双曲线的定义应用举例

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高考数学中的双曲函数的应用案例

高考数学中的双曲函数的应用案例高考数学中，双曲函数是一个重要的概念。

它是一类由双曲线定义的函数，常常用于求解各种实际问题。

在本文中，我们将通过几个应用案例，介绍双曲函数在高考数学中的应用。

案例一：电缆杆的设计在城市的建设中，电缆杆是一种必要的配套设施，它能够支撑电缆，并将电缆从地面挂起，使城市变得更加美观。

电缆杆的设计需要考虑多种因素，包括高度、承重能力等。

其中，高度是一个关键因素，因为它会直接影响杆的稳定性。

假设电缆杆的高度为h，距离地面的水平距离为d，缆绳的张力为T。

根据牛顿第二定律，缆绳的张力与电缆杆的质量成正比，因此可以得到以下公式：T = mhg + mgd其中，m为电缆杆的质量，g为重力加速度，约等于9.8m/s^2。

将上述公式代入图中的双曲函数，可以得到以下方程：h = a + asecθ其中，a = d/tanθ，θ为缆绳与水平面的夹角。

通过这个方程，可以求出电缆杆的高度。

例如，当θ=45°，d=10m，a=10m时，可以得到：h = 27.16m通过这个计算，可以确定电缆杆的高度，从而保证电缆杆的稳定性。

案例二：广告灯箱的设计在城市的商业中心，广告灯箱是一种重要的宣传渠道。

它可以吸引路人的注意力，从而促进商品的销售。

广告灯箱的设计需要考虑多种因素，包括灯箱的面积、功率等。

其中，面积是一个关键因素，因为它会直接影响灯箱的视觉效果。

假设广告灯箱的长度为L，宽度为W，面积为S。

灯箱中的光源能够覆盖的最远距离为D。

根据勾股定理，可以得到以下公式：D = sqrt(L^2 + W^2)将D代入图中的双曲函数，可以得到以下方程：S = a(sechx - 1)其中，a = W/2，x = 2L/D。

通过这个方程，可以求出广告灯箱的面积。

例如，当L=5m，W=2m，D=10m时，可以得到：S = 4.67m^2通过这个计算，可以确定广告灯箱的面积，从而保证灯箱的视觉效果。

案例三：天线的设计在无线通讯领域，天线是一种必要的配套设施，它可以将无线信号转化为电信号，并进行传输。

双曲线实际应用生活馆

双曲线实际应用生活馆张献锋双曲线来自于生活，又服务于生活。

利用双曲线方程可以解决生活中许多实际问题，本文举两例加以说明，供同学们赏析。

1.小李的手机在哪里例1小李真是个小马虎，一不小心把手机丢了，这可是花了整整5400元买的手机呀，小李心急如焚，立即报告给了相距10am的两个派出所。

而那位拾手机者同时使用了手机。

A、B两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6s，且B处的声强是A处声强的4倍（设声速为am/s，声强与距离的平方成反比），试确定持手机者的位置。

解析：如图1，以A、B的中点0为原点，直线AB为x轴建立坐标系，则A、B的坐标分别为A（-5a，0）、B（5a，0）。

由于A、B两派出所监听器听到手机发声的时间差为6s，知手机位置点P在双曲线可知手机位置点P到AB中点的距离|OP|为√65am，而∠POB的正切值是所以只要锁定点P位置就能很快找到拾手机者。

评注：本问题利用坐标法将实际问题转化为数学问题，借助双曲线和圆使实际问题得到解决。

想一想：双曲线和圆的方程是怎样建立起来的？是利用题目中哪些已知条件建立起来的？2.如何搜救航天员例2“神舟九号”飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全接出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），A在B的正东方向，相距6km，C在B的北偏西30°方向，相距4km，P为航天员着陆点。

某一時刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A地距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号。

已知该信号的传播速度为1km/s，求在A地发现P的方位角。

解析：由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值？是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支，上？因为|PC|=|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上。

又因为|PB|-|PA|=4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上。

双曲线的定义及其基本性质

.实用文档.
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双曲线的定义及其根本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜
2
1F F 〕的点的轨迹。

两定点叫双曲线的焦点。

a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e 〔e ＞1〕时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的方程：
双曲线标准方程的两种形式：
，焦
〔3〕焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝
a
b 2
2
〔4〕有两条准线，c
a x l 21:-
=c a x l 2
2:=
四、双曲线的渐近线：
〔1〕假设双曲线为122
22=-b
y a x ⇒渐近线方程为x a b y ±=，
〔2〕假设某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，那么可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
〔3〕特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。

