,+∞)D .(1,+∞)解析:f ′(x )=1x -1=1-xx,x >0.令f ′(x )<0,解得x >1.答案:D3.设f (x )=10x+lg x ,则f ′(1)等于( ) A .10 B .10ln 10+lg e C.10ln 10+ln 10 D .11ln 10解析:f ′(x )=10x ln 10+1x ln 10,所以f ′(1)=10ln 10+1ln 10=10ln 10+lg e. 答案:B4.若函数f (x )满足f (x )=e xln x +3xf ′(1)-1,则f ′(1)=() A .-e 2B .-e3C .-eD .e解析:由已知可得f ′(x )=e xln x +exx+3f ′(1),令x =1,则f ′(1)=0+e +3f ′(1),解得f ′(1)=-e2.答案:A5.用反证法证明命题:“若a ,b ∈N ,ab 能被3整除,那么a ,b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A .a ,b 都能被3整除B .a ,b 都不能被3整除C .a ,b 不都能被3整除D .a 不能被3整除解析:因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”. 答案:B6.若a >0,b >0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx +2在x =1处有极值,则ab 的最大值等于( )A .2B .3C .6D .9解析:因为f ′(x )=12x 2-2ax -2b ,又因为在x =1处有极值,所以a +b =6,因为a >0,b >0,所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=9,当且仅当a =b =3时取等号,所以ab 的最大值等于9.答案:D7.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,按此规律,则第100项为( ) A .10B .14C .13D .100解析:设n ∈N *,则数字n 共有n 个,所以n (n +1)2≤100,即n (n +1)≤200,又因为n ∈N *,所以n =13,到第13个13时共有13×142=91项,从第92项开始为14,故第100项为14.答案:B8.某工厂要建造一个长方体的无盖箱子,其容积为48 m 3,高为3 m ,如果箱底每平方米的造价为15元,箱侧面每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为()A .900元B .840元C .818元D .816元解析:设箱底一边的长度为x m ,箱子的总造价为l 元,根据题意,得l =15×483+12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +48x =240+72⎝ ⎛⎭⎪⎫x +16x (x >0),l ′=72⎝ ⎛⎭⎪⎫1-16x 2.令l ′=0,解得x =4或x =-4(舍去).当0<x <4时,l ′<0;当x >4时,l ′>0.故当x =4时,l 有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m 的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元.故选D.答案:D8.某工厂要建造一个长方体的无盖箱子,其容积为48 m 3,高为3 m ,如果箱底每平方米的造价为15元,箱侧面每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为()A .900元B .840元C .818元D .816元解析:设箱底一边的长度为x m ,箱子的总造价为l 元,根据题意,得l =15×483+12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +48x =240+72⎝ ⎛⎭⎪⎫x +16x (x >0),l ′=72⎝ ⎛⎭⎪⎫1-16x 2.令l ′=0,解得x =4或x =-4(舍去).当0<x <4时,l ′<0;当x >4时,l ′>0.故当x =4时,l 有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m 的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元.答案:D10.证明不等式n 2+n ≤n +1(n ∈N *),某学生的证明过程如下: (1)当n =1时,12+1≤1+1,不等式成立;(2)假设n =k (k ∈N *且k ≥1)时,不等式成立,即 k 2+k ≤k +1,则当n =k +1时,(k +1)2+(k +1)= k 2+3k +2≤k 2+3k +2+(k +2)=(k +2)2=(k +1)+1.所以当n =k +1时,不等式成立.上述证法( ) A .过程全都正确 B .n =1时验证不正确 C .归纳假设不正确D .从n =k 到n =k +1的推理不正确解析:验证及归纳假设都正确,但从n =k 到n =k +1的推理中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.答案:D11.已知函数f (x )满足f (0)=0,导函数f ′(x )的图象如图所示,则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C .2D.83解析:由f ′(x )的图象知,f ′(x )=2x +2, 设f (x )=x 2+2x +c ,由f (0)=0知,c =0, 所以f (x )=x 2+2x ,由x 2+2x =0得x =0或x =-2. 故所求面积S =-∫0-2(x 2+2x )d x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3+x 2|0-2=43.答案:B12.已知定义在R 上的奇函数f (x ),设其导数为f ′(x ),当x ∈(-∞,0]时,恒有xf ′(x )<f (-x ),令F (x )=xf (x ),则满足F (3)>F (2x -1)的实数x 的取值X 围为()A .