第9讲函数的基础知识

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2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数的概念及其表示(解析版)

第09讲函数的概念及其表示模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点1函数的概念1、函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．（1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A →B ．3、函数的三要素（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则．如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方．（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值．4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．知识点2求函数定义域的依据1、分式中分母不能为零；2(2,)n k k N *=∈其中中；(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈；3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．知识点3函数的表示法1、函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x 的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x ，f (x ))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．知识点4分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．知识点5函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题．（1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得()f x ．3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭f x 、1⎛⎫- ⎪⎝⎭f x ……的方程，求()f x 解析式．例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫⎪⎝⎭f x ）的条件，可把x 代为-x （或者把x 代为x1）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x ．考点一：对函数概念的理解例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数()y f x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义可知一个x 只能对应一个y 值，故答案为B.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设{}{}123,,,M N e g h ==，，,如下选项是从M 到N 的四种应对方式,其中是M 到N 的函数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于A,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,A 错误;对于B,集合M 中的2N 中的两个数,B 错误;对于C,集合M 中的每个数在集合N 中都有唯一的数对应,C 正确;对于D,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,D 错误,故选:C.【变式1-2】（23-24高一上·四川泸州·期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合{}1,2,4=-M 到集合{}1,2,4,16N =的函数的是（）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2y x =D ．2xy =【答案】C【解析】对于A ，集合M 中的元素1-按对应关系2y x =，在集合N 中没有元素与之对应，A 不是；对于B ，集合M 中的元素4按对应关系2y x =+，在集合N 中没有元素与之对应，B 不是；对于C ，集合M 中的每个元素按对应关系2y x =，在集合N 中都有唯一元素与之对应，C 是；对于D ，集合M 中的元素1-按对应关系2x y =，在集合N 中没有元素与之对应，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（）A ．:,()f AB y f x →=B ．:,()f B A y f x →=C ．:,()f A B x f y →=D ．:,()f B A x f y →=【答案】B【解析】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B考点二：求函数的定义域例2.（23-24高一下·广东茂名·期中）函数y =）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．[)0,∞+D ．[)2,+∞【答案】D【解析】对于函数y =20x -≥，解得2x ≥，所以函数y =的定义域是[)2,+∞.故选：D【变式2-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数3y =）A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．][(),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【答案】B【解析】由题知290->x ，解得33x -<<，所以函数的定义域为()3,3-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，则(32)f x -的定义域为（）A ．1[,2]2B ．[1,2]-C ．[1,5]-D ．5[1,]2【答案】A【解析】由于函数()f x 的定义域为[1,2]-，故1322x -≤-≤，解得122x ≤≤，即函数(32)f x -的定义域为1[,2]2.故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，则函数()2y f x =的定义域为（）A ．[]4,0-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]4,8【答案】C【解析】函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，由[]0,2x ∈，有[]22,4x +∈，即函数()y f x =的定义域为[]2,4，令224x ≤≤，解得12x ≤≤，函数()2y f x =的定义域为[]1,2.故选：C考点三：判断两个函数是否相等例3.（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）A ．2y =B ．2y =+C ．22x y x=+D ．2y =+【答案】D【解析】对A ，2y =的定义域为[)2,-+∞，2y x =+的定义域为R ，故A 错误；对B ，22y x ==+，故B 错误；对C ，22x y x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，故C 错误；对D ，22y x ==+，故D 正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．||,y x y =B ．2,x y x y x==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==【答案】A【解析】选项A ，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B ，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C ，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D ，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（）A ．xy x=与1y =B ．y =与y x=C ．y =|1|y x =-D ．321x x y x +=+与y x=【答案】BCD 【解析】对于A ，x y x=的定义域为{}0x x ≠，而函数1y =的定义域为R ，故A 错误；对于B ，函数y x ==，x ∈R ，故B 正确；对于C ，函数1y x ==-，x ∈R ，故C 正确；对于D ，函数()2322111x x x x y x x x ++===++，x ∈R ，故D 正确.故选：BCD.【变式3-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（）A ．()f x =()g x =B ．()0f x x =与()01g x x =C ．()f x =()g x =D ．()22f x x x =-与()22g t t t=-【答案】BD【解析】对A ：对()g x =(],0-∞，则()g x ==故()f x =与()g x =A 错误；对B ：()()010f x x x ==≠，()()0110g x x x ==≠，故()0f x x =与()01g x x =是同一函数，故B 正确；对C ：()f x 定义域为1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1x ≥，()g x 定义域为210x -≥，即1x ≥或1x ≤-，故()f x =()g x =C 错误；对D ：()22f x x x =-与()22g t t t =-定义域与对应关系都相同，故()22f x x x =-与()22g t t t =-是同一函数，故D 正确.故选：BD.考点四：简单函数的求值求参例4.（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数()231f x x x -=-+，则()1f -=（）A ．5-B ．1-C ．2D ．3【答案】D【解析】取2x =，有()212213f -=-+=.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数1()4f x x =-，若()2f a =，则a 的值为（）A ．92B ．72C ．52D ．12-【答案】A【解析】由()2f a =，得124a =-，解得92a =.故选：A 【变式4-2】（22-23高二下·山东烟台·月考）已知函数()212f x x x -=-，且()3f a =，则实数a 的值等于（）A B ．C ．2D ．2±【答案】D【解析】令21,23x a x x -=-=，解得=1x -或3x =由此解得2a =±，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A考点五：函数的三种表示方法例5.（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(2)]f g 的值是（）x123()f x 131()g x 321A ．1B ．2C ．3D ．1和2【答案】C【解析】由表可知：(2)2g =，则[(2)](2)3f g f ==.故选：C.【变式5-1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()0f g =（）x 014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．0【答案】C【解析】由图可知()04g =，由表格可知()()()049f g f ==．故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x 1234()f x 2341x1234()g x 2143A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D【变式5-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在[]22-,上的函数()y f x =表示为:x [)2,0-0(]0,2y1-2设()1f m =，()f x 的值域为M ，则（）A ．{}1,2,0,1m M ==-B ．{}2,2,0,1m M =-=-C ．{}1,|21m M y y ==-≤≤D ．{}1,|21m M y y ==-≤≤【答案】B【解析】因为1x =满足(]0,2x ∈，所以()12f m ==-，由表中数据可知：y 的取值仅有2,0,1-三个值，所以{}2,0,1M =-，故选：B.考点六：函数解析式的求解例6.（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以()1,3为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x=-+C ．()236f x x x=-D ．()224f x x x=-【答案】A【解析】设图象是以()1,3为顶点的二次函数()()213f x a x =-+（0a ≠）．因为图象过原点，所以03a =+，3a =-，所以()()2231336f x x x x =--+=-+．故选：A【变式6-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知()22143f x x -=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++【答案】D【解析】令21t x =-，则12t x +=，则221()4()3242t f t t t +=+=++，所以()224f x x x =++，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上··期末）已知函数()f x 满足：2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()22f x x =+B ．()2f x x=C ．()()220f x x x =+≠D ．()()220f x x x =-≠【答案】A【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22f x x =+，故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足14()26f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．83【答案】D【解析】由14()2()6f x f x x x+=+①，令1x x =，162()(4f x f x x x+=+②，由2⨯-②①得83()2f x x x=+，所以288()333f x x x =+≥=，当且仅当2833x x =，即2x =时，取等号，所以()f x 的最小值为83.故选：D考点七：分段函数的求值求参例7.（23-24高一上·河北石家庄·期中）若21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则 (3)f =（）A ．9B ．10C ．6-D ．6【答案】C【解析】 (3)236f =-⋅=-.故选：C【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，则(){}1f f f =⎡⎤⎣⎦（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】A【解析】因为()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，所以()1121f =-=-，()()()211110f f f =-=--=⎡⎤⎣⎦，所以(){}()102f f f f ==⎡⎤⎣⎦.故选：A【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.【变式7-3】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数()231,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩．若2123f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】结合题意可得：2222,=3+1=3333f ⎛⎫<∴⨯ ⎪⎝⎭，()2232,=333123f f f a ⎛⎫⎛⎫≥∴=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =.故选：B.【变式7-4】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-U C ．(][),22,-∞-+∞U D ．()()2,00,2-⋃【答案】D【解析】由()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，若0a >，则()()0f a f a -->，即()1210a a +--⨯-->⎡⎤⎣⎦，解得2a <，所以02a <<若a<0，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为()()2,00,2-⋃.故选：D考点八：函数图象实际应用例8.（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线()y f x =（实线表示）；另一种是平均价格曲线()y g x =（虚线表示）.如()23f =是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；()23g =表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C ；买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B ；买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D ；故选：A.【变式8-1】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A ；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C ；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B ；故选：D【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈()A B O A →→→，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当小明在弧AB 上运动时，与O 点的距离相等，所以AB 选项错误.当小明在半径BO 上运动时，与O 点的距离减小，当小明在半径OA 上运动时，与O 点的距离增大，所以C 选项错误，D 选项正确.故选：D【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．一、单选题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数1()2f x x =-的定义域为（）A ．{2|3x x >且2x ≠}B ．{2|3x x <且2x >}C ．2|23x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{2|3x x ≥且2x ≠}【答案】D【解析】由题意得32020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x ≥且2x ≠，即定义域为223xx x ⎧⎫≥≠⎨⎬⎩⎭∣且.故选：D .2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21f x -的定义域为()1,2-，则函数()1f x -的定义域为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,4-D ．()2,1-【答案】C【解析】函数()21f x -的定义域为()1,2-，所以12x -<<，224,3213x x -<<-<-<，所以()f x 的定义域为()3,3-，对于函数()1f x -，由313x -<-<，得24-<<x ，所以函数()1f x -的定义域为()2,4-.故选：C3．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数()y g x =的对应关系如表所示，函数()y f x =的图象是如图所示，则()1g f ⎡⎤⎣⎦的值为（）x123()g x 43-1A ．-1B ．0C ．3D ．4【答案】A【解析】由图象可知()13f =，而由表格可知()31g =-，所以()11g f ⎡⎤=-⎣⎦.故选：A 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()()1f f f -=（）A ．2B ．3C ．3-D ．5【答案】A【解析】依题意，()()2412,2221f f +-===+，所以()()()()()()1222f f f f f f -===.故选：A5．（23-24高一上·山东淄博·月考）已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+【答案】B【解析】令1t x =+，由于x ∈R ，则R t ∈，1x t =-，所以()()()()221121245f x f t t t t t +==---+=-+，得()245f t t t =-+，所以函数()f x 的解析式为()245f x x x =-+．故选：B6．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在N 中有且只有一个与之对应，选项A 中集合M 中2对应的数有两个，故错误；选项B 中集合M 中3没有对应的数，故错误；选项C 中对应法则为从M 到N 的函数，箭头应从M 指向N ，故错误；选项D 中集合M 中任意一个数在集合N 中都有唯一数与之对应，故D 正确，故选：D二、多选题7．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()(),f x x g x ==B ．()(),f x x g x ==C ．()()1,1f x x g t t =-=-D ．()()01,f x x g x x x=+=+【答案】AC【解析】A.()(),f x x g x x ==，定义域都为R ，故表示同一函数；B.()(),f x x g x x ==，故不是同一函数；C.()()1,1f x x g t t =-=-，解析式相同，定义域都为R ，故表示同一函数；D.()()01,1f x x g x x x x =+=+=+，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故不是同一函数，故选：AC8．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()13f =D ．若()3f x =，则x【答案】BD【解析】对于A ，因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以()f x 的定义域为(,1](1,2)(,2)-∞--=-∞ ，所以A 错误；对于B ，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，204x ≤<，所以()f x 的值域为(,1][0,4)(,4)-∞=-∞ ，所以B 正确；对于C ，因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以2(1)11f ==，所以C 错误；对于D ，当1x ≤-时，由()3f x =，得23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，由()3f x =，得23x =，解得x =x =综上，x =D 正确.故选：BD.三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()f g x =⎡⎤⎣⎦.【答案】224x x -++【解析】函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()()22224f g x f x x x x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦.故答案为：224x x -++10．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数y =的值域为.【答案】[]0,4【解析】由y =可得()80x -≥，故08x ≤≤，又()288162x x x x +-⎛⎫-≤= ⎝⎭，当且仅当8x x =-，即4x =时取等号，4≤，故函数y []0,4，故答案为：[]0,411．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()2,131,1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则不等式()()13f x f x +-<的解集为．【答案】65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【解析】当1x ≤时，10x -≤，()()()1221423f x f x x x x +-=+-=-<，得54x <，所以1x ≤；当12x <≤时，11x -≤，()()()13121533f x f x x x x +-=-+-=-<，得65x <，所以615x <<；当2x >时，11x ->，()()()131311653f x f x x x x +-=-+--=-<，得43x <，所以无解；综上所述，不等式()()13f x f x +-<的解集为65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.故答案为：65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知函数()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩.(1)画出函数()f x 的图象；(2)当()2f x ≥时，求实数x 【答案】(1)作图见解析；(2)1,0,7,.3⎛⎫⎡⎛⎤-∞+∞ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭【解析】（1）因为()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩，所以()f x的图象如图所示：（2）由题可得202x x ≤⎧⎨≥⎩或0112x x x<<⎧⎪-⎨≥⎪⎩或1322x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得x ≤或103x <≤或7x ≥，所以实数x的取值范围为1,0,7,.3∞∞⎛⎫⎡⎛⎤-⋃⋃+ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数()4,11,11x x x f x x x x-⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩2()1g x x =-.(1)求()2f ，()2g 的值；(2)若7(())9f g a =-，求实数a 的值.【答案】(1)13-，3；(2)3±【解析】（1）因为21>-，且()4,11,11x x x f x x x x -⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩，所以121(2)123f -==-+.因为2()1g x x =-，所以2(2)213g =-=.（2）依题意，令()g a t =，若1t ≤-，则47(())()9t f g a f t t -===-，解得914t =>-，与1t ≤-矛盾，舍去；若1t >-，则17(())()19t f g a f t t -===-+，解得81t =>-，故2()18g a a =-=，解得3a =±，所以实数a 的值为3±；综上所述：a 的值为3±.。