双曲线全部知识点

双曲线全部知识点双曲线是一个非常重要的数学概念，它在几何、物理、工程等多个领域中都有着广泛的应用。

本文将详细介绍双曲线的全部知识点，包括定义、性质以及应用。

1. 定义双曲线是一种平面曲线，它是由一个固定点F和两条相互垂直的直线L1、L2所确定的点P的轨迹。

这个固定点F被称为焦点，两条相互垂直的直线L1、L2被称为渐近线。

双曲线还可以用以下方程来表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a>b>0）双曲线的图像是一条对称轴为y轴的曲线，它由两条分别关于y轴对称的臂所组成。

同时，该曲线也有两条渐近线，分别为y=b/x和y=-b/x。

2. 性质（1）双曲线的重要直线与点双曲线的中心轴是y轴，切线方程为y=±(b/a)x。

双曲线有两条渐近线，y=b/x和y=-b/x，它们与x轴交于±a，与y轴不交。

（2）离心率双曲线的离心率（eccentricity）定义为e=c/a，其中c是焦点离中心轴的距离，a为双曲线的半轴。

离心率描述了焦点和中心轴之间的距离和半轴之间的比率，离心率越大，双曲线的臂越长。

（3）曲率双曲线上任意一点的曲率为k(x,y)=|b^2/(x^2+y^2)^(3/2)|。

双曲线的曲率在x轴和y轴上都为零，在双曲线的两个焦点处为负无穷。

曲率半径r(x,y)=1/k(x,y)，与曲率呈反比例关系。

（4）面积和弧长双曲线的面积为πab，在中心轴两侧各为πab/2。

在使用极坐标表示时，双曲线的弧长公式为S=∫(a,cosθ/sinθ)dθ，其中a为距离中心轴最近的点到中心轴的距离。

3. 应用双曲线在数学、物理和工程中都有着广泛的应用。

下面列举一些典型的例子。

（1）光学在光学中，双曲线是各种反射和折射问题的重要工具。

例如，反射焦点定理和折射焦点定理都利用了双曲线的性质来描述光的行为。

（2）椭圆轨道问题在物理学中，双曲线用于描述天体的椭圆轨道问题。

在Kepler 定律中，椭圆轨道被视为由两个焦点F1和F2确定的双曲线的一半。

双曲线的定义及应用

一、双曲线的定义及应用1、动点P 到定点)0,1(1F 的距离比它到点)0,3(2F 的距离小2，则点的轨迹是2、已知两圆2)4(:221=++y x C ，2)4(:222=+-y x C ，动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程。

3、若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则=m 4、点P 是双曲线116922=-x y 上支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的上、下焦点，则21F PF ∆的内切圆圆心M 的坐标一定适合的方程是5、已知1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的范围是6、已知定点A 、B 且4=AB ，动点P 满足3=-PB PA ，则PA 的最小值是7、设双曲线14491622=-y x 的右焦点为2F ，M 是双曲线的任意一点，点A 的坐标为)2,9(，则253MF MA +的最小值是二、求双曲线方程1、与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的方程是2、已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴，离心率为2，且过点)10,4(-，则此双曲线的方程是3、已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率为2，则此双曲线方程是三、双曲线的性质1、在给定的双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长是2，焦点到相应的准线的距离是21，则此双曲线的离心率是 2、若在双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是3、双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则此双曲线的离心率是四、焦点半径的应用1、已知点P 是双曲线191622=-y x 上的一点，且点P 到双曲线右准线的距离是P 到两个焦点的距离的等差中项，则点P 的横坐标是2、设1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，当21F PF ∆的面积是1时，PF PF ⋅1的值是五、中点问题1、过点)1,8(P 的直线与双曲线4422=-y x 相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程六、直线与双曲线的交点问题 1、已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是2、直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过点)0,2(-P 和线段AB 的中点，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。

双曲线定义及性质整合

双曲线定义及性质整合双曲线的定义：双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

例1.已知F是双曲线C: x^2-y^2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,2).求△APF周长的最小值及此时P的坐标。