(-1,2) B.⎝⎛⎭⎪⎫-1,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2D .(-2,1) 解析:因为f (x )是奇函数,所以不等式xf ′(x )<f (-x )等价于xf ′(x )<-f (x ),即xf ′(x )+f (x )<0,即F ′(x )<0.当x ∈(-∞,0]时,函数F (x )单调递减;由于F (x )=xf (x )为偶函数,所以F (x )在[0,+∞)上单调递增.所以F (3)>F (2x -1)等价于F (3)>F (|2x -1|), 即3>|2x -1|,解得-1<x <2. 答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.复数z =(1+2i)(3-i),其中i 为虚数单位,则z 的实部是________. 解析:因为z =(1+2i)(3-i)=3-i +6i -2i 2=5+5i ,所以z 的实部是5. 答案:514.在△ABC 中,D 为边BC 的中点,则AO →=12(AB →+AC →).将上述命题类比到四面体中去,得到一个类比命题:_______________.解析:将“△ABC ”类比为“四面体A ­BCD ”,将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”,于是有类比结论:在四面体A ­BCD 中,G 为△BCD 的重心,则AG →=12(AB →+AC →+AD →).答案:在四面体A ­BCD 中,G 为△BCD 的重心,则AG →=12(AB →+AC →+AD →)15.若函数f (x )=x 2+ax +1在x =1处取得极值,则a =____________.解析:f ′(x )=2x (x +1)-(x 2+a )(x +1)2=x 2+2x -a (x +1)2,令f ′(x )=0,则x 2+2x -a =0,x ≠-1.又f (x )在x =1处取得极值,所以x =1是x 2+2x -a =0的根,所以a =3.答案:316.下列四个命题中,正确的为________(填上所有正确命题的序号). ①若实数a ,b ,c 满足a +b +c =3,则a ,b ,c 中至少有一个不小于1; ②若z 为复数,且|z |=1,则|z -i|的最大值等于2; ③对任意x ∈(0,+∞),都有x >sin x ; ④定积分∫π0π-x 2d x =π24.解析:①若实数a ,b ,c 满足a +b +c =3,则用反证法证明,假设a ,b ,c 都小于1,则a +b +c <3,与已知矛盾,故可得a ,b ,c 中至少有一个不小于1,故①正确;②若z 为复数,且|z |=1,则由|z -i|≤|z |+|-i|=2,可得|z -i|的最大值等于2,故②正确;③令y =x -sin x ,其导数为y ′=1-cos x ,y ′≥0,所以y =x -sin x 在R 上为增函数,当x =0时,x -sin x =0,所以对任意x ∈(0,+∞),都有x -sin x >0,故③正确.④定积分∫π0π-x 2d x 表示以原点为圆心,π为半径的圆的面积的四分之一,故④正确.答案:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a ∈R,问复数z =(a 2-2a +4)-(a 2-2a +2)i 所对应的点在第几象限?复数z 对应点的轨迹是什么?解:由a 2-2a +4=(a -1)2+3≥3. -(a 2-2a +2)=-(a -1)2-1≤-1. 知z 的实部为正数,虚部为负数, 所以复数z 的对应点在第四象限.设z =x +y i(x ,y ∈R),则⎩⎪⎨⎪⎧x =a 2-2a +4,y =-(a 2-2a +2), 因为a 2-2a =(a -1)2-1≥-1, 所以x =a 2-2a +4≥3,消去a 2-2a ,得y =-x +2(x ≥3), 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线, 其方程为y =-x +2(x ≥3). 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=1x +2,a ,b ∈(0,+∞). (1)用分析法证明:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23;(2)设a +b >4,求证:af (b ),bf (a )中至少有一个大于12.证明:(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23,只需证明1a b+2+1b a+2≤23, 只需证明b a +2b +ab +2a ≤23,即证b 2+4ab +a 22a 2+5ab +2b 2≤23,即证(a -b )2≥0,这显然成立,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b ),bf (a )都小于或等于12,即a b +2≤12,b a +2≤12,所以2a ≤b +2,2b ≤a +2,两式相加得a +b ≤4, 这与a +b >4矛盾,所以af (b ),bf (a )中至少有一个大于12.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ex +2(x 2-3).(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)求函数y =f (x )的极值. 解:(1)函数f (x )=e x +2(x 2-3),则f ′(x )=ex +2(x 2+2x -3)=ex +2(x +3)(x -1),故f ′(0)=-3e 2,又f (0)=-3e 2,故曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y +3e 2=-3e 2(x -0),即3e 2x +y +3e 2=0.(2)令f ′(x )=0,可得x =1或x =-3, 如下表:↗↘↗所以当x =-3时,函数取极大值,极大值为f (-3)=e ,当x =1时,函数取极小值,极小值为f (1)=-2e 3.