新教材苏教版高中数学必修一知识点09 函数的表示方法

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式．【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题．例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ；当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果．【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-，即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1，故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥，令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥，故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]，所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值．【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题．训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a，因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上，所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确；因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误，所以正确的有①①①，共3个，故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -．故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =，当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解；由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =，所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6，故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解；当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==，则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值．由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力．二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556；当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416，综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________．【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________．【答案】154．【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅，可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =，由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154．故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域；（3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >；当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤；且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+，故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦，当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+，故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=，解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。

9知识讲解_函数的极值与最值_基础

导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】知识点一：函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

Python程序设计-第5章-字符串-第6章(2)-(第9次课)知识讲解

#Exp5_2.py s=raw_input('请输入几个数字，用逗号分隔：') li=s.split(',') print li sum=0 for x in li:
sum=sum+float(x) print 'sum=',sum 输入及程序运行结果：请输入几个数字，用逗号分隔：23,2,5,12.3 ['23', '2', '5', '12.3'] sum= 42.3
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第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

2020-2021学年初中数学精品课程：第9讲-二次函数的基本解析式与图像变换(下)

2020-2021学年初中数学精品课程二次函数的基本解析式与图像变换(下)：【挑战题】如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过x轴上的点A，B。

⑴求点A，B，C的坐标。

⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式。

【例1】已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线l1的解析式为y＝－x2，将抛物线l1平移后得到抛物线l2，若抛物线l2经过点(0，2)，且其顶点A的横坐标为最小正整数。

⑴求抛物线l2的解析式；⑵说明将抛物线l1如何平移得到抛物线l2；⑶若将抛物线l2沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l3，设抛物线l3的顶点为B，直线OB与抛物线l3的另一个交点为C。

当OB＝OC时，求点C的坐标。

二、二次函数图象的对称1．关于x轴对称y＝ax2＋bx＋c关于x轴对称后，得到的解析式是y＝－ax2－bx－c；2．关于y轴对称y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到的解析式是y＝ax2－bx＋c；3．关于原点对称y＝ax2＋bx＋c关于原点对称后，得到的解析式是y＝－ax2＋bx－c；【例2】⑴(东城期末)抛物线C1：y＝x2＋1与抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为( ) A．y＝－x2B．y＝－x2＋1C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1⑵(天津中考)在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2C．y＝－x2＋x＋2D．y＝x2＋x＋2⑶(密云期末)将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A．y＝－x2B．y＝－x2＋1C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1【例3】(丰台期末)如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，点B的横坐标是1。