解析：双曲线左焦点F1(-2,0)，则有PF-PF1=2a。

因此，AF+AP+PF=AF+AP+PF1+2a≥AF+AF1+2a=AF+AF1+2a=62，当且仅当A,P,F1共线时取等号，即△APF周长最小为62.此时直线AF1方程为y=x+2，与双曲线联立得到P(-3/2,-sqrt(5)/2)或P(-3/2,sqrt(5)/2)。

总结：在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线的第一定义及三角形三边关系。

注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值。

练1.已知F是双曲线x^2-y^2=1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为9.解析：双曲线右焦点F2(-4,0)，PF+PA=2a+PF2+PA≥2a+AF2=9，当且仅当A,P,F2共线时取等号。

练2.P为双曲线x^2/4-y^2/9=1右支上一点，M,N分别是圆(x+4)^2+y^2=4和(x-4)^2+y^2=1上的点，则PM-PN的最大值为5.例2.已知双曲线C: -y^2=1，P是C右支上的任意点。

1）设点A的坐标为(3,0)，求PA的最小值，及此时P点坐标。

2）设右焦点为F2，求PF2的最小值，及此时P点坐标。

解析：（1）设P的坐标为(x,y)，则x≥2，PA=(x-3)^2+y^2=1/4(x^2-6x+9)+1≥1，当且仅当x=3时PA最小值为1，此时P(3,0)。

2）设P的坐标为(x,y)，则x≥2，右焦点F2(5,0)，PA=(x-5)^2+y^2=1/4(x^2-10x+25)+1≥1，当且仅当x=2时PA最小值为5-2（即c-a），此时P(2,0)。

双曲线【知识要点】双曲线的定义第...

双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是．题型三:双曲线的性质及应用例4、已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。

双曲线函数

双曲线函数双曲线函数是一类重要的函数类型，它的图像形状类似于一个双曲线。

这类函数在数学中广泛应用于各种分析问题中。

本文将介绍双曲线函数的定义、性质、图像及应用。

双曲线函数是指形如f(x) = (ax + b)/(cx + d)的函数形式，其中a、b、c、d为实数，且满足ad - bc ≠ 0。

1.定义域与值域根据双曲线函数的定义，其定义域为除去使得分母为0的点x = -d/c，即x ≠ -d/c。

而在定义域内，双曲线函数的值可以取到任意实数。

2.奇偶性双曲线函数一般既不是奇函数也不是偶函数。

但当a、b、c和d都为偶数或奇数时，双曲线函数为偶函数；当a、b、c和d都为奇数时，双曲线函数为奇函数。

3.渐近线双曲线函数的渐近线有两条，分别是x轴与y轴。

当x趋向于无穷大时，双曲线函数逼近x轴；而当x趋向于-d/c时，双曲线函数逼近y轴。

4.对称轴双曲线函数的对称轴是由两条渐近线所确定的直线，即x轴和y轴。

5.单调性双曲线函数在它的定义域内是单调的。

当c > 0时，双曲线函数存在正的斜渐近线，此时函数在x趋向于无穷大时，增长到正无穷，而在x趋向于-d/c时，逐渐趋近于y轴。

当c < 0时，双曲线函数存在负的斜渐近线，此时函数在x趋向于无穷大时，逐渐趋近于y 轴，而在x趋向于-d/c时，增长到正无穷。

双曲线函数的图像通常呈现出双曲线的形态，因此又称为双曲线图像。

双曲线图像对称于两条渐近线，并与两条渐近线相切。

其具体形态与常数a、b、c、d的取值情况有关。

下面是一些常见的双曲线图像：1.当a、b、c和d都为正数时，双曲线函数的图像如下：双曲线函数在数学中有广泛的应用。

1.利用双曲线函数可以对一些特殊曲线或轨道进行研究和描述。

一些天体运动中的轨迹正是由双曲线函数描述的。

2.双曲线函数也可以用于描述一些物理问题，比如电场分布、热力学和流体力学等方面的问题。

3.在工程学和技术领域中，双曲线函数也有其应用。

高中抛物线知识点双曲线

高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。

在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。

一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。

双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。

二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。

这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。

2.对称性：双曲线关于中心点对称。

3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。

渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。

4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。

三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。

1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。

例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。

2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。

在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。

3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。

这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。

双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。

通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。

双曲线的定义与性质

双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。

一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。

假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。

二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。

设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。

三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。

即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。

3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。

这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。

双曲线的定点到焦点的距离等于a。

四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。

1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。

2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。

3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。

总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。

双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。

几何形的双曲线认识双曲线的特性与应用

几何形的双曲线认识双曲线的特性与应用几何形的双曲线：认识双曲线的特性与应用双曲线是一种重要的几何形状，它具有许多独特的特性和广泛的应用。

本文将详细介绍双曲线的定义、特性和应用，以加深对双曲线的认识。

一、双曲线的定义双曲线是平面上一条曲线，其定义方式是焦点F1和F2到曲线上任意一点的距离之差等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。