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12x 2+ln x .(1)求函数f (x )在[1,e]上的最大值,最小值;(2)求证:在区间[1,+∞)上,函数f (x )的图象在函数g (x )=23x 3图象的下方.解:(1)由f (x )=12x 2+ln x 有f ′(x )=x +1x ,当x ∈[1,e]时,f ′(x )>0,所以f (x )max =f (e)=12e 2+1.f (x )min =f (1)=12.(2)设F (x )=12x 2+ln x -23x 3,则F ′(x )=x +1x -2x 2=(1-x )(1+x +2x 2)x,当x ∈[1,+∞)时,F ′(x )<0,且F (1)=-16<0故x ∈[1,+∞)时F (x )<0,所以12x 2+ln x <23x 3,得证.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12x 2+(1-a )x -a ln x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)设a >0,证明:当0<x <a 时,f (a +x )<f (a -x ); (3)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22>0.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),由已知,得f ′(x )=x +1-a -a x =x 2+(1-a )x -ax=(x +1)(x -a )x.若a ≤0,则f ′(x )>0,此时f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则令f ′(x )=0,得x =a .当0<x <a 时,f ′(x )<0;当x >a 时,f ′(x )>0.此时f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增.综上,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增.(2)令g (x )=f (a +x )-f (a -x ),则g (x )=12(a +x )2+(1-a )(a +x )-a ln(a +x )- [12(a -x )2+(1-a )(a -x )-a ln(a -x )]=2x -a ln(a +x )+a ln(a -x ).所以g ′(x )=2-a a +x -aa -x =2x2x 2-a 2.当0<x <a 时,g ′(x )<0,所以g (x )在(0,a )上是减函数. 而g (0)=0,所以g (x )<g (0)=0.故当0<x <a 时,f (a +x )<f (a -x ).(3)由(1)可知,当a ≤0时,函数f (x )至多有一个零点, 故a >0,从而f (x )的最小值为f (a ),且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2,则0<x 1<a <x 2,所以0<a -x 1<a . 由(2)得f (2a -x 1)<f (x 1)=0=f (x 2), 从而x 2>2a -x 1,于是x 1+x 22>a .由(1)知,f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22>0.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n 2a n (n ∈N *). (1)试求出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出a n 的表达式. 解:(1)因为a n =S n -S n -1(n ≥2) 所以S n =n 2(S n -S n -1),所以S n =n 2n 2-1S n -1(n ≥2) 因为a 1=1,所以S 1=a 1=1. 所以S 2=43,S 3=32=64,S 4=85,猜想S n =2n n +1(n ∈N *). (2)①当n =1时,S 1=1成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,等式成立,即S k =2k k +1, 当n =k +1时,S k +1=(k +1)2·a k +1=a k +1+S k =a k +1+2k k +1, 所以a k +1=2(k +2)(k +1),所以S k +1=(k +1)2·a k +1=2(k +1)k +2=2(k +1)(k +1)+1.所以n =k +1时等式也成立,得证.所以根据①、②可知,对于任意n ∈N *,等式均成立. 由S n =n 2a n ,得2n n +1=n 2a n ,所以a n =2n (n +1).。

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模块综合试卷(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在复平面内,复数z =2i1+i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限考点 共轭复数的定义与应用 题点 共轭复数与点的对应 答案 D解析 ∵z =2i1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i ,∴z =1-i ,∴z 在复平面内对应的点位于第四象限.2.曲线y =sin x +e x (其中e =2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为( ) A .2 B .3 C.13D.12考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 A解析 ∵y ′=cos x +e x ,∴k =y ′|x =0=cos 0+e 0=2,故选A. 3.