2023全国真题分类卷第一部分基础知识分点练第九讲二次函数的图象与性质

第九讲二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的基本性质类型一开口方向、对称轴及顶点的确定(含解析式转化)1. (2022新疆)已知抛物线y ＝(x －2)2＋1，下列结论错误．．的是( ) A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x ＝2C. 抛物线的顶点坐标为(2，1)D. 当x <2时，y 随x 的增大而增大2. (2019甘肃省卷)将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为________．类型二与增减性、最值有关的问题3. (2022宁波)点A (m －1，y 1)，B (m ，y 2)都在二次函数y ＝(x －1)2＋n 的图象上．若y 1<y 2，则m 的取值范围为( )A. m >2B. m >32C. m <1D. 32<m <24. (2022陕西)已知二次函数y ＝x 2－2x －3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3.当－1＜x 1＜0，1<x 2<2，x 3>3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是( ) A. y 1＜y 2＜y 3 B. y 2＜y 1＜y 3 C. y 3＜y 1＜y 2 D. y 2＜y 3＜y 15. (2022贺州)已知二次函数y ＝2x 2－4x －1在0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为15，则a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. (2022温州)已知点A (a ，2)，B (b ，2)，C (c ，7)都在抛物线y ＝(x －1)2－2上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是( )A. 若c <0，则a <c <bB. 若c <0，则a <b <cC. 若c >0，则a <c <bD. 若c >0，则a <b <c7. (2022南充)已知点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在抛物线y ＝mx 2－2m 2x ＋n (m ≠0)上，当x 1＋x 2＞4且x 1＜x 2时，都有y 1＜y 2，则m 的取值范围为( ) A. 0＜m ≤2 B. －2≤m ＜0 C. m ＞2 D. m ＜－2类型三二次函数图象上点的坐标特征8. (2022岳阳)已知二次函数y ＝mx 2－4m 2x －3(m 为常数，m ≠0)，点P (x P ，y P )是该函数图象上一点，当0≤x P ≤4时，y P ≤－3，则m 的取值范围是( ) A. m ≥1或m <0 B. m ≥1 C. m ≤－1或m >0 D. m ≤－19. (2021益阳)已知y 是x 的二次函数，下表给出了y 与x 的几对对应值： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y…11a323611…由此判断，表中a ＝________．10. (2022盐城)若点P (m ，n )在二次函数y ＝x 2＋2x ＋2的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2，则n 的取值范围是________．类型四与坐标轴交点有关的问题11. (2022大庆)已知函数y ＝mx 2＋3mx ＋m －1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为________． 12. (2022福建)已知抛物线y ＝x 2＋2x －n 与x 轴交于A ，B 两点，抛物线y ＝x 2－2x －n 与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0.若AD ＝2BC ，则n 的值为________．命题点2 与二次函数图象有关的判断13. (2022株洲)已知二次函数y ＝ax 2＋bx －c (a ≠0)，其中b ＞0，c ＞0，则该函数的图象可能为( )14. (2022黔东南州)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝－cx在同一坐标系内的大致图象为( )15. (2021包头)已知二次函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b )，则一次函数y ＝bx －ac的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限命题点3 二次函数图象与系数a ，b ，c 的关系[2022版课标新增知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系]16. (2022滨州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A (－2，0)，B (6，0)，与y 轴相交于点C ，小红同学得出了以下结论：①b 2－4ac ＞0；②4a ＋b ＝0；③当y ＞0时，－2＜x ＜6；④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的个数为( )第16题图A. 4B. 3C. 2D. 117. (2022毕节)在平面直角坐标系中，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc >0；②2a －b ＝0；③9a ＋3b ＋c >0；④b 2>4ac ；⑤a ＋c <b .其中正确的有( )第17题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18. (2022日照)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图所示，对称轴为x ＝32 ，且经过点(－1，0).下列结论： ①3a ＋b ＝0；②若点(12 ，y 1)，(3，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；③10b －3c ＝0； ④若y ≤c ，则0≤x ≤3. 其中正确的有( )第18题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个19. (2022遂宁)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的部分图象如图所示，设m＝a－b＋c，则m的取值范围是________．第19题图命题点4二次函数解析式的确定20. (2021杭州)在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()第20题图A. 52 B.32 C.56 D.1221. (2020兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图象上，则k＝________．22. (2020威海)下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为________．x …－1013…y …0340…命题点5二次函数与一元二次方程的关系[2022版课标新增知道二次函数和一元二次方程之间的关系]23. (2022绍兴)已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是()A. 0，4B. 1，5C. 1，－5D. －1，524. (2021铜仁)已知直线y＝kx＋2过一、二、三象限，则直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个25. (2021泸州)直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数y＝(x－a)2＋(x－2a)2＋(x－3a)2－2a2＋a(其中x 是自变量)的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是()A. a>4B. a>0C. 0<a≤4D. 0<a<4命题点6二次函数图象与性质综合应用26. (2022天津)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，0＜a＜c)经过点(1，0)，有下列结论：①2a＋b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2＋bx＋(b＋c)＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 327. (新考法)·结合命题考查二次函数的图象与性质(2022杭州)已知二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数).命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是()A. 命题①B. 命题②C. 命题③D. 命题④28. (2022自贡)已知A(－3，－2)，B(1，－2)，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧)，下列结论：①c≥－2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为－5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD 为平行四边形时，a ＝12 .其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ①③④29. (2021安徽)已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋1(a ≠0)的对称轴为直线x ＝1. (1)求a 的值；(2)若点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在此抛物线上，且－1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，比较y 1与y 2的大小，并说明理由； (3)设直线y ＝m (m ＞0)与抛物线y ＝ax 2－2x ＋1交于点A ，B ，与抛物线y ＝3(x －1)2交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．30. (2022丽水)如图，已知点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在二次函数y ＝a (x －2)2－1(a ＞0)的图象上，且x 2－x 1＝3. (1)若二次函数的图象经过点(3，1). ①求这个二次函数的表达式； ②若y 1＝y 2，求顶点到MN 的距离；(2)当x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．第30题图31. (2022连云港)已知二次函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋m －4，其中m >2. (1)当该函数的图象经过原点O (0，0)，求此时函数图象的顶点A 的坐标； (2)求证：二次函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋m －4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y ＝－x －2上运动，平移后所得函数的图象与y 轴的负半轴的交点为B ，求△AOB 面积的最大值．第31题图32. (2021遵义)如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a 为常数且a ≠0)与y 轴交于点A (0，53 ).(1)求该抛物线的解析式；(2)若直线y ＝kx ＋23 (k ≠0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 21 ＋x 22 ＝10时，求k 的值； (3)当－4＜x ≤m 时，y 有最大值4m3，求m 的值．第32题图命题点7 二次函数图象的变化类型一平移33. (2021铜仁)已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与x 轴有两个交点A (－1，0)，B (3，0)，抛物线y ＝a (x －h －m )2＋k 与x 轴的一个交点是(4，0)，则m 的值是( )A. 5B. －1C. 5或1D. －5或－134. (2022湖州)将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是( ) A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)235. (2021上海)将函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是( ) A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y 随x 的变化情况不变 D. 