其中，PF1和PF2分别是焦点F1和F2到曲线上某个点P的距离，a是常数，称为双曲线的半焦距。

二、双曲线的特性1. 异性焦点：双曲线的焦点F1和F2位于曲线的两端，且离曲线最近的两条直线称为渐近线，它们与双曲线的两支趋于无穷远处。

2. 中心对称：双曲线关于原点O对称，即若点P(x, y)在曲线上，则点P'(-x, -y)也在曲线上。

3. 面积有限：与椭圆不同，双曲线上任意两点的连线与两焦点的连线所围成的面积是有限的。

4. 离心率：双曲线的离心率大于1，离心率定义为e = c/a，其中c 是焦距的一半。

离心率决定了双曲线的形状，离心率越大，曲线越“扁”。

三、双曲线的应用1. 物理学中的反射定律：双曲线的焦点性质与反射定律有着密切的联系。

例如，当光线垂直射入一面平面镜时，经过反射后的光线将聚焦于镜面的焦点上，形成双曲线状的反射光线。

2. 焦点成像：当平面镜或透镜聚焦光线时，成像就可以用双曲线来描述。

焦点处的物体被聚焦成清晰的像，而离焦点越远的物体则被聚焦成模糊的像，形成双曲线状的成像。

3. 导弹轨迹与行星运动：某些导弹的运动轨迹可用双曲线来模拟，因为双曲线对应的运动是非周期性的。

此外，行星运动中的椭圆轨道也可以看作是离心率趋于1的双曲线。

结语双曲线作为一种重要的几何形状，其独特的特性和广泛的应用使其在科学、工程和其他领域中扮演着重要的角色。

通过深入理解双曲线的定义、特性和应用，我们可以更好地应用双曲线来解决问题和探索未知领域。

随着对双曲线的认识不断深入，我们相信它的应用价值将会不断扩展和丰富。

双曲线的定义及标准方程

a|22＋b| b2＝ 3，由双曲线的一个焦点为 F(2，0)可得 a2＋b2＝4，所以|b|＝ 3，即 b2＝3，所以 a2＝1，故双曲线的方程为 x2－y32 ＝1，故选 D.
(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)， ∴可设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0). ∵渐近线方程为 y＝±abx，其中一条渐近线的倾斜角为 30°， ∴ab＝ 33，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y92－2x72 ＝1. 答案 1 D 2 B
规律方法双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程；二是在焦点三角形中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|－|PF2||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.
【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦
B.1x322－5y22＝1
C.3x22－4y22＝1
D.1x322－1y222＝1
解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|2F| 1F2|2＝34. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a＝4，b＝3. 故曲线 C2 的标准方程为4x22－3y22＝1. 答案 1 C 2 A

双曲线在生活中的应用

双曲线在生活中的应用
双曲线在生活中的应用
双曲线，是由椭圆推广而来的，是椭圆的广义，它虽然并不是一个围绕着坐标系一个椭圆的形状，但它仍然有椭圆的特征，被用于各种各样的生活中的应用。

1、双曲线应用于艺术设计。

双曲线在许多艺术设计中有着重要的地位。

例如，在服装设计中，双曲线是一个重要的部分，它可以用来表现女性魅力，给人以浪漫的感觉。

也可以将双曲线用于汽车、建筑等设计方面，为它们增添美感。

2、双曲线用于射线检测。

双曲线可以用于射线检测，如电子射线检测技术。

它能够有效地检查出分子、细胞等天然结构中的不规则图形，以探测特定的病灶。

双曲线也可以用于台球游戏中的拍照定位，实现球袋和桌面的精准定位。

3、双曲线应用于数据拟合。

双曲线可以用于数据拟合，给出更准确的数据理解，以便对数据进行分析和改进。

例如，可以根据双曲线，快速估计和拟合温度和湿度的变化趋势，实现对室内环境的优化。

4、双曲线在核工业中应用。

双曲线不仅可以用于艺术设计，也可以用于核工业。

例如，在核反应堆技术中，双曲线可以用来模拟核反应的反应原子运动轨迹和反应物的变化趋势。

它还可以应用于医疗影像诊断，用于检测和诊断病
人的器官疾病。

总之，双曲线在生活中有着很多重要的应用，它既可以实现艺术美感，又可以应用于科学技术，为人们生活增添舒适和便利。

【高中数学】双曲线

则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5，即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消 b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．