观察下列等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A .9(n +1)+n =10n +9 B .9(n -1)+n =10n -9 C .9n +(n -1)=10n -1 D .9(n -1)+(n -1)=10n -10 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 注意观察每一个等式与n 的关系,易知选项B 正确. 4.ʃ2π0|sin x |dx 等于( )A .0B .1C .2D .4考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D解析 ʃ2π0|sin x |dx =ʃπ0sin xdx +ʃ2ππ(-sin x )d x =-cos x |π0+cos x |2ππ=1+1+1+1=4.5.已知在正三角形ABC 中,若D 是BC 边的中点,G 是三角形ABC 的重心,则AGGD =2.若把该结论推广到空间,则有:在棱长都相等的四面体ABCD 中,若三角形BCD 的重心为M ,四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等,则AOOM 等于( )A .1B .2C .3D .4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C解析 由题意知,O 为正四面体的外接球和内切球的球心.设正四面体的高为h ,由等体积法可求得内切球的半径为14h ,外接球的半径为34h ,所以AOOM =3.6.函数f (x )=3x -4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B .-1 C .0D .1考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由f ′(x )=3-12x 2=3(1+2x )(1-2x )=0,解得x =±12,∵-12∉[0,1](舍去).当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,f ′(x )>0, 当x ∈⎝⎛⎭⎫12,1时,f ′(x )<0, ∴f (x )在[0,1]上的极大值为 f ⎝⎛⎭⎫12=32-4×⎝⎛⎭⎫123=1.又f (0)=0,f (1)=-1,∴函数最大值为1.7.若函数f (x )=ax 2+ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0) B .(-∞,1) C .(0,+∞)D .(1,+∞)考点 导数与曲线的切线问题 题点 切线存在性问题 答案 A解析 易知f ′(x )=2ax +1x(x >0).若函数f (x )=ax 2+ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线, 则2ax +1x =0存在大于0的实数根,即a =-12x2<0.8.对“a ,b ,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2≠0;②a =b 与b =c 及a =c 中至少有一个成立; ③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为( ) A .0 B .1 C .2D .3 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B解析 若(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2=0,则a =b =c ,与“a ,b ,c 是不全相等的正数”矛盾,故①正确.a =b 与b =c 及a =c 中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a ,b ,c 是不全相等的正数”,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故③不正确. 9.某工厂要建造一个长方体的无盖箱子,其容积为48 m 3,高为3 m ,如果箱底每平方米的造价为15元,箱侧面每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为( ) A .900元 B .840元 C .818元D .816元 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 D解析 设箱底一边的长度为x m ,箱子的总造价为l 元,根据题意,得l =15×483+12×2⎝⎛⎭⎫3x +48x =240+72⎝⎛⎭⎫x +16x (x >0),l ′=72⎝⎛⎭⎫1-16x 2. 令l ′=0,解得x =4或x =-4(舍去). 当0<x <4时,l ′<0;当x >4时,l ′>0. 故当x =4时,l 有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m 的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元.故选D. 10.已知定义在R 上的奇函数f (x ),设其导数为f ′(x ),当x ∈(-∞,0]时,恒有xf ′(x )<f (-x ),令F (x )=xf (x ),则满足F (3)>F (2x -1)的实数x 的取值范围为( ) A .(-1,2) B.⎝⎛⎭⎫-1,12 C.⎝⎛⎭⎫12,2D .(-2,1)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 已知函数值大小求未知数 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数,∴不等式xf ′(x )<f (-x )等价于xf ′(x )<-f (x )即xf ′(x )+f (x )<0, ∵F (x )=xf (x ),∴F ′(x )=xf ′(x )+f (x ),即当x ∈(-∞,0]时,F ′(x )<0,函数F (x )为减函数. ∵f (x )是奇函数,∴F (x )=xf (x )为偶函数,且当x >0时,为增函数,即不等式F (3)>F (2x -1)等价于F (3)>F (|2x -1|),∴|2x -1|<3,∴-3<2x -1<3,得-1<x <2,故选A.11.