与y 轴的交点不变36. (2021山西)抛物线的函数表达式为y ＝3(x －2)2＋1, 若将x 轴向上平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( ) A. y ＝3(x ＋1)2＋3 B. y ＝3(x －5)2＋3 C. y ＝3(x －5)2－1 D. y ＝3(x ＋1)2－137. (2022泸州)抛物线y ＝－12 x 2＋x ＋1经平移后，不可能得到的抛物线是( )A. y ＝－12 x 2＋xB. y ＝－12 x 2－4C. y ＝－12x 2＋2021x －2022 D. y ＝－x 2＋x ＋138. (2021苏州)已知抛物线y ＝x 2＋kx －k 2的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点．则k 的值是( ) A. －5或2 B. －5 C. 2 D. －239. (2021黔东南州)如图，抛物线L 1：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴只有一个公共点A (1，0)，与y 轴交于点B (0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线L 2，则图中两个阴影部分的面积和为( )第39题图A. 1B. 2C. 3D. 440. (2022无锡)把二次函数y ＝x 2＋4x ＋m 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：________．41. (新考法)·结合胶片的平移考查二次函数的性质 (2022河北)如图，点P (a ，3)在抛物线C ：y ＝4－(6－x )2上，且在C 的对称轴右侧．(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋6x－9，求点P′移动的最短路程．第41题图类型二轴对称(折叠)42. (2020陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2＋2x－n与y＝－6x2－2x＋m－n关于x轴对称，则m，n的值为()A. m＝－6，n＝－3B. m＝－6，n＝3C. m＝6，n＝－3D. m＝6，n＝343. (2022玉林)小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；③向下平移4个单位长度；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度．你认为小嘉说的方法中正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个44. (2021广元)将二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为()第44题图A. －214 或－3B. －134 或－3C.214 或－3 D. 134或－3 类型三中心对称或旋转45. (2021眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－4x ＋5与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为( ) A. y ＝－x 2－4x ＋5 B. y ＝x 2＋4x ＋5 C. y ＝－x 2＋4x －5 D. y ＝－x 2－4x －546. (2022黔东南州)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2＋2x －1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是________．。

2022高考数学基础知识综合复习优化集训9三角函数的概念和诱导公式

优化集训9　三角函数的概念和诱导公式基础巩固1.(2018年6月浙江学考)设α∈R,则sin π2-α=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α2.cos 300°的值是( )A.-√32B.-12C.√32D.123.某学校大门口有一座钟楼,每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景,有一天因停电导致钟表慢10分钟,则将钟表分针拨快到准确时间分针所转过的弧度数是( )A.-π3B.-π6C.π6D.π34.在单位圆中,已知角α的终边与单位圆的交点为P-35,45,则Q sin α-cos α,cosπ2+α位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.“α=π6”是“sin α=12”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2020湖州期末)已知角α的终边经过点P(4,-3),则2sin α+cos α=( )A.-35B.45C.25D.-257.(2021广东汕尾高一期末)已知扇形OAB 的周长为12,圆心角大小为2 rad,则该扇形的面积是()A.2B.3C.6D.98.(2021绍兴高一期末)已知sin α+cos α=43,则sin αcos α=( )A.-79B.-718C.718D.799.(2021年学考仿真)角α终边上有一点P (m ,2),则“cos α=-13”是“m=-√22”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知α是第二象限角,P (x ,√5)为其终边上一点,且cos α=√24x ,则实数x 等于( )A.√3B.±√3C.-√2D.-√311.已知sin α-π4=13,则cos 5π4+α等于( )A.-13 B.13C.2√23D.-2√2312.(2021义乌高一期末)设角θ的终边经过点(3,-4),则cos θ= . 13.若cos α≥√22,则α的取值范围为 .14.已知点P (sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第象限角.15.已知角α=2k π-π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y=sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|的值为 .16.(2021镇海高一期末)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是1,则扇形的周长为 .17.sin 43π·cos 56π·tan -43π的值是 .18.已知x ∈R ,则使sin x>cos x 成立的x 的取值范围是 . 19.已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,求sin θ+cos θ的值.20.已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.21.(2021福建四校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P -35,45.(1)求tan α与cos α+π4的值;(2)计算sin (π-α)+cos(2π+α)sin (-α)+sin (π2+α)的值.素养提升22.已知cos(π-θ)-2cos (π2+θ)sin (π2-θ)+sin (π+θ)=2,则tan θ+π4= .23.已知sin7π12+α=23,则cos α-11π12= .24.(2021河北石家庄高一期末)已知角θ的终边上有一点P (m ,√2)(m ≠0),且cos θ=m 4.(1)求实数m 的值;(2)求sin θ,tan θ的值.25.已知f (x )=co s 2(n π+x )·si n 2(n π-x )co s 2[(2n +1)π-x ](n ∈Z ).(1)化简f (x )的表达式;(2)求fπ12+f 5π12的值.优化集训9　三角函数的概念和诱导公式1.C 解析根据诱导公式可以得出sinπ2-α=cos α.故选C .2.D 解析cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=12,故选D .3.A 解析分针需要顺时针方向旋转π3,即弧度数为-π3.故选A.4.D 解析由三角函数定义知sin α=45,cos α=-35,cosπ2+α=-sin α=-45,所以sin α-cos α=75,点Q75,-45位于第四象限,故选D .5.A 解析α=π6时,sin α=12,反过来,sin α=12时,α=π6+2k π或α=5π6+2k π,k ∈Z ,所以不一定是π6,所以“α=π6”是“sin α=12”的充分不必要条件.故选A .6.D 解析因为角α的终边经过点P (4,-3),所以2sin α+cos α=2√22√2225,故选D .7.D 解析设扇形OAB 的半径为r ,弧长为l ,则周长2r+l=12,圆心角为l r=2,解得r=3,l=6,故扇形面积为12lr=12×3×6=9.故选D .8.C　解析已知sinα+cosα=43,两边平方可得1+2sinαcosα=169,整理得sinαcosα=718,故选C.9.C　解析角α终边上有一点P(m,2),cos√2213<0,解得m=-√2 2,所以“cosα=-13”是“m=-√22”的充要条件.故选C.10.D　解析依题意得cosα=√√24x<0,由此解得x=-√3.故选D.11.B　解析∵5π4+α=3π2+α-π4=π+π2+α-π4,∴cos 5π4+α=cos 3π2+α-π4=cosπ+π2+α-π4=-cos π2+α-π4=sinα-π4=13.故选B.12.35　解析因为角θ的终边经过点(3,-4),所以cos√2235.13.-π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z　解析由cosα≥√22,则α的取值范围为-π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z.14二　解析因为点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,所以sinθcosθ<0,2cosθ<0,即{sinθ>0,cosθ<0,所以θ为第二象限角.15-1　解析由α=2k π-π5(k ∈Z )及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.16.6　解析根据题意S=2,θ=1,因为S=12θR 2=2,所以R=2.因为l=θR=2,所以扇形的周长为l+2R=2+4=6.17.-3√34　解析原式=sin π+π3·cos π-π6·tan -π-π3=-sin π3·-cos π6·-tan π3=-√32×-√32×(-√3)=-3√34.18.2k π+π4,2k π+5π4,k ∈Z 解析在[0,2π]区间内,当x ∈π4,5π4时,sin x>cos x ,所以在(-∞,+∞)上使sin x>cos x 成立的x 的取值范围是2k π+π4,2k π+5π4,k ∈Z .19.解因为θ的终边过点P (x ,-1)(x ≠0),所以tan θ=-1x.又tan θ=-x ,所以x 2=1,即x=±1.当x=1时,sin θ=-√22,cos θ=√22.因此sin θ+cos θ=0;当x=-1时,sin θ=-√22,cos θ=-√22,因此sin θ+cos θ=-√2.故sin θ+cos θ的值为0或-√2.20.解设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α,(1)由题意可得{2r+l=8,12lr=3,解得{r=3,l=2或{r=1,l=6,所以α=lr =23或α=lr=6.(2)因为2r+l=8,所以S扇=12lr=14l·2r≤14l+2r22=14×42=4,当且仅当2r=l,即α=lr=2时,等号成立,扇形面积取得最大值4.所以圆心角α=2,r=2,弦长AB=2×2sin1=4sin1.21.解(1)由三角函数定义可知tanα=-43,sinα=45,cosα=-35,cosα+π4=√22cosα-√22sinα=-3√210−4√210=-7√210.(2)原式=sinα+cosα-sinα+cosα=tanα+1 -tanα+1,因为tanα=-43,原式=-43+143+1=-17.22.7　解析∵cos(π-θ)-2cos(π2+θ) sin(π2-θ)+sin(π+θ)=-cos θ+2sin θcos θ-sin θ=-1+2tan θ1-tan θ=2,∴tan θ=34,则tan θ+π4=tan θ+11-tan θ=7414=7.23.-23　解析cos α-11π12=cos 11π12-α=cos π-π12+α=-cosπ12+α,而sin7π12+α=sin π2+π12+α=cosπ12+α=23,所以cos α-11π12=-23.24.解(1)由三角函数的定义有,cos √2m4,解得m=±√14.(2)①当m=√14时,sin √2√=√24,tan √2√√77,②当m=-√14时,sin √2√√24,tan √2-√14√77.25.解(1)当n 为偶数,即n=2k (k ∈Z )时,f (x )=co s 2(2k π+x )·si n 2(2k π-x )co s 2[(2×2k +1)π-x ]=co s 2x ·si n 2(-x )co s 2(π-x )=co s 2x ·(-sin x )2(-cos x )2=sin 2x ;当n 为奇数,即n=2k+1(k ∈Z )时,f (x )=co s 2[(2k +1)π+x ]·si n 2[(2k +1)π-x ]co s 2\{[2×(2k +1)+1]π-x \}=co s 2[2k π+(π+x )]·si n 2[2k π+(π-x )]co s 2[2×(2k +1)π+(π-x )]=co s 2(π+x )·si n 2(π-x )co s 2(π-x )=(-cos x )2si n 2x(-cos x )2=sin 2x.综上得f (x )=sin 2x.(2)由(1)得f π12+f 5π12=sin 2π12+sin 25π12=sin 2π12+sin 2π2−π12=sin 2π12+cos 2π12=1.11。