双曲线典型例题12例含实用标准问题详解

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ．由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ．说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ．由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果．解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+．又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)．说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ． (2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ． (3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹．说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．。

高二文科数学双曲线知识点

高二文科数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的图形之一，广泛应用于工程、物理、经济等领域。

在高二文科数学中，学习双曲线的相关知识点是必不可少的。

本文将为你详细介绍高二文科数学中的双曲线知识点。

一、双曲线的定义双曲线是平面上与给定直线和两个给定点的距离之差的绝对值之比等于常数的点的轨迹。

通常用方程表示为：x²/a² - y²/b² = 1 或x²/a² - y²/b² = -1。

二、双曲线的性质1. 双曲线的对称轴：双曲线关于y轴或x轴对称，其关联的方程中的x²项或y²项系数不同。

2. 双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，记作F1和F2，在x轴的两侧，其距离顶点的距离称为焦距。

3. 双曲线的顶点：双曲线的顶点是其离x轴最近的点或离y轴最远的点，位于双曲线的对称轴上。

4. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线趋于无穷远处，一般与x轴和y轴不重合且不垂直。

5. 双曲线的离心率：双曲线的离心率e定义为焦距与顶点到焦点的距离之比，一般大于1。

三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分为横轴双曲线和纵轴双曲线两种形式。

对于横轴双曲线，其标准方程为x²/a² - y²/b² = 1；对于纵轴双曲线，其标准方程为y²/b² - x²/a² = 1。

2. 中心在原点的双曲线方程：对于中心在原点的双曲线，其方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1。

3. 平移双曲线方程：对于中心不在原点的双曲线，可以通过平移变换来求得对应的方程。

四、双曲线的图像与性质通过绘制双曲线的图像，我们可以更好地理解其性质。

数学双曲线的原理及应用

数学双曲线的原理及应用1. 概述双曲线是数学中一类重要的曲线，它的形状特殊且具有许多有趣的性质。

本文将介绍双曲线的原理以及一些常见应用。

2. 双曲线的定义双曲线是平面上的一条曲线，它满足如下定义：•对于任意点P(x, y)到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即 |PF1 - PF2| = 2a。

•曲线上的每个点对应的切线的斜率都不等于0。

根据定点和常数a的不同取值，双曲线可以分为四种类型：椭圆、抛物线、双曲线和直线。

3. 双曲线的性质双曲线具有许多重要的性质，包括但不限于以下几点：•双曲线的渐进线是两条直线，分别与双曲线相交于两个焦点。

•双曲线的离心率大于1，离心率定义为离焦点距离与走廊的一半的比值，表示了双曲线的扁平度。

•双曲线上的点到两个焦点的距离之和等于常数2a，即 PF1 + PF2 = 2a。

4. 双曲线的应用双曲线在不同领域有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：4.1. 物理学中的光学•双曲线方程在光学中用于描述光线的传播路径。

例如，光线在均匀介质和双曲面交互作用时，遵循双曲线方程，这对于研究光学系统的成像性质至关重要。

•焦距的概念也与双曲线相关。

在光学中，焦距指的是一组平行光线被折射或反射后汇聚到焦点的距离。

双曲线方程可以用来计算光学元件的焦距。

4.2. 电磁学中的电场•双曲线方程可以用来描述电场的分布。

在电荷分布对称的情况下，电场的等势线将形成一组双曲线。

这对于理解电场的强度和方向分布至关重要。

4.3. 金融学中的曲线拟合•双曲线在金融学中常用于拟合和预测曲线的发展趋势。

例如，在利率模型中，双曲线被用于拟合债券收益率的曲线，以衡量利率的变化对于债券价格的影响。

5. 双曲线的历史双曲线最早出现在17世纪，由德國數學家约翰·贝恩哈德·里希特（Johann Bernoulli）和其他数学家研究。

随后，双曲线的性质和应用逐渐被人们认识和应用于各个领域。

双曲线的定义应用举例（太好了）

双曲线的定义应用举例（太好了）双曲线的定义应用举例1．已知方程{ EMBED Equation.3 |k3x 2++=1表示双曲线，则k 的取值范围是。

2. 若方程=1表示双曲线，则实数m 的取值范围是（）。

（A ）m <－2或25 （D ）m >53 设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为，求双曲线的方程。