若由曲线y =x 2+1,直线x +y =3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S ,则S 等于( )A.73B.83 C .3 D.103考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2+1,x +y =3,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =5,所以所求面积为图中阴影部分的面积.所以S =ʃ10(x 2+1)d x +ʃ31(3-x )d x =13+1+⎝⎛⎭⎫9-92-⎝⎛⎭⎫3-12=103. 12.已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )=(e x -1)(x -1)k (k =1,2),则( )A .当k =1时,f (x )在x =1处取到极小值B .当k =1时,f (x )在x =1处取到极大值C .当k =2时,f (x )在x =1处取到极小值D .当k =2时,f (x )在x =1处取到极大值 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值 答案 C解析 当k =1时,f ′(x )=e x ·x -1,f ′(1)≠0, ∴x =1不是f (x )的极值点.当k =2时,f ′(x )=(x -1)(x e x +e x -2), 显然f ′(1)=0,且在x =1附近的左侧f ′(x )<0, 在x =1附近的右侧f ′(x )>0, ∴f (x )在x =1处取到极小值.故选C .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 5解析 z =(2-i)2=3-4i ,所以|z |=|3-4i|=32+(-4)2=5.14.已知不等式1-3x +a <0的解集为(-1,2),则ʃ20⎝⎛⎭⎫1-3x +a d x =________. 考点 利用微积分基本定理求定积分 考点 利用微积分基本定理求定积分 答案 2-3ln 3解析 由1-3x +a <0,得-a <x <3-a ,又不等式1-3x +a<0的解集为(-1,2),∴⎩⎪⎨⎪⎧-a =-1,3-a =2,解得a =1, ∴ʃ20⎝⎛⎭⎫1-3x +a d x =ʃ20⎝⎛⎭⎫1-3x +1d x =[x -3l n (x +1)]|20=2-3ln 3.15.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a 的取值范围是________.考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数 答案 [-3,3]解析 依题意可知函数f (x )在(-∞,+∞)上是减函数, 所以f ′(x )=-3x 2+2ax -1≤0在(-∞,+∞)上恒成立, 则Δ=4a 2-12≤0,解得-3≤a ≤ 3.16.如图所示的数阵中,第20行第2个数字是________.1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n ,其中a 1=1,则由数阵可知a n +1-a n =n ,∴a 20=(a 20-a 19)+(a 19-a 18)+…+(a 2-a 1)+a 1 =19+18+…+1+1=19×202+1=191,∴1a 20=1191. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知复数z 满足|z |=2,z 的虚部为1,且在复平面内表示的点位于第二象限. (1)求复数z ;(2)若m 2+m +mz 2是纯虚数,求实数m 的值. 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 解 (1)设z =a +b i(a ,b ∈R ), 则a 2+b 2=2,b =1.因为在复平面内表示的点位于第二象限,所以a <0, 所以a =-1,b =1,所以z =-1+i. (2)由(1)得z =-1+i ,所以z 2=(-1+i)2=-2i , 所以m 2+m +mz 2=m 2+m -2m i. 又因为m 2+m +mz 2是纯虚数,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m =0,-2m ≠0,所以m =-1.18.(12分)已知a >5,求证:a -5-a -3<a -2-a . 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a -5-a -3<a -2-a , 只需证a -5+a <a -3+a -2, 即证(a -5+a )2<(a -3+a -2)2, 即证2a -5+2a 2-5a <2a -5+2a 2-5a +6, 只需证a 2-5a <a 2-5a +6, 只需证a 2-5a <a 2-5a +6,即证0<6,显然0<6成立,所以a -5-a -3<a -2-a .19.(12分)设函数f (x )=sin x -cos x +x +1,0<x <2π,求函数f (x )的单调区间与极值. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 f ′(x )=cos x +sin x +1 =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+1(0<x <2π), 令f ′(x )=0,即sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=-22, 解得x =π或x =32π.当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如表:所以f (x )的单调增区间为(0,π)和⎝⎛⎭⎫32π,2π,单调减区间为⎝⎛⎭⎫π,32π. f (x )极大值=f (π)=π+2,f (x )极小值=f ⎝⎛⎭⎫32π=3π2.20.