高考数学一轮总复习第二章函数第9讲指数与指数函数课件

[答案] (0，4]
12/13/2021
第二十五页，共四十七页。
指数函数的性质及应用例 3 (1)已知 a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当 x ＞0 时，1＜bx＜ax，则( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
[解析] ∵x＞0 时，1＜bx，∴b＞1. ∵x＞0 时，bx＜ax，∴x＞0 时，bax＞1. ∴ba＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选 C.
(3)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究．
12/13/2021
第十二页，共四十七页。
指数幂的运算
例 1 求值与化简：
2 1 1 1 1 5
(1)
2a
3b
2
6a
2
b
3
3a
6
b
6
；
(2)(1.5)
－
2
当 0<a<1 时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12
≤a<1；当 a＝1 时，y＝12x2 与 y＝1 在[1，2]上有交点
( 122/，13/[12答0)2，1案满] B足条件．综上第可十八页知，共四十，七页。a∈12，
2.
(3)( 多选 ) 已知函数 f(x) ＝ |2x － 1| ， a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
m
意义相仿，我们规定 a n ＝
1
m
an
(a>0，m，n∈N*，且
n>1).0 的正分数指数幂等于_0___；0 的负分数指数幂
__没__有__(m_é_i y_ǒ_u)_意_．义

函数的概念及其表示-高考复习课件

1．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域可由不等式 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域． 3．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
(3)若函数 f(x)满足 f(x)－2f1x＝x＋2，则 f(2)＝－3 .
解析：由 f(x)－2f1x＝x＋2，可得 f1x－2f(x)＝1x＋2，联立两式可得 f(x)＝－13x＋2x－ 2，代入 x＝2 可得 f(2)＝－3.
规律总结
求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的解析式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (4)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x)．
3．(教材改编题)已知函数 f(x)＝2x＋x－11，，xx≤>00，，则 f(f(0))的值为 1 ；方程 f(－x)＝1 的解是 0 或－1 .
解析：∵f(0)＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝1；当－x≤0 时，f(－x)＝－x＋1＝1，解得 x＝0；当－x>0 时，f(－x)＝2－x－1＝1，解得 x＝－1.

反比例函数(基础)知识讲解

反比例函数（基础）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】【高清课堂反比例函数知识要点】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x =，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x= ()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x = ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：k y x= (0k ≠)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k 的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x=中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以O 为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四：反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k . 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、下列函数：①y=2x ，②y=，③y=x ﹣1，④y=．其中，是反比例函数的有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C ；【解析】解：①y 是x 正比例函数；②y 是x 反比例函数；③y 是x 反比例函数；④y 是x+1的反比例函数．故选：C ．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般(0k y k x=≠）转化为y=kx ﹣1（k≠0）的形式．类型二、确定反比例函数的解析式2、（2016春•大庆期末）已知y 与x 成反比例，且当x=﹣3时，y=4，则当x=6时，y 的值为．【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【答案】﹣2．【解析】解：设反比例函数为y=，当x=﹣3，y=4时，4=，解得k=﹣12．反比例函数为y=．当x=6时，y =﹣2，故答案为：﹣2．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？【答案】解：设k y x=，当6x =-时，4y =，所以46k =-，则k ＝－24，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y y ，，的大小关系是（）．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【答案】D ；【解析】解：因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数k y x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x=，当x ＝－1时，y ＝－2，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－1到1，函数值y 由－2到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式1】已知2(3)m y m x -=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴ 1m =. (2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-． ∵ (－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴ 312y y y <<【高清课堂反比例函数例5】【变式2】对于函数y=，下列说法错误的是（）A. 它的图象分布在一、三象限；B. 它的图象与坐标轴没有交点；C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而增大.【答案】D ；解：A 、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；B 、因为x 、y 均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；C 、它的图象关于y=﹣x 成轴对称，关于原点成中心对称，正确；D ，当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小，故选：D ．类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△PAB 的面积是6，求P 点的坐标．【思路点拨】由已知的点A 、B 的坐标，可求得AB ＝4，再由△PAB 的面积是6，可知P 点到y 轴的距离为3，因此可求P 的横坐标为±3，由于点P 在1y x=-的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC ⊥y 轴于点C ．∵ A(0，2)、B(0，－2)，∴ AB ＝4．又∵ 0||PC x =且6PAB S =△，∴01||462x =，∴ 0||3x =，∴ 03x =±．又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =． ∴ P 的坐标为113,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或213,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数k y x=的图象与正比例函数y mx =的图象交于A 、B ，作AC ⊥y 轴于C ，连BC ，则△ABC 的面积为3，求反比例函数的解析式．【答案】解：由双曲线与正比例函数y mx =的对称性可知AO ＝OB ，则1322AOC ABC S S ==△△．设A 点坐标为(A x ，A y )，而AC ＝|A x |，OC ＝|A y |，于是1113||||2222AOC A A A A S AC OC x y x y ===-=△， ∴ 3AA x y =-，而由A A k y x =得A A x y k =，所以3k =-，所以反比例函数解析式为3y x -=．。

9知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础

数列的全章复习与巩固【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】【要点梳理】要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

通项n a 与前n 项和n S 的关系：任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行：（1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。

数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。

高考数学总复习考点知识专题讲解9---导数与函数的极值、最值

角度2：已知函数求极值
【例1－2】
(1)(2020·广东深圳质检)已知函数f(x)＝
1 2
x2
－(a＋1)x＋alnx＋1，a∈R.若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的
极大值．
(2)(2020·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋
a ex
(a∈R，e为
自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．
[思路引导] (1)由f′(3)＝0求出a→确定f′(x)的符号→
已知函数求极值
求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号→下结论.
若函数f(x)在x＝x0处取得极已知极值求值，则f′(x0)＝0，且在该
点左、右两侧的导数值符参数值或范
号相反，求出参数后要检围
验所求参数值是否满足x0的极值点特征.
(2)f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则 h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx. 当x∈0，π2时，h′(x)<0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减．
所以对任意x∈0，π2有h(x)<h(0)＝0，即f ′(x)<0. 所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．因此f(x)在区间 0，π2 上的最大值为f(0)＝1，最小值为 fπ2＝－π2.
3ax2＋bx－2a2在x＝2时有极值0，那么a＋b的值为( B )
A．14
B．40
C．14或40
D．52
(2)(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是__0_，__12___．