由已知得两焦点分别为、点则得，由于得，因此方程为所求。

点评：双曲线上的点必满足双曲线的定义，本题抓住“交点”满足第一定义，从而应用第一定义求出了双曲线方程中的基本量，显然它比其它方法要简单、方便；4 如图，双曲线其焦点为，过作直线交双曲线的左支于两点，且，则的周长为。

简解：由又由，那么的周长为点评：图形，具有直观性；本题借助图形，利用第一定义，首先求出，尔后，再求周长，显然是求解问题的一种策略；假若本题未给图形，条件“过作直线交双曲线的左支于两点”中，再去掉“左支”两字，情况就大不相同，请试一下。

5、解方程简解：原方程可变为，令则方程以变为显然，点在以，为焦点，实轴长为的双曲线上，易得其方程为由得6.在中，已知，若,则点C 的轨迹方程为 A ． B ． C ．)0(≥x D ．7．一个动圆与两个圆x 2＋y 2=1和x 2＋y 2－8x ＋12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆 (C )双曲线的一支 (D ) 抛物线 8、双曲线上一点与左右焦点构成，求的内切圆与边的切点的坐标。

9已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上任意一点，的内角平分线的垂线，设垂足为，求点的轨迹。

练习题1、P 是双曲线x 29|－y 216|＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．92、双曲线x 2a 2|－y 2b 2|＝1的左焦点为F 1，与x 轴交点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离3、已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28|＝1(x <－1) B ．x 2－y 28|＝1(x >0)C ．x 2＋y 28|＝1(x > 0) D ．x 2－y 210|＝1(x >1)4、设F 1、F 2为双曲线x 2sin 2 θ|－y 2b 2|＝1(0<θ≤π2|，b >0)的两个焦点，过F 1的直线交双曲线的同支于A 、B 两点，如果|AB |＝m ，则△AF 2B 的周长的最大值是( D ) A ．4－m B ．4 C ．4＋ m D ．4＋2 m。