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =a n 2+1a n -1,且a n >0,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,a 3;(2)猜想{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明. 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)a 1=S 1=a 12+1a 1-1,所以a 1=-1±3.又因为a n >0,所以a 1=3-1. S 2=a 1+a 2=a 22+1a 2-1,所以a 2=5- 3.S 3=a 1+a 2+a 3=a 32+1a 3-1,所以a 3=7- 5.(2)由(1)猜想a n =2n +1-2n -1,n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明:①当n =1时,由(1)知a 1=3-1成立. ②假设当n =k (k ∈N *)时, a k =2k +1-2k -1成立. 当n =k +1时,a k +1=S k +1-S k=⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +12+1a k +1-1-⎝⎛⎭⎫a k 2+1a k -1 =a k +12+1a k +1-2k +1, 所以a 2k +1+22k +1a k +1-2=0, 所以a k +1=2(k +1)+1-2(k +1)-1, 即当n =k +1时猜想也成立. 综上可知,猜想对一切n ∈N *都成立.21.(12分)已知函数f (x )=ax 3+cx +d (a ≠0)是R 上的奇函数,当x =1时,f (x )取得极值-2. (1)求f (x )的单调区间和极大值;(2)证明对任意x 1,x 2∈(-1,1),不等式|f (x 1)-f (x 2)|<4恒成立. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式问题(1)解 由奇函数的定义, 应有f (-x )=-f (x ),x ∈R ,即-ax 3-cx +d =-ax 3-cx -d ,∴d =0. 因此f (x )=ax 3+cx ,f ′(x )=3ax 2+c .由条件f (1)=-2为f (x )的极值,必有f ′(1)=0.故⎩⎪⎨⎪⎧a +c =-2,3a +c =0,解得a =1,c =-3. 因此f (x )=x 3-3x ,f ′(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1), f ′(-1)=f ′(1)=0.当x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )>0, 故f (x )在区间(-∞,-1)上是增函数; 当x ∈(-1,1)时,f ′(x )<0, 故f (x )在区间(-1,1)上是减函数; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0, 故f (x )在(1,+∞)上是增函数.∴f (x )在x =-1处取得极大值,极大值为f (-1)=2. (2)证明 由(1)知,f (x )=x 3-3x (x ∈[-1,1])是减函数, 且f (x )在[-1,1]上的最大值M =f (-1)=2, f (x )在[-1,1]上的最小值m =f (1)=-2. ∴对任意的x 1,x 2∈(-1,1), 恒有|f (x 1)-f (x 2)|<M -m =2-(-2)=4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x +2x 2-3x .(1)求证:函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点;(2)当x ≥12时,若关于x 的不等式f (x )≥52x 2+(a -3)x +1恒成立,试求实数a 的取值范围.考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 (1)证明 f ′(x )=e x +4x -3,∵f ′(0)=e 0-3=-2<0,f ′(1)=e +1>0, ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )=f ′(x )=e x +4x -3,则h ′(x )=e x +4>0, ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增, ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点,∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点. (2)解 由f (x )≥52x 2+(a -3)x +1,得e x +2x 2-3x ≥52x 2+(a -3)x +1,即ax ≤e x -12x 2-1,∵x ≥12,∴a ≤e x -12x 2-1x .令g (x )=e x -12x 2-1x ,则g ′(x )=e x (x -1)-12x 2+1x2. 令φ(x )=e x (x -1)-12x 2+1,则φ′(x )=x (e x -1).∵x ≥12,∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎡⎭⎫12,+∞上单调递增. ∴φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12=78-12e>0.因此g ′(x )>0,故g (x )在⎣⎡⎭⎫12,+∞上单调递增, 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12=12e -18-112=2e -94,∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,2e -94.。

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