第9讲：椭圆的第三定义

第9讲：椭圆的第三定义1.基础知识：如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过原点为中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a -．证明设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值．这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.2.典例：(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．()1求C 的方程，并说明C 是什么曲线；()2过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：POG △是直角三角形； ()ii 求POG △面积的最大值．【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2y x x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x y x +=≠±；（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE kk =，可得直线QE方程：2k y x =，与椭圆方程联立，2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y得，22222128(2)021k k x k ++-=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q 点和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形；（ii ）由（i）可知：P Q ，G 的坐标为23，PQ ==，PG ==,34218()2252PQGk k S k k ∆+==++ 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S =.。

2023年安徽省中考数学一轮复习讲义第9讲二次函数实际应用(中)(教案)

二次函数实际应用二次函数应用题型有哪些？知识点1：用函数解决抛物线形问题1．在实际问题中求抛物线的解析式时，为使问题简单，通常以抛物线的顶点为________建立直角坐标系．2．用__________求出抛物线的解析式．3．用二次函数的__________去分析、解决问题．类型：1、抛物线形状：隧道类、拱桥类2、运动轨迹抛物线形：球类、喷泉【例1】如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．（1）请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；（2）问此篮球能否投中？（3）此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得，、O（0，0）、B（3，﹣1），设函数关系式为y＝ax2，代入A点坐标解得a＝﹣，∴二次函数的关系式为；（2）把x＝3代入得y＝﹣1，即C点在抛物线上，所以一定能投中；（3）由题意得y＝﹣4+3.19＝﹣0.81，将y，解得xx＝2.7（舍），4﹣2.7＝1.3，所以只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功．【例2】2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：，解得：，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，当x＝7时，运动员到达坡顶，即﹣×72+7b+4＞3+，解得：b＞．【变式训练1】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为，抛物线的顶点坐标为，可求这条抛物线的解析式为．当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当取y＝时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为，解决了这个问题．【考点】二次函数的应用．【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6，故答案为：（12，0）；（6，8）；；；﹣2；6．【变式训练2】如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）b＝，c＝1．（2）由y＝＝，可知当x ＝时，y 有最大值，故大棚最高处到地面的距离为米；（3）令y ＝，则有＝，解得x 1＝，x 2＝，又∵0≤x ≤6，∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣＝（米），又大棚的长为16米，∴需要搭建支架部分的土地面积为16×＝88（平方米），故共需要88×4＝352（根）竹竿，答：共需要准备352根竹竿．知识点2：利用二次函数求最大面积1．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在ab 2x -=处取得最小值a 442b ac -，无最大值；当0a <时，函数在ab 2x -=取得最大值a b ac 442-，无最小值． 2．二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值【例1】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）∵，∴NC＝2BH＝2NN，设EG＝b，则EF＝4b，∵S2＝S1，∴BE•b＝a•4b，∴BE＝4a（0＜a＜5）；（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD＝5a+4a+4a+5a＝18a，∴BC＝＝45﹣9a，∴y＝5a（45﹣9a）＝﹣45a2+225a＝﹣45，∵﹣45＜0，∴当a＝时，y有最大值，此时最大值为m2．【例2】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．（1）若a＝30，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（200﹣2x）m，根据题意得：x（200﹣2x）＝1800，解得x1＝10，x2＝90，当x＝10时，200﹣2x＝180＞30，不符合题意舍去，当x＝90时，200﹣2x＝20，答：AD的长为20m；（2）设AD＝nm，∴S＝n（200﹣n）＝﹣（n﹣100）2+5000，当a≥100时，则n＝100时，S的最大值为5000，当0＜a＜100时，则当0＜n≤a时，S随n的增大而增大，∴当n＝a时，S的最大值为100n﹣a2，【变式训练1】如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体．【解答】解：（1）根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，知这个正方体的底面边长FG＝MH＝x，则GM＝GN＝x，故MN＝GM＝2x，∵正方形纸片ABCD边长为120cm，∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，则正方体的底面边长a＝30，∴V＝a3＝＝5400（cm3）；答：这个工艺盒的体积是5400cm3；（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，则a＝x，h＝＝（60﹣x），∴S＝4ah＝4x•（60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，∵0＜x＜60，∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．【变式训练2】如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．（1）若仓库的面积为150平米，求AB．（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150，解得：x1＝15，x2＝5，当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），∴AB＝15；（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22，∴当x＝10时，y最大值＝200，答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．知识点3：利用二次函数求最大利润1．利用二次函数求最大利润(或收益)的步骤：(1)引入自变量；(2)用含自变量的_______分别表示销售单价或销售收入及销售量；(3)用含自变量的_______表示销售的商品的单件利润；(4)用函数及含自变量的_______分别表示销售利润即可得到函数关系式；(5)根据函数关系式求出_______及取得_______时自变量的值．2. 等量关系利润=总售价总成本利润=单件利润×销售量=（售价成本）×销售量利润利润率=%100成本【例1】为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知：销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．请根据以上信息，解决问题：（1）当13≤x≤30时，写出y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？（3）若要保证第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨m元/斤，则整数m的最小值为．（直接写出结果）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得y＝500﹣10（x﹣12）＝﹣10x+620（13≤x≤30）；（2）由题意得，销售量为42+2（x﹣1）＝2x+40，当1≤x≤12时，则w＝500（2x+40）＝1000x+20000，当x＝12时，w取最大值为1000×12+20000＝32000，当13≤x≤30时，则w＝y（2x+40）＝（﹣10x+620）（2x+40）＝﹣20（x﹣21）2+33620，∵﹣20＜0，∴当x＝21时，w取最大值为33620，∵33620＞32000，∴当x＝21时，w取最大值为33620，答：当x为第21天时日销售额w最大，最大为33620元；（3）依题意w＝（y+m）⋅（2x+40）＝（﹣10x+620+m）（2x十40）＝﹣20x2+2（m+420）x+40（m+620），∵第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，∵对称轴，得m≥20，故m的最小值为20，故答案为：20．【例2】科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足函数关系y＝﹣x+80．（1）求销售利润w（元）关于x的函数表达式；当销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？（2）该科研公司不断创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，此时该产品的成本价格应低于多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得：w＝（y﹣40）x＝（﹣x+80）x＝﹣+40x＝﹣（x﹣100）2+2000，∵﹣＜0，∴当x＝100时，利润最大，最大利润为2000元，∴销售利润w关于x的函数表达式w＝﹣x2+40x，当销售量为100件时，销售利润最大，最大利润是2000元；（2）设该产品成本为m元时销售量在120件以上，销售利润最大，由题意得：w＝（y﹣m）x＝（﹣x+80﹣m）x＝﹣x2+（80﹣m）x，∵﹣＜0，∴w在对称轴处取得最大值，∴对称轴直线为x＝﹣＝﹣＞120，解得：m＜32，∴该产品的成本价格应低于32元．【变式训练1】砀山酥梨是安徽名优特产，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该梨的月销售量y（千克）与销售单价x（元）成一次函数关系，图象如图所示，已知该梨的销售成本为5元/千克．（1）求y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（2）求销售该梨每月可获得的最大利润；（3）在销售后期，该梨每千克的保鲜成本增加了1元，若月销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中的函数关系不变，当该梨的月销售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题意得，，解得，即y与x的函数解析式是y＝﹣20000x+220000；（2）由题意可得，W＝（x﹣5）（﹣20000x+220000）＝﹣20000x2+3200000x﹣1100000＝﹣2（x﹣8）2+180000，∵﹣20000＜0，∴当x＝8时，W最大是180000，∴最大利润是180000元；（3）由题意得，（x﹣5﹣1）（﹣20000x+220000）＝105000，解得x1＝7.5，x2＝9.5．∵单价最低销量最大，∴在最大限度减少库存的条件下，x＝7.5．【变式训练2】某公司计划组织员工去武夷山风景区三日游，人数估计在25～45人．已知某旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元．设该公司旅游人数为x（人），人均收费为y（元）．（1）求y与x之间的关系式；（2）若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为6000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人．请你分析：旅行社带团接待旅游人数多少人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润＝总收费﹣固定成本﹣其他成本）【考点】一次函数的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可得，当25≤x≤30时，y＝1000，当30＜x≤45时，y＝1000﹣（x﹣30）×10＝﹣10x+1300，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）由题意可得，当25≤x≤30时，w＝1000x﹣6000﹣600x＝400x﹣6000，∵k＝400＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝400×30﹣6000＝6000；当30＜x≤45时，w＝（﹣10x+1300）x﹣6000﹣600x＝﹣10x2+700x﹣6000＝﹣10（x﹣35）2+6250，∴当x＝35时，w取得最大值，此时W＝6250；由上可得，旅行社带团接待旅游人数35人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是6250元．1．A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：到C地到D地A果园每吨15元每吨12元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于x的函数关系式；（3）求总运输费用的最大值和最小值；（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w＝﹣（x﹣25）2+4360．则当x＝时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40﹣x）吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40﹣x）吨．故答案为：（40﹣x），12（40﹣x）；（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40﹣x）吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地（30﹣x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；则y＝15x+12（40﹣x）+10（30﹣x）+9（30+x）＝2x+1050；故y关于x的函数关系式为y＝2x+1050；（3）因为总运费y＝2x+1050，当x＝30时，有最大值2×30+1050＝1110元；当x＝0时，有最小值2×0+1050＝1050元；（4）w＝﹣（x﹣25）2+4360，因为二次项系数﹣1＜0，所以抛物线开口向下，当x＝25时，w有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360．2．已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象经过点（﹣1，0）（3，0）．（1）求a，b的值；（2）求当﹣3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣2的图象与二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1﹣y2的最大值．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）将（﹣1，0）（3，0）代入y＝ax2﹣bx﹣3得：，解得．（2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，∵1﹣（﹣3）＞2﹣1，∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣3时，y取最大值12，∴y的最大值与最小值的差为12﹣（﹣4）＝16．（3）当x＝﹣1时y＝﹣（m﹣2）+m﹣2＝0，∴直线y＝（m﹣2）x+m﹣2经过定点（﹣1，0），∵x1＜0＜x2，∴x1＝﹣1，y1＝0，∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴y2≥﹣4，∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，∴w＝y1﹣y2的最大值为4．3．某水果批发商销售热带水果，其进价为8元/千克，当销售单价定为10元时，每天可售出300千克．根据市场行情，现决定增加销售价格．市场调查反映：销售单价每增加2元，则每天少售出100千克，若该热带水果的销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克）．（1）求每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天销售这种热带水果的利润最大，最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）＝﹣50x+800，∴每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式y＝﹣50x+800；（2）设每天的销售利润为w元，则w＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800，∵a＝﹣50＜0，∴二次函数开口向下，∴w有最大值，∴x＝12时，w最大，此时w最大＝800元，答：当销售单价为12元时，每天的销售利润最大，最大利润为800元．4．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：y＝80﹣（x﹣24）×5＝﹣5x+200，∵物价部门规定，售价不得低于进价且不得高于进价的150%，∴20≤x≤20×150%，即20≤x≤30，答：超市销售该品牌猪肉y（斤）和每天售价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣5x+200（20≤x≤30）；（2）设利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣20﹣a）（﹣5x+200）＝﹣5x2+5（60+a）x﹣4000﹣200a，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝30+，∵a＞0，∴30+＞30，∵﹣5＜0，∴该函数图象开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，∵20≤x≤30，销售该品牌猪肉平均需要缴纳卫生检疫费a元/斤，最终每天最大利润可达400元，∴当x＝30时，w＝400，即400＝﹣5×302+5（60+a）×30﹣4000﹣200a，解得a＝2，即a的值是2．6．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；（2）当足球回到地面时；①直接写出此时h的值；②计算此时t的值．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当t＝1时，h＝20﹣5＝15，当t＝3时，h＝20×3﹣5×32＝60﹣45＝15；答：当t＝1和t＝3时，足球的高度都是15米；（2）①当足球回到地面时，h＝0；②当h＝0时，20t﹣5t2＝0，解得：t1＝0（舍），t2＝4．7．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．8．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则，∵，∴BE＝10﹣x＞0，解得x＜，∴（0＜x＜）．9．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；（3）S甲＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，同理S乙＝﹣2x2+40x，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．10．如图1，排球场长为18m，宽为9mm，队员站在底线O点处发球，球从点Om的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点Am，即BAm，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1mm），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．11．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EFm，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．一、这节课我们学了哪些知识？二、本节课我做的比较好的地方是：三、本节课我还需要努力的地方是：。