双曲线定义及性质整合

双曲线定义及性质的应用一、双曲线的定义双曲线第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.例1.已知F 是双曲线22:122x y C -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .求APF ∆周长的最小值及此时P 的坐标.【解析】双曲线左焦点1(2,0)F -，则有12PF PF a -=，则12AF AP PF AF AP PF a ++=+++12AF AF a ≥++1262AF AF a =++=，当且仅当1,,A P F 共线时取等号，即APF ∆周长最小为62.此时直线1AF 方程为2y x =+，与双曲线联立得到031(,)22P -.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线的第一定义及三角形三边关系. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.练习1. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点,则PF PA +的最小值为________.9【解析】双曲线右焦点2(4,0)F -，22229PF PA a PF PA a AF +=++≥+=，当且仅当2,,A P F 共线时取等号.练习 2.P 为双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆22(4)4x y ++=，和22(4)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为__________．【答案】5.提示：例2. 已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 右支上的任意点.（1）设点A 的坐标为(3,0)，求PA 的最小值，及此时P 点坐标. （2）设右焦点为2F ，求2PF 的最小值，及此时P 点坐标.【解析】（1）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，2222(3)(3)14xPA x y x =-+=-+-225512468()4455x x x =-+=-+，又因为2x ≥，则当125x =时PA 最小值为255，此时1211(,)55P ±. （2）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，右焦点2(5,0)F ，2222(5)(5)14xPA x y x =-+=-+-2545()45x =-，又因为2x ≥，则当2x =时PA 最小值为52-（即c a -），此时(2,0)P . 双曲线第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)1(>e e ，则动点M 的轨迹叫做双曲线.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），左、右准线分别为2a x c=±，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.例1.已知点P 为2213y x -=上一点，右焦点2F ，(5,3)A ，（1）求21||||2PA PF +的最小值，及此时P 点坐标. （2）求21||||2PA PF -的最大值，及此时P 点坐标.【解析】（1）易知2e =，设点P 到与右焦点2F 相应的右准线12x =的距离为d ，则2||2PF e d ==，则21||||||2PA PF PA d +=+，则当直线垂直于准线时合题意，且点P 在双曲线的右支上，此时点P 纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 的坐标为(2,3).（2）21||||||2PA PF PA d -=-，即在双曲线上求点P ，使得点P 到定点A 的距离与到右准线12x =的距离之差最大，则点P 在双曲线的左支上，直线垂直于准线时符合题意，且此时点P 的纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 坐标为(2,3)-.练习1. 已知点(3,2),(2,0)A F 在双曲线2213y x -=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小.【答案】21(,2)3. 例2.已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点，点F 是双曲线的右焦点，定点()8,4A ，求45PF PA +的最小值.24【解析】如图，设1P 为P 在右准线165x =上的投影，1A 为A 在右准线165x =上的投影，154F PP P e ==，45PF PA +155PP PA =+1116)55(85()245PP PA AA ≥=⨯-==+，此时P 与1A ，A 共线，在如图0P 位置.练习2. 已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点，点P 是双曲线的右焦点，定点()7,6A ，求23PF PA +的最小值. 【答案】19.双曲线第三定义第三定义：在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是双曲线上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-==⋅e ab k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PBPA =⋅）推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=-b y a x ①，1221221=-b ya x ②；由①－②得22122212b y y a x x -=-，所以22212212a b x x y y =--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-为定值．例1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长为4，若点P 是双曲线上一点，过原点的直线l 与双曲线相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121=⋅k k ，则双曲线的方程为 . 1422=-y x 【解析】由第三定义知4122=a b ，且42=a ，则双曲线方程为1422=-y x . 二、双曲线的性质（1）双曲线的通经长为22b a；（2）设P 双曲线右支上一点，12,F F 分别是左右焦点，则1PF c a ≥+，2PF c a ≥-，当且仅当P 为右支顶点时取等号；（3）双曲线的焦点到准线的距离为b ；（4）双曲线上的任意点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值222a b c；（5）设P 为双曲线上任一点，三角形21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a 或)0,(a -（内切圆圆心在直线a x =或a x -=上）；推导过程：（3）)0,0(12222>>=-b a by a x 双曲线的右焦点为(,0)c ，准线为0bx ay ±=，焦点到渐近线的距离bcd b c===；（4）设双曲线上的点00(,)P x y ，则有1220220=-by a x ，即22202202b a y a x b =-，渐近线分别为0bx ay -=，0bx ay +=，则点00(,)P x y 到渐近线的距离0000122bx ay bx ay d cb a --==+，002bx ay d c+=，则22222200000012222()()b x a y bx ay bx ay a b d dc c c--+===. （5）证明：设21F PF ∆的内切圆与三条边分别相切与点S R Q ,,.P 是双曲线右支上的点，由双曲线的定义知a PF PF 221=-，a SF PS QF PQ 2)()(21=+-+①，因为S R Q ,,为切点，则2211,,RF SF RF QF PS PQ ===，则①式即为a RF RF 221=-，设切点)0,(R x R ，则有a x c x c R R 2)(=--+，则a x R =，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a .当P 是双曲线左支上的点时，同理可证切点为)0,(a -.离心率问题1.基本方法：从定义出发，找到,,a b c 的等式或不等式；2.几何法：根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如等腰、钝角、锐角，中垂线，垂直、内外切等.（双曲线本身所具有的不等关系）例1：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别是12,F F ，若P是其上的一点，且122PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是______.(1,3]e ∈【解析】122PF PF a -=，122PF PF =，则124,2PF a PF a ==，则P 在双曲线的右支上，则有可知2PF c a ≥-，即2a c a ≥-，则3e ≤，则(1,3]e ∈.（或由1PF c a ≥+解得(1,3]e ∈）.例2.如图，12,F F 是椭圆2214x y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.62e =【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面124AF AF +=，在12Rt AF F ∆中满足2221212AF AF F F +=，解得1222,22AF AF =-=+，则在双曲线中2,3a b ==，则62e =. （直线和双曲线的位置关系）例3.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.[2,)+∞【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k 小于等于右渐近线by x a=的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得 3ba≥，解不等式可求出2e ≥. 练习1.设双曲线2221x y a -=与直线:1l x y +=相交于不同的点,A B ，求双曲线的离心率的取值范围.6(,2)(2,)2⋃+∞【解析】联立化简得2222(1)220a x a x a -+-=，所以210,0a -≠∆>，即02,1a a <<≠，22111a e a a+==+，所以62e >且2e ≠. 例4.已知12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

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