人教版2023中考数学专题复习：函数基础知识精讲精练

函数基础知识精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1、变量与常量变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．3、函数三种表示方法列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）解析法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。

用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。

图象法：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．以上三种方法的特点（1）：列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

（2）：解析法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

（3）：图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

4、确定函数自变量取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数自变量取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义5、求函数的值(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．6、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

高一数学知识点与习题讲解

高一数学知识点与习题讲解第一章集合与函数基础知识点整理第1讲1.1.1 集合的含义与表示知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合(set)，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ｛｝”括起来，基本形式为佝盘忌，耳｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为｛X A|P(x)｝，既要关注代表元素x，也要把握其属性P(x),适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N,正整数集N*或N ,整数集Z有理数集Q, 实数集R4.元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to)，分别用符号、表示，例如3 N， 2 N .例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2 2x 3) 0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为：｛x R|x(x2 2x 3) 0｝；用列举法表示为｛0, 1,3｝.(2)用描述法表示为：｛x Z|2 x 7｝；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2 ］用适当的符号填空：已知A {x|x 3k 2,k Z},B {x|x 6m 1,m Z}，则有:17 ____ A; —5 ____ A 17 __________ B解：由3k 2 17，解得k 5 Z，所以17 A ；由3k 2 5 ,解得k 7 Z，所以5 A ；3由6m 1 17,解得m 3 Z，所以17 B.【例3］试选择适当的方法表示下列集合：(教材P6练习题2, P13 A 组题4)(1)一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；(2)二次函数y x2 4的函数值组成的集合；(3)反比例函数y 2的自变量的值组成的集合.x解: (1) {(x,y)| ' % 3 } {(1,4)}.y 2x 6(2){y|y x2 4} {y|y 4}.(3){x|y 2} {x|x 0}.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比(2)与(3)中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.【例4］已知集合A {a|戶1有唯一实数解},试用列举法表示集合x 2A.解：化方程—1为：x2 x (a 2) 0 .应分以下三种情况：x 2⑴方程有等根且不是 2 :由4=0,得a 9 ,此时的解为x 1,4 2 合.⑵方程有一解为• 2，而另一解不是2:将x 2代入得a 2, 此时另一解x1 2，合.⑶方程有一解为2，而另一解不是V ：将x 2代入得a 2 , 此时另一解为x .2 1，合.综上可知，A { 9, ,2, 2}.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示•注意分式方程易造成增根的现象•第2讲1.1.2 集合间的基本关系知识要点：1.一般地，对于两个集合A B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A B（或B A），读作“ A含于B” （或“ B 包含A'）.2.如果集合A是集合B的子集（A B）,且集合B是集合A的子集（B A）,即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A B.3.如果集合A B，但存在兀素x B，且x A，则称集合A是集合B 的真子集（proper subset ）,记作A B （或B A）.4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集（1）｛菱形｝｛平行四边形三角形｝.等腰三角形｝等边(2) {x R|x2 2 0}；{0}；N {0}.(2) =, €, 吕，亍.【例2】设集合A ｛x|x二n2 能A_B歸_AA. B.表示A与B关系的是（）. Z}, B12，n Z｝，则下列图形!：A. ' B〕解：简单列举两个集合的一些元素, 1, 丄,0,二,1,二，},2 2 2B { , i, 2,2,i, }，易知B A,故答案选A.另解：由B ｛x|x 2n 1 2 ，nZ｝，易知A,故答案选A.【例3】若集合M x|x2x 6 0 ,Nx|ax 1 0，且N M ,求实数5.性质：A A ；若A B , B C，则A C ；若Ap|B A，贝卩A B ；若A^B A,贝卩B A.例题精讲：【例1】用适当的符号填空：a的值.解：由x2 x 6 0 x 2或(i )若a 0时，得N ，此时，N M ；(ii )若a 0时，得N {-}.若NM ,满足12或13，解得a a a1或a 12 3故所求实数a的值为0或1或1.2 3点评：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“”,因为A时存在A B.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行•【例4】已知集合A={a, a+b, a+2b}，B={a, ax, ax2}.若A=B,求实数x的值.解：若 a b ax2a+ax2-2 ax=0,所以a( x-1) 2=0，即a=0 或x=1.a 2b ax当a=0时，集合B中的元素均为0,故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.. 2若a ax2ax2- ax- a=0.a 2b ax因为a z0,所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2 x+1)=0. 又x工1,所以只有x 1.2经检验，此时A=B成立.综上所述x -.2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲1.1.3 集合的基本运算(一)知识要点:解：在数轴上表示出集合A B, A|[B{X|3 x集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.例题精讲:【例1】设集合U R,A {X| 1 X 5},B {X|3 X19},求A B B,(U(A U B).C U(A B) {X|X 1或X 9}，【例2】设A {x Z||x| 6} , B 1,2,3 , C 3,4,5,6，求:(1)Af](B「|C) ；(2) AplOLJc).解：；A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,345,6 .(1)又T B% 3，二A「(B「|C) 3 ；(2)又丫B|JC 1,2,3,4,5,6 ,得C A(B^C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .•••A^C A(B U C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例3】已知集合A {x| 2 x 4} , B {x|x m}，且A* A,求实数m的取值范围.解：由Ap|B A，可得A B.在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示:由图形可知，m 4 .点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系, 得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集U {x|x 10且x N*}，A {2,4,5,8}，B {1,3,5,8}，求C U(A U B)，C u(A「|B)，(C U A^(C U B)，(C d A) J (C d B)，并比较它们的关系解:由A「B {1,2,3,4,5,8}，贝S C U(A J B) {6,7,9}. 由A「B {5,8}，贝S C u(Ap)B) {1,2,346,7,9}由C U A {1,3,6,7,9} , C U B {2,4,6,7,9},则(C u A)f](C u B) {6,7,9},(C U A)U(C U B) {1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果可以知道，(C u A)U(C u B) C u(A『B),(C u A)f|(C u B) C u(^.B).另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结点评：可用Venn图研究(C U A)U GB)C U(A『B)与(C u A)p|(C u B)C U(A J B)，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲1.1.3 集合的基本运算(二)知识要点：1.含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：C U (A 口B) (C U A) I (C U B) , C U(^J B)(C U A)『G B).2.集合元素个数公式：n(A「B) n(A) n(B) n(A^B).3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.例题精讲：【例1】设集合A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a，若A^B 9，求实数a的值.解：由于A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a，且B 9，则有：当2a 1=9时，解得a=5 ,此时A={-4, 9, 25}, B={9, 0, -4},不合题意，故舍去；当a2=9时，解得a=3或—3 .a=3时,A={-4,5,9}, B={9, -2,-2}，不合题意，故舍去；a= —3, A={ —4, —7,9}, B={9, —8, 4}，合题意、.所以，a=—3.【例2】设集合A {x|(x 3)(x a) 0,a R} , B {x|(x 4)(x1) 0}，求A U B ,A". (教材P14 B组题2) 解：B {1,4}.当a 3 时，A {3}，则A「B {1,3,4}, B ；当a 1时，A {1,3}，则A「B {1,3,4} , A^B {1}；当a 4 时，A {3,4}，则A「B {1,3,4}, A「B {4}；当a 3 且a 1 且a 4 时，A {3,a}，贝卩A J B {1,3,4,a} , B .点评：集合A含有参数a,需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={ x| x2 4x 0}，B ={x| x2 2(a 1)x a2 1 0，a R}，若A B=B,求实数a的值.解：先化简集合A={ 4,0}.由A B=B,则B A可知集合B可为，或为{0}，或{- 4}，或{ 4,0}.(i )若B=，贝S 4(a 1)2 4(a2 1) 0，解得a V 1 ；(ii )若o B,代入得a2 1 =0 a=1 或a= 1 ,当a = 1时，B=A,符合题意；当a= 1时，B={0} A,也符合题意.(iii )若一4 B,代入得a2 8a 7 0 a =7或a=1,当a = 1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={ —12, —4}，不符合题意.综上可得，a=1或a < 1 .点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法.解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B,若定义A B {x|x A,且x B}，当集合A {x|x 8,x N*}，集合B {x|x(x 2)(x 5)(x 6) 0}时，有A B= .(由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为C U A {x|x U，且X A} ”而拓展)解：根据题意可知，A {123,4,5,6,7,8}，B {0,2,5,6}由定义A B {x|x A,且x B}，贝SA B {1,3,4,7,8}.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素.如果再给定全集U则A B也相当于Ap|(C u B).第5讲1.2.1 函数的概念知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f : A—B为从集合A到集合B的一个函数(function ), 记作y=f(x),x A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫值域(range).2.设a、b是两个实数，且a<b,贝卩：{x| a< x< b} = [ a, b]叫闭区间；{ x| a<x<b} = (a, b)叫开区间；{x| a<x<b} =[a,b), { x| a<x< b} = (a,b]，都叫半开半闭区间.符号：Q”读“无穷大” ；“―^”读“负无穷大” ；“ +乂”读“正解：（1）要使函数有意义，则5 4x 0，解得x ;■所以原函数的3x 2 y 5 4x 1 12x 84 5 4x3(4x 5) 234x3234 5 4x;，所以值域(2) (x 1 22)所以原函数的定义域是R,值域【例3】已知函数f(1求：（1）f（2）的值；（2）f（x）的表无穷大”.则{x|x a} (a, ) , {x|x a} [a, ) , {x|x b} ( ,b) , {x|x b} ( ,b], R (,).3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）V 1；（2）y 3「x—3.y |x 2 i， 2 解：（1）由x 2 1 0，解得x 1且x 3，所以原函数定义域为（ ,3尢（3, MJ（1）•（2）由 3 ，解得x 3且x 9，Vx 1 2 0所以原函数定义域为［3,9）卩（9,）.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）y；（2）5 4xy x2 x 2.定义域是｛x|x J.为{y| y -}■4达式1 x r_x2x2 ,x R .1 x（1 )求f(x) f( f(1) f(2)f(3)f(4) f1 1 9 f(3)解: （1）由 f (x)f()丄）的 xf(》i -2X 1 1 2x2x21 x1 x2 21.1 x点评：对规律的发现,f(-))2(f ⑶ (f(4)f(-)) - 3 4 2能使我们实施巧算•正确探索出前一问的解:（"由Y 2，解得x 3，所以f （2）1（2）设一 t ，解得x 」，所以f （t ）口，即f （x ）1 x1 t1 t点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.结论，是解答后一问的关键第6讲1.2.2 函数的表示法知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）【例4】已知函数f （x ）x（2）原式 f （i ） (f ⑵【例2】已知f(x)二3x 3 * 2x 233x x3. 一般地，设A B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B 为从集合A 到集合B 的一个映射(mappi ng ).记作“ f: A B ” .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f.例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是 ________________________________________ ，这个解：(1)由绝对值的概念，有y |x 2| x 2, x 22 x, x 2所以，函数y |x 2|的图象如右图所示3x 3, x 1(2) y |x 1| |2x 4| x 5, 2 x 1 ,3x 3, x 2所以，函数y |X 1| |2x 4|的图象如右图所示点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f (x) ［x］的函数值表示不超过X的最大整数，例如[3.5] 4，[2.1] 2，当x ( 2.5,3］时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5 x 22, 2 x 11, 1 X 0解：f(x) 0, 0 x 1 .函数图象如右：1, 1 x 22, 2 x 33, x 3点评:解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式•第7讲1.3.1 函数的单调性知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, x，当X1VX2 时，都有f(X1)Vf(X2)，那么就说f (x)在区间D上是增函数(increasing function ).仿照增函数的定义若 a 0，当 X 1X 2b2a 时，有XX 2 0 , X 1X 2-,即 a(x 1 x 2) b 0 , a从而 f(xj f (X 2) 0，即 f (X 1) f(X 2), 所以f(x)在(却上单调递增.同【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)互在区间(0, 1)x 1X 1,X 2€(0,1)且X 1 X 22x .2x 2fg g f2(X 2 xj x 1 1 x 2(X i 1)(X 21)由于 0 x 1 x 2 1 , x 1 1 0 , x 20，故 f(x 1) f 区)0，即f(x)化).所以，函数f(x)X2X1 在(0,1) 上是减函数.【例2】求二次函数 f(x) ax 2bx c(a 0)的单调区间及单调性. 解：设任意X 1, X 2且X 1X 2 .则 2f(X 1)f (X 2) (ax 1 bxc) (ax 22bx 2 c)a(x 122X 2 ) b(x 1X 2)可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫f(x )的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数的图象从左向右是下降的(如右图 2).由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性 .3. 判断单调性的步骤：设X !、x 2 €给定区间，且x !<x 2;-计算f(Xj — f(X 2)-判断符号-下结论.例题精讲:上的单调性.(x 1 X 2)[a(N X 2) b].时，函数取最大值4ac b 2 4a【例3】求下列函数的单调区间： (1) y |x 1| |2x 4| ； (2) y X 2 2|x| 3.3x 3, x 1解：(1) y |X 1| |2x 4| x 5, 2 x 1，其图象如右.由图可知，函数在（减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到f （|x|）的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲1.3.1函数最大（小）值知识要点：1. 定义最大值：设函数y f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x € I ，都有f （x ）＜ M 存在x o € I ，使得f （x °）= M 那么，称M 是函数y f （x ）的最大值（Maximum Value ）.仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2.配方法：研究二次函数y ax 2 bx c （a 0）的最大（小）值，先2 2配方成y a （x 卫）2 4a 」后，当a 0时，函数取最小值为如卫；当2a 4a4a3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以由图可知，函数在［2, （2）y x 2 2|x| 31］、［0,1］上是增函数，在［1,0］、［1,）上是解：配方为y由(X 1)2(x2) (x -)22【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲:【例1】求函数y 26的最大值•x x 1所以函数的最大值为8.时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了(x 10)元，减少了10(x 10) 件，所赚得的利润为y (x 8)^100 10(x 10)].即y 10x2 280x 1600 10(x 14)2 360. 当x 14 时，y max 360.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元.【例3】求函数y 2x •. x 1的最小值.解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数,所以当x 1时，y min 2 1 1 2，函数的最小值为2.点评：形如y ax b Jex d的函数最大值或最小值，可以用“单调性法研究，也可以用换元法研究. 厂\【另解】令4X1 t，则to ，x t2 1 ，所以■…“ 丁y 2t2t 2 2（t 4）4罟，在t 0时是增函数，当t 0时，y min 2，I ；故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）y 3 2x x2, x [ I，2] ；（2）y |x 11 |x 2|.解：（1）二次函数y 3 2x x2的对称轴为x —，即x 1.2a2x 1 ( 1 x 2).最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出第9讲1.3.2 函数的奇偶性知识要点：画出函数的图象， 9 4 *所以函数y 3 2x 由图可知，当x 1时,ymaxx 2, x [ 5,3]的最大值为2 2当x4,最小值为(2) y |x 1| |x 2|作出函数的图象，由图可知, y [ 3,3].所以函数的最大值为3,g(x)1.定义：一般地，对于函数f （x ）定义域内的任意一个 X ,都有 f( x) f(x)，那么函数f(x)叫偶函数(even function ).如果对于函数定义域内的任意一个X ,都有f( x) f(x))，那么函数f(x)叫奇函数(odd function ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f( X)与f(x)的关系.例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： (1)f(x) x 3 - ； ( 2) f(x) |x 1| |x 1| ； ( 3) f (x) x 2 x 3.x解：(1)原函数定义域为｛x|x 0｝，对于定义域的每一个X ，都有 f ( x) ( x)3丄(x 3 -)f (x)，所以为奇函数.xx(2) 原函数定义域为R,对于定义域的每一个X ，都有f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f(x)，所以为偶函数.(3) 由于f( x) x 2 x 3 f(x)，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (x)f(x)、g(x).1f (x) g(x) 则x 11 f( x) g( x)x 11f(x) g(x)即X 11 f (X) g(x)X 1解：盒子的高为X ，长、宽为a -2x ，所以体积为V = x(a -2x)* 2.解：T f (x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) f(x) , g( x)g(x).两式相减，解得f(x)4 ;两式相加，解得X 1g(x)1 x2 1又由a-2x 0，解得x a.2所以，体积V以x为自变量的函数式是V x(a-2x)2，定义域为{x|0 x |}.X ( ,1)，求f[f (0)]的值.x (1,)解：T 0 ( ,1),二f (0)= 32 .又T 32>1,f ( 3 2 )=( 3 2 ) 3+( 3 2 ) -3=2+^ =5，即f [ f (0)]= 5.2 2 2【例3】画出下列函数的图象：(1)y |x 2|;(教材P26练习题3)(2)y |x 1| |2x 4|.3 (x 2)3 (x 1)。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 9 函数的奇偶性与周期性

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结9 函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )，f (2022)＝2，则f (1)的值是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 B解析奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )＝－f (x )，－f (x ＋3)＝f (x ＋6)＝f (x )，则f (2022)＝f (－1)＝－f (1)＝2，则f (1)＝－2.故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( ) A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－1答案 C解析因为函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），且f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)，所以log 2(1＋3)＝－[g (3)＋1]，则g (3)＝－3.故选C.3．已知f (x )不是常数函数，∀x ∈R 有f (8＋x )＝f (8－x )且f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )满足( )A ．是奇函数不是偶函数B ．是奇函数也是偶函数C ．是偶函数不是奇函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 C解析 f (8＋x )＝f (8－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝8对称，f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝4对称，则f (x )的图象关于直线x ＝0对称，是偶函数，又f (x )不是常数函数，则f (x )不能恒等于0，不是奇函数．故选C.4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2答案 D解析当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.故选D.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －xC ．e x ＋e －xD ．12(e x －e －x )答案 D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x－e －x ).故选D.6．已知偶函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x 13＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b答案 D解析 ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，y ＝sin x 为增函数，y ＝x 13也为增函数，∴函数f (x )＝x 13＋sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也为增函数．∵函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即c <a <b .故选D.7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，1]C ．(－∞，2]D ．[－2，2]答案 B解析因为函数f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立等价于f (a )≥f (x )max ＝f (1)，所以|a |≤1，解得－1≤a ≤1，即实数a 的取值范围为[－1，1].故选B.8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，则下列不等式中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32 答案 C解析 x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，故偶函数f (x )在[3，4]上是增函数，T ＝2，∴偶函数f (x )在[－1，0]上是增函数，∴f (x )在[0，1]上是减函数．对于A ，0<sin 12<cos 12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12；对于B ，1>sin π3>cos π3>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；对于C ，1>sin 1>cos 1>0，∴f (sin 1)<f (cos 1)；对于D ，0<cos 32<sin 32<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32.故选C. 9．(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数答案 ABC解析 ∵f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2) ②，∴由①可得f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1)，即f (－x )＝－f (x ＋2) ③，∴由②③得f (－x )＝f (－x ＋2)，∴f (x )的周期为2，∴f (x )＝f (x ＋2)＝－f (－x )，则f (x )为奇函数，∴f (x ＋1)＝f (x ＋3)，则f (x ＋3)为奇函数．故选ABC.10．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上是增函数，下列关于f (x )的判断正确的是( )A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称B．f(0)是函数f(x)的最大值C．f(x)在[2，3]上是减函数D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z答案ABD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1，0)对称，所以A正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2，0]上是增函数，所以f(x)在[2，4]上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确．故选ABD.11．若f(x)＝x ln (x＋a＋x2)为偶函数，则实数a＝________．答案 1解析因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－x ln (－x＋a＋x2)－x ln (x＋a＋x2)＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即实数a＝1.12．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．答案 (－4，－2)∪(0，2)解析当x ∈(－4，0)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )<0，则f (x )>0，所以－4<x <－2；当x ＝0时，g (x )＝0，则f (x )·g (x )＝0，不符合题意，舍去；当x ∈(0，4)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )>0，则f (x )<0，所以0<x <2，所以解集为(－4，－2)∪(0，2).二、高考小题13．(2022·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．f (x －1)－1 B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析解法一：因为f (x )＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f (x －1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (x －1)＝1－（x －1）1＋（x －1）＝2－x x ，f (x ＋1)＝1－（x ＋1）1＋（x ＋1）＝－x x ＋2.对于A ，F (x )＝f (x －1)－1＝2－x x －1＝2－2x x ，定义域关于原点对称，但不满足F (x )＝－F (－x )；对于B ，G (x )＝f (x －1)＋1＝2－x x ＋1＝2x ，定义域关于原点对称，且满足G (x )＝－G (－x )；对于C ，f (x ＋1)－1＝－x x ＋2－1＝－2x ＋2x ＋2，定义域不关于原点对称；对于D ，f (x ＋1)＋1＝－x x ＋2＋1＝2x ＋2，定义域不关于原点对称．故选B. 14．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0 B ．f (－1)＝0 C ．f (2)＝0 D ．f (4)＝0答案 B解析因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )，因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，因为f (2x ＋1)为奇函数，所以f (1)＝0，故f (－1)＝－f (1)＝0，其他三个选项未知．故选B.15．(2022·全国甲卷)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( ) A ．－94B ．－32 C ．74D ．52答案 D解析因为f (x ＋1)为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (1)＝0，即a ＋b ＝0，所以b ＝－a ，所以f (0)＝f (－1＋1)＝－f (1＋1)＝－f (2)＝－4a －b ＝－3a ，又f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (3)＝f (1＋2)＝f (－1＋2)＝f (1)＝0，由f (0)＋f (3)＝6，得a ＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94a －b ＝－54a ＝52.故选D. 16．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________．答案 1解析设g (x )＝a ·2x －2－x ，h (x )＝x 3.因为函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是R 上的偶函数，函数h (x )＝x 3是R 上的奇函数，所以函数g (x )＝a ·2x －2－x 是R 上的奇函数，故g (0)＝a ·20－2－0＝a －1＝0，因此a ＝1.17．(2022·江苏高考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是______．答案－4解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.三、模拟小题18．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x ＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1，因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎨⎧f （1）＋g （1）＝a 2－a －2＋1，f （1）－g （1）＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.故选C. 19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (2)＝0，则f (x )f (x ＋1)<0的解集为( )A.(－2，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，2)C ．(－1，2)D ．(－2，1)答案 B解析因为函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由f (x )在(－∞，1)上单调递减，得f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (0)＝f (2)＝0，所以当x <0或x >2时，f (x )>0，当0<x <2时，f (x )<0.函数f (x )的图象如图所示，f (x )f (x ＋1)<0等价于⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋1）<0或⎩⎨⎧f （x ）<0，f （x ＋1）>0，即⎩⎨⎧x <0或x >2，0<x ＋1<2或⎩⎨⎧0<x <2，x ＋1<0或x ＋1>2，解得－1<x <0或1<x <2.故选B.20．(2022·陕西咸阳一模)设f (x )为R 上的奇函数，满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x e x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝( )A ．2e ＋2e 2B ．50e ＋50e 2C ．100e ＋100e 2D ．－2e －2e 2答案 A解析由f (2－x )＝f (2＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (x )是以8为周期的周期函数．∵f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (－1)＋f (－2)＋f (－3)＋f (－4)＝0，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2e ＋2e 2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝2e ＋2e 2.故选A.21．(多选)(2022·福建省永安市第三中学高三月考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，若y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且对任意的x 1，x 2∈(0，2)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )的周期T ＝4C ．f (2022)＝0D ．f (x )在(－4，－2)上单调递减答案 ABC解析由y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (1＋x －1)＝f (1－x －1)，即f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数，A 正确；由f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，令x ＝－2，可得f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )的周期T ＝4，B 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0，故C 正确；又f (x )在(0，2)上单调递增，周期T ＝4，则f (x )在(－4，－2)上单调递增，故D 错误．故选ABC.22．(多选)(2022·三湘名校教育联盟高三联考)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x ＋1).当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为2B ．若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0C ．点(－1，0)为f (x )的一个对称中心D ．∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫321011答案ABC解析因为f (x )为奇函数，f (－x )＝f (x ＋1)，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，故f (x )的周期T ＝2，A 正确；当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，所以f (1)＝f (0)＝f (2)＝0，所以若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0，B 正确；因为f (－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，点(－1，0)为f (x )的一个对称中心，C 正确；当i ＝2k 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f (k )＝0，当i ＝4k ＋1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，当i ＝4k ＋3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 232，D 错误．故选ABC. 23.(多选)(2022·山东省兖州市高三质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )的判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )是奇函数B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0，22]D．函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点D(0，0)为圆心，22为半径的1 4圆；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点C(2，0)为圆心，2为半径的14圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(6，0)为圆心，2为半径的14圆，与－4≤x＜－2的形状相同，因此函数y＝f(x)在[－4，4]上的图象恰好为一个周期的图象，所以函数y ＝f(x)的周期是8，其图象如下：由图象及题意可得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数的周期为8，所以f(x ＋8)＝f(x)，因此f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可得，该函数的值域为[0，22]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y＝f(x)在区间[6，8]上的图象与在区间[－2，0]上的图象形状相同，因此单调递增，故D正确．故选BCD.24．(2022·新高考八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．答案sin πx(答案不唯一)解析由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝A sin ωx(A≠0，ω>0)，满足f (－x )＝－sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数；根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中的任一个，可取f (x )＝sin πx .25．(2022·河北邯郸高三上开学摸底考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ，则f (0)＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝________．答案－14 2 3解析函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），可得f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数的周期T ＝4，所以f (0)＝－1f （2）＝－14，f⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝f (log 43－3)＝f (log 43＋1)＝2log 43＋1＝2×212log 23＝2×2log 2312＝2 3.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·上海徐汇区模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝lg （1－x 2）－x.又f (－x )＝lg [1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x ).综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴f (x )为奇函数．2．(2022·安徽省巢湖市第四中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)可画出f (x )的图象如图所示，知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].3．(2022·山东临沂高三阶段考试)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 4．(2022·青海模拟)设f (x )是定义在R 上不恒为0的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 恒成立.(1)证明f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|g (x )是偶函数，求实数a 的值．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上不恒为0的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又因为T ＝3是f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y ＝|f (x )|g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以实数a ＝0.。

中考数学复习知识点专题讲解9---二次函数考点探究

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是( ) A．a＞0 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 C．c＜0 D．3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根考点二、利用二次函数图象判断 a，b，c 的符号【例 2】如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：
①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0 的两根分别为－3 和 1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
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点 A(1,0)及点 B.
(第 5 题图) (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足 kx＋b≥(x－2)2＋m 的 x 的取值范围． 6．已知：如图，抛物线 y＝a(x－1)2＋c 与 x 轴交于点 A(1－ 3，0)和点 B，将抛物线沿 x 轴向上翻折，顶点 P 落在点 P′(1,3)处．
3. ∴抛物线的解析式为 y＝－ 3(x－2)2＋ 3. 解法二：设这个抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，由已知抛物线经过 A(1,0)，
B(3,0)，C(2， 3)三点，
a＋b＋c＝0，得9a＋3b＋c＝0，
4a＋2b＋c＝ 3，
a＝－ 3，解这个方程组，得b＝4 3，
c＝－3 3.
∴抛物线的解析式为 y＝－ 3x2＋4 3x－3 3.
(1)求原抛物线的解析式； (2)学校举行班徽设计比赛，九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点 P′作 x 轴的平行线交抛物线于 C